（应用数学专业论文）一类螺线多肽链模型的行波解.pdf

摘要 利用动力系统的分支理论对一类多肽链模型进行研究，本文 获得该模型存在光滑孤立波，扭子和反扭子波，不可数无穷多的 周期波，光滑和不光滑周期解。在不同的参数情况下，得到了保 证了上述解存在各种充分条件。在一些简单情况下，给出了该模 型的显式和隐式精确行波解。 本文作如下按排：第一章介绍相关模型及简化结果，第二章 讨论u 0 ) 取( 1 2 ) 时，系统( 1 1 ) 的分支图，第三章讨论u 0 ) 取( 1 2 ) 时，系统( 1 1 ) 的行波解，第四章讨论【，酗) 取( 1 3 ) 时，系统( 1 1 ) 的 分支图，第五章讨论u ) 取( 1 3 ) 时，系统( 1 1 ) 的行波解。 关键词：孤立波解，周期波解，扭子和反扭子波，波的光滑性。 i 毡 a b s t r a c t b yu s i n g t h et h e o r yo fb i f u r c a t i o n so f d y n a m i c a ls y s t e m s t oam o d e lo ft h e h e l i xp o l y p e p t i d ec h a i n s ，t h ee x i s t e n c eo f s o l i t a r yw a v e ，k i n k a n da n t i - k i n kw a v e s o l u t i o n sa n d u n c o u n t a b l yi n f i n i t em a n y s m o o t ha n dn o n s m o o t hp e r i o d i cw a v e s o l u t i o n si so b t a i n e d u n d e rd i f f e r e n tp a r a m e t r i cc o n d i t i o n s ，v a r i o u ss u f f i c i e n t c o n d i t i o n st og u a r a n t e et h ee x i s t e n c eo ft h ea b o v es o l u t i o n sa r e 西v e n i ns o m e s i m p l ec o n d i t i o n s ，e x a c te x p l i c i ta n di m p l i c i t s o l u t i o nf o r m u l a sa r el i s t e d ， i nc h a p t e r1 ，t h ep a p e ri n t r o d u c et h ec o r r e s p o n d i n gm o d e la n dr e s u l t s ，i n c h a p t e r2 ，t h ep a p e r d i s c u s sb i f u r c a t i o n so f p h a s ep o r t r a i t so f ( 1 5 ) w h e nu 0 ) g i v e nb y ( 1 2 ) i nc h a p t e r4 ，t h ep a p e r d i s c u s sb i f u r c a t i o n so f p h a s ep o r t r a i t so f ( 1 5 ) w h e nu ) g i v e nb y ( 1 3 ) i nc h a p t e r 3a n d c h a p t e r5 ，t h ep a p e r c o n s i d e r t h ee x i s t e n c eo fs o l i t a r y , k i n kt r a v e l i n gw a v ea n dp e r i o d i ct r a v e l i n gw a v e s o l u t i o n so f ( 1 1 1a n d g i v es o m ee x p l i c i t e x a c ts o l u t i o nf o r m u l a s k e yw o r d s ：s o l i t a r yt r a v e l l i n g w a v e s o l u t i o n ，p e r i o d i ct r a v e l l i n g w a v es o l u t i o n ， k i n ka n da n t i - k i n kw a v es o l u t i o n s ，s m o o t h n e s so f w a v e s 前言 “所有动力系统的最新进展就是揭示特殊类型系统的内在结构而取得的”( h i r s h ) ， “现在所有的迹象都趋于此结论：寻找非线性系统完整的一般结论就像寻找耶稣在最后 晚餐时用过的圣杯一样不可思议这是一条充满许多愉快和惊讶，进而失望，最终毫 无收获的的行动。遵循条更为便利的道路就是集中精力对待某些特殊类型的非线性问 题，通常是出于应用的目的来解决这类问题，并利用这类问题中的固有结构作为进一步 获得有用信息的指南”( c a s m 。本文就是遵循着上述原则，来解决实际问题的。 随着非线性科学的进展，各种模型可以化成非线性方程，因此非线性方程( 包括非线 性常微分方程，非线性偏微分方程。非线性差分方程和函数方程) 的求解成为广大物理、 力学、生命科学、地球科学、应用数学和工程技术科学工作者研究非线性问题所不可缺 少的。目前求解非线性方程主要有函数法、摄动法、行波法、相似变换和自相似解、特 殊变换法、散射反演法、吴文俊法等。对于具体的方程如果能从参数空间上来考虑它的 全局相图，则它的解就很容易全部求出，l ij i b i n 、l i uz h e n g r o n g 等用动力系统的分支 理论分别对不同的模型求出它的所有行波解。文献【4 ，5 】中，l ij i b i na n dl i uz h e n g r o n g 对下面的非线性方程分别进行研究 峨+ d 0 ”l + 0 “l = 0 m ，l o 1 坎+ 州埘= 甜，+ p u 盥+ 三“”，+ 删皿+ 2 ? 材嚣0 2 v 发现上述方程有奇异现象，这样不仅找出它们的全部行波解，而且合理的解释了非线波 发生破缺的原因。本文就利用上述方法在参数空间里来分析下面的非线性方程 u 。吒0 2 u 。+ 土( 1 去掣；o ，0 3 i t zw 1 其中c o 和b = 二( 1 - g q ) 是常参数，u ( u ) 是势函数。 m 该非线性方程是一类物理化学中的螺线多肽链模型，a v z o l o t a r i u k , s t p n e v m a f i k o s ， j i z h o n g x u 等分别考虑过螺线多肽链模型的有关性质，并且j i z h o n g x u 还给出了它的部 分扭子解，但是他们未能全面考虑不同参数的情况，因此分析不彻底。本文通过计算机 运用m a p l e 语言模拟出该模型在不同参数空间中的相图，利用平面动力系统的分支理论 分析出该模型的各种性质，并且合理的解释了非线波发生破缺的原因。 昆明理工大学学位论文原创性声明 x 6 6 9 2 5 9 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下( 或 我个人) 进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内 容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成 果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在论文中作了明 确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：叶斟、 日 期：1 渺年f o 】月2 ，) 日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布 论文的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文。 ( 保密论文在解密后应遵守) 导师签名 论文作者签名 童毯是 日期：迎：主生堡月王4 ：旦 a 筏理i 大学致学位论文 第一章引言 2 0 0 0 年，x uj i z h o n g 1 0 考虑了一类三个氢链之间的藕合系统的模型，该文导出了质 子和肽链间的h a m i l t o n 量，并给出了位移场u 的以下运动方程， u “u 。+ 扣圭g q ) 掣= o ， n - ， 其中c o 和b = 二( 1 一o q ) 是常参数，势函数u ( u ) 可表示为： ( 1 ) 双井势 u ( u ) = e 。( j 一等j 一事) 2 ， c t 固 ( 2 ) 两参数的双周期势： 畸南 l c o s l ( 二 s 竺一c o s 垃1 7 _ l 七l ， ( 1 3 ( c o s 兰一c o s 耕 。 其中o 耋l os 2 万。 在文献【1 0 】中，当u ( u ) 分别取势函数( 1 2 ) 和( 1 3 ) 时，x u 【1 0 】给出了系统( 1 1 ) 的某些 隐式纽子解的公式，本文与文献 1 0 1 不同的是我们在系统( 1 1 ) 的参数空间中考虑( 1 1 ) 的所有行波解。 令u ( x ，t ) = 庐( x c t ) = 声固，其中c 是波速，代a ( 1 1 ) 中，得到 一南掣一o ， 其中”表示对善的微分，( 1 4 ) 可化为下面的二维系统； ( 1 4 ) 考咄毒一网b 掣， s ， 毒叫毒一网节 u 。) 令j i m 皓) = 卢，皓) = 口来说，并且u ( x , o = 声( x 删= 固是系统( 1 1 ) 的连续 f - 4 , 一 解。众所周知：( i ) 当搿= 时，u ( x , o 称为孤波解，( i i ) 当搿时，u ( x ，t ) 称为 扭予波解。一般地，( 1 1 ) 的孤波解对应- t ( 1 5 ) 的同宿轨道，( 1 1 ) 的扭子解对应于( 1 5 ) 的异宿轨道，类似的，( 1 5 ) 的周期轨对应于( 1 1 ) 的周期波解。因此，为了研究( 1 1 ) 所 有孤子波，周期波，扭子和反扭予波解，我们应该在( 1 5 ) 参数空间中找出它的所有的周 型塑堕堕塑燮 期环域，同宿和异宿轨道。 另一方面，在某些条件下，( 1 1 ) 的波会发生破缺：波仍保持有界但它的斜率在有 限时间内变成无界。这是一个非常有趣的现象。在某些参数条件下，本文所研究的系 统有这样的破缺解。 第二章u ) 取( 1 2 ) 时，系统( 1 1 ) 的分支图 本节考虑当u 0 ) 取( 1 2 ) 时情况，即考虑有下面的系统 塞砂 ( 2 1 ) 其中彳2 南( 一圭回) 。当a 。时4 4 - 2 4 = f ，y 斗乃，当a o ，考虑当暂。变动时，系统( 2 ，2 ) 的相图的分支。系统( 2 2 ) 有三 个平衡点，分别是o ( o ，o ) ，和墨( + “。，0 ) 。假定m 协，o ) 是( 2 1 ) 的线性化系统在平衡点 ( ，o ) 处的系数矩阵，经计算可得 删：d e t 删州一封帆0 ) - 蠢- ( 2 4 ) l口j 对于可积系统的平衡点来说，由平面动力系统的理论可知( 参见【1 ，3 ，8 ，2 3 ，2 4 】) ，如果 2 辱再 一 ，。l 却 一一 咖一蟛 互上矿f f 一 生墅坚型燮墼 j 0 ，那么平衡点是中心；如果j ：0 并且它的庞加来指 标是0 ，那么平衡点是尖点。 ”茁矛 蔗 形弋 除 ，一、 ，y 02 j、 ，7 、夕绷 7 ，一： 、t k l ，d 5 ，、su 筘 繁掰巡 r 疆 = 五白7 ： 毡恭。：= 澍 b 7 一 。二 、如矗二 ( 1 ) a 0 ，“o = 0( 2 ) a 0 ，0 0 ，甜， 甜o o 。= a 彳 i 一1 ： 心彳 ，一嚣! 、，、巴一 麓；沪 厂臀； j 艘 书i礴移二专 。f 、蜓 箩铲嵩尹 一一 ， 厂 。j t 笾j 。_ ， ( 6 ) a o ，“o = 0( 7 ) a 0 ，0 a( 8 ) a o ( 0 ) 时，o ( o ，0 ) 是二重中心( 或二重鞍点) ；对于 0 0 时，函数h 0 ，y ) = 与横轴交于以下三个点o ( o ，0 ) 和( 九，0 ) ，其中 轮卟辱沁翁蚧：扣，。 运用上述信息，可以得到关于系统( 2 1 ) 的相图的分支( f i g 1 ) 第三章u o ) 取o 2 ) 时，系统( 1 1 ) 的行波解 本节研究u ) 由系统( 1 2 ) 表示时，与系统( 1 5 ) 的分支行为对应的系统( 1 1 ) 的行波 解。首先讨论光滑行波裤。 定舭记4 = 赢( 一捌 ( f ) 当a 0 ，= 0 时，对应于系统( 2 3 ) 所定义的函数矗= 日酗，_ y ) ， ( 0 ，m ) ，系统 ( 1 1 ) 存在一族光滑的周期行波解，当h 。时，周期波解的振幅趋于 当4 o ，o u 。 “，时，对应于系统( 2 3 ) 所定义的函数h = h o ，y ) ， h ( o ，h o ) ，系统( 1 1 ) 存在两族光滑的周期波解当h 斗o 。时，周期波解的周期趋于。o 。 对应于函数h 0 ，y ) = h o ，系统( 1 1 ) 存在两个光滑的分别呈现峰状和谷状的孤立行波 解。 o i i ) 当a 0 ，0 “。 口时，对应于系统( 2 3 ) 所定义的函数h o ，y ) ；矗， h ( h o ，o ) ，系统( 1 1 ) 存在一族光滑的周期行波解。当a 斗。时，周期波解的周期趋于 对应于函数日够，y ) = 0 ，系统( 1 1 ) 分别存在一个扭子和一个反扭子波解。 应用( 2 2 ) 对( 2 3 ) 进行积分，可得到如下的孤立波和扭子的隐式精确解 一， 、 矿一2 一 | | 吣 吼 胡 枷 4 当 堡竖塑塑遨一 ( 1 ) 孙o oq q 时沌= 孵， 孤波解满足 g ：! 必叵煎三夏立望止盯) 厉 2 4 1 一口4 0 + z x l 2 口+ 力+ ( 2 一口k + ( 2 3 a ) 嗡雁， v口 = 口e 届也2 衙习， ( 3 1 1 ( 2 ) 当a 0 ，0 0 ，m d = “，和u ， 0 ，“， “o 口时，我们有0 玩 0 时，令= 瑶= f ，y 斗正b ，当爿。 o ( o ) ，若6 厶0 。) ，那么o h 2 协： h o 一i 圣一莘：0 台 、t 图3 0 。，6 ) 空间的划分 由上面的讨论可知，当0 2 z 时，6 ) 空间被曲线r f ( i _ 0 , 1 ，2 ) 分割成七部分 其中 ( i ) 一。 b f h 。) ， ( i i ) ( i i i ) 0 。) b 石0 。) ，( ) 8 ，：) 6 五) ； 0 。) 0 ，b 峨b = - 0 5 ，( 3 ) a 1 0 ，b l 0 5 ：斟矧冬域 镞 二奈 雠：f f 3 ；躐f 阿v淄。 ( 4 ) a 1 0 ，6 - 0 5 ( 5 ) a 1 0 ，“，6 ) ) ，则 ( 1 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，y ) = ，方程( 1 1 ) 有一对分别呈现峰状和谷状的 光滑孤立波解 ( 2 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，y ) = h ，h ( 0 ，h o ) ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的周期 波解 ( 3 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，y ) = h ，h ( ，h 2 ) ，方程( 1 1 ) 有一族光滑的周 期波解 ( 4 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数彩，y ) = h ：，方程o 1 ) 有两个光滑孤立波解 ( 5 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日o ，y ) = h ，h 魄，m ) ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的周期 波解 o i ) 假定a l 0 ，0 。，6 ) 泗) ，则 ( 9 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日( ，岁) = h ：，方程( 1 1 ) 有一对分别呈现峰状和谷状 的光滑孤立波解 0 0 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，y ) = h ，h ( o ，h 2 ) ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的周期 波解 ( 1 1 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，) = h ，h ( _ l z 2 。) ，方程( 1 ，1 ) 有一族光滑的周 期波解 0 2 ) 对应于( 4 - 3 ) 定义的函数目轨y ) = ，方程( 1 1 ) 有两个光滑的孤立波解 0 3 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，y ) - - h ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的周期波解 定理5 2 ( f ) 假定a 1 o ，“，6 ) ) ，则 0 ) 对应于( 4 3 ) g r n 曲n 日，y ) = 0 ，方程( 1 1 ) 有一对光滑的孤立波解 ( 2 ) 对应于( 4 3 ) 定义的曲面日，) ，) = h ，h 瓴，o ) g h 阮，o ) ，方程( 1 1 ) 有两 族光滑的周期波解 0 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日，y ) = h ，h ( o ，。o ) ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的周期 波解， ( f f ) 假定a i 0 ，6 ) e ( r 0 ) ，则 ( 4 )对应于( 4 3 ) 定义的函数日彩，y ) = 0 ，方程有一个扭子和一个反扭子解，此外 还有两个孤波解 ( 5 ) 对应于( 4 3 ) 定义的函数日够，y ) = h ，h 瓴= 如，o ) ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的 周期波解 ( 6 ) 对应于“3 ) 定义的函数日，y ) = h ，h ( o ，0 0 ) ，方程( 1 1 ) 有两族光滑的周期 波解 ( f 假定“ o 时， 1 0 “。 石，“，o ) ) ，此时，0 h 。 矗： ( 1 )对于厅( o ，h o ) ，两族周期波解有下面的参数表示形式； 矗臻理i 走学硬士学位避直 妒g 一“) = 4 a r c t a i l ( 口咖( q j g c _ 】 ) ) ) ， 2 a 2 d - ：b 型= 糕hh ，如筹h ， d f 一f 九，+ q = 等阮+ 撕炳+ 厄萨 ( 2 )对于h = ，两个孤波解有下面的参数表示形式 枷) = _ + 4 a r c t a n i 删呼；瓜h ，) 其2 。，a 2 ：怨 0 ) 对于 ( h o ，h ：) ，周期解有下面的参数表示形式 g c r ) ：4 咖( 口c 一( q 。石g c t ，k 。) ) ) ， 肌2 = 描“= 上a 2 + b 1 2 徘篱吗2 矗 ( 4 )对于 = h 2 ，扭子和反扭子解有下面的参数表示形式 庐b c r ，= 斟删姐f ( 5 1 ) ( 5 2 ) ( 5 3 ) ( 5 4 ) ( 5 ) 对于矗陂，o o ) ，对应于相柱面上的旋转轨道的两族周期波解有下面的参数表示 形式 庐g d ) ：+ 4 a r c t a n ( b ：m b ：= i g c f l 也) ) ， ( 5 5 ) 其中 班蝶，酲= 簇， 即煎亟圃4 ，：口；一霹 2 r 2 当= ，r ，0 。，o ) r o ，此时= 吃= i ( 6 ) 对于h ( o ，1 ) ，两族周期波解有下面的参数表示形式 矿g c r ) = _ + 4 a r e t a n ( a 。砌( q 。百g c r ) ) ) 其州= 警2 尚“= 等， 形式 酹= 篇，q 0 = - - 压4 ( 、l + 压) ( 5 6 ) ( 7 ) 对于h = h o = 1 ，扭子和反扭子解有下面的参数表示形式 帅柚一h 譬何如r ) ) ， ( 8 ) x c - t h 0 ，c o ) ，对应于相柱面上的旋转轨道的两族周期波解有下面的参数表示 庐g c r ) ：+ _ 4 a r c t a n ( b ，加( q 。石g c r l ) ) 其中b ，= 哥，k o ，q 。同( 6 ) 。 3 。当石 2 n ，0 。，o ) ) ，此时o h ： 。 我们可通过改变上述l 结果中盘；，砰，_ j ；，n ，的是：，以及h 的区间大小，得到 定理5 1 ( 9 ) 一( 1 3 ) 的行波解的参数表示形式。 式 其中 ( 1 0 当a 0 时，h o = - 1 1 c o s 争卜= 小。s 斟 1 0 “o 丌，0 0 ，o ) ) 此时，h 2 如o 0 。 ( 5 8 ) ( 1 ) 对于h ( 是o ，o ) ，对应于围绕中心o ( o ，o ) 的周期轨的周期波解有下丽的表示形 庐b c r ) = 4 a r c t a n ( b 。肼心，。、二石g c f ) ，t 。) ) 妊和= 瘙篙属= 矗蔫 q i l = 牟怃+ 历瓶+ 伍萨 ( 5 9 ) ( 2 ) 对于h ( h 2 ，o ) ，对应于围绕曰( + 2 丌，o ) 的周期轨的周期波解有下面的表示形式 1 4 甚嚼褒i 六学硬士学证论i 其中 肛小斟a 叫雨了翻l ，当向如 ) ( 5 昏旦c i = 2 + b s 2 ，2 弘2 一k 2 心：= 譬( - 矗矗 ，0 )( 5 ，1 1 ) f 5 1 2 ) ( 5 1 3 ) ( 4 ) 对于厅( o ，。0 ) ，对应于相柱面上的旋转轨道的两族周期波解有下面的参数 表示形式： 其中 g c t ) = 4 剖；( 戡第黔黜1 c s 两八五茹习i 虿碉川 ”“ 祭弘龋 ， 瓯= 譬舷一h o x h 一心痨 2 当= 疗，0 。，o ) r o ，此时= 如= 一l 。 ( 5 ) 对于h ( - 1 ，0 ) ，对应于围绕中a , o ( o ，o ) 的周期轨的周期波解有下面的表示形式 其中 b 叫) ：+ 4 a r c t a n ( b ，。s n ( e 1 。= 百g 叫lk = o 碌= f 娅1 + 4 ：- 万1 j 2 。= 拿0 + 删 对应于围绕b ( 2 霈，o ) 的周期轨的周期波解有下面的表示形式 ( 5 1 5 ) 掣豢 k 一心一惝 札 御 州 呐 赴 懈 m 一豢曩馥事簌链镬垒秘张辑 矿g c f ) = 2 n + 4 a r c t a n ( b 。册b 。= 石g c f ) ，t 。) ) ， ( 5 1 6 ) ( 6 ) 当h = o 时，扭子和反扭子解有形如( 5 1 2 ) 承1 1 ( 5 ，1 3 ) 1 拘表示形式。 ( 7 ) 当h ( o ，o o ) 时，对应于相柱面上的旋转轨道的两族周期波解有形如( 5 1 4 ) 1 拘表 示形式。 3 当万 甜。 2 万，( “。，o ) 泅) ，此时 i i 当a 。 o ) 和异宿轨( 4 o ，当 幻接近于丸时，( 4 1 ) 的所有同宿轨对应于( 1 1 ) 的孤立尖波解，此外，所有围绕( 4 1 ) 的两 个呈现8 字形的同宿轨内的周期轨对应于( 1 1 ) 羯期尖波解对于a i 0 ，o ) 则 ( 1 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = 坟，若舻。一丸i 非常小，方程( 1 1 ) g - n 分别呈现峰状和谷状的孤立尖波解( 见图7 2 ) ( 2 ) 对应予( 4 3 ) 所定义的函数嚣，y ) = h ，h ( o ，h o ) ，方程 0 ，g 。，6 ) 缸) 则 ， ( 若眵。一丸l 非常小，x 披t ( 4 3 ) 所定义的函数日 ，y ) = h o ，方程( 1 1 ) 有一对分 1 7 一 一类蟪醯参眭链辏啦抟暂教辞 别呈现峰状和谷状的孤立尖波解此外，两个孤立波解是光滑的 ( 5 ) 若修。一加l 非常小，对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = ，h ( o ，h o ) ，方程( 1 1 ) 有两族周期波解，当h 从0 变动到札时，周期波解将逐渐失去光滑性，从光滑周期波变化 到周期尖波且最终趋于孤立尖波( 见图7 1 ) ( 6 ) 对应于( 4 3 ) n 定r i n 函数日，y ) = ，h ( h 0 ，m ) ，方程( 1 1 ) 分别有一族周期尖 波解 ； _ 口 j_ ，j _ ， 、， 。，二： ： f 。 | ：型。i衙。： ； ， 。一 1 f a ， 。：，。“ f ri ， ( 1 ) h ( 0 ，h o ) ( 2 ) h = h o ( 3 ) h ( h o ，。) ( 4 ) h ( h 2 ，o 。) 图7 a ， 0 ，0 0 ，6 ) o ) 时( 1 1 ) 的周期波解 ( i 螽) 假定a ， o ，q 。，6 ) ( r 2 ) 则 ( 7 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = ，方程( 1 1 ) 有一对孤立尖波解 ( 8 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数矗( 妒，) ，) = h ，h ( o ，h 2 ) ，方程( 1 1 ) 有一族周期波解， 当h 从0 变动到 时，周期波解将逐渐失去光滑性，从光滑周期波变化到周期尖波接近 于孤立尖波 ( 9 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = h ，h 瓴，o o ) ，方程( 1 1 ) 分别有一族周期尖 波解 ( i v ) 假定a 。 0 ，u 。，b ) u 矿) 则 0 0 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = ，方程( 1 1 ) 有一对孤立尖波解。 ( 1 1 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数h ，) ，) = h ，h ( o ，如) ，方程( 1 1 ) 有族周期波解， 当h 从0 变动到h ，时，周期波解将逐渐失去光滑性，从光滑周期波变化到周期尖波且最 终趋于孤立尖波。 0 2 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日o ，y ) = h ，h ，o o ) 和h 慨，。) ，方程( 1 1 ) 分别 有两族周期尖波解 1 8 基氍理i 大学殛士学位论文 定理5 4 ( f ) 假定爿， 0 ，瓴，6 ) 0 ) 则 ( 1 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日似，y ) = o ，方程( 1 ，1 ) 有一个光滑的扭子波和光滑的 反扭子波解 ( 2 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = h ，h ( h o ，o ) ，方程( 1 1 ) 有一族光滑的周期 波解 ( 3 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，) ，) = h ，h ( h o ，o 。) 和h ( o ，o o ) ，方程( 1 1 ) ；9 j 确r 三族破缺波解， ( i ) 假定4 。 o ，u 。，b ) e ( r 2 ) 则 ( 4 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日0 ，) ，) = o ，方程( 1 1 ) 有一个光滑的扭子波和光滑 的反扭子波解 ( 5 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，) ) = h ，h ( h o ，o ) ，方程( 1 1 ) 有一族光滑的周期 波解 ( 6 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，j ，) = h ，h ( o ，o 。) ，方程( 1 1 ) 有四族破缺波解 ( i i i ) 假定4 。 0 ，q 。，6 ) 1 - , ) 则 ( 7 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = o ，方程( 1 1 ) 有一个光滑的扭子波和光滑的 反扭子波解 ( 8 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = h ，h 如，o ) ，方程( 1 1 ) 有一族光滑的周期 波解。 ( 9 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = h ，h ( 0 ，o o ) ，方程( 1 1 ) 有两族破缺波解， ( f v ) 假定a 。 0 ，瓴，6 ) 杪) 则 ( 1 0 ) x f f f 蚤- t ( 4 3 ) 所定义的函数，y ) = o ，方程( 1 1 ) 有一个光滑的扭子波和光滑的 反扭子波解 ( 1 1 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) - - h ，h o ：，o ) ，方程( 1 1 ) 有一族光滑的周 期波解 ( 1 2 ) 对应于( 4 3 ) 所定义的函数日，y ) = h ，he ( 0 ，o o ) 和 ( - 。，) 方程( 1 1 ) 有四族 破缺波解 致谢 本文是在导师李继彬教授的悉心指导下完成的，从论文的选题和文献 的收集，以及数学思想、方法和论文的整理，都得到李老师的热情关怀和 精心指导。李老师严谨治学的态度、渊博的知识、敏捷的思维、高尚的人 格和道德情操为我树立了榜样，令我终身受益匪浅。正是李老师在学习上 的指导和生活上的关怀，才使我顺利完成了学业，在此谨向他表示衷心的 谢意! 同时我深深的感谢理学院的张振良教授、林恰平教授、房辉教授、李 庶民副教授等老师在学习上给予的悉心指导。 此外，我还要感谢李雄雄博士，冯大河、溥东梅、周宏宪、张骥骧、李 红、陈丽娟、马忠军、程尊水、徐昌进、郭迎、孙成军、王玲娜、马俊梅 等同学的有益探讨和帮助。 最后，我要感谢我的父母和亲人，他们给予我全力的关心和支持，使 我得以健康成长并顺利完成学业! 昆露理i 大学硪士学位论文 参考文献 1 c h o w ，s na n dh a l e j k ，m e t h o do fb i f u r c a t i o nt h e o r y ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ， 1 9 8 1 【2 d e b n a t h ，l ，n o n l i n e a r p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s f o rs c i e n t i s t sa n de n g i n e e r s ， b i r l d a a u s e r , b o s t o n , 1 9 9 7 ， f 3 】g u c k e n h e i m e r ，j ，a n dh o l m e s p j ，n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s ，d y n a m i c a ls y s t e m sa n d b i f u r c a t i o n so f v e c t o r f i e l d s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 3 4 】l il i b i na n d l i u z h e n g r o n g ，s m o o t h a n dn o n s m o o t h t r a v e l i n gw a v e s i na n o n l i n e a r l yd i s p e r s i v ee q u a t i o n ，a p p l m a t h m o d e l l i n g2 5 ( 2 0 0 0 ) ，4 1 5 6 5 】l i j i b i na n dl i uz h e n g r o n g ，t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a r d i s p e r s i v ee q u a t i o n s ，c h i n e s e a n n m a t h s e r 。b 2 3 ( 3 ) ( 2 0 0 2 ) ，3 9 7 4 1 8 ， 【6 】j i b i nl ia n dl i j u nz h a n g ，b i f u r c a t i o no ft r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n s i n g e n e r a l i z e d p o c h h a m m e r - c h r e ee q u a t i o n ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l s ，1 4 ( 2 0 0 2 ) ，5 8 1 5 9 3 【7 】 j i b i nl ia n dj i a n w e i s h e n ，t r a v d l i n g s o l u t i o n si nam o d e lo f t b eh e l i xp o l y p e p t i d e c h a i n s ，c h a o s ，s o l i t o n sa n df r a c t a l ，( 2 0 0 3 ) t ob cp r e s s 【8 】 j i a n w e is h e na n dj i b i nl i ，t r a v e l i n gs o l u t i o n si nam o d e lo f h y d r o d e n b o n d e ds y s t e m s ， ( p r e p r i n t ) 9 l iy a a n d o l v e r p j ，c o n v e r g e n c e o fs o l i t a r y - w a v es o l u t i o n si nap e r t u r b e d b i - h a m i l t o n i a nd y n a m i c a ls y s t e mi ：c o m p a c t o n sa n dp e a k o n s ，d i s c r e t ea n dc o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e m s ，3 ( 1 9 9 7 ) ，4 1 9 - 4 3 2 【1 0 j i z h o n gx u ，s o l i t o nd y m a m i c si nt h eh e l i xp o l y p e p t i d ec h a i n s ，c h a o s ，s o l i t o n sa n d f r a c t a i s ，1 1 ( 2 0 0 0 ) ，7 7 9 7 9 0 11 】“y a a n d o l v e r p j ，c o n v e r g e n c e o fs o l i t a r y - w a v es o l u t i o n si nap e r t u r b e d b i h a m i l t o n i a nd y n a m i c a ls y s t e mi i ：c o m p l e xa n a l y t i cb e h a v i o u ra n dc o n v e r g e n c et o n o n ，a n a l y t i cs o l u t i o n s ，d i s c r e t e a n dc o n t i n u o u s d y n a m i c a ls y s t e m s ，4 ( 1 9 9 8 ) ，1 5 9 - 1 9 1 1 2 p e r k o l d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dd y n a m i c a ls y s t e m s ，s p r i n g e r v e r l a g ，n e wy o r k ， 1 9 9 1 1 3 r o s e n a u ，p ，c o m p a c ta n dn o n c o m p a c td i s p e r s i v es t r u c t u r e s ，p h y s l e t t a2 7 5 ( 3 ) ( 2 0 0 0 ) ，1 9 3 - 2 0 3 【1 4 l a p e l e t i e ra n dw ，c t r o y ，s p a t i a lp a t t e r n s ，b i r k h i u s e r , b