（应用数学专业论文）三类失去紧性的半线性椭圆方程解的存在性.pdf

一1 i a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，b yu s i n gs o m ea p p r o a c hi nv a r i a t i o n a lm e t h o d s ，s u c ha sm i n i m a x p r i n c i p l e ，m o u t a i n - p a s sl e m m aa n dc o n c e n t r a t i o n - c o m p a c t n e s sp r i n c i p l e ，w es t u d y t h ee x i s t e n c e a n dm u l t i p l i t yo fs o l u t i o n st ot h r e ec l f l s s e so fe l l i p t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n , , i i ni n t r o d u c t i o n ，w er e c a l ls o m eb a c k g r o u n do fp r o b l e m si nt h et h e s i s i nc h a p t e ro n e ，w eg i v es o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g e i nc h a p t e rt w o ，w ec o n s i d e rt h ef o l l o w i n gs e m i l i n e a re q u a t i o nw i t hc o m b i n e d n o n l i n e a r i t i e so nr n z z 水 蚪 ( 2 1 1 ) b yu s i n gt h em o u t a i n p a s sl e m m a ，w eg e tan o n t r i v i a ls o l u t i o nt ot h e ( 2 1 1 ) i nc h a p t e rt h r e e ，w ec o n s i d e ras e m i l i n e a re l l i p t i ce q u a t i o nw i t hh a r d yc r i t i c a l e x p o n e n t ： ：全苫2 训乱 p - 2 叫纠一p + ，扛钆) z q 。 z a q ( 3 1 1 ) b ys y m m e t r ym o u n t a i np a s st h e o r e ma n dc o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i c i p l e ，w e o b t a i nt h e e x i s t e n c eo fm u l t i p l es o l u t i o n st o ( 3 1 - 1 ) i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e rt h es o l u t i o nt ot h es e m i h n e a r e l l i p t i cs y s t e m sw i t h c r i t i c a le x p o n e n t ： z x e 斛r n ( 4 1 1 ) b yc o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s sp r i n c i p l ew ec a no b t a i n ：w h e nai ss m a l le n o u g h ， t h e r ee x i s t sal o c a lm i n i m u mt ot h e ( 4 1 1 ) k e yw o r d s ：c r i t i c a lp o i n t s ；v a r i a t i o n a lm e t h o d s ；c o n c e n t r a t i o nc o m p a c t n e s s p r i n c i p l e ；m u l t i p l es o l u t i o n s ；s y m m e t r ym o u n t a i np a s st h e o r e m ；a s y m p t o t i c a l l y l i n e a r i i 叻， 州如 m b u i i 勺 卧伊 一 ，jlll 妒 p 铲h馏所 件 c i | 气 r 牡 m 训 + - l 却却 心叫鬻 l | = 一 一 k 哈 f _ 福建师范大学徐劭毅硕士学位论文 z = = = = = ；= 口= = ；= = = = = = = = ；= = = = = = ；= = = = = = = = = 2 = ；= = = = = = = = = = = l：；= ：；= 自日 中文文摘 这篇硕士学位论文主要研究了三类失去紧性的半线性椭圆方程解的存在性。 在绪论中我们回顾本文所讨论问题的背景。 在第一章中我们给出了一些预备知识。 在第二章中，运用山路引理，证明了如下带有混合非线性项的半线性椭圆方程 的一个非平凡解： “- - a u 日t 。( u 乏n = ) ，a ( z u ) u ( z q ) + f 。( u ，) ， 其中o ) 与，( u ) 满足以下条件： 三主r r i n l l ( 2 u ) ( 巾) “郴) n p ( ) ，口( 北o j 其中9 0 = 禹= 丙百 ( 日) ，( 亡) c ( r ，r + ) ，且如果t 0 ，那么，( 亡) = 0 ( 岛) 枷l i m 华- o ( 局) 存在j o ， 3 隋l i m 掣= f ，十、 ( 最) 掣关于亡 o 是不减的。 得到的结论为： 定理2 1 3 设( a 1 ) ，( 日) 一( 只) 成立那么存在m 0 ，使得对于所有满 足l a ( x ) l 驰 仇的o ( z ) l q o ( r ) ，方程( 2 1 1 ) 有一个非平凡解。 在第三章中主要研究一类带h a r d y 临界指数的半线性椭圆方程 毒一a p 仙= q u i p 一2 钆l z i p + ，( z ，) ， z f 2 , ( 3 1 1 ) 1 乱= 0 ， z a q 。u l 上7 其中a p u = d i v ( i w , l v u ) ，q 是中具有光滑边界的有界区域，1 0 ，均有8 u p | i 厂( z ，u ) i ：z q ，m m ) 0 ，r 0 ，p + ) ，使得；，( z ，u ) 口一f ( z ，u ) 一a l a 2 m 矿； ( 玛) ，( 。，t ) = 一，( z ，一钆) ； ( 丑) j 6 1 ，b 2 o ，0 白，矿) ， 使得f ( 。，u ) 6 1 - t - 幻i u h ( 咫) + o o ，对于坳q 一致成立 得到的结论为： 定理3 1 1 在( r ) 一( 毋) 的假设下，方程( 3 1 1 ) 存在无穷多解。 在第四章中，利用集中紧性原理讨论了如下方程组， 其中3 q ，p 1 ，且口十p = 2 + = 鹅，0 q o ，使得对于v 入c o ， ) ，方程( 4 1 1 ) 有 一对非平凡解( u a ，坝) ，且，( u a ，坝) 0 ，使得：当m r 时 广u 0 g f ( z ，u ) 厂( z ，仳) ， f ( z ，u ) = ，( z ，t ) d t ( o 1 1 ) ，0 条件( o 1 1 ) 称3 3 ( a r ) 条件。一般地，( a r ) 条件是用来保证泛函j 具有山路结构以 及 u n ) 是有界的。但是，在一些实际物理问题中，( a r ) 条件常常得不到满足。在 2 8 中，l i ， w u 和z h o u 考虑了如下方程 j a u = h ( x ) u g + m ，u ) ，z q( o 1 2 ) iu 硪( q ) ，仳( z ) 0 ，z q 、7 1 福建师范大学徐劭毅硕士学位论文 其中q 为一有界区域，且j p ( u ) 满足 1im掣：口oo(013)1 1 - - - ( ) o 让 ( 0 1 3 ) 被称为渐近线性条件。众所周知，在渐近线性条件的假设下， ) 的有界性不 容易证明。在 2 8 中，作者在一定的条件下，得到了方程( o 1 2 ) 的2 个正解。对于r 的 情况，l j e a n j e a n 在 2 5 】中开创性地利用反证法得到了( p s ) 序列的有界性，关于尉v 中 的方程且非线性项是渐近线性的文章，可以见( 1 7 】，【2 6 】， 3 1 】， 4 3 】，降4 】， 2 7 】) 。另一方面， 含凹凸非线性项的方程一直是许多学者研究的对象，比如( f 4 】， 1 2 】) 。然而这些文章 主要是考虑有界区域中的情况。对于无界区域的情况，c h e n 1 5 研究了以下方程 z 则 ( 2 1 2 ) 其中1 p 2 q 0 ，使得方程 一锦钆2 卢。2 乱+ m ，u ) ， 。q ， 【钆= 0 ， 。a q 对所有p ( o ，鲰) 至少存在忌对解( 其中p + = 惫) 在 2 2 】中，n g h o u s s o u b 和c y u a n 证g j 了当p 7 矿时，方程 ：笺肾仆i r - 2 ( 3 1 2 ) z q ， ( 3 1 3 ) z a q 、。 有无穷多解。 近几年来，许多学者研究了非线性薛定谔系统。在许多物理现象中，比如非线 性光学，带耦合项的薛定谔系统有着广泛的应用。 在【1 】中，a b d e l l a o u i ，f e l h 和p e r a l 研究了如下方程 2 篓e 烈r n ( 4 1 3 ) t ， - 1 上一 h r z “ 入 ， 0 h 7 一、，妒 珏 ，i 口 ， l i 呵让 广1 州日 一 u ，j1k 弛址端珈伽 卫阡薛 k 馕 - 福建师范大学徐劭毅硕士学位论文 其中5 1 口 2 ，1 0 ，妒 0 在 3 8 】中，s i l v aeab 和x a v i e rm s 考虑了如下方程 扯g t , ( 0 1 4 ) z q ， 、7 其中q 是中的一个有界区域，弘1 ，p 2 0 ，矿= 舞，q = 怨，1 p q n ，( z ，u ，口) ，9 ( z ，u ， ) 满足一定条件他们证明了：给定忌n 存在成，使得对所 有p 1 ，肛2 ( 0 ，成) ，方程( o 1 4 ) 存在至少k 对非平凡解。 0 2 本文的结构 本文分为五章 绪论中，介绍变分法以及上述椭圆方程的研究背景： 第一章，介绍s o b o l e v 空间的一些基本知识，基本引理，偏微分方程理论中的基 本理论； 第二章，利用c e r a m i 序列，结合山路引理，讨论了方程( 2 1 1 ) 解的存在性； 第三章，利用对称山路引理以及集中紧性原理，讨论了方程( 3 1 1 ) 多解的存在 性； 第四章，利用集中紧性原理讨论了方程组( 4 1 1 ) ，得到了：当入足够小时，存在 一个局部极小值 3 m 馋衙 件：；| 气 矿肌川 = i i 搿 第1 章预备知识 定义1 ：0 1 设e 是实b o 死口c 无空间，( 乱) 是e 上的一个泛函，称u e 是，的一个i l e g - 点，如果，7 ( 乱) = 0 ，这里，7 ( 乱) 是，在钆处的乃e c 尼e 古导数 定义1 0 2 序zd e f i n i t i o n1 j 唧4 c 若 cx 只要满足，( 钆n ) _ c ，7 ( u 住) 足( p s ) c 条件。 r ，x 是实男。佗口c 危空间，g 1 ( x ，r ) ， _ 0 ，就有一个收敛子列，称这样的j 满 定义1 0 3 = ；zc h a p t e r 名口令妒，r ) ，定义其上e 忽。庀流形为 = _ 钆x ：( 妒7 ( “) ，u ) = o ，u o ) ； 1 l e g - 点珏o 称为妒的基态解限小能量临界点夕，如果 妒( 钆) = i n f t o 引理1 0 1 ( s o b o l e v 嵌入定理) 廖zt h e o r e mj 甜下面的嵌入映射都是连续的： 日1 ( ) c 护( ) ，2 p o o ，n = 1 ，2 ， 日1 ( r ) c 护( 兄) ，2 p 2 ，n 3 ， d 1 ，2 ( ) cl 2 ( ) ，n 3 引理1 o 2 ( r e l l i c h 嵌入定理夕膨zt h e o r e mj 彰若俐 o o ，则下面的嵌入映射是 紧的： 瑶( q ) c 汐( q ) ，1 p p ，使得，( e ) 0 令 c = 1 i n f r 。m s 。a x s x c y c o ) ， 其中r = ，y g ( o ，1 】，e ) ：- y ( o ) 一0 ，( ，y ( 1 ) ) o ，且2 q 2 + 若 他n ) - 在日1 ( ) 中 有界，且 s u p f u n 严d x _ 0 ，死一 坼r j b ( y ，r ) 那么对于任意的2 1 ，且三十石1 = 1 若， p ( q ) ，g 三口( q ) ，贝j j f g l 1 ( q ) ，且 i f ( x ) g ( x ) i d x ( | ，( z ) f p 如) ；( i g ( x ) q d x ) ； j q，qj s 2 y o u n g 不等式： 。6 万u p + 百b q ，p 1 ，口 1 ，石1 + 言= l 5 第2 章r 上带有混合非线性项的半线性椭圆 方程的角翠 2 1 背景介绍 本章主要考虑如下方程： 一n u u 删+ u 。= 掣a ( x 芝高缨：三茎芝： 协n ， 【u 日1 ( 则) ，u ( z ) o ，z r n p “7 其中o q o 是不减的。 注2 1 1 由( 只) ，我们可以推出对于如1 ，舌【o ，1 】，且5 0 ，有 o 若，( s ) s f ( t s ) d ( 去，( s ) s f ( s ) ) 事实上，令危( 右) ：学，( s ) 8 一f ( 如) 因为庇印) ：t f ( s ) 8 - - 8 ，( 拈) ，故有 ，( 1 ) = o ，且掣= 掣一警拿o 由此可得危( t ) 在【0 ，1 】上是个非减的函数，故o z s s艺s 。 4 危u ) 凡( 1 ) ，此即 ( 亡) h 0 ) d h ( 1 ) 我们也注意到( 最) 只被用在第三部分中c e r a m i 序列有界性的证明中。 注2 1 2 由( 毋) 一( 毋) ，我们可得对于任意的e 0 ，存在p ( 2 ，箍) 与g = c ( e ) 0 ，使得 l ，( 让) i e j u l + c l l p r ，- g - i f ( u ) l 主i u l 2 + 罟l u | p - 厶 - 知 o 第2 章r 上带有混合非线性项的半线性椭圆方程的解 条件( 玛) 被称为渐近线性条件。在l i ，w u ，z h o u 2 s ，作者考虑了在有界区域上 的此类问题。在一定条件下，他们得到了2 个正解。对于刷v 的情况，j e a n j e 缸在【2 5 】中 开创性地利用反证法得到了( p s ) 序列的有界性。另一方面，含凹凸非线性项的方程 一直是许多学者研究的对象，比如( 【4 】，【1 2 】) 。然而这些文章主要是考虑有界区域中 的情况，对于无界区域的情况，c h e n 1 5 】研究了以下方程 以时薯蒿“+ a 痧b ( x ) u 。q - h，1 薹r 美n 仁他， 【 钍 1 ( 则) ，u ( z ) o ， z ， r 叫 其中1 p 2 p ，使得i c e ) o ，使得对于所有满足i o ( z ) l 驰 0 ，a 0 ，使得，( u ) i i ：_ p q 0 例存在e h 1 ( ) ，e l jei f p ，使得，( e ) 0 证明：( 1 ) i 扫h s l d e r 不等式以及s o b o l e v 不等式，可以得到 - 口( z ) 钍g + 1 如 ( 阪列q 0 如) 寺( ( 鹩) 如) 甲 = l o ( z ) i 相l u 防1 5g i 口( 名) l l | 让i | 什1 故有 砸) = 扣u1 1 2 一巾) 俨1 如一跏) 如 刘1 u1 1 2 - c d 。( z ) i 口o i iu 1 1 什1 一扣u 肛侥i p + 1 = ( 去一剐u1 1 2 一c , i 。( z ) 圳乱一一岛l 舛1 = 【互1 一岛j 口( z ) 圳u | | q - 1 一岛| l ui i 】j lul | 2 这里我们取e = 互1 因此利用 2 8 ，l e m m a2 1 】中的方法可以得到如果i n 0 ) l q o m ， 引理可证 ( 2 ) 由 4 3 ，l e m m a2 2 】 i n f i 陬陋：u 础巩u = d x = 1 ) _ 0 可知：存在h 1 ( 冗) ，使得 卜卯出 zl - 舳 一 k 第2 章r 上带有混合非线性项的半线性椭圆方程的解 由l h o s p i t a l 溯j j ，有。氅警= 字 我们可以假设在r 上0 ，故利用f i a t o u 引理，可以得到 鼎掣如塑5 ，矽2 d x 因此，我们有 甚掣丢卜卯如+ 豆1 驴扣h l i m 等巾i 口+ 1 如一半舳 = 去i v 咖1 2 咖十l 2 d x t l + l 舳 - 咒o m e + ( i 。 ) l 伽d z ) 去( l 让n 一乱1 2 。d z ) 纽甓豁丝 j1 = i r oji = l r o = 箭孙= 反，风= 矸 ( 2 s - 1 ) n s 印睬r 上础) 2 如= o ( 2 矗2 ) h m 疋如矽 0 ( 2 3 3 ) n - - 4 - - o oj b 冠) ” 。 ? ( ) 出丢l 偿+ 矿c 五一w 嘶p _ k c ， 第2 章冗上带有混合非线性项的半线性椭圆方程的解 如果v 撕i s h i n g 发生，由引理1 0 5 ，可得 f f ( w ) d x - - * 0 故小孝1i i 小i i 未巾黼一f ( w n ) d x j ( ) ；互2 一高j 口( z ) i l 口+ 1 如一 去胪一d ( 1 ) 么 士2归+ l 另一方面：由注2 1 1 ，且危( 亡) = l 2 一券万关于亡【0 ，1 】是递减的。可得 ，( ) + d ( 1 ) = ，( 尻) 一訾( ，( 乱礼) ，) 蓁 辫：瑚f 淼裂z ，( u n ) + o ( 1 ) d ( ，( ) 一j ( j r 7 ( ) ，u n ) ) 由于 ) 在日1 ( ) 中有界，不失一般性，我们假设j 如果n o n v a ，n j s h i n g 发生，故有u 0 往下证明u 日1 ( 冗) 且如下特征值问 ( 钆v 妒+ 州如= i ( z + 1 ) u 妒出 因为，( u n ) _ 0 ，故对任意v 妒卯( ) ，有，( u n ) 妒_ 0 ( v v 妒帆州z 一i 。( 咖捌。一m 加如- o ( 1 ) ( 2 3 5 ) 1 1 士学位论文 一掣如 咖如一掣妒如 _ d ( 1 ) _ 由妒卵( ) ，o ) l o o ( r ) ，以及 叫n ) 在日1 ( r ) 中有界，可以得到n ( z ) 蟛妒出是w 有界的。 。 接下来，我们证明： 厶掣妒如刈+ 1 ) 厶岫 ( 2 3 6 ) 首先，我们证明： 墨 妒_ ( f + 1 ) u ，。e 饥r ( 2 3 7 ) 为了证明( 2 3 7 ) ，以下分u ( z ) = 0 与u ( z ) 0 两种情况考虑这个问题令。冗且 有u ( z ) = 0 由( 日) 一( 玛) ，可以推出o 墨竽g ，故 o 0 ，存在g = g ( e ) 0 ，使得 ，( 乱n ) u 住d r , e i 睦+ g l u n 函 脚枷z 釉；+ _ c p i 吣 那么如果 ) v a n i s h ，可得 厂，( ) t 如一o ，f ( ) 如一o 结合g ( ) = i 1 1 f ( u n ) u - f ( u n ) ，易得结论。 _ 1 3 福建师范大学徐劭毅硕士学位论文 = = = ；= = = 目目= e = t = = = = l = j 目t = = = = ；= = = = = = = = ；- = = = = ： ：= 目目= ；= ；：= = ：l 目 引理2 4 2 l e t _ “n ) 为，在水平集c 上的有界侥化厕序列，即偿2 j ，成立，那么 存在 ) cr ，使得适当选取子列后，( z ) = 0 一骱) 满足j 秒0 ，且 有，( u ) = 0 证明：从 。 讹扣而1 洲钆n = ( 互1 一而1 ) i l 训2 + 赤m 小n 叫如( 2 4 1 ) 4 ，( ) 一i 1 万，7 ( ) _ c 。，互1 一万1 订) l l 2 6 ， 由f i 乱n | l 的有界性，在适当选取予列后，可得： m l i m a ( u n ) d x 。 ( 2 4 2 ) 由引理2 4 1 ， u n ) ；没w v a n i s h ，那么根据( 2 3 3 ) ，存在 0 ，r 。 由，) 的平移不变性，也有 j ( ) 一c 0 j 7 ) _ 0 i nh _ 1 ( j ) 再根据 的有界性，不失一般性就有j 口，且一口在己( r ) 中。 第1 步：口0 川；厶池= n 厶如口 。， 故t ，0 第2 步：，( 口) = 0 因为曙( ) 在日1 ( r ) 中稠密，故只需证明对于所有妒曙( ) ，均有，7 ( 钐) 妒= 0 即- t 。 而 以) 妒一以钞) 妒= ( - - v , q 0 ) 一。( z ) ( 醒一护) 妒如一( ，( ) 一，( ) ) 妒如 1 4 q n 轴 b 根据弱收敛的定义，可得( 一勘，妒) _ 。，且，( ) 一，( u ) 主i 一口i + 詈1 一u i p ， 故- 厂( ，) 一，( 口) ) 妒如_ 。 令7 【2 ，2 幸) ，考虑： 故有 n = 蓟弧f = 弓，r 2 = 二q ，r 3 = 2 n 2 蓟而f = 百广二曩矿= 万 r 22 一r 3 一二 n ，土三+ 一1 ：1 q o 7 1 ，一1 1 + 云+ 石2 由口( z ) l q onl ( 咒) ，就有口( z ) 1 ( r ) ，利用h s l d e r 不等式，有 i 口( 州醒卅) 妒如= z l l x l _ r a ( 州醒卅) 妒出 l o i r 。( l 醒一口口l ；d z ) 署l 妒1 2 ( 2 4 3 j 例r 根据引理1 o 2 与l e b e s g u e 控制收敛定理，就有 i 镌一伊一如_ o ， l ，i x l r 结合( 奎4 3 ) 就有 口( z ) ( 醒一矿) 妒如_ 。 因此，协) = 0 曩 定理2 1 3 的证明由引理2 3 2 与引理2 4 2 我们可以得到定理2 1 3 福建师范大学徐劭毅硕士学位论文 第3 章一类带h a r d y l i 缶界指数的半线性椭圆 方程的多重解问题 3 1 背景介绍 这一章主要研究如下方程 f 一锦u = 乜l u p - - 2 , i 妒十施，u ) ， z q ， 【 u = 0 ， z a q ( 3 1 1 ) 其中p 弘= 也t ，( 1 v 钆i p 一2 v u ) ，q 是一中具有光滑边界的有界区域，1 0 ，使得方程 毒一锋u 2 肛咿吨u + m ，) ， z q ， ( 3 1 2 ) iu = 0 ， $ a q 、 7 对所有肛( o ，脚) 至少存在对解( 其中p = 惫) 在 2 2 1 中，n g h o u s s o u b 和c y u a n 证明了当p 7 o ，均有8 u p i f ( z ，u ) l ：z q ，i f m ) 0 ，7 ( p ，p 。) ，使得；，( z ，乱) 一f ( z ，钆) 一a l 一口2 l u l 口； ( 最) 厂( z ，u ) = - f ( x ，一u ) ； ( f 4 ) 3 b 1 ，b 2 0 ，日0 ，p + ) ， 使得f ，让) 6 1 + 6 2 l u l 口； 1 6 d “ 、 鲁 h t - 第3 章一类带h a r d y 临界指数的半线性椭圆方程的多重解问题 ；_ _ = ；：； = = = = = = = = = = ；= = = = = = = = ，目= = = = = = = = = = = = = = = = = ；= = ；= = ；= = ；= = = = = = = = = = = = = = = = = = = = g _ = e l ( 驯i 叫m 。i 。n f 爷= 慨对于v x ef 2 - - 致脏 定理3 1 1 设( 毋) 一( 屁) 成立，q 是一中有光滑边界的有界区域，当0 口 时， 舯a p = i n f 忡，觜，方掣孵彩椭 注3 1 2 注意到僻，比似剧条件弱，且条件阻，与俾厣证了对应的泛函满足( p s ) c 条 件，而限j 与偈艉供了对称山路引理所需的几何结构 3 2 一些引理 为了应用临界点理论，我们先定义一个泛i t i ： m 归；1 加。i p d x - a 上群出一上砷m 咖晰q ) 则方程( 3 1 1 ) 的每一个解都对应于j 的一个临界点 即对任意妒嘲p ( q ) ，有 上i v 衅以v 忉扣口上譬如一上f ( x , u 眦一o 根据条件( f 1 ) 以及文献【3 9 】，可得，g 1 ( 嘲p ( q ) ，酞) 。 引理3 2 1 侈瓯l e m m a2 玎若 u 住) c 哪p ( q ) 满足? t t nju 订；嚼巾( q ) ， 乱n u a e o nq ， i v u n pj pi nm + ( q ) ， 川一p l i pj i nm + ( q ) 则存在可数的指标集j 以及一系列的点奶，歹j ，使得： ( 1 ) y = l x l p l u l p + 如j 吻，肛l w l p + a v # i ； ( 2 ) 心q p 吻 其中m + ( q ) 为有p 艮正测度组成的空间，妨为6 函数，且满足，屯矽( z ) 如= ( 巧) ，w 昭( q ) 引理3 2 2 舟9 ，l e m m a 暑骖设厂( z ，u ) 满足( 局) ， u n ) c 孵p ( q ) ，那么存在钍 耐护( q ) ，使得 ( 1 ) i ，( z ，u n ) 一，( z ，让) f 如一0 ，q 一 由( j 7 ( u n ) ，) _ 0 ，可得： 上陬r l l v 地肛q 上哗产如一上m 川批一o 即得熙上l v u , 。i p d x a 上等咖一上，( z ，u n ) 多如= 一恕上i v u n | p 。1 让n v 矽如 由h 乱d e r 不等式以及0 l i 的有界性，当e _ o 时 0 l i mi | v l p - 1 u n v c d x i l i m ( 厂l v | p 如) 孚( 噱i v 卯如) ； cl i r a ( 醒l v 西l p 如) 砉 = c ( 扩l v 咖l p 如) 刍 = g ( 矿l v 卯d z 户 c ( 厂i u i 矿d z ) 争( i v l 如) 嘉 j 日2 c ( 町) j b 2 , ( z j ) g ( 如) 方_ 0 故结合引理3 2 1 ( 2 ) 可得： a 吩= 脚吻 故有均= 0 或口啄1 1 但是口q ；1 1 与0 4 滗 故有冰) 竿 o 验证j 满足引瑾3 2 3 的条件( 2 ) ：了一列子空间易，d i m ( e , j ) = j ，以及岛 0 ，使 得j ( z ) o , v x e j b 吗，歹= 1 ，2 ， 由于固定在任意有限维空间日上，其上范数均等价 对于u e j ，有 ，( 觑) = 上f v 冗让i p 如一8fl r u l p 一如一上f ( z ，r u ) d x 由( r ) ，显然有 当r _ + o 。时，i ( r u ) - 一。o 而由( 尼) 可知， ) 是偶泛函，再结合引理3 3 2 ，( u ) 满足引理3 2 3 的所有条件，故 ，( u ) 有无穷多对不同的临界点 目 2 1 厂一 福建师范大学徐劭毅硕士学位论文 第4 章r 上带有临界指数的半线性椭圆方程 4 1 背景简介 考虑如下方程： 组的解 其中3 o r , 1 ，且a + p = 2 + = 而2 n ，0 q 0 ，2 2 q 0 ，方程( 4 1 2 ) 存在一对最小 能量解u = ( u ，可) ( 0 ，o ) ，且0 ，u 0 在 1 】中，作者研究了 许一 - 2 u = 危( z ) a - 2 坩t ， z r n ， 许一阡一2 u = 眈( z ) 刚口坩。2 钞，z 则 其中n 5 o t 0 ，妒 0 ( 4 1 3 ) = 2 = 斋笺，且危( z ) 0 ，h l o o ( 冗) 使得对所有y 均，方程( 4 1 3 ) 有一对基态 本章中，除特别说明外，表示在上的积分b 考虑空间e = d 1 , 2 ( ) xd l 2 ( r ) ，其上范数为i i ( u ，秒) 1 1 2 = i iu0 2 + i iu1 1 2 其 中l luf i = ( ，i w l 2 如) ，l i _ ( ，i w l 2 出) 互1 m 以 吨p 十+ 锄钆 菩q 矿 u p + 吼m 叫卜渊 i | l i | 越 可 珏 旷 旷 蹦蹦叫 十十 u p = = 珏 + 舭卅 一 一 ，-、【 加她 一 一竺 ，j、l h 第4 章尉v 上带有临界 方程( 4 1 1 ) 所对应的能量泛函为 讹，口) = 丢( i v u l 2 + 陬1 2 ) 如一击f c f ( 圳u i 叶1 + 如) 1 ) 如 一i 1 , ( i 让1 2 - t i u l 2 ) 如一i u i 口i 口i 饥 = 刘1 ( u ，口) 1 1 奠q + l1 ，c f ( z ) 川什l + 夕( z ) l 口i 时1 ) 如_ 一去( 1 让1 2 i u l 2 ) 如一i 口i a l t ，i 卢d z ( 4 1 4 ) 研究方程( 4 1 1 ) 的主要困难在于日1 ( ) _ l 2 ( ) 是非紧的。故无法证明对 于v c 冗，( u ，t ，) 满足( 尸s ) c 条件。但是，类似【3 】的方法，我们利用集中紧性原理， 证明泛函，( u ，v ) 在- 7 k 平集下满足( 尸s ) 。条件，从而证明了方程( 4 1 1 ) 有一对非平凡 衄 定理4 1 1 假设伊刎成立，那么存在” o ，使得对于凇( 0 ，a + ) 方程似工i j 有一 对非平凡解( u a ，坝) ，且，( 叭，呶) 是j 的一个( e s ) c 序列，p p i c u , ，) _ c ，j 7 ( u n ，) _ 0 则 ( 札住，) ) 在e 中是有界的 证明：由h s l d e r 不等式以及s o b o l e v 不等式，。司得 ， f ( x ) l u n l q + 1 d x i ，( z ) ls | l ；，1 ， q ，( z ) i 。( i v 1 2 如) 警 q l ，( z ) i 。( ( 1 吼n 1 2 + l v 1 2 ) 如) 华 = q i 厂( z ) 1 8l j ( 让n ， v n ) iq + l ；( 4 2 2 ) 同理可得：，9 ( z ) 1 l g + 1 如c a l g ( x ) l 。l i ( ，) l l g + 1 于是有 c + 。( i j ( ，) j i ) = j ( ，) 一去( ，( ，) ，( ，) ) = 专( 1 v 1 2 + l v 1 2 ) d z 一i 1 万一去) a ( ，( z ) i i 口+ 1 + 夕 ) i i 什1 ) 出 专i i ( ，) 1 1 2 一qi | 2 , n ，) | i 升1 ( 4 2 - 3 ) 因此f ( ，) ，是有界的 _ 引理4 2 4 若c 0 且o r ，均有 丙1 2 _ a 而1 主- ) l f l 。扩