（应用数学专业论文）平面调和映照的bloch常数与landau型定理.pdf

平面调和映照的b l o c h 常数与l a n d a u 型定理 摘 要：在第一章中，作者得到了调和映射l ( ，) 的b 1 0 c h 常数的一个下界估计，这 里厂是一个单位圆盘u 内的调和映射，l = z 嘉一乏若是定义在复值的c 1 函数族上的一 个线性复算子同时，也得到了调和映射三( ，) 的三种形式的l a n d 姐型定理，当m = 1 或a = 1 时，这些结果是精确的 在第二章中，作者建立了有界调和映射族的精确系数估计，得到了满足有界性条件l 九( z ) i + i 夕( z ) i m 的正规化调和映射的精确系数估计作为它们的应用，我们证明了某类双调和 映射的l a n d a u 型定理 。 关键词：单叶；l a n d a u 定理；b l o c h 常数；线性复算子；调和映射；双调和映射。 b l o c hc o n s t a n t sa n dl a n d a ut h e o r e m sf i o rc e r t a i nh a r m o i l i c m a p p l n g s a b s t r a c t ： i i lc h a p t e ro n e ，w eg i v eal o w e re s t i m a t e0 ft t l eb 1 0 c hc o n s t a n tf b rh 锄0 i l i cm a p p i n g so f 恤f o ml ( n w h e r e ，( z ) b ea h a 肋o i l i cm a p p i n g0 f t h el l i l i td i s ku ，lr e p r e s e n t s 恤l i i l e a r c o m p l e x 叩e r a t o rl = z 爱一乏番d e 丘n e do n 血ec l a s so fc o m p l e x - v a l u e dc 1f u n c t i o n si nt l l e p l a n e 舢s o ，w eo b t a i n 缸优v e r s i o n so fl a i l d a u sm e o r e l n sf 研h 黝o l l i cm a p p i n g so ft l l ef b n i l l ( ，) ，w l l i c ha r es h a r pw h e nm = 1 o ra = 1 h ic h a p 钡。t 、o ，t l l es h a 叩c o e 街c i e n te s t i i i l a t e sf b rb o u n d e dp l a n a rh 锄o i l i cm a p p i n g s a r ee s 讪h s h e d ，m es h a r pc o e f ! f i c i e n te s t i m a t e sf b rn 咖a l i z e dp l a i l a rh 锄o n i cm a p p i n g sw i t l l i 危( 名) i + i 夕( z ) i ma r ea l s op r o v i d e d a st l l e i ra p p l i c a t i o n s ，l 趾d a u s 也e o r e m sf ；d rc e r t a i n b i h a r m o n i cm a p p i n g sa r ep r o v i d e d k ! e y w o r d s ：u i l i v a l e n t ；l a n d a ut l l e o r e m ；b l o c hc o n s t a i l t ；l i n e a rc o m p l e xo p e r a t o r ；h a r - m o l l i cm a p p i i l g s ；b i l l 砌o i l i cm a p p i n g s n 1 绪论 o 1 经典b l o c h 常数与l a n d 鲫定理的定义与发展历史 b 1 0 c h 常数是古典复分析中少数至今尚未解决的著名问题之一几十年来，经过了很 多数学家的努力，已经积累了大量重要的文献 先给出经典的b 1 0 c h 常数与l a i l d a u 型定理的定义如下： 若，( z ) 为开单位圆盘u = z c ： o 1 9 2 6 年及1 9 2 9 年，l 锄d 硼 2 ，3 】给出了b 的上，下界的 估计为 0 3 9 6 j e i 0 5 5 5 他还证明了：若r ( 厂) 如( o 1 ) 所定义，则 b = i n f r ( ，) ：厂孵，i = 1 ，7 ( o ) = 1 ) 其中豸为由u 上的解析函数，( z ) 且满足如下条件： 厂l i = s u p ( 1 一i z l 2 ) i ，7 ( 名) i ：z u 】 o 。 的函数组成的函数类，这个函数类称为b z d c 函数类，这足单复变函数论中十分重要的解析 函数类 1 9 3 7 年，a h l f o r s 和g m n s 埘 4 】在l a n d a u 得出上界估计的例子中看出：l a i l d a u 在这个 例子中所得到的上估计并非最优他们指出：从这个例子可以得到 b 孚 1 9 7 0 年p o m m e r e n k e 9 用分析的方法，也证明了这个结果令人惊奇的是a b l f o r s 关于b 的 下界的估计乎保持了半个世纪之久直到1 9 9 0 年，b o i l l 【 7 】给出了一个很小的改进，他证明 了b 乎+ 1 0 一1 4 与b l o c h 常数b 相关的还有很多常数，最相关的一个就是l a i l d 绷常数 若厂( 名) 为开单位圆盘u 上的解析函数，并且，7 ( o ) = 1 令 a ( ，) = s u p r ；，( 矿) 包含有以r 为半径的圆) 定义2 = i “ q ( ，) ：，在u 内解析，且，7 ( o ) = 1 ) 为开单位圆盘u 上的解析函数 的l a n d a u 常数 1 9 2 9 年，l a i l d a u 【3 】证明了l 0 5 5 5 ，在r o b i n s o n 一篇未发表的论文中给出了l o 2 调和映照的b l o c h 常数与l 觚d a u 型定理的相关结果 本文的主要目的是讨论平面调和映照的b l o c h 常数与l a n d a u 型定理首先，我们来介绍 平面调和映照的b l o c h 常数与l a n d a u 型定理的一些相关定义与结果 假定厂( z ) = u ( z ) + 知( 名) ，名= z + i 可是开单位圆盘u 内的二次连续可微函数，则厂是u 内的调和映射当且仅当，满足 妒4 厶= 等+ 舅一州可配 其中使用了关于形式导数的常用记号 丘= 丢( 厶一z 矗) ，矗= 三( 厶+ i 丘) 假定厂( z ) = 乱( z ) + i u ( z ) ，z = z + i 可是开单位圆盘u 内的四次连续可微函数，则厂是u 内的双调和映射当且仅当厂满足 。 2 f = ( f ) = 0 ，z = z + 匆以 对于这两种函数，定义 人，( z ) 2 。器臻f 丘( z ) + e - 2 胡厶( z ) i = i 丘( 名) f + i 厶( z ) i ， 和 a ，( z ) 2 。马瑰霄i 丘( z ) + e 2 徊南( z ) i = i l 厶 ) i i 厶( z ) | 1 众所周知，一个调和映射是局部单叶的当且仅当它的j o c d 跣行列式，不为零因为u 是单连通的，所以厂( 名) 可以表示为厂( z ) = ( z ) + 页_ ，其中，( o ) = ( o ) ，危( 名) 和夕( 名) 都在【厂 内解析厂的凡c d 跣行列式定义如下： 以( z ) = i 丘1 2 一i 厶1 2 = i 7 ( 名) 1 2 一1 9 7 ( z ) 1 2 从文献 10 】可知，u 内的双调和映射，( z ) 可以表示为 厂( z ) = i z l 2 夕( 名) + 危( 名) ，( o 2 ) 其中九( z ) 和9 ( z ) 都是u 内的复值调和映射也就是说，九( 名) 和夕( z ) 可写成 9 ( 名) = 9 1 ( z ) + 仍( z ) ，z d ， ( o 3 ) 尼( z ) = 危1 ( 名) + 2 ( 名) ，z d ， ( o 4 ) 这里九1 ( z ) ，九2 ( z ) ，夕1 ( z ) 和仍( z ) 都在u 内解析 注意到i 乃i = a ，a ，则函数厂( z ) 称为u 内的k - 拟正则的( k 1 ) 当且仅当a ，k a ， 在u 内成立如果单位圆盘u 内的一个映射将u 的任何开子集映射为复平面c 内的开集， 那么称它为开映射 经典的l a n d 踟定理知诉我们：如果厂是单位圆盘u 内的一个解析函数，且i 厂( 0 ) = ，7 ( o ) 一 1 = o 和i 厂( z ) i m ( z u ) ，那么，在圆盘h 和内是单叶的，且州名i 1 ， ( o 1 6 ) 【1 ， 朋21 ， 其中入o ( m ) 由( 0 1 0 ) 所定义上述结果当m = 1 时是精确的 从有界正规化调和映射的系数估计式( o 9 ) 中可知，定理g 的结论当m 1 时是不精 确的而且，刘名生在文献【1 5 】中提出了如下猜想： 猜想r ( 刘名生 1 5 】) 假设，( 名) = 九( z ) + 羽为单位圆盘u 内的调和映射，其中危( z ) = 甚1 扩和夕( z ) = 墨。k 扩在u 内解析，而且i 厂( 名) i m ( z 矿) 如果乃( o ) = l 或 者入，( 0 ) = 1 ，那么 1 l o n l + l k i m 一寺，n = 2 ，3 ， 其中等式成立的极值函数为厶( z ) = m z ( ( 1 一m z 俨1 ) ( m 一扩- 1 ) ) ( 仃= 2 ，3 ，) 第二章中，作者建立了有界调和映射族的精确系数估计，进而证明了猜想r 对于满足有 界性条件i ( 名) f + i 夕( z ) l m 的调和映射子类是成立的在这一条件下，我们建立了正规化 调和映射族的精确系数估计通过这些系数估计，我们得到了几种形式的l 锄d a 型定理这 些结果改进了定理k q 8 第一章某类调和映照的b l o c h 常数与l a n d a u 型定理 1 1 引言 u 一。o 在文献【l o 】中，z a b d u m a d i 等考虑了如下定义在复值的c 1 函数族上的一个微分算 子l ： l = 名岳一乏刍 显然，三是一个复线性算子并且满足普通乘法法则： 工( a ，+ 6 9 ) = o 工( ，) + 6 l ( 9 ) ， 和 l ( ，9 ) = ，l ( 夕) + 9 l ( ，) ， 这里o ，6 是复常数，和9 是c 上的复函数另外，算子l 有许多有趣的性质例如，很容易看 出算子l 是保调和性和双调和性的在文献【1 1 】中，陈述了这一算子的其它基本性质 这一章的主要目的是考虑调和映射l ( ，) 的b 1 0 c h 定理和l a i l d a u 定理，其中，是一个调 和映射 引理1 1 1 ( 【1 5 ，1 6 】) 假设，( z ) = 九( z ) + 丽为单位圆盘u 内的调和映射，其中危( 名) = 墨1 口n 扩和9 ( z ) = 是l k 扩( z u ) 且满足入，( o ) = 1 若a ，( 名) 人( z u ) ，则 。 k k i 冬等，佗_ 2 ，3 ， ( 1 1 ) 对所有的礼= 2 ，3 ，上述估计是精确的，并且极值函数厶( z ) 和，n ( z ) 为 眦) - a 2 州a 3 - a ) z 名南 注记1 1 2 由式( 1 1 ) ，我们可以知道a 1 在引理1 1 1 中，令a = 1 ，则有o n = = o 对所有的n = 2 ，3 ，成立，此时，( z ) = q 1 z + 取且i i o 。l 1 6 。i | = 1 1 2 主要结果与应用 令厂是一个单位圆盘u 内的调和映射，我们首先得到了调和映射l ( ，) 如下形式的l a n d a u 型 定理 9 定理1 2 1 设厂( z ) 是单位圆盘u 内的一个调和映射，且厂( o ) = 乃( o ) 一1 = o 和i ，( z ) l m ( z u ) 则l ( ，) 在圆盘，内是单叶的，且l ( 厂) ( 。) 包含一个单叶圆盘，其中，当m 1 时，叫1 是如下方程的最小正根： m m ) 一瓜两并= 0 ； ( 1 2 ) 当m = 1 时，伽1 = 1 ，且 舻脚一瓜两搿， ( 1 3 ) 这里入o ( m ) 由( 0 1 0 ) 所定义这一结果当m = 1 时是精确的 证明设厂( z ) = 九( z ) + 丽满足定理1 2 1 的条件，其中九( z ) = 墨1 扩和夕( 名) = 甚1k 扩在矿内解析我们定义 h ：= l u 、= z l z 一乏 - ， 则 h z = | ；j rz z z ， 和 h 乏= 一f - 一乏f - t 而且，注意到乃( o ) = 如( o ) = 1 ，由定理m ：我们有 i i + i k i 、2 m 2 2 ，佗= 2 ，3 ， ( 1 4 ) 且 入，( 0 ) 入o ( m ) ( 1 5 ) 因此，对圆盘珥( 0 一 一 = 恢刊( 蚴一俪两南一俩巧篙) 却- 刊( 妒何砀寄) 0 这就意味着日( 名1 ) 日( 勿) ，即证明了l ( 厂) 在圆盘。内是单叶的 最后，用同样的方法，我们现在考虑名= 叫1 e a 砜，由( 1 4 ) 和( 1 5 ) ，我们有 1 日( z ) i = i z 丘一碾i l z 丘( o ) 一乏镌( o ) l i z ( 丘( z ) 一丘( o ) ) 一乏( 厂- ( z ) 一居( o ) l 入，( 0 ) 叫一叫( i 。n 1 + 刚) 礼叫 一1 知( m ) 伽- 一讵萨可佗叫 = a 。( m ) 叫- 一厕斋笔哥= 妒 因此，三( ，) 在圆盘巩，内是单叶的，且三( ，) ( 己乙。) 包含一个单叶圆盘。，这里叫1 和妒1 分别由式( 1 2 ) 和( 1 3 ) 所定义 当m = 1 ，显然可得加1 = 妒1 = 1 是最好的可能这就完成了定理1 2 1 的证明 口 运用定理g ，如果我们使用定理1 2 1 的证明方法，用1 代替a o ( m ) ，我们可以得到如下定 理 定理1 2 2 设，( z ) 是单位圆盘u 内的一个调和映射，且，( o ) = a ，( o ) 一1 = o 和i 厂( z ) i m ( z u ) 则l ( ，) 在圆盘。内是单叶的，且l ( 厂) ( ) 包含一个单叶圆盘。，其中，当m 1 时，蚍是如下方程的最小正根： 1 一俩砀等- 0 ， 当m = 1 时，叫2 = l ，且 妒2 = 训。一厕斋笔三i 摹， 这一结果当m = l 时是精确的 接下来，运用引理1 1 1 ，我们可以得到调和映射l ( ，) 如下其它形式的l a n d a u 型定理 定理1 2 3 设厂( z ) 是单位圆盘u 内的一个调和映射，且厂( o ) = a ，( o ) 一1 = o 和人，( z ) a ( z u ) 则l ( 厂) 在圆盘。内是单叶的，且三( 厂) ( ) 包含一个单叶圆盘。，其中 一1 一、篙击， 6 ， 加s2 1 一番! 西三， ( l 6 ) 妒a = ：一母：三： 这一结果当人= 1 时是精确的 ( 1 7 ) 证明设厂( z ) = 危( z ) + 夕( z ) 满足定理1 2 3 的条件，其中危( 名) = 墨1 扩和夕( z ) = 甚1 k 严在u 内解析，则 入，( o ) = i f 0 1 i 1 6 1 l i = 1 ( 1 8 ) 令日：= 三( ，) = z 厶一碾，由定理1 2 1 的证明及引理1 1 1 ，我们得到入，( o ) = 入日( o ) = 1 且 蚓+ m 等，礼- 2 ，3 ， ( 1 9 ) 为了证明日( z ) 在圆盘。内是单叶的，我们采用定理1 2 1 的证明方法对圆盘珥( 0 7 1 时，由式( 1 8 ) ，对h = 叫3 ，我们有 日( z ) i = i z 厶一万，- i i z 丘( o ) 一碾( o ) l i z ( 止( z ) 一丘( o ) ) 一孑( 居( z ) 一居( o ) 1 2 言脚 一早击 一 兰 + 以 。一百 i n a 一 一 p a 一 口、 一 1 一、lli， 淝 d 一， o ” l 卅一卅 r 等要一 孚孚 屹一a一a一a 水 一 一 一 a 棚) 蚍一叫3 ( + m ) n 叫；一1 撕一竿妻嵋 n = 2 a 2 一】 t f ，暑 2 蚍一 广焉； 2 饥陌 2 1 - 丽露贾i 干丽2 忱、a 2 + 人一1 + 、a 2 1 7 。 当人= l 时，从注记1 1 2 和式( 1 6 ) 中，我们可以得到，( z ) = 0 1 名+ 碡满足i 1 0 1 | 一1 6 1 | i = 1 且叫3 = 1 ，则对矧= 蚍= l ， 日( z ) i = i o 名一瓦l f 1 0 1 i 1 6 i l = 1 因此，l ( ，) 在圆盘内是单叶的，且l ( ，) ( 。) 包含一个单叶圆盘，这里伽3 和妒3 分别 由式( 1 6 ) 和( 1 7 ) 所定义 当a = 1 ，显然可得叫3 = 妒3 = 1 是最好的可能这就完成了定理1 2 3 的证明 口 运用定理1 2 3 ，现在我们考虑，是k 一拟正则调和映射的情形 定理1 2 4 设厂是单位圆盘u 内的k 一拟正则调和映射，且厂( o ) = 入，( 0 ) 一1 = o 则l ( ，) ( u ) 包含一个单叶圆盘，其半径至少为 1 顿永：f 忑 妒42 万一丽雨辛菰乏百习丽 证明类似于文献 1 4 】中的定理5 的证明，我们令9 ) = 玎( 羡) u ) 因为，足单 位圆盘u 内的k - 拟正则调和映射，所以9 也是k 一拟正则调和映射，因此( o ) = a ，( o ) = 1 ， 且 ) k ) = a ，( 羡) 2 k ，u 矿 由定理1 2 3 ，我们可以看出l ( 夕) 在圆盘。内单叶，其中 伍两 毗_ 1 一丽雨辛示i 并且l ( 夕) ( ) 包含一个单叶圆盘，其半径为 以= 一面磊答斋 注意到l ( 夕) = 讵l ( ，( 羡) ) ，因此，则l ( 厂) ( u ) 包含一个单叶圆盘，其半径至少为妒4 口 如果函数由条件以( o ) = 1 正规化，那么单叶半径将会再小一点 1 3 定理1 2 5 设，是单位圆盘u 内的k - 拟正则调和映射，且，( o ) = 乃( o ) 一1 = o 则l ( ，) ( u ) 包含一个单叶圆盘，其半径至少为 1 l 永：f 忑 2 面一砺瓦氲亏历零i 瓦吞；丽i 。 证明因为- 厂是单位圆盘u 内的k - 拟正则调和映射，且乃( o ) = 1 则 m 蛇譬= 去 对函数，入，( o ) 运用到定理1 2 4 中，就可得到本定理的结论 口 在本章的最后，我们考虑，是开调和映射的情形 定理1 2 6 设厂是单位圆盘矿内的开调和映射，且，_ ( o ) = 丘( o ) 一1 = o ，则l ( 厂) ( u ) 包 含一个单叶圆盘，其半径至少为 妒6 = 0 0 1 4 3 3 3 证明类似于文献【1 4 】中的定理7 的证明，我们得到，在圆盘珥内是所一拟正则的，其 中k = 鲁和o 弼= 忐2 2 9 7 6 ，则丽乒习 半运用引理2 2 1 ，由 于m 蜗= 忐2 2 9 7 6 我们改进定理m ，即文献【1 6 】中的引理2 1 其次，对满足有界性条件i ( z ) i + f 夕( z ) i m 的正规化调和映射，我们建立了如下精确 的系数估计 引理2 2 3 假设t 厂( 名) = ( z ) + 9 ( z ) 为单位圆盘u 内的调和映射，其中危( z ) = 墨1o n 纱 和9 ( z ) = 墨1k 扩若l 允( z ) i + 1 9 ( z ) i m ( z u ) ，则有o 入，( o ) m ，且 i i + | 6 n i m 一掣，仃：2 ，3 ， ( 2 1 4 ) 1 6 一 l i = 一 = 对所有的死= 2 ，3 ，上述估计是精确的，且极限函数厶n ( z ) 和瓦i 两为 k = 胁裂筹， ( 2 5 ) 这里0 o m 证明固定死n 一 1 ) = 2 ，3 ) ，我们选择满足条件i o n + e 口k i = i i + l k i 的实 数乜，且令 心) = 扣卅扩出) 】_ 耋与笋少 由于危( z ) 和9 ( z ) 在单位圆盘u 内解析且i ，( z ) i i 危( z ) i + i 夕( 名) i m ，我们可以得 到z ( z ) 在u 内解析且i l ( z ) i ( i 九( 名) l + i 夕( z ) i ) m 1 注意到z ( o ) = o ，由s c h w a r z 引理， 得l z ( z ) i 置 即) = 与芦+ 主与竽严， 则f ( z ) 在u 内解析且l f ( z ) i 1 鉴于 i 1 0 1 l 1 6 1 l | = a ，( o ) ， ( 2 6 ) 由引理2 1 1 和式( 2 6 ) ，我们得到 l 学l i 学降一鹄掣一挈小2 ，s ， 因此，我们可得o 入，( o ) m 特别地，我们有 蚓柏l 一| 时e 缸邯m ( 1 一裟) = m 一掣 最后，对所有的n = 2 ，3 ，如果我们选择函数厶，n ( z ) 和五i 两分别为 k = m z 裂簪一( m 一丢矽+ 和 厶，n ( z ) = 砑一( m 一南) 妒+ ， 其中n = 入，( o ) 则等式显然是成立的这就完成了定理的证明 口 在引理2 2 3 中，令a ，( o ) = 1 ，可以得到如下推论 推论2 2 4 假设，( 名) = 九( z ) + 夕( z ) 为单位圆盘u 内的调和映射，其中危( z ) = 墨1o n 扩 和夕( z ) = 器1 k 扩若i 危( z ) l + i 夕( z ) i m ( z u ) ，且满足入，( o ) = 1 ，则有m 1 ，且 i 。一十1 6 一m 一云，n = 2 ，3 ， 对所有的佗= 2 ，3 ，上述估计是精确的，且极限函数厶，n ( 名) 和厶，n ( z ) 由( 2 5 ) 所定义 注记2 2 5 推论2 2 4 告诉我们，对于满足有界性条件i 危( z ) i + l 夕( z ) i m 和入，( o ) = 1 的调和映射子类，猜想r 是正确的在推论2 2 4 中令m = 1 ，我们得到，对所有的佗= 2 ，3 ， 有o n = k = o ，因此，( 名) = q z 或者，( z ) = o 磊这里川= 1 运用引理2 2 1 和引理2 2 3 ，我们可以改进定理n 定理2 2 6 设f ( z ) = 2 夕( z ) + 九( z ) 为单位圆盘u 内的双调和映射，且满足f ( o ) = ( o ) = 入f ( o ) 一1 = o 和1 9 ( z ) l 尬，i ( z ) i 0 u ) ，则f 在圆盘珥。内是单叶 的，且f ( 珥，) 包含一个单叶圆盘，其中r 1 如下方程： 1 砌尬一嵩叫埘舄- 0 ， ( 2 7 ) 的最小正根，且 旷”篇圳鼢禹， ( 2 8 ) 盯1 剐1 一确州m ) 高 瞄石) 其中k ( 尥) = i n i n 瓦可乏，羹尥) - 证明从式( 0 3 ) 和( 0 4 ) ，我们可得到 夕( 名) = g l ( z ) + 夕2 ( z ) ，九( z ) = 九l ( z ) + 2 ( z ) ， 其中夕( z ) = 墨o o n 扩，仍( z ) = 墨1 k 扩， 1 ( z ) = 墨l 扩和 2 ( z ) = 墨1 厶扩都 在单位圆盘u 内解析，则我们有 入f ( o ) = i i c l l i d l i i = 入 ( 0 ) = ：1 ( 2 9 ) 为了证明f ( z ) 在圆盘珥。内是单叶的，我们采用文献 1 2 ，1 5 】中的证明方法根据定 理2 2 5 的假设，及定理m 和引理2 2 1 ，我们有 i 。n l + j k l 要尬( 几= 1 ，2 ，) ，i i + i 如i k ( 尬) ( n = 2 ，3 ，) ， ( 2 1 0 ) 其中k ( 尬) = m i n 甄口，要尬) 因此，对圆盘珥( 0 p 3 ，盯i 盯1 r 3 塑丝2 尬 、 运用引理2 2 1 和定理m ，采用定理2 2 6 证明的类似方法，我们可以改进定理o 1 9 勿 忽 沈 一 一 一 定理2 2 8 设f ( z ) = 2 夕( z ) + ( z ) 为单位圆盘u 内的双调和映射，且满足f ( o ) = ( o ) = 如( o ) 一1 = o 和i 夕( z ) i 尬，l ( z ) i 尬( z u ) ，则f 在圆盘内是单叶 的，且f ( ) 包含一个单叶圆盘，其中仡如下方程： 州) 一2 r 尬一磊等寺一k ( 尬) 署；= 。， ( 2 m ) 的最小正根，且 c r 2 幽( 尬) 您一篇一k ( 蚴禹， ( 2 1 2 ) 这里a o ( m ) 由( 0 1 0 ) 给出 证明由定理2 2 6 的证明和定理2 2 8 的假设，我们有 如( o ) = i c l l 2 一i d l l 2 = ( o ) = 1 由( 0 1 0 ) ，我们可以得到 h ( 0 ) 入o ( 如) ( 2 1 3 ) 根据引理2 2 1 和定理m ，采用定理2 2 6 证明的类似方法，就可以完成定理2 2 8 的证明 口 运用引理2 2 3 和式( 0 1 0 ) ，我们得到了第二种形式的l a i l d a u 型定理 定理2 2 8 7 设f ( z ) = h 2 夕( 名) + ( z ) 为单位圆盘u 内的双调和映射，且满足f ( 0 ) = 九( o ) = 如( o ) 一1 = o 和i 夕( z ) i 尬，i 允l ( z ) i + i 危2 ( z ) i 尬( 名u ) ，则f 在圆盘内是 单叶的，且f ( 珥& ) 包含一个单叶圆盘，其中呓如下方程： 州) 一2 r 尬一蒹等斋一( 尬一驾字) 鲁；= 。， c 2 m ， 的最小正根，且 以讪( 尬蜘篇一( 尬一警) 禹， ( 2 1 5 ) 这里a o ( m ) 由( 0 1 0 ) 给出 注记2 2 9 注意到等尬 r 2 m ，盯； 盯2 凰 接下来的定理有所不同，因为当 = 0 时，雅可比行列式矗( 0 ) = 0 ，因此，我们可以假 设b ( o ) = 1 根据引理2 2 1 和定理m ，我们可以改进定理p 2 0 定理2 2 l o 设夕( z ) 为单位圆盘u 内的调和映射，且满足夕( o ) = b ( o ) 一1 ：o 和j 9 ( 2 ) i m ( z u ) 则f ( 名) = 2 9 ( 名) 在圆盘内是单叶的，且f ( ) 包含一个单叶圆盘，其 中 k ( m ) = m i n 蕊，半) ， ( 2 1 6 ) 1 ( 2 1 7 ) c r s = 悟以聊岛翟 亿 上述结果当m = 1 时是精确的 证明若f ( 名) = i z l 2 9 ( z ) 满足定理2 2 1 0 的条件，这里 o 。1 吾一 夕( z ) 2 夕1 ( z ) + 丽= 扩+ 6 n 扩 在u 内调和。则 | | 0 1 i _ f = ( o ) = 1 ( 2 1 9 ) 根据引理2 2 1 和定理m ，我们有 川+ m k ( m ) m = 2 ，3 ，) ( 2 2 0 ) 对圆盘珥( 0 7 。 这就意味着：对圆盘珥( o 1 时，有m 一击 蟛= 焉2 2 9 7 6 时，有k ( m ) = 半 1 ，很容易证得 吒 7 3 店，以 c r 3 岛 运用定理m 和引理2 2 1 ，采用定理2 2 1 0 证明的类似方法，我们司以改进定理q 定理2 2 1 2 设9 ( z ) 为单位圆盘u 内的调和映射，且满足夕( o ) = 占( o ) 一1 = o 和1 9 ( 名) l m ( z u ) 则f ( 名) = 2 夕( 名) 在圆盘内是单叶的，且f ( ) 包含一个单叶圆盘，其 中 k ( m ) r = - - - - - - - - - - - - - - - - - - = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = ! ! 知( m ) + 2 k ( m ) + 、凡( m ) k ( m ) + 4 k ( m ) 2 7 和 吼= 理_ 叫蚴禹拦 其中知( m ) 和k ( m ) 分别由式( o 1 0 ) 和( 2 1 6 ) 所给出上述结果当m = l 时是精确的 运用引理2 2 1 和定理m ，我们得到了双调和映射的如下第四种形式的l a n d a u 型定理 定理2 2 1 2 7 设夕( z ) 为单位圆盘u 内的调和映射，且满足夕( o ) = 占( o ) 一1 = o 和j 夕1 ( 名) i + 1 9 2 ( z ) i m ( z u ) 则f ( 名) = 2 9 ( z ) 在圆盘内是单叶的，且f ( ) 包含一个单叶圆 盘，其中 ，k ( m ) r j = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ， 4 a o ( m ) + 2 ( m 一嗨笋) + 、入。( m ) ( m 一嗨竽) + 4 ( m 一鸣笋) 。 和 以= 坩_ ( 肛黔禹箸 其中知( m ) 由式( 0 1 0 ) 所给出上述结果当m = 1 时是精确的 注记2 2 1 3 注意到：当m 1 时，有m 一嗨笋 瞒= 了惫2 2 9 7 6 时，有入l ( m ) = 半 弼= 南2 2 9 7 6 ，很容易证 得 噍 心 p 6 以，以 a r 4 风 岛 2 3 参考文献 【l 】a b 1 0 c h ，l e st l l g o 花m e sd ev a l 的ns u r l e sf u n c t i o n se n t i 邑r e se t l am g o r i ed el u n i f o l l l l i s a t i o n ， c d 唧纪舵，l 幽s a 凸耐f p a i i s ，1 9 7 8 ( 1 9 2 4 ) ，2 0 5 l 一2 0 5 2 【2 】e l 锄d a u ，d e rp i c o r d - s c h o t t k y s c h es a t z 觚dd i e b l o c h s c h ek o n s t 孤t e n ，s i t z u r i g s b e r p r e u s sa k a d ， w i s sb e r i i n ，p h y s m a ml 【1 19 2 6 ，p p 4 6 7 4 7 4 【3 】e l a i l d a u ， u b e rd i e b l o c h s c h ek o n s t 觚t c觚d z w e iv e r w 勰d t ew 色l tk o n s t a u n t 饥，讹晚z 3 0 ( 1 9 2 9 ) ，6 0 8 6 3 4 【4 】l v a h l f o r s ，h g n l n s 圾u b e rd i