（课程与教学论专业论文）建立知识图式促进数学理解的研究.pdf

摘要 摘要 “数学理解 是近年来数学教育界研究的一个热点问题。所谓“数学理解”， 从理解的对象来讲，是指学生在学习过程中对数学知识、数学思想、数学方法、 数学观及有关数学知识背景等的理解。其本质是学习者在头脑中形成关于这个 知识的内部网络，即建立了该知识的图式圆。图式是对事物的综合表征，代表个 人对人、事物或环境的知识的认知结构，它是命题网络、表象及线形排序的整合。 作为- 1 7 重要的基础学科，数学知识可以分为认识、理解、应用三个阶段， 而理解是决定学生是否真正学会习得数学知识的关键。因此如何帮助学生在数学 知识的学习中更好地实现数学理解是教师所要思考的重要问题。 本文拟就此问题进行探讨，提出了在数学知识的不同层次、知识组织结构系 统、数学知识的变化、数学知识产生过程、数学知识与实际情境中建立有效的图 式等几种教学策略，从而运用到我们的教学中，来促成学生实现数学理解。 关键词：知识图式数学理解策略 。王爱珍数学理解及理解障碍的探究( j ) 广东教育学院学报，2 0 0 4 ，2 口( 美】格劳斯，陈昌平等译数学教与学研究手册上海：上海教育出版社，1 9 9 9 1 3 6 - - 1 4 0 i a bs t r a c t m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g i sah o ti s s u ei nm a t h e m a t i c se d u c a t i o nr e c e n t l y o b j e c t so f - m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g i n c l u d es t u d e n t s u n d e r s t a n d i n gp r o c e s so f m a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e ， m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g ， m a t h e m a t i c a l m e t h o d s ， m a t h e m a t i c a lc o n c e p t s ，b a c k g r o u n do fm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ea n d s oo n i t se s s e n c e i st of o n na ni n t e r n a ln e t w o r ka b o u tt h ec e r t a i nm a t t e ri nl e a r n e r s m i n d ，w h i c hm e a n s b u i l d i n gt h es c h e m ao ft h em a r e r s c h e m ai st h ec o m p r e h e n s i v ec h a r a c t e r i z a t i o no f t h i n g s t h a t r e p r e s e n t sp e o p l e sc o g n i t i v e s t r u c t u r e so fh u m a n s ，t h i n g s a n d s u r r o u n d i n g s i t si n t e g r a t i o n so f t h ep r o p o s i t i o n a ln e t w o r k ，r e p r e s e n t a t i o n sa n dl i n e a r o r d e r s m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g ，a ni m p o r t a n tb a s i cs u b j e c t ，c a nb ed i v i d e di n t o t h r e es t a g e si n c l u d i n gc o g n i t i o n ，u n d e r s t a n d i n ga n da p p l i c a t i o n a m o n gt h et h r e e s t a g e s ，u n d e r s t a n d i n gi st h ek e yf o rs t u d e n t s t og e ta c q u i s i t i o n so fm a t h e m a t i c a l k n o w l e d g e t h e r e f o r e ，t e a c h e r s s h o u l dc o n c e mh o wt oh e l ps t u d e n t sg e tb e t t e r m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n gd u r i n gd a i l ys t u d y f o rt h i sp r o b l e m ，t h ep a p e rs h o w ss e v e r a le f f e c t i v et e a c h i n gs t r a t e g i e so fs c h e m a f r o md i f f e r e n tl e v e l sa n dk n o w l e d g es t r u c t u r e s ，m a t h e m a t i c a lv a r i a n t s ，t h ep r o c e s so f p r o d u c i n gm a t h e m a t i c a lk n o w l e d g ea n d a c t u a ll e a r n i n gs i t u a t i o n s i nt h i sw a y , t h e s e g i v e ns t r a t e g i e sc a nb ea p p l i e dt oo u rt e a c h i n g s ot h a ts t u d e n t sc a na c h i e v eb e t t e r m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g k e y w o r d s ：k n o w l e d g e ，s c h e m a ，m a t h e m a t i c a lu n d e r s t a n d i n g ，s t r a t e g y 前言 吉鲁士 刖青 在数学学习中，第一位的是理解，这显然毋庸置疑。因此，“数学理解 成 了当前国内外数学教育研究的中心话题。客观地说，虽然教师和学生对数学的 教与学都付出了巨大的努力，但理解困难仍然是学生学习数学的最大障碍。 究其原因，一方面，我们的教学方式还不能最有效地促进学生理解数学，传 统的“定理实例练习习题”教学方式只关注学生能否依据固定的模 式得到答案，定位在工具性、操作性理解水平上；另一方面，学生数学学习中的 被动地位还未得到根本改变。教师试图通过多讲、细讲来提高学生理解水平，学 生的数学知识来自于教师的给予，学生所要做的只是接受和模仿。结果是，学生 学得很苦，但并没有获得很好的数学理解。o 图式是人们为了应付某一特定情境而产生的认知结构。 图式是“代表个人 对事物、人或环境的知识的认知结构，它包括对所认识的对象的特点以及这些特 点的相互关系的认识 。 安德森认为：“图式是对范畴的规律性作出编码的一种 形式。这些规律性既可以是知觉性的，也可以是命题性。” 自图式理论诞生以来，人们把它运用于各科教学实践中，对研究认知结构的 形成和发展起到了非常重要的作用，为人们进一步理解知识、掌握知识、运用知 识提供了非常有效的方法。由于数学知识的侧重点不同，相应的教学方式和教学 理念也不尽相同。 为了帮助学生实现数学理解，教师可以尝试在数学知识之间建构图式。本文 在对国内外图式理论研究、对数学理解的研究作一简要回顾的基础上，着重阐述 图式思维促进学生认知理解的作用和策略，以便为进一步开展后续研究和改善教 学效果提供指导。 0 1 问题的提出 o 1 1 数学理解的重要地位 在数学学习中，理解是第一位的。因此，“数学理解 成了当前国内外数学 马复试论数学理解的两种类型( j ) 数学教育学报，2 0 0 1 ，l o ( 3 ) ：5 0 - 5 1 口王光明关于学生数学认知理解的调查和思考( j ) 当代教育科学，2 0 0 5 ，( 2 3 ) ：6 4 o 马志敏高等数学( m ) 中山大学出版社。2 0 0 3 回刘玉琏数学分析讲义( m ) 北京：高等教育出版社，1 9 9 2 。j r a n d e r s o n c o g n i t i v ep s y c h o l o g ya n di t si m p l i c a t i o n s n e w y o r k ：f r e e m a n ，1 9 8 0 1 3 4 l 前言 教育研究的中心话题。h i e b e r t 和c a r p e n t e r 认为：“一个数学的概念或方法或事实 被理解了，如果它成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，如果 它的智力表示成了表示网络的部分。”因此理解的程度是由联系的数目和强度来 确定的。李士琦先生认为“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组 织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才 说明是理解了。 作为- i - j 重要的基础学科，数学知识的学习除了一些基本技能的掌握，更多 的是掌握其中的思想方法，培养学生良好的思维习惯。所以在数学教学中，知识 的学习固然重要，灵活应用和深刻理解更为关键。 o 1 2 目前我国中学生数学理解现状 目前从总体上讲我国中学数学教学对数学理解的重视程度还不够，主要是受 教育体制( 如应试教育等) 、社会环境以及各种观念的影响。首先，从学校教育 的角度讲，在数学教学中，尚未给学生提供足够理解的时间和机会。其次，在传 统的课堂教学中，其时间分配主要有两大部分g 第一部分是教师讲授新知识；第 二部分就是学生做大量的练习，其中不少是机械、模仿式的练习。这样留给学生 动脑思考、理解、消化的时间就很少。 值得注意的是，在应试教育的影响下，据教师、学生反映，正规、大型的考 试往往题量太大。考生在拿到试题后，一看题目就要知道题目该怎么做，才可能 在规定的时间内完成答卷，否则题目就做不完。所以整个考试过程几乎谈不上对 题目做深入的思考与理解。这样，势必对教师产生不良的导向：教学中必须实施 “题海战术”，对学生进行“大运动量训练”，否则很难应付这样的考试。久而久 之，教师就忽略了学生对基础知识的理解及对理解能力的培养，学生也就疲于应 付作业，无暇深入思考、理解数学知识，从而造成学生理解水平不高。回 o 1 3 新课程对学生数学学习的新要求 2 0 0 3 年颁布的初中数学课程标准中指出：“义务教育阶段的数学课程， 其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐地发展 。它强调“从学生已有的生 活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过 程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方 面得到进步和发展。” 。王爱珍新课程下数学理解与促进学生数学理解( j ) 中学数学教学参考，2 0 0 8 ，5 ；1 0 1 3 2 前言 新课程的基本理念之一就是“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平 和已有的知识经验基础之上。数学教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充 分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌 握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 o 1 4 图式对教学活动的影响 图式是人们为了应付某一特定情境而产生的认知结构。图式是“代表个人对 事物、人或环境的知识的认知结构，它包括对所认识的对象的特点以及这些特点 的相互关系的认识”。自图式理论诞生以来，人们把它运用于各科教学实践中， 对研究认知结构的形成和发展起到了非常重要的作用，为人们进一步理解知识、 掌握知识、运用知识提供了非常有效的方法。 0 2 本研究的意义 o 2 1 新课程改革的核心是要求变革师生教学的方式 2 0 0 3 年颁布的初中数学课程标准，给教育界带来了一股强劲的改革浪潮。 如何更好的实施，更好的促进学生的发展成为了众多教育专家的研究热点。作为 一线教师，正在亲身经历课程改革的洗礼，除了需要不断更新自身的学科水平， 更需要更新教育理念，从而带动自己教学方式的改革。 新课程认为：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性 的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等 数学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。有效 的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是 学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式 的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。 新课程改革中的核心理念就是要变革师生的教学方式。培养学生的推理能 力不单要重视逻辑演绎，而且要重视利用手头的资料、数据作出推断以及进行独 立整合消化的能力；思考的基础不单是言语，还有表象，它涉及形象和屏幕的表 达和解读，信息量大为增加，这个过程可以看做是知识图式的建构。 新课程还再三强调了学生的主体地位，认为学习不单是注重学生的听讲， 还要求教师提供学生能基于研究、发现或实验的机会，并且教会学生能进行主动 学习。从这个层面上说，协助学生建构知识的图式，可以更好的促成学生的主动、 前言 自主学习，体现新课程的理念。 0 2 2 图式的特点决定了它能促进数学知识的理解 与人文学科不同的是，数学作为- i 1 重要的基础学科，其知识的构成具有逻 辑性。其每个知识体系的内部有着缜密的联系，知识与知识之间也有很强的逻辑 抽象的特点。它们共同组成了数学的知识网络。 图式是种形成于人头脑中的认知结构，具有知识性、抽象性、结构性和综 合性。它可以被学习和掌握。图式所表征的知识可以是一个概念，也可以是事实 或原理的叙述。 图式也是知识的抽象化的反映，是事物的具体形( 性) 态在头脑中的认识和 反映，是非物质的，它抛开具体事物而存在，而以具体的事物为基础，但离不开 具体事物，侧重于事物的本质特征。因此如果学生在数学学习的过程中，能尝试 把各知识节点之间按一定的联系形成一种立体网络或层次网络，将所学的知识进 行合理科学的建构整合，在头脑中形成许多各自独立，但是相互之间又有紧密联 系的图式，那么必将对学生更好得实现数学理解，习得新知识、新技能，把握数 学学习的方法起到积极作用。 o 2 3 研究现状 北京师范大学的辛自强博士在他的知识解决与知识建构一书中探讨了数 学问题解决中图式与策略获得的研究，他认为图式是以某个主题为中心组织起来 的有结构的知识体系。它是概括性的陈述性知识，是陈述性知识的精华，是关于 某个内容领域的知识结构。 华东师范大学的王兄博士认为，对图式的理解可以从四个方面入手：一是“一 般性 ，即图式储存的知识具有一定的概括性；二是“知识性 ，图式既描述某类 事物的必要性特征，又描述其特点性特征；三是“结构性”，图式中各知识节点 之间按一定的关系联系组成种层次网络；四是“综合性，即图式表征的知识 有陈述性知识、程序性知识，还有策略性知识。 王兄博士的研究以数学概念学习为切入点，探究了数学概念学习中的图式理 论。她的研究结果表明，在数学概念学习中，个体图式学习策略的形成是十分重 要的。它既有利于知识的结构化，又能够优化学生的认知结构。在数学问题解决 中，图式策略可以使个体探究问题的张力扩大、指向性增强。同时，图式也是一 种高级的教学策略。它重视了学生完整的知识结构地建构与活化，并因此消减了 4 因为概念等知识难度增加所带来的认知障碍。 刘秀梅在研究了数学图式的类型后认为，从数学知识呈现的形式来看，可以 分为概念图式和原理图式。从知识的类型来看，可以将图式分为陈述性知识图式、 程序性知识图式和策略性知识图式。从解决数学问题的角度来看，可以将图式分 为论证图式和计算图式。从对数学问题认识的角度看，可以分为情境图式和反思 图式。 王君、周莹认为图式是对数学思维品质的培养也具有重要的作用。具体可通 过三个途径，即建构网状概念图式：让思维品质在交流中促进新知；建构发散问 题图式：让思维品质在提问中促进创新；建构蒲公英式解题图式：让思维品质在 解题中促进反思。 从文献检索发现，国外对图式的研究比较多，国内的研究偏少，而且国外的 这些研究偏重于心理学方面。运用图式策略进行教育研究的在国内有所尝试，国 内真正在教学中尝试的以语文、英语居多，在数学教学中运用构建图式的方法进 行的教学尝试和研究不是很多。北京师范大学的辛自强博士在自己的问题解决 与知识建构一书中对图式在数学上的应用有一定的阐述；华东师范大学的王兄 博士也对图式理论在数学教学中的策略进行了详细研究，撰写了图式教学策略 的实验研究等多篇相关论文。总的来说，建构图式来促进学生的数学理解的研 究尚不深入，其研究成果还不丰富。 0 3 研究问题的确定 o 3 1 课题的研究目标 本课题研究的目标是通过实践研究，探讨图式思维促进学生认知理解的作 用，进一步获得在初中生数学教学中帮助学生建构图式促进数学理解的策略。从 而获得有益的教学方法，以更好地促进学生自身认知结构中新旧知识的同化和顺 应。 其目标还在于，希望能帮助一线教师提高教学效率，改进课堂状况；帮助学 生提高对知识的理解能力，增强学习的主动性；教会学生进行知识的系统梳理的 方法，增强自主学习的意识，激发学生的创造力，为终身学习奠定坚实基础，促 进学生全面发展。 王兄关于图式理论应用的实验研究( j ) 辽宁师范大学学报( 自然科学版) ，2 0 0 3 ，9 o 刘秀梅论数学图式的类型、特点及功能( j ) 宿州教育学院学报。2 0 0 7 ，8 。王君，周莹图式建构思想在数学思维品质的培养( j ) 内蒙古师范大学学报( 教育科学版) ，2 0 0 6 ，2 5 前言 0 3 2 教育理论依据 ( 1 ) 皮亚杰的发生认识论 ( 2 ) 建构主义学习理论 ( 3 ) 斯根普的数学理解的两种模式 “) 奥苏伯尔的有意义学习理论 0 3 3 研究思路和研究手段 在综述有关图式理论、数学理解的理论及与之相关的研究的进展和成果的基 础上，通过测试了解初中生利用图式思维学习能力的现状，制定提高学生建立知 识图式的能力的培养策略方案。进而进行策略尝试教学，再通过实验研究对方案 的可行性进行论证。运用调查表格和相关题目测试，来对利用图式思维帮助学生 数学理解，提高学习效率，改进教学效果进行分析，最后得出初中生建立知识图 式促进数学理解的培养策略。 o 3 4 本课题的研究方法 ( 1 ) 文献检索 在学习有关图式理论，阅读了大量的有关教育学，心理学及教学法的书籍， 查阅了相关资料的基础上，对图式理论及实践进行了探究。 ( 2 ) 案例研究 收集通过建构图式促进学生理解的典型教学案例，加以评析；结合自身的教 学实践，探索研究利用图式观念进行教学。 ( 3 ) 实验研究 开展实验研究，分析图式思维对学生的数学理解以及对于教师的有效教学的 影响和作用，并把它用于教学实践，通过实验和实验结果证明本文假设。 ( 4 ) 访谈 在实验过程中和实验结束后，以个别访谈或者书面体会的形式对实验学生进 行调查以获得对实验结果的反馈，进一步了解学生解决数学问题的思维方式、认 识问题的角度以及解题感受。 6 第1 章图式的内涵及特征 1 图式的内涵及特征 1 1 国内外图式理论研究 1 1 1 图式思想的渊源 图式( s c h e m e ，复数为s c h e m a t a ) ，在心理学中是个非常重要的概念。这 个概念在很多关于问题解决和推理方面的文献中( g i c k & h o l y o a k ，1 9 8 3 ；p i t t ， 1 9 8 3 ：r e e d ，1 9 9 1 ：c h e n ，1 9 9 9 ) 屡屡出现，但是对“图式”概念的界定，众 说不一。 这个词的出现至少可以追溯到1 8 世纪的德国哲学家康德那里，他认为图式 是指以一般的方式来建构概念的规则，后来被英国剑桥的巴特莱特( f c b a r t l e t t ， 1 8 8 6 - - 1 9 6 9 ) 引入心理学中( 转引自h o w a r d ，1 9 8 7 ，p 3 1 ) 。巴特莱特( 1 9 3 2 ) 在研 究回忆中发生的错误时，借用了图式这一概念。他将图式定义为“关于过去反应 或以往经历的一种主动组织”。他在2 0 世纪二三十年代提出了图式概念和图式理 论，然而由于当时行为主义统治了心理学，心理活动被排除在科学研究的对象之 外，所以直至2 0 世纪七八十年代，这个思想的影响才体现在认知心理学上。 1 1 2 康德的先验图式理论 在康德之前，经验论和唯理论两大派的争斗异常激烈，难分上下，以培根、 洛克为代表的经验论者认为知识的唯一源泉是感性经验，而以笛卡尔、莱布尼兹 为首的唯理论者则认为知识来源于“天赋观念”、“先验原则”。康德就是在这种 背景条件下进行他的“哥白尼式的革命”、提出他的先验论的认识论理论的。 康德一方面强调感性经验是人的认识的根本材料，以区别于唯理论；另一方 面，他又强调先验的直观形式和知性范畴是人的认识的必要因素，以区别于经验 论。康德说：“我们得到知识是从两个基本源泉来的：要就是我们以印象的形式 接受表象，要就是通过自发的概念能力来借着那些表象以认识对象。在前一种情 况下，对象是给予我们的；在后一种情况下，对象是和发生在我们意识中的印象 相关联着而为我们所思维的。” 康德还认为，一般的概念是由经验提升而来的，概念与直观有同质的东西。 辛自强问题解决与知识建构( m ) 北京：教育科学出版社，2 0 0 5 ：2 2 2 3 。康德康德哲学原著选读( m ) 商务印书馆，1 9 6 3 ：3 9 7 第1 章图式的内涵及特征 例如，“圆”这个概念与“盘子”这个经验直观具有同质的东西，所以一个对象 可以归摄于一个概念之下，将概念运用于直观并没有什么困难。 范畴与概念有所不同，范畴作为“知性纯粹概念”与任何感性直观是不同质 的，因而范畴是永远不能在直观中实现的，例如没有任何人能在直观中看见“原 因 这个范畴。 于是，这里就存在着这样一个问题：“直观怎样能归摄于一个纯概念之下呢? 怎样能把一个范畴应用于感官的一个对象之确定呢? ”康德认为：“显然必定有 某第三种东西，一方面是和范畴同质，而另一方面又和感官的对象同质，这样就 能使范畴适用于对象，这个中间的对象必须是纯粹的，即没有任何经验成分的， 然而必须同时是知性的而又是感性的。这样的一个观念就是先验的图式。 o 1 1 3 皮亚杰的图式理论 皮亚杰创立了“发生认识论”，提出了他的“图式”学说。发生认识论研究 的主要内容有：“( 1 ) 知识形成的心理结构( 即认知结构) ；( 2 ) 知识发展过程中新 知识形成的机制”，这都是与关于图式的构成、图式的功能、图式的特征、图式 的建构过程等问题相关的。 皮亚杰给图式下过一个定义：“图式( s c h e m e ，s c h m a ) 是指动作的结构或组织， 这些动作在同样或类似的环境中由于重复而引起迁移或概括。加这个定义较为简 练，准确把握其意思有一定难度。 再看皮亚杰对图式所做的一个说明，这个说明比较清楚地解释了上面的定 义。皮亚杰说：“在一个活动中，我们把其中的那个能被从一个情景传递到另一 个情景因而能加以普遍化和分化的东西称作动作图式。换言之，图式就是同一活 动在多次重复和运用中共同具有的那个东西。 皮亚杰形象地把个体头脑中的图式比喻为索引夹，里面装满了许多索引卡 片，每一张代表一个具体的图式。图式之间可以互相协凋，形成一个有规则的一 般图式，它代表着主体某一时期的智力程度、认识水平。 建构( c o n s t r u c t i o n ) ，是图式说的一个重要概念，指同一结构继续不断改变更 新的历时性发展，从低级到高级，简单到复杂，零散到整体。 图式的建构过程，是在同化和顺应二种作用中完成的。 “同化”( a s s i m i l a t i o n ) ，是皮亚杰从生物学中借用的一个术语，指把客体经 。康德康德哲学原著选读( m ) 商务印书馆，1 9 6 3 ：7 5 。皮亚杰，英海尔德儿童心理学( m i 商务印书馆，1 9 8 0 ：5 曲皮亚杰生物学与认识c m ) 三联书社，1 9 8 9 ：7 8 第1 章图式的内涵及特征 验或客体本身的因素加以选择、整合、变换，然后纳入主体现有图式或行为模式 之中合成为一个新的整体。 当环境变化，原有图式不能再同化新的刺激时，主体修改或创造图式就是 “顺应”( a c c o m m o d a t i o n ) 。 不难看出，同化和顺应合起来，实际上就是图式的双重建构。顺应，是不断导 致新图式产生的内化建构；同化则是不断运用主体图式去组织转变客体经验或客 体本身的外化建构。简单说，主体对客体的主动作用是同化：主体对客体的被动 作用是顺应。同化进程仅是增加现有图式数量上的变化，促进认识的生长；顺应 进程则是促进认识的发展，导致图式质量上的变化。 1 1 4 其他图式理论 1 9 3 2 年德国心理学家巴特莱特伊c b a r l e t t e ) 首先提出了图式理论，并对其作 出阐释：图式是个体已有的知识结构，而知识结构是学习和实践在人心理，特别 是在思维过程中形成的知识体系，这个知识结构对于个体认识事物发挥着重要作 用。在认知过程中，个体只有把新刺激与已有的相关知识联系起来才会理解它。 随着现代认知心理学产生和发展，图式理论也不断得到丰富和完善。 进入八十年代，现代认知心理学家鲁默哈特( k e r u m e lh a r t ) 进一步充实 了这一理论，他认为：图式理论是一种关于人的知识的理论，所有的已有知识在 头脑中经过整理内化形成一定的组织，这种组织就是图式。 九十年代初，欧麦利( j u o m a l l a y ) 把图式理论作为认识的一部分进行了更 深入的研究，他认为：图式是“信息在大脑的储存方式之一，是围绕一个共同题 目组成的大型信息结构。它比命题网络的范围更广。典型的图式结构是分层次的， 信息子集包括于更大、范围更广的概念之中。”图式不仅包括知识本身，还包括 有些知识如何被应用的信息，即图式的启动。在认识过程中，图式的主要作用是 说明人的理解过程，理解时需要个体已有的图式中相关的知识的加入，通过分析、 推理、比较、综合等心理过程，达到知识的运用和解决问题。 图式理论的基本观点是，人的大脑里储存着完整的信息体系和旧有的知识 ( p r i o rk n o w l e d g e ) ，当人们在进行信息加工时，图式会有意识或下意识地起作用。 因此，作为教师，应该善于激活或调用学生大脑中的图式。在学生进行听、说、 读、写等智力活动时，教师可提供相关的背景知识，以激活学生储存在大脑中的 背景知识，引起更多的知识关联。 张国福皮亚杰的“图式”学说浅探 ( j ) 北京师范大学学报( 社会科学版) ，1 9 8 6 5 ：9 0 9 3 9 第1 章图式的内涵及特征 l2 现代认知心理学对图式的界定 1 2 1 认知心理学家r u m e lh a r t 等人对图式的界定 认知心理学r u m e lh a r t 等人在图式理论的推广中发挥了重要作用。他将图 式定义为表征某些刺激领域的某些方面的有组织的知识体系或心理结构( r u m e l h a r t & o r t o n y ，1 9 7 7 ；r u m e l h a r t ，1 9 8 0 ) 。图式是从经验中抽象出的一种表征， 可以用来理解和应对世界。它由关于世界的各部分如何组织的一系列“期望组 成，这些期望可用于对各种刺激进行分类。 1 2 2 t h o r n d y k e 对图式的界定 美国心理学家t h o m d y k e 把图式定义为表征类程序、物体、知觉、事件、 时间序列或社会情境的一组知识，这组知识为一个可以示例化( i n s t a n t i a t e d ) 或者 用被表征对象的特征加以填充的概念提供了框架结构。 1 2 3s i m o n 对图式的界定 西蒙( s i m o n ) , 贝u 从知识分类的角度指出，专家所具有的知识可以粗略分为两 类：一类知识是有关如何去做的方法步骤或程序，例如如何骑自行车的方法步骤 等；另一类可以称为数据结构( d a t es t r u c t u r e ) ，现代认知心理学家也称其为图式 或框架( f r a m e w o r k ) 。 数据结构、图式和框架这三个词是作为同义词来使用的， 我们无法对它们进行严格的划分，它包含着有关某一个特定内容方面的知识。 1 3 图式的特征 1 3 1 m a y e r 对图式特征的阐述 m a y e r ( 1 9 8 3 ) 从四个方面描述了图式：一是概括性，图式作为用于理解输入 信息的框架，可以在广泛的情境中使用；二是知识，图式作为一个人所知道的知 识存在于记忆中；三是结构，图式是围绕某个主题有结构地组织起来的：四是理 解力。 t h o m d y k e 。p w a p p l i c a t i o n so f s c h e m at h e o r yi nc o g n i t i v er e s e a r c h i nj r a n d e r s o n & s m k o s s l y n t 宦d s ) ，t u t o r i a l si nl e a r n i n ga n dm e m o r y s a nf r a n c i s c o ：f 佗e m a n 。1 9 8 4 ：1 6 7 1 9 1 口司马贺( s i m o n ，h a ) 人类的认知一思维的信息加工理论荆其诚、张厚粲译( m ) 北京：科学出 版社，1 9 8 6 ：1 0 2 盛辛自强问题解决与知识建构【m ) 北京：教育科学出版社，2 0 0 5 ：2 4 1 0 第1 章图式的内涵及特征 图式所描述的知识由一部分或几部分按一定的方式组合起来，其中的组成部 分称之为变量( v a r i a b l e ) 或槽道( s l o t ) 。例如：动物的图式包括有皮肤、能活动、 吃食物、呼吸空气：鸟的图式包括有翅膀、有羽毛、能飞等。图式的“槽”，可以 填充特定的信息，便与信息意义的解读。这就是说，图式可以被示例化，它的“槽” 可以填入各种刺激( h o w a r d ，1 9 8 7 ，p p 3 2 3 4 ) 。 1 3 2 t h o r n d y k e 对图式特征的阐述 t h o m d y k e ( 1 9 8 4 ) 提出图式有五个特征，也比较广泛的受到认可。这五个特征 是：抽象、示例化、预测、归纳和层次组织。 一个图式代表了所表征概念的原型抽象，包含着定义其典型事例的特征，这 些特征为概念提供了框架结构。这些特征用变量来代表，变量可以用特定的示例 加以填充或示例化。如果输入的信息不完整，图式可以对期望的信息加以预测， 并指示对输入信息的解释。 图式是通过对各种示例上的经验加以归纳而形成的，归纳是对期望特征不断 的定义和提纯的过程。最后根据专门性水平的不同，将图式按层次组织起来。例 如，图式可以组成一个系统树，每个图式作为大树的一个分又，同时又根植于其 中，组成图式树。 o 辛自强问题解决与知识建构( m ) 北京：教育科学出版社，2 0 0 5 ：2 5 l l 第2 章数学图式的类型及特点 2 数学图式的类型及特点 2 1 数学图式的类型 从数学知识呈现的形式来看，可以分为概念图式和原理图式。概念图式是数 学概念在人脑中所形成的图式结构。概念不同，其图式结构也各不相同。如函数 图式、极限图式等。原理图式是数学原理在人们头脑中的反映，重在说明概念之 间的关系，揭示事物之间内在的因果关系及规律。 从知识的类型来看，图式可分为陈述性知识图式、程序性知识图式和策略性 知识图式。陈述性知识图式是陈述性知识在我们头脑中的反映。程序性知识图式 是对要解决的数学问题的程序的认知，是操作程序前的认识准备。策略性知识图 式是对解决问题策略办法的认知，策略图式是采取什么策略来解决问题的问题。 从解决数学问题的角度来看，可以将图式分为论证图式和计算图式。论证图 式是论证问题时，所采取步骤的组织结构。计算图式是在解决计算问题时所采取 的方式、方法。 从对数学问题认识的角度看，可以分为情境图式和反思图式。情境图式是对 数学问题的情境环境的认知。不同的问题带给学习者的是不同的情境图式。一个 人对同一个问题也会产生不同的情境图式，所建构的情境优劣对解决问题具有重 要意义。反思图式是对数学问题认识及解决过程或解决问题后相关问题的认知， 如对策略图式、程序图式等认知过程的反思。 2 2 数学图式的特点 图式具有知识性。图式可以被学习和掌握。图式所表征的知识可以是一个概 念，也可以是事实或原理的叙述。 图式具有抽象性。概念和原理都具有抽象性，图式也是知识的抽象化的反映， 是事物的具体形( 性) 态在头脑中的认识和反映，是非物质的，它抛开具体事物 而存在，而以具体的事物为基础，但离不开具体事物，侧重于事物的本质特征。 图式具有结构性。这是由知识的结构性决定的。图式中的各知识节点之间按 一定的联系形成一种立体网络或层次网络，相互之间有紧密联系。同时，各种不 m 刘秀梅论数学图式的类型、特点及功能( j ) 宿州教育学院学报，2 0 0 7 ，8 ：1 8 3 1 2 第2 章数学图式的类型及特点 同图式之间又具有包含关系，一个图式可以被包含在另一个图式中，具有层级结 构或隶属关系。 图式具有综合性。人类的知识是多方面的知识的综合，各种不同的知识图式 组合到一起就成为一个综合图式。 。刘秀梅论数学图式的类型、特点及功能【j 】宿州教育学院学报，2 0 0 7 ，8 - 1 8 4 1 3 第3 章对数学理解的研究 3 对数学理解的研究 3 1 理解的涵义 当今世界许多国家重视学习中的理解，不是仅将理解作为手段，理解本身也 是目的。 美国1 9 9 6 年颁布的国家科学教育标准中，教学重点的变化之一是：“不 太强调在一个单元或一章结束后对学生进行事实性知识测验，而比较强调不断评 价学生的理解能力 ；评价重点的变化之一是：“不太强调科学知识，比较强调 评价科学理解力”。；内容重点的变化是：“不太强调了解科学事实和信息，更强 调理解科学概念。 加拿大安大略省科学课程标准则将理解基本概念作为三大教育目标之一。 日本文部省于1 9 9 8 年1 2 月公布了2 0 0 2 年实施的中小学数学学习指导要领，该 “要领”削减了一些复杂的计算，精简了一些知识点，把重点放在“对方法的理 解 上，加强了理解数学本质的要求。 我国新颁布的课程标准也十分重视理解的问题。比如，2 0 0 3 年颁布的初中 数学课程标准中指出：“义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生 全面、持续、和谐地发展”。它强调“从学生已有的生活经验出发，让学生亲身 经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数 学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展。” 新课程强调“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经 验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机 会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与 技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。 回 由此可见，“理解”在许多国家的课程改革中都得到重视，尤其对于基础学 科的数学，学生对所学知识和思想方法的理解更为重要。 ( 美) 国家研究理事会美国国家科学教育标准戢守忐，金庆和梁静敏等译北京：科学技术文献出 版社，1 9 9 9 ：5 6 。( 美) 国家研究理事会美国国家科学教育标准戢守忐，金庆和，梁静敏等译北京：科学技术文献出 版社，1 9 9 9 ：1 2 1 ( 美) 国家研究理事会美国国家科学教育标准戢守忐，金庆和，梁静敏等译北京：科学技术文献出 版社，1 9 9 9 ：1 3 7 o 加拿大安大略省教育和培训部加拿大l 一8 年级科学课程标准胡军译北京：科学出版社，2 0 0 1 ，7 o 綦春霞主编数学课程论与数学教材改革北京：北京师范大学出版社。2 0 0 1 ：3 2 8 中华人民共和国教育部全日制义务教育阶段数学课程标准( 实验稿) 北京；人民教育出版社，2 0 0 1 1 4 第3 章对数学理解的研究 3 2 数学理解的涵义 h i e b e r t 和c a r p e n t e r 认为：“一个数学的概念或方法或事实被理解了，如果它 成了内部网络的一个部分。更确切地说，数学是理解了，如果它的智力表示成了 表示网络的部分。 因此理解的程度是由联系的数目和强度来确定的。 我国李士琦先生认为“学习一个数学概念、原理、法则，如果在心理上能组 织起适当的有效的认知结构，并使之成为个人内部的知识网络的一部分，那么才 说明是理解了。 鉴于此，数学理解至少包含这样几层意义：知识的理解必须要 有一定的心理基础，必须选择和调动起相对称的认知图式，其理解是一个信息或 要素组织的过程，同时，理解还需要认知结构的再组织。 黄燕玲等进一步认为，数学理解是一个动态过程，是认知结构的建构和知识 意义的建构过程。 3 3 斯根普的数学理解的两种模式 1 9 7 6 年，斯根普在与挪威的梅林一奥森( s t i e gm e l l i n - - - o l s e n ) 交流以后， 明确提出了事物的理解有两种模式：工具性理解和关系性理解。所谓工具性理解 是指：一种语义性理解一符号a 所指代的事物是什么，或者一种程序性理解 个规则r 所指定的每一个步骤是什么，如何操作：关系性理解则还需加上对符号 意义和替代物本身结构上的认识，获得符号指代物意义的途径，以及规则本身有 效性的逻辑依据等等。 斯根普认为：学生在学习新的数学概念或数学公式时，由于对代表学习对象 的符号形式不熟悉( 尤其是由一些不常见的字母或复杂形态所表示的符号) ，往 往把注意力集中于对符号本身含义的描述，而不是它的指代物的意义上，即所从 事的是促进“工具性理解”形成的活动。显然，就对概念或法则的学习过程而言， “工具性理解”应当是其中一个重要的，甚至是不可缺少的环节；但是就数学知 识的学习而言，斯根普教授明确指出：更多的理解应当定位于“关系性理解”， 即最终我们应当让学生获得的是“关系性理解”。 格劳斯数学教与学研究手册( m ) 陈昌平译上海：上海教育出版社，1 9 9 9 ：1 3 1 - 1 9 4 o 李士琦p m e ：数学教育心理学c m ) 上海：华东师范大学出版社，2 0 0 1 ：6 4 8 7 。黄燕玲，喻平对数学理解的再认识( j ) 数学教育学报，2 0 0 3 ，1 1 ( 3 ) ：1 7 1 9 回马复试论数学理解的两种类型【j ) 数学教育学报，2 0 0 1 ，1 0 ( 3 ) ：5 0 - - 5 1 1 5 第4 章知识图式对促进学生数学理解的作用 4 知识图式对促进学生数学理解的作用 4 1 概念图有利于知识的学习与掌握 奥苏伯尔指出，概念图的基本思想是由学习者自发的学习概念的属性，通过 将新的概念和命题纳入到自己固有的概念中，从而产生学习的意义建构。在构建 概念图的过程中，学习者将概念通过横向、纵向、回溯等等的联系构成阶层化的、 由高级到低级或由大n 4 , 的、逐级分化的图表。在这一过程中，知识被高度浓缩， 同时学习者可以随时对概念图进行补充、修改，充实发展自己的知识结构，从而 有助于其进行有意义学习。 4 2 建立数与形的关联图式有助于知识的形象、直观思考 图形是一种视觉信息，是一种可视的意指方式、直观的表达方式、观看的传 播方式。图形侧重于直观的视觉特性，通过形象元素的组合关系展示图形的语义。 数和形是事物的数学特征的两个相互联系的侧面。它们既是对立的，又是统一的， 每一个图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之， 数量关系又常常可以通过图形做出直观的反映和描述，数形结合的实质就是将抽 象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维和形象思维结合起来。 4 3 有意义结构知识图式有利于简约解决问题的思维长度 完整的问题图式具有预测功能和联想功能，它可以帮助问题解决者发现隐含 的初始条件，预测问题解决的线路，不仅有助于问题表征的形成，而且结合了问 题解决的策略、方法和程序，可以指导整个问题解决的过程。 。张传伟。数学中“知识图式”在教学中的意义( j ) 数学通报，2 0 0 4 ，1 0 ：1 7 。张传伟数学中“知识图式”在教学中的意义( j ) 数学通报，2 0 0 4 ，1 0 ：1 9 1 6 第5 章建构知识图式促进学生数学理解的策略 5 建构知识图式促进学生数学理解的策略 5 1 构建数学知识不同层次间的图式 皮亚杰指出，个体对外界刺激的反应总是以主体已经具有或正在形成的认知 结构为转移的，因为，“没有一种行为，构成一种绝对的开端，它是嫁接在以前的 图式之上的。”皮亚杰提出了“s 营r 的双向作用关系，把简单的“s r 公式改为“s a t r ”( a t ：表示图式对刺激的同化) ，说明先有主体对客体刺激 的接收、过滤、筛选作用，然后才能有主体的反应。这说明一个个零散的外界刺 激只