（应用数学专业论文）一类广义分式规划的性质、算法及在不精确分式规划上的应用.pdf

摘要 本学位论文就类目标函数可以有觅限个分式的广义分式规划问题， 谤论了推广静d i n k e t b a c h 型算法，对娲寇遐，鞍点最傀性准鬓| i 以及在不精 确分式规划中的应用共分四个部分 第一章绪论郝分综述了此类广义分式规划以及它的特殊形式不精确 分式规划的研究进展，并介绍本文所要做的一些工作 第二章第一节介绍与具有一般约束集的广义分式规划护) 等价的一个 参数规划( 最，) 的饿度；第二节弓| 入通过求解( 毛) 来求解( 岛酶一簇迭代算 法，并证明算法的全局收敛性和具有线性敛速；第三节通过在每次迭代时 适当地选择参数，褥囊全两收敛滢酶超线性算法；第四节帮第纛节探讨算 法在不精确分式规划中的两个应用第一个应用在祭件减弱的情况下给出， 是妻接鳇，第二今应蔫是对不精确分式缀翔静特殊情形给塞鹃，即它的约 束集都是由线性不等式约束给出 第三章第一麓在( f ，寤，岛矗) 凸的条件下，建立其存不等式约策戆广义分 式规划( p ) 的混合型对偶，给出相应的弱对偶定理，强对偶定理以及严格对 偶定理；第二节给毖三个非完全l a g r a n g e 丞数，剥耀已有的最优性条件， 在( f 搿，p , a 9 一凸和广义( e 岱，店d ) - 凸性的条件下，证硝了鞍点最优性准贝| j 第四章研究了不精确分式规划( i f p ) ，讨论了它的局部解一怒是全局最 优解，并获得较简洁的最优性充要条件， 关键词：收敛；越线性收敛；混合鍪 对镁； g ，岛彩一凸和广义( f , c t ，岛彩- 凸；鞍点；最优憔条件 i p r o p e r t i e sa n da l g o r i t h m sf o rac i a s so fg e n e r a l i z e d f r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e ma n da p p l i c a t i o nt oi n e x a c t 磐鬟a c f 的氍矗l 。p r o g 黛a 劓瓢豳阳g c h e n g i j ( c o l l e g e o f g a t h e m a t i c s ，p h y s i c s a n d i n f o r m a t i o n e n g i n e e r i n g , z h e j i a n gn o r m a lu n i v e r s i t y , j i n h u a z h e j i a n g 3 2 1 0 0 4 ，c h i n a ) 氏b s i r c x f o rac l a s so fg e n e r a l i z e d 刚舳融p r o g r a m 她p r o b l e m ( p ) ，w h o s eo b j e c t i v e f u n c t i o ni sc o m p o s e do fi n f i n i t ef r d c t i o 1 s ，g e n e r a l i z e dd i n k e l b a c h - t y p ea l g o r i t h m ，m l x e d t y p ed u a l ，s a d d l e - p o i n tt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n da p p l i c a t i o nt ot h ei n e x a c tf i _ a c t i o n a l p r o g r a m m i n g a r ec o n c e r n e d 。t h ep a p e rc o n s i s t so f 4c h a p t e r s i nc h a p t e ri ，w es t a t et h er e c e n ta d v a n c e si nt h e s t u d yo fg e n e r a l i z e df i 俄i o n a l p r o g r a m m i n ga n di n e x a c tf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m ( 腰p ) ，w h i c hi sas p e c i a lc a s e f o rt h ep r o b l e m ( 聊。t h e nt h ew o r kw ed oo nt h i sp r o b l e mi si n t r o d u c e d c h a p t e r2i st h em a i np a r to f t h ep a p e r i ns e c t i o n1 ，s o m e p m p e c d e so f ap a r a m e t r i c p r o g r a m m i n gp r o b l e m ( p a 毋) a r ed i c u s m d i ns e c t i o n2 ，ac l a s so fg e n e r a l i z e da l g o r i t h mt o ， ， s o l v e ( p ) v i a 缓岔) 斛i n 蠹：o d u c 峨雠e s t a b l i s hc o n v e r g e n c ea n dd e t e r m i n et h er a t eo f c o n v e r g e n c eo ft h em g o f i t h m i ns e c t i o n3 ，s u p e r - l i n e a rc o n v e r g e n c em i g h tb eo b t a i n e dv i a o p t i o no f p a r a m e t r i c i ns c c t i n n 毒a n d c t i o n5 。w ep r e s e n tt w oa p p l i c a t i o n so fa l g o r i t h mt o i n e x a c tf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m ( i r e ) u n d e rt h ea s s u m p t i o n so f w e a k c o n d i t i o n s ， t h ef i r s td i r e c ta p p l i c a t i o ni sg i v e n , t h eo t h e ra p p u c 越i o ni sp r e s e m e dt ot h es p e c i a le a s ef o r t h ei n e x a c tf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n g , w h o s ec o n s t r a i n ts e ti sg i v e n 坶r e s t r i c t i o n so fl i n e a r i n e q u a l i t y i n c h a p t e r3 ，u n d e rt h ea s s u m p t i o n so f ，g ，岛菇) - c o n v e x i t ya n dg e n e m l l z e d ( f ，群，p ，d ) - c o n v e x i t y , w ep r o p o s et h es a d d l e - p o i n tt y p eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sa n dm i x e d t y p ed u a lf o rp r o b l e m ( 妇 歉t h el a s tc h a p t e r , w es t u d yi n e x a c tf r a c t i o n a lp r o g r a m m i n gp r o b l e m i f p ) ，f i r s t , w e p o i n to u tal o c a lo p l i m a ls o l u t i o no f p r o b l e m( 腰聊i sag l o b a lo p t i m a ls o l u t i o no f p r o b l e m 技 t i f n w ed i s c u s st h eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rp r o b l e mu f 羚, n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o n sa r eo b t a i n e dw i t h o u tt h en e e do f a n ye x p l i c i tc o n s t r a i n tq u a l i f i c a t i o n k e y w o r d s ：c o n v e r g e n c e ；s u p e r - l i n e a rc o n v e r g e n c e ；m i x e dt y p ed u a l ；s a d d l e - p o i n t ；( f ，掰，p , d ) - c o n v e x i t ya n dg e n e r a l i z e d ( f ，搿，p ，d ) - c o n v e x i t y ；o p t i m a l i t yc d n d i t i o n s 学位论文独创性声明 零入声弱所莹交的学位论文慧我个人在导师攒导下逐行鲍研究工作及取褥 的研究成果。论文中除了特别加以标注和数谢的地方岁 ，不包禽其他人或其他机 梅邑缀发表或撰写过熬磅炎裁暴。箕稳弱恚黯零研究龚孽寝发器掰徽瓣贾簸臻跫在 论文审作了镄确静声鞠著表承了落意。 职究生签名； 表谪 学饿论文使用授权声明 基麓：鼬尊，扣j 尊 本人完全了麟 錾 泼褥蕊丈学有荚缳蜜、镬惩学经谂文瓣藏定，鞭：学校脊粳 保磐送交论文熬复窜侉秘魄予文档，念许谂文被查润帮借瓣，褥戳采粥影鼙、缩 印藏j 霉描等手段僳存、汇编学位论文。同意浙江师范大学可以厢不同方式在不同 媒体土发表、抟搔论文的全都葳部分巍枣。绦密豹学链漶文在麟密后遵寄此协议。 研究垒繇毂丽鼯筛魏 锄髦慨删忉 一绪论 ( 一) 广义分式规翘j 算法的研究现状 1 9 8 5 每，c r o u z e i xj p ，f e r i a n dj a 秘s c h a i b l es 农文献【1 3 中考虑了懿 下的广义分式规划： ) - = 。n f m a x f , ( x ) g 船) ， 这里s 是尺”中的非空集合，z ，g 。是s 上的迄续函数且比s ，g 。 ) 0 为了求 ( p ) ，他们提出了一个含参数口的规划 ( 巧) f = 攀群弘一酝 - 文献讨论了f 艘) 的性质，构造了通过求解( g ) 来求解) 的爨法，逐涯硬了爨述 算法的全局收敛性，但算法仪具有线饿敛速，因此文献 2 把规划( ，) 等价变形为 拈撼鼢 黼( x ) t g 卜，2 ，博6 9 l 或f 0 “) l 。 然后定义斥p ) = 蝉卿祥缸g ，0 “) 】( 功一翰。o ) 】 ，善h 是算法前颟迭代求解时 j 酣l q - , t s 口 褥到瓣矮霞群，这一修歪蠖算法寿更快懿收敛速度，帮怒线蕊牧敛遴度。 与此同时，对上筒广义分式规划( ) ，徐增垄在文献 3 中提出了具有p + 1 个 参鼗静靛剜 ( 蝶，一) 好 ，口) 2 唔：黪缸，( o ) 一o g r ) ) ， 其中搿r ：= ( q ，嘞a p ) i q 0 , i = l ，办，口r ，文献 3 讨论了甘( 口，印的一些 性质，构造道过求解( 鬈，) 来求解( ，) 豹一类遮代算法，从而使前面掇刭的算法是 该算法的特例。在与上藤的算法类似 o 参照通常方法，文献【4 】考虑与上式面分式规划等 价的一个含参数a 的规划 ( 爿) f ( 五) 2r a 。i n 鼍野 厂( 卢，x ) 一丑g ( ，x ) 把前面已有的算法做了推广，并且证明了推广的算法仍具有线性敛速。此后，类似 前面，文献【5 】把( p ，) 也等价变形为五：m 净m 努 丛丝型生! 丝里 ，i 是( p ，) 的最优 “”8 ig 似，x ) s ( u ，x - ) j 解，对( 即从参数规划_ ( 护卿嚣 丛铲卜发，对算法又做了改 进，从而使改进的算法具有更好的收敛性，即超线性收敛 ( 二) 广义分式规划和不精确分式规划性质的研究现状 对于目标函数有无限个分式的广义分式规划，近几十年来已激起许多学者的关 注和研究文献【6 】中，c h a n d r a 和k u m a r 考虑如下规划： ( ，)m i 柙= s ，u ，p 器， s t g ( x ) 0 其中y 为r ”中紧集， ，( ，) ：r ”一r 是可微函数且f ( x ，y ) 0 ，矗( ，：r “ r ”专r 是可微函数且h ( x ，y ) 0 ，g ( ：r ”一r o 是可微函数他们得到关于( 尸) 的一个一阶必要条件；文献 7 】、【8 】分别在不变凸性和( f ，p ) 一凸性的假设下，扩展 了文献 6 中的结果，得到规划( p ) 的三个对偶规划及其各自的弱对偶、强对偶、 严格逆对偶定理在文献 9 】9 中，l i a n g 等人对可微函数厂：r ”斗r 引入了 ( f ，口，p ，d ) 一凸的概念，研究非线性分式规划问题的对偶理论文献【lo 】在 ( f ，口，p , d ) 一凸性的条件下，对广义分式规划( p ) 给出了最优性充分条件和两个对 偶模型，证明了其相应的对偶定理 文献 1 1 1 针对多目标规划首次提出了混合型对偶的概念文献【1 2 】指出了不完 全l a g r a n g e 函数与m o n d - w e i r 型对偶和l a g r a n g e 函数与w o l f 型对偶的联系是一 致的，并且在不变凸性假设下建立了一些数学规划的混合型对偶和相应的对偶原 理文献【1 3 】、 1 4 】在( f ，力一凸性的假设下，给出( p ) 的两个混合型对偶，使得文 献 7 、 8 中的一个对偶规划是其混合型对偶的特殊情况文献1 1 5 1 在不变凸性 假设下，利用不完全l a g r a n g e 函数，分别研究了文献 1 2 】中规划的鞍点存在性理 论文献1 1 6 】则在不变凸性的假设下，对规划( p ) 建立了一个不完全l a g r a n g e 函 数，并获得规划( p ) 的鞍点最优性准则 线性分式规划是简单而实用的一种分式规划，而不精确分式规划是系数不能确 定的线性分式规划，是规划( p ) 的特殊形式不精确分式规划的一般形式如下： ( 删 攀s t , - 巍； 9 而c r x + g ， 其中，s = 协e 彤：a x 0 文 献 1 7 】提出了( 脚) 的一个对偶规划文献【1 8 】把结果进一步完善，提出( i f p ) 的另两 个对偶规划，并对这三个规划的关系作较为详尽的讨论，这包括强对偶定理和( i f p ) 鞍点型判别准则文献【1 9 】讨论了线性分式规划m i n ，( 功= g p ，r x x + + 卢c g i 出= 6 ，x o 以及它的最优性条件证明了它的局部最优解一定是整体最优解，且它的局部最优 解具有凸规划问题所具有的某些特殊性质 ( 三) 本文主要的研究工作 本文首先考虑规划( p ) 更一般的情况，约束集是一般集合时的算法对于规划 西 石= 蟮嘴勰g ( x ) ，托5 7 【，y ) j 其中，s 是中非空子集，y 为r ”中紧集，o ，) ，) ，g ( x ，力是定义在s x y 中的连续函 数，v ( x ，y ) s xy ，有g ( x ，力 0 我们提出下列的参数规划 ( 只d ) 。h ( a ，口) _ i 。n f m a ，x a ( y ) ( f ( x , y ) 一o g ( x ，y ) ) ， 这里口是y 到r + 的连续映射，0 r 本文第二章先讨论日 ，刃的一些性质，再把已 有的相应的算法进一步推广，而成为一簇算法，并且证明了算法的全局收敛性和具有 线性敛速构造这一类迭代算法的实际意义是首先是对求解广义分式规划( 局给出了 一簇算法，通过在每次迭代中适当地选择( 矿，o k ) 。可以得到具有全局收敛性的超 线性算法，这样其结果涵盖了国内外文献中的相关结果其次，算法在每次迭代时参 数幺的取法有很大的灵活性，从而在求解时可允许有较大的误差而无损于相应的收 敛速度本章的最后部分讨论此算法在不精确分式规划上的两个应用第一个应用是 直接的，由于规划( 卿，) 在条件不变的情况下可以改写为 ( 腰f p ) 这里分式中分子和分母都是线性函数，因此我们在更弱的条件，s ，c ，d ，g ，e 都不是 紧集的情况下，引进参数规划，考虑算法的全局收敛性和线性敛速第二个应用是对不 精确分式规划的特殊情形给出的，即它的约束集都是由线性不等式约束给出，但s 可 以是一般的集合，这个应用借鉴了上面算法的思想 在讨论最优化问题的最优性充分条件、鞍点最优性条件的充分性及对偶定理时， 要对目标函数和约束函数加以限制其中，凸性概念作为一个最基本的条件在获得预 期的结果中起着重要作用，在这方面的研究中，为了减弱凸性的限制条件，人们先后引 进了各种广义凸函数的概念文献【9 】提出了( f ，口，p ，d ) 一凸函数，它是( f ，p ) 一凸的 拓广第三章首先给出( f ，o f ，d d ) 一凸和广义( f ，岱，岛d ) 一凸的定义，然后提出一个 不同于文献 1 0 】的混合型对偶，并在( f ，口，p ，d ) 一凸的条件下，给出相应的弱对偶定理、 强对偶定理及严格逆对偶定理最后本章给出三个不完全函数l a g r a n g e ，利用已有的 最优性必要条件，在( f ，口，p ，d ) 一凸和广义( f ，pd ) 一凸的条件下，证明鞍点最优性 准则 本文的最后一章研究了不精确分式规划的最优性条件由于不精确分式规划形式 的特殊性，它的目标函数的分子分母都是线性函数，约束集是凸集我们根据第二章 所得到的结果，提出一个与不精确分式规划等价的参数规划，证明了不精确分式规划 的局部最优解一定是全局最优解，并获得较简洁的必要和充分最优性条件 4 g p急 & 一 嗣吣如 - 璺“ 二d i n k e l b a c h 型算法懿推广霹在不精确分式规翔中豹应用 本章考虑如下的广义分式规划： 圆 荔= 蕃肾 矧， 速摹s 爨r 5 枣蘩空子集，y 隽r m 串蘩集，灭墨卵 g 瓴奶是定义在s x t 审靛连续函数， v y ) 芒s x y t 有g ( 墨办 o 。 我们主要讨论此类规划d i n k e l b a c h 裂算法的推广和在不精确分式规划中的殿用 ( 一) h ( d ，0 ) 的一些性质 鼹广义分式勰翅 0 ，则 日( 口，占) 关于护严格单凋下降； ( 2 ) h ( c t ，彩0 ，当藏莰当秽 否耄就嚣 ，劢o ； ( 3 ) 装( 彤鸯最饯解，则日 ，舔= o ； ( 4 ) 辫( 以石) = o ，则( 户) 和( 只；) 有相同的最优解集( 可能为空集) 证明( 1 ) 设岛 - - 0 0 ，则对v ( 口，0 ) ，口是y 到r + 的连续函数， 0 r ，均有h ( 口，0 ) 且h ( 口，0 ) 关于0 在r 中l i p s c h i t z 连续 证明对v 口1 ，a 2 ，v q ，岛r ，v x s ，类似于式( 2 2 ) 有 m 。a x a 1 ( y ) ( ，( x ，力一o , g ( x ，力) 一h ( a 2 , 岛) m 。i ，n ( a 1 0 ) 一口2 ( y ) ) ，y ) + 2 0 , ) 0 2 一口1 ) 岛) g o ，y ) ( 2 3 ) 在式( 2 3 ) 中令口1 = 口2 = 口，并对式( 2 3 ) 中第1 个表达式关于x 在s 上取极小，很容易得 到 h ( o t ，0 1 ) - h ( a ，岛) 1 k ( j ，) i q 0 2 - e , i 将上式之b ，0 2 互易后再结合上式，得到 l h ( a ，0 2 ) - h ( a ，岛) i - 一，则对v ( 口，0 ) ，均有日( 口，0 ) 一结合 日( 口，口) 的定义容易由反证法获得证 ( - - ) 算法及其收敛性质 臻程，弓| 入遁过求熊( 乏口) 求鼷( 国酌一簇迭筏算法 算法a 步骤0 往取妒芒s ，选择大的m 和小的脚：m 删 o ，令 试= 耐嬲x o ， 步骤1 取连续蘸数( 力毒【j ，l ，掰五y y ，求解 ( 乏* ，靠) h ( a o , ) = i n f m 。a ，x a y ，囊，力一或g 蹶妫， 记它的最优解为矿； 步骤2h ( a k , e k ) o ，停止算法，则以一万又若i i ( 口k 吼) - - 0 ，则y o ( f ) 静最优解，著鞠毋。，o d o ，剜( 两无最德解； 步骤3 任毫垮粉舢】， 膏# k + l ，返步骤1 注意，步骤0 孛考嫉否在步骤2 巾，若髹缸1 ，绣涉馥鼷由鑫题2 。l ( 2 ) 知琏s 否， 从而有b = 石，褥由推论2 1 知( p ) 无解；若日( 搿1 ，岛) = o ，由推论2 1 知为( 户) 的解且 馥氧否则在步骤，中有删舢 岛 万： ( 2 ) h ( 口。，以) 0 ，则( 户) 无解 ( 2 ) 若算法a 产生无穷的 日 ，) = 9 拶 ( y ) ( 少，办一g ( 办，妫 求极限，得到 挂蹿斑媛厂国势一国筑必 8 盯 穆够 在式盆黔孛置x 一曼，结合式( 2 9 ) 知式( 2 9 ) 是个攀式，送照解缮荔= 学 器 ，注 意餮舀( y 【掰，m 1 ，虫壤论2 1 霹知曼必圆瓣最傻簿。 注：实际计箨时，岱0 9 的选择可以这样：擞y 的元索为有限时，可任选口。o ，) e f m ，m 】，v 屯v 夕芭y ，此时前面关于以白o d 有收敛的子列的假设照然成立，这也鼹文献 翻笺重骚内骞；一般遮，胃先选一个s x y 主豹迄续函数a ( x ，力，使得a ( x ，力泐，掰】， v ( x , y ) e s y ，再取搿( y ) = c t ( x 。- k y ) ，砂y ，瑟瓣萋- - - ；( e s ，簧| l 窿颤劬寸 氆i 。y ) ，a i y 靛义为觎y ) 定理2 2设( 印有最优解；若算法a 产生无穷的( 矿) ，( 以) ，且设 m a x g ( x 2 , y ) sb ，k = 1 ，2 ，掰玩寸秽且牧敛豹速度至少是线髋酌。 证明收敛性从定理2 1 的证明过程即得，又类似予式( 2 5 ) ，有 ( 吼一口) 一( 瓯+ - 一q 意) 日 ，吼) ( 2 1 0 ) 由( 龟鸯解著擞籀命逶2 1 ( 3 ) 箱霸瓣，务= o , k = l ，2 ，瓢雨类钕予式( 2 2 ) 褥鬓( 注意 壤 否) 一日 ，b ) = h ( a 。，否) 一日 ，巩) ( 吼一芴1 卿船( y ) g ( _ ，力 ( 皖一捌吵 g 似，力) ( 2 1 1 ) 撇舭敞1 0 ) 解得牙外掣此僦 ( 篓) 。，吼) 的选择超线性收敛 在算法a 中对 。，吼) 的不同选择导致 9 算漱瓢渊胖y ，酣耻警勰卜。 j l ：算法帮文觳 4 】疑挺懿d i n k e l b a c h 型算法，该雾法夔收敛速度仅强线性戆。 算法如榭= 雨1 w ，y , k _ 1 s k + ；学嬲卜。 此算法即文献 5 】所提的d i n k e l b a c h 型算法的改进，从而使算法的收敛速度为超线性的 算法：取扩( 力兰南y ，露1 吼“嗡而f ( x 丽k , y ) ，吼+ 面两l l ( a 积k , o k ) ，j i 扎 根据定理2 1 和定理2 2 ，很容易证得 定矮2 3 怼予在算法a 串驳( y ) 为算法a 。疆；) 熬蘩算法 ( 1 ) 蒋存在b 6 0 ，使得对v e s ，均有0 b m 缈 g ( ，” 蔓m 警 g ( ，y ) ) s y 射娜， b ，k = 1 , 2 ，则对应于新算法的定理2 1 的( 1 ) 、( 2 ) 都成囊； ( 2 ) 若斗；s ，则；为的解，以峥否且色以超线憔速度收敛到否 证明只诞( 2 ) 中的收敛速度，由步骤3 有 ( 巩一否) 一( 吼+ - 一否) 一三返；丢( 2 1 2 ) 将式g 1 1 ) 中黪一嚣缸，壤) 魄一面睁缸) g ( i ，弗 代入式( 2 1 2 ) 鼹得 雳0 辨糍m a x a 敏一 。， 。) g q ，y ) 。 将p ) 。夏i ：丽代入式( 2 ”) 可知1 一毒豪石厕峥盯此即所证 1m 婆钕( 力g 瓴奶 注意算法如( 或a ) 之步骤3 中吼。的取法肖很大的灵活性，确切说步骤3 的区间 一般有适量的宽度，从而在求解求解( 甓。吼) 时可允许有较大的误差而无损于超线性 i 0 ( 四) 直接应用算法求解不精确分式规划 线性分式规划是简单而实用的一种分式规划，在实际应用中，常因线性分式规划 的系数不能确切地知道，导致我们考虑如下的不精确分式规划 ( 孔i n t 嚣。麓， 4 ) 其中s ，c ，d 都是i r 中的非空子集，g ，e 都是r 中的非空子集，同时假定对v x s ， v ( a ，e ) d x 占，都有d 7 z + p 0 这两节，我们给出以上算法在不精确分式规划中的应 用，第一个应用是直接的，因此我们本节只罗列一些相关的性质和算法，相应的证明 只留下主要的，其余略去下一节的第二个应用是对( j f p ) 的特殊情形给出的，即c 和 d 都是由线性不等式约束给出的，但s 也可以是一般的集合确切地说这个应用仅是 借鉴了上面算法的思路 由于规划( 仃p ) 其形式的特殊性，目标函数中关于变量z 的分子，分母都是线性函 数，因此我们可以在更弱的条件，c ，d ，g ，e 都不要求是紧集的情况下，考虑算法的全局 收敛性和具有线性敛速本节就在d ，e 都是有界集的假设下，提出下列的参数规划 ( 致j ) f ( c t , 0 ) 2 警。嚣。川，e ) 帜+ g ) - o ( 川) 】 ， 其中，口是d ，e 的闭包西豆到r + 的连续函数，口r 1f ( a ，0 ) 的一些性质 我们把引理2 1 推广为 引理2 2 设y 为r “中的非空子集，f l ( y ) ，o ) 为y 上的连续函数，则 獬f 0 0 一，o ) ) ss u p ，o ) 一s i l p ，o ) s s u p f l ( y ) 一，( 力 ，。f r，e r坶r 引理2 3 1 日设d 和e 有界，口是d ，e 的闭包西豆到r + 的连续函数，0 r ，则 i 垡s u p ! ；警口的充要条件：s u p 和( d ，e ) 【( c o + g ) 一0 ( d r f + g ) 】) o ，e s “ 嚣 馏。 嚣l 馏 命题2 4 ( 1 ) 若f 缸，口) 关于口是不增的，又，若对垤s ( d 。i n 胁fe ( d r x + 口) f o ， 则f ( a ，0 ) 关于0 严格单凋下降； ( 2 ) f ，国 p 由此f ( a t ，0 ) 0 ； ( 3 ) 若( 腰 尸) 有最优解，则f ( a ，p ) = 0 ； ( 4 ) 若f ，劢= o ，贝l j ( i f p ) ( i f p j ) 相同的最优解集 证明只证明( 3 ) 和( 4 ) 先证明( 3 ) 因歹：i 蝉s u p 笔譬堕，所以任取x s ，s u p 与熹警歹，由引理2 3 的必要性有 撕5 c , g ) e ) c d x c x g e d x + p d , e 心) t d x g g e 斛g ，凹 口( d ，p ) 【( c 7 x + g ) - g ( d 7 x + p ) 】 o ，v xe s ( 2 1 5 ) 麓播馏、 。 所以 赠，s u p 口( d ，g ) 【( ，x + g ) - f f ( d r x + e ) 驴o ( 2 1 6 ) “绷c ge d x x g f 、 7 另一方面设膏是( 上f p ) 的最优解，由式( 2 1 4 ) 得歹= s u p ! ；墨塑，因此 ( c g ) c x g a x + e 万乏兰丝对v ( c ，岛d , e ) c g d e 都成立，e i p v ( c ，g ，d ，e ) e c x g x d x e ，有 a x + p ( c 7 i + g ) 一g ( d r i + 力0 ， 因口是d ，e 的闭包西雷到r + 的连续函数，从而 a ( d ，p ) 妒i + g ) 一万( 矿i + p ) 】) o ， 对上式两边取极大得 s u pp ( 玩e ) 7 i + g ) 一万( d 7 i + p ) 】) s o ( 2 1 7 ) 滋c , g 劬x g f 。 所以 i n 善s u p c t ( d ，口) p r x + g ) 一g ( d r 工+ 口) 】 s o 膳3 ( c 古) e c g 、 7 再结合式( 2 1 6 ) , j j 咖f ( a ，否) = 0 ( 4 ) 若i 是( 上即) 的最优解，由( 3 ) 的证明有( 2 1 7 ) 成立又由f ( e t ，否) = 0 ，有 “鬻。，e ) 【( c r i + g ) 一酗孑+ e 舭0 2 氍( c , g s u p ) e c x g 一 - 口( d , e ) ( c r x + g ) e c x g ) 一虱d 。删 撼獾龋( 如批d x f 唑 口( 矾e ) ( c r x + g ) 一万( x + p ) 】 ，v x s ， “。g ) e c x g 1 2 这就意味着亨是( 上f 艺j ) 的最优解 另一方面若i 是( i f p j ) 的最优解， f ( a ，劢= o 有 ，s u p 口( d ，e ) 【( c 7 i + g ) 一o - ( d 7 i + p ) 】) = o ， 如c , g ) e d x x g e 、 所v ( c ，d ，g ，e ) c x d x g x e 有 a ( d ，口) 妒i + g ) 一歹( i + e ) 肛0 ， 因口( d ，p ) 0 ，从而有( c 7 i + g ) 一歹( d 7 亨+ p ) s o ，即歹! 墨：墨，故 口。工+ e 歹 g ) 未坩c 如r 2 + + g e ， ( 2 1 8 ) g ) c x 6 d 。x + 。 又，( 以万) - i 。n f 恶。，讹k + g ) 一础石+ p ) 】) = o ，所以 ，z 罂。p ( d ，p ) ( ，x + g ) 一o ( d r x + e ) - 0 ，v x s 滋莲锱 由引理2 _ 3 的充分性即有s u p 毛2 量2 歹，v x s 因此结合式( 2 1 8 ) 就有 ( c g ) e c x o 口。x + p (哪icr再x+g弛(s叩丽cri+gc,g e 6 x g c , ge c x g ， 雠k d x e d 。石+ 口滋k 执f d l x + p 此亦意味着i 是( 1 f p ) 的最优解 从命题2 4 的( 3 ) 和( 4 ) ，我们有 推论2 2 ( 历功有解覃的充要条件为f ( a ，两有解i 且f ( 口，西= 0 类似，命题2 2 在不精确分式规划中同样成立 2 算法及其收敛性质 现在，我们还是引入通过求解( 吧，) 来 求f f e ( 1 f p ) 的一簇迭代算法。 算法b 步骤0 任取工o s ，选择大的m 和小的m ；m 坍 0 ，令 耻幢熙。靛扣- 步骤1 取绣西静潮毽蚕嚣囊r + 鹃连续凑数e r e , m ，求矮 ( 呢t 建) f ( a 。，最) 一嚓如；基 e ) 鼯7 x + 曲一瞰( x + 8 ) 】， f d i j e m 记它豹媛优解必； 步骤2f ( a k , 纯) o ，停止算法，则以= 百又若f ，吼) = o ，则矿( i f p ) 的最优解，若， ，以) o ，则( 卿) 无最优解； 步骤3 强取壤“： ”镊急鼬蕾糍钿b k _ + 1 ，返步骤1 。 注意，步骤0 中有婊否在步骤2 中，若f 国1 ，最) o ，则由俞题2 - 4 ( 2 ) 知只口， 而有鼠：否，髯由推论2 2 知( 腰即无解： f ( a 1 ，e 1 ) = o ，由推论2 - 2 知一为( 舒聊的觯 且氓。百；否则在步骤3 中有f 以1 ，0 1 ) 0 ，因为协，d ，g ，口c d g x e ，有 擘警= q 十 一十e 。1 ，o 馨分+ 密一g ( a 7 + # ) 面而虿丽一 s u p ( 西o 矿+ g ) 一g ( 扩+ o 卿暨暨l 嘉丽鬲r 一 = 琏+ 二_ 搋琏十i i 势 j 爹 教瓣主式嚣滚取羧大篷畜 。戮蕊c r x t + g 壤+ 品露i 蹦+ 曼型：刍2 _ _ _ _ _ _ _ _ - _ p ”1 = s u p 缸g ，x 蠢妒+ 醇； 缸, g e ) 阿e d 。x g g 疆毙，受霆：l 冀重，步骤3 亦霹霉瓣放舅法3 鼹j = l 露，只要步骤1 j l 霪 = l 霹露 假定算法愀( 1 ) 可行，则由步骤3 易知吼。蕊蕊c r x 。+ g 孑，重复以上的 论述可知算法b 对_ j + l 也可行，只要步骤1 ：y j k + 1 u - j , 彳予，总之，命题2 3 和定理2 l 、 定理2 3 及 ，壤) 簿逡捧获褥超线谯l | 5 【竣在不耩确分式袈巅孛罄袋宠，哭不过魏嚣孛 g ( x , y ) 为d 7 x + # ，这里就不再赘述了。 我们注意剿，规划( 腰乞t 扁) 的目标函数中是含有无限个线性式子的在下一节，我 们利用择一定理，在c d 为线髋结构对，能将相廒的不精确分式规划化为在目标函数中 仅含鸯商限个线性式子靛参数溉划来求姆。 ( 玉) 特殊情况下的对偶方法 为了下面讨论问题方便，我们还是考虑不精确分式规划的一般形式 ( 卿 翟 激。4 丽c r x + g ， 冀串，爱c ，d 都蔻群牵豹簿空子集，g ，嚣帮是r 牵的菲空子集，嚣靖稷怒对 妊s ，v 汹e ) e d x e ，都有d x + e 0 。 釉s ，我 门容易证明终醚祭= i n f 。甓，其中害= i n f g , zs upedx + e e e o c , d edx + d 滋麟。 。 。 囡】比不失一般性，在( z 船。) 中，取g 和点为单点爨毛就令我们考虑如下的规划： u p ) s u l 曝p ；i n f ) c l r f x + 巡 e ， 进一步，我们假设 c 拳 f r 8 ：a c s a , c 蛰，a 毫嚣妇，瘁芒晨， d 掌 d 盖”：b d b , d o ，b 盂删，b r j ， c ，d 都是r “中的非空子集，同时v x 毫鼠v d d ，都有d 7 x + p 0 本节的第1 小节我们给出( 铲) 的一个具有简单形式的等价规划；第2 小节我们研究 为构造算法求解( 妤甲) 奠定基础的一些性质；一簇算法谯第3 小节弓i 入，这簇算法有许 多理想的性质 1 个等价的可微规划问题 令t 建一个突变量，我们考纛如下静瘸麓嗣题： ( 伊)s u p t j j 把一g + 矿雄+ 6 7 v s 0 ，( 2 1 9 ) 觑一b r v o x + a r u 0 。 封蒜r ：，v r ：，z e s t e + t d x g c x o ， ( 2 2 4 ) 终i n f 巧c l x 一+ g ， 嚣。2 5 ) m 4 t o d ix + e + 、 鳟喾f ， ( 2 2 6 ) 瞄叠t o d t 夏8 鑫，譬+ g ) 一i 麓f i # ) 0 , c e ，d d ( 2 。2 7 ) 善专 ( ；) 菇三g ，c 。，d 。 q 2 砷 我们对式( 2 2 8 ) 利用择一定理，即下列两种情况恰有一种发生 i i 。d r y 0 , c y o , y o 袁簇y 。 则也就存在w r + ，u r ：，1 r ：，使得 霄+ 么o ， ( 2 2 9 ) 一w苈+b7y0，(230) 懈e - g ) + a 7 u + b 7 v 0 若w = 0 ，则式( 2 2 9 ) 和式( 2 3 0 ) 分别乘以唧和一d ，其中c e c ，d d ，其结果分别记为式( 2 2 9 ) 和式( 2 3 0 ) ，g ( 2 2 9 ) 、( 2 3 0 ) 和( 2 3 1 ) 三式相加，就有 一“7 ( a c 一口) 一v 7 ( b a b ) 0( 2 3 2 ) 但由于c d 都是r ”中的非空子集和甜r ：，v 世，所以式( 2 3 2 ) 是不可能的故不失 一般性，我们在式( 2 2 9 ) 、式( 2 3 0 ) 和式( 2 3 1 ) 中设w = 1 ，于是仃，l l ，v ，x - ) 是( 工p ) 的一可行 解，所以v ( i e ) f 又f v ( x p ) 是任意的，故v ( 归) v ( 所以当v ( i p ) 是有限时， 定理得证 其次，若v ( p ) = + ，从以上证明的第二段可知，对小于v ( 口