（计算数学专业论文）henonheiles系统的有限元研究.pdf

摘要 哈密尔顿系统是描述无耗散的物理过程与物理现象的一种动力 学系统，广泛出现在物理、力学、工程、纯数学与应用数学等领域中 经典的哈密顿系统有两个重要特性：( 1 ) 能量守恒性( 2 ) 辛结构，即 对应的流形是保面积不变的 利用传统的数值方法，例如多步法、r k 方法模拟哈密顿系统时， 会破坏它的辛结构，长时间计算后使数值模拟严重失真，甚至面目 全非1 9 8 4 年冯康首次系统地提出基于辛几何的辛算法，这种格式长 时间计算能够保持辛性质，模拟轨道效果好此后国内外提出了辛 r u n g e - k u t t a 格式、块辛格式( p s r k ) 等，辛算法理论逐渐成熟 任何离散算法，一般不能既保能量又保辛( g e - m a s d e n 定理) 近 二十年来辛算法研究，重点集中在讨论其辛性质，而涉及能量的较 少，在很多领域表明保能量更重要，而有限元法能够突出哈密顿系 统的能量守恒性，因此研究有限元法是很有意义的 本文重点研究h e n o n h e i l e s 系统的有限元方法，此系统是哈密 顿系统中产生混沌的经典例子从传统的算法中挑选一些数值方法， 如：r k 法，辛差分法、辛r k 法、与连续有限元方法进行比较，得到 以下结论： ( 1 ) 通过数值结果研究发现任意次有限元法计算h e n o n - h e i l e s 系 统始终是保能量的，计算的能量误差长时间为机器0 ，长时间计算的 轨道具有很好的稳定性及高精度 ( 2 ) 首次提出从三维能量曲面的视野考察h e n o n h e i l e s 系统计算 轨迹的行为，比传统的二维的p o i n c a r e 相平面研究更直观，和传统的 算法比较，更能证明有限元保能量的重要性 ( 3 ) 数值证明h e n o n h e i l e s 系统，当h 1 6 时，运动是非正规的，即产生混沌 关键词：哈密顿系统；连续有限元；量守恒；辛性质；h e n o n - h e i l e s ；能量 曲面；混沌 a b s t r a c t h a m i l t o n i a ns y s t e mi st h em e c h a n i c a ls y s t e mw h i c hi su s e dt od e s c r i b e d i s s i p a t i o n l e s sp h y s i c a lp r o c e s sa n dp h e n o m e n o n ，a n di th a su n i v e r s a l i t yw h i c h w a sa p p l i e dw i d e l yi nt h ef i e l d so fp h y s i c s ，m e c h a n i c s ，e n g i n e e r i n g ，p u r ea n da p - p l i e dm a t h e m a t i c s ，e t c t h et y p i c a lh a m i l t o n i a ns y s t e m sh a v et w om o s ti m p o r - t a n tc h a r a c t e r i s t i c s ：( 1 ) e n e r g yi sc o n s e r v e d ( 2 ) s y m p l e c t i c s t r u c t u r e s ，m e a n i n g c o r r e s p o n d i n gs y m p l e c t i ef l o wi st om a i n t a i nt h es 锄ea r e a u s i n gt r a d i t i o n a ln u m e r i c a lm e t h o d s ，s u c ha sm u l t i s t e pm e t h o d ，r km e t h o d t os i m u l a t et h eh a m i l t o ns y s t e m ，i tw o u l dd e s t r o yt h e s y m p l e c t i cs t r u c t u r e ，t h e n u m e r i c a ls i m u l a t i o nw i l lf a i la f t e ral o n gt i m ec a l c u l a t i o n t h ep r o b l e me v e n b e y o n dr e c o g n i t i o n a n dw a sf i r s ti n1 9 8 4 ，f e n gk a n gp u tf o r w a r ds y m p l e c t i c a l g o r i t h mb a s e do ns y m p l e c t i cg e o m e t r y ，i tc a nm a i n t a i ns y m p l e c t i cs t r u c t u r e a f t e ra f t e ra l o n gt i m ec a l c u l a t i o n ，n u m e r i c a ls i m u l a t ei sa l s ov a l i d a f t e ri t ， s o m ef o r m a t sa r ea r i s e da th o m ea n da b r o a d f o re x a m p l es y m p l e c t i cr u n g e - k u t t af o r m a t ，p a r t i t i o n e d - s y m p l e c t i c ( p s r k ) ，s y m p l e c t i ca l g o r i t h mt h e o r yi s g r a d u a l l ym a t u r e h o w e v e r ，a n yd i s c r e t ea l g o r i t h m s ，i ng e n e r a l ，c a nn o tm a i n t a i ne n e r g y c o n s e r v a t i v ea n ds y m p l e c t i cs i m u l t a n e o u s l y ( g e - m a s d e nt h e o r e m ) i nt h ep a s t t w od e c a d e s ，h a m i l t o n i a ns y s t e ma l g o r i t h m sr e s e a r c hf o c u s e dm o s t l yc o n c e n - t r a t e di ni t ss y m p l e c t i cs t r u c t u r e s ，t h e s ea l g o r i t h m sc a l lb ev e r yg o o dt ok e e p s y m p l e c t i cp r o p e r t i e s ，b u tt h ee n e r g yp r o p e r t i e so ft h es t u d yi n v o l v e df e w e r h o w e v e r ，i nm a n ya r e a s ，t h a te n e r g yc o n s e r v a t i v ei sm o r ei m p o r t a n t ，w h i l e t h eu s eo ff i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oh i g h h g h tt h ec o n s e r v a t i o no fh a m i l t o n s y s t e m s ，s oi ti sm e a n i n g f u lt os t u d yf i n i t ee l e m e n tm e t h o d t h i sa r t i c l ef o c u s e so nt h ef i n i t ee l e m e n tm e t h o do fh e n o n - h e i l e ss y s t e m w h i c hi san o n l i n e a rc l a s s i c a lc h a o t i ch a m i l t o n i a ns y s t e m s w ec h o o s es o m e t r a d i t i o n a lr e p r e s e n t a t i v em e t h o d ss u c ha s ：r km e t h o d s y m p l e c t i cd i f f e r e n c e m e t h o d s y m p l e c t i cr k m e t h o da n dc o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o dt oc o m - p a r e t h ep r i n c i p a lc o n t e n to ft h i sp a p e ri sa 8f o l l o w s ： i i ( 1 ) t h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o w st h a ta n yo r d e rf i n i t ee l e m e n tm e t h o dt o c a l c u l a t eh e n o n - h e i l e ss y s t e ma l w a y sc o n s e r v ee n e r g y ，e n e r g ye r r o ri st i m e - i n d e p e n d e n t c a l c u l a t i n gal o n gt i m eh a sg o o ds t a b i l i t ya n dh i g hp r e c i s i o n ( 2 ) 丑r s tp r o p o s e dt h ev i s i o n 行o mt h et h r e e - d i m e n s i o n a le n e r g ys u r f a c et o r e s e a r c ht h ec a l c u l a t i o nt r a j e c t o r i e so fh e n o n - h e i l e ss y s t e m ，c o m p a r e dt ot h e u s eo ft r a d i t i o n a lt w o - d i m e n s i o n a lp o i n c a r ep h a s ep l a n e ，i ti sm o r ei n t u i t i v e ， a n dc o m p a r i n gt ot h et r a d i t i o n a ln u m e r i c a la l g o r i t h m s ，c a np r o v et h a tf i n i t ei s m o r ei m p o r t a n ti ne n e r g yc o n s e r v a t i o n ( 3 ) t op r o v eh e n o n - h e i l e ss y s t e m ，w h e nh 1 6 ，t h em o v e m e n to fn o n - f o r m a l ，t h a tg e n e r a t ec h a o s k e yw o r d s ：h a m i l t o n i a ls y s t e m ；c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e n e r g y c o n s e r v a t i o n ；s y m p l e c t i cp r o p e r t i e s ；h e n o n - h e i l e s ；e n e r g ys u r f a c e ；c h a o s i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果对本文 的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担 学位论文作者签名：狱玉韵 劢j 口年月1 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密口 ( 请在以上相应方框内打 ) 作者签名：张叁榻 f o 年占月f 日 导师签名：嘲年月 日 4 9 h e n o n h e i l e s 系统的有限元研究 1 引言 a r n o l d 在专著1 中指出，经典力学经历了三个重要的发展阶段，1 7 世纪的牛顿力学、1 8 世纪的拉格朗日变分原理到1 9 世纪的h a m i l t o n 系统这三种不同的数学形式描述了同一物理规律，因形式上的差异， 在实践上是不等效的而在实践中通常选择哈密顿形式，因为它具有 非常紧凑的形式，并且具有普遍性，能够将不同的物理规律归纳为统 一的数学形式 我国数学家冯康院士曾指出，一切真实的无耗散的物理过程都可 以表示成这样或那样的h a m i l t o n 形式，他们都是常微分或偏微分方 程组h a m i l t o n 系统有两个本质特性：守恒性和辛几何结构传统的 数值方法除少数外都不能保持h a m i l t o n 系统的辛几何结构，如经典 的r u n g e - k u t t a 法，a d a m s 多步法等大多数都有人为的耗散性，即长时 间计算会导致系统总能量的耗散随时间平方增长，最终导致计算结 果的失真，甚至面目全非适合h a m i l t o n 系统的计算方法应在离散后 尽可能地保持原型问题的基本特征，为此冯康院士于1 9 8 4 年独立地 研究了计算h a m i l t o n 系统的差分算法，并开创性的提出了辛几何算 法，即算法的每一步都是辛变换，从而能够使最终计算结果能保持辛 结构，特别在稳定性与长期跟踪能力上具有独特的优越性 此后，冯康院士的开创性工作对国内外有重大的影响，吸引了许 多的学者的关注，他们进行深入研究并取得丰硕成果j m s a n z s e r n a 3 】 研究了h a m i l t o n 系统的辛r u n g e - k u t t a 格式，a a u b r y , p c h a r t i e r 1 2 】等利 用根树理论构造了拟辛的r u n g e - k u t t a 方法；s i m o ，g o n z a l e z 1 3 】等人研 究了辛算法的稳定性；m a r s d e n ，o r t i z ，k a n e 1 5 】等利用变分方法研究了 力学系统的辛能量动量守恒性；t j b r i d g e s ，s r e i c h 1 6 】等利用l a g r a n g e 变换研究h a m i l t o n 系统的保多辛格式等等 2 0 多年来关于辛算法的研究，较多地集中在辛性质上面，而对能 量守恒性的研究较少由g e - m a s d e n 定理：对一般非线性情形，保辛 保能量很难兼得因此所有辛格式只能在格式精度的意义下近似保 能量保辛和保能量哪一个更重要，没有简单的结论因为期望格式 具有何种性质与人们所要求的信息有关辛性质涉及轨道族，守恒适 硕士学位论文 应于单个解轨道因此保辛被认为是比保能量更强的约束，但它很难 解释单个轨道的结果反之，有许多例子表明保能量更重要在具刚 性的结构动力学中( 有高频振动分量，分子动力学也如此) 保能量更 重要当然，也指出，没有辛性质的计算格式常可导致混沌( c h a o s ) 然 而长期以来人们对保能量的算法却研究甚少，陈传淼教授及其学生 汤琼首先发现用连续有限元解哈密顿系统是保能量的，并对此进行 了深入的研究 有限元方法经过5 0 多年的发展，在理论研究与应用方面都已经 比较成熟和完善，它是与差分方法不同的另一中方法，有限元采用了 连续且分片多项式表示未知函数，用“正交投影“方法确定这个未知 函数由于它对区域的剖分比较灵活，对各种区域和问题的适用性较 强，而且计算精度较高，目前已是大规模计算和工程计算中应用最广 泛、最重要的计算方法之一本文讨论有限元法求解初值问题，着重 研究其求解h a m i l t o n 系统方程时的基本特性 本文第一章简单介绍h a m i l t o n 系统的两个重要的特性，然后介绍 了国内外现有的求解h a m i l t o n 系统的计算方法；第二章阐述利用有 限元方法解h a m i l t o n 系统的计算格式与相关结论；第三章研究h a m i l - t o n 系统的典型问题- - h e n o n - h e i l e s 系统的数值解法，以它为例进行数 值试验，我们从传统非辛算法和传统辛算法中挑选有代表性的方法， 如：辛差分法、辛r k 法、并且引进一种三维能量曲面来考察h h 系统计算轨道的行为，通过数值结果研究发现任意次有限元法计算 h e n o n - h e i l e s 系统始终是保能量的，能量误差长时间为机器0 的线性 积累，长时间计算具有较好的稳定性及高精度对于构造一种三维能 量曲面，相比于利用传统的二维的p o i n c a r e 相平面来研究h e n o n h e i l e s 更直观，和传统的算法比较，更能证明有限元保能量的重要性 2 h e n o n - h e i l e s 系统的有限元研究 2 h a m i l t o n 系统的基础理论和辛算法综述 2 1 哈密顿系统 1 9 世纪，英国著名物理学家、数学家h a m i l t o n 提出了h a m i l t o n 系 统，它用( 尸，q ) 为坐标的2 n 维相空间及哈密顿正则方程来描述，设有 2 n 个变量p = p l ，p 2 ，p n ) t 和q = ( q l ，q 2 ，) r 以及时间变量t ，给 定一个连续可微函数h ( p ，q ) ，则h a m i l t o n 系统可以写成一阶微分方 程组： 滢裁q 2 仁1 ， l 象= 等，亡) p “7 函数h 称为哈密顿函数( 2 - 1 ) 式称为哈密顿系统的正则方程如果h 不显含时间t 时，即h = h ( p ，g ) ，称为自治啥密顿系统，如果h 显含 时间t ，称为非自治系统，本文主要讨论自治系统，则( 2 - 1 ) 式子可以写 成： ”2 ：爹= ，( 2 2 ) i 塞= 鬻，g ) = 9 ( p ，q ) p 一7 如果简记 名= 见= 一 三计 可将方程( 2 2 ) 表示成更简洁的形式： 磊= - j 也( 2 3 ) 其中l 是1 , 阶单位矩阵，j 是反对称的2 n 阶辛阵，而且，有如下基本 性质： ( 1 ) j 一1 = j r = - j , j 2 = 一厶n ； ( 2 ) 对任意向量口r 2 住，有矿j v 兰o ； ( 3 ) 如果a 是对称矩阵，b = j a ，则b ? ，q - j b = 0 2 2 辛几何及其性质 定义2 1 以p = 1 ，p 2 ，孙) ，q = ( q lq 2 ，。，q n ) 为坐标的2 n 维空间称为 3u 硕士学位论文 相空间，记为印n 定义2 2 相平面上的单参数变换群称为相流g ：0 ( o ) ，g ( o ) ) _ p ( t ) ，q ( 0 ) ，p ( t ) ，q ( t ) 为倍砂的解，记为：群o 哈密顿系统研究的数学基础是辛几何，辛几何是相空间上的几何 学为了更好的理解辛几何，我们先引入熟悉的欧式几何与之比较 欧式空间舻= xiz = ( z 2 ，z n ) 】的欧几里德结构取决于一 个双线性对称的非退化内积： n p ，y ) = ，i y ) = x t 厶y = 奶协，z ，y 彤 j = l 当z 0 时，( 毛z ) 0 ，我们可以定义长度恻i = 瓦可 辛几何是相空间r 2 n = 俐z = ( z l ，z n ，x 住+ 1 ，z 加) ) 中的几何 学，具有特定的辛结构，它取决于一个双线性反对称的非退化的内积 一一辛内积 陋，胡= ( z ，j 耖) = x t j y = ( 筑骱“一z 住+ i 玑) i = l 当n = 1 时，辛内积变为 p ，胡= x l y 2 一x 2 y l 恰好是两矢量z = ( x 1 ，x 2 ) ，y = ( y t ，坛) 组成的平行四边形的面积由于 辛内积的反对称性，对任意向量z 恒有【z ，x 】= 0 ，因此不能由辛结构 导出长度的概念 概括来说，欧式几何是研究长度的几何学，而辛几何是研究面积 的几何学，它们是两种完全不同的几何结构 下面简单讨论辛空间形n 中的简单性质及变换理论 定义2 3 一个线性变换a 被称为是辛的，如果 ，a y = k ，引，v x ，y r 2 或等价于 a t j a = j 4 h e n o n - h e i l e s 系统的有限元研究 定义2 4 一个微分同胚伽：r 2 n r 2 n 被称为在，q ) 驴中的辛变 换绒正则变换，如果雅可比矩阵 掣 是辛的，即 掣h 掣卜 定义2 5 一个2 n 阶矩阵s 是辛的，如果 s t j s = j 所有辛矩阵组成一个群，我们称之为辛群，记作? 却( 2 扎) 定义2 6 称一个2 n 阶矩阵b 是无穷小辛阵，如果 b t jq - j b = 0 所有无穷小辛阵按对易运算，b 】= a b b a 组成一个李代数，记 作：s p ( 2 n ) 引理2 7 矩阵b 是无穷小辛阵的充要条件是b = 厂a ，其中a 是对称 矩阵 定理2 8e x p ( b ) s p ( 2 n ) 伴阵，的充要条件是b s p ( 2 n ) 阮穷小辛 阵j 因此，利用任何2 佗阶对称方阵a 可生成无穷小辛阵b = j a ，且利用 无穷小辛阵和下面定义可以生成一般的辛阵 定义2 9 若b s p ( 2 n ) ，且l ，q - b i 0 ，则 f = ( i + b ) 一1 ( ，一b ) s p ( 2 n ) 我们称f 是b 的c a y l e y 变换 定理2 1 0 旷义c a y l e y 变换夕设函数g ( z ) 具有以下三个性质： 砂在z = 0 的邻域 r 中解析的； 砂g ( z ) g ( - z ) = 1 i 剀夕7 ( o ) 0 ； 则9 ( c ) s p ( 2 n ) 的充要条件是c s p ( 2 n ) 5 硕士学位论文 易知，c a y l e y 变换f ( z ) = ( 1 一z ) ( 1 + 2 ) 是此定理的特例 2 3 非线性h a m i l t o n 系统的辛算法 2 3 1h a m i l t o n 系统的辛结构 由定义2 3 知：哈密顿系统通过辛变换形式保持不变 设已知h a m i l t o n 系统：z t = 一，凰，在辛变换w ：z 叶z 即：f 罄】t j 【罄】= z 下，原哈密顿系统化为： 日( 名) = 日( 叫( z ) ) = 日( z ) ，忍= 筹魏 此时日变为关于x 的函数： 皿= 【筹】t 也= 【筹】t j z t - - 【筹】r j 【瓦o w k = j x 。 所以，对于新变量z ，哈密顿形式巩= 一j x 。仍然成立 下面来证明h a m i l t o n 系统的辛结构：由h a m i l t o n 系统的基本定 理：任何一个哈密顿系统的解是由单参数辛族( 是r 2 - 的辛算子，即 相流9 妒) 产生，使得： z ( t ) = 带z ( o ) 名( ) 是初值2 ( o ) = 4 t o ) 的连续可微函数记偏导数z z ( t ) = 必d z o ，由 ( 2 - 3 ) 我们有： 乏= 一j 日幺7 ，z 7 ( o ) = 1 2 n ，a ( z ) = 丑：( 名) ，b ( z ) = - j a ( z ) ，( 2 4 ) 它关于z z 是线性的，这里a ( z ) 是2 n 阶对称方阵直接计算 d ( g j z z ) = ( z ) t j z z + z r j y t = ( 一肌) t j + z r j ( 一j a z z ) ：一z f r a t j t j 名 一z 厅j 2 a z i = 一a 0 + a 2 ：0 。 对任何t 导出解满足的辛恒等式尸j 7 = j 此等式是陈传淼教授在 哈密顿系统理论研究中发现的，此出证明辛结构比较简便 2 3 2 辛几何算法 6 h e n o n h e i l e s 系统的有限元研究 h a m i l t o n 系统的的计算方法至8 0 年代仍为空白，冯康院士于1 9 8 4 年在北京召开双微会议上首次提出了计算h a m i l t o n 系统的辛几何算 法， 2 2 】冯康院士及其他的研究小组经过十多年的努力取得了国际领 先地位的优秀成果，并且受到了国际知名学者的高度评价他提出的 辛几何算法具有保持h a m i l t o n 系统辛结构的特点，特别是在稳定性 与长期跟踪能力上具有独特的优越性下面列举几个具体的辛格式， 与后面用有限元算法研究h a m i l t o n 系统进行比较 下面列举几个具体的辛格式，与后面用有限元算法研究h a m i l t o n 系统进行比较 对于非线性情形，冯康院士首先证明了e u l e r 中点格式是辛的： 夕+ 1 = z j + h j - 1 9 z ( z ) ，( 2 5 ) 其中，矿= ( 夕+ z j + 1 ) 2 为中点 事实上，对夕求导有： 簪= j 州以蹦z 叫三筹+ 三，) 解出导数： 簪邓蛔- 1 ( ，删，c = 妒1 剐 其中皿：是对称矩阵，故c 是无穷小辛阵，它是c a y l e y 变换，为2 阶 精度的对角p a d e 逼近 冯康，汪道柳，邬华谟【2 6 】，【2 7 】等利用生成函数法构造了哈密尔顿 系统形式的更高阶正则差分格式，如2 阶辛差分格式，4 阶辛分格式， 在本文中我们只引用4 阶辛差分格式： 名l = z k + h j v h z k + l + z k ) ) 一鉴，- 1 v ：( ( v 日) t j 也：j v 日) ( 三( “+ ) ) ( 2 6 ) 它又具体写为： p i = p o 一九凰。( 学，譬) 一紧( p 。吼魄+ 2 日p j m 吼h q 。) 一2 叽哦魄一2 仍q t 一2 如钉吼 ( 2 7 ) 七2 h q s q k h p j 乳h q j + h p j q k q t h p i h h 7 硕士学位论文 q i = g ? 一九日p l ( 咩，譬) + 箬( 如腓日g 凰。+ 2 p 。鼽魄) 2 h p i q k p h p k h q j 一2 h p k q j h p j p t h q k 一2 h 阻q j h p j h q k 乳 t 2 8 1 + 2 h q j q 蜉t h p j h q k + h q s q k h p j p h h i ，j ，k = 1 ，2 ，n 其中：p o = p ( t j ) ，p = p ( 如+ 1 ) 2 3 3 辛r u n g e - k u t t a 法和辛配置法 辛几何算法的研究对国内外有很大的影响在辛算法创立初期， 以为传统的算法不可能是辛的，1 9 8 8 年西班牙计算数学家j m s a n s - s e r n a 访问北京时，发现了一类g a u s s 点型r u n g e - k u t t a 格式，并明确 证明该格式是辛算法，此后l a s a g n i ，s u r i s 先后独立地用不同的方法证 明了存在某些特定格式的r u n g e - k u t t a 方法为辛算法，将辛算法的研 究进一步拓展 考虑一阶常微分方程的初值问题( 限于单个方程) ( t ) = f ( t ，u ( t ) ) ，0 t o o ，u ( o ) = u 0 ，( 2 9 ) 其中f ( t ，u ) 是适当光滑函数，对区间g ( 0 ，t ) 作剖分磊：t o t 1 t 2 t = t ，记单元= ( t n ，t n + 1 ) ，步长k = t n + 1 一t n 及最大步长 h = m a x h ) ，在k 上积分有： ，i t 竹+ 1 ( 沁1 ) = u ( t 。) + f ( t ，u ( t ) ) d t ( 2 1 0 ) ，t t l 记离散解的节点值u n 让( 如) ，如何求牡时，这里很多算法，各有特点， 目的是使得在节点t n + 。的误差 i e n + l i = i u ( t n + 1 ) 一让n + 1 i h q + 1 ( 2 1 1 ) 有尽可能高的幂次q 在区间【t n ，t n + l 】上取仇个分点= t 。+ q 九，0 c l c 2 c , n 1 ，和参考节点值w ；，i = 1 ，2 ，m ，先用下式计算所需的节点值 8 彩 l2m 一 一 l 叼 危 q +k ， = l 口 仇他 允+ n 让 = 毗 毗 h e n o n h e i l e s 系统的有限元研究 上式是含m 个未知数w i 的非线性方程组，求出妣后，最后计算所需 的节点值： u n + l = 十h ：b , f ( t n 十q ，t 魄) ， ( 2 1 3 ) 兰1 其中，c ，巩，a 巧都是一些待定的实参数( 共群+ 2 m ) ，可以方便地列为 b u t c h e r 数表如下： ( 2 1 4 ) 选取不同的8 ，可以得到不同的r u n g e k u t t a 方法和配置法 对于h a m i l t o n 方程( 2 - 2 ) ，它的s 级r u n g e - k u t t a 法有如下形式： 5暑 p n + 1 = 矿+ b , f ( p i ，q i ) ，q n + 1 = q n + 忽玩夕( 只，q i ) ， ( 2 1 5 ) i - - - - 1i = 1 5善 只= 矿+ 芝二a j ( p j ，研) ，q i = 矿+ 芝二玩j g ( p j ，劬) ，1 i s ，( 2 1 6 ) j = 1j = 1 其中，吼j ，6 t 等系数可表示成b u t h e r 阵列 = a= a ( 2 1 7 ) 若a a 时，称为p a r t i t i o n e dr u n g e - k u t t a 法( p r k ) ，是孙耿于 1 9 9 3 年首次提出的 3 5 】，之后y b s u r i s 在1 9 9 6 年也用树根理论提出 【3 3 】当a = a 时，就为通常的r u n g e - k u t t a 方法，下面给出p r k 法具 有辛性质的结论 当a 五时，孙耿【3 6 】给出了s 级p r k 方法是辛的充分条件： 9 硕士学位论文 定理2 1 1 如果8 级p 冗法倍f 名，2 - 1 5 ) 的b u t h e r 阵列参数满足下列 关系： 瓦= b i ，i = 1 ，s ， ( 2 1 8 a ) 瓦+ i 弓l 一嚣= 0 ，l ，j = 1 ，8 ，( 2 1 8 b ) 则称此船k 法是辛的( s p r k ) 当a = 五时，l a s a g n i 与s u d s 在 3 1 1 1 3 2 】中给出了s 级r k 方法是辛 的充分条件： 定理2 1 2 如果s 级r k 法陪! 彳，2 ! 砂的b u t h e r 阵列参数满足下列关 系? 以口巧+ b j a j i = 6 ，i ，j = 1 ，s ， 则称该r k 法是辛的( s r k ) 例h 隐式中点法( 一级二阶辛算法) 例2 ：二级四阶辛r u n g e - k u t t a 方法，其b u t h e r 阵列： 三一迈 三 三一近 26446 三上近 三一迈 三 26464 1 1 22 ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) 例3 ：三级四阶s p r k 法，简记为：4 s p r k ，该方法的参数如下： 0 lll 636 三 15l 261 2 1 2 1 12l 636 1 21 636 1 0 0 0 0 0 三 互1i 1 0 2 10l0 121 636 ( 2 2 1 ) h e n o n h e i l e s 系统的有限元研究 3 非线性h a m i l t o n 系统的有限元算法 有限元采用了连续且分片多项式表示未知函数，用”正交投影” 的方法确定这个未知函数，有限元方法是与差分方法不相同的一种 方法，经过多年的研究，有限元方法在理论研究与应用方面都已经较 成熟与完善了由于它对区域的剖分比较灵活，适用性较强，而且精 度高，目前是科学工程计算中重要的方法，但用于研究h a m i l t o n 系统 时，工作却较少，陈传淼教授及其学生汤琼博士在这个领域作了创造 性工作， 1 8 1 9 2 0 】，下面给出有限元算法计算非线性h a m i l t o n 系统的 误差估计和一般格式 3 1 连续有限元误差估计结论 对于初值问题( 筘9 ) ，线形问题的解“h m 机，则m 次连续有限元 u 有如下收敛与超收敛结果： ( 1 ) 最佳阶( 整体) 误差估计： i l u u i l , 。c ，+ 1 一知1 1 t 1 1 m + 1 ，k = 0 ，1 ( 2 ) 在每个单元的端节点上有超收敛性( m 2 ) ： i ( u u ) ( 巧) i c h 2 ”l l u l l 仇+ - ( 3 ) 若解u w m + 1 ，每单元内部的m + l 阶l o b a t t o 点红上有超 收敛性 2 l 】； l ( u c 厂) ( 岛t ) l c 扩+ 2 i l u l l 仇+ 2 ，。，m 2 特别地，对于二次元，单元的两个端点和中点都有超收敛精度o ( h 4 ) 3 2 非线性h a m i l t o n 系统的有限元计算格式 考虑一般的非线性h a m i l t o n 系统： z t = - j 也( z ) ，z ( 0 ) = z o ，0 t z( 3 1 ) 我们研究它在区间 0 ，卅的解 1 】 硕士学位论文 首先对区间g = 【0 ，卅作剖分：z h ：t o = 0 t 1 t = t ，记 单元g j = ( t j ，岛+ 1 ) ，半步长吗= ( t j + 1 一t j ) 2 为简化起见，可用线 性变换t = u ( s ) = t j + 1 2 + 吩s ，将单元勺变换到标准单元【一1 ，1 】则 名( t ) = 名( u ( s ) ) = ：名( 8 ) 显然有导数关系：d 8 名( s ) = 耽名( t ) 警= d 。z ( t ) 吗 在e = 一1 ，1 】上取仇+ 1 个分点s o = 一1 8 l 8 m = 1 ，作m 次 l a g r a n g e 插值 z ( s ) = l i ( s ) z ( s i ) 1 = 0 其中厶是m 次l a g r a n g e 插值基函数比如，对于二次元有： z ( s ) = 羔之乃+ ( 1 一s 2 ) 弓+ 1 2 + 下s z + s 名_ + 1 ， 在g 上连续且分片m 次多项式函数组成有限元空间驴但是连 续有限元在每个单元上有一个自由度匹配的问题在每个单元上任 何m 次多项式p m 有m + 1 个参数，但起始点的值已知，因此只有m 个自由度，可以定义m 一1 次多项式移昂廿 定义h a m i l t o n 系统的仇次连续有限元z 在单元g j = ( 岛，t j + 1 ) 上 满足m 组的正交条件： ( 磊+ j h z ) v d t = 0 ，u r 一1 ，4 0 ) = z o ，( 3 2 ) jk j 或在标准单元e 上则满足： ( z t + h j j h z ) v d 8 = 0 ，j = 0 ，1 ，m 一1 ，口p m _ l z ( o ) = z o ，( 3 3 ) 若将名( p q ) 丁s h 分开，上式也可以写为： 然二崛j h p ( z ”) ) , t d t 奈0 叩揶胁 ( 3 4 ) 【厶；( q t 一 = ”一”一一1 。 p 由于z = 0 ，q ) 驴，上面得到的是2 n 个方程组，又u 有m 个不 同的选择，共得到mx2 n 个方程，联立求解得到讯，重复上述过程， 一步步往前推进，最终求出z ( 丁) 1 2 h e n o n ，h e i l e s 系统的有限元研究 对于非线性h a m i l t o n 系统的有限元算法归结到最后是求解一个 非线性方程组的问题，求解非线性方程组一般都要用经典的n e w t o n 法，本文后面的算例我们都采用这种方法 3 3 非线性h a m i l t o n 系统有限元算法的相关结论 陈传淼教授首先发现连续有限元的能量守恒性 1 9 】，下面的一些 结果是陈传淼教授与学生汤琼博士共同完成的 定理3 1 3 ( 能量守恒) 用任意次连续有限元求解哈密顿系统，在结点 上能量总是守恒，即在任何节点岛上有h ( z ( t n ) ) = 日( 名( o ) ) 证明：h a m i l t o n 系统的m 次连续有限元z s 在单元巧上满足 m 个正交条件 ( 五+ j h z ( z ) ) v d t = 0 ，v p m - 1 ，z ( o ) = z o ( 3 5 ) jk i 若将z = ( 只q ) t s 分开，上式也可写为 ( 最+ g q ( z ) ) f d t = 0 ，( q t h p ( z ) ) 叼d t = 0 ，f ，叼p m 一1 ，z ( o ) = z o 心戤 ( 3 6 ) 由于这里，7 是任何m 一1 次多项式，特别地可取导数v = 磊，带入 ( 3 - 5 ) 有： j k j j t z t + j h 文z z t = | k ，z t z t h 文z 、) z t | 1 d t = - j j 件d t h 。z 、) d 甓= o 在每个单元玛得到日( z ( 巧+ t ) ) = 日( z ( 巧) ) 从而推出在整个区间g = ( o ，t n ) 上总有能量守恒h ( z ( t n ) ) = 日( z ( o ) ) 此定理表明连续有限元解z = ( p ，q ) 在相平面( p q ) 总是不变 的，这是有限元最重要的性质而对于h ( z ) = c 为封闭曲面的重要 情形也保证了磊= z ( ) 对长时间t n 的有界性 注：在推导有限元的能量守恒性时，有限元定义中有自由度匹配 问题由于连续有限元在每个单元上少一个自由度，定义中检验函数 v = ( 莓，7 7 ) t 只能是m 一1 次多项式，取y 为导数磊p m 一- 正好也符 硕士学位论文 合了这一要求，因此可导出能量守恒性应当提到，研究动量守恒时， 要取检验函数y 为z 本身，也有自由度匹配问题，这只能是间断有限 元陈传淼教授及其学生李灿华发现一种平均间断有限元z ，在每个 结点上左右极限的乘积z + z 一是守恒的，相关研究正在进行中 命题3 1 4 ( 轨道偏离) 物理平面上长时间计算的轨道阪周期，的偏 离在节点t n 上有最高阶超收敛性， l e ( 气) | = i p z ) ( ) isc t n h 2 m ，( 3 7 ) 即轨道偏离与时间线性增长 我们称时间t 。为长时间，若t , h 。”= c o ，c o 是某固定的常数在这 种时刻，轨道的误差l e ( t ) i c t n 九2 m = c c o 已可能是一个固定的数，更 长时间的计算已不准确，因此进一步的计算和估计已没有意义上面 定理表明，误差在节点上有最高阶超收敛性，并随时间t n 线性增长 此性质在数值试验中已得到实证，这个结论的证明及其困难对 一般非线性的哈密顿系统，对哈密顿系统作某些