（理论物理专业论文）自旋轨道耦合系统中的几何相位.pdf

中文摘要 m v b e r r y 认为一个非简并的、哈密顿量为h ( r ) 的量子系统 沿着参数空间r 中的闭合路径c 作周期性绝热演化时，波函数中 会累积一个不可积相位y 。( c ) ，被称为b e r r y 相位。后来它被推广 到了适合非绝热、非周期演化过程中的a h a r o n o v a n a d a n 相、 s a m u e l b h a n d a r i 相位。b e r r y 相位已在核物理，光学，原子分 子物理，固体物理等系统中都得到实验验证，而且b e r r y 相位的 出现是一种几何效应，是与系统整体性有关的。本文讨论了一个 自旋轨道耦合系统的几何相位问题。 对于处于外磁场b 中的一维介观金属环，介观环平面与b 的方 向相互垂直，当电子沿着这个环运动时，会感受到一个绕其旋转的 动态磁场的影响，这一动态磁场引起的塞曼效应会诱导产生电子的 自旋轨道耦合效应。 若电子沿着介观环作缓慢的绝热的运动，即系统在经过周期 性的绝热演化之后，系统的波函数中除了出现动力学相位外，还 会得到一个与系统在参数空间中的演化路径有关的b e r r y 相位。 这一相位的第二项2 n m o o 是人们所熟知的a b 相位，说明虽然电 子不受到定域的电磁力的作用，但是会受到电磁势矢势a 的影响， 而第三项疬弘( 1 一c o s 0 2 ) 则与自旋轨道耦合系数孝，说明由外磁 场引起的自旋轨道耦合效应会影响到系统演化的波函数的几何相 位。同样的介观环系统作周期性的非绝热演化时，波函数中会出 现a h a r o n o v a n a d a n 相，它是与投射希尔伯特空间中的闭合曲 线有关，是波函数作周期性演化所取得的异和乐( a n h o l o n m y ) 。在 非绝热、非周期性演化过程中的s a m u e l b h a n d a r i 相位是与投射 希尔伯特空间中连接演化曲线的两个端点的测地线的积分有关。 关键词：b e r r y 相位a a 相位s b 相位自旋轨道耦合 a b s t r a c t 醅。￥b e r r yc o n s i d e r e dt h a t w h e n a q u a n t a l s v s t e 王珏 w l t han o n d e g e n e r a t eh a m i 1 t o n i a ns l o w l yt r a n s p o r t e d r o u n da c i r c u i tfi n v a r y i n gp a r a m e t e r sr ，t h e r e w o u l db ean o n i n t e g r a b l ep h a s en a m e d b e r r yp h a s ei n t h ew a v e f u n c t i o n t h e ni tw a s e x t e n d e dt o n o n a d i a b e t i a e v o i u t i o na n dn o n a d i a b a t i c n o n e v e l i c e v e i u t l o n a h a r o n o v a n a d a n p h a s ea n ds a m u e l 一 b h a n d a r i p h a s ec a nb e c a l c u l a t e di nt h e a b 。v e e v o l u t i o n b e r r yp h a s eh a sa l r e a d yb e e nt e s t e da n d v e r l f l e d 1 n n u c 差e a r p h y s i c s ，a t o ma n dm o l e e 娃1 a r p h y s l c s ，a n ds o li d p h y s i e se t c t h e a p p e a r a n c eo f 珏e r r yp h a s eisag e o m e t r i c a i e f f e c t i tis r e l a t e d w l t ht h e g l o b a l i t y i nt h i s p a p e rw ed i s c u s st h e g e o m e t r i c a lp h a s ei n a s p i n o r b i t c o u p l i n gt e r m ， 骥ec o n s i d e rt h a te l e c t r o n s m o v ea r o u n da 璎e s o s c 。撑i c m 。t a l l i c r i n g i na n e x t e r n a l m a g n e t i cf i e l db p e r p e n d i c u l a rt ot h er i n gp l a n e s i n c e m o v i n g8 r o 拄建d am 。8 0 s c o p i em e t a l 1i c r i n g ，i nt h er e f e r e n c es y 8 t e m w h e r e e l e c t r o n sa r e s t a t i c ，e l e c t r o n sw i l lb e e q u i v a l e n t l ya f f e c t e d b y a m a g n e t i cf i e l d ，w h i c h r e v o l v e sr o u n dt h e m t h i sm a g n e t i cf i e l dw i l li n d u c e t h e s p i n o r b i t c o u p t i n ge f f e c t j t e i e c t r o n sm o v ea r o u n d t h e m e s o s c o p i cm e t a l li c r l n g a d i a b a t i c l y ，t h e p h y s i c a l s y s t e mw i l l e x p e r l e n c 。a na d i a b a t i cc y c l i ce v o l u t i o n t h e r ew i l l 玲e a 彗e r r yp h a s ei nt h ew a v ef u n c t i o n ，w h i c hd e p e n d s 2 t h ee v 0 1 u t i o no u r v eo ft h es y s t e e i na d d i t i o nt ot h e f a m i l i a rd y n a m i c a l p h a s e t h e s e c o n dt e r eo ft h is b e r r yp h a s e2 万国辔。i st h eu s u a la b p h a s e 1 l i s r es u l ts h o w st h a te 1e c t r o n sc a n n o tb ei n f l u e n c e db y t h e d y n a m i a e f f e c tb u tw i l1b ei n f l u e n c e d b y t h e e l e c t r o m a g n e t i cp c t e n t i a le n e r g y t h e t h i r dt e r e 赡馨i e o s 国2 i sr e l a t e dt ot h es p i n o r b i tc o u p l i n g e f f e c t 善t h es p i n - o r b i tc o u p l i n ge f f e c ti n d u c e db y t h ee x t e r n a t m a g n e t i c f i e l dw i1 1i n f l u e n c et h e g e o m e t r i c a lp h a s e 。 w h e nt h e s y s t e mu n d e r g o e s a n o n a d i a b a t i e c y c l i c e v 0 1 u t i o n ，a h a r o n o v a n a n d a n p h a s e 帮i t lb er e l e v a n tt ot h ee l o s e dc u r v ei nt h e p r o j e c th il b e r ts p a c e 只i tist h ep h a s ea n h 0 1 0 n o e y a s s o c i a t e dw i t ht h e c y c l i e e v o l u t i o n o f ￥。i n n o n a d i a b a t ien o n c y c l i ce v 0 1 u t i o nt h es a m u e l b h a n d a r i p h a s e i sr e l a t e dt ot h e i n t e g r a io lt h e g e o d e s i c s ，w h i c hc o n n e c t st w op o i n t o f ，t h es y s t e e e v o l u t i o nr o u t ei nt h ep r o j e c t h i 。i b e r ts p a c e 敬 一 k e yw o r d s ：b e r r yp h a s e ， a h a r o n o v a n a n d a n p h a se ， s a m u e l b h a n d a r i p h a s e ， s p i n o r b i tc o u p l i n ge f f e c t 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得墨注盘堂或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：易锄赢k 签字日期：孔弓年f 月f 户日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解鑫注盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘生态堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：易南歉导师签名：韦刁砂形哦7 签字日期：一弓年1 月i v - e t 签字日期：弓年，月“一日 前言 月u 菁 杨振宁先生在纪念薛定谔( s c h r s d i n g e r ) 诞辰1 0 0 周年的文章中，曾 引用狄拉克( d i r a c ) 的一段重要的话： “量子力学的主要特征并不是不对易代数，而是概率幅的存在。后者 是全部原子过程的基础。概率幅是与实验相联系的，但这只是问题的一部 分。概率幅的模方是我们能观测的某种量，即实验者所测量到的概率，但 除此以外还有相位，它是模为1 的数，它的变化不影响模方。但这个相位 是极其重要的，因为它是所有干涉现象的根源，而其物理含义又是极其隐 晦难解的。所以说，海森堡( h e i s e n b e r g ) 与薛定谔( s c h r 6 d i n g e r ) 的真 正天才在于他们发现了包含相位这个物理量的概率幅的存在。相位这个物 理量很巧妙地隐藏在大自然中。正是由于它隐藏的如此巧妙，人们才未能 更早建立起量子力学。” 概率幅也称作几率幅，指的是量子力学中的最基础的物理量一波函数 、壬，( r ，f ) ，它可以用来描述量子尺度下系统的物理状态。在系统演化的过程 中，波函数q j ( r ，f ) 的相位也在不断地发生变化。虽然就空间上某一点而言， 波函数的相位没有确定值，不可观察，但是相位差却是一个可观测的物理 量。对于在空间上相距有限距离的两点，波函数的相位差可以是有确定值 的物理量，此时的相位差只依赖于两个端点，与连接两点的路径无关，这 种相位差会导致通常的干涉现象。 而早在1 9 3 0 年，狄拉克就指出，波函数的相位还有另外一种可能性， 即存在一类波函数，它在有限距离的两点的相位差仍然是不可确定的，它 的值依赖于连接两个端点的路径的形状，这时只有相邻两点的相位差才有 确定的值，这种相位被称为不可积相位。但在量子力学中，对有限距离的两 点的相位差必须具有确定值的要求是多余的，去除这种要求，就可以揭示 一个新的物理内容一规范场。规范场是由杨振宁和m i l l s 建立起来的，它 是2 0 世纪物理基础的最重要发现，而规范场却恰恰来自于不可积相位。 对于这个不可积相位的研究是到了上世纪8 0 年代中期才有了新的进 展。1 9 8 4 年，英国b r i s t o l 大学的物理学家b e r r y 提出系统在作周期性绝热 前言 演化时，波函数中会出现一个不可积相位，即b e r r y 相，它与系统演化的 路径的几何结构有关。自此以后，人们对这种依赖于演化路径的不可积相 位就有了更多的关注，并对b e r r y 相作了一系列的推广：使得对b e r r y 相、 几何相位的研究成为物理学的热点之一。 第一章b e r r y 相位及其推广 第一章b e r r y 相位及其推广 1 1 量子力学波函数相位的惯约他1 设含时s c h r 6 d i n g e r 方程为 琥旦o t 、王，= a ( f ) 归 ( 卜1 ) 含时哈密顿量a 是随时间缓慢变化的， 丑o = 1 , 2 ，刀) 是一组外 参数。自的瞬时本征方程为 白( f ) 、“( f ) = e n ( t ) w n ( t ) ( 卜2 ) 若已知t = o 时刻的波函数，则f 时刻波函数可表示为 酆) = 雌) e x p k 肛( f ，) 吐， ( 1 - 3 ) h 、 7 将上式代入含时s c h r s d i n g e r 方程( 卜1 ) ，可以得到一方程组 小一e 印锄( 也k ，) 。吒知扎a ， 对瞬时本征方程( 1 2 ) 求微分，则 等州+ 哮w = 警焖+ e n 知s ， 第一章b e r r y 相位及其推广 上式两端左乘甲二( f ) ，并对坐标f 求积分： 一百o h 虮心白昙匕d r = e n ma f o _ v 力6 ) 利用厄密算符的性质，上式左端第二项等于 所以( 1 6 ) 式化为 m a 妄k d 弘心昙匕d f ( - 一，) 肛警匕d f = 慨一) m 鲁匕d r ( 一8 ) 这样方程组( 1 4 ) 中的积分就表示成如下形式： m 知：害 。， 对正交归一化条件( 似匕d r = 1 ) 求微分 且昙峨) 匕d r + m 鲁匕如= o ( 1 - 1 0 ) 因为上式左端的两式是互为复共轭的，因此每一项必须为纯虚 数，这样才能满足两式相加为零，所以可以令 第一章b e r r y 相位及其推广 m 昙匕如刮嘶) ， ( 卜 其中口( f ) 为实数。 由于在任一时刻，本征函数的相位是任意的、不确定的，所 以可以定义一个新的本征函数一，使之与相比有一个相位的 变化7 ( t ) ，即 k = k e f ，( ( 1 - 1 1 ) 此时可以计算出： 心+ 扣d r = i a ( r ) + 磊d 胁( 1 - 1 2 ) 观察上式，如果对，( f ) 的取值作一个约定，即选取 巾) = 一口( f m ，( 1 - 1 3 ) 那么就使得( 卜1 2 ) 式中的积分为0 。 因此，自量子力学建立以来，人们一直有一项习惯的约定， 就是对所有的n ，本征函数、匕的相位都可以取为 其中 y ( f ) ；f j ( 一l 而冲，( 1 - 1 4 ) ( 玎i 卉) = f v ：言t u r ，( 1 - 1 5 ) 第一章b e r r y 相位及其推广 f ) 是用d i r a c 矢的形式来表示在坐标表象下的本征函数、以。 这一习惯约定的出发点是：人们认为本征函数的相位没有任 何物理意义上的可观测的效果，所以可通过适当的定义使得全套 本征函数的相位恒为0 ，这种约定在一段时期内一直被人们认为 是合理和可行的。 1 2 b e r r y 相位的提出 1 9 8 4 年，英国b r i s t o l 大学的物理学家m v b e r r y 发现，并不 是所有的量子系统在演化时，波函数的相位都可以通过作一个约 定使之变为零。他考虑一个非简并的量子系统，其哈密顿量为 h ( r ) ，r = ( x ，y ) 为缓慢变化的外参数。若该量子系统沿着参 数空间中的闭合路径r ( f ) 作周期性绝热演化，r ( 0 ) = r ( t ) ，其中 演化周期t 的取值很大。若参数空间中的演化路径用闭合曲线( 回 路) c 来表示，那么系统所满足的含时s e h r s d i n g e r 方程为 盘 i h 兰i y ( f ) ) = i = i ( r ( f ) 】甲( f ) ) ( 1 - 1 6 ) 在任一时刻，系统的瞬时本征态满足的方程为 1 2 i ( r ) w n ( t ) ) = e n ( r ) i ( f ) ) ( 1 - 17 ) 设系统初态处于某一瞬时本征态 甲( 0 ) ) = i 匕( r ( o ) ) ) ( 卜1 8 ) 根据量子绝热定理的描述，如果在f = 0 时刻，系统处于瞬时本征 态 、( r ( o ) ) ) ，那么在，时刻，系统将保持在与初态相对应的瞬时 本征态【w r n ( r ( f ) ) ) 上。所以b e r r y 考虑的系统演化到t 时刻时，系 统将处于j ( r ( f ) ) ) ，此时系统波函数写为 釜= 惹堡：! 塑垒墨墓燕 掣g ) = 鲻 砉磊担) 净o x p ( i r 。器刊g 醐， ( 1 一1 9 ) 上式意端第一个摇数颡予藏楚动力学禳彼。褥系统渡黼鼗酶衰逮 戏( 1 1 9 ) 代入鑫对s c h r 嚣d i n g e r 方稷( 1 1 6 ) 褥剥 扎 = ；( ￥。( r ，) ；芸￥。穗国黟 = f 归。( r ( o ) j v r ￥。承( 翁，建国 ( 1 - 2 0 ) 稳为0 。酃 f 承v 。淑( f ) ) i v 凝甲。( r ( f ) - d r = 0 c 这秘攘整只婊羧予秘悫拳l 表态，琴藏羧嚣黪获分；建一秘可织静 相位( i n t e g r a b l ep h a s e ) 。 薅b e r r y 耱重要嚣献魏在予，毽掇搿这个稳住舞稼是必然 积的，她认为装y 。o ) 不能袭示成铃参数r 的瞒数形式，在r ( 0 ) 一r ( t ) 辩，如铲) 毋y 。( ，( f ) 簸鼹一个不可舔穗位。按b e r r y 静 堪论，当系统宠残一鼹演纯嚣重，波器数娥为 v ( 蹶z e x p 一i i 薹乓 ) j 勘啦。岛( c ) l 掣( 嘴( 1 2 3 ) 其中几何相位变化( g e o m e t r i c a lp h a s ec h a n g e ) 可表永为 第一章b e r r y 相位及其推广 ( c ) = h ( 丁) 一h ( o ) = f 水、壬，。( r ) l v r 、壬，。( r ) ) - d r = 0 ( 1 - 2 4 ) c 可见h ( c ) 作为一个回路积分，它与演化路径c 的几何结构有关， 是一个不可积相位。并且由于波函数的归一化可以推出 ( 甲。( r ) v r 甲。( r ) ) 是纯虚数，这样也就保证了h 是一个实数。利 用斯托克斯定理可将( 卜2 4 ) 化成一面积分形式 h ( c ) = 一h i lj p v ( 1 w 。) ( 1 - 2 5 a ) c = 一i m f f d s - ( v 、匕v 匕) ( 1 - 2 5 b ) c d s 代表外参数空间的面元，插入完备集i m ) ( m i ，上式变为 j n 如( c ) = 一i m j p ( v 匕i ) ( v 陬) ( 1 - 2 5 c ) c 利用下述关系式 就得到 其中 ( 帅啦掣掣( 1 - 2 6 ) ( c ) = 一j p ( r ) ( 1 - 2 7 ) c 哪川m 互业墚等器蚴z s ， 所以在经过一个周期演化后波函数总相位包括两部分，即动力学 第一章b e r r y 相位及其推广 相位e x p 一j i f e n ( r ( t ) ) d t 和不可积相位y n ( c ) ，后者被称为b e r r y 相位或几何相位。它可以看成在参数空间中的类似磁单极场通 量，虽然不是物理的磁单极，但它的矢量势、场强都和磁单极类 似，可称为磁单极类型的势和场，这是b e r r y 对量子力学的重要 贡献，这一理论很好的展示了量子力学的拓扑性质，是自 a h a r o n o v b o h m 效应以来对物理学整体性认识的一个重要的里 程碑。 1 3 高维空间中的b e r r y 相位 b e r r y 相位很快就被b s i m o n 用纤维从理论来解释，并将 b e r r y 相位推广到高维空间中。在高维空间斯托克斯定理不再适 用，利用外微分理论可以得到b e r r y 相位 yc = s 8 r v 其中越是参数流形的边界，y 是2 一形( 2 一f o r m ) ( 1 2 9 ) 矿= i ( d e ，押) = ，m c 筹，考 出，( 1 - 3 0 ) 、壬，是定义在哈密顿量a ( x ) 的零能量本征空间里的任意一条光滑 的单位矢量。 1 4 b e r r y 相位的推广 b e r r y 最初的工作有些局限性，主要表现在：系统无简并 系统作绝热演化( 即无限缓慢演化) ，从而无能级之间的跃迁 第一章b e r r y 相位及其推广 周期性演化：系统演化在哈密顿量的参数空间中进行；系 统哙密顿爨是疋密熬。惹寒一系刭攘广工髂将上述限割一一取游 了。 1 4 1 系统的能级是n 重简并的 w i l c z e k 和a ，z e e ，s e g e r t 取消了限制。w i l e z e k 和a z e e ”。 考虑系统的啥密顿量为l ( r ) ，且能缀是n 爨篾荠娓，逶 建对能霪 进行二次归一化，可以假设只有在e = 0 时才出现能级简并情况。 蘧键还指爨当系统具鸯一定黪慰稳蠖瓣方会窭现上述情况，铡翔 绕轴旋转运动，方向由r 确定。当简并度n = 1 时( 即觅简并情 况) ，裁霹鼓过渡翻了b e r r y 讨论嚣戆凝。 1 毒+ 2 缝热条佟戆激灌 b e r r y ，g a r i s o n 和c h i a o 考虑了蠢隈懂演化蛇壤况。b e r r y 利 用么正变换得到了相位的迭代级数方程，并证明由于有限慢演化 过稔导致擞子跃迁，籀位相对于绝热过程的偏离若= 圭必然发散。 繇黼璞，n a k a g a w a _ 穰g e r b e r t 遣考虑了偏离绝熟避搓辩，死搿糖 位的修正。其中孙昌璞7 1 引用准绝热近似的方法分析了几何相位 的变化。 他指出满足禽时s c h r 6 d i n g e r 方援的解为 ￥国= 车国唧 一言壤穗) 磁，) 杈) - ( 1 - 3 1 ) 将其代入s c h r 6 d i n g e r 方程并作积分可以得到关于a n ( f ) 的方程组 嘣静吒刍k ) = 一三纸 第一章b e r r y 相位及箕推广 e 冲 一言f 嘶一( 岛( r ( 哟) 一瓯( r ( n ) ) ) ( 甲二刍匕) ( 1 - 3 2 ) 假设参数r ( t ) 的变化周期为t ，r ( r ) = r ( o ) 。对于滗穷缓慢的绝热过 耩，r 一。，丽对于周麓t 有限的缓变过程，绝燕条释将被破坏。 令穗瓣辩润s ；参，。s l ，著设 厶= g 弛( 盯) 唧等等如一帆节) ) - e n ( r ( ) ) ( 吒( r ( s ) 昙弧( s 7 ) ) 3 ( 1 3 3 ) vu， 您义算符q 。爷) 和单值连续函数球。( 国 q 删( s ) = 瓦 瓦+ 甄1 西0 ，( ，一3 4 a ) 刚利用分舔积分公式 拶) = g ( 如一e n ) d s 。( t - 3 4 b ) ，i f ( t ) e i f l ( t ) d t = e 删i f ! t ) 函争( _ i ) n - i q n - 1 ，( f ) ( 1 - 3 5 a ) k 势c 一妒塑孥掣) f 言k ) ( 1 - 3 5 b ) 将其代入( 1 3 2 ) 著澎s 镦分 羔s a m ( s t ，+ ( 昙 嘣跚= 一互争 第一章b e r r y 相位及其推广 昙 筹心棚，) ，昙) a m ( s t ) ) ( 1 - 3 6 ) 令口，( ”) = ( 一票) ”6 聊( s ) ，并代入上式，比较彳1 的同次幂项的 n = o 41 系数，可以得到 丢螂】( s ) + ( 甲m + 旦o s v n ) 6 聊( 印= 。， ( 1 3 7 ) 芸糍】( 回+ ( 吒昙) 6 船( 印= 尸】( s ) ， ( 1 3 8 ) 这里 b ) - 一篇篇v 荆a - - b e , - h - q ( s ) 掣 ( q 。c s ，严( 吒昙) ( 1 - 3 9 ) r n lr 九 利用初值6 搿( 0 ) = a m ( o ) ，6 别( o ) = 0 ，= 1 ，2 ，。则 0 级近似为 拶( 驴删唧嬲7 ( 甲m ( r c ) 昙7 ) ) ) ) ，( 1 - 4 0 a ) f 级近似为 期= ( 鬻p 帆即h p 吒7 ) ) j s 二w n ( r ( 泖啪( 1 - 4 0 b ) 当在绝热极限( 丁一o o ) 时，只取0 级近似，( 1 - 4 0 a ) 恰好可以给 出经典b e r r y 相位。 第一章b e r r y 相位及萁推广 1 4 3 非周期性演化出现的几1 - 7 相俄 对于在非髑期性演化过程中出现的几何相位，也有很多入作过 讨论。其中吴致对亵李华锋聃3 指出，若系统在参数空闼中匏演让路 径是开放路径，那么虽然可以通过选择适当的瞬时本征态的相位， 镬褥系统滨必豹渡爨数串戆蔻嚣稳位溃必，毽楚著不楚藤予耩毒熬 开放路径来讲，都可以通道这样的选择使得不可积相位消失，也即 系统奁作j 璃麓佳演纯辩纛会存穰尼侮秘位如( 芬，并撵窭霉嚣裁灞 核磁共振实验( n m r ) 和核嬲极共振实验( n q r ) 来验证。 而j o r d a n t g 在p a n c h a r a t n a m 相位的基础给出了b e r r y 相位的另 令定义。德谈轰穰盈麴交位是爨一系戮交换蹶产生戆。考虑一态 矢i m ) ，设u 为 u ( 秘= s 。s 2 s l ， ( 1 4 1 ) 岛，s 2 ，s g 是么i e f f - 符，( 日2 1 ，2 ，q ) ，鼠u ( 0 ) = 1 。那么当 似i u ( q ) s q + l u ( q ) l m ) ， ( 卜4 2 ) 楚正赛数，f m l u m ) 嚣零霹，垂 m u ，= 艄 ( 1 - 4 3 ) 确定豹鞠短鄹必b e r r y 据攮a ，搿( u ) 是u | 搬) 与| m ) 之阉糖差鹃糖经， 如果，。= 0 ，则u m ) 与i 删) 就具有相同的相位。( 1 - 4 2 ) 式为正实数的 条律意昧羞一系列交换串，每巾举独静交换并不改交穰霞。 利用j o r d a n 对几何相位的定义，可以很自然地把几何相位推广 到了非闭合演亿的情况，又由于几何相位定义为事特殊变换 第一章b e r r y 相位及萁推广 的结果，困_ l 鞋：几何掴位不仅可酰产生于连续交换，还w 竣从分立 的变换巾产生，即参数空间由一然分立的点构成，这样几何相位 出现的系统就大大增多了。 对羧利、数取消，将分别在下鼹节捧详细的说明。 。5 a h a r o n o v - - a n a d a n 攘位一b e f f y 相位在系统 睾毒# 绝 热、周期性演化中的推广川 在b e r r y 的几何相位提出两年多以后，y a h a r o n o v 和j a n a d a n 发表了麓文章，文章定义7 一个新静尼傣鞠位，帮a h a r o n o v a n a d a n 相饿。这怒继b e r r y 相俄之后，在几何相位研究领域中 个比较有影响的工作。 绝们剩媛系统本身状态的演化来代罄系统在哈密顿量的参数 空间中的演化，去掉了1 4 节中的限制和，通过定义得到的 a a 檩使逶台经意镶嚣演必熬过獠，对予绝热滨纯这瓣特殊豹过 程，a a 相位w 以看作时b e r r y 相位的一个规范不变爨的推广。 翔纯波邈数满定静s c h r s d i n g e r 方程戈 f h a i r ( r ) ) = 由v ( f ) ) 缓设一个物璎系统的状态农经过段溃能时间r 以蜃， 来的状态，这种演化被称为循环演化。r 为演化周期， 波丞数与藜态波丞数之凌瓣关系麓 ! 、玉，( f ) ) = e 彬l 掣( o ) 。 ( i - 4 4 ) 又网到原 这时末态 ( 1 4 5 ) 埘见初米态波函数稠差了一个裙靛痧，矿为实数，e i 簪以裔可观 测效应。作一含时棚变换 第一章b e r r y 相位及其推广 势虽要袋 则 译( f ) ) = e i f ( l ( f ) ) ，( 1 - 4 6 a ) 囤一 = 毒 肇( r ) ) = p i f ( r i v ( n ) = e i f ( t ) e i 矿甲( o ) ) ( 1 - 4 6 b ) ：p 一耵( r ) 一，( o ) k 彬f 荦( o ) ) ：i 每( o ) ) ，( 1 - 4 6 。) 可霓在经历一个周麓r 后， 量( f 如没有褶位的交纯t y a h a r 。n o v 和j a n a d a n 认为程f 即) ) 和f 荦o ) ) 之间存在一个投 影映射1 7 ：日叶p ，这个关系满足n 0 、王，( f ) ) ) = 荦( f ) ) ：i 每) = c l 、壬，) ，c 为 一个复数。其中| 甲( f ) ) 是希尔伯特空间h 中的态矢，它在投射希 尔倍特空闻p 中静投莉矢繁受| 擎国) ，弗虽奁第象绱符空簿孛， | 甲秘、与l 誓( ) 在o 辩蒡不是在弱一矢整上，濒班态矢l 掣) ) 在 中的演化路径c 并不是闭合的，而在投射希尔伯特空间p 中 f 苹( 丁) i 和l 荦( o ) ) 无法聪分，怒同必量，而且h 中的演化路径c 投射到p 中时要构成一条游合馥线0 - - - n ( o 。藏外，渡蠡数f ￥( f ) ) 貔演纯满是s e h r o d i n g e r 方程，露 警o ) ) 势灌是s c h f 8 d i n g e r 方程， 撼( 1 4 6 a ) 期以变换代入含对s e h r t i d i n g e r 方程( 1 4 4 ) 第一章b e r r y 相位及其推广 肮丢眇陬) ) ) = i ( r ) 眇，陬) ) ， 一删= 半i v ( o ) 一洲磊d m ) ，zd f 。 用( 、壬，( f ) | 左乘上式，可以得到 积分后 ( 1 4 7 a ) ( 1 4 7 b ) 巾) = ( 删半i v ( 州酬t 丢阳) ，( 1 - 4 7 c ) = 厂( r ) 一，( o ) = f 厂( f k i t = f ( 唰半l v ( t ) d t + f ( 吣z 磊d m 净( 1 - 4 7 d ) y a h a r o n o v 和j a n a d a n 定义动力学相位为 砸) = f ( 唰掣) 衍( 1 - 4 8 ) 如果从总相位矿中去除动力学相位后，余下的部分即为几何相位： 胛) = 叫耻f ( 早( f ) 嘲荦( f ) 净，( 1 - 4 9 ) 这一新的几何相位被称之为a h a r o n o v a n a d a n 相位，是一个普 适的相位。在希尔伯特空间日中的无穷多条的循环演化路径c ， 相应于无穷多个h ( t ) ，它们驱使系统的状态沿着c 进行演化，而 c 投射到投射希尔伯特空间p 中，是对应于一个闭合路径0 。 a h a r o n o v 和a n a d a n 定义的几何相位p ( 7 ) 是与投射希尔伯特空间 第一章b e r r y 相位及其推广 中的闭合曲线e 相联系的，是非绝热周期性演化过程中的几何相 位。 1 6 s a m u e l b h a n d a r i 相位一b e r r y 相位在系统作非绝 热、非周期性演化中的推广1 1 9 8 8 年， j s a m u e l 和r b h a n d a r i 将b e r r y 相位推广到了一 个更普遍的形式。s a m u e l b h a n d a r i 理论是在p a n c h a r a t n a m 的经 典光学( 偏振光) 干涉理论的基础上得到的，是p a n c h a r a t n a m 理 论的一个量子力学版本。在他们的讨论中，系统的演化包括了绝 热过程，循环过程，以及非循环过程，非么正过程，甚至是非厄 密过程，从而将1 4 节中提到的b e r r y 相位的种种局限性都消除 了。 设希尔伯特空间h 中的态矢l 、壬，( f ) ) 满足的含时s c h r 6 d i n g e r 方 程为 f 丢忡) ) = 自) ) ，矧( 1 - 5 0 ) 其中矗是线性算符，可以是非厄密的。另外定义一个新的态矢 l y ( f ) ) ，它与 甲( f ) ) 相比，少了一个动力学相位： 其中 帅) ) = d r 如) i 甲( f ) ) ， ( 埘) = r e ( v 丽( t ) 而l i ：i ( t 孑 ) lv 厂( t 3 ) ( 1 52 ) 此时l y ( f ) ) 满足以下方程： 籀一章b e r r y 相彼及其推广 j 丢) = 啦慨) ) ，( 1 - 5 3 ) 而且j 妒( f ) ) 服从乎杼移动法则： i m ( 9 - ( t ) i d i g ( t ) = 。，( 1 - 5 4 ) 。甲( f ) ) 是遵循s e h r 6 d i n g e r 方程的，它随时间的演化在希尔伯特颦 霹态矢壤撼述窭一条籍经，焉褒赣爨态矢l 烈 ) 空溺迄膏稳应匏黪 径，而且恣矢i ( f ) ) 是沿察际演化路径进行平行移幼的。 令n 代表希承疆将囊溺帮中翦一套可罨交l 岛一仡静态矢集： n ： v ) 翻( v ￥) o ( 1 5 5 ) 若用表躲_ 中的元素，则它们只是在相俄上有所不同，可以视 为同等蠡，筵癸令显为焱藏线缀或翁空阕： r ：翌( 1 5 6 ) 在糟尔德特空游中熊态矢集n 与戈之阕露在一投影映瓣关系 1 7 ：n 斗r ，即矢鬣一射线。这三重要綮( ，r ，n ) 组成了基赢空间r ( 其奏u f l ) 群结梅) 土酶主绎缭蚨。平移法裂1 5 4 ) 定义了这个 纤维从的自然联络，在水平子空间中的水平矢量满足这关系。 可戬提舞霞空嚣串懿一鼗线裂眠袋缮蘸线的诱岛矢量是窳孚鹣。 但愁，r 空间中的闭合曲线水平提升剁以后，可能成为开路曲 线。 令i 矿0 ) ) 是n 中的条瞳线，与这一睦线楣切的切晦矢量必 牲) 第一章b e r r y 相位及其推，“ 定义 挂) ：芝 妒( 。) ) 黜 ( 1 5 7 ) 小h 锗幽喋掣 在蕊范类型戆交换下| 妒鳓专e x 舞群) l 矿) ) ，a s 交热 一j - - a s + ( d 口d s ) ，类似于电动力学中的矢势。平移法则( 1 5 4 ) 表骥量子系统滔囊实魏线| 爹d 溱毪懿，蠢s 将溃失。 对于循环演化过程，系缆在某一时刻t 时回划初始状态。阅 对撼蓉踩羞在串兹条蘸绫| 淤努( 它是由去摔动力学褶交漪 态矢所描述的) ，投射到r 空间中时，将对应条闭合鲢线r 0 ) 。 考虑下面遮个积分 i 穸癸 y = 遗a s d s 。l a 。d # + l 鼎s d s ，( 1 - 5 9 ) | 妒s ) l 伊辑) 萁率第一壤 焉蕊代袭沿n 中酌髓绫i 矽) ) 韵积分，而第二琐憝 妒o ” 沿罄连接| 妒国) 粥| 妖0 ) 豹垂壹鞠线韵积分。积分线 妖0 ) 代表系统 蛇真实演化路径，沿着遮条黪经a s = 0 ，掰娃( 卜5 9 ) 便楚1 5 繁 中的a a 棚位，它在希尔伯特空间怒一个开路积分，在投射希尔 值特空阕员| j 是瓣黪积分。 对于一般情况的演化，见网1 2 ，系统可能并不回刹初始状 态，筵对对窿纂镰琢凑憾遘纛，系统在串鹃演纯路径懿两个壤 点l 妒o o ) ) 荆l 妒( 凯) ) 不在同一絷射线上，即嘲端点投射到投射希尔 穗黪空弱( 最空润) 上露并不重念，搿淤在串豹开路盏绒授莉捌 露空间中仍然还怒开路峨线。但在投射隶尔伯特空闻中_ 鲤以找剥 第一章b e r r y 相位及其推广 连接两端点的合适曲线使之闭合，取为测地线g ( s ) 。 空闻 n 空间 露空闻r 空间 、焖 ，( s ) 图卜1 循环演化情况，空间 间和r 空间的演化路径 图卜2 一般演化情况，空 和r 空间的演化路径 为了计算非循环过程的几何相位，可以定义一协变导数i “) ， 使之为i 矿( j ) ) 的广义协变投射 甜) = 要l y ( j ) ) 一谢。i 矿( s ) ) ( 1 6 0 ) d s 由变分万f ( “i “t d l = o 可以得到测地线方程 芸格刮“，) = 。 e ， “1 决定在n 中的曲线，这一曲线投射到r 空间上时就是测地线 g ( s ) 。则非循环过程的几何相位为 第一章b e r r y 相位及其推广 y s b = 沁小i a s d s l y ( s ) )g ( 5 ) ( 1 6 2 a ) 由于沿真实演化路径i 矿( j ) ) 的开路积分可以通过选择适当的规范 使之为0 ，即沿l y ( s ) ) ，a s = 0 ，所以 y 鼢= j a s d s g ( j ) ( 1 6 2 b ) g ( 5 ) 由方程( 1 6 0 ) 和( 1 6 1 ) 确定。 可见对于循环演化过程，( 卜6 2 b ) 式将退化到( 卜4 9 ) 式。 ( 1 6 2 b ) 式就是s a m u e l b h a n d a r i 相位。y 船是目前计算几何相位 的最普遍公式，它可以出现在非绝热、非周期、非么正的系统中。 所以，通过以上述对绝热周期性演化中的b e r r y 相位、非绝 热周期性演化中的a h a r o n o v - - a n a d a n 相位以及适用更加广泛的 物理系统中的s a m u e l b h a n d a r i 的介绍。可以看出，几何相位是 存在于任何演化的量子系统中。 1 7 b e r r y 相位的实验验证 b e r r y 相位在两种情况中可以出现“1 ：一类是参数r 能在实验 中控制。在这种情况，系统的状态具有不同的相位，通过测量不 同状态之间的干涉来确定b e r r y 相位：另一类情况是，r 是更大 体系的力学量参数，这就需要将实铡的本征值与理论结果相比较， 反过来对b e r r y 相位的存在作出判断。 在b e r r y 相位的重新发现之后，首先实验证实这一几何相位 的存在的实验有两个：一个是多原子分子光谱实验，测量钠离子 ( n a ”) 的分子光谱；另一个实验是很著名的光子极化实验，它的 理论原理是由c h i a o 和吴咏时作出的，实验则是由a t o m i t a 和 c h i a o 做出的，这一实验清楚地证明了b e r r y 相位的存在和拓扑 第一章b e r r y 相位及其推广 性。此后又应用核四极共振，核磁共振，中子在螺旋磁场中的极 化实验测定了绝热过程中的几何相位。首先测量非绝热过程几何 相位的是美国加州大学b e r k e r l y 的核磁共振研究组做出的。而首 先测定非绝热非周期演化过程的几何相位是奥地利和德国的两位 学者。 1 7 1 光纤极化实验1 c h i a o 和吴咏时首先指出，几何相位可以用光在螺旋纤维中的 传播表现出来。他们建议，将单色圆偏振光射入单模螺旋光纤， 这样，光子在波矢空间作周期转动，即作闭合演化。依据b e r r y 的理论，光的相位中会出现附加的项r ( c ) = 一o n ( c ) ， 式中的仃为光子螺旋度。当系统作缓慢的周期性绝热演化时，c 为一闭合曲线，此