（计算数学专业论文）banach空间中非线性中立型泛函微分方程θ方法的稳定性.pdf

摘要 中立型泛函微分方程( n f d e s ) 广泛出现于生物学、物理学、控制理论以及 工程技术等领域，其算法理论的研究对推动这些科技领域的发展无疑非常重要 近四十年来人们对其进行了大量研究，这些成果可参见b a r w e l l ，b e l l e n ，w a t a n a b e ， r o t h ，i n th o u t ，k o t o ，李寿佛，匡蛟勋，刘明珠，黄乘明，张诚坚，田红炯，胡 广大，甘四清等人的工作但由于其困难性，对其数值解的研究基本局限于线性问 题和一些特殊的非线性问题，而对于更为一般的中立型非线性初值问题的研究很 少然而，科学工程技术中还存在大量刚性问题，尽管问题本身是整体良性的，但 当使用内积范数时，其最小单边l i p s c h i t z 常数却不可避免地取非常巨大的正值 因此，突破内积范数和单边l i p s c h i t z 常数的局限是非常必要的 本文致力于研究巴拿赫空间中非线性中立型泛函微分方程初值问题口方法 的非线性稳定性，获得了0 方法求解一般的n f d e s 稳定性的一些结果，并用数 值算例证明了这些结果 关键词：b a n a c h 空间；泛函微分方程；非线性中立型；稳定性；o 一方法 a b s t r a c t n e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( n f d e s ) c a nb e f o u n di nm a n y s c i e n t i f i ca n dt e c h n o l o g i c a lf i e l d ss u c ha sb i o l o g y ，p h y s i c s ，c o n t r o lt h e o r y ， e n g i n e e r i n ga n ds oo n i ti si m p o r t a n tf o rt h ed e v e l o p m e n to ft h e s ef i e l d st os t u d y t h e o r ya n da p p l i c a t i o no fn u m e r i c a lm e t h o d sf o rn f d e s i nt h el a s tf o u rd e c a d e s ，i t h a v eb e e nw i d e l yd i s c u s s e db ym a n yr e s e a r c h e r ss u c ha sb a r w e l l ，b e l l e n ，w a t a n a b e ， r o t h ，i n th o u t ，k o t o ，s h o u f ul i ，j i a o x u nk u a n g ，m i n g z h ul i u ，c h e n g m i n gh u a n g ， c h e n g j i a nz h a n g ，h o n g j i o n gt i a n ，g u a n g d ah u ，s i q i n gg a n h o w e v e r ，b e c a u s eo f t h e d i f f i c u l t yo ft h er e s e a r c h ，i t sn u m e r i c a ls o l u t i o n sa r es t i l ll i m i t e dt ol i n e a rp r o b l e m s a n ds e v e r a lc l a s s e so fs p e c i a ln o n l i n e a rp r o b l e m ss of a r f o rm o r eg e n e r a ln o n l i n e a r n f d e s t h e r eh a v el i t t l er e s e a r c hi nl i t e r a t u r e b u tf o rs o m es t i f fp r o b l e m s ，i tm a y h a p p e nt h a tt h eo n e - s i d el i p s c h i t zc o n s t a n ti sv e r yl a r g e t h e r e f o r e ，i ti su r g e n ta n d m e a n i n g f u lt ob r e a kt h r o u g ht h er e s t r i c t i o no ft h ei n n e rp r o d u c ta n dt h ec o r r e s p o n d i n g n o r m t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h en u m e r i c a ls o l u t i o nt oi n i t i a lv a l u ep r o b l e m so f n o n l i n e a rn e u t r a lf u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i nb a n a c hs p a c e b a s e do n 0 m e t h o d s ，as e r i e so fs t a b i l i t yr e s u l t sa r eo b t a i n e d n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt o c o n f o r mt h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：b a n a c hs p a c e ；f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；n o n l i n e a rn e u t r a l ； s t a b i l i t y ；0 - m e t h o d s h 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得 的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个 人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担。 作者签名： 浓蒙煎 吼晰，月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和 借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：沫豪杰 新躲舷叩 日期：砷年r 月7 日 醐：帅肌7 日 1 1 应用背景 第一章绪论 中立型泛函微分方程( n f d e s ) y ( f ) = f ( t ，y ( f ) ，y ( ) ，y ( ) ) f o ，t 】 形式上表现为右端函数不仅依赖于过去的状态，而且依赖于过去状态的变化率， 常现于各种应用科学领域中，例如电力网络中的能量耗损就归结为满足这种方程 显然，常微分方程( o d e s ) 、泛函微分方程( f d e s ) y ( f ) = f ( t ，y ( f ) ，y ( ) ) 以及中立型延迟微分方程( n e u t r a ld e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n d d e s ) y ( ，) = f ( t ，y ( f ) ，y ( t f ( r ) ) ，y o f ( f ) ) ) 和中立型延迟积分微分方程( n e u t r a ld e l a yi n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，n d i d e ) y o ) = 厂o ，y 0 ) ，j ，o f ) ，y ( f f ) ，fk ( ，s ，y 0 ) ，y 0 ) ) 凼) i t - f 都是中立型泛函微分方程的特例中立型泛函微分方程比常微分方程复杂，且其解 不具有平展性 早在1 9 6 7 年，b r a y t o n 等人曾讨论一类较为特殊的中立型方程的数值处理， 1 9 8 4 年，j a c k i e w i c z 曾对复系数中立型方程研究其理论解及数值解中立型泛函微 分方程有大量的实际例子【l 一2 】，下面列举几个经典的例子 例1 生物学中的种群增长模型为 ( f ) = n ( t ) f ( n ( t f ) ) ，f 0 例2 在上例中，若种群数量由整个历史时期的因素决定，则有 ( f ) = ( f ) r 厂( o 一“) ) 尸( “) d 似) 例3 在电动力学中，电流分配模型 ，( ，) = a i ( t ) + b i ( q t ) 例4 在人口动力系统中一个描述人口结构的模型 经变换后可化为中立型延迟微分方程，青少年人口 一 u ( r ) 2j ：u ( t ，a ) d a 和成年人口数 y ( ，) = f o 甜( 加) d a 满足：当t f 时， ju o ) = b o u ( t ) + b l v ( t ) + ( 6 2 1 ) u o ( r r ) p 一刖- j u o u ( t ) 【v ( ，) = n o ( f - t ) e 啦喇- 1 v ( t ) 当f f 时， l u o ) = ( 6 0 一a o ) u ( ，) + 6 l y ( r ) + ( b 2 1 ) b o p 一鳓7 u ( ，一f ) + ( b 2 - 1 ) ( b l p 一段+ 6 2 1 ) p 胁一肋7 矿( ，一f ) 1 + ( b 2 - 1 ) b 2 p 地一胁7 v ( f f ) 【v o ) = b o e 一地一鳓7 u ( t f ) + ( 6 l 口一地+ b 2 1 2 1 ) e t 2 - i j o r v ( t f ) + 6 2 p 一胁7 v ( ，一r ) 一l y ( f ) 其中甜o ( 口) = u ( o ，口) 1 2 研究现状 一般来说，要求得中立型泛函微分方程真解是十分困难的，同时在许多实际 应用中人们更关心的是问题的数值解，所以，我们希望在了解中立型泛函微分方 程真解性态的基础上，尽可能的求得比较精确的数值解而计算机的出现和发展， 也为数值解的获得提供了更便利的条件 2 口 o m r b 朋吖咖饥删m即m “ 1 9 7 5 年，b a r e w e l l 3 基于模型方程 iy o ) = a y ( t ) + b y ( t f ) ，f 0 【y ( f ) = 矿( ，) ，t o f t t o 提出了p 稳定性与g p 稳定性概念其中，g p 稳定性概念是常微分方程数值方法 中a 稳定性概念的推广，证明了隐式e u l e r 方法是g p 稳定1 9 8 5 年，w a t a n a b e 和r o t h 4 i i e 明了a - 稳定的线性多步法是g p 一稳定的，之后，田红炯和匡蛟勋【5 】 在1 9 9 6 年证明了a 一稳定的线性多步法采用l a g r a n g e 线性插值或高次插值时是 g p 稳定的其后，i n th o u t 6 - 7 】，k o t o 8 】，田红炯和匡蛟勋 9 】，张诚峰【1 0 】等把上 述模型的稳定性推广到线性系统 i y ) = 砂o ) + m y ( t f ) ，t t o 【y ( f ) = 缈( ，) ，t o f f t o 获得了o 方法，r u n g e k u t t a 方法，线性多步法以及多步r u n g e - k u t t a 方法的稳定 性 关于非线性数值稳定性的研究始于1 9 8 9 年，当时t o r e l l i 基于初值问题 iy o ) = f ( t ，y o ) ，y 一r ) ) ，t o 【y ( ，) = 纵f ) ，t o f ，t o 这里厂满足条件 和 ( 甜。一甜：，厂o ，“，1 ，) 一f ( t ，材：， l ，) ) 口0 “。一“：8 2 ，v t 0 ，“。，材：，1 ，吼 0 f ( t ，甜，v 。) - f ( t ，甜，屹) 0 忆一y ：1 1 2 ，v t o ，甜，甜：，1 ，皿， 并提出了r n 稳定性以及g r n 稳定性概念，证明了隐式e u l e r 方法是g r n 稳定 由于r n 一稳定性以及g r n 一稳定性的要求过于苛刻，1 9 9 9 年，黄乘明、李寿 佛等人【1 l 】提出了r 稳定性以及g r 一稳定性的概念，并在此基础上获得了大量常 用算法的稳定性结果【1 1 1 2 对于非线性中立型泛函微分方程，由于其本身的复杂性，研究成果相对较 少2 0 0 2 年，张诚略【1 3 】给出了( 七，) 一代数稳定的r u n g e - k u t t a 方法求解中立型延迟 微分方程初值问题的稳定性及其真解的稳定性2 0 0 5 年，赵景军、徐阳和刘明珠 等人1 1 4 把研究推广到线性中立型延迟积分微分方程2 0 0 7 年，张诚坚等人【1 5 】研 究了r u n g e k u t t a 方法和线性多步方法求解中立型多延迟积分微分方程，获得了 其数值稳定性 尽管以上对各类泛函微分方程数值方法的研究已经获得丰硕成果，但其获得 的稳定性、收敛性结果都直接依赖于内积范数和单边l i p s c h i t z 条件然而，科学 与工程技术中还存在大量刚性问题，尽管问题本身是整体良态的，但当使用内积 范数时，其最小单边l i p s c h i t z 常数却不可避免地取非常巨大的正值这种类型的 方程在控制系统、电子网络、生物学、物理及化学动力学等领域经常遇到，其中 刚性比可以高达1 0 6 如在控制系统中，控制部件一般反应灵敏，具有很小的时问 常数，而受控制物体一般惯性较大，有较大的时间常数对于航空工具，一般是通 过控制部件对姿态的控制来控制质心的运动姿态运动是快变的，而质心运动是慢 变的又如在多成分化学反应中，有些反应速度快，有些反应速度慢，常有好几个 数量级的差别对于复杂的电子网络，由于不同的寄生电容的影响，时间常数也会 有大幅度的差别在传热、扩散、分馏等过程中，把分布参数化成集中参数，得到 的常微分方程组经常是刚性的因此，刚性方程组在实践中的普遍性和重要性已得 到广泛的承认，突破内积范数和单边l i p s c h i t z 常数的局限是非常必要的 对于通常的数值方法，其绝对稳定域是有限的，不适用于求解刚性方程组 为有效地求解这类方程组，必须研究具有无穷绝对稳定区域的方法1 9 8 7 年，李 寿佛【16 】于b a n a c h 空间引进常微分方程非线性试验问题类族k ( t ，z ) 和 4 k ( ，z ，万) ，并获得了数值方法的一系列稳定性结果2 0 0 3 年和2 0 0 5 年，李寿佛 1 7 18 】分别建立了刚性v o l t e r r a ；泛函微分方程r u n g e - k u t t a 方法和一般线性方法的 b 理论，并于2 0 0 5 年获得了b a n a c h 空间中v f d e s 理论解的稳定性和渐近稳定性 结果，这些工作为非线性刚性常微分方程( o d e s ) 、延迟微分方程( d d e s ) 、积分微 分方程( i d e s ) 以及实际问题中遇到的其他各种类型的刚性泛函微分方程的理论和 数值方法的研究提供了统一的理论基础 近几年，文立平【1 9 】将这些结果推广到刚性泛函微分方程( f d e s ) 试验问题 类d ( a ，彳) 并获得了一系列结果2 0 0 8 年，王晚生、文立平和李寿佛【2 0 把这一 研究推进到非线性中立型延迟微分方程( n d d e s ) ，获得了秒方法以及显式和对 角隐式r u n g e k u t t a 方法求解中立型延迟微分方程的数值稳定性结果2 0 0 8 年，王 晚生【2 l 】把b a n a c h 空间中常微分方程初值问题类k ( ，z ) 和v o l t e r r a 泛函微分方程 初值问题类以，朋，：) 推广到非线性中立型泛函微分方程试验问题类 0 ，7 ，l ，f 2 ) 和 ，厂，p ，1 ，吃) ，得到了这两类问题理论解的稳定性、收敛 性结果，为非线性常微分方程、非线性v o l t e r r a 泛函微分方程、中立型延迟微分 方程及其他各种类型的中立型泛函微分方程解的稳定性分析提供了统一的理论基 础 1 3 本文的主要工作 目前，国内外对中立型泛函微分方程数值方法的研究集中在线性问题和一些 特殊的非线性问题的稳定性，以及基于经典l i p s c h i t z 条件的非线性问题数值方法 的收敛性，尽管王晚生【2 1 】把这一研究进一步推广到更为一般的非线性中立型泛 函微分方程，然而对于非线性中立型泛函微分方程的数值稳定性研究仅见到王晚 生在 2 2 】中关于隐式e u l e r 方法保稳定性的讨论本文主要致力于研究非线性中立 型泛函微分方程o 方法的稳定性，全文分四章，除绪论外，其他各章内容如下 在第二章，我们引入了要讨论的实验问题类及一些相关的定义、定理；在第三章， 我们分析了非线性中立型泛函微分方程初值问题的0 方法的收缩性及稳定性，并 注意至u 2 3 q h 的结论是本文结论的特殊情形；在第四章，我们用数值算例证明第 三章中的结论 6 第二章试验问题类 设x 是实( 或复) 的b a n a c h 空间，l i 1 i 是其中范数对于任意的闭区间，c r ， 用符号c 羔( ，) 表示b a n a c h 空间中所有q 次连续可微映射x ：j 一x 的全体，定义范 数为 x 毋，刖，= 喜咧川砩 绋( ，) 是区间，上存在可数个第一类间断点的分段连续函数x ( ，) 全体，在每个间断 点处，函数右连续，定义范数为 x 鲰( n 圳，2 霉) 0 简单起见，我们把c 兰( ，) 记做o ( ，) 考虑中立型泛函微分方程初值问题 j 少( ，) = 厂( f ，y ( ) ，y ( ) ，y ( ) ) o ，r 】 ( 2 1 ) 【y ( f ) = 矽( f )f 【一f ，0 】 、7 这里f ，t 是常数，0 - 佃，0 t 佃，厂：【r r 】xx c x - r ，r 】瓯 - r ，r 卜x 是 连续映射，毋 - r ，o 】 显然，泛函微分方程 j y ( ，) = ( ，夕( 7 ) ，j ，( ) ) te o , t ( 2 2 ) 【j ，( f ) = ( r ) f f ，0 】 是中立型微分方程( 2 1 ) 的特殊情形 对任给的甜，1 ，x ，0 ，缈q - r ，t 】，2 e 砚【一f ，明，从映射fp - - j 定义一个 非负函数 g _ r ( 名，“，缈，z ) = i i u - v - 2 f ( t ，“，r p ，z ) - f ( t ，伊，z ) 】| i( 2 3 ) z e 2 1 q b ，王引入试验问题类0 ( 口，y ，厶，r 2 ) 7 定义2 1 设口( f ) ，f l ( t ) ，y ( f ) ，三( ，) 是区间= 0 ，卅上给定的连续实函数，对任意 的，有f l ( t ) 0 ，l y ( ，) 0 ，( ，) 0 一切满足条件： ( 1 一c t ( t ) a ) g ：( o ，r ，“，1 ，f o ，z ) g ，( a ，“，v ，缈，z ) ( 2 4 a ) v 五0 ， 材，x ， 缈c i 卜f ，丁】，z q i - r ，t 】 及 i f ( t ，y 一，f o - ，z t ) 一f ( t ，y z ，伊z ，z ：) 0 时，有 i l y ( t ) 一z ( ，) | | qe x p ( c ( f ) ) 训以1 ( 2 1 1 ) 其中v t 0 ，t 】； 2 当c 0 时，有 l l y ( t ) 一z ( ，) 矽一纠b 【- f o 】 ( 2 1 2 ) 其中v r 【一f ，明 当常数c 和c 。具有适度大小时，不等式( 2 1 1 ) 和( 2 1 2 ) 分别表征着问题( 2 1 ) 的稳定性和收缩性 1 0 第三章e 一方法稳定性分析 从一个求解常微分方程的0 - 方法 y 。+ l = o h f ( t 斛l ，y 。+ 1 ) + ( 1 一日) h f ( 厶，以) + 以 和两个适当的插值算子万6 和i - 1 6 ，可以导出一个求解中立型泛函微分方程( 2 1 ) 的0 - 方法 iy h o ) = 万6 u ；矽，y l ，y 2 ，y 。+ 1 ) 一f f ，肿l ( 3 1 ) 萝6 ( f ) = f 1 6 0 ；，只，致，兑“) 一f f ，。+ l ly 。+ i = o h f ( t n + ly n + l y “( ) ，夕6 ( ) ) + ( 1 一目) 矿( f 。，y 。，j ，6 ( ) ，夕6 ( ) ) + y 。 这里蚝x 是微分方程真解y ( ) 的逼近，兑是真解导数y 。( 乙) 的逼近，并可以用公 式或= 厂( f 。，y 。，y 6 ( ) ，夕6 ( ) ) 计算出来；o ，= 厶+ 办，h 是固定的积分步长，y h ( f ) 和夕“( f ) 分别是真解y ( 厶) 及其导数少( 乙) 在区间【一f ，o 。】上的逼近整篇文章中，我们设万6 和 n “满足下面的条件 其中c 。和c n 是不依赖于刀，厅和三的常数 ( 3 2 ) l z h o ) = 万6 0 ；驴，z l ，z 2 ，z 。+ 1 ) 一f ，肘l ( 3 3 ) z 6u ) = n “o ；矽，磊，乏，夏“) 一f5t f 。+ l l z 。+ l = 臼矿( 乙+ l ，z 。+ l ，z “( ) ，芽6 ( ) ) + ( 1 一矽) 矽( ，z 。，z 6 ( ) ，z 6 ( ) ) + z 。 h | = y n z n q = 厂( ，儿，y 6 ( ) ，夕“( ) ) 一厂( 乙，z 。，y 6 ( ) ，夕6 ( ) ) ， o 哆乙d 渺晰炒托蛾毗咧 卜圳卜础 秒屹一 驴萝，劂菇笔 啵椭矾m f 勺水弘代鳓 k ( a d 珥 一一 嗽 e = ( 乙，z n ，y “( ) ，萝6 ( ) ) 一厂( 乙，z n ，z 6 ( ) ，芽6 ( ) ) ， 以= m a x 眩 m 螂a x 。l i 矽( ，) - 伊( ，) | i ，叫m a 脚x 桫i 矽( ，) 一( 州 其中1 1 ， x o = m a x 、m ，；a ，；x 。( t ) 一妒( ，) 0 ，一m ，s a ，；x 。i ( f ) 一缈( ，) i i j ， g ( 五) = q ( 名，乙，u ，v ，伊，z ) 同时，我们定义 r ( t ) = m i n m ：t h e i n t e g e r ，行0 ，t m f 一1 定理3 1 设中立型泛函微分方程初值问题( 2 1 ) 属于类l o ( a ，l ，q ，砭) ，并满 足条件 芦兀 1 ，2 a o + c ，一口0 ( 3 4 ) y 翻 和z 如 分别表示应用( 3 1 ) 所示o 方法和插值算子7 6 和h 6 求解( 2 1 ) 及其 扰动问题( 2 8 ) 所得到的数值解序列，则下面结果成立 ( 1 - a h o ) i i y 。+ ，一z 。+ 。i i - g + ，( 矽) m a x g 。( 办9 ) ，( 1 - c t h o ) x 。) ( 3 5 ) 其中巳= 士 f l + t m a x l ，i 1 1 一声兀 证明： 从( 3 1 ) 可得 q + l ( 厅9 ) 一h o f + l q ( 一h ( 1 一秒) ) + 乃( 1 - o ) f ( 3 6 ) 从命题2 1 和命题2 2 ，可知 q ( 一h ( 1 - 护) ) q ( 厅( 1 一秒) ) 等q ( 办印 ( 3 7 ) 和 ( 1 - 倪h 0 ) c o + 。1 1 = o a h o ) g + 。( o ) q ( 厅乡) ( 3 8 ) 由( 3 1 ) ( 3 6 ) 和( 3 7 ) 得 q + l ( 办护) 警g ( 向p ) + h o f 。+ 。+ ( 1 一秒) e 】 ( 3 9 ) 由条件( 2 4 b ) ，我们得到 如果令 c + - - 8 ：m a x m ，叭r ) - z h ( 小7 h ：。，磷。1 叭，) 一享钏i 触叱m 胁a x 渺y - z ，忡脚也m 胁a x 澎一刻 从条件( 3 2 ) 可得： m a x t 鲥勒+ 。8 只一乏0 = 0 藏一瓦0 ，o 七刀+ 1 e “s 摩z 也m ，如a x + 。陟，一z , l l + 芦兀8 或一乏4 肚，一m 。自如a x + ，i l y , 一乙8 + 芦兀t l l l y , 一缸8 + p c 厅叱m 胁a x + 。0 只一乙8 + 芦兀也m 胁a x + 。0 或一乏f | 】 s c r xn n 则从( 3 8 ) 和( 3 9 ) 可得 ( 1 - 酬训鼬哪等啪即虹【+ ( 1 棚以】 ( 3 _ o ) 如果以+ ，0 。0 ，则有 x n “= x n 所以有 g n + l ( 办功警啪力也以 警瓯( 办印+ m a x g 肋既( t 一砌印k s 三二兰譬警m a x ；、跚n a s x 。g , ( 办秒) ，( 1 一a h o ) x 。s 了历产m 呦、办秒) ，( 1 一。j m a ) ( 逛警g j ( 彩，( 1 一a h o ) x o m a x g o ( 办秒) ，( 1 一a h o ) x 。 否则，若以+ 。= 蛾+ f f ，则有 ) 竿警啪印+ h c r 训i 竿铲啪叭蒜( 柳 1 3 由( 3 4 ) 我们知道h c ， o 于是有 i 1 一- c t h ( 1 一- c o ，) g , , ( a h oh 秒) q ( 办9 ) 1 一 一c ， ”、 则定理3 1 得证 更进一步，由定理3 1 我们还可以得到 定理3 2 设中立型泛函微分方程初值问题( 2 1 ) 属于类云 ，乃l ，z i ，f ：) 并满足 条件( 3 4 ) ，则下面结论成立 l y 川一。| | f ( 办) m a x 鼽( o ) 一z ：( o ) l l ，x o j ( 3 1 1 ) 其中 砸胁叫南m 叫半器铲, 1 + c r h o - h ( 1 - o ) ) ，1 ) 证明： 若疗= 1 ，则有 ( 1 - a h o ) c oi g t ( 办9 ) g 。( 办口) 圳| + c r h o x 。+ h ( 1 - o ) l l e 2 ( o ) - z ：( o ) 0 如果墨- - 1 1 q 1 i ，那么 g。(办矽)!l三薹1笔兰等c m a x 1 1 1 y ：( o ) 一z ：( 。) | f ，j ，o ) 一a 竹一甩 “ 否则，若五f 胁0 ，那么 g i ( h o ) 0 + h ( 1 一目) + h o c ，m a x 枞( o ) 一z ：( o ) f i ， 1 4 设 细a x 1 历m a x 哔帮, 1 + c r h o - h ( 1 - 9 ) ，1 则由( 3 5 ) 可知( 3 1 1 ) 成立，定理3 2 得证 定理3 3 设中立型泛函微分方程初值问题( 2 1 ) 属于类r o ( a ，厂，l ，_ ，f 2 ) 并满足 以下条件 则有 声n n k + l 对于七0 ，假如选择合适，由于，1 + i m + 。( t 一巳( ，) ) = 佃，那么必存在一个常数m k h ， 使得对任意f 膨，不等式f r ：( r ) k + 。成立由于熙乙= 佃，我们可以得到一个 常数n o ，使得对任意n n ，不等式厶 膨成立找到l = m a x n k + 1 ， ，则序 列n k ) 满足条件n k + l 仇和( 3 1 4 ) 对任意给定的整数后l ，j f = l ，2 ，磁+ 一体和善( 办) = l - a h i + ；o t h 历o - + c r h 由( 3 1 2 ) 和( 3 1 4 ) p 以及定理3 1 有 吒+ 肜9 ) f ( 办蒜譬妒。g ( 向口) f ( m 州m 蛳a x 小l g 一( 秒) 经过推倒可以得到 + l m a ，；x 仇“q ( 厅印爹( 价忙m l + i a 臼x 勒。g ( 办口) 侈( 办) y + 1m a 饥xg 。( h o ) 当刀专佃，七j 佃，从( 3 1 2 ) 知孑( 办) 0 ，下面不等式成立 0 ”( h ) v ( n 0 2 - k 炉 2 0 当h ：o ，1 时当h = o0 1 时 冀 羲 弱 。 弱 误差e ( n 1j 主j + i 。 。 1 图4 2 误差e o ) = ”一，如l i ：作为时间，的函数经计算如图4 2 所示，这也证实了我 们的结论 与 2 8 中的数值算例6 5 相比，本例算得的结果虽然没那么光滑，但是结果 是相似的，即刚开始时误差较大，但是随着时间的增加，误差快速减小 通过这个算例我们知道，对于满足条件的偏微分方程，本文结论同样适用， 其数值解同样是稳定的 例4 3 考虑如下方程： y ( r ) = 一2 y ( t ) 一0 0 5i - ，s i n o 一刁涉仂p 刁 y ( t ) = e 一2 ，0( 4 8 ) f 0 显然，问题( 4 8 ) 在任意区间【0 ，丁】上属于问题类l o ( - 2 ，0 0 5 ，0 2 ，2 ，0 ，1 ) 2 1 7一妇 砌一坳丝煮 l l 兰h 把方法( 3 1 ) ( 其中0 = 0 8 ) 应用于问题( 4 8 ) ，插值算子取( 4 2 ) 和相应 的( 4 3 ) ，易知= c n = 1 考虑扰动问题： 2zc，一。5lsin(t-r)z(r)dr+i一。c49， 同样用方法( 3 1 ) ( 0 = 0 8 ) ，并取相同的插值算子，由定理3 3 可知，数值解在 区间【o ，佃) 上稳定 图4 3 图4 3 显示了当0 = 0 8 ，h = o 0 1 时用0 方法求解问题( 4 8 ) 及其扰动( 4 9 ) 的误差e ( 丹) = 眇( f ) 一z ( ，) 1 1 2 由图4 3 可知，0 取0 8 时，误差随时间增加迅速减小，在t = 3 之后基本可以 忽略不计这表明此算法是稳定的 本例以及前面两个例子还表明本文结论同样适用于刚性问题，如( 4 1 ) 中m 2 = 叩 卜 = o d 少 “ ， 取很大值时方程组就是刚性的，这进一步表明本文结论的一般性 结论 中立型泛函微分方程广泛出现于生物学、物理学、控制论及工程技术等诸多 领域，其算法理论的研究对推动这些领域的发展无疑非常重要近年来，中立型泛 函微分方程，特别是其特例延迟微分方程的算法理论的研究得到了很大的发 展，但是这些研究都是爱有限维内积空间中讨论的，是基于内积范数和单边 l i p s c h i t z 条件的然而，科学与工程技术中还存在大量刚性问题，尽管问题本身是 整体良态的，但当使用内积范数时，其最小单边l i p s c h i t z 常数却不可避免地取非 常巨大的正值这种类型的方程在控制系统、电子网络、生物学、物理及化学动力 学等领域经常遇到，其中刚性比可以高达1 0 6 因此，刚性方程组在实践中的普遍 性和重要性已得到广泛的承认，突破内积范数和单边l i p s c h i t z 常数的局限是非常 必要的由于非线性中立型泛函微分方程本身的复杂性和受到处理方法的约束，其 数值稳定性和收敛性的研究发展较晚，所以现在仍有许多问题需要研究 本文通过对非线性中立型泛函微分方程o 方法的稳定性的研究，获得了一些 稳定性结论，这些结论比现有文献中的结论更为深刻和一般之前的许多结论都可 以视为本文结论的特例数值算例也证明了本文结论的正确性 然而，对于非线性中立型泛函微分方程，仍有许多工作要做，如中立型泛函 微分方程数值解的正则性、偏中立型泛函微分方程的数值稳定性等等，这些都需 要我们进一步去研究 2 4 参考文献 【1 】郑祖庥泛函微分方程理论【m 】安徽教育出版社，合肥，1 9 9 2 【2 】李森林，温立志泛函微分方程【m 】湖南科学技术出版社，长沙，1 9 8 5 3 】b a r w e l lv l s p e c i a ls t a b i l i t yp r o b l e m s f o rf u n c t i o n a le q u a t i o n s j 】b i t , 15 ( 1 9 7 5 ) ，1 3 0 1 3 5 【4 】w a t a n a b l ed s ，r o t hm g ，t h es t a b i l i t y o fd i f f e r e n c ef o r m u l a sf o rd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】，s i a m j n u m e r a n a l ，2 2 ( 1 ) ( 1 9 8 5 ) ，1 3 2 1 4 5 【5 】t i a nh j ，k u a n gj x ，t h en u m e r i c a ls t a b i l i t yo fl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d s f o r d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hm a n yd e l a y s 【j 】，s i a mj n u m e r a n a l ，3 3 ( 19 9 6 ) ， 8 8 3 8 8 9 【6 】i n t h o u tk j ，t h es t a b i l i t yo f0 - m e t h o d sf o rs y s t e m so ff o rd e l a yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s 【j 】，a p p l n u m e r m a t h ，1 0 ( 1 9 9 4 ) ，3 2 3 - 3 3 4 【7 】i n th o u tk j ，s t a b i l i t ya n a l y s i so fr u n g e k u t t am e t h o d sf o rs y s t e m so fd e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】，i m aj n u m e r a n a l ，17 ( 19 9 7 ) ，l7 - 2 7 【8 】k o t ot ，as t a b i l i t yp r o p e r t i e so fa - s t a b l en a t u r a lr u n g e k u t t am e t h o d s f o r s y s t e m so fd e l a yd i f f e r e n t i a lq u a t i o n s j 】，b i t ，3 4 ( 1 9 9 4 ) ，2 6 2 - 2 6 7 【9 】t i a nh j ，k u a n gj x ，t h es t a b i l i t yo fl i n e a rm u l s t e pm e t h o d sf o rs y s t e m so f d e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s j 】，n u m e r m a t h aj o u r n a lo fc h i n e s eu n i v e r s i t i e s ( e n g l i s hs e r i e s ) ，4 ( 19 9 5 ) ，10 - 1 6 【1 0 】张诚坚，泛函微分方程数值解的稳定性与d 收敛性 d 】，湖南大学博士学位 论文，1 9 9 8 【1 l 】h u a n gc m ，h uh y ，l is f ，c h e ng n s t a b i l i t ya n d e r r o ra n a l y s i so fo n e l a g m e t h o d sf o rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】c o m p u t a p p l m a t h ， 1 9 9 9 ，1 0 3 ：2 6 3 2 7 9 【12 】h u a n gc m ，h uh y ，l is f ，c h e ng n s t a b i l i t ya n a l y s i so fr u n g e - k u t t a m e t h o d sf o rn o n l i n e a rd e l a yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s 【j 】，b i t ，3 9 ( 19 9 9 ) ，2