（等离子体物理专业论文）关于双束流weibel不稳定性的研究.pdf

关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 摘要 在空间和实验室等离子体中，粒子速度空间不均匀是一种普遍存在的现象， 这种不均匀性能驱动不稳定性。w e i b e l 不稳定性就是由于电子各向温度或者动量 异性而导致的一种电磁不稳定性。伴随着该不稳定性，等离子体能激发准静态的 磁场。 这些年来，w e i b e l 不稳定性已经引起人们很大的关注，不仅因为其本身的物 理机制，还在于它产生的磁场。天体等离子中，w e i b e l 不稳定性常用来作为一种 产生磁场的机制；实验室等离子体中，w e i b e l 不稳定性对快点火中超热电子能量 的传输有重要的作用。快点火中，对于圆偏振激光，在超热电子传播方向上存在 一个轴向磁场，本文的目的就是研究该磁场对w e i b e l 不稳定性的影响。 本文我们先讨论了双束流w e i b e l 不稳定性。这部分首先归纳了电子一离子等 离子体的线性色散关系；按着对双束流w e i b e l 不稳定性进行p i c 粒子模拟，给出 不稳定性的一些特征，并比较了对称流和不对称流的差异；然后从流体方程出发， 考虑冷双束流，得到描述非线性发展阶段的方程，在弱非线性近似下，求解该方 程，解释了w e i b e l 不稳定性的一些物理图像。 我们重点讨论了导向磁场对w e i b e l 不稳定性的影响。考虑冷的双电子束流， 从线性色散关系得出增长率和导向场的关系。理论分析给出，导向场会有效地减 少不稳定性的增长率。p 1 c 粒子模拟也得出了这样的结果，并给出在导向场的影 响下，非线性阶段的一些复杂的物理现象，自生磁场的饱和水平大于无外场情况 等等。在所产生的偶极场和静电场的作用下，一束电子被捕捉在自生磁场的两个 峰值之间( 梯度为正) ，另一束被分散到两个峰值之外的区域( 梯度为负) 。导向 磁场的存在使得电子的汇聚更加集中。从饱和之后的电流和磁场分析，饱和之后， 电子温度并没有达到各向同性，而是保持一定的异性。有了导向场之后，另一个 明显的特征就是导向磁场会被调制为具有k = 2 的特征( 我们初始所加扰动对应 k = 1 ) ，电子的大部分动能相应也会偏转到w e i b e i 场所在的方向。 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 a b s t r a c t t h ew e i b e l i n s t a b i l i t y i sat r a n s v e r s e e l e c t r o m a g n e t i ci n s t a b i l i t y d r i v e n b y t e m p e r a t u r eo re l e c t r o n sm o m e n ta n i s o t r o p y ( w e i b e l ) o rt w oc o u n t e rs t r e a m s ( f r i e d ) ， a p a r tf r o mi t sb a s i ct h e o r e t i c a li n t e r e s t ，t h ew e i b e li n s t a b i l i t yh a sa t t r a c t e dm u c h a t t e n t i o ni nt h er e c e n ty e a r si nt h ep l a s m ac o m m u n i t y , d u et oi t s c a p a b i l i t yo f g e n e r a t i n ga ( d i p o l a r ) m a g n e t i cf i e l df r o me s s e n t i a l l ya n yk i n do fi n i t i a l ，i n f i n i t e s i m a l ， r a n d o mn o i s e t h er e s u l t i n gm a g n e t i cf i e l dc o u l db et h e nt h es e e df o rm o r er o b u s t m e c h a n i s m s ，s u c ha st h em a g n e t i cd y n a m o ，a b l et op r o d u c et h el a r g es c a l ef i e l d s o b s e r v e di nm a n yc e l e s t i a lb o d i e s i ta l s op l a y sac r u c i a lr o l ei nt h et r a n s p o r to ff a s t e l e c t r o n s e n e r g i e st ot h et a r g e ti nf a s ti g n i t o rs c e n a r i o s w e i b e i sw o r kh a ss t i m u l a t e das e r i e so ff l l r t l l e ri n v e s t i g a t i o no ft h et r a n s v e r s e e l e c t r o m a g n e t i ci n s t a b i l i t yi nu n m a g n e t i z e dp l a s m a t h e s ep a p e r sd e a l tw i t ht h el i n e a r , q u a s i l i n e a ra n df u l l yn o n l i n e a rt h e o r i e sa sw e l la st h ec o m p u t e rs i m u l a t i o ne x p e r i m e n t s o ft h ei n s t a b i l i t y a tt h es a m et i m es e v e r a lo t h e ra u t h o r si n v e s t i g a t e d t h e e l e c t r o m a g n e t i ci n s t a b i l i t i e si nm a g n e t i z e dp l a s m af o raw i d ed i f f e r e n to r i e n t a t i o n so f t h ep r o p a g a t i o nv e c t o r , m o s tr e c e n t l nc a l i f a n oe ta l ，h a v ec a r r i e do u tf u r t h e r i n v e s t i g a t i o n so fw e i b e l t y p ei n s t a b i l i t y , w h e r et h er o l eo ft e m p e r a t u r ea n i s o t r o p yi s t a k e nb yt w oc o u n t e r s t r e a m i n ge l e c t r o np o p u l a t i o n s a l lo f p r e v i o u sa n a l y s e s ，i n c l u d i n g t h a to fw e i b e l h a v eb e e nb a s e do nt h ev l a s o v - m a x w e l lf o r m a l i s m a sw ek n o w , i fa c i r c u l a r l yp o l a r i z e ds u p e r - i n t e n s el a s e ri su s e dt og e n e r a t er e l a t i v i s t i ce l e c t r o nb e a mi n t h ef a s ti g n i t i o n ，t h e r ee x i s t sag u i d i n gm a g n e t i cf i e l da l o n gt h eb e a mp r o p a g a t i o n d i r e c t i o nd u et ot h ee l e c t r o n sc i r c u m g y r a t i n gw i t hl a s e re l e c t r i cf i e l d 。t h em o t i v a t i o no f o u rw o r ki st oi n v e s t i g a t et h ee f f e c to ft h eg u i d i n gm a g n e t i cf i e l d0 1 3 t h ew e i b e l i n s t a b i l i t y w ef o c u so n ri n t e r e s to no n e - d i m e n s i o n a ln o n r e l a t i v i s t i cc a s ef o rs i m p l i c i t y t h em a i nc o n c l u s i o ni se a s i l ys u i t a b l ef o rt h er e l a t i v i s t i cc a s e f i r s t ，w es t u d ys o m ew o r ko nt h em a g n e t i c - f r e ee l e c t r o n i o np l a s m a s ，l i n e a r d i s p e r s i o nr e l a t i o ni so b t a i n e do nt h eb a s e m e n to fv l a s o v m a x w e l lf o r m a l i s mf o rb o t h n o n r e l a t i v i s t i ca n dr e l a t i v i s t i cc a s e s t h e np i cs i m u l a t i o nr e s u l t ss h o ws o m ep h y s i c a l 2 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 p h e n o m e n ai nt h el i n e a ra n di nt h en o n l i n e a rr e g i m e s c o m p a r i s o nb e t w e e nt w o s y m m e t r ys t r e a m sa n dt w on o n s y m m e t r yo n e si sa l s od o n e i no r d e rt oi n t e r p r e tt h e s i m u l a t i o nr e s u l t s ，w eg i v es o m ef l u i dd e s c r i p t i o no fw e i b e li n s t a b i l i t y c o n s i d e r i n g t w oc o l de l e c t r o ns t r e a m s ，w ed e r i v et h ee q u a t i o nd e s c r i b i n gt h ew e i b e li n s t a b i l i t yi n t h en o n l i n e a rr e g i m e o nt h ew e a k l yn o n l i n e a rr e g i m ea p p r o x i m a t i o n ，w es o l v et h e e q u a t i o na n do b t a i ni t ss o l u t i o n n e x t ，w ep a yo u ri n t e r e s t st ot h ee f f e c to fag u i d i n gm a g n e t i cf i e l da l o n gb e a m p r o p a g a t i o nd i r e c t i o no nt h ew e i b e li n s t a b i l i t y l i n e a 亩d i s p e r s i o nr e l a t i o ni so b t m n e di n t h ep r e s e n c eo fs u c ha l le x t e r n a lm a g n e t i cf i e l d ，w h i c hs h o w st h ef i e l dc a ns u p p r e s so r e v e ns t a b i l i z et h ew e i b e li n s t a b i l i t y c o m p a r i s o n so fo u rp i cs i m u l a t i o nr e s u l t s 、析t 1 1t h e a n a l y t i c a lo n e ss h o wv e r yg o o da g r e e m e n t 。t h eg r o w t hr a t e o fw e i b e li n s t a b i l i t y d e c r e a s e sd r a f t i ya st h eg u i d i n gm a g n e t i cf i e l di n c r e a s e sa n dt h e nc o m e st oz e r o ，w h i c h m e a n st h ew e i b e li n s t a b i l i t yc a n tg r o w a l s oo b s e r v e di nt h es i m u l a t i o na r e t h e s u p p r e s s i o no ft h ee l e c t r o s t a t i cf i e l d ，ah i g h e rl e v e lo fs e l f g e n e r a t e dm a g n e t i c f i e l d t h a nt h a ti nt h ea b s e n c eo fg u i d i n gm a g n e t i cf i e l d ，m o d ec o m p e t i t i o n a sw ek n o w , o n t h ea c t i o no fs e l f - g e n e r a t e dm a g n e t i cf i e l da n dt h eg u i d i n gm a g n e t i cf i e l d ，o n e p o p u l a t i o no fe l e c t r o n sw i l lc o n c e n t r a t e db e t w e e nt w op e a k so ft h ef i e l da n d b et r a p p e d t h e r e ，w h i l eo t h e rp o p u l a t i o nw i l ld i v e r g eb e s i d e st w op e a k sa n da l s ob e 扫a p p e dt h e r e t h e nt h es e l f - g e n e r a t e dm a g n e t i cf i e l dc o m e st os a t u r a t i o nw i t hac o n s t a n tv a l u ea n d s p a c ec o n f i g u r a t i o n m o s to ft h ee l e c t r o n s k i n e t i ce n e r g i e sw i l l b ed e v i a t e dt ot h e d i r e c t i o no fw e i b e lm a g n e t i cf i e l d ，a n dt h eg u i d i n gm a g n e t i cf i e l dw i l lb ed e v i s e db ya s e f - g e n e r a t e df i e l dw h i c hh a sac h a r a c t e r i s t i c o fk - 2 w h a t sm o r e t h eg u i d i n g m a g n e t i cf i e l da l s om a k e se a c he l e c t r o np o p u l a t i o nb u n c hf u r t h e n 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中国工程物理研究院或其他 教育机构的学位或证书使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：磅t z 铴 签字日期：d j 年f 月f 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解并接受中国工程物理研究院研究生部有关保存、使 用学位论文的规定，允许论文被查阅、借阅和送交国家有关部门或机构，同时授 权中国工程物理研究院研究生部可以将学位论文全部或部分内容编入有关数据 库进行检索，可以影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 学位论文作者签名 唾t 拂 新虢弛 签字日期：# 年月 日 签字日期：一。弓年莎月芦日 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 一绪论 1 1w e i b e l 不稳定性的意义 1 9 5 9 年，w e i b e l 1 最早预测到速度空间异性分布( 温度异性) 可以驱动一种 电磁不稳定性，并命名为w e i b e l 不稳定性。伴随惹该不稳定性，等离子体会激发 准静态的磁场( 频率实部为o ) 2 。 在w e i b e l 提出该不稳定性之后，f r i e d 3 借助冷等离子体的双束流结构模型， 给出了w e i b e l 不稳定性简单清晰的物理解释，这里两束反方向运动的电子束流代 替了温度的空间异性。w e i b e l 不稳定性的物理机制如图( 只考虑电子运动，空间 电中性) ：以速度伊：y 。i 。沿y 方向运动的电子在扰动磁场( z 方向) 的作用下， 会向。方向发生偏转，电子的轨迹如图中虚线所示。向右运动的电子会汇聚在i 区，而向左的则会汇集在i i 区。i 区和i i 区形成方向相反的电流，而这些电流反 过来也会使扰动场得到增大，相应的增长率为： 。：竺些垒丝 ( 1 1 ) 。1 + 2c 2 k 2 这里甜。2 ：( 4 昭：聊) 为电子等离子体频率。放大的扰动场位于垂直于流的平面 内。 x 图1 1w e i _ b e l 不稳定性的物理机制。 上面是f r i e d 对w e i b e l 不稳定性的微观描述。近年来，b a s u e 4 a 一组自闭 1 - 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 合的矩方程出发，对温度异性较强的w e i b e l 不稳定性作了宏观描述：电子温度异 性能引起动量流芦，而该动量流引起的电流( 7 ) 反过来也能使扰动场得到增大； b a s u 指出压力张量对于w e i b e l 不稳定性的增长起到很关键的作用。 为了更清楚地理解w e i b e l 不稳定性，下面我们给出w e i b e l 不稳定性的一些 基本属性： 1 w e i b e l 不稳定性是纯增长的，例如，r eu = o 。因此，波和粒子相互作用等 动力学效应无法使不稳定性达到饱和，它只能通过非线性效应达到饱和， 产生的电磁场可达到很大值。 2 尽管w e i b e l 不稳定性初始有动力学性质，但该不稳定性是非共振的。例 如，我们不可能挑出一群引起该不稳定性的粒子。因为在整个过程当中， 大量的等离子体都参与了w e i b e i 不稳定性，而且转化到磁场的能量和等 离子体的总的动能差不多。 3 w e i b e l 不稳定性是自饱和的，直到由于分布函数异性而引起的自由能全部 转化为磁场能量，该不稳定性才达到饱和。 4 ，自生的磁场位于垂直于束流速度和扰动波矢k 的平面内。 1 2w e i b e l 不稳定性的应用 在空间和实验室等离子体中，粒子速度空间的分布不均匀是种极为普遍存 在的现象。例如，强激光等离子体相互作用中，沿激光传播方向的粒子温度就有 可能不同于垂直于激光传播方向的粒子温度 5 】。这种不均匀性导致的w e i b e l 不稳 定性也会发生在很多等离子体中。这些年来，w e i b e l 不稳定性已经引起人们很大 的关注，不仅因为其本身的物理机制，还在于它能产生很强的磁场。 天体等离子体的研究中，w e i b e l 不稳定性常用来作为一种产生强磁场的机制 6 ，7 。当一个以相对论速度膨胀的火球( f i r e b a l l ) 和周围的气体相互作用时，会 形成冲击波，该冲击波将会产生同步电磁辐射。火球的能量存在于大量群运动的 质子当中，当这些质子遇到周围的等离子体时，就会产生速度空间的异性，而该 异性产生的w e i b e l 不稳定性就会使得大部分粒子的动能转化为磁场能量，对同步 辐射的发生起到了关键的作用。 关于裂束流w e i b e l 不稳定性的研究 在快点火中，对于w e i b e l 不稳定性的研究主要集中在该不稳定性对超热电子 能量传输的影响。和中心点火不同的是，快点火要求压缩和点火是分开的两个过 程，先对耙丸进行内爆压缩，达到所需要的高密度( 预压缩) ，然后用超强短脉冲 激光产生的高能粒子( 电子，质子) ，把点火所需的能量输运到点火热斑。超热电 子在稠密等离子体中传输是一个十分复杂的问题，这个过程中有个重要的特征就 是会产生电子回流 8 。我们知道，快点火要求强相对论的超热电子束打进几百微 米尺度的等离子胶囊形状的靶丸( d t ) ，其密度是电子束密度的1 0 倍甚至上千倍 9 1 ，在高密度等离子体中必须考虑慢电子回流的影响，它使总电流大幅度降低， 对超热电子流的传输影响很大。同时这种双流结构是不稳定的，w e i b e l 不稳定性 很容易发展起来，它会妨碍电子束输运的能量沉积到热斑中去。 1 3w e i b e l 不稳定性的研究进展 由于w e i b e l 不稳定在天体和实验室等离子体中都具有很大的应用价值，所以 w e i b e l 不稳定性提出以后，引起了很多人对无磁化等离子体中横向电磁不稳定性 的进一步研究。他们主要关注于不稳定性的线性、准线性和完全非线性的理论分 析以及对于该不稳定性的计算机模拟 1 l ，1 2 。同时也有一些作者【1 3 ，1 4 研究了 磁化等离子体中的电磁不稳定性，讨论了不同的分布函数和不同的波矢方向对电 磁不稳定性的影响。近些年来，c a l i f a n o 等人 1 5 ，1 6 进一步研究了w e i b e l 不稳定 性，他们关注的是双束流引起的电磁不稳定性。这种双流机制并不稳定，如果扰 动模平行于束流漂移速度方向，会产生静电不稳定性；如果垂直，则会产生电磁 不稳定性。后者实质上就是速度空间不均匀引起的w e i b e l 不稳定性。 对w e i b e l 不稳定性研究的理论工作主要局限在不稳定性发展的线性阶段，得 到线性色散关系，进而讨论增长率的存在条件和大小。最早的w e i b e l 1 从v l a s o v m a x w e l l 方程和双温m a x w e l l 分布出发，以及后来的p e g o r a r o 1 7 】等人在均匀流 体近似下，分别得到电子一离子等离子体中非相对论下w e i b e l 不稳定性的线性色 散关系和纯增长的电磁波。在相对论i i ? g t ，s i l v a 等人利用水袋分布函数，从动 力学方程出发推导了线性色散关系，对增长率的存在条件和大小也给予了讨论， 参量分析表明柬流横向温度的提高( 垂直于束流方向) 将会压制w e i b e l 不稳定性。 c a l i r a l l 0 1 8 1 等人从相对论的流体方程，对两束不均匀电子束引起的w e i b e l 不稳定 关于双柬流w e i b e l 不稳定性的研究 性进行了讨论，给出了典型的偶极磁场结构。b a s u 4 从一组线性矩方程出发，给 出了w e i b e l 不稳定性的一些解释。相对于动力学描述，基于动量方程的宏观描述 更为明显地给出了w e i b e l 不稳定性的物理意义：动量平衡方程中的压力张量在激 发该不稳定性中起到了关键作用。 当不稳定性进入菲线性阶段，就会变得比较复杂，这时必须借助计算机数值 模拟来对其进行研究。c a l i f a n o 等人 1 5 ，1 6 ，1 9 利用数值模拟给出不稳定性的线 性和非线性的一些结果。他们完全从动力学方程出发，在线性阶段得到一个相速 度为0 的偶极磁场。他们指出，当电子的回旋频率和线性增长率变得相当时，不 稳定性达到饱和。动力学上的解释是部分电子被电磁力和静电力捕捉，导致电子 温度逐渐向各向同性发展。模拟结果给出了细致的磁场结构，而且不稳定性饱和 之后，磁场基本上不再随空间和时间变化。相空间图还给出了两束流在空间的裂 解。他们还指出，饱和阶段，背景离子不再是静止的，在静电力和电磁力的作用 下也会开始移动，考虑离子的效应是必需的；有质动力的作用，使得电子和离子 先后被排空，形成很强的密度空洞。非线性阶段，随着不稳定性产生的自生磁场 的增大，等离子体逐渐被磁化，就会出现很多如b e r n s t e i n 波，奇异波 1 9 ，2 0 等物 理现象。 天体中普遍存在一种电子一正电子成分的等离子体，和电子一离子等离子体 相比，这种等离子体有许多不同的特征。在目前的实验室条件下，很难得到电子 一正电子的等离子体，对他们的研究也只有借助于数值模拟。二维和三维【2 1 ，2 2 】 的p i c 粒子模拟，给出了电子一正电子等离子体中w e i b e l 不稳定性线性和非线性 阶段的一些特性：电流成丝，准静态磁场，成丝电流又互相合并，等离子体密度 低的区域充满电磁场以及电流丝有个很小的倾斜等等。 对于不稳定性的饱和水平，d a v i d s o n 1 1 】，y a n g 2 3 等人也给予了讨论，不稳 定性的饱和主要是电子被自生磁场磁捕捉。假设磁场空间形状为三角函数，电子 被捕捉在个峰值之间来回振荡，得到不稳定性磁场的饱和水平： ，y 2 m 6 i 乃。 当各向异性较弱时，即：( t 一乃) 乃 1 可得 一等署c + ( 2 1 2 ) x , t 于o k k o ( 有效波数) ，( 2 1 2 ) 对应纯增长的波。这里k 2 = ( 专 2 ) ( 一1 ) 。 1 叫 旦眠 监 + 兀 旦饥 堕 关于烈束流w e i b e l 不稳定性的研究 当各向异性较强时，( 五硼玲，1 ，矽( 丧) = ；等( 2 1 3 ) 近似为 扛c 2 艮( 1 + 鲁) _ 0 这里。z ：4 n e 2 n o ，是电子等离子体频率。 m ( 2 1 3 ) 对于 c k ，我们司得到一个纯增长的解： c 如老杀，埕 汜 2 ，) 双束流分布 如果我们考虑f r i e d 2 ，1 7 的双流模型，k l e ，e z = 0 对应分布函数： = r o l a ( v 。一v 0 1 ) 万( v ，) d ( y ：) + m 0 2 j ( y 。十1 1 0 2 ) 万( v ，) 占( y ：) ( 2 t 5 ) 代入式( 2 9 ) 要求c ：。= 0 ，c 。= 0 ，可得到： 【”0 l 一 0 2 v 。2 = 0 ( 2 1 6 ) 对应流为0 的条件。 由( 2 8 ) 可得到： 2 一c 2 k 2 一。2 = 0 由( 2 7 ) 可得到 这里 方程恒存在增长解 2 一c 2 2 一曲，2 一曲，2 主j 2 ；焦= 。 ( 2 1 7 ) 24 z r ( n o l + ； 0 2 ) p 2 月d5 4 m 卢鲢笋 - 1 + ( 14 - 器22 焰 弦 如果专错 t c z ，埔，式可以退化为n ”式。和f r i e a 的结果 一致。 如果我们把该模型延伸到相对论范围内，则对应分布函数： 兀= 1 6 ( p 。一p 。) 占( p ，) 万( p ：) + 胛0 2 6 ( p ，+ p 。2 ) 占( p ，) 占( p 。) ( 2 1 9 ) 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 把( 2 1 9 ) 式代入( 2 7 ) ，( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式，可得到 2 _ c 2 k 2 一鲁一鲁 2c 等2 2 + 等2v 0 2 2 ) 一去c 鲁+ 鲁， 一去c 吾( 0 2 + 罢，小等一鲁y 0 12l2 鼢。 对于w e i b e l 不稳定性，我们司得剑： 2 艮鲁一案一孑k 2 【吾2 啦生y o ：哟= 。 ( 2zo ) y 晶，品 国。 y 0 1 堕，+ 生v 。：o ( 2 2 1 ) 如果，y 。 o o 0 1 o2 _ 0 3 4 图2 7 刑于不对称的两束流，电子的相空问分布图在时间t = 0 ( 上) ，3 0 ( 中) 4 0 ( 下) ( 左边为v x - x ，右边为v y - x ) 。 将从中间向两边分散，我们可从上面的密度图2 5 中很明显地看出来。下面我们给 出不稳定性饱和之前电子的相空间分布图( 如图2 6 和2 7 ) ：我们分别选取t = 0 ， 3 0 ，4 0 时刻h 哨，b 吖的相空间分布。对于两种情况，我们在相空间b 。x 中都观 察到由于电磁场效应引起的电子空间分离( t _ 4 0 ) 。在相空间v x - x 中也可以看到磁 场的轮廓。不稳定性饱和之前，静电力相对于l o r e n t z 力很小，所以t 4 0 的时候， 一一茎! 翌塞煎坠垄! ! 至堡塞堡塑堑塞 电子x 方向的速度主要由l o r e n t z 力决定：v 。 v 。，b ：，各束流x 方向的平均速度 的形状就对应磁场的空间形状。y 方向的速度变化主要由矢势a 决定，在相空间 v y - x 的图中我们也可很清楚地看到矢势a 的空间结构，各束流y 方向的平均速度 的形状对应磁场的空间形状。 我们在不稳定性饱和之前对磁场b z 以及静电场e x 空间作频谱分析，看看两 者之间的差别，如图2 8 所示，t = 2 5 ，4 0 ( 左边对应对称的两束流，右边是非对称 的情况) 。我们可以看出，对称流的情况下，模k = - 2 是发展不起来的，只有奇次模 k = - i ，3 能发展，静电场对应k = 2 ，4 ；非对称的情况下，模k = l ，2 ，3 都能明显发 展起来，静电场模以k = - i ，2 ，3 为主。 o , l o ! j l 0 0 8 - i ! 曼0 0 6 ij 差蹦 o ，。l = 1 2 _ p 审r ，_ j 012 345 6 7 8 91 0 0 0 3 0 r r 一r 一，一r 一= | 、 一， n 晒 4 0 0 2 0 - f j n 0 1 5i 0 0 t 0 f r 、 j 1 。“0 等0 0 么丝j 一 - - 4 一p 一r 一= 2 i 2 ；= 。- 一 j 基 01 23 4 5 6 7 8 91 0 k 023 45678 91 0 图2 8 自生磁场b z ( 上，t = 2 5 ；中，t = 4 0 ) ，e x ( 下，t = 4 0 ) 的空间频谱 分析 ：兰ne 口三!|de 嘶晒嘴叩瞄 0 0 0 o o 0 o 0 uj_t，2 关于双柬流w e i b e l 不稳定性的研究 不稳定性进入饱和之后，磁场b z 和电流j y 的空间形状和大小保持不变，如 图2 9 所示，电流j y 维持稳定的磁场b z 。 图2 9 不稳定性饱和阶段( t = 1 5 0 ) ，电流, l y 和磁场b z 的空间结构，分别对应 对称( 左) 和不对称( 右) 的两束流。 2 3w e i b e l 不稳定性的流体描述 2 3 1 非线性发展阶段的方程 为了更清晰地给出一些w e i b e l 不稳定性的解释，我们从流体方程推导非线性 阶段的方程，这里空间在x 方向变化，两束流的速度沿y 方向( 和我们的模拟情况 一样) 。对于每个流，我们设定t = v o j + 磊e a 十啄。这里既，是y 方流的初始速 度，j 是y 方向的矢势，1 7 y x 是纵向速度，e m 为电子的荷质比，c 为光速。同时 还设定，= ，+ n ，n ，。为密度相对于n o ，的变化。 m a x w e il 方程和流体方程组为： v 。百：堑歹+ ! 娑， ( 2 2 4 ) ccd t 吾：v j ( 2 2 5 ) e ：一! 掣+ 五， ( 2 2 6 ) cd r 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 v 三= 一4 膨n j 从上面方程我们可得到： ( 2 2 7 ) ( 上c 2 竺0 t 2 _ v 2 ) j = 等无= 一等驰，吒，奶，瓦s + n o d a 一+ n u a 一) ( 2 2 8 ) 流体方程： 堕+v(，伊户08t 。 生+寻1可ii=8t 。 。 生( 豆+ 三矿，画) m c 我们把2 j 和矿，代入方程( 2 2 9 ) 和( 2 3 0 ) ，得到 _ 8 n b 十v ( ”】，吆) d t 。 ( 2 2 9 ) ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) 等= 一争v 哇舞撕吼，毫j 毛啄 q 3 2 对方程( 2 3 1 ) 两边分别对时间求导，并把( 2 3 2 ) 代入，可得到： 争+ 知驴等v 昏毫v 2 和庸两+ l ：e 以2 n o 一：v 2 ( 互孙；n o j r 2 ( 略- ( 2 3 3 ) ( 2 2 8 ) 式可写为： ( 芸v 2 + ( o p e2 ) a 刊膨c 岍，一4 删z n , j 伊o j - 等莓j ( 2 - 3 4 ) o t j i j 这甄。i ( 4 砒m 2 ，其中5 涉。 对于双束流情况，利用p o i s s 。n 方程( 2 2 7 ) ，再借助于初始流为零的条件： 死，= 。，由方程( 2 3 4 和2 3 3 分别得到： ( 导- - c 2 v 2 + 江”等砂互 q 3 印 ( 篆佩2 恸= 圭嘉v 2 ( 撕) + 三2 蕊j v 2 ( 啄一昙莩口慨川2 3 6 关于双康流w e i b e i 不稳定性的研究 ( 2 3 6 ) 式对应电子罾厦的扰动，也对应静电场的变化。 另外我们还可得到： 。参军2 磊争2 v2 j + j 莩，甲2 ( 略，吆) 一莩瓦，昙v 心，吆) ( 2 - 3 7 ) 因此最终得到关于矢势a 的方程为： 等( 箬- c 2 v 2 + + 等弛屉 4 腰j 一三m c y j ，2 v 2 j 一三2 s ，既，v 2 ( 吆啄) + 莩吒，鲁v ( m ，啄) j 式( 2 3 8 ) 就是非线性发展阶段的方程。除了忽略压力张量的影响，这里的推导是 严格的。 如果不考虑非线性项，方程( 2 3 8 ) 可以简化为： 等苦v 2 嗨2 泳导平咿2 j 眨。e ， 从而我们可得到线性色散关系： 2 一c 2 后2 一，。2 + ，。2 查二i ；堕= o 和我们前面从动力学得到的结果( 2 1 7 ) 一致。 虽然上面我们从冷双束流得到了非线性阶段的方程，但考虑到方程中包含一 些复杂的非线性项，我们很难给出其完整的解，在下面一节里，我们只考虑到二 阶小量，在弱非线性阶段对其求解。 2 3 2 弱非线性理论分析 为了求解上面得到的非线性阶段的方程，我们对上节的所有方程以下面的特 征量无量纲化：电子质量m ，电子密度n 。，光速c ，电子等离子体频率 出。= ( 4 腰2 。m ) 啦，电场和磁场的特征量f = 百= m c o ) 。p 。 各物理量分别取到二阶小量： j = 五l + 2 j 2 关于双束流w e i b e l 不稳定性的研究 行= 门町+ 新1 + 占。n 2 j 蚕i = i 。i + a 七s 亏，+ 6 l 寻2 h 将上面各个量代入方程( 2 3 8 ) 和( 2 3 6 ) ，可分别得到矢势a 和密度扰动的一阶 和二阶量方程： 等( 等- v2 + i ) a ，一v o j v 瓦 ( 2a 。) 等( 暑一妒+ 1 ) 互= _ 兀，v 2 互一；手，嘞v 2 曩，2 + 西0 7 , 7 町v 确，叱一等莩啊，丑 ( 2 4 1 ) c 熹轨观 毒+ 1 ) 弛= j 1 审2 ( 和) 十l 。z ，n o j v 2 ( 羁j x v t j x ) 一昙手v w n i j v i j ，) 我们设定流的速度沿y 方向，空间变化在x 方向，初始所加扰动为： 应磁场扰