（凝聚态物理专业论文）一维光子晶体的带隙性质研究.pdf

摘要 摘要 光子晶体是一种介电常数按周期性排列的人工微结构材料，其主要特征是具 有光子禁带。可以把它划分为一维光子晶体、二维光子晶体和三维光子晶体。一 维光子晶体是光子晶体最基本的构型，其折射率在一维空间方向上呈周期性分 布。一维光子晶体结构简单、易于制备，同时具备二、三维光子晶体的性质，极 有可能成为全光通信领域中的关键材料，因此具有较高的理论价值和广泛的应用 前景。 本文的主要工作内容和取得的成果如下： 1 将时域有限差分法( f d t d ) 用于光子晶体传输特性的研究，编制了一维 光子晶体传输特性的数值计算程序，并且采用完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件 来截断计算区域。 2 研究了不同条件下完整结构阶跃型一维光子晶体的透过率谱。通过透过率 谱的变化，分析了介质层数、介质填充率、介质介电常数比对光子带隙的影响。 发现介质层数的增加会使光子带隙之间的震荡加剧，但是带隙的位置不会移动； 介质介电常数比越大，带隙越宽越深，也越容易出现带隙。 3 研究了介电常数连续变化的一维光子晶体透过率谱。分析了周期( 晶格) 长度、折射率调制幅度a 、介质层数对连续型一维光子晶体的带隙影响。 4 研究了一维光子晶体中央加入杂质模，结构参数对形成的超窄透过带滤波 特性的影响。当缺陷模的厚度小于两边的介质厚度时，加入的缺陷模介质的厚度 越大，产生的窄带滤波性能越好；缺陷模的折射率对超窄透过带的位置具有调制 作用；改变入射波进入光子晶体的方向会改变透射峰在光子禁带中的位置。 关键词光子晶体；时域有限差分方法；光子带隙 北京工业大学理学硕士学位论文 a b s tr a c t p h o t o n i cc r y s t a l si sa na r t i f i c i a lm i c r o s t r u c t u r em a t e r i a lw h i c hak i n do fd i e l e c t r i c c o n s t a n tv a r i a b l eb yac e r t a i n p e r i o d i c i t sm a i nf e a t u r ei sp h o t o n i cb a n dg a p p h o t o n i cc r y s t a l sc a l lb ed i v i d e di n t oo n e - d i m e n s i o n a l ( 1 d ) ，t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 d ) a n dt h r e e 。d i m e n s i o n a l ( 3 d ) p h o t o r t i cc r y s t a l s o n e - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sa r e t h eb a s i cc o n f i g u r a t i o ni nw h i c ht h er e f r a c t i v ei n d e xi ss p a t i a l l ym o d u l a t e di n1d 1d p h o t o m cc r y s t a l sc a nb em a d ee a s i l yd u et oi t ss i m p l es t r u c t u r ea n dh a st h ep r o p e r t i e s o f2 da n d3 dp h o t o n i cc r y s t a l s t h e s en o v e l o p t i c a lm a t e r i a l sw i l lp r o b a b l yb ec r u c i a l c o m p o n e n t si nt h ef i e l do fo p t i c a lc o m m u n i c a t i o n ，s ot h er e l e v a n tt h e o r e t i c a l r e s e a r c h e sa r ev a l u a b l ea n dw i d ea p p l i c a t i o np e r s p e c t i v e sa r ee x p e c t e d t h es u m m a r yo ft h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： 1 t h i sd i s s e r t a t i o ns t u d i e dt h et r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so f p h o t o n i cc r y s t a l su s i n g t h ef i n i t e d i f f i r e n t t i m e - d o m a i nm e t h o d p r o g r a m sw e r ed e v e l o p e dt oc a l c u l a t et h e t r a n s m i s s i o np r o p e r t i e so fo n e - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l s ，w h i c hu s et h ep e r f e c t l y m a t c h e dl a y e rt oc u to f ft h eb o u n d a r yo fs p a c e 2 t r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo fn o r m a lp e r f e c tp e r i o d i c1d p h o t o m cc r y s t a lo f d i f f e r e n ts t r u c t u r ew a sc a l c u l a t e d a c c o r d i n gt ot h ev a r i e t yo ft h es p e c t r u m ，t h ee f f e c t s w e r ea n a l y z e d t h er e s e a r c hs h o w e dt h a tt h ei n c r e a s eo fd i e l e c t r i cl a y e r sw i d e na n d d e e p e nt h ep h o t o n i cb a n dg a pw h i l et h el o c a t i o no fg a pw o n tm o v ea n dt h eg r e a t e r r a t i oo fd i e l e c t r i cc o n s t a n t ，t h ew i d e ra n dd e e p e ro ft h eb a n dg a p 3 w ea n a l y z e dt r a n s m i s s i o ns p e c t r u mo f1d p h o t o n i cc r y s t a lw i t hc o n t i n u o u s l y c h a n g i n gd i e l e c t r i cc o n s t a n ta n dt h ei m p a c to ft h ec y c l e ( 1 a t t i c e ) l e n g t h ，r e f r a c t i v e i n d e xm o d u l a t i o nr a t e n ，d i e l e c t r i cl a y e r s 4 i nt h i sp a p e r , w ea n a l y z e dt h ee f f e c t st h a ts t r u c t u r ep a r a m e t e ro nt h ef i l t e r i n g c a p a b i l i t yo fs u p e rn a r r o wf i l t e r t h ef o l l o w i n gc o n c l u s i o n sa r ef o u n d ：t h eb i g g e rt h e d e f e c tm o d ew a s ，t h eb e t t e rn a r r o wt r a n s m i s s i o nb a n dw a s ；t h et h i c k n e s so fd e f e c t m o d ec a nm o d u l a t en a r r o wt r a n s m i s s i o nb a n d t h r o u g ht h ew o r kp r e s e n t e di nt h et h e s i s ，b o t ht h et h e o r ya n dt h ea p p l i c a t i o no f o n e - d i m e n s i o n a lp h o t o n i cc r y s t a l sa c h i e v es o m ea d v a n c e s k e y w o r d s ：p h o t o n i cc r y s t a l ；p h o t o n i cb a n dg a p ；f i n i t ed i f f i r e n tt i m ed o m a i n i i 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 虢府撒 日期：枷锄 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 虢力碎导师虢 日期彬9 、f 1 莎 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 引言 在过去的半个世纪中，人们通过对半导体的研究使得对电子的控制能力大 大增强，随之产生了各种微电子器件以及大规模的集成器件，推动了电子工业和 现代信息产业的迅速发展，从此人们进入了今天的信息时代。但是同时，由于集 成度的增大，又出现了诸如电路阻抗和能量损耗的加大，高速信号处理对信号同 步要求的提高等一系列问题。这些问题表明，半导体器件的能力己接近其工作极 限，而导致这一结果的原因在于半导体器件的工作载体是电子。于是，人们开始 研究用光予代替电子作为信息的载体【l 】。 自从1 9 6 0 年制成第一台激光器以来，人们对光的特性以及光与物质的相互 作用的理解日益深刻，尤其是年提出光子学概念后，光子学、光子技术得到了突 破性进展。与电子相比，光子有着它自身的优势：光子是以光速运动的微观粒子； 速度快它的静止质量为零；彼此之间不存在相互作用，即在光线交会时也不存在 干扰；它还有电子所不具备的频率和偏振等特性。电子能带和能隙结构是电子作 为一种波的形式在凝聚态物质中传播的结果，而光子和电子一样具有波动性，那 么是否存在这样一种材料，能让光子作为某种形式的波在其中传播也产生光子能 带和能隙呢? 在人们的反复思考和不断试验中，上世纪年代末，光子晶体便应运 而生了。 目前，光子晶体已被应用于天线衬底，光子晶体光纤等多个领域，并取得 了较好的效果。而且，随着对光子晶体研究工作的深入以及对光子晶体认识的深 入，科技工作者己逐渐认识到光子晶体材料在波分复用等光通信领域，低阈值激 光器，照明以及太阳能等诸多领域的巨大潜在应用价值。广阔的应用前景使光子 晶体的理论研究、相关实验和实际应用得到了迅速发展，这一领域己经成为当今 世界范围内研究的热点。1 9 9 9 年1 2 月1 7 日，美国的科学杂志把光子晶体 方面的研究列为十大科学进展之一。 1 2 光子晶体概述 光子晶体的概念是由y a b l o n v i t e h 和j o h n 在1 9 8 7 年各自独立提出的【2 3 1 ，它 是根据传统的晶体概念类比而来的。他们最初的想法是用一种材料来改变在其中 传播的光的性质，就像我们利用半导体材料改变在其中通过的电子的性质一样。 我们知道，在半导体材料中，原子排布的晶格结构产生的周期性电势场影响着在 其中运动的电子的性质，电子将形成能带结构。y a b l o n v i t c h 主要着眼于控制材料 北京丁业大学理学硕七学位论文 的自发辐射性质，而j o h n 则侧重于研究无序介质对光局域化的影响，他们提出 了介电函数呈周期性变化的结构能够影响材料中光子的状态模式，由此可以设计 出能影响光子能带性质的材料。由此想到将介电常数不同的介质材料在空间周期 性排列形成的结构将改变在其中传播的光的性质，由于介电常数存在空间上的周 期性，所以它对光的折射率同样有周期性分布，在其中传播的光波的色散曲线也 会形成带状能带结构，即光子能带。光子能带之间可能出现带隙，即光子带隙也 叫光子禁带。频率落在光子禁带中的光子，在某些方向上是被严格禁止传播的。 我们把具有光子带隙的周期性介电结构叫做光子晶体。 由电子的能带理论知道，处于周期性势场中的电子的波函数满足薛定谔方程 厂矗2 i 一善【_ v 2 + y ( 尹) l 矽= e ( 1 1 ) l z m j 其中等效势场矿( ，) 具有周期为晶格常数如的周期性， v ( o = 矿( 尹4 - r ) ( 1 2 ) 壳是普朗克常数，e 为电子能量。而介质中的m a x w e l l 方程可以写为 一v 2 豆+ v ( 嘧) 一筹q ( ，) 营= 答岛云 ( 1 3 ) 其中是介质的平均介电常数，6 1 ( r ) 是位置尹处的介电常数值，如果o p l ( r ) 具有 周期性，就有 蜀( ，) = 毛( ，+ d ) ( 1 4 ) 比较( 1 1 ) 式和( 1 3 ) 式可知，它们的形式是相似的，可以建立如下的类比：y ( 尹) 类 比于等q ( ，) ，e 类比于等民。因此，光子在周期性电介质结构中的性质就类似 cc 于电子在周期性势场中所具有的性质。电子在周期性势场中具有能带结构，表现 为某一能量范围的电子态密度为零，即电子不能处于这个能态。由于上述的类似 性，光子在周期性电介质材料中也具有能带结构，表现为光子禁带，在完整结构 的光子晶体中，能量位于禁带内的光子将不能在晶体内传播。 从结构上看，光子晶体可以分为一维、二维和三维光子晶体【4 】( 如图卜一1 所示) 。 一维光子晶体是由两种介电常数不同的材料薄片以a b a b 的形式交替排列 组成( 图1 1 ( a ) ) ，每种材料的厚度固定，在结构上与传统的多层膜系统相似。 二维光子晶体( 图1 1 ( b ) ) 中电介质在两个方向上的排列具有周期性， 在第三个方向上的介电常数均匀分布。目前研究得较多的二维光子晶体基本结构 主要有以下两种：种是介电常数为巳的电介质柱在介电常数为毛的材料中排 列成正方形格子；另一种是介质柱排列成三角形格子( 也叫六角形格子) 的结构。 卉耐剥 ( a )( b )( c ) 图11 一维，二维和三维光于晶体示意图 f i g1 1s c h e m a t i ci l l u s t r a t i o no fo n e d i m e n s i o n a l ( 1 d ) ，t a u v o d i m e n s i o n a l ( 2 d ) ，a n dt h r e e d i m e n s i o n a l ( 3 d ) p h o t o n i cc r y s t a l s 图1 2 是二维正方形格子的光子晶体截面图。图1 2 ( a ) 是高介电常数 的介质柱在低介电常数的材料中按正方形格子排列；图l 一2 ( b ) 表示低介电常 数的介质柱在高介电常数的材料中按正方形格予排列。 这种结构是由很多相互平行的介电常数为t 的介质枉周期性的嵌入在介电 常数为矗的材料中构成。它们的垂直截面是正方形格子。 皿 r 1 一 lj o e3 ， ( a )( b ) 图l - - 2 二维正方形格于光于晶体 f i 9 12 t o pv i e w o f t w o - d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a lo f s q u a r e l a t t i c e 图1 3 是二维三角形格子的光子晶体截面图。图13 ( a ) 足高介电常数 的介质柱在低介电常数的材料中呈三角形格子排列：图1 3 ( b ) 是低介电常数 的介质柱在高介电常数的材料中按三角形格子排列。这种结构的光子晶体与正方 形格子的二维光子晶体构成方式类似，也是互相平行的介电常数为的介质柱周 期性的嵌入到介电常数为矗的材料中，不同的是它们的垂直截面是三角形格子。 o 9 杏 l ajl bj 图l - 3 二维三角形格于光子晶体 f i 9 13t o pv i e wo f t 、, v o - d i m e n s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a lo f t r i a n g u l a r l a t t i c e 三维光子晶体中介电常数的变化在空间的三个方向上都具有周期性( 图1 1 ( c ) ) 。对三维光子晶体研究的比较多的是面心立方结构和金刚石结构。 图14 是三维面心立方结构的光子晶体。图14 ( a ) 是高介电常数的材 料在低介电常数的材料中周期性排列而成的结构，但是这种结构在制作上有困 难，实际上采用的是如图1 4 ( b ) 所示的这种结构，即非球形的低介电常数材 料空气在高介电常数的材料中周期性排列。 乞沁。 黜 p ，汐 ( a ) ( b ) 目l - - 41 维面心口方( f c c ) 结构光子日体 f i g l4s c h a f i c i o no f t h r i l m c n s i o n a lp h o i o n l cc 口s n lo f f a c c 姗c u b e ( f c c ) l a n c e 1 3 光子晶体的实验研究 通过对m a x w e l l 方程的求解可以发现，完全禁带的形成与两种材料的折射率 的差、填充比以及排列方式有着密切的联系。一般说来，两种材料的折射率差值 越大就越有可能形成光子禁带，当两种材料的折射率差大于某一数值时，可以 形成完全禁带。在自然界尚未曾发现此类的晶体。因而实验研究使用的光了晶体 必须经过人工制各，但所需条件比较苛刻，因此制作具有完全光子带隙的光子晶 体是一项巨大的挑战。 第1 牵绪论 孽i i 一一一一i i一i 一i i i i i 一一一i 1 ii i 曼曼皇皇篡 在实验中，光子晶体的制作，已经从最初的精密机械加工发展到现在的灌胶 一凝胶、激光全息等多种方法，其尺寸也逐渐从微波波段发展到了可见光波段。 其基本出发点主要是人为构造的周期性结构，所用材料有金刚石、s i 、s i 0 2 、g a a s 、 a i g a a s 等，另外还有一些半导体材料。在制作工艺上也大多采用在晶体上打孔 或人为排布电介质的方法。最近又有很多人提出很多新材料和新方法来制作光子 晶体，这都使其实用性和可操作性有了很大提高。目前，制备光子晶体的方法主 要有以下几种，可以分为物理方法和化学方法两大类。 1 3 1 物理方法 1 精密机械加工法 精密机械加工法以半导体工业成熟的技术为基础，是制备光子晶体最为稳定 可靠的方法。微波波段的光子晶体由于其晶格常数在厘米至毫米数量级，用机械 加工的方法可以比较容易地制作。精密机械加工法适于制备二维光子晶体，也可 以用于制备三维光子晶体，并可用于制作一些光学元件，比如滤波器、光波导、 探测器等。y a b l o n v i t c h 于1 9 9 1 年在实验室中采用精密机械加工法人工制造了 第一块当时认为具有完全带隙的光子晶体【5 羽。这种光子晶体的制作过程是在一 片介电材料上镀上具有三角空洞阵列的掩膜，在每一空洞处向下钻三卜孔，钻孔 相互之间呈1 2 0 0 角，与介电片的垂线呈3 5 2 6 0 角。这样的结构具有金刚石结构 的对称性，光子带隙从1 0 g h z 到1 3 g h z ，位于微波区域。但后来研究表明，这种 结构不存在完全光子禁带，于是，y a b l o n v i t c h 改进了实验方法，将圆柱改为椭 圆柱获得了真正的完全带隙，这说明通过适当地改变晶格或原子的对称性，就可 能获得完全带隙。这种结构的光子晶体工作频率多落在微波波段。目前还没有制 造工作于短波长，尤其是工作于可见光波段的钻石结构光子晶体的实用方法。 2 逐层叠加法 逐层叠加法( 1 a y e r - b y - l a y e r ) ，是在1 9 9 4 年s o z l l e rh 等人首先提出的1 7 。 a m e s 实验室的研究人员用这种方法制成了一种层状结构的光子晶体，其组成元 是一维介电棒。它是由介质棒以四层为周期( 总长为c ) 堆积而成，每一层的介质 棒是轴平行的，间距为a ，相邻层的轴向彼此垂直，而第二近邻层的棒在沿垂直 轴向方向上平移0 5 a ，这样的结构具有面心四方对称性。通过适当的改变a ，c 的尺寸，可以获得需要的晶格。特别当c a = 2 时，就是金刚石结构。其实，相 邻两层的夹角可以在6 0 0 到9 0 0 之间变化，在此范围内都有全方位光子带隙，这 种结构实验上第一次由氧化铝棒堆积而成。光子带隙在微波波段1 2 1 4 g h z 。 3 激光全息光刻法 最近出现的激光全息光刻技术非常适合于制造具有亚微米尺度上周期性重 复的三维结构，此技术是采用印刷制版中平板刻蚀技术，利用激光的多束光干涉 一5 一 北京工业大学理学硕七学位论文 产生三维全息图案，让感光树脂在全息图案中曝光，从而形成三维结构。通过调 节激光束的光束数、传播方向和偏振，可以改变三维图形的结构和尺寸，产生各 种不同的对称结构。激光干涉全息法最早是由b e r g e r 等人提出的。1 9 9 7 年， b e r g e r 等人用三个光栅的激光衍射图叠加，结合离子蚀刻方法制作了二维的六 角周期结构。2 0 0 0 年，c a m p b e l l 等将四束三倍频n d ：y a g ( 波长3 5 5 n m ) 激光从 非共面的四个方向干涉形成三维图像，再将环氧树脂上未曝光部分溶掉，制成了 三维f c c 光子晶体结构。s h o j i 等用五束h e - c d ( 波长4 4 2 n m ) 激光连续照射感光 树脂，得到5 0 0 坍* 5 0 0 ，z 1 5 0 聊的光子晶体结构。2 0 0 1 年，k o n d o 等研制 出一套简单的适合多束飞秒激光脉冲干涉制作光子晶体结构的光学装置，其主要 元件是一个衍射分束器，这套装置可以通过灵活地改变干涉光束数而制备出一、 二、三维光子晶体。2 0 0 3 年，d i v l i a n s k y 等制作出一个中间开孔，周围有三个 光栅和孔都成1 2 0 0 角的屏蔽板，当入射光通过后，可形成四束激光干涉，制备 三维光子晶体结构。这个简单的屏蔽板使整套光学系统比以前b e r g e r 、c a m b e l l 、 s h o ji 等使用的光学系统在校准性和稳定性方面更好。同年，中山大学的王霞等 人用四束5 1 4 n m 可见光干涉也制备出具有f c c 结构的三维光子晶体，使用可见光 的优点是便于控制干涉图样，观察最佳实验结果。在2 0 0 4 年6 月出版的n a t u r e 上，m i n g h a oq i 等人发表的文章称，他们采用一种新颖的“l a y e r - l a y e r ”法己 成功制备出具有点缺陷的三维光子晶体结构，这克服了激光全息法不易制备出带 有缺陷的光子晶体结构的不足。激光全息法不仅能够制备出具有微周期的聚合物 结构，而且用它们作为模板，还可以制造出具有高折射率比值的完全带隙结构。 因此，激光全息法是一种很有潜力的微加工技术，近几年来引起了科技工作者极 大的兴趣。 1 3 2 化学方法 1 自组装有序方法 在构造光子晶体方面，还有一种工艺上很简单的技术，是利用单分散的胶体 颗粒悬浮液的自组装特性制备胶体晶体。将一定尺度的单分散颗粒如3 0 0 n ms i o ： 小球分散在水溶液中，然后，静置使s i o ：颗粒在重力作用下缓慢沉降以达到有序 三维结构。目前采用的主要有自然沉降法、强制有序化法、场诱导有序化法、电 泳法和离心沉积法等。 2 o p a l 方法 天然蛋白石( o p a l ) 的显微结构为几百纳米的s i o ：小球在三维空间周期有序 排列，经研究发现具有准带隙结构。受此启发，人们获得制造人工o p a l 类光子 晶体的方法，即将一定尺寸的纳米级小球三维有序排列，以期产生光子带隙结构。 相对于o p a l 光子晶体而言，将小球转化为空气，而原来的空气变成某种介质， 第1 荦绪论 ! l m i m m o 皇曼鼍皇葛曼曼皇曼量 恰好与o p a l 相反，故称反蛋白石( i n v e r s eo p a l ) 。以t i o ：为例，先在s i o 。堆积 的间隙中填充t i o ：，然后将s i o 。烧结移去，留下三维有序多孔结构。这种i n v e r s e o p a l 光子晶体具有明显带隙结构，它又克服了o p a l 类光子晶体相对折射率低的 缺点。 1 4 光子晶体的理论研究 在光子晶体的研究中理论计算方法是十分重要的，由于光子晶体的制备非常 困难，通常是先应用理论计算方法分析得出光子晶体的一些特性，再由实验来验 证这些结论。由于光子晶体有类似电子晶体( 半导体) 的结构，人们通常采用分 析电子晶体的方法结合电磁理论来分析光子晶体的特性，并取得了和实验一致的 结果。这些理论方法能比电子能带理论计算方法更为完善，主要原因在于，光子 晶体中，光子与光子之间的相互作用可以被忽略，光子能带的计算是一个单体问 题而这在电子能带计算中则必须要考虑，这就意味着利用m a x w e l1 方程组可以精 确地描述和预言光子晶体的性质。这些年来，光子晶体的理论研究取得了令人瞩 目的进展。下面是几种用得比较广泛的基本计算方法。 1 平面波方法( pianew a v ee x p a n sio nm e t h o d 简称p w m ) 平面波展开法【8 9 】是发展的比较早的一种方法，它的基本思想是：将电磁场在 倒格矢空间以平面波叠加的形式展开，将m a x w e l l 方程从实空间变换到离散 f o u r i e r 空间，将求解m a x w e l l 方程化成求解代数本征方程的问题。这种方法的 不足之处是计算量正比于平面波的波数的立方，收敛速度慢。当光子晶体结构复 杂或处理有缺陷的体系时，可能因为计算能力的限制而不能计算或者难以准确计 算。而且如果介电常数不是常数而是随频率变化如金属，就没有一个确定的本征 方程形式，这种情况下根本无法求解。平面波法常用的有紧束缚、法【1 0 】，缀加平面 波法【1 1 1 ，修正平面波法【1 2 】。 2 传输矩阵( 转移矩阵) 方法( t r a n s f e rm a t tixm e t h o d 简称：i m m ) 传输矩阵法 1 3 - 1 4 】是将磁场在实空间的格点位置展开，将m a x w e l l 方程组化成 传输矩阵形式，同样变成本征值求解问题。传输矩阵表示一层格点的场强与紧邻 的另一层格点场强的关系，它假设在构成的空间中在同一个格点层上有相同的态 和相同的频率，这样可以利用m a x w e l l 方程组将场从一个位置外推到整个晶体空 间。这种方法对介电常数随频率变化的金属系统特别有效，而且由于传输矩阵小， 矩阵元少，运算量小( 正比于晶体尺寸的平方) ，同时在计算透射谱，反射谱等 也是十分方便的。但是用该方法应用到复杂结构上会变得很繁复，效率不是很高。 另外，求解电磁场的分布也较为麻烦，因此对于光子晶体物理特性的理解没有太 大的帮助。 北京工业大学理学硕七学位论文 3 时域有限差分法( f d t d ) 时域有限差分法【1 5 - 1 6 】是求解电磁场m a x w e l l 方程的通用方法，也是近几年来 相当热门的数值计算方法。具体方法是：将m a x w e l l 方程组在坐标系中展开成标 量场分量的方程组，然后用二阶精度的中心差商代替微商，将连续的空间和时间 问题离散化，得到标量场分量的迭代差分方程组；由数值稳定性条件和计算所考 虑的光波长范围确定空间离散步长的大小，根据空间离散步长将光子晶体沿坐标 轴向方向分成很多y e e 氏网格单元；求出每个网格点的有效介电常数，再由空间 步长和时间步长所满足的数值稳定性条件，得出相应的时间步长。以上参数确定 后，加入边界条件，就可以将迭代方程组在划分好的y e e 氏网格空间中迭代，计 算出光子晶体中在任意时刻场的分布情况，并通过傅立叶变换，计算出包含很大 频率范围的透射谱。 4 。n 阶法( o r d e r - n ) n 阶法【1 7 - 1 8 1 是引自电子能带理论的紧束缚近似中的一种方法，是时域有限差 分法发展来的。基本思想是从定义的初始时间的一组场强出发，根据布里渊区的 边界条件，利用m a x w e l l 方程组可以求得场强随时间的变化，从而最终解得系统 的能带结构。原方程可以通过一系列在空间和时间上都离散的格点之间的关系来 描述，计算量大大降低，只与组成系统的独立分量的数目n 成正比。但是在处理 a n d e r s o n 局域和光子禁带中的缺陷态等问题时，计算量剧增，这种情况下用传 输矩阵方法比较方便。 1 5 光子晶体研究进展 实际上，在光子晶体概念提出之前，层状介电系统已被研究多年。早在1 8 8 7 年，l 0 r dr a y l e i g h 就在研究中发现，在多层膜系统中存在一个狭窄的带隙，能量 位于带隙中的光将无法透过多层膜。这一发现如今已经应用在各种光学实验中， 作为波段选择器、滤波器或反射镜等【1 9 - 2 0 l 。例如光学中常见的布拉格反射镜 ( b r a g gr e f l e c t o r ) ，乃是一种四分之一波长多层系统( q u a r t e r - w a v e - s t a c k m u l t i 1 a y e r e ds y s t e m ) ，其实就是简单的一维光子晶体。 尽管如此，这方面的研究却停留在一维系统的光学性质上，一直未能以“晶 格”的角度来看待周期性光学系统，也因此迟迟未将固体物理上已发展成熟的能 带理论运用在这方面。一直到1 9 7 7 年，p o c h iy e h 2 l 】等人发现在一维周期性结构 的缺陷处存在光子局域。这个可能存在于二维和三维周期性结构中的光子带隙在 1 9 8 7 年被y a b l o n o v i t c h t 2 2 】和s a j e e vj o h n t 2 3 】两个研究小组发现，标志着p b g 器件 的开始。y a b l o n o v i t c h 指出，三维周期性结构中的电磁波带隙与电子带边发生交 迭，所有的辐射，包括自发辐射，都被严格抑制。s a j e e vj o h n 则提出，在周期性 电介质结构的缺陷处存在光子的a n d e r s o n 局域。从那以后，光子晶体就成为研 镕l i 镕* 究的热点。 经过两年多的实验，y a b l o n o “t c h 小组终于发现一种面心立方结构有光子能 隙”。这是一种背景为介电材料，相互重叠的空气孔在其中排列成面心立方结构 的点阵结构，其中空气孔占8 6 的体积。 受实验的鼓舞，理论工作者开始关心光子能带计算。最初采用的是标量波 的方法，即认为两种偏振可以分开处理陋2 “，但是理论和实验结果有较大差异， 人们马上意识到这种差异来源于忽略了电磁波是矢量波，在光子能带的计算中必 须考虑光波的矢量性。不久便出现了考虑矢量性的光子能带计算。当重新计算 填充率为8 6 的重叠空气孔面心立方结构时，发现这种结构没有完全的光子带 隙。这是由于面心立方结构的光子晶体由于对称性，在高对称点处出现能带简并。 从态密度上看实验上观测到的带隙只是一个赝带隙。 1 9 9 0 年，kmh o ysc h a r l ，cms o u k o u l i s 小组第一个成功地从理论上预 言金刚石结构的三维光子晶体中存在完整的光于带隙，而且带隙出现在第二条与 第三条能带之间【2 7 珊 。随后y a b l o n o v i t c h 就制造出了世界上第一个具有全带隙的 三维光子晶体1 2 9 。“。图1 5 是这种光子晶体的制造方法：在一片介电材料上镀 上具有三角空洞阵列的掩膜，在每一空洞处向下钻三个孔钻孔相互之间呈1 2 0 0 ， 与介电片的垂线呈3 52 6 0 。这样的结构具有金刚石结构的对称性，光于带隙从 1 0 g h z 到1 3g h z ，位于微波区域。在微波区域这种结构可以用微机械钻孔的方 法得到。在光学波段可以用离子刻蚀的办法，不过非常困难。当前对三维光予晶 体研究的一个热点就是制造可见光范围内的全带隙三维光子晶体。 7 图1 - 5 第一个具有完全能隙的三维光子晶体 f i g15 t h e f a s t l l a r e e - d i m e a s i o n a l p h o t o n i cc r y s t a l w i t h f u l l b a n dg a p 目前对光子晶体的研究主要集中在以下几个方面： ( 1 ) 金属一介电结构光子晶体 金属一介电结构的一维光子晶体是将构成一维光于晶体的其中一种材料用 金属膜代替。数值计算和实验研究表明，这种结构的一维光子晶体具有带隙宽， 7 ，蠢 对入射角不敏感，并且透射带的透射率高等特点。 二维的金属一介电结构光子晶体【3 1 】通过在正常的周期性结构中插入金属棒 ( 图1 - - 6 ( a ) ) ，在介质柱中插入金属芯或在介电柱外包上一层金属膜( 图1 6 ( b ) ) 来构成。这种结构的带隙依赖于占空比以及短程有序性，而不是对称性 及长程有序性。同时，这种光子晶体的带隙位于低频部分，与介电材料构成的光 子晶体正相反。 o d ：国 每o0 l 娜哪掣 白b t 。国回国 0 0h 可掣， - 固 ( a ) x ( b ) ( 2 ) 缺陷态的研究 正如半导体的应用离不开搀杂问题一样，光子晶体的应用同样离不开缺陷 问题【3 2 。3 3 1 。实际上许多光子晶体的应用就是直接利用了光子晶体的缺陷态，如光 子晶体波导，低阈值激光器等。因此，对含有缺陷的二维光子晶体的研究同样是 科研工作的一个重点方向。 ( 3 ) 可调谐光子晶体 目前所做的光子晶体绝大多数都是不可调的。光子晶体做出来以后，禁带 的位置、形状就不能再发生变化。如果光子晶体的禁带可调，例如通过施加电场、 磁场或者改变温度来改变折射率、晶格结构等参数，从而实现对光子禁带的自如 控制，那必然将产生一系列的新效应、新现象，使基于光子晶体的光调制器成为 可能。近年来陆续有人提出液晶光子晶体【3 4 4 0 1 、光子双晶体【2 7 2 8 1 、超导光子晶体 【2 9 】等新型的禁带可调光子晶体。与传统的光电器件相比，可调光子晶体最大的优 势就在于尺寸小，易于集成，非常适合应用于将来的“集成光路 中。 ( 4 ) 光子晶体中的反常折射现象 近几年来，人们发现在光子晶体中存在着反常折射现象：光在晶体的界面 发生折射时，折射光的偏折不是偏向于界面的法线方向，而是偏向于界面方向也 就是说，在这些光的频率范围内，光子晶体的折射率小于1 。有实验表明，光子 晶体中的折射光甚至可以与入射光位于界面法线方向的同一侧，因而出现负折射 率。英国皇家学院的p e n d r y 研究了负折射晶体中电磁波的传播行为h ，指出这 样的晶体对于光来说就如同一个透镜，可以在晶体中和晶体后成两个实像。 负折射率物质有着广泛的应用前景，如平面透镜成像、不受光学衍射成像 限制，可将光束聚焦到远比光的波长小的尺度等。正折射率的材料需要弯曲的表 面才能够成像，而用负折射率材料制成的平板，却可以聚焦电磁波产生实像。图 豳 6 光子晶体的应用 161 光子导波器件 如果完整的光子晶体中引入线缺陷，就会形成波导结构。频率在光子带隙里 的光波将被限弗4 在线缺陷内传播。这是一种新型的导光机制，光波在普通光纤中 传播时，利用的是两种不同介质界面上的全反射原理。传输光在小角度拐弯处将 损失大部分的能量，特别是拐小于9 0 。的弯几乎不可能。而在光子晶体波导中， 即使在拐9 0 0 弯的情况下，也具有很高的效率。由于优异的光波导性能，所咀光 子晶体波导在光学通讯中有广泛的用途。光子晶体光纤。在拉制的光予晶体光纤 中还观测到了产生超连续光的现象，一定频率的光在光子晶体光纤里传播，通过 自相位调制以度谐波效应和其它的非线性效应，使得出射光频率太大的拓宽，变 成超连续光波。此外，通过引入点缺陷，可以将光子晶体做成波分复用器，做成 无闽值激光器等。光子晶体在未来的光了器件集成中将起关键作用。 162 单模发光二极管 在半导体材料中掺入少量的杂质，在电予能隙中将会产生杂质的缺陷态。类 似地向光子晶体中引入微腔在光子带隙中也将产生特定的缺陷态。在适当的微 腔结构下微腔将只对应于单的电磁模式。把发光二极管放置于这样的光子晶 体中，二极管发出的光都将受到光子晶体禁带的限制。从而出射光将具有很好的 方向性和单色性，同时发光二极管的转换效率可得到大幅度的提高。 北京工业大学理学硕十学位论文 1 6 3 高发射率小型微波天线 传统的小型偶极平面微波天线是以g a a s 做基底材料的，其发射效率只有2 而9 8 的能量被基底吸收或者散射消耗掉。如果采用光子晶体做基底材料，对 于频率处于光子带隙范围内的电磁波，光子晶体的表面是一个理想的反射面，光 子晶体基底几乎不消耗能量。这样天线所发射的电磁波均被发射到空间中，从而 大大提高了天线的发射效率。 1 7 本论文的主要工作 从应用角度考虑，三维光子晶体的完全带隙具有重要的价值，但制造完全带 隙的三维光子晶体仍然存在一定困难，主要是寻找适宜的材料和研究结构的加工 工艺。三维光子晶体的实际应用还存在较长的时间。但自从1 0 a r m o p o u l o s 和他的 同事们从理论和实验上指出，一维光子晶体具有全方向的三维带隙结构，因而用 一维光子晶体材料可能制备二、三维光子晶体材料制备的器件。这一切都为光子 晶体能带结构材料的制备和应用开创了新的途径。所以一维光子晶体的研究不仅 具有理论价值，更具有广泛的应用前景。它己成为光子学和光学工程研究中的一 个重要课题。为此，我们针对一维光子晶体及其应用进行了研究。本论文的主要 工作可概括如下： 1 将时域有限差分法( f d t d ) 用于光子晶体传输特性的研究，编制了一维 光子晶体传输特性的数值计算程序，并且采用完全匹配层( p m l ) 吸收边界条件 来截断计算区域。 2 研究了不同条件下完整结构阶跃型一维光子晶体的透过率谱。通过透过率 谱的变化，分析了介质层数、介质填充率、介质介电常数比对光子带隙的影响。 发现介质层数的增加会使光子带隙拓宽并加深，但是带隙的位置不会移动；介质 介电常数比越大，带隙越宽越深，也越容易出现带隙。 3 研究了介电常数连续变化的一维光子晶体透过率谱。分析了周期( 晶格) 长度、折射率调制幅度a 刀、介质层数对连续型一维光子晶体的带隙影响。 4 研究了一维光子晶体中央加入杂质模，结构参数对形成的超窄透过带滤波 特性的影响。加入的缺陷模介质的厚度越大，产生的窄带滤波性能越好；缺陷模 的折射率对超窄透过带的位置具有调制作用 第2 章有限周期的一维光子晶体带隙分析 第2 章时域有限差分方法理论 时域有限差分方法从实质上说是一种求解电磁问题的数字技术，它是 1 9 6 6 年由y e e k s 【4 3 第一次提出的。它对电磁场e ，h 分量在时间和空间上 采取交替抽样的离散方式，直接在时域求解离散化了的麦克斯韦方程组，能够模 拟任意几何形状的结构；它可以通过脉冲输入响应的f o u r i e r 变换，一次计算出 包含很大频率范围的结果。最近几十年时域有限差分方法自身的发展和计算机技 术的突飞猛进更为它解决很多实际问题打下了坚实的基础。 2 1m a x w el l 方程组 m a x w e l l 方程组是宏观电磁现象所遵循的一组基本方程，它可以写成微分形 式，也可以写成积分形式。f d t d 方法就是在m a x w e l l 方程组的微分形式的基础 上进行差分离散，进而得到迭代公式，利用计算机进行数值求解。 f d t d 方法的数学基础是含时间变量的两个m a x w e l l 旋度方程 v x 疗：丝+ 了 ( 2 1 ) a f v 重：一罢一歹m ( 2 2 ) 其中， 豆为电场强度，单位为伏特米( v m ) ； 西为电通量密度，单位为库仑米2 ( c m 2 ) ； 霄为磁场强度，单位为安培米( a m ) ； 雪为磁通量密度，单位为韦4 f l 米2 ( w b m 2 ) ； 歹为电流密度，单位为安培米2 ( a m 2 ) ； 无为磁流密度，单位为伏特米2 ( v m 2 ) ； 各向同性线性介质中有如下关系 d = e e ，b = , u h ，j = o r e ，厶= 日