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暗能量与物质作用的s i n e - g o r d o n 孤子星模型 粒子物理与原子核物理专业 研究生李季根指导教师颜骏 摘要：1 9 9 8 年发现宇宙加速膨胀以后，暗能量已经成为现代宇宙学模型中重要 组成部分和宇宙学研究中的热门课题。暗能量不仅可以影响宇宙的演化，还可 能影响星体的平衡。由于暗能量产生的负压作用，星体演化的最终结果还可能 有其它状态，称之为暗能量星。本文构造了一个暗能量星模型s i n e g o r d o n 孤子星，并发现这类孤子星以怪星形式存在。 首先以二维b r a n s - d i c k e 引力模型为基础，通过引入新的度规标度因子获 得了奇异物质与暗能量共同作用的孤子星模型，数值计算给出了密度分布和压 强分布图形，根据星体平衡方程的解证明了孤子星可能存在怪星结构，并对星 体中暗能量的稳定性质进行了研究。另外通过在物质部分加入了费米物质，在 弱耦合和强耦合情况下计算了费米物质和温度对星体物质密度和压强的影响， 并对有限温度下的暗能量稳定性进行了分析。 本文中具有创新性的工作如下： 1 构造了一个奇异物质与暗能量作用的s i n e - g o r d o n 孤子星模型，发现了不稳 定的怪星结构。 2 提出了费米物质与暗能量作用的孤子星模型，证明了星体中暗能量的稳定性 质。 关键词：奇异物质暗能量s i n e - g o r d o n 孤子星费米物质 t h es i n e g o r d o ns o l i t o ns t a r d a r ke n e r g ya n d m o d e lw i t ht h ea c t i o no f m a t t e r s p e c i a l t y p a r t i c l ep h y s i c sa n dn u c l e a rp h y s i c s p o s t g r a d u a t e l ij ig e n s u p e r v i s o r y a nj u n a b s t r a c t ：s i n c et h a tt h ea c c e l e r a t e de x p a n s i o no fu n i v e r s ew a sd i s c o v e r e di n19 9 8 ， d a r ke n e r g yh a db e c a m ea ni m p o r t a n tp a r ta n dh o tt o p i ci n t h er e s e a r c h i n go f m o d e r nc o s m o l o g y d a r ke n e r g yn o to n l ya f f e c t st h ee v o l v e m e n to ft h eu n i v e r s e ，b u t a l s oa f f e c t st h ee q u i l i b r i u mo fs t a r s b e c a u s et h e r ei sn e g a t i v ep r e s s u r ec a u s e db y d a r ke n e r g y , i ti sp o s s i b l et oe x i s tt h eo t h e rf i n a ls t a t eo fs t a r s ，w en a m e di td a r k e n e r g ys t a r s ad a r ke n e r g ys t a rm o d e l 奄c o n s t r u c t e di nt h i st h e s i s s i n e - g o r d o n s o l i t o ns t a r , w ef o u n dt h a tt h e s es o l i t o ns t a r se x i s ti nt h ef o r mo fm o n s t e rs t a r s f i r s tb a s eo nt w o d i m e n s i o n a lb r a n s d i c k eg r a v i t ym o d e l ，as o l i t o ns t a rm o d e l w i t ht h ei n t e r a c t i o no fe x o t i cm a t t e ra n dd a r ke n e r g yi ss e tu pb yi n t r o d u c i n gan e w m e t r i cf a c t o r , t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o ng a v et h ed i s t r i b u t i o ng r a p ho fd e n s i t ya n d p r e s s u r e t h em o n s t e rs t a rs t r u c t u r ew a sp r o v e da c c o r d i n g t ot h es o l u t i o no ft h es t a r b a l a n c ee q u a t i o n ，a n ds t a b i l i t yo fd a r ke n e r g yi ns t a rw a sa l s os t u d i e d m o r e o v e r , t h e c h a n g eo f m a t t e rd e n s i t ya n dp r e s s u r ea r ea n a l y z e db ya d dt ot h ef e r m im a t t e ri nt h e w e a ka n ds t r o n gc o u p l i n gc a s e s ，a n dt h es t a b i l i t yo fd a r ke n e r g ya tf i n i t et e m p e r a t u r e w a sd i s c u s s e d t h en e ww o r k so ft h i st h e s i sa r ea sf o l l o w s ： 1 as i n e g o r d o ns o l i t o ns t a rm o d e lw i t he x o t i cm a t t e ra n d d a r ke n e r g yi s c o n s t r u c t e d ，t h eu n s t a b l em o n s t e rs t r u c t u r ei sf o u n d 2 as o l i t o ns t a rw i t hf e r m im a t t e ra n dd a r ke n e r g yi sp r o p o s e d ，t h es t a b l ep r o p e r t i e s o fs t a ra r ep r o v e d k e y w o r d s ：e x o t i cm a t t e r d a r ke n e r g ys i n e - g o r d o ns o l i t o ns t a rf e r m im a t t e r i i i 四川师范大学学位论文独创性及 使用授权声明 本人声明：所呈交学位论文，是本人在导师筮墨毯蕉指导下，独立进 行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其 他个人或集体已经发表或撰写过的作品或成果。对本文的研究做出重要贡献的 个人和集体，均己在文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 本人承诺：已提交的学位论文电子版与论文纸本的内容一致。如因不符而 引起的学术声誉上的损失由本人自负。 本人同意所撰写学位论文的使用授权遵照学校的管理规定： 学校作为申请学位的条件之一，学位论文著作权拥有者须授权所在大学拥 有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生必须按学校规定提交印刷 版和电子版学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库供检 索；2 ) 为教学、科研和学术交流目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的 学位论文作为资料在图书馆、资料室等场所或在有关网络上供阅读、浏览。 本人授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全 文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 毋务振 导师签名：私报 签字日期：劢秒年彳月，日签字日期砌秽年6 月1 日 第一章引言 1 1 暗能量与暗能量星的研究状况 1 9 9 8 年美国两个天文观测小组对i a 超新星观测数据进行了研究n 吲，并根 据观测发现宇宙在加速膨胀，这样的结果是通常的广义相对论无法解释的，导 致宇宙的加速膨胀的简单模型是真空能量，即宇宙常数。这种能量能够产生一 种等效排斥力使得宇宙加速膨胀，称之为暗能量。近年来，人们对宇宙的各类 观测不断深入，w m a p 的观测数据表明宇宙接近于平坦哺1 ，宇宙总密度接近 临界密度。2 0 0 4 年英美天文学家将“钱德拉”望远镜和美宇航局“威尔金森微波 各向异性探测器”的观测结果结合起来分析，对宇宙的物质构成比例给出了新的 估计，宇宙中暗能量可能占7 5 左右，暗物质盯3 ( 主要是中微子以及超对称粒 子) 为2 1 ，剩下4 是可见物质。 暗能量的提出引起了人们对爱因斯坦的宇宙常数模型睛1 的重新认识，随后 人们又提出了许多新的模型来解释宇宙的加速膨胀和质量缺失问题，如精质场 ( q u i n t e s s e n c e ) 模型阳15 l ，幽灵( p h a n t o m ) 模型n 蝴3 ，b r a n s - d i c k e 标量场模型 阻2 引，弦论( s t r i n g ) 模型乜6 侧，以及非对易标量场宇宙模型1 1 ，奇异物质、标量 场和真空能作用模型b 2 3 等。这些模型的核心就是把标量场矽作为暗能量，构造 出一个加速膨胀的宇宙模型，解决质量缺失以及宇宙早期的暴涨机理。 虽然目前还没有一个公认的理论可以解释暗能量的物理本质问题，由于其 在解释宇宙膨胀中所扮演的重要角色，暗能量成为现代宇宙学模型中的重要组 成部分和热门研究课题。 根据f e r m i 粒子的物理性质可知，恒星塌缩到一定程度，当电子的简并压 与引力塌缩的引力相平衡时，恒星就演化成白矮星；星体进一步塌缩，质子与 电子在高密度下相作用，演化成中子星或脉冲星；2 0 世纪六七十年代随着强子 结构和夸克模型的发展，人们开始意识到有可能存在由夸克物质组成的夸克星； 如果星体进一步塌缩，由爱因斯坦场方程可以预言黑洞的存在，然而目前的天 文观察还没有发现黑洞的事件视界口引。因此可以推测，暗能量不仅可能影响宇 宙的演化，而且还可能影响星体的平衡。所以恒星的演化还可能存在其它形态， 如暗能量星阻嗡3 、暗星睁7 1 以及非塌缩尘埃球m 3 等。在暗能量星的内部，其真空 能密度大于宇宙中的真空能密度，由于暗能量和奇异物质产生的等效斥力作用， 四川师范大学硕士学位论文 阻止了星体进一步的引力塌缩，也可能形成各种不同形式的暗能量星。 1 2 本文的研究工作 近年来对孤子的研究已经深入到天体物理，1 9 8 7 年李政道等人基于粒子 物理中的非拓扑孤子首先提出了存在一种冷的、稳定的、大质量的相干态星体 孤子星洲3 1 。本文在第二章中提出宇宙中有可能存在在奇异物质与暗能量 共同作用下形成的孤子星，把标量场咖作为暗能量，研究奇异物质与暗能量作 用下的s i n e - g o r d o n 孤子星，分析了孤子态和星体质量对物态性质的影响，通 过星体平衡方程证明了这种孤子星可能以怪星形式存在。在第三章中研究了含 背景杂质粒子作用的费米物质的热力学性质，根据微扰和非微扰泛函积分方法 计算了弱耦合和强耦合t h i r r i n g 模型的有效势和自由能。在第四章中通过加入 费米物质的耦合，研究了有限温度下混合物质与暗能量作用下的s i n e - g o r d o n 孤子星，结合数值计算分析了费米物质对孤子星的物态性质和稳定性质的影响， 为真实四维模型以及进一步的天文观测提供理论基础和参考。 第二章奇异物质与暗毹量作用的s in e - g o r d o n 孤子星模型 本章采用b r a n s d i c k e 标量场模型，在二维引力模型m 喃13 中引入 s i n e g o r d o n 型的度规因子，把标量场看作暗能量，构造与奇异物质作用的 s i n e g o r d o n 孤子星模型，并研究物态方程，星体平衡和暗能量的稳定性质。 2 1 二维b r a n s dic k e 引力模型 二维b r a n s d i c k e 引力作用量为“3 s = jd 2 x f i t o r + y ( 妒) 一等v 妒+ s m ， ( 2 1 ) 对痧和g 缈变分后得到标量场方程和e i n s t e i n 场方程 r + 警号以删+ - o ， ( 2 2 ) 矽( 心，一音昂，尺) 一v v ，+ 昂，口妒一8 万， = 三岛，矿( 咖+ 詈( v 妒，妒一三印，v 盯妒口咖， ( 2 3 ) 式中g 为时空度规，g = d e t g ，r 为标量曲率，矽= ( x ) 为标量场，石为点 到星体中心的距离，y ( ) 为标量场势能，仞为耦合常数，为物质作用量。 二维静态球对称度规为 f - a ( x ) 01 = l o 历一( x ) j 这里g ( x ) 为标度因子，由( 2 4 ) 式可得 见，= 三锻”o 2 o一竺 2 a 物质的能量一动量张量取理想流体形式 驴 ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 四川师范大学硕士学位论文 冥中“7 代表对z 求导。将( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 式代入( 2 2 ) ( 2 3 ) 式得到 引力场方程和标量场方程 8 矽+ 昙却口+ 吾口妒t + 却”= 圭矿( 咖， ( 2 7 ) 8 万p + 历c o 却“一互1 口妒t = 一j 1y ( 妒) ， ( 2 8 ) 一缸妒掣：等却“一2 a ) a t 妒l 2 删n ， ( 2 9 ) d 矽驴 由( 2 7 ) ( 2 8 ) 和( 2 9 ) 式得守恒方程嘀2 堋1 ( p + p ) + 2 p 导= 0 ( 2 1 0 ) ，y 2 2sin e g o r d o n 孤子星模型 设时空度规因子口= s i n 2 ( ，z 鲲x ) ，标量场妒= 弼x + 呜，其中 数，与星体总质量m 有关，锄与孤子质量m 有关。 由于度规为 d s 2 = 一s i n 2m c ) o x d t 2 + _ d x 2 ， s i l l 聊x 通过如下变换嘞3 可将度规在原点的奇点消除 一 妒= c o x + 缟= 一a r c t a n e 一”， 历 变换后的二维度规为： 唬为标量场常 ( 2 1 1 ) 群一砌_ 2 ( 吲力+ 嘉扩， ( 2 1 2 ) 而( 2 11 ) 式中的矽i e 是如下s i n e - g o r d o n 方程的孤子解 掣= 里s i n ( 2 m 咖 (213)d r 2 2 、77 一 由引力场方程( 2 7 ) 、( 2 8 ) 式定义孤子星中物质和暗能量的等效密度和压 强 = p + 岛= p 一志矿( 咖+ 志删2 一志州， ( 2 1 4 ) 助= p + 击矿( 咖+ 志却2 = 去州， ( 2 1 5 ) 4 则孤子星状态方程参量为 w = 堕= 一1 ( 2 1 6 ) p 睡 即孤子星总体上处于负状态参量的状态，标量场和奇异物质产生的等效作用力 阻止了引力塌缩，进一步使星体达到平衡。下面给出孤子星的总质量 m 2 j p j r 一羔- j l g s i n2 m q ) o x d m 诒o x 1 6 刀? 尼 ：一生( 2 1 7 ) 1 6 万 由( 2 1 7 ) 式可知，要使星体质量m 0 具有物理意义，则要求标量场常数 死 0 ，当标量场与引力场的耦合常数彩 0 ，并n o o 工+ g 0 ， ( 2 2 0 ) 由( 2 7 ) 一( 2 1 0 ) 可得孤子星的物质密度和压强 6 矽2 磁c 唬肛意蔫一2 m 死忙专筹一专鲁，c 2 2 ， 6 x p = - 嘲忙器勘唬肛篙+ 篙) ( 2 忽) 现在讨论物态参量可能存在的几种解，取1 6 万= 1 ，此时星体质量m = 一魂= 1 当 聊诒= 腼，广_ 0 ，对应于星体中心；r _ 时，对应于星体外无限远处刀= 1 ， m = 1 时，坐标的范围为x ( 万，3 r 2 ) ；n = 2 ，m = 2 时，x ( 万，5 万4 ) 所以 孤子态( m ，n ) 和星体质量( m ) 将影响物态方程中参量的取值，即物质密 度p 和压强p 的分布数值计算给出物质密度和压强，如图2 2 、2 3 所示。 图2 2 _ 不变m 变化孤子基态和激发态对应的物质密度 6 图2 3 、m 不变m 变化孤子基态和激发态对应的物质压强 现在考虑另一种情况，当m = - 磁o = l ，缟= 万，此时咒= l ，聊= 1 ，坐标的取值 范围x e ( 万，3 万2 ) ；如果m = - 诒o = 2 ，缟：2 万，此时n = 2 ，m = 1 ，对应的坐 标取值范围x e ( ，5 , g 4 ) ，数值计算给出物质密度和压强的另一种分布，如图 2 4 、2 5 所示。 图2 4 、m 变化m 不变孤子基态和激发态对应的物质密度 四川师范大学硕士学位论文 图2 5 、m 变化m 不变孤子基态和激发态对应的物质压强 由上述图形可以看出，物质密度p 0 ，物质压强p 0 ，其物态参量y 0 ， 所以孤子星中物质处于奇异状态，孤子态和星体质量对物态参量p 、p 有较大 影响当星体质量m 不变而孤子质量参量m 变化时，孤子激发态的能量密度大 于基态的能量密度，但激发态压强小于基态压强；另一方面，当星体质量m 变 化，而孤子质量参量m 不变时，孤子激发态对应的能量密度也大于基态能量密 度，激发态压强小于基态压强。 设星体中的物态方程为 p = x p ， 由图2 6 所示，通过数值计算可得基态物态参量的范围 一3 5 0 变为咖d r 0 变为 d p d x 0 ， ( 2 3 6 ) d 西2 所以y ( 妒) 在m 矽= 一万6 处取极小值，星体中暗能量是稳定的，空间中稳定点 的坐标变为疋= 一i n t a n z 1 2z1 3 2 。综合以上两个例子可以得出在g o 0 时，由 于r 4 巧 吩，所以在，空间上压强的反转点介于暗能量的不稳定点和稳定点之 间。 2 6 结论与讨论 本文研究了具有奇异物质与暗能量作用的s i n e - g o r d o n 孤子星的物态性质 首先分析了孤子态和星体质量对物质密度和压强的影响，发现孤子质量参量或 星体质量变大时，孤子激发态能量密度均大于基态能量密度，但激发态物质压 强小于基态物质压强。其次，根据星体平衡方程研究了孤子星内部压强梯度的 分布情况，结果显示物质压强梯度符号出现发转。星体内层处于反引力状态， 而外层处于正常引力状态。最后，讨论了星体内部的暗能量稳定性质，对基态 孤子星的研究表明，星体内层由于奇异物质与暗能量的作用产生反引力效应， 四川师范大学硕士学位论文 处于不稳定状态；相反，在星体外层这种作用产生引力效应，处于稳定状态。此 时，孤子星内部物质以正常态和反常态的混合态形式存在，这是不同于一般暗能 量的一种新的物理状态。 1 2 第三章背景粒子作用的费米物质的有效势和自由能 3 1 弱耦合t h ir rin g 模型中的微扰泛函积分方法 本节首先介绍弱耦合t h i r r i n g 模型中的微扰泛函积分方法肛射，在研究非线 性系统的统计物理性质时，b e t h ea n s a t z 方法可以给出模型的精确解，但它只 适用于低维物理模型哺5 l 。经典s i n e g o r d o n 模型的热力学量可以通过转移积分 法获得畸6 嘲1 ，在低温条件下自由能可由温度r 的幂级数表示。另一方面，泛函 积分方法很适合描述统计物理中的各种集体激发现象障h 3 1 ，如超导、超流等凝 聚态物理模型，孤子与杂质作用的一维s i n e g o r d o n 模型。泛函积分与变分累 积展开方法相结合，可建立一种非微扰的泛函积分方法，并可用于处理强耦合 s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的热力学性质，具体的物理量计算不依赖于耦合系 数的微扰展开。 一维s i n e g o r d o n 模型中的h a m i l t o n i a n 为嘲3 只= 三 p 2 + ( 萋2 专c o s ( 蜊 出， ( 3 1 ) 其中o ( x ) 为玻色场，p ( x ) 为正则动量，口和9 2 为表观质量和量子参数。与 s i n e - g o r d o n 模型等价的t h i r r i n g 模型的h a m il t o n i a n 为 h 。= f 一f ( 订誓+ 嫒孥) + m ( 酊+ 孵m ) + 2 9 订蜕 出，( 3 2 ) 粒子数修正的h a m ii t o n i a n 为 = 4i ( 汀+ 孵) 出， ( 3 3 其中编为化学势，相当于正则系综下的粒子源。 在s i n e g o r d o n 模型中加入如下两个杂质的作用 碟u 0p 一1 ) ( 订y ：+ 蜕杪。) 出， 碟= 似工一1 ) ( 舛y ：+ 孵y 。) 出， ( 3 4 ) ( 3 5 ) 式中，妖和表示费米场，聊必口，g 代表四费米子的耦合系数，和v o 分别 表示两种杂质与费米场的耦合系数，这里的两种杂质可看作是背景粒子。 在尺度为z 的一维费米系统中取绝对温度为夕= t ，x z ，f o ，闭，费 米场满足反周期边界条件：沙( x ，) = 一y 似o ) ，一g ( x ，- - - 一歹( x ，o ) 。对费米场进 四川师范大学硕士学位论文 行f o u r i e r 变换后得到 y ( x ，f ) = ( 励。1 彪e x p i ( k x + a , r ) a ( k ，c o ) ， 量珊 - ( 工，力= ( 肋州2 e x p 一i ( b c + a r t ) a * ( k ，动， 七珊 ( 3 6 ) ( 3 7 ) 式中k 代表波矢，6 0 = ( 2 n + 1 ) x t 是松原频率，a ( k ，c o ) 和口+ ( 七，动是g r a s s m a n n 代数的生成元。 3 2 弱耦合质量t h ir rin g 模型的有效势和自由能 有质量的s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的h a m il t o n i a n 为 日( f ) = 一( 力+ 日二( f ) + h 二( f ) + 日二( f ) + e m ( f ) = f 出 一f 歹。( 工，f ) 皇兰警一歹：( x ，f ) 旦兰掣 + ，z ( x ，f ) ( x ，f ) + y 2 ( x ，f ) m ( x ，力】 。 岛 y l ( 工，f ) ( x ，r ) + v 2 ( 工，力( 工，f ) 】 + “o 文工一1 ) ( x ，力以( 石，力+ y 2 ( x ，f ) 叫力 + 万( x 一1 ) y l ( x ，r ) ￥i ( x ，f ) + 沙2 ( x ，f ) 沈( x ，f ) + 2 9 少l ( x ，力y 2 ( x ，f ) ( x ，f ) ( x ，力) ， ( 3 8 ) h a m i i t o n i a n ( 3 8 ) 式对应的泛函作用量为 s = r d f f 出三【弧，f ) a ，讯，力】一r d 饼( 力 ( 3 9 ) 由于四费米场不能进行泛函积分，故考虑在有限温度下费米场配对的情形， 引入辅助玻色场 谚( 五力= ( 五f ) 彬( 五力，( i = 1 ，2 ) ( 3 1 0 ) 对玻色场进行f o u r i e r 变换 谚( 工，力= ( 励。1 胆6 i ( 尼，c o ) e x p i ( k x + o x ) ， ( 3 1 1 ) ，( 工，力= ( 肋州2 6 ( 后，c o ) e x p 一i ( k x + t a t ) ， ( 3 1 2 ) 七m 当k = 0 时，谚“力= 唬( 常数) ，那么岛( o ) = ( ) ：殇。当温度t 1 时，忽略集 体激发影响，这时动量空间上的泛函作用量为 1 4 s = s o - i - 墨， ( 3 1 3 ) & = 一 么+ ( 尼) ( 后吗+ m q ) 彳( 尼) ， ( 3 1 4 ) 墨= 嗍彳+ ( 尼) 彳( 尼) 一争彳+ ( 尼) qe x p 一i ( k 一硼彳( 尼) ，2 ( 3 1 5 ) 一事二( 七) e ) ( p 一f ( 七一后) 】j ：【( 七) 一g o ，o ) 二( 尼) 二( 后) 一g 掰 & 代表自由作用量，s 代表耦合作用量，a 。( 尼) = ( 口i ( 后) ，口：( 尼) ) ，彳( 尼) 为其 复共轭矩阵。q 、为泡利矩阵。动量空间上的配分函数定义为 昙= 愕= 攫一， 慨 式中d l 。为积分测度，在动量空间上对费米场进行泛函积分后得到模型的有效势 ( 晚，) = - , e g t o o ：+ l n d e t ( i + b ) ， ( 3 1 7 ) 所以自由能可以表示为 f ( 历= 一q1 1 1 ( 二) = 簖一矿1i n d e t ( i + b ) ( 3 1 8 ) 其中 曰= ( 鲳+ g - 譬o g 。) g o ( k ) + 粤qe x p 一f ( 七一七) g 0 ( 七) + 孚e x p 【一f ( 七一后) 】g o ( 七) ( 3 1 9 ) 式中c o ( 后) = - ( k c 5 + 聊呒) - 1 为自由格林函数。当耦合系数4 1 ，u o 1 1 ， v o i 1 ，g 1 时，在k = k 一0 的长波近似下，并根据泛函行列式的展开公 式 1 1 1d e t ( n b ) z 柚一圭柚2 ( 3 2 。) 那么条件0 ：o = 0 可给出临界值 唬= 1 掣n ( 3 2 1 ) 将( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) 式代入( 3 1 8 ) 式得如下自由能 1 5 四川师范大学硕士学位论文 即，= 謦+ 警+ 品+ 筹一丁 + 华】2 嘉 ( 3 2 2 ) 这就是弱耦合情况下s i n e - g o r d o n - t h i r r i n g 模型的自由能。 3 3 强耦合t h ir rin g 模型的非微扰泛函积分方法 本节介绍强耦合t h i r r i n g 模型中的非微扰泛函积分方法哺副，泛函积分方法 在计算d i c k e 模型，玻色费米模型和三带h u b b a r d 模型嘟1 的激发谱中都得到了 广泛的应用，通过微扰泛函积分方法已计算了含杂质的一维 s i n e g o r d o n t h i r r i n g 模型的自由能，在低温、弱耦合条件下得出了自由能是 含温度丁的幂级数表达式。在强耦合时微扰理论不再适用于计算模型的热力学 量，因此需要发展一种非微扰的泛函积分方法。 f e y n m a n 和k l e i n e r t 在路径积分中引入试探作用量，计算了量子系统的近 似自由能，这一想法在格点规范理论中发展为的变分累积方法阳7 1 ，并广泛应用 于统计物理模型之中嘀删。本文将泛函积分和变分累积方法相结合，建立了一 种新的非微扰场论方法，并应用于一维t h i r r i n g 模型的热力学量的计算。 在泛函积分中相对配分函数定义为 昙= 倦= 般一， 2 3 ， 式中 民= 一歹( 后) & f ，( 尼) ， ( 3 2 4 ) s = 一歹( 七) ( & + s ) y ( 七) ， ( 3 2 5 ) 驴i 后) = ( 西( 七) ，口；( 尼) ) ，y ( 尼) = ( q ( 尼) ，口：( 尼) ) t ， ( 3 2 6 ) 这里& 为自由作用量，s 为耦合作用量，引入试探作用量町，配分函数( 3 2 3 ) 可 以重新表示为 zf 见e 耻即沪而 气i 见p 。o 1 6 骺- s o + s j 九，) ： 1 ( 或 l ，化学势风1 ， 杂质耦合常数1 ，4 1 ，费米耦合常数g 风1 ，丁1 ，这时模型不存 在集体激发，这一系统定义为弱耦合模型。 在这类模型中，、g 和m 均可大于1 ，由( 3 1 7 ) 式给出的模型有效势为 s ( p o ，历= 一g 露+ t 2 v o m f 蕊1 一 + 9 2 p o ，) 2 ；两1 + 孕( 风+ t g p o ) 荟蕊e r a ( k - f ) + 了u o ) 2 莓研e - 2 i ( k - f ) + ( 2 萎赫】， 式中p o = 唬，即费米场凝聚值用风重新表示。长波近似，k = k - - , 0 ( 4 1 ) 式 变为 ( 风，历= 一g 露+ 瓦2 v o 一( 鲁) 2 - 脶+ 等+ 争】2 虿1 ， ( 4 2 ) 由( 4 2 ) 式，根据极值条件玛( p o ，) 3 p o = o 有 - 2 9 风一砉 风+ 丁g p o + 争 - o ， ( 4 3 ) 由此可得凝聚密度 风= 一万g o 而+ ( u o 1 ) 。( 4 4 ) 当g 1 、2 历g 2 m ；- 时，有 p o = 一鼍笋1 ， ( 4 - 5 ) 其中g p o 1 满足微扰条件。下面讨论弱耦合与强耦合t h i r r i n g 模型的关系， 由( 3 4 3 ) 式，强耦合模型的有效势为 ( 唬，) = - g 露+ 2 1 n ( 1 + 肌- - 鲁- ) + 2 ( - 1 ) 1 - 1 丝丝匝望幽九( 4 6 ) 一n = l 2 n m ，+ ( v o z ) 。 v oi l m i 1 时，( 4 6 ) 式退化为 s e ( o o 胁瑚露“ ，v 跏0 7 2 ( 老) 2 + 2 ( 一争 铃鬻斧】2 =一g虏+鲁一喏)2_+等+争2而1lm l m ，( ”) ， zf m 7 这与( 4 2 ) 式中弱耦合有效势完全相同。 现在研究单纯t h i r r i n g 模型在弱耦合情况下的相结构，当鲳= “。= 0 、 v o l m ，1 时，在( 4 6 ) 式中取，l = 2 并作二阶展开后的有效势为 ( 枷) - _ g 露一警m ) 2 - 圭( 警) 4 ， ( 4 8 ) 。 f 厶 m f 那么模型的自由能为 f ( 历= 一矿1 h i z = 一一s 够( o o ，励 = g f 露+ 肿丝丝】：+ i 1 硝丝丝】。 ：【g h y - t ( g 2 ) z 】虏+ i 1 夕一- ( 丝) 。雳， ( 4 9 ) m f 工 ”1 l 上式中令= ( g 2 ) ： 0 、丁：矿t ，则自由能为 m f ，( r ) = ( g l + n ) 露+ t e 2 岛4 ， ( 4 l o ) 当自由能取极值时 等- 2 p o ( g l m ) + 2 露_ 0 ( 4 1 1 ) 2 1 四川i 师范大学硕士学位论文 可得 风= 。，p 0 2 = - ( 参+ 争 ( 4 1 2 ) 取丁= o 5 ，l = o 1 ，m = 5 ，g = 一1 0 互，= 2 时，可给出自由能与凝聚密度变 化的关系，如图4 1 所示： o o 二 0 0 0 ，( 加 旬0 2 - 0 0 4 。 i - i f 、： 。 、 。i _ i_i_ 、 - 0 60 4- 0 2 0 o0 2 0 ，4 0 6 岛 图4 1 自由能随凝聚密度变化不恿图 从图形中可以看出自由能关于凝聚密度呈对称关系，并且有三个极值点，其中 p o = 0 为不稳定的极值点，另外两个为稳定的极值点，因此模型中费米场可以 形成稳定的凝聚状态。 下面研究温度的取值范围：因为露 。，则要求斋+ i 1 o 、 o 、 ， 0 ，则有g 0 ，于是t 一，即 一堡，(413)t 一j ，( 4 ) g 综合( 4 1 3 ) ( 4 1 4 ) 得出温度满足的约束条件 一堡 丁 o ，得出丁 一g l l e 一，即 t o 的要求必有，g o ，这时模型中的费米物质处于吸引状态。 另夕卜，由有效势( 4 1 6 ) 式微扰展开的收敛条件为( 学) 2 - 孽， ( 4 2 1 ) g | 综合( 4 2 0 ) 、( 4 2 1 ) 式可给出在强耦合条件下温度的约束条件 一筮 t _ 4 v o 2 。 ( 4 2 2 ) 4 2 相对能量密度与压强的计算 这一节首先研究单纯弱耦合t h i r r i n g 模型相对能量密度和压强，相对能量密度 和压强定义为 一一1a ( 只历 p f = p 一p 氏= 苘 口。：矽，一矽，= 一些， ( 4 2 3 ) 所2 p 厂如一苛 博“训 将弱耦合情况下( 4 1 2 ) 式中不为零的凝聚密度的值代入( 4 1 1 ) 式中可得如 下自由能 c c 历= 一( g l + 酬景+ 争三瞅参+ 争2 = 一t 去( g l + t e ) ( g l + t e ) + 丽1 ( + 埘 = 一譬( 譬) 2 ， ( 4 2 4 ) 再将( 4 2 4 ) 式代入定义( 4 2 3 ) 式可得 所= 一刍品【( 警+ 矿1 ) 2 2 】 = 一土立( 型星+ 1 ) z 2 lb 8 、 。 = 一【丝+ 1 ) 墨 = 一上r 讲+ t e ) ， ( 4 2 5 ) = 一寺( + ， ( ) 舻譬告警，2 2 4 = 4 _ 2g _ ( g l + 矿1 ) = 毒8 2 ( g i + r ) ( 4 2 6 ) 下面研究有背景粒子杂质作用的强耦合t h i r r i n g 模型相对能量密度和压强，将 弱耦合情况下( 4 1 9 ) 式中不为零的凝聚密度的值代入( 4 1 8 ) 式中可得如下 自由能 c ( 历= - 2 p e ) 一 g l + a 鸬+ 喜) + i 1 一t ( 与+ ) ： 。吩 ；2；。 q p - l n ( i f ，) - ，击( 詈) 2 ， ( 4 2 7 ) 再将( 4 2 7 ) 式代入定义( 4 2 3 ) 式可得强耦合情况下如下相对能量密度和压 强 所专扣蹦移+ 击唼n 伪 2 将2 h 却+ 击c 詈们2 ， = ；易c 击夕c 譬们2 ， ：一掣+ 1 ) 量 口 = 一专( g l + t e ) ， ( 4 2 8 ) p f 一戈 = 一孥一淫+ 1 ) 拿 ( 4 2 9 ) t