（应用数学专业论文）非线性微分方程边值问题的正解(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 非线性微分方程边值问题的正解 摘要 非线性泛函分析是数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究学科，以数学 和自然科学中出现的非线性问题为背景，建立了处理非线性问题的若干理论和 方法由于非线性问题已引起国内外数学界和自然科学界的高度重视，对非线 性泛函及其应用的研究无疑具有重要的理论意义和应用价值，具有美好的研究 前景和应用前景 非线性微分方程问题来源于应用数学，物理学，控制论等各种应用学科中， 是现代分析数学中的一个重要分支，也是目前分析数学中研究最为活跃的领域 之一因其能很好的解释自然界中的各种各样的自然现象受到了越来越多的数 学工作者的关注其中，奇异多点边值问题来源于应用数学的各个领域以及物 理学中的模型，有着广泛的应用前景，其理论与方法将对数学相关方向的发展 有较大影响，同时也将对物理，化学，生物科学，天文学等相关学科的发展产 生积极的影响，具有重要的理论意义和应用价值本文利用锥理论，不动点理 论，k r a s n o s e l s k i i 不动点定理及l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理等，研究了几 类非线陛微分方程多点边值问题解的情况，得到了一些新成果从本质上改进 并推广了一些相关文章的结果根据内容本文分为以下三章： 本文在第一章中，主要利用k r a s n o s e l s k i i 不动点指数定理以及l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理，针对边值问题 jt 上4 ( t ) + 卢t ( t ) 一q t 正 ) = ，( 岛t 工) ，t ( 0 1 ) ， ( 1 1 2 ) lu ( o ) = “( 1 ) = t ”( o ) = t ”( 1 ) = 0 ， 讨论了至少一个正解，至少两个正解，三个正解的存在性，其中，q ，卢满足 ( 皿) ，：【0 ，1 】 0 ，o o ) _ 【0 ，。o ) 连续； ( 三k ) q ，p r ，满足卢 0 ，i = 1 ，2 ，g ( 【o ，。o ) ，【0 ，) ) ，n c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ 。o ) ) ，即允许a 在t = 0 和t = 1 处 有奇异 在第三章中，利用锥压缩和锥拉伸不动点定理给出一类三阶非线性微分方 程三点边值问题 j t 正( 。) + n ( 。) ，( 仳( ) ) = o ，。( o ，1 ) ， ( 3 1 1 ) 【u ( o ) = u 。( 0 ) = 0 ，u4 ( 1 ) = o r i t , 。( 7 7 ) 正解的存在性这里，0 7 7 1 ，1 a 石1 ，c ( o ，o o ) ， o ，) ) ，o c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ o o ) ) ，并且在区间i 芸，川上不恒为零，并允许a 在t = 0 和t = 1 处 有奇异本章前一部分是在，满足o = 氏= 0 或y o = k = o o 情况下边值问 题正解存在性结果；后一部分是在y o = 山g ( o ，+ 。o ) 情况下边值问题正解的 存在性结果，其中o ：l i m 型，：l i m 堂本文结果改进并推广了文 【6 】6 的一些结果 关键词：非线性边值问题；正解；不动点定理；锥；奇异性 曲阜师范大学硕士学位论文 1 一 o 1 1 ，一 1 - o s l t l v es o l u t l o n so tn o n l i n e a rd i l 詹e r e n t i a l e q u a t i o nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m a b s tr a c t n o n l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i si sn o to n l yp r o f o u n dt h e o r yb u ta l s ow i d e l y u s e dr e s e a r c hd i s c i p l i n ei nm a t h e m a t i c s ，i nt h ec o n t e x to fn o n l i n e a rp r o b l e m s o fm a t h e m a t i c sa n dn a t u r a ls c i e n c e s ，an u m b e ro ft h e o r i e sa n dm e t h o d so fd i l - i n gw i t hn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v eb e e ne s t a b l i s h e d b e c a u s eg r e a ti m p o r t a n c e o fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a sb e e nc o n c e r n e di nm a t h e m a t i c sf i e l da n dn a t u r a l s c i e n c e sf i e l da th o m ea n da b r o a d ，r e s e a r c h e so ft h en o n l i n e a rf u n c t i o n a la n d a p p l i c a t i o na r eu n d o u b t e d l yi m p o r t a n ta p p l i c a t i o no ft h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c e a n dv a l u e ，s oi th a sg o o dp r o s p e c t sf o rr e s e a r c h e sa n da p p l i c a t i o n s n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sp r o b l e m sa r i s ei nav a r i e t yo fa r e a so f m a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c y b e r n e t i c sa n do t h e ra p p l i e ds c i e n c e s ，w h i c hi sa ni m p o r t a n tb r a n c ho fm o d e r na n a l y s i sm a t h m a t i c sa n di so n eo ft h em o s ta c t i v e a r e a so fm a t h e m a t i c sp r e s e n t l y b e c a u s ei tc a ne x p l a i na l lk i n d so fn a t u r a lp h e - n o m e n a ，m o r ea n dm o r em a t h e m a t i c a n sa r ed e v o t i n gt h e i rt i m et oi t a m o n g o ft h e m ，t h es i n g u l a rm u l i t i p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sc o m ef r o ma l l k i n d so fa r e a so fa p p l i e dm a t h e m a t i c sa n dp h y s i c sm o d e l ，i th a sw i d ea p p l i c a - t i o np r o s p e c t s t h e o r i e sa n dm e t h o d sr e l a t e dt ot h ed i r e c t i o no fm a t h e m a t i c s w i l lh a v eg r e a t e ri m p a c to nd e v e l o p m e n t ，a tt h es a m et i m e ，i th a sap o s i t i v ei m - p a c to nd e v e l o p m e n ti np h y s i c a l ，c h e m i c a l ，b i o l o g i c a ls c i e n c e s ，a s t r o n o m y , a n d o t h e rr e l a t e dd i s c i p l i n e s ，s oi th a sg r e a tt h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n dt h ev a l u e o fa p p l i c a t i o n t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y st h ec o n et h e o r y ，f i x e dp o i n ti n d e x t h e o r y , k r a s n o s e l s k i if i x e dp o i n tt h e o r ya n dl e g g e t t w i l l i a m sf i x e dp o i n tt h e o r y a n ds oo nt oi n v e s t i g a t et h ee x i s t e n c eo fp o s i t o v es o l u t i o n so fs e v e r a lc l a s s e so f n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m t h er e s u l t so b t a i n e d a r ee i t h e rn e wo re s s e n t i a l l yg e n e r a l i z ea n di m p r o v et h ep r e v i o u sr e l e v a n to n e s t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，w em a i n l yu s et h ek r a s n o s e l s k i if i x d ep o i n ti n d e xt h o r e m a sw e l la st h el e g g e t t w i l l i a m sf i x e d p r o b l e m p o i n tt h e o r e m ，i nv i e wo fb o u n d a r yv a l u e i 乱( 4 ( t ) + p 乱( t ) 一a u ( t ) = f ( t ，u ) ，t ( 0 ，1 ) ， l 让( o ) = 让( 1 ) = u ( o ) = 牡( 1 ) = 0 ， ( 1 1 2 ) w ew i l ld i s c u s se x i s t e n c eo fa tl e a s to n ep o s i t i v es o l u t i o n ，a tl e a s tt w op o s i t i v e s o l u t i o n sa n dt h r e ep o s i t i v es o l u t i o n s ，w h e r e ，a ，罗s a t i s f i e s ： ( 日1 ) ，：【0 ，1 】【0 ，o o ) _ 【0 ，c 日) c o n t i n u o u s l y ； ( 日2 ) q ，p r ，s a t i s f i e s 卢 0 ，i = 1 ，2 ， c ( 【o ，) ， 0 ，。o ) ) ，n g ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ ) ) ，n a m e l yp e r m i ta h a ss t r a n g ei l lt2 u a n dt = 1p l a c e i nc h a p t e r3 ，w ee x p l o i tt h ef i x e dp o i n tt h e o r yo fc o n ee x p a n s i o na n dc o r n p r e s s i o nt os t u d ye x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fa c l a s st h r e e o r d e rs i n g u l a r n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nw i t ht h r e e p o i n tb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ： u ( 亡) + n ( ) ，( 乱( t ) ) = 0 ，t ( 0 ，1 ) ， u ( 0 ) = 牡( o ) = 0 ，让( 1 ) = n 乱( 7 7 ) ， ( 3 1 1 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 w h e r e0 叼 1 ，l q ；1 ，c ( o ，。) ，【0 ，) ) ，口c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ o 。) ) ， a n di sn o ti d e n t i c a l l yz e r oo n 兰，7 7 】，ai sa l l o w e dt ob es i n g u l a ra tt = 0o r t = 1 t h ea r t i c l ep r e c e d i n gp a r ti st h a tt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n t ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sd i s c u s s e d 、u n d e rc o n d i s i o n so f s a t i s f i n g j l n = | = 0 o rf 0 = l = o o ；t h el a t t e rp a r ti st h a tt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o nt ot h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi sd i s c u s s e d ，u n d e rc o n d i s i o n s 。f ，s a t i s f i n g = 厶g o ，+ o 。) w h e r ef 0 = u l 彬i m f ( 让u ) , f o o = 让l _ i m 。f u ( u ) i t i m p r o v e sa n di n c l u d e ss o m ek n o w nr e s u l t so f 【6 1 k e y w o r d s ：n o n l i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；p o s i t i v es o l u t i o n ；f i x e d p o i n tt h e o r e m ；c o n e ；s i n g u l a r i t y 1 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文非线性微分方程边值问题的正 解，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独立进行研究 工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式 注明本声明的法律结果将完全由本人承担 作者签名：韵鼎藿 日期：加g 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 非线性微分方程边值问题的正解系本人在曲阜师范大学攻读硕士学 位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归曲阜师范大 学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表本人完全了解曲阜师 范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文 的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅本人授权曲阜师范大学，可以 采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签弗7 瞬日期：埘彭 导师签名：张聋，节自日期：冽，6 ，l 第一章一类四阶常微分方程的正解 边值i 司题( b v p ) 2 让似( 亡) 2 夕( 瓦乱，u ) ， t ( o ，1 ) ( 1 1 1 ) l i 让( o ) = u ( 1 ) = u ( o ) = 让( 1 ) = 0 用于反映两端简单支撑的梁的平衡状态，近些年倍受关注，其存在性见文 1 】一 4 】文f 5 】和文 6 】分别就f o ，氕 o ，。) 及f o ，lg o ，) 的参仟 下，考虑了形如g ( t ，让，口) = 西( z ) ，( 饥) 的正解的存在性，其中f o = u l - + i m 0 + 耸竽， 氏= ，熙鼍竽文 7 】推广了文【5 】的结果，对更一般的情形9 ( t ，u ，u ) = 口乱一 肋+ e ( t ) f ( u ) 讨论问题( 1 1 1 ) 的正解存在性本文是利用k r a s n o s e l s k i i 不 动点指数定理 8 】及l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理【1 0 1 5 】，针对边值问题 p ) ( 力邯，( 力啪以力吖 一) 挺( 0 ，1 ) ， ( 1 1 2 ) 【u ( o ) = 乱( 1 ) = u ( o ) = 让 ( 1 ) = 0 ， 讨论了至少一个正解，至少两个正解以及三个正解的存在性，其中厂，q ，p 满 足 ( 皿) ，： 0 ，1 】x 0 ，) _ 【0 ，o o ) 连续； ( 奶) q ，。p r ，满足卢 一丌2 ，g ，( 亡，8 ) c ( 【o ，1 】 o ，1 】) 为线性边值问题 ( 1 2 1 ) 的g r e e n 函数，则g ，( o ，8 ) 0 ，t ，8 【0 ，1 】，且9 m r 0 及珥( s ) c o ，1 】，珥8 ) 0 ，o 8 0 ，8 ( 0 ，1 ) 及m 1 0 ，使得 g l ( t ，8 ) 5h i ( s ) ，t ，8 0 ，1 】，( 1 2 2 ) g l ( 亡，s ) m 1 h i ( s ) ，亡 者，三】，s 【o ，1 ( 1 2 3 ) 定义算子t ：c o ，1 】_ c o ，1 】如下： t 酢) 2 么zg l ( 抽) g 2 ( s ) m ( 圳如如， 易证t 全连续，同时由文 5 知，若u c o ，1 】为边值问题( 1 1 2 ) 的解当且 仅当让为t 的不动点令 k = 乱c o ，1 】：让芝o ，u ( 亡) m l i i 乱i i ，亡【主，瓢 则k 为c 0 ，1 】中闭凸锥，且t ck 事实上，当u k 时，显然有 t u ( t ) 0 ，t 【0 ，1 】依( 1 2 2 ) ，( 1 2 3 ) 式，有 i l t 弘| l h x ( s ) g 2 ( s ，x ) f ( x ，u ( z ) ) d xd 8 ， 孔m t 0 1z 1 刚s ) g z ( s w ( 训( 圳如如亡 耪， 即t u ( t ) m l | i ? u l i ，vt 互1 ，；】，亦即丁kck 引理1 2 2 【8 1 设k 是b a n a c h 空间x 中的锥，对于r 0 ，令坼= z k ：忙| l r ) ，设t ：群_ k 全连续，对于坛ea 坼= z k ：忙8 = r ) ，死z ，有 ( 1 ) 若恻i l i t - l l ，则i ( z 所，k ) = o ； ( 2 ) 若f l z | | l t t z i i ，则i ( t ，坼，k ) = 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 引理1 2 3 设，：【0 ，o o ) 一【0 ，。) 是连续的，定义 州归z 1f o v i ( 抽) g z ( s 州( 心) ) 如如 如果l 臻华= 。l - + i m o 。华= ，则存在风，满足。 铂 凰 0 ，当m l v o 钆v o ， t i 时，有，( t ，7 2 ) b v o a = ( 1z 1 三h c s ，g 2c s ，z ，如d s ) 一1 ， b = g l ( t , s ) g 2 ( s , x ) d xd s ) - l 厶= 器。m 蜓i n - - 4 。 t u。：。_ ： ，o _ 1 + i m 。+ m a x ； u t 阜 ( 导 f ( t ，“) f ( t ，心) ，厶= 热m i l ，并且满足( 风) ，则边值问题( 1 1 2 ) 至少有两 个正解 证明由于( 风) 满足，则任意u a k 。，对任意t o ，1 1 ，有 t u ( t ) = 凳姥 墨囊砖 冬梵赔 g l ( t ，s ) a 2 ( s ，z ) ，( z ，让( z ) ) d zd s h 1 ( s ) g 2 ( s ，z ) ( x ，u ( z ) ) d xd s h l ( s ) g 2 ( s ，x ) a r od xd s = r o = i 3 所以i i t u l i l l u l l 根据引理1 2 2 ，有 i ( t ，群。，k ) = 1 取0 m 1 n ，设 ( u ) = u m - t - u n ，u 0 ，则有 定义r ：k - - - + k ，使得 l i m 趔：1 i m 趔：o o - o t t _ o o t r u ( 亡) = ol o ：c l ( t ，s ) g 。( s ，z ) ( u ( z ) ) 如如 根据引理1 2 3 可知，存在7 1 ，r 2 ，0 r l r o r 2 0 ，0 矗r l ，使得 f ( t ，“) ( l + ) 乱， ( 让) 2 ( l + e ) u ， v0 t 1 ，0 u f l ， v0 u r 1 ( 1 3 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) 令h ：【0 ，1 】xk - k ，h ( 8 ，u ) = ( 1 一s ) t u + s f l u ，则日是全连续算 子我们现在证明，对于0 8 1 ，u a 坼。，h ( 8 ，u ) 乱事实上，如果存 在0 8 0s1 ，u 0 o k , l ，使得日( s o ，u o ) = u o ，则 u 孑( 亡) + 触： ) 一q 让o ( t ) = ( 1 一s o ) f ( t ，咖( t ) ) + s o ( u o ( t ) ) ，0 0 ，所以有l l + ，这是矛盾的由( 1 3 2 ) 式和不动 点指数的同伦不变性知 i ( t ，坼。，k ) = i ( h ( 0 ，) ，坼。，k ) = i ( h ( 1 ，) ，坼。，k ) = i ( f l ，坼。，k ) = 0 ( 1 3 5 ) 另一方面，由 l 和f l 的定义，je 0 ，m 0 ，使得 设 则 f ( t ，u ) ( l + e ) u ， v0 t 1 ，u m ， c =m a x 0 s t s l ，0 一 而，有h ( s ，钆) u ，根据( 1 3 3 ) 和不动点指数的同伦不变性知 i ( t ，坼。，k ) = i ( h ( 0 ，) ，坼：，k ) = i ( h ( 1 ，) ，珞：，k ) = i ( f 1 ，t 1 , 2 ，k ) = 0 ， ( 1 3 1 0 ) 5 第一章一类四阶常微分方程的正解 由( 1 3 1 ) ，( 1 3 5 ) ，( 1 3 1 0 ) 式知 i ( t ，珞。氏，k ) = 一1 ，i ( z 坼。廨。，k ) = 1 因此，t 在坼。廨。和坼。届。中分别有不动点让1 ，u 2 ，即t t l ( 亡) 和u 2 ( t ) 是 边值问题( 1 1 2 ) 的正解，并且满足0 l t t l f | 伯 i i t t 2 m 定理1 3 2 设 ，氏 l ，并满足( 凰) ，那么边值问题( 1 1 2 ) 至少有两 个正解 证明由于( - 4 ) 满足，则任意u a ，任意t 【i 1 ，i 】，有 t u ( t ) = 片片g t ( 亡，s ) g 2 ( s ，z ) ，( z ，让( z ) ) d xd s 片厅g z ( t ，s ) v 2 ( s ，z ) ，( z ，乱( z ) ) d xd s f o 厅g z ( t ，s ) c 2 ( s ，z ) b r od xd s = r o = i 所以l i t u l i l i 珏1 1 根据引理( 1 2 2 ) ，有 i ( 正k 凰，k ) = 0 ( 1 3 1 1 ) 由如 0 ，0 r r o ，使得 f ( t ，u ) s ( l 一) 钍， v0 t 1 ，0 让r 令- 1 ： 0 ，1 】k _ k ，h i ( s ，t t ) = s t u ，则h i 是全连续算子下证对于 0 8 1 ，u o k , ，h 1 ( s ，t t ) u 事实上，如果存在0 8 0 1 ，乱o o k , ， 有f f i l ( 8 0 ，u o ) = u o ，那么u o ( t ) 满足( 1 1 2 ) 的边值条件和 u 孑( t ) + 卢乱：( t ) 一o l u o ( ) = s o f ( t ，t t o ) ，v0 t 0 ，使得 f ( t ，u ) ( l 一) u ， v0 t 1 ，u m ， 令c 2 o t 1 m 0 a x 让 r o ，0 8 1 ，钆k ，i l u i l r ，席l ( s ，乱) u ，因此有 ；( t ，k r ，k ) = i ( h i ( 1 ，) ，k r ，k ) = i ( 皿( o ，) ，k r ，k ) = i ( 0 ，k r ，k ) = 1 ( 1 3 1 3 ) 结合( 1 3 1 1 ) ，( 1 3 1 2 ) ，( 1 3 1 3 ) 式可知，边值问题( 1 1 2 ) 至少有两个正解 珏l ( t ) ，珏2 ( t ) ，并满足0 | l u l0 l ，并且( i - 3 ) 成立，则边值问题( 1 1 2 ) 至 少有一个正解 推论1 3 2 若艿 l 或气 l ，厶 l ， l ，则边值问题( 1 1 2 ) 至少有一个正解 1 4 三个正解的存在性 设x 为实b a n a c h 空间，k 是x 中的锥 定义1 4 1 若p ：k _ 【0 ，+ 。o ) ，并且卢满足下列两个条件： ( 1 ) p 连续； ( 2 ) vz ，y k ，t o ，1 】，有( z z + ( 1 一t ) y ) t p ( z ) + ( 1 一亡) 卢( 可) 7 第一章一类四阶常微分方程的正解 则称p 为非负连续凹泛函 设a ，b 是两个常数，0 a b ，p 是k 上非负连续凹泛函，定义下面凸 集： 玩= z k ：l i x l | a ) ， k ( a ，a ，b ) = 1 ( z k ：a 卢( z ) ，l i x l l b ) 定理1 4 1 1 1 】( l e g g e t t w i l l i a m s 不动点定理) 设t ：豇_ 豇全连续， p 为k 上非负连续凹泛函，比豇，有p ( z ) i i x l l ，存在0 d d ； ( 2 ) 如果i i x l | d ，那么i i t x lj b ，贝4z ( t x ) a 那么t 在忍上至少有三个不动点z 1 ，x 2 ，z 3 ，并且有 l i x a l l d ，a d ，卢( z 3 ) a 定理1 4 2 设( h 1 ) ，( 2 ) 成立，并且存在常数o ，d ，0 d 0 ，o r m 设e = m f o ，a m 】x f ( t ，钆) ，则有，( 亡，u ) 盯u + e ，“ o ，+ ) 取c m a x f e d 面，卫t i l l ) ， v 也忍， 则有 t u ( t ) 我们还可以证明， 事实上，vu 群， i i t , , i l 吲m a x ，f l f og 1 ( 亡，s ) g 2 ( s ，z ) m ，u ( z ) ) 如d s ， 。m t 。u a ，x 。r ? f o l g 1 ( 亡，s ) g 2 ( s ，z ) ) d z 矗s ( o l l 缸i i + e ) ( 盯c + e ) d c ， 咿u l | 8 ) d ，并且vu k ( 罗，o ，蠢) ， 卢p u ) o 事实上，取z ( t ) = 芏2 五 口，则有z u k ( p ，o ，者) ：p ( 让) o ) 若v “k ( p ，o ，者) ，p ( 仳) o ，则有o 声( u ) = + 囊造，u ( 舌) s 叫 者 根据( 1 4 2 ) 可得 9 ( t u ) = 矧m 蛐i n 片f og x ( t ，s ) g 2 ( s ，x ) f ( x ，仳( 。) ) 如d s 。琵3 】片露a t ( t ，s ) g z ( s ，茁) ，( z ，札( z ) ) 如d s 吲m 捎i n 】詹霹g ( 如) g 2 ( 驴) 如如 9 最后，证明如果vu k ( p ，o ，c ) ，i i t u l l 者，则p ( t 札) o vu k 0 5 ，n ，c ) ，l l t u l j 者， f l ( t u ) = t 【m 剐i n 片片g ( 如) g z ( 邺) m ，u ( z ) ) d xd s 砌卜m 晦i n 豹i o i o , ( s ) g 2 ( 叩) 夕( x , u ( x ) ) d xd s ， 又因为 ，1 r l l l t 也l i h i ( s ) g 2 ( s ，z ) ，( z ，牡( z ) ) d xd s ， j o，o 所以可得卢( t u ) m l l l t u l | m l 者= 口 总上所述，取b = 萧a ，将满足定理1 4 1 的所有假设，所以t 至少有三个 不动点，即边值问题( 1 1 2 ) 至少有三个正解：u 1 ，“2 ，u 3 ，且满足 i 乱l i | 0 ，i = 1 ，2 ，c ( o ，o o ) ， o ，o o ) ) ，o c ( ( o ，1 ) ，【0 ，+ ) ) ，即允许a 在 t = 0 和t = 丑处有奇异 2 2 引理及预备知识 考察赋予范数 i 牡i i2 o m t a x 1 l u ( 亡) l 的b a n a c h 空间c o ，1 】令 k = u c o ，1 ：让o ，t m 口，i l n 一卅u ( 亡) o l l u l l ，o p 主) ， 易知k 为c o ，1 】中的锥 定义一个积分算子乃：k _ k 如下： t a u c t ) = 入g 1 ( t ，s ) g 2 ( s ，。) 口( z ) ，( u ( z ) ) d xd s ， 这里 g t c 亡，s ，= 胁1 _ ，i 。( b 6 ；i + + 啦a i 亡s ，) 。( q c i + + 也d i 一- q c i s t ，) , ，兰蓁；三：茎： 第二章四阶奇异非线性微分方程边值问题的正解 显然g l ( 亡，8 ) 非负连续，且g i ( t ，8 ) g i ( s ，s ) ，0 t ，8 1 根据【5 】知，问题( 2 。1 1 ) 有一个解铭= u ( t ) 当且仅当锃是算子a 在k 中的不动点，即 u ( t ) = t a u ( t ) = a g l ( ，s ) c 2 ( s ，z ) 8 ( z ) ，( 缸( z ) ) d xd s 为方便讨论，我们做如下假设，并采用以下记号： ( 皿) 口c ( ( o ，1 ) ，【0 ，o 。) ) 和0 片g 2 ( s ，s ) o ( s ) d s 。； ( 凰) ，c ( o ，o 。) ，【o ，o o ) ) o ：l i m 塑，厶= l i m 塑， x - - - t o +z x - - - + 0 0z 石= 躲埘掣，肛l i r ai n r 掣， 付= 姆唧掣，咒= l i r as u p 掣， a 2 暑躏上上g ( 。，s ) g 2 ( s ，z ) 。( z ) d z 幽， 肚吲m o l a x 】 。上g l ( 如) g 2 ( 驴) 口( z ) 如瓠 引理2 2 1 假设( h 1 ) ，( 凰) 成立，则a ：k k 是全连续的。 证明首先证明a ( k ) ck 设u ( t o ) = i i ，t o 0 ，1 j ，0 ( 0 ，) ，则对于任意t 【0 ，1 一刎，有 g l ( t ，8 ) g x ( t o ，8 ) j，嬲c1 d l搿c ld x 独 一j +一c l 幻一+ 一1 一l 糍搿独 因此g l ( t ，8 ) o g i ( t o ，s ) ，t 【0 ，1 一例，8 0 ，1 】 v t 0 ，l o l ，有 t a u ( t ) =) 甓赔 0 s8 t ， o t s g l ( t ，s ) g 2 ( s ，z ) ( z ) ，( 珏( z ) ) d xd s = ) 建l j 器g o u ( t o ) = 0 1 1 2 , 1 1 ， 1 ( t o ，s ) g 2 ( s ，z ) o ( z ) ，( u ( z ) ) d zd s 1 2 曲阜师范大学硕士学位论文 所以乃( k ) ck 其次，证乃是全连续的 定义函数o n 2 ) 引归臣 0 亡三， 三 亡 0 和u b r ，由( 历) 我们有 i t u ( t ) 一t a u c t ) l = i a 詹片g t ( t ，s ) c 2 ( s ，。) o ( z ) 一o n ( z ) 】，( u ( z ) ) d xd s l a 序s og 。( s ，s ) g ；( z ，z ) i a ( z ) 一o n ( z ) i ，( u ( z ) ) d xd s + a 止丢詹g ( s ，s ) g z ，z ) i 。( z ) 一。n ( z ) l 厂( u ( z ) ) d zd s _ o ( n 一) ， 所以瓦是全连续的 定理2 2 1 1 2 8 j 设e 是b a n a c h 空间， kce ，并且k 是e 上的锥， q l ，q 2 为e 中的有界开集，p q 1 ，q lcq 2 ，t ：kn ( q 2 q 1 ) _ k 为全 连续算子，如果下列条件之一成立： ( 1 ) l i t = i i l i 札i i ，乱ki 1a q l ；i i t x l i i l u | l ，乱kna q 2 ； ( 2 ) i i t = i l l | 乱i i ，u kn0 f i t ；i i t = i i l l u | | ，u kna q 2 那么t 在kn ( 砭q 1 ) 中必具有不动点 1