（凝聚态物理专业论文）一维随机量子xy自旋系统动力学性质的研究.pdf

摘要 本文利用递推关系方法研究了一维随机量子x y 系统的动力学性质，主要内容如下： 1 对于各向同性的x y 模型，在外加磁场( 或自旋间的交换耦合参量) 满足双高斯分 布的情况下，讨论无序对系统动力学性质的影响。通过递推关系近似求解了系统自关联函 数和谱密度。结果表明：当外场的标准偏差仃8 ( 或交换耦合参量的标准偏差仃，) 较小时， 系统的动力学行为随着p ( 双高斯分布中取具有较大均值高斯分布的概率) 的增大，产生 了从中心峰值行为到集体模行为的交跨；而当仃柠( 或盯，) 足够大时，交跨效应消失，系 统仅表现出无序行为( 或中心峰值行为) 。 2 、讨论了双高斯分布的两种极限情况一双模分布和高斯分布对该系统动力学性质的 影响。结果表明：当外场( 或交换耦合参量) 满足双模分布时，随着外场与交换耦合参量 比值的增大，系统的动力学行为产生了从中心峰值到集体模行为的交跨，这与i s i n g 模型 的已有结果相似。而与x y 模型的纵向自关联函数相比，存在着一些不同。对于横向自关 联函数，系统的动力学性质由磁场和耦合参量的竞争所决定：对于纵向自关联函数，n u n e s 等人的结果显示，存在一恒定磁场时的自关联函数与不存在磁场时的自关联函数完全一 致，没有发生任何变化。对于外场( 或交换耦合参量) 满足高斯分布的情况，当o - b ( 或c r j ) 较小时，系统的动力学行为随外场( 或交换耦合参量) 均值的增大，出现了集体模行为和 中心峰值行为之间的交跨，但当仃。( 或仃，) 较大时，系统仅表现为无序行为( 或中心峰 值行为) ，交跨效应消失。 3 、讨论了高温极限下无序对一维各向异性x y 自旋链动力学性质的影响。既讨论了耦 合参量和外场独立满足离散型分布( 双模分布) 的情况，还讨论了它们独立满足连续型分 布( 高斯分布) 的情况。计算结果表明：系统的动力学性质与各向同性x y 模型相同。当 随机变量( 交换耦合参量或外场) 满足双模分布时，系统的动力学性质随着耦合参量与外 场的比值的变化，产生了中心峰值行为和集体模行为之间的交跨；随机变量满足高斯分布 的情况下，当o r b ( 或仃，) 较小时，系统随外场或交换耦合参量均值的增大产生集体模行 为和中心峰值行为的交跨，而当c r b ( 或c r j ) 较大时，均值变化对系统的动力学性质影响 不大，系统仅表现为无序行为( 或中心峰值行为) 。 关键词：自关联函数，谱密度，随机x y 模型，递推关系，双高斯分布 a b s t r a c t i nn l i st h e s i s ，t h ed y n a m i c so fo n e - d i m e n s i o n a l s = 1 2r a n d o mx ys y s t e mi nw h i c ht h e e x c h a n g ec o u p l i n g sa n dt h et r a n s v e r s ef i e l d sr a n d o mi si n v e s t i g a t e db yt h em e t h o do fr e c u r r e n c e r e l a t i o n s ，a n dt h em a i nr e s u l t sa r ea sf o l l o w s ： l + s u p p o s i n g t h a t t h et r a n s v e l 篙e f i e l d s ( o rt h ee x c h a n g ec o u p l i n g s ) s a t i s f yt h e d o u b l e - g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n , t h ee f f e c t so ft h i sd i s t r i b u t i o no nt h ed y n a m i c so ft h ei s o t r o p i cx y s y s t e mi si n v e s t i g a t e di nt h eh i 曲t e m p e r a t u r el i m i t s p i na u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n sa n d c o r r e s p o n d i n gs p e c t r a ld e n s i t i e so ft h es y s t e ma l eo b t a i n e db yt h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o n t h e r e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h es t a n d a r dd e v i a t i o n so ft h et r a n s v e r s ef i e l do 拜( o rt h es t a n d a r d d e v i a t i o n so ft h ee x c h a n g ec o u p l i n g so - s ) a r es m a l l ，t h ed y n a m i c so ft h es y s t e mu n d e r g o e sa c r o s s o v e rf r o mac e n t r a l p e a kb e h a v i o rt oac o l l e c t i v e - m o d eo n ea st h e p ( t h ep r o b a b i l i t yo f t h e v a r i a b l et a k e st h el a r g e rm e a nv a l u e si nt h ed o u b l e - g a n s s i a nd i s t r i b u t i o n ) i n c r e a s e s h o w e v e r , w h e na 嚣( o rc r , ) i sl a r g ee n o u g h , t h ed y n a m i c so ft h es y s t e mo n l ys h o w sad i s o r d e r e db e h a v i o r ( o rac e n t r a l p e a kb e h a v i o r ) 2 t h ed y n a m i c so ft h es y a e mi ss t u d i e dw h e nt h ee x c h a n g ec o u p l i n g s ( o rt h et r a n s v e r s e f i e l d s ) s a t i s f yt h et w os p e c i a lc a s e so f t h ed o u b l e - g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n - b i m o d a ld i s t r i b u t i o na n d g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n t h er e s u l t ss h o wt h a tw h e nt h et r a n s v e r s ef i e l d s ( o rt h ee x c h a n g e c o u p l i n g s ) s a t i s f yt h eb i m o d a ld i s t r i b u t i o n ，t h es y s t e mu n d e r g o e sac r o s s o v e rf r o mt h e c e n t r a l - p e a kb e h a v i o rt oac o l l e c t i v e - m o d eb e h a v i o ra st h er a t i oo ft h et r a n s v e r s ef i e l d st ot h e e x c h a n g ec o u p l i n g si n c r e a s e s 。f o rt h ec a s et h a tt h ev a r i a b l es a t i s f yt h eg a u s s i a nd i 鲥b u t i o l l w h e na b ( o ro ，、) i s s m a l l ，t h ed y n a m i c so ft h es y s t e mt m d e r g o e sac r o s s o v e rf r o ma c o l l e c t i v e - m o d eb e h a v i o rt oac e n t r a l - p e a ko n ea st h em e a nv a l u eo ft h et r a n s v e r s ef i e l d s ( o rt h e e x c h a n g ec o u p l i n g s ) i n c r e a s e s ，b u tw h e nc r b ( o rc r j ) i sl a r g ee n o u g h , t h es y s t e mo n l ys h o w sa d i s o r d e r e db e h a v i o r ( o rc e n t r a l - p e a kb e h a v i o r ) 。 3 t h ed y n a m i c so ft h ed i s o r d e r e da r t i s o t r o p i cx yc h a i ni ss t u d i e di nt h eh i g h - t e m p e r a t u r e l i m i tw h e nt h ee x c h a n g ec o u p l i n g sa n dt h et r a n s v e r s ef i e l d ss a t i s f yt h eb i m o d a ld i s t r i b u t i o na n d t h eo a u s s i a nd i s t r i b u t i o n w eo b t a i nt h ec o n c l u s i o nb a s e do nt h er e s u l t s ：t h ed y n a m i c so ft h e a n i s o t r o p i cx yc h a i ni sd e t e r m i n e db yt h ec o m p a n i o nb e t w e e nt h et r a n s v e r s ef i e l d sa n dt h e e x c h a n g ec o u p l i n g s k e y w o r d s ：a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ，s p e c t r a ld e n s i t y , r a n d o mx ym o d e l ， r e c u r r e n c er e l a t i o n ，d o u b l e g a u s s i a nd i s t r i b u t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ) 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士囱论文一维随机量子自旅系统动力学 性质的研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口硕士留学位期间独立 进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成 果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声 明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名： 叶复博 日期：渺3 f i o 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“4 ”) 一维随机量子自旋系统动力学性质的研究系本人在曲阜师范大学攻读博士口 硕士豳学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士留学位论文。本论文的研究成果归曲 阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范 大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电 子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段 保存论文，可以公开发表论文的全部或部分内容。 作者签名： 导师签名： 许轧博 冽 j 日期：加舌fi o 日觌；捌s f q 第一章综述弟一早练逊 自旋系统是凝聚态物理和统计物理学中的重要研究领域。近年来量子自旋系统的动力 学性质，特别是随机量子自旋系统的动力学性质引起了人们较大的重视，是一类非常重要 且具有挑战性的课题。 1 1 量子自旋模型 1 1 1 量子i s i n g 模型 为了解释铁磁相变，德国物理学教授l e n z 提出了一个简单的经典模型，并交给他的 学生e i s i n g 作博士论文，后来这个模型就被称为i s i n g 模型【1 】。i s i n g 模型是相互作用系 统中最简单的单轴离散自旋模型，自旋只能沿轴取向上或向下两个方向 2 】。i s i n g 模型可以 应用于各种磁性系统，从而描述非常广泛的现象，如可以用来描述铁磁体、反铁磁体、玻 璃物质的性质以及合金中的有序无序转变、液氦的正常流体到超流态的转变、液体的冻结 和蒸发等等。i s i n g 模型提出后，人们对这一模型的性质进行了广泛的研究。1 9 2 5 年，i s i n g 发现一维i s i n g 模型不存在相变。1 9 4 4 年，l o n s a g e r 严格求解了二维i s i n g 模型，发现二 维i s i n g 模型存在相变【3 ，但是三维i s i n g 模型的严格解析解至今未有人给出。后来i s i n g 模型被推广到量子自旋模型，其中横场中的量子i s i n g 模型具有重要的意义。该模型是 g e n n e s 在1 9 6 3 年为了描述氢键物质中质子隧穿效应而提出的一个赝自旋模型 4 】，其哈密 顿量表示为 h = 一厶砰巧一垦西， ( 1 1 ) q j ) i 其中( j f ) 表示最近邻自旋对，厶表示格点f 和，间自旋相互作用耦合常数，砰( x ，y ，z ) 为泡 利矩阵，骂为格点f 处外加的沿自旋x 方向的磁场。在该模型中，自旋平行地排列在z 轴方 向上。而哈密顿量为 日= 一盯；吖一忍砰 ( 1 2 ) ( f ，力 的模型表示自旋平行地排列在x 轴方向上而外加磁场沿z 方向。式( 1 1 ) 与( 1 2 ) 表示的两个 模型是相互等价的。 1 1 2 量子x y 模型 量子i s i n g 自旋模型提出后，人们又相继提出了一系列自旋模型，量子x y 模型便是其 中非常重要的一个。 第一章综述 1 9 6 2 年，e l i e b 等人在研究多体系统时提出了一个新的精确可解模型，即自旋s = 1 2 的x y 模型【5 】。量子x y 模型最初的哈密顿量表示为 h = i ( 1 + ) ，) o - ；l + ( 1 _ y ) yy j ( 1 3 ) ， 其中仃严( 口= x ，y ) 代表格点f 上的自旋分量，y 是各向异性参数。x y 模型常被用来描述超 导薄膜、j o s e p h s o n 结排列、超导液氦和六元液晶等具有复序参量的实际系统。经典x y 模 型为连续自旋模型，在自旋空间中，它是二维的，因而序参量的分量个数刀= 2 ，其自旋可 在x y 平面内自由旋转。将此系统放置到二维( d = 2 ) 坐标空间，研究这种特殊系统的相变 行为时发现，该系统发生一种不同于i s i n g 系统的特殊相变，称为k t 相变【2 】。 1 1 3 量子h e i s e n b e r g 模型 量子h e i s e n b e r g 模型也是常见的量子自旋模型之一。1 9 2 8 年，h e i s e n b e r g 提出了一个 描述磁性绝缘体的量子自旋模型，称为h e i s e n b e r g 模型【6 】。h e i s e n b e r g 模型的哈密顿量表 示为 日= 一，i j o j ， ( 1 4 ) o ，j ) 其中吼( 口= f ，j ) 代表格点口处的自旋算符，表示近邻自旋间的相互作用耦合参量。当 j 0 时，可用来描述铁磁性物质；当j 0 时，描述反铁磁性物质：当j ( ( o ) ) ， ( 1 1 1 ) 通常仅以_ ( f ) 么( o ) ) 来表汞自关联丞数【1 8 j ，即 s ( r ) 一( 彳o ) 彳( o ) ) ， ( 1 1 2 ) 其中，a ( o ) ，么f ) 分别代表初始时刻秘爹时刻的厄密算符蠢，。表示求统计平均。近 年来，入翻对随税鸯麓系统的动力学性震产生了浓厚的兴趣。这时，由于考虑无序效应， 盘旋皂关联函数的表达式威液示为 e 0 ) 鬣蔗0 ) 么o ) ) l 。1 3 ) 其中，) 表示求统计平均后髯求无痔平均。 由于自旋囱关联函数的谱函数可以通过实验( 如中子散射技术，中子自旋回声技术) 盏接测出【2 鹎，所以谱函数的求解也非常重要。理论土，它可壶皇关联通数( 1 。1 3 ) 式的f o u r i e r 变换 多( 彩) = e 粥( 爹) ( “妨 求窭。不过为方便计算，般用是关联避数鲢l a p l a c e 变换簸极限形式求解其对应熬谱密 度，即 庐( ) = 觋lbj c o 托( ，) 职叫l ， ( 1 1 5 ) 其中，z = 譬c o ，s 为正实数。 1 4 课题研究历史及现状 量子皇旋系统特剃是随机量子童旋系统的动力学性质是鲁旋系统研究中非常重要酶 一个领域，褥囊旋系统的是关联函数及其对应谱密度贬这其中人们研究较多的一个课题。 本文主要研究不同无序条件对一维随机横向x y 模型动力学性质的影响。在过去的几 十年中，量子盘旋x y 模型零| 起了人们的广泛关注，不仅因药它是一个菲常有趣的多体理 论问题，更重要的是它可以对应予一些准一维纯合物，铡如c s 2 c o c l 4 和p r c l ，f 2 1 ，2 2 1 。该 模型哈密顿量为 嚣然一寺 z 畸专墨略) 一寺萎， ( 1 t e ) l i| 其中，1 2 是为了计算方便而选取的常数，交换耦合参量z 、k 和外场忍为满足某种概率 分布的随机变量。我们主要讨论交换耦合参量或外场满足不同的概率分布时系统的鑫关联 涵数懿何隧时阌演纯。 随时间演化的自旋系统是统计物理中类非常有趣的问题。但是由于自旋系统动力学 4 第一章综述 性质的研究要比平衡态性质的研究困难得多，因此结果较少。例如，人们花费了相当长的 时间试图求解s = 1 2 一维h e i s e n b e r g 模型的含时自关联函数，但据我们所知，这个问题到 目前为止仍未彻底解决，而只是得到了一些短时行为的严格解 2 3 2 6 。不过，对于一维横 向i s i n g 模型和x y 模型，已得到了一些精确解。例如，这两个模型的横向自关联函数被发 现在t = 0 时表现为幂律行为 2 7 3 0 】。a s u r 等人利用有限矩展开法研究x y 模型的动力学 性质，得到了高温极限下x y 模型的横向自关联函数为高斯形式。1 9 8 7 年，f l o r e n e i o 和 l e e 利用递推关系方法研究了s = 1 2 一维各向同性x y 模型和横向i s i n g 模型在高温极限下 的动力学性质，发现由于这两个模型在动力学h i l b e r t 空间中具有相同的结构，因此它们有 类似的动力学性质，并且指出它们的横向自关联函数在高温极限下都为高斯形式，即 ( 譬( r ) 譬) = ( 1 1 7 ) 其中，对应横向i s i n g 模型和x y 模型，值分别为，2 2 和，2 ，为最近邻自旋间的耦合 参量 3 1 】。x y 模型的纵向自关联函数由n i e m e i j e r 等人将x y 模型影射到无相互作用的费 米子系统来求解，他们严格求解了任意温度下该模型的自旋纵向自关联函数 3 2 】。不久， k a t s u r a 等人利用双时格林函数方法研究了高温极限下该模型的动力学性质，发现其纵向自 关联函数可用贝塞尔函数平方的形式表示，即j 0 f 2 j t ) 2 ，其中j 为最近邻自旋间的耦合参 量【3 3 】。另外，s e n 精确求解了半无限长x y 自旋链表面自旋的自关联函数 3 4 】。s t o l z e 等 人得到了高温极限下一维无限长x y 模型的精确解 1 3 】。 另外人们对随机自旋系统也产生了浓厚的兴趣：在随机自旋链的热力学性质研究方 面，人们做了大量的工作来研究它们的热力学函数、相图等，并且取得了丰硕的成果。例 如s u z u k i 通过严格计算配分函数研究了交错磁场对x y 模型的热力学性质的影响 3 5 】。后 来d e r z h k o 和r i c h t e r 利用j o r d a n w i g n e r 变换对这一系统的热力学性质进行了更深入的研 究 3 6 】。1 9 7 9 年，t o n e g a w a 研究了经典h e i s e n b e r g 掺杂链的动力学性质，得到的一维随机 反铁磁( c d 3 ) 。n m n 。c u 。c 1 3 的中子非弹性磁散射截面与实验数据定性的符合【3 7 】。此外， 1 9 8 2 年y o u n g b l o o d 等人利用中子非弹性散射研究了i s i n g 铁磁体l i t b 。v l 巾f 4 的动力学性质 ( 其中y 代表t b 磁性格点中随机掺杂的非磁性原子) 。他们发现当p 较小时系统存在磁振 子激发，而当p 较大时不存在磁振子激发【3 8 】。对于三维i s i n g 自旋玻璃l i h 0 0 1 6 7 v 0 朋e 系 统的研究表明，由于横场和平均交换耦合参量相对强度的驱动，系统在零温时存在量子相 变 3 9 4 2 。在此之前，g r i f f i t h s 4 3 和m c c o y 4 4 ，4 5 】已分别独立预测了这一相变的存在。 结果表明，在临界点附近，随时间演化的关联函数以幂律的形式衰减，而磁化强度存在非 奇异性奇点。 在随机量子自旋系统的动力学性质方面，也取得了一些显著的成果。例如：1 9 9 7 年， r i e g e r 和i g l 6 r 利用数值计算方法研究了随机横向i s i n g 自旋链的自关联函数及其能谱，发 现自旋链的体内自旋和表面自旋的自关联函数分别按( 1 0 9 t ) q 和( 1 0 9 t ) 叫而的规律衰减，其 中x 。和x ：，分别为体内磁化指数和表面磁化指数 4 6 】。1 9 9 9 年，f l o r e n c i o 和b a r r e t o 利用递 5 第一章综述 推方法研究了耦合参量或横场满足离散型分布一双模分布时i s i n g 模型在高温极限下的动 力学性质，他们发现系统的动力学性质隧耦合参量鲮终场的变化存在放集体模行为到中心 峰值行为的交跨效应f 4 7 】。随后对考虑四自旋相互作用的一维随机横向i s i n g 模型的研究再 次确定了无序的作用是驱使系统从中心峰值行为向集体模行为的交跨 4 8 ，4 9 1 。最近，我们 计算了随机变量满足连续型分布时的情况，讨论了高斯型无序对横向i s i n g 模型的动力学 性质的影响。结果表明，当耦合参量的标准偏差玎，( 或随机外场的标准偏差a 拧) 取较小值时， 系统的动力学性质随着耦合参量的均值( 或随机外场的均值) 的变化存在从中心峰值行为 到集体模行为，再到自由自旋在外场中的旋进的两次交跨，而当o j ( 或仃r ) 取较大值时，系 统仅表现为巾心峰值行为或无序行为 5 0 l 。另终，对予随枧x y 囱旋系统动力学性质的研 究，n u n e s 等人发现耦合参量满足双模分布的x y 自旋链的长时动力学性质取决于强交换 耦合参量【5 1 】。随后2 0 0 4 年，n u n e s 对x y 自旋链和x y 自旋梯子的研究发现，这两个模 型在随机磁场中的动力学性质只依赖予随机磁场的无序度而与其强度无关【5 2 】。 1 5 本文的主要工作 本文利用递推关系方法研究了x y 囊旋链的耦含参量和随机横场独立遗满足双高麓分 布以及双高斯分布的两个极限情况：双模分布和高斯分布时一维量子各向同性随机x y 模 型的横向自关联函数及其谱密度，从而讨论无序对x y 自旋链的动力学性质的影响。另外， 还讨论了耦合参量或随机场满足双模分布和高斯分布时，各向异性x y 自旋链的动力学性 质豁交纯。 6 第二章递推关系方法 自旋系统动力学性质的研究方法主要有递推关系法、级数展开法和蒙特卡罗等几种 方法。本文利用递推关系方法进行计算。递推关系方法广泛应用于统计力学、核物理、 固体物理、应用数学等方面。1 9 8 2 年，m h o w a r dl e e 率先提出用递推关系方法求解广 义的l a n g e v i n 方程 5 3 ，5 4 。随后递推关系方法逐渐被用来研究自旋系统的动力学性质， 已被证明是计算动力学关联函数非常有效的工具之一。本章介绍如何用递推方法求解自 旋自关联函数c ( t ) 及谱密度妒( c o ) 。 2 1 自关联函数求解 利用递推关系方法求解自关联函数，需要把自关联函数( 1 1 3 ) 式按t a y l o r 级数展开， c ( t ) - - u k t 七， ( 2 1 ) k = 0 其中u k 是c ( f ) 的第七个展开系数，其具体表示式为 1 2 丽 1 = 一 ；o 七! ( 2 2 ) = 0 我们在海森堡绘景中采讨论此i 司越，凼此目旋算符是随时同演化的。j 巳罾算符彳【f j 随时 间的演化可用l i o u v i l l e 方程描述，即 c a 一( t ) ：必( f ) ， (23，dt 、， 其中三是l i o u v i l l e 算符，l a = i n ，a 】= h a - a h ，日为系统哈密顿量。由( 2 3 ) 可以求出 彳( f ) 对时间f 的尼阶导数为 了d k a ( t ) ：广r 彳( f ) ， (2dt 七、， 、7 其r pl k a ( t ) = e h ，h ， 日，彳( f ) 。根据( 2 4 ) k - ，( 2 2 ) 式变为 = 击f 丽硐l 亿5 ， 7 第二章递推关系方法 鸭= 网l 。， 称为c ( f ) 的第七阶矩。由于后为奇数时，( ( 广口彳( f ) ) 彳( o ) ) = 0 ，因此 c = 薹锛舻， 其中鸩。= 三 ( 2 6 ) ( 2 7 ) t r e 伽4 ( o ) ( p 彳( f ) ) ，z 为配分函数。考虑到高温极限下e 阳= l ，系统 的配分函数z = t r l = 2 ，所以 鸩。= 2 1 - - t r 阿厕 专n 阿丽瓦瓦丽词 ( 2 8 ) 由于计算坂时，随着k 的增大，计算量迅速增大，只能求出前几个矩，从而只能 得到前几个展开系数。为了求解自关联函数，本文采用p a d 6 的方法，利用已得到的展开 系数为自关联函数c ( f ) 构造最高阶的p a d 6 逼近式，从而得到自关联函数的近似解。 2 2p a d 6 逼近 前面在用t a l y o r 级数展开方法求解系统的自关联函数时，由于计算繁琐复杂，只能 求出有限个矩，从而使c ( t 1 的计算受阻，另外采用泰勒级数展开求解函数时还有可能出 现级数不收敛的情况。考虑到这两个问题，求解自关联函数可以采用一种有理分式逼近 的方法。本文采用p a d 6 逼近方法，p a d 6 逼近方法是法国数学家p a d 6 提出的一种特殊的 有理逼近方法 5 5 ，5 6 】。以下介绍这种有理逼近方法。 设函数( z ) 由下述形式的幂级数定义， 厂( z ) = z j | ， ( 2 9 ) k - - o 其中a o o ，且厂( z ) 在原点的某个邻域内收敛，对正整数肌和刀，如果存在两个无公共 因子的多项式 已( z ) = 既矿， ( 2 1 0 ) 它们的系数由下列方程所决定 q ( z ) = z q k z ， k = 0 8 ( 2 1 1 ) 第二章递推关系方法 他) 一器= 。( ) ， 2 ) 并且有假定初始条件鲮( o ) = 1 ，则称有理分式函数焉( z ) q ( z ) 为函数厂( z ) 的( m ，”) 阶 p a d 6 逼近，并记为 【m ，箨】篇己( z ) 7 q ( z ) + ( 2 。1 3 ) 以q ( z ) 乘( 2 1 2 ) 式并比较两边同次幂系数，可得关于胁、a 、和、q i 、 蟊的班+ 撵+ 1 个线性方程： = 岛 q + q l = p i 口2 + 嘎鳜+ 垡2 = 见 ， + _ l 编+ + 岛锄2 ( 2 1 4 ) ( 2 。i s ) 其中约定k 以q k = 0 。这样求出的e m 和q 并不唯一，但有理数 蚰) = 渊 ( 2 均 却是唯一的。 如果厂( z ) 的前几个系数已知，利用方程( 2 1 4 ) 和( 2 1 5 ) n - f f j 蝴l j m + n + 1 个方程，求 解这些方程首先可得到垡o ，g l ，i 一，g 霉，q 嚣，然后再得到p o ，p l ，一，尹蠹，p 拼，进而餐到 s ( z ) 的( 珑，村) 级p a d 6 逼近。 2 3 谱密度 自关联函数对应的谱函数的计算比自关联函数的计算过程复杂，以下介绍其过程： 递推关系方法的核心是把一个特别的量按正交基矢展开，在海森堡绘景中是把随时 闻演化酌厄密算符互( f ) 按正交基矢袋开。 2 3 1 正交基矢的构建 要构建完备的正交基矢，首先需要在h i l b e r t 空闻定义任意两基矢x 和y 的内积为 k u b o 内积的形式 9 o o 篇 篇 纵 蕊 删 卅 。 + + 一 呻 扣 扣 糟 吼 枷 + + “ m 第二章递推关系方法 ( x ，y ) = 卢_ 1r d a ( x ( a ) y + ) 一( x ) ( y + ) ， ( 2 1 7 ) 其中x ( a ) = e m x e 一腰，( x y ) - - t r ( p 一用砂) t r e 一用，p = ( 丁) 。考虑无序平均且高温条 件时，内积的形式变为 ( x ，y ) = ( x ( a ) y + ) 其次，根据所求的问题，在h i l b e r t 空间中考虑一组非正交的完备基矢 口= 彳0 ，彳o ，彳。，么p ， ， 其中彳p ) = ( 圮) ”a ，y o ，且 ( ( 记) ”么，( 圮) 。么) = 0 ， 如果 v - u = 2 k + 1 ，y ，u o 。 再次，在非正交基矢口的基础上构造一组正交完备基矢 f = f o ，石，厶，z ，) ， 使之满足内积( 2 1 8 ) 式。 如果选择基矢的初始条件五= 4 0 ) ，则由( 2 2 0 ) 式知 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) o ( 厶，蝴) = p 一1r d 允( 石( a ) + ( 姒) ) ， ( 2 2 2 ) 其中 ( 0 ( 4 ) + ( 姒) ) = l z t r e 一脚p 舾片p 一俎f ( h 五一石h ) = 孝( 可瓦网一可 = 烈e - m e 棚( f o + h - h f o + ) e - , t h 彳 = 一扣p 可调 令l f o = 聊，则( 石( 允) + ( 姒) ) 的上述表达式变为 ( 肌( a ) + 石) 0 根据正交性条件得石= m 即石= 姒。 为求解石的表达式，设五= 姒+ x ，根据( 二，石) = ( 石，五) = o 得 o = ( 五，2 ) - - ( 0 ，i l l s ) + ( f o ，x ) = 一( 石，石) + ( 五，x ) ， 1 0 ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 第二章递推关系方法 o = ( 石，厶) = ( 峨，姒) + ( 戤，x ) = ( 馘，( 圮) 2f o ) + ( 吼，x ) m ( 2 2 0 ) 式得( 蝴，( 圮) 2 五) = 0 ，所以( 2 2 5 ) 变为 ( 姒，x ) = o 由( 2 2 4 ) 乘1 ( 2 2 6 ) 知x 0 ，设x = 妩，则( 2 2 4 ) 式变为 一( 石，石) + ( 石，f o ) = 0 ， 故 所以 同理由正交性条件 c = 船呐， x = l f o ，即五= 业石+ l 石。 ( 2 2 5 ) ( 2 2 6 ) ( 2 2 7 ) ( 工，z + ，) = o ( 七y ) ， ( 2 2 8 ) 及 - ( x ，工) + ( ，z 一。) = o ， ( 2 2 9 ) 可得屯= a y 工一l ，y 1 ，= o ，其中 ，= ( z ，x ) ( x 小i v 一。) ( 2 3 0 ) 称为递推因子( 或连分式系数) 。 最后得递推关系式 工+ l = l l + ，z l ，( y o ) ，( 2 3 1 ) 且正l 兰0 和o 暑1 。 如果知道基矢五，利用以上推导出的递推关系式便可求出其余的基矢，从而可将 彳( f ) 按以上正交基矢展开 么( r ) = q ( f 阮， ( 2 3 2 ) v = 0 其中a v ( t ) 为一组含时间的函数，与广义l a n g e v i n 方程定义的广义力的弛豫函数有关。 将( 2 3 2 ) 式两边同时和么取内积可得 第二章递推关系方法 ( 么( f ) ，彳) 2i v f f i o 吼( f ) 工，叫 = ( f ) ( 么o ) ，么) + l q ( f ) 工，彳l ( 2 3 3 ) = 口0 ( f ) ( 彳( r ) ，彳) + i q ( f ) 工，f o1 由正交基矢的正交性( 工，五) = o “) 可知( 闻q ( ，) 工，f o ) = o ，则上式可得 口o = ( 么( f ) ，a ) ( a ，么) ，此式即为标准的弛豫函数。由( 2 1 8 ) 式可得口o ( f ) = 网八可， 则( f ) 就是自旋自关联函数c ( r ) 5 3 ，5 4 ，5 7 ，5 8 。利用( 2 3 ) 式i 9 1 ( 2 3 2 ) n - - , 得 吼( ，阢= q ( ，) ( 戤) = q ( ，) ( 石+ 。- a ，工q ) ， ( 2 3 4 ) 比较上式两边z 的系数，可得递推关系 氐o ) = 口y 一。( t ) - a 。口y + ，( f ) ， ( 2 3 5 ) 其中，屯( f ) = 帆( f ) 衍。将上式进行l a p l a c e 变换三( p ) = f f ( t ) e d t ，可得 川f p 叫q + 。( t ) d t = - g e - 矗屯( f ) 出+ f e - n a ，一。( t ) d t ( 2 3 6 ) 对j c o p 叫屯( f ) 西进行分部积分得 j c o p 叫屯( r ) 衍= 一q ( o ) + z f p - 矗a , , ( 0 a t ( 2 3 7 ) 将( 2 3 7 ) 式带x ( 2 3 6 ) 得 q ( o ) = 州q + 。( z ) + 觋( z ) 一q 一。( z ) ( 2 3 8 ) 考虑初始条件嘞( o ) = 1 ，q ( o ) = o ( ，0 ) ，得 扑卜错 _ l 9 ， 器= 卜帮 ( 蹦卜 利用( 2 3 9 ) 和( 2 4 0 ) 式可以将( z ) 写为连分式形式 1 2 第二章递推关系方法 a o ( z ) = z + 垒幽 z + a y f ，( z ) ( 2 4 1 ) 其中z = 6 + i 0 d 。由于只能求出有限个连分式系数，因此只能对( 2 4 1 ) 式采取恰当的截断 方式，从而近似求解出a o ( z ) ，f ，( z ) 称为a o ( z ) 的第v 阶截断函数。根据 ， 的性质， 采取恰当的截断方法，求出f ，( z ) ，则自旋自关联函数的谱函数即可由下式求出 妒( ) = r ef c ( t ) e d t = l i m r e a o ( 、z ) l ( 2 4 2 ) 2 3 2f ，( z ) 函数的求解 在连分式系数的逐级求解过程中，由于随着连分式系数的增大，运算量加倍增大， 因此只能求解出有限个连分式系数。这样如果要求解谱密度，就需要采用一种恰当的截 断方式，求出f ，( z ) 进而求出a o ( z ) ，从而求出妒( 国) 。f ，( z ) 的求解过程如下： 首先根据所求解的弛豫函数及连分式系数的性质选择与之对应的模型弛豫函数模 型 e o ( z ) - - z + 一 ( 2 4 3 ) 1 、。 由已知的己( z ) 和一a i , a 一：，求出f ，( z ) 的表达式，然后将f ，( z ) 代入要求解的 c o ( z ) - - z + + 百丽a v _ i z + 1 izi 根据已求得的l ，一，a 髟既可得出c o ( z ) ，从而求出9 5 ( ) 。 2 4 高斯截断 ( 2 4 4 ) 根据连分式系数的特点，截断方式分为平方根截断、矩形截断、高斯截断等几种方 式 1 8 】。在本文所研究问题中，由所求出的前k 个连分式系数l ，一，a 足可知它们呈线性 1 3 第二章递推关系方法 关系。由于高斯截断中连分式系数满足线性关系，y ，故我们采用高斯截断方法求 l ( z ) 。取模型弛豫函数 - o ( z ) = 何僦e x p ( z 2 1 2 k ) e r f c ( z ， ( 3 1 2 ) 第三章随机x - y 自旋链的动力学性质 利用已得到的前7 个连分式系数计算。，。，。根据这1 0 个连分式系数，并采用高斯 截断方法，可得到自旋自关联函数对应的谱密度。 另外利用前面得到的前1 0 个连分式系数，根据推导的矩和连分式系数之间的关系， 可以得到自关联函数的前2 0 阶矩，利用这2 0 阶矩构造自关联函数的最高阶p a d 6 逼近式， 便可近似得到自旋自关联函数c ( f ) 。 3 3 结果与讨论 本节给出自关联函数c ( r ) 和谱密度 6 ( 国) 的一些结果，讨论双高斯无序对各向同性x y 自旋链动力学性质的影响。另外，还给出了随机变量满足双高斯分布的两种极限情况( 双 模分布和高斯分布) 时的一些结果，讨论系统在这两种特殊情况下动力学性质的变化。 3 3 1 双高斯分布 3 3 1 1 无序外场情况 本小节考虑随机外场满足双高斯分布，而交换耦合参量为常量z = j = 1 的情况。假设 外场均值取两个特殊值：尽= 1 8 ，旦= 0 2 。图3 1 给出外场标准偏差仃r 取o 3 和3 0 时的横 向自关联函数c ( t ) 和对应的谱密度( ) 。图3 1 ( b ) 和( d ) 中的插图给出与每组自关联 函数相对应的前9 个连分式系数的值。 图3 1 ( a ) 显示当口。取较小值0 3 时，系统的动力学性质随着p 的增大，逐渐由横向 外场主导：当p = 0 时，因为耦合参量比横场大得多，自旋最近邻相互作用比自旋和外场的 相互作用强，所以自关联函数曲线单调递减( 图3 1 ( a ) 实线) ，系统表现为中心峰值行为。 随着p 得增大，外场增强，自旋和外场的相互作用增大，当p = 0 2 5 时，系统的中心峰值 行为由于横场的影响而出现轻微的振荡，并且振荡随着p 的增大而加剧。当p = 1 时，系统 的中心峰值行为被集体模型行为取代。图3 1 ( b ) 显示谱密度的峰值随着p 的增大，由国= 0 处移至c o = 2 处，这再次表明当口。较小时，无序磁场的增强使系统动力学性质产生了从中 心峰值行为到集体模行为的交跨效应。 图3 1 ( c ) 和( d ) 是仃。取较大值( 仃r = 3 0 ) 时自关联函数和谱密度。比较图3 1 ( a ) 和( c ) ，可以发现，随着标准偏差仃疗的增大，从中心峰值行为到集体模行为的交跨效应消 失。出现这一现象的原因是随着仃。的增大，外场使自旋趋向无序，从而使系统处于一种无 序状态，因而系统表现出一种介于中心峰值行为和集体模行为之间的无序行为。 1 8 第三章随机x y 自旋链的动力学性质 图3 1 随机外场满足双高斯分布情况下的自关联函数及相对应的谱密度。当0 0 取较小值 ( = o 3 ) 时，系统经历了从中心峰值行为到集体模行为的交跨效应，但是当取 较大值( = 3 0 ) 时，系统仅处于一种无序状态。 3 3 1 2 交换耦合参量无序的情况 在这种情况下，假设耦合参量满足双高斯分布，而横场为常量。取分布中耦合参量的 均值为以= 1 0 和o 4 ，图3 2 给出了考虑耦合参量标准偏差