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西南大学硕士学位论文中文摘要 广义分支过程及其相应的m a r k o v 积分半群 学科专业：应用数学 指导教师：李扬荣教授 研究方向：应用泛函分析 研究生：常小新( 1 1 2 0 0 6 3 1 4 0 0 0 0 4 0 ) 摘要 关于m a r k o v 过程理论的研究，历来有概率方法和分析方法。近年来，用分 析的方法来研究m a r k o v 过程，数学家们已取得一系列成果。本文着力于使用分 析的方法，以算子半群理论为工具，先系统的研究了广义分支矩阵q 及其转移 函数f ( t ) 的性质，尤其足广义分支矩阵q 在f 上的性质。进一步证明了广义分 支矩阵q 的导出算子q l 。在f 。空间上生成q 一积分半群和导出算子瓦在2 1 空 间上生成正压缩半群，并研究了相应的q 一积分半群和正压缩半群的一些性质。 广义分支过程是一类霞要的时间连续m a r k o v 链，状态空闻e = z + = o ，l ，2 ， ，其q - 矩阵q = ( q i j ；i ，j e ) 定义为： i = 0 i 1 及j i 一1 否则 二：三器：2 三乏三。b h i _ 。0 多妻 c 2 ， b 0 一 b ，jl | l u g 中其 西南大学硕士学位论文 中文摘要 ( i i i ) o l ，8 7 ( 1 ) = + 。喘d 。= + 。 这里q 是方程b ( s ) = 0 的一个根，且0 q 1 ，b ”) 0 ( i i ) e 1 ，b 7 ( 1 ) + o o ( i i i ) o 1 ，b i ( 1 ) = + o o e 喘d x = + 。o 这里q 是方程b ( s ) = 0 的一个根，且0 0 ，a i q 在f 。空间上是满射； ( 3 ) q l 。是耗散算子； ( 4 ) q z 。是闭算子。 定理3 1 2 当定理2 1 1 中三个条件中的任何一个成立时， ( 1 ) q o l 。在l l 空间上是稠定线性算子； ( 2 ) q o t ，是耗散算子，q o t 。是能闭算子，丽是耗散算子； ( 3 ) 对 c a 0 ，入j q o h 在z l 空间上是单射； n 西南大学硕士学位论文中文摘要 ( 4 ) 对v a 0 ，入，一面在l l 空问上是满射 定理3 1 3 当定理2 1 1 中三个条件中的任何一个成立时， ( 1 ) q 在c o 空间上是稠定线性算子； ( 2 ) q 印是耗散算子； ( 3 ) q a ，在c o 空间上是能闭的线性算子； ( 4 ) 对v 入 0 ，, k i q 。在c o 空间上是单射。 在f 5 】中y r l i 着重讨论了转移函数在2 。上的性质，得到了一般的无界q 一 矩阵q 在f 。上生成一次正压缩积分半群。第四章中我们在y r l i 5 的基础上 对广义分支矩阵q 做了一些限制，首先得到了q 导出的算子q k 在i 。空闯上 生成一次正压缩积分半群的充要条件及生成积分q 一半群的条件。进一步的我们 研究。f - q 导出的算子q o h 在z ，空间上生成正压缩半群的条件。我们得到如下结 果： 定理4 1 1 广义分支矩阵q f 。在空闻2 。上生成一正的压缩积分半群t ( t ) = ( 互j ( ) ；i ，j z + ) 的充要条件是定理2 1 1 中三个条件中的任何一个成立此时 ( 7 _ ( ) ) = p ( t ) = 0 巧( ) ) 定理4 】2 当定理2 1 1 中三个条件中的任何一个成立时，q 在空间k 上 生成的压缩积分半群t ( t ) 是积分q 半群。 定理4 1 3 当定理2 1 1 中三个条件中的任何一个成立时，q o l i 在f l 空闻 上生成正压缩半群s ( t ) = ( s ，( ) ；i ，j e ) 且s ( t ) = f ( t ) 第五章中我们在第四章基础上，进一步得出了广义分支矩阵q 2 。在空间l 。 上生成一正的压缩积分半群的次随机单调性和f e l l e r 性。结果如下 定理5 1 1 广义分支矩阵生成的积分半群t ( t ) 是次随机单凋的 定理5 1 2 如果t ( t ) 是广义分支q - 矩阵生成的正压缩积分半群，那么 ( 7 巍( t ) ) = p ( t ) 是f e l l e r 的，丁( t ) 是f e l l e r 的，即，对于j z + ，t 0 ，有 l i m i ，。t , j ( t ) = 0 关键词参数m a r k o v 链；广义分支过程；积分q 一半群；压缩半群 西南大学顽十学位论文 英文摘要 t h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gp r o c e s sa n d i t sc o r r e s p o n d i n gm a r k o v i n t e g r a t e r s e m i g r o u p m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c s s p e c i a l i t y ：a p p l i e df u n c t i o n a la n a l y s i s s u p e r v i s o r ：p r o f l iy a n g - r o n g a u t h o r ： c h a n gx i a ox i n a bs t r a c t i nt h es t ，u d yo ft h e o r i e so fm a r k o vp r o c e s s e s ，t h e r et r a d i ! ，i o n a l l ya r et w om e t h o d s ：t h ep r o b a b l i s t i cm e t h o da n da n a l y t i c a lm e t h o d r e c e t l ym a t h e m a t i c i a n sh a v eg o t as e r i e so fr e s u l tu s i n gt h em l a l y t i c a lm e t h o d i nt h i sp a p e r ，w em a i n l ya p p l ys o m eo f t h e s ec o n ( l u s i o n st oas p e c i f i cq - m a t r i x t h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xq b yu s - i n gt h et h e o r yo fs e m i g t o u p so fl i n e a ro p e r a t o r s ，w ed i s c u s st h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n g q - m a t r i xq a n ds o m ep r o p e r t i e so fi t st r a n s i t i o nf u n ( t i o nf ( t ) ，e s p e c i a l l y t h ep r o p e r t y o ft h eg e n e r m i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xqi nl w eg e tt h a tt h eo p e r a t o r sq z 。d e r i v e d f r o mt h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xqa n dg e n e r a t e sq i n t e g r a t e rs e m i g r o u po n l o o ，a n dt i l eo p e r a t o r sq o f ld e r i v e df r o mt h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - n l a t r i xqg e n e r a t e s ao l l c ep o s i t i v ec o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g t o u po nl a ，t h e nd i s c u s ss o m ep r o p e r t i e so f q i n t e g r a t e rs e m i g r o u pa n do n c ep o s i t i v ec o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g t o u p c o n s i d e rt h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xqw h i c hi sac o n t i n u o u s - t i m em a r k o v c h a i n so i lt i l es t a t es p a e ee = 4 ： o ，1 ，2 ，) a n dt h eq - m a t r i xq = ( q i j ，i ，j e ) ： ag e n e r a l i z e dm a r k o vb r a n c h i n gp r o c e s s ( g m b p ) 1 】x ti sac o n t i n u o u s t i m em a r k o v c h a i no nt h es t a t es p a c ez + = 0 ，1 ，2 ， ，w h e r et h eq - m a t r i xq = q i j ；i ，j z 十) ， i sg i v e i lb y w i t h q i j i f i = 0 i fi la n dj 之i 一1 o t h e r w i s e i v ( 1 )h o 76 疗 r 0 西南大学硕士学位论文 英文摘要 h j 0f o rj 1 幻0f o rj 1 ( 2 ) i no r d e rt oa v o i dd i s c u s s i n gs o m et r i v i a lc a s e ，w ea s s u m et h a tb 0 0 a n d 器2b 0 i ti sc o n v e n i e n tt oi n t r o d u c et h eg e n e r a t i n gf u n c t i o no fs e q u e n c e s 幻；j o a si n ( 3 ) b ( s ) = 凳0 6 j 0 s 1 i nc h a p t e rt w o ，w ed i s c u s st h ep r o p e r t i e so ft h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i x qa n di t sm i n i m a lq f u n c t i o nf ( t ) w eg e tu n d e rg i v e nc o n d it i o n s m a t r i xqi s s t o c h a s t i c a l l ys u b - m o n o n t o n e 、r e g u l a r 、n o n d u a la n dz e r o - e x i ti nt h e o r e m2 1 1 ，w ea l s og e tt h a tu n d e rg i y e nc o n d i t i o n s ，i t sm i n i m a lq f l m c t i o nf ( t ) i su n i q u ea n d h o n e s t ，n o n s t o c h a s t i c a l l ym o n o n t o n ea n dd u a l ；i nt h e o r e m2 1 2 ，a sf o l l o w i n g ： t h e o r e m2 1 1w h e no n eo ft h ef o l l o w i n gt h r e ec o n d i t i o n sh o l d st r u e ； ( i ) 0 1 ，b ，( 1 ) 0 ( i i ) 0 l ，b 7 ( 1 ) + ( i i i ) o 1 ，b ，( 1 ) = + 。oa n d e w h e r eqi st h er o o to ft h es ( s ) = 0w i t h0 t h e n 群d x = + o 。 q1f o rs o m ee ( q ，1 ) ， ( 1 ) t h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i x ( 2 ) t h e ( 3 ) t h e ( 4 ) t h e g e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i x g e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i x g e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i x i ss t o c h a s t i c a l l ys u b - m o n o n t o n e ； i sr e g u l a r ； i sz e r o - e x i t ； i sn o n 。d u a l t h e o r e m2 1 2w h e no n eo ft h et h r e ec o n d i t i o n st h e o r e m2 1 1h o l d st r u e ( 1 ) f ( t ) i su n i q u ea n dh o n e s t ； ( 2 ) f ( t ) i ss t o c h a s t i c a l l yn o n m o n o n t o n e ； ( 3 ) f ( t ) i sd u a l i nc h a p t e rt h r e e ，w eg e ts o m ep r o p e r t i e su n d e rw h i c ho p e r a t o r sq 2 。，一q o l la n d q c od e r i v e df r o mt h eg e n e r a l i z e db i r t h d e a t hc a t a s t r o p h e sm a t r i xqo n ，2 1a n d c or e s p e c t i v e l y w eg e tt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ha i q f 。i si n j e c t i v ea n ds u r j e c t i v e o n ，a l s og e tt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c hq ! 。i sd i s s i p a t i v ea n dc l o s e do p e r a t e ri n t h e o r e m3 1 1 w eg e tt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c ha 1 一q 0 t , i si n j e c t i v ea n ds u u e c t i v e o l l2 1 ，a l s og e tt h ec o n d i t i o n su n d e rw h i c h q o ai sd i s s i p a t i v ei nt h e o r e m3 1 2 w e v d d d删俐如 + + 0 ； q l 。i sd i s s i p a t i v e ； q z 。i sc l o s e do p e r a t e r t h e o r e m3 1 2w h e no n eo ft h et h r e ec o n d i t i o n st h e o r e m2 1 1h o l d st r u e ( 1 ) q o z li sd e n s el i n e a ro p e r a t e ro nl l ； ( 2 )q 0 z l i sd i s s i p a t i v e ，q 0 z li sc l o s a b l eo p e r a t e r ，q 0 z li sd i s s i p a t i v e ； ( 3 ) a i q o ll i si n j e c t i v eo nl l ，f o rv 入 0 ； ( 4 ) h i q 0 1 1i ss u r j e c t ，i v eo n1 1 ，f o rv a 0 ， t h e o r e m3 1 3w h e no n eo ft h et h r e ec o n d i t i o n st h e o r e m2 1 1h o l d st r u e ( 1 ) q c oi sd e n s el i n e a ro p e r a t e ro nc o ； ( 2 ) q c 0i sd i s s i p a t i v e ； ( 3 ) q c oi sc l o s a b l el i n e a ro p e r a t e ro i lc o ； ( 4 ) a 一q c 。i si n j e c t i v eo nc o ，f o rv a 0 y r l i 5 】g o tt h a tt h e r ei sao n e - t o - o n er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt r a n s i t i o nf u n c t i o n s a n dt h ep o s i t i v eo n c ei n t e g r a t e ds e m i g r o u p so fc o n t r a c t i o n so nk b ys t u d i n gt h ep r o p e r t i e so ft r a n s i t i o nf u n c t i o n so nl o o i nc h a p t e rf o u r ，o nt h eb a s i so fy r l i 5 ，w ep l a c e r e s t r i c t i o n so nt h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n g s a r yc o n d i t i o n su n d e rw h i c ht h eo p e r a t e r ( 卜m q l 。 a t r i xq ? a n dg e tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s - d e r i v e df r o mq g e n e r a t e sao n c ep o s i t i v e c o n t r a c i t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u po n ? a n dt h ec o n d i t i o no fg e n e r a t i n gq - i n t e g r a t e r s e m i g r o u p ，a l s og e ts o m ep o r p e r t i e so fq i n t e g r a t e rs e m i g r o u p w ea l s os t u d i n gt h e c o n d i t i o nu n d e rw h i c ht h eo p e r a t e r c o n t r a c i t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u po n q ( n 】d e r i v e df r o mqg e n e r a t e sao n c ep o s i t i v e l la n dt h ec o n d i t i o no fg e n e r a t i n gq i n t e g r a t e r s e m i g r o u p w eh a v et h ef o l l o w i u gr e s u l t s ： t h e o r e m4 1 1t h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xqg e n e r a t e sa o n c ei n t e g r a t e ds e m i g r o u po fc o n t r a c t ，i o n st ( t ) = ( 码( ) ；i ，j z + ) o nl 。i f v i p o s a n d i t i v e o n l y 西南大学硕士学f 记论文 英文摘要 i fo n eo ft h et h r e ec o n d i t i o n so ft h e o r e m2 1 1h o l d st r u e a n d ( ( ) ) i se x a c t l yi t s q f u n c t i o np ( t ) = 0 。j ( t ) ) t h e o r e m4 1 2c o n t r a c t i o ni n t e g r a t e ds e m i g r o u pt ( t ) t h a ti sg e n e r a t e db y q f 。o i lf 。i sq i n t e g r a t e rs e m i g r o u p ，i fo n eo ft h et h r e ec o n d i t i o n so ft h e o r e m2 1 1 h o l d st r u e t h e o r e m4 1 4 一q o t lg e n e r a t e sap o s i t i v ec o n t r a c t i o ns e m i g r o u ps ( t ) = ( 勘( ) ；i ，j e ) o nl l ，w h e no n eo f t h et h r e ec o n d i t i o n so f t h e o r e m2 1 1h o l d st r u e ，t h e ns ( t )f ( t ) i nc h a p t e rf o u r ，w eg e tt h e t h ep r o p e r t i e so fp o s i t i v eo n c ei n t e g r a t e ds e m i g r o u p s t h a tg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xqg e n e r a t e so fc o n t r a c t i o n so nf ，o nt h eb a s i s o fy r l i 5 】 t h e o r e m5 1 1t h ei n t e g r a t e ds e m i g r o u pr ( t ) g e n e r a t e db yg e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xi ss t o c h a s t i c a l l ys u b - m o n o n t o n e t h e o r e m5 1 2i ft ( t 1i sap o s i t i v eo n c ei n t e g r a t e ds e m i g r o u po fc o n t r a c t i o n sb y g e n e r a l i z e db r a n c h i n gq - m a t r i xq ，t h e n ( ( ) ) = p ( t ) i sf e l l e ra n ds oi st ( t ) ，t h a t i s ，l i m i 一码( ) = 0f o ra l l 歹z + a n dt 0 关键词c o n t i n u o u s t i m em a r k o vc h a i n s ；t h eg e n e r a l i z e db r a n c h i n gp r o c e s s ； q i n t e g r a t e rs e m i g r o u p ； c o n t r a c t i o ns e m i g r o u p ； v i i 独创性声明 学位论文题目：亡幺佥塞过猩丞甚担廑鲍丛垒! 垦q y 塞金坐登 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 之，击 学位论文作者：够刖、象叮 签字日期：2d 矿绎莎月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者张唏门、新导师张李扔芬 签字日期：2 _ 0o 仵6 月石日签字日期： 9 7 年多月莎日 西南大学硕士学位论文 第1 章前言与文献综述 第1 章前言与文献综述 1 1 前言 m a r k o v 过程最初足在1 9 0 7 年由俄国数学家m a r k o v 所提出并研究的，经许多 数学家的努力，发展至今已成为概率论中最富理论意义和应用价值的霞要分支。 它在众多领域如物理学、生物学、化学等中都有重要的应用。又由于它的分析方 法简洁、明快，它又在方法上丰富和发展了这些学科。一些具体的m a r k o v 过程 如布朗运动扩散过程都源于物理等自然科学和工程技术；从分析方面看，i t 5 建 立的随机微分方程理论，角谷静夫、d o o b 等人发现的布朗运动于狄利克雷问题 的联系，后来h u n t 等人研究的相当一般的m a r k o v 过程与位势理论的关系都是 应用分析的方法。 2 0 世纪4 0 年代产生了线性算子半群理论，它作为泛函分析的一个霞要分支越 来越被人霞视。算子半群理论在解决抽象发展方程的c a u c h y 问题及在对m a r k o v 过程的系统研究中都成为基本的数学工具。h i l l e 和y o s i d a l 9 8 4 年发现生成定理 以来，线性算子半群理论已得到迅速的发展，它已成为一个对许多分析领域有大 量应用的广泛的数学方法目前，它在分布参数系统现代控制理论滤波和信息处 理偏微分方程及随机过程等各个领域都得到广泛的应用。我国的数学家应用线性 算子半群理论在人口问题弹性震动问题及中子迁移理论等具有实际问题背景的 研究中得到了一批出色的成果。随着线性算子半群理论的产生和发展，数学家们 开始用线性算子半群理论研究m a r k o v 链，并取得了用概率方法无法得到的广泛 结论。如f e l l e r 和r u t e r 在参数连续m a r k o v 链引入的泛函分析半群方法得到的 丰富结果，以及l i y r 建立的m a r k o v 积分算子半群理论。 广义分支过程足一类特殊的m a r k o v 链，引起了许多研究学者的兴趣。在分 析方面，如著名的学者a n y u ec h e n ，r r c h e n ，李扬荣等人都有深入而重要的 研究。本文使用分析的方法，以线性算子半群理论为工具，对广义分支过程进行 研究本文则着力讨论了它的矩阵及其最小q 一函数的性质，利用线性算子半群 理论研究这一特殊的m a r k o v 过程，从而建立了q 一矩阵与算子半群之间的联系 1 2 文献综述 一个给定的m a r k o v 过程，存在与之相对应的转移函数( 文献【l 】) ；反过来， 给定一个转移函数，总能构造一个m a r k o v 链，使得此转移函数就是该m a r k o v 链 相对应的转移函数，也就是说转移函数与m a r k o v 链是一一对应的。因此，我们 甚至可以说转移函数就是m a r k o v 链，而实际上a n d e r s o n 在文献【l 】中研究的主 1 西南大学硕七学f 记论文第1 章前言与文献综述 要对象也是转移函数，由此可见转移函数在m a r k o v 链理论中的重要地位。在此 我们声明，本文所涉及的转移函数均为标准转移函数。 ge r 于1 9 5 7 年，在【6 】就研究了与q 函数相对应的c o 半群的生成元与驴 矩阵q 之间的关系。ge r 的研究主要讨论算子q 0 1 1 和q ( t l 空间上q 一矩阵q 有极大定义域的算子) 与转移函数满足前、后项方程之问的关系。g g 【7 - 9 】中证 明了m m 1 排队模型导出算子q 在z 1 上能生成c o 半群，y r l i 1 0 1 对这一结论 进行了改进，给出厂生灭矩阵导出算子在i l 上能生成c o 半群的条件；b z h u 1 1 1 给出了生灭矩阵导出算子在c o 空间上能生成c o 半群的条件；y y s h a n g 1 2 1 证明 了m m 1 排队模氆导出算子q 在c o 空间上能生成c o 半群。 a n d e r s o n 在【l 】中，对于q 一矩阵q 的任意转移函数p ( t ) ，p ( t ) 在f 1 空间上 是一正的强连续压缩半群。而若p ( t ) 是k 上的正c o 半群，那么这个半群一定是 l o o 上的一致连续半群，这是一种甲凡的情形，但要求p ( t ) 所对应的q 一矩阵q 是 k 上的一致有界q - 矩阵。而实际生活中所遇到的参数连续m a r k o v 链所对应的 口_ 矩阵通常都不满足此性质。a n d e r s o n 1 1 认为k 空间太大了，不可能在其上得 到一些有价值的结果。针对此问题，w q z h a o 1 3 1 在f 。空间中找到了一个充分 大的子空间，使得转移函数是其上的正的强连续压缩半群；y r l i 5 1 4 1 充分利 用近年来发展起来的积分算子半群理论，证明了转移函数是f o 。空间上正的一次 强压缩积分算子半群( 我们称作m a r k o v 积分算子半群) ，得到了转移函数与f 空间上正的一次强压缩积分算子半群的一一对应关系。迄今为止，这是首次应用 积分算子半群理论来研究参数连续m a r k o v 链。 对于广义分支矩阵，c h e nrr 研究它的正则性，a n y u ec h e n 已研究了它的 遍历性和稳定性，李扬荣研究了它的f e l l e r 性。在他们的基础上，本文将以算子 半群理论为工具，首先系统的研究r 广义分支矩阵及其转移函数f ( t ) 的性质， 特别是广义生灭突变矩阵在f 。上的性质。然后进一步得出广义分支矩阵的导出 算子q f 。在f 。空间上生成q 一积分半群和导出算子瓦在f 1 宅间上生成正压缩 半群，并研究r 相应的q 一积分半群和正压缩半群的一些陛质如次随机单调性和 f e l l e r 一睦。 1 3 预备知识 为了叙述方便，我们列出一些相关的概念及相关的结果 定义1 3 1 ( 见【1 1 ) ( 参数连续m a r k o v 链) 以可数集e = o ? 1 2 ) 为状态空 间，定义在概率窄问( n ，只p ( r ) ) 上是随机过程 x ( t ) ；t 0 ) 称作参数连续m a r k o v 链，如果满足对于任意有限个“时问”参数0 t 1 t 2 t 。t 。+ l ，及对应的状 2 西南大学硕士学位论文 第1 章前言与文献综述 态i l ，i 2 ，i n - 1 ，i ，j ，当p r x ( n ) = i ，x ( t ，1 ) = i 。一l ，x ( t 1 ) = i l 0 时，有 只 x ( k 十1 ) = j l x ( t ，：) = i ，x ( t 。一1 ) = i - l ，x ( t 1 ) = i l ) = 辟( x ( k + 1 ) = j x ( t 。) = i 此等式称为m a r k o v 性质。如果对于_ s ，t 满足0 s t 及任意i ，j e ，条件概 率r d x ( t ) = j l x ( s ) = i ) 只依赖于t 8 而与8 ，t 无关，则称随机过程 x ( ) ；t 0 ) 是齐次m a r k o v 链。此时p d x ( t ) = j l x ( s ) = i ) = p d x ( t s ) = j l x ( 0 ) = i 称 p i j ( t ) = b x ( ) = j l x ( o ) = i w ，j e ，t 0 为该随机过程的转移函数。 定义1 3 2 ( 见 1 j )( 标准转移函数) 设可数集e = o 1 2 ) 为状态空间 p ( t ) = p i ，( t ) ；i ，j e ，t 0 ) 称为标准转移函数，如果它满足： ( 1 ) 对任意的t o , p i j ( t ) 0 且 啪吼= ： ( 2 ) 对任意的i e ，t o , e j e e p i j 1 ；特别地，若对v t 0 ，i e ，j e e p i j = 1 ，则称 只，j ( t ) ；i ，j e ，t o ) 是忠实的，否则称为非忠实的； ( 3 ) 对任意的i ，j e ? p i ，j ( t + s ) = k 6 e p i k ( t ) p k j ( s ) ； ( 4 ) 对任意的i e ，l i m t 。0 p i i ( ) = l 或等价的，对任意的i ，j e ? l i m t - - o p i ( ) = 如( 标准性) 本文始终假定转移函数足标准的，即满足上面的( 1 ) 到( 4 ) 同时由文献【1 】 知，标准的转移函数存在如下形式的极限： 11臻必：g巧，jet t 一0 一。 我们规定q = q i j ii ，j e 】，则得到q 矩阵q 及相关概念的定义。 定义1 3 3 ( 见 1 】)( q - 矩阵) 矩阵q = q i j ；i ，j e ) 称为q 矩阵，如果它 满足： 0 q i ，+ o ov i ，j e ，i j q 巧一q i i 兰q is + o o ， v i e j # i 如果对任意的i e ，q i 0 称为预解函 数，如果对v i ，j e ，a 0 满足 ( 1 ) r _ l a ( a ) o ； ( 2 ) 入j e r o ( m 1 ； ( 3 ) r i j ( a ) 一r i j ( 1 t ) + ( a p ) a 七en k ( 入) r 幻( 弘) = o ( 预解方程) ( 4 ) l i m ：+ a r i i ( a ) = 1 或等价地，l i m x + 。a r i j ( a ) = 6 i j 设p i j ( t ) 是转移函数，则其相应的预解函数定义为 ，+ o o 7 巧( a ) = e 一 p i j ( t ) d tv i ，j e ，a 0 定义1 3 7 ( 见【1 8 】)( 随机单调函数) 一族无限维非负矩阵s ( t ) = ( s 玎( ) ) 称为随机单调函数，如果s ( t ) 满足不等式： s 幻( t ) 帆功( t ) ， v i ，j e ，t 0 j ka k 定义1 3 8 ( 见【1 9 j ) ( 对偶函数) 一族无限维非负矩阵s ( ) = ( 吼，( ) ) 称为 4 西南大学硕士学位论文第1 章前言与文献综述 对偶函数，如果s ( t ) 满足： ，l i r a 。一z & ：( ) = o ，v j e o k = 0 定义1 3 9 ( 见f 2 0 1 )( f e l l e r 函数) 一族无限维非负矩阵s ( ) = ( s i a t ) ) 称为 f e l l e r 函数，如果s ( t ) 满足： ，l i m 乳j ( t ) = 0 ，e ，t 0 1 ，十。 定义1 3 1 0 ( 见 1 0 ，1 1 1 )q 矩阵q 导出算子之问有如下关系： 鳓，= 玩= q f 。 q = 蕊了= q z 。 定义1 3 1 1 ( 见【2 l 】)( 单调q 一矩阵) q 一矩阵q = ( q i j ) 称为单调的，如果q 满足不等式 q t 七q i + 1 1 ， j i + l 惫j膏三j 定义1 3 1 2 ( 见 2 1 1 )( 对偶q 一矩阵) g - 矩阵q = ( q i j ) 称为对偶的，如果q 满足不等式 j i 定义1 3 1 3 ( 见 1 ) ( f e l l e r q - 矩阵) q 一矩阵q = ( q i j ) 称为f e l l e r 的，如果 e ，一0 当i o 。 定义1 3 1 4 ( 见f 1 】)( 对偶矩阵) 若矩阵q ( 1 ) 与矩阵q ( 2 ) 满足下列关系： + q 。( 2 ) _ ( 西? 一q ；) ，i ，j e ， 良= l 其中q 翌 兰0 ，我们称矩阵q ( 2 ) 是矩阵q ( 1 ) 的对偶矩阵 定义1 3 1 5 ( 见 2 l j ) 一个g - 矩阵q 在f 。o 空间或者在? 矗空间上是零流出 的，如果它分别满足l ( a ) = o t 或f 麦( a ) = 0 ；q 一矩阵q 在1 1 空间上是强零 5 七吼 ，脚 一 七q ， 西南大学硕十学位论文 第1 章前言与文献综述 流入的，如果它满足2 l ( 入) = 0 ；q 一矩阵q 在f 空问上是零流入的，如果它满足 f ( a ) = 0 其中： f ，。( a ) = 。ef 。i ( a ，一q ) z = o ) ，f 之( a ) = z f 。( a ) i z o ； f 1 ( a ) = y f l l 可( a ，一q ) = o ) ，2 _ ( a ) = y h ( a ) l y 0 ) 注意：众所周知，一个铲矩阵q 在f 。空间是零流出的与在f 支空问上足零 流出之间是等价的关系。因此，我们将它们统称为零流出。但q 一矩阵q 的强零 流入性与零流入性之间不定存在等价关系( 见文献 2 0 】) 定义1 3 1 6 ( 见 1 5 】) ( 强连续半群) 设x 是b a n a c h 空间， 7 ( ) ；t o 是映 x 到x 内的有界线性算子的单参数簇。如果它满足： ( 1 ) 丁( o ) = ，( ，是x 上的恒等算子) ： ( 2 ) t ( s + ) = 丁( s ) z 1 ( t ) 对于一切s ，t 0 成立( 半群性质) ； ( 3 ) 3l i m t 一0 | | r ( t ) x zl l = 0 对于一切z x 成立( 强连续性) ，则称 f ( ) ；t o ) 是强连续半群或c o 类半群，简称伽半群。 定义线性算子a 如下： 叩) = xex ；嬲半| ) 且对任意的z d ( a ) ，规定 a z = 溉华一d + t 理。( t ) x i 删 则称a 是半群 丁( ) ；t 0 的无穷小生成元，简称生成元，d ( a ) 是生成元a 的 定义域。 定义1 3 1 7 ( 见【1 5 】)( 压缩半群) 设x 是b a n a c h 空问x 上的c o 半群，如 果对任