（理论物理专业论文）哈密顿形式有限化学势格点量子色动力学的研究.pdf

论文题目：哈密顿形式有限化学势格点量子色动力学的研究 专业：理论物理 博士生：方奕忠 指导教师：罗向前教授 摘要 根据宇宙学的大爆炸理论，宇宙在创生的甚早期处于高温高密度 的状态，而这时的物质很可能是量子色动力学( o c o ) 所预言的夸克胶 子等离子体( q g p ) ，并且随着温度的下降，将发生从q g p 相到夸克禁 闭相的相变。研究在有限化学势下的量子色动力学( q c d ) ，确定 温度t 和化学势口的相空间的q c d 相结构不但对实验上寻找夸克胶 子等离子体提供理论指导，对于中子星或夸克星物理来说，都有重要 意义。实验上，正在进行的美国布鲁海文国家实验室f b n l ) 联j 相对论 重离子对撞机( r h i c ) 和正在建造的西欧核子中心( c e r n ) 的大型强子 对撞机( l h c ) 其最终目的是产生q g p 相，以重现宇宙的产生和演变 过程。 本文用哈密顿形式研究了有限密度下的q c d 。众所周知，在拉 格朗日形式的s u ( 3 ) 格点规范理论中，由于有限化学势下的作用量变 成复数，无法进行数值模拟。而哈密顿形式的格点q c d 并没有这样 的问题。2 0 0 0 年，我们组发展了哈密顿形式的处理有限化学势格点 q c d 的新方法，在强耦合极限下出发并获得合理的结果。在本文第 四章，我们把该工作延伸到消除了加倍问题的w i l s o n 费米子，并研 究了其手征行为，计算了真空能量、手征凝聚、夸克数密度和轻强子 的质量。发现了在零温下有一级手征相交。 关键词：q c d ，b o g o l i u b o v 变换，赝标介子，矢量介子，手征相变。 n t i t l e ：s t u d y o fh a m i l t o n i a nl a t t i c eq c da tf i n i t ec h e m i c a l p o t e n t i a l m a j o r ：t h e o r e t i c a lp h y s i c s n a m e ：f a n g y i z h o n g s u p e r v i s o r ：p r o f l u ox i a n g - o i a n a b s t r a c t a c c o r d i n gt ot h es t a n d a r dm o d e lo fc o s m o l o g y , 1 2 1 5b i l l i o ny e a r s a g o ，t h ee a r l yu n i v e r s eu n d e r w e n tas e r i e so fd r a s t i cc h a n g e s s e v e r a l m i c r o s e c o n d sa f t e rt h eb i gb a n gi tw a si nah o ta n dd e n s eq u a r k - g l u o n p l a s m a ( q g p ) s t a t e ，t h ep o s s i b l es t a t ew h i c hq u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s ( q c d ) i n d i c a t e s s e v e r a lm i n u t e sl a t e ri tc h a n g e st oap h a s e ，w i t ht h e q u a r k sa n dg l u o n sc o n f i n e di n s i d et h eh a d r o n s t h ep r e c i s ed e t e r m i n a t i o n o ft h eq c d p h a s ed i a g r a mo nt h et e m p e r a t u r et a n dc h e m i c a lp o t e n t i a l p l a n ew i l lp r o v i d ev a l u a b l ei n f o r m a t i o nf o rt h ee x p e r i m e n t a ls e a r c hf o r t h eq g eq u a n t u mc h r o m o d y n a m i c s a t s u f f i c i e n t l yh i g hd e n s i t yi s e x p e c t e d t ou n d e r g oac h i r a l p h a s et r a n s i t i o n u n d e r s t a n d i n gs u c ha t r a n s i t i o ni so fp a r t i c u l a ri m p o r t a n c ef o rn e u t r o ns t a ro rq u a r ks t a rp h y s i c s t h eu l t i m a t eg o a lo fm a c h i n e ss u c ha st h er e l a t i v i s t i ch e a v yi o nc o l l i d e r ( r h i c 、a tb n la n dt h el a r g eh a d r o nc o l l i d e r ( l h c ) a tc e r ni st o i i c r e a t et h eq g p p h a s e ，a n dr e p l a yt h eb i r t ha n d e v o l u t i o no ft h eu n i v e r s e h a m i l t o n i a nl a t t i c eq c da tf i n i t ed e n s i t yi s i n v e s t i g a t e di nt h i s t h e s i s i ti sw e l l k n o w nt h a ti nl a g r a n g i a ns u ( 3 ) l a t t i c eg a u g et h e o r y , t h e s t a n d a r da p p r o a c hb r e a k sd o w na tl a r g ec h e m i c a lp o t e n t i a lp ，d u et ot h e c o m p l e xa c t i o np r o b l e m t h eh a m i l t o n i a nf o r m u l a t i o no fl a t t i c eq c d d o e sn o te n c o u n t e rs u c hap r o b l e m i nap r e v i o u sw o r k ，w ed e v e l o p e da h a m i l t o n i a n a p p r o a c h a tf i n i t ec h e m i c a l p o t e n t i a l 卢a n do b t a i n e d r e a s o n a b l er e s u l t si nt h es t r o n g c o u p l i n gr e g i m e i nt h i sp a p e r , w ee x t e n d t h ep r e v i o u sw o r kt ow i l s o nf e r m i o n sw h i c hs o l v e dt h ed o u b l i n gp r o b l e m w es t u d yt h ec h i r a lb e h a v o ra n dc a l c u l a t et h ev a c c u me n e r g y c h i r a l c o n d e n s a t e ，a n dq u a r kn u m b e rd e n s i t y , a sw e l la st h em a s s e so fl i g h t h a d r o n s t h e r ei saf i r s t o r d e rc h i r a lp h a s et r a n s i t i o na tz e r ot e m p e r a t u r e k e yw o r d s ：q c d ，b o g o l i u b o vt r a n s f o r m a t i o n ，p s e u d o s c a l a rm e s o n s ， v e c t o rm e s o n s ，c h i r a lp h a s et r a n s i t i o n 第一章引言 众所周知，在自然界存在四种基本的相互作用，即强相互作用， 弱相互作用，电磁相互作用和引力相互作用。而上世纪7 0 年代提出 的量子色动力学( q c d ) 是描述高能强相互作用过程的可重整化理论， 该理论带给我们的关于强相互作用的图像是：夸克通过胶子传递强相 互作用，而胶子场为非阿贝尔规范场。量子色动力学理论的一个重要 特点是渐近自由性质，即夸克和胶子间互作用耦合常数随着动量迁移 的增大而下降，最终随着动量的迁移趋于无穷而趋于零。在目前所有 有可重整化的理论中，量子色动力学是唯一同时具有渐近自由和夸克 禁闭性质的理论。微扰论对许多大动量行为的研究结果与实际基本一 致，如q c d 深度非弹性散射中出现的强子喷注现象等。但是在强相 互作用的低能方面，由于相互作用的非微扰效应使得微扰的q c d 理 论在研究如真空结构，夸克禁闭，强子能谱，胶球质量和夸克凝聚等 方面遇到很大的困难。 为了研究强相互作用的低能非微扰过程，1 9 7 4 年k w i l s o n 首先 提出了格点规范理论( l g t ) 【1 】，其基本思想是将连续的时空离散成 格点，并提供一套方便的具有定域规范不变的正规化方案，然后将计 算延伸到标度区，从而提取出正确的物理结果。这个理论允许我们从 第一原理出发，系统地研究强相互作用的低能非微扰过程成为现实。 近年来，格点规范理论在解析分析和数值计算方面都取得了令人振奋 的成果，特别是最近对有限化学势情况下的格点量子色动力学的研究 正成为热点。如图1 1 所示，根据大爆炸宇宙学【2 】，宇宙从大爆炸发 生后的t = l o “秒到l ：1 0 。秒( 1 代表时间) ，宇宙温度从 1 0 ”c , e v ( 1 g e v = i 1 6 0 5 x 1 0 ”k ) 降至o 1 g e v 。根据量子色动力学，这 最早阶段的宇宙气体应由夸克胶子等离子体( q g p ) 等组成。因为粒子 物理对能量远高于1 0 3 g e v 的规律还没有确切掌握，所以宇宙的这段历 史目前还不清楚，按现有研究，这阶段发生过真空相变引起的暴胀， 产生不等量的正反重子和形成冷暗物质等，它们对宇宙学都有重大价 值，但这些过程的研究尚在试探之中，没有实验的支持，这阶段的研 究被称为粒子宇宙学。 约在t 一1 0 。秒，宇宙温度降到了0 1 g e v ，密度降至1 0 1 5 k g m 3 。这 时刻前后可以发生从夸克到强子的相变，才能产生以后的质子和中 子。由于正反夸克对已大量地湮灭，所以没有产生反核子。再往后就 该发生原子核的合成了。 至t 1 秒，温度降至1 m e v 以下，这是核物理的能量范围，人们 对此时的物理规律已相当清楚，因此宇宙学开始有了可靠的研究基 础。原初的核合成是t = 3 分至1 小时内发生的。这过程结束，宇宙中 开始有了质量比较轻的化学元素，主要是氢( 包括氘) 和氦，还有少 量的锂、铍、硼。此时它们还是处于等离子状态，然后才有中性原子 的形成。 从t 一1 0 ”秒起，宇宙温度降到了l o e v 以下，到了原子物理的能量 范围，其物理规律己很清楚。约在温度降至0 3 e v 时，中性原子开始 形成。于是宇宙由很普通的中性原子气体所组成。原来存在着的热光 子作为背景光子存留了下来。 通过研究发现，那时的均匀气体上有微小的密度起伏。这起伏在 引力的作用下逐渐演化，最后将形成结团状的天体。这过程发展得很 慢，最早的星系约形成于宇宙年龄为l x l 0 9 年前后。恒星则是星系物 质进一步碎裂的产物。宇宙就这样逐渐演变成了今天看到的模样。 这是对宇宙演化的一个极简单的陈述，或者说是宇宙演化史的梗 概，人们对各个环节的了解也很不一样。大致地说，对越早期的宇宙 学越难弄得很清楚。 宇宙在大爆炸后的早期经历一系列的状态，其中就可能经历夸 克、胶子等离子体态实验上，相对论重离子对撞机( r h i c ) 和大型 强子对撞机( l h c ) 就是要产生高温高密度的夸克胶子等离子体，以重 现宇宙的产生和演变过程。理论上，确定在温度t 和化学势p 的相空 间上的q c d 相结构对实验将提供理论指导。本文正是在有限化学势 情形下的格点q c d 这方面进行研究，以确定相变的临界点和手征极 限下的临界行为。 本组在罗向前教授的带领下长期从事粒子物理及其相关领域的工 作研究，对有限化学势格点q c d 的研究也是本组关于粒子物理的一 个重要的研究方向，对于这个方面的研究，本组已经取得了一定的成 果 3 0 1 ，被国内外同行引用多次，并把该结果推广到w i l s o n 费米子 【4 8 1 。 大爆炸的起点宇宙的暴胀宇宙背景微波辐射 图1 1 宇宙的演变历史 、 本文是关于有限化学势格点q c d 的研究工作。其内容安排如下： 第一章( 即本章) 为引言，简单介绍一下该课题的研究背景；第二章 简单对格点规范理论与量子色动力学进行一定的概述：第三章和第四 章是本人在罗向前教授指导下完成的研究工作，分别为强耦合情形下 w i l s o n 费米予的哈密顿格点量子色动力学【3 8 】以及进一步的有限化学 势情况下格点量子色动力学 4 8 1 。 第二章格点规范理论与q c d 相变 2 1 格点规范理论与量子色动力学概述 为了研究低能强相互作用：1 9 7 4 年，w i l s o n 提出了格点规范理论 ( l g t ) 【1 】，该理论从第一原理出发，将连续的时空离散成为分立的 格点，所有的物理量均直接定义在格点或者链上，并且假定格距a 一0 时，格点理论回到连续理论，以保证分立的结果与连续时空下的物理 事实保持一致。在此基础上，建立起保持定域规范不变性的格点量子 色动力学。 而量子色动力学( q c d ) 是关于强相互作用的可重整化的规范理 论，它认为强子由夸克组成，而夸克间的强相互作用通过胶子传递。 q c d 的主要特征是渐近自由和夸克禁闭。该理论成功地解释了深度 非弹性散射地实验，并预言了强子喷注，目前，q c d 被认为是强相 互作用理论的最佳候选者【3 ，4 ，5 】。 为了研究强相互的低能非微扰过程，把q c d 加上格点规范理论， 构成格点q c d ，即格点量子色动力学。 格点规范理论主要有两种形式：拉格朗日形式和哈密顿形式。本 文主要从事的工作是哈密顿形式的格点q c d 。 2 2 格点规范理论的正规化 通过w i c k 转动后，明氏空间变成欧氏空间，连续理论中的y a n g m i l l s 规范作用量为： s 。主严4 。t r f 三( x ) ( 2 2 - 1 ) 其中，。一d ，a ”一d a 一d ，月”一a 。月一+ i g l a ，a a 为规范场张量， d f = a p i g a p ( 2 2 2 ) 其中g 为规范场的耦合常数，而爿，一巧鬈，r 。一r 1 2 为色s u ( 3 ) 群的生成元，r 是g e l l m a n n 矩阵，满足： 【等，等】= 旷出等， 口，6 ，c = 1 2 3 ，人，v 。2 2 3 ， 及r r ( x x b l ：2 6 曲 图2 1 格点规范理论( l g t ) 的基本思想是用分立的时空代替连续的时 空，格点间隔为a ，费米场妒定义在格点上，如图2 1 所示，在连接两 个相邻的格点x 到工+ 肋( 应为f 方向的单位矢量) 的链上定义规范场变 量【6 】 u o o ) 一p e x p ( 吲a ，d x ，) ( 2 2 4 ) u ，( 工) 的共轭矩阵为u ：o ) 。u ，的格点规范变换定义为： u ，0 ) 一q o ) u ， ) q + 0 + 加)( 2 2 - - 5 ) 其中g 为阿贝尔群u ( 1 ) 的元素，即 我们需要构造这样的作用量，它须满足规范不变性及当口- o 时回 到连续极限。显然这样的作用量不是唯一的，我们下面考虑w f l s o n 提出的由u 。似- l 2 ，3 ，4 ) 四条规范链( l i n k ) 构成的方块算符( p l a q u e t t e ) 所构成的规范场作用量 ，知 x a - , a 0 v ( x ，a ) = e x p - i gj 出4 ( 堋 # 鲁 打， 一：! l l n k ：口棚唧 去t 1 r t p _ ( - r j ，? - 十一j ，叠 ，1 扫) f 苫( r ) 】 圈2 2 s = 卢( 1 一o ，o ) ) j ，一，” ( 2 2 6 ) 式中只。代表格点的方块变量，它由四条规范链的有序乘积构成， 如图2 2 所示，即 巾1- 图2 3方块算符 巴。= 吾r e 研【，o 矽。o + 正) u ：o + 口正+ 口心矽：o ) 】 ；三r 二 2 - 7 显然，气具有局域规范变换的不变性。我们下面来看当口一0 时， 作用量( 2 2 - - 6 ) 的连续极限。 u 。：e - g f a o m 小呼m + 譬垆州：m ，) q 2 。8 对u 。取实部，有： r e t r u ，一n 1 一等打妒，o ) d x ，1 2 由s t o k e s 常理得 陟 p ，( 工) d x ，f f o 。a ，o + x 。) 一o v a ，o + 工。) d x ，d x 。 。j 三2 j 二2 出一出“【v o 。) + 一d 一+ h d ”) ”o 。) + 1 ( 2 2 9 ) = 口2 。( z 。) + 百a2 【。，2 + 。：k ( 工。) + 。( 4 6 爿2 ) 于是： 巴。j 1 r e 乃u ， = 三n 卜了g2 ( 。( ) 口2 + 五a 2 【啡2 + 俄2 】) ) ：】 ：扣一譬( 眦0 ) + 2 ) 口2 西a 2 吲2 例2 帖o ) 】q 2 _ 1 = 三打【1 一譬。) 口4 一墨等巴。) 【。，2 + 联2 】。o 。) 】 上式已经去掉了a 的高次项。 于是，作用量 5 。詈善( 1 哏。) ) 。古；乃( 2 - v ，- u ；) ( 2 2 - 1 1 ) 2 古纠2 - 2 + 9 2 砖附一譬叫x ) ( ，2 + 珑2 k 叫 = ；n 砖b b 4 一暑；口乃眈，b x d ；+ 研e ，g ) ) ；扣4 工珥，o e ，g ) + o ( a 2 ) ( 2 2 - 1 2 ) 显然，我们可以看到，当口一0 时，s 回到连续理论的y a n g - m i l l s 作 用量( 2 2 1 ) f h ( 2 2 1 1 ) 我们知道，纯规范场拉氏量在格点上表为 。7 1 与a 4 罗n 饥+ u ；一2 ) + 去善n k + u j 一2 ) ( 2 2 1 3 ) 其中c 表不类时方块，其格距为口。只表类空方块，格距为a ， u ，- ub 砂，仁+ 口，p ：g + a v 矽：g ) ，f ，v 1 ，2 , 3 ，4 n ，i a , 当卢1 2 3 时， 而u 。一e ”一。可以证明，当口一0 ，n 一0 时 上9 2 a p n ( u 。+ 【，二一2 ) - 一主p k t , i 露譬 x 。r r g , + v ；一2 ) 一一譬势k 罩魄+ f d 7 f d 7 ) 与连续理论的纯规范场拉氏量 l g d ：x f ：f 暑， 相符( 至多差- - o ( a2 ) 高次项) 在时规范a 。一0 下，此时u o + 口) 一u ：0 ) 一1 ，令口。一0 ，设 u ( f ) 一u 。o ) 一u ； ，f ) ，f 表示空间方向， 类时方块变为 n ( u ，+ 【，；一2 ) 一t 4 u + ( f + a 4 ) 【，( f ) + u + ( f ) u ( f + 口4 ) 一2 】 一- t r i u + ( f + 口) - u + ( f ) 】【u o + a ) 一u ( f ) 】 a , 2 r r 啦( f 雌) ( 2 2 1 3 ) 式变为 。季善n 沙( f 脚) + ；如眠叫- 2 ) 回复到m i n k o v s k i 空间t 一一i t ，上式变为 小号荟础( f 娩) + 嘉；州c + u 一) 利用l e g e n d r e 变换，得纯规范场的哈密顿量 即卷晦+ 巍牡。 。号荟n 沙( f 一9 1 - - c 。- f y r r ( u ，+ u ；- 2 ) ( 2 2 _ 1 4 ) 上式的第一坝n - 7 以用规范燹殃的生成兀e 。表不在尢刃小规甄燹换 下 u 0 ，七) - e 蕾? o u ( x ，k ) e 年? _ ( 1 - j 日r 。g l ( x ，七) ( 2 2 1 5 ) 其中丁。一等为规范变换的生成元，a 4 为g e l - m a n n 矩阵 比较两边可得 p 似七) ，e t ( y ) i r 。u ( x ，k ) o 。6 ， 妙+ o ，七) ，e ；( y ) j - 坷+ o ，k ) r 。6 。，以，( 2 2 1 6 ) 生成元之间满足普遍的对易关系 陋? ( y ) ，口0 ) 】一可0 ，j ( ) ，p ，：6 ( 2 2 1 7 ) 设口n g o a 。，则 n 笺氅堂+ 凳生 职a 萨雄a 班磁 。笋n 泖饥卯。吗 一等丹渺丁8 ) ：一泽 g 其中上面已利用了 打( 正。一a ) 一1 2 6 “， d e t u 一1 ， u + u 一1 于是，得 乓4 n a m 泸的 a 对比( 2 2 - 1 7 ) 式和( 2 2 1 8 ) 式，得格点纯规范场的哈氏量为 ( 2 2 - 1 8 ) h 。一丢善e ；o 皿? 一去善打，+ 啡一2 ) 这是k o g u t s u s s k i n d 首先提出来的【2 】。显然，上式的物理意义表示： 第一项对应着规范场的电能，即对应于色电能第二项对应着规范场 的磁能，即色磁能 2 3q c d 的手征对称性 自发破缺的手征对称性是强相互作用的一种重要对称性【9 】在 q c d 提出以前，人们就借助于这种对称性对强作用的低能现象作过 许多定量的分析自q c d 出现以来，随着对瞬子，反常约束，大n 分 析等课题的研究，以及利用格点规范理论对强子谱的计算都更清楚 地说明自发破缺的手征对称性是o c d 的基本特性 我们知道，d i r a c 场的拉氏量为 工，- r d 3 工矿( y ，a ，+ 肌渺 ( 2 3 _ 1 ) 下面看在如下变换 1 ；f ，e ”，妒( 2 3 - 2 ) 下。的变换性质，其中a 是与时空无关的常数，注意 a ，妒一e i a r 5 a p 妒 矿一毋畸，( 2 3 - 3 ) 其中利用了y 和r ，矩阵是反对易的这个性质 显然当m - o n ，拉氏量( 2 3 1 ) 在变换( 2 3 2 ) 下是不变的 通常称变换( 2 3 2 ) 为手征变换当m ，0 时，显然，l 中质量项 泖妒不是手征对称的下面我们来看判断手征对称性自发破缺的序 参数事实上，若在任一手征变换 妒- e i a t r 5 妒 矿一毋嘶s ， ( 2 3 4 ) ( 丁为手征变换群的生成元) 下，q c d 的真空态是不变的，则下式应该 成立 ( o 眵vj o ) 一( 0 降4 嘶5 妒l o ) ( 2 3 5 ) 显然，在位相因子取任意值时上式成立的条件是只有等式两边都为 零因而 ( o l 咖l o ) - 0 而 咖) 一( o l 珊i o ) 一0 标志了q c d 手征对称的自发破缺，即( 珊) 为判断手征对称性自发破 缺的序参数 2 4 夸克禁闭 正如文献 1 0 ，1 1 1 所述，通常定义w i l s o n 圈 ( c ) 一t r u ( c ) 其中c 为四维时空中一闭合线，u ( c ) 一e x p i g 互c a ，出，) 对时空格点化后，w i l s o n 圈为链变量，沿闭合线c 的有序乘积再求 迹，即 w ( c ) 一r r u 1 2 u j 】 曲【胆u i , j 考虑在规范场中放有一对正反夸克对构成的系统，设它们中的 距离为r ，相互作用势能为y ) ，加入外源的时间为丁，则得w i l s o n 圈的平均值为 缈( c ) ) e 4 师 即在纯规范场情形，计算w i l s o n 圈的平均值可得到静态夸克间的相 互作用势能，对非阿贝尔规范群也类似 若计算得到 杪( c ) ) 一e “ 其中a 是常数，z 是闭合圈c 所围的面积，则有 缈( c ) ) e 一e “僻f 即 l ，限) a r 矿啤) 随静态夸克间距离的增加而线性增大，这表明y 职) 为禁闭势这 就是w i l s o n 圈的面积律 在强耦合极限下，g2 ， 1 ，有 删一扣u r r c 眇) 吲剐；b u e + t r u e ) u ，对应于一个格子设盯( c ) 为c 所围的面积，它代表玄张力，仃( c ) 包 含一个格子，则n ；口( c 圪：于是，有 或 缈( c ) ) 一万1 一( g 2 广咐 p 一等叫 该式表明，缈( c ) ) 服从w i l s o n 判据的面积律因而得到：在 g2 ，1 区域，系统处于禁闭相 2 5 费米子加倍问题 下面我们来看费米子加倍这个问题。对n a i v e 费米子，其作用量 离散化后为 s 芦”丢荔矿o ) y ，u “o + p ) 一去荟矿 ) y u o ，一o 一) 一；矿。 可以证明，当口一。时，s 回到连续理论的s ，但其色散关系或传 播子会出现加倍问题。以自由费米子为例，上式取v ( x ，弘) - 1 ，则 s 产l 一去善歹o h ，妒 + 们一去荟矿。 ，妒。一p ) 一m ；酏。) 2 西 4 ，弛硷。p 渺。) 其中q ( ，) 是自由费米子传播子 卜蓼丽- a 当p 。口一。时，上式变为连续理论的传播子 q ( p ) 。瓤- 再1 但当p 口一万时，也回到同样的连续理论的传播子，说明n a i v e 费米子 方案存在加倍问题，即每一方向存在两个费米子对d 维时空，存在 2 0 个费米子，而连续理论只有一个费米子的摸 2 6 带w i l s o n 费米子的格点哈密顿量 在连续情形，自由费米子场的拉氏密度为 l 一矿( y ，a ，+ m 渺 设p 4 为时间方向，则与妒相应的广义动量一轰一忉作 l e g e n d r e 变换后，得自由费米子场的哈氏密度 h 一- l + p 披 - 矿- ( r ，a ，+ t t l 渺一订4 d 妒 一讥r i a i + m 渺 类似，含非a b e l 规范场的情形，在时规范条件( 一。一o ) t ，含费米子场 部分的哈氏密度为 h = 矿( y f d i + 州渺 其中或一a ，一i g a ，一1 , 2 , 3 ，4 而f - 1 , 2 , 3 在格点上，求导用差分代替，即 a ；妒o ) 一砂0 + k ) - q , o t ) 1 2 a 其中j | 口f ，f 为第1 方向的单位矢量。则n a i v e 费米子情形下的口+ 1 ) 格点q c d 的哈密顿量为 l - i - m 驴( 工渺o ) + 去墨：塞酢) h ，“七冲似+ 七) ， 其中口为格距，u 0 ，t ) - c 一懒- 1 一函叫。， ( 当口很小时) 。由于n a i v e 费米子方案破坏了手征对称性，要保持手征对称性，可在哈氏量中加 上如下 拘w i l s o n 项： 一等歹o ) d ；b 妒 ) 当口一0 时该项趋向于0 ，不影响费米子哈密顿量的连续极限 离散化后，- w i l s o n 项变为 一三y x 警- k 篁2 1 歹l g ) 卜妒。) + u 。，七) 抄o + 七) 于是，加上规范场项，得带w i l s o n 费米子的( d + 1 ) 维格点o c d 系统的 哈氏量为 h - ( m + 争摹矿。即o ) + 去善薹矿( x ) y t u 七冲o + 七) 一云；鼢陬七) i f ，) + 奢薹e 7 ( x ) e 7 ( x ) 一瓦；r r ( u ，+ 啡一2 ) ( 2 6 - 1 ) 其中m 为裸费米子质量，口为格点间距，r 为w i l s o n 参数，g 为裸耦 合常数，u o ，七) 为位于x 点方向为七的规范链变量，妒为四分量旋量， y 一。r 。，e 。o ) 为色电场，a 对1 ，2 ，a ，8 求和，u ，为沿着一个基本方块 的规范链变量的乘积，在连续极限下，对应于色磁场相互作用在强 耦合极限下，色磁场能量( 最后一项) 可略去 2 7q c d 相图 近几年来，有人提出温度r 和化学势p 平面上的两个味的q c d 相图( 见图1 ) 口q 龇 c h i i 口工 p 州k 材t i _ l l 图2 40 c d 相图 它汇集了格点q c d ，任意矩阵模型和其他的近似方法在强子相，介 子被禁闭，序参数( 卿) - 0 ，发生手征对称性自发破缺强子相与其 它相之间发生手征相变从虚线到实线，分别表示二级到一级相变， 其间有一三临界点【7 】在大的温度t 和小的化学势下，从虚线的上 面到下面，经过一二级相变，从q g p 相( 大一点的d 变到夸克禁闭相 ( 小一点的d 在高密度和低温下，存在类似于c o o p e r 对的双夸克凝 聚他妒) 的色超导相”2 s c ”，即却妒) - 0 而在强子相，却妒) 一0 在2 s c 相和夸克一胶子等离子体( q g p ) 相之间的相变可能是一级相变 总之，精确确定q c d 相图对实验上寻找q g p 将提供重要的信息 1 r 本文后面所作的主要研究正是利用格点q c d 确定相变点以及一些物 理量但是仍然遇到一些问题：如在有限化学势下的复数作用量和 n a i v e 费米子加倍等问题带有限化学势拉氏形式l g t ，其成功的例 子仅限于s u ( 2 ) 规范理论【5 ，8 】而在s u ( 3 ) 的情形，复数作用量【6 ， 2 6 破坏了数值计算中的重点抽样虽然最近有许多尝试 1 2 ，1 3 ，1 4 ， 并且在大的r 和小的下，也获得了一些非常有趣的结果，特别是在 有限温度和小的虚化学势情况下的数值模拟取得了一定的进展 1 5 ， 1 6 ，1 7 】，但在大的化学势下的数值模拟仍然遇到很大的困难 2 8 关于色超导 为了清析的理解色超导现象，我们先回顾一下b c s 理论1 1 8 。 2 8 1b c s 理论 根据参考文献【2 0 】，考虑一个处于磁场中的电子气的巨正则哈密 媳中c 马* 肌柳斗 霞一霞。+ 矿一r d k 妒：( 马i j i _ i 一打i v + ! 型l 一乒陟。隹) 一圭吖d3 筇：凹v ；僻v ，饵。僻) ( 2 8 1 1 ) 其中氲马为磁矢势，一。为电子电量，最后一项代表势能矿。由于声子 的交换，将导致靠近f e r m i 面的电子之间产生有效的吸引力。下面我 们用h a t r e e f o c k 理论来近似处理精确的双线性量形式的相互作用算 符矿，即 矿一味- 一铲3 x i ( 。+ 咖。 。妒；咖，酬一似咖，。妒；加。 ( 2 8 1 2 ) 这里的平均表不对以下密度算符的系综平均 e 麻” p ”。万 而囊h f 一定+ 口h p 在该近似下，霞。用定义有限温度的h e i s e n b e r g 算符 妒所慨) - ft _ n l f i ， 一“咖，运动方程为 ( 2 8 1 3 a ) q 言妒。慨) 一一 去( 一r q v + 譬) 2 一一卜矗慨) + g 舻：口如。凹) ) 。妒矗慨) 一g ：，卿。妒厶积) 相应的单粒子g r e e n 函数为 慨，儿) - 一位眵厶慨岛既。 这是h a r t r e e f o c kg r e e n 函数。类似于w i c k 定理，四费米子场算符的 系综平均可因子化为 ( t f 妒丘( 1 如岛( 2 舻品( 3 弦厶“) 。- ( t d 妒厶( 1 弦厶( 4 ) l 胛 ( t t 【蟠( 2 如最( 3 ) 。一亿 妒毛( 1 最( 3 ) 】) 。 ( l 眵岛( 2 如厶( 4 ) ) 。 ( 2 8 1 4 ) 这个过程马上产生g r e e n 函数g 的h a r t r e e f o c k 方程。 下面讨论一对自旋相反的电子形成c o o p e r 对的可能性问题，作 为一个唯象模型，我们对( 2 8 1 2 ) 式加上两额外的项来表示配对振 幅： i ，一一言3 工睁：渤；哪，咖朋+ 矿：脚；脚，西。 ( 2 8 1 5 ) 加上该项后，( 2 8 1 - 4 ) 式变为 ( t 矿丘( 1 磊( 2 眵f r ( 3 舻厶( 4 ) p ：撇c l0 吨) c 忱r , ( 3 “) 黑糍曷j ) 亿8 小d 一亿(】) 亿砂蠡( 2 如“) 】) + ( t b 丘( 1 岛( 2 冯亿妒f ，( 3 厶( 4 ) 】) 由于h a r t r e e f o c k 项咯的贡献在正常态和超导态都是一样的， 且不影响在这两个态之间的电子配对，故为了简单，在讨论超导时， 可把项忽略掉。由于c o o p e r 对的自旋为零，( 2 8 1 - 5 ) 式中的a 、 b 表示相反自旋指向，故总的有效哈密顿量变为： 一一g p 如：西i ( 跏渤：国+ 妒：脚；瞅妒。咖。) 】 ( 2 8 1 7 ) 这就构成b c s 理论的基础。这个理论是自洽的，上面的平均值表示的 是用j 乏酊估计的系综平均。特别的是，项 ：脚；渤生倒t r e - a 。 不为零，因为i 岛，霄j - 0 下面引入h e i s e n b e r g 算符 礼融) 一e 岛 “1 虬慨) 一e o “v + 靠一” ( 2 8 1 8 ) 满足线性运动方程 ”警- 柑帆肾口卜帆 h 警惜帆手卢卜舯加；， ( 2 8 1 9 ) 卜回司足义单粒子g r e e n 函数 g ( 岛，如) 一一( t ，( 品) ( 妇) )( 2 8 1 1 0 ) 其中为了简单，采用了一个特殊的自旋指标，把g 对t 求导，注意 求导既作用在场算符中，又作用在表示时序乘积的阶梯函薮中，得 “砉g ( 嘉，三) 一- h 6 扛一f ) ( 慨，( 品) ，( 如7 ) ) _ ( t r h 笋( t ) 】) - 一n 6 ( 1 - 1 ，ac f r 7 ，一 去( 一r n v + 拿) 2 一】g c 王f ，王。f ， + g 静，( 王冲。( 三) ) ( t fp 毛( 岛渺( 王t ) 】) 这样，我们就要考虑两个新的函数： f ( 刍，妇) - 一( t t 阮( 品) ( 妇) 】) f + ( 是岛) 一亿心( 品) ( 妇) 】) 则( 2 8 1 1 1 ) 变为 ( 2 8 1 - 1 1 ) ( 2 8 1 1 2 a ) ( 2 8 1 1 2 b ) 卜一扑帆分卜岛卜地州跏川k 妇， 一h 6 ( 王一王) 6 ( f f ) ( 2 8 1 1 3 ) 在通常的与时间无关的哈密顿量的情形，函数g 、f 和f + 仅依赖于差 f f ，为了方便，可引入 ( 互) - g ，( 工r f ，z r - r ) 一一g ( 妒( 王) 矿( 三) ) g ( 妒( 王) 妒，( 王) ) ( 2 8 1 1 4 ) 来定义能隙函数( 互) ，组合式( 2 8 1 1 3 ) 9 1 ( 2 8 1 1 4 ) 可得 卜一却m 争卢卜 n 球矿陆岛。 - h 6 ( x r 一互) 6 ( f f ) ( 2 8 1 1 5 ) 类似，容易得到，函数f 和f + 服从下面的运动方程 【一h 喜一j 圭i ( 一r h v + 害) 2 + f 】f c 王f ，互。， - 一g ( 驴，( 互) 妒。( 互) ) ( t ，【妒f ( 王f ) 妒j 。( 互，f ) ) t ( 互) g ( 三一，品) ( 2 8 1 1 6 ) 【h 杀一三( 一z n v + 拿) 2 + p f + c 互- r ，王- ， 口g ( 妒：( 三) 妒i ( 三) ) ( t ，【妒z ( 互f ) 妒f ，( 王_ ) ) - a ( z 1 j o l 盯r ，互，f ) ( 2 8 1 1 7 ) 2 8 2 均匀介质情形的解 通常我们感兴趣的哈密顿量都是不依赖于时间的，此时相应的 g r e e n 函数仅依赖于f f ，作f o u r i e r 变换 g ( 品，妇) - ( 川“e 刊一- ) g ( 王，王，w - ) f + ( 王r 岛) 一( 肋) 。e 州f f ，+ ( 射，k ) ( 2 8 2 l a ) ( 2 8 2 一l b ) 具甲取- ( e n + 1 ) # p h 保证适当的f o r m i 统计，相对的运动方程为 卜一扑m 争卢卜只廿球州以， “6 ( 互一互) ( 2 8 2 2 a ) 卜一一扑v + 分卜川“国g 仁虱训- 。 陀8 2 2 b ) 求解这些方程必须加上自洽条件 ( 互) 一一g ：( 王) 妒；( 王) ) 一g f + ( 盯r ，盯r ) 。盖摹e 唧+ ( 拙q ) ( 2 船3 ) 下面我们考虑一个无限大的超导体处于零的外磁场之中，此时矢势可 取为零，式( 2 8 2 2 ) 和( 2 8 2 3 ) 可假定具有简单的平移不变性： 卜+ 等+ ) g 口弘训一只训圳良奶 卜q + 普+ n “川“g 仁只廿。 一去e - i “j t f + ( 王，0 ，) 舯争 、 ” 作通常的f o u r i e r 变换 g 田m 。) - ( 扫) 。户3 k e z l g ( f f , w 。) f + 限) 一( 幼) 。3 p3 k e 棚f + 瞄叱) ( 2 8 2 4 a ) ( 2 8 2 - 4 b ) ( 2 8 2 - 5 ) ( 2 8 2 6 ) 口j 得一对代效万程 ( 川一磊) g 瞄q ) + l l f + 瞄峨) t 1 ( - - 掣一邑) f + 嗽q ) 一g 忙q ) 0 其中 氛一普一肛 解之得 g 。渊t l 埘：+ 磊+ 川 ，+ 供) 。南 q ：+ 菇+ l l ( 2 8 2 - 7 a ) ( 2 8 2 7 b ) ( 2 8 2 - 8 ) ( 2 8 2 - 9 a ) ( 2 8 2 9 b ) 在无外场的时候，不失一般性，参数可取为实的，从而有 f + 供q ) 。f 供吐)( 2 8 2 1 0 ) 此时对一个均匀的介质，从式( 2 8 2 1 6 ) 可得到简化。进一步，式 ( 2 8 2 。9 ) 口j 写为 g 僻) 一再u k 而2 + i 毛 f 瞄) f + 雠q ) 叫v t 瓦i 一i 一丘。nl 珊一+ 丘。n 其中 风瞬+ 2 而 。翕 v 2 = i - - u ；- 扣争 ( 2 8 2 - l l a ) ( 2 8 2 一l l b ) ( 2 8 2 1 2 ) 对目前的均匀介质，关于a 的自治方程( 2 8 2 - 5 ) 成为 a - 盖；借彘 ( 2 8 2 - 1 4 ) 其中要对大的：n ：收敛，要选择町= 0 ，利用( 2 8 2 - l l b ) ，把两边的公共 因子去掉，得 1 2 占( h ) 。j i d 3 k ( 2 e t ) - t a n h ( 2 犀e t ) ( 2 8 2 - 1 5 ) 现在引入近似关系 ( 2 丌) j p a