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浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 摘要 热传导反i h - j 题( i h c p - - i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m s ) 有着非常广泛的工程 应用前景，因此对它的研究具有重要的价值。热传导反问题是典型的不适定问 题，对溅量数据误差非常敏感，但；奂l i 量过程中不可避免地带有随机误差，用这种 带有误差的信息去反演时，测量误差将被放大，从而导致不能得到问题的真解。 本文中介绍了一种解决一类热传导率的反演问题的有效数值计算方法，这类 问题的热导率不仅与位置有关还与温度有关即k = ( x ，力。目前，国际上有许 多专家和学者研究热导率问题，他们研究的主要是热导率为常数、热导率只与位 置相关或者热导率与位置和时间相关，而对热导率既与位置有关又与温度有关的 研究甚少。本文所研究的正是这种情况。文中第二章主要讲了热传导方程离散后 的数学模型。第三章分析了模型中方法的稳定性以及对数据的处理方法，第四章 采用具体例子对模型进行数值模拟并对其结果进行讨论，文中由表面测得的温度 信息来计算介质内部的热传导率，并j 黾m a t l a b 语言编程实现了反问题的数值求 解，数值分析表明这种方法是稳定的，且此解法有较好的逼近精度。 由于热导率的反演问题是病态的，故不能直接求解原方程组，需先通过正则 化方法改善其病态性之后再求解。本文应用基于标准l c 曲线的正则化方法来改 善了原方程的病态性，并由此获得它的稳定数值解。数值模拟结果表观：该数值 解法具有高效、稳定、全局收敛等优点。 关键词：反演计算，热传导率，非线性正则化数值模拟 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 a b s t r a c t i h c p - - i n v e r s eh e a tc o n d u c t i o np r o b l e m sh a v eb e e nf o u n d 、“d ea p p l i c a t i o ni n e n g i n e e r i n gi n d u s t r y , s oi ti so f g r e a tv a l u et or e s e a r c ht h i sk i n do f p r o b l e m n l ei h c p i st y p i c a li 1 1 p o s e dp r o b l e m w h i c hi se x t r e m e l ys e n s i t i v et ot h ee r r o ro ft h em e t r i c a l d a t a t h er a n d o me r r o ri si n e v i t a b l ei nm e a s u r i n gp r o c e s s ，a n dt h ee l t o rw i l lb e e n l a r g e dw h e nt h i sk i n do fi n f o r m a t i o nw i t he r r o ri su s e di ni n v e r s i o nc a l c u l a t i o n s o t h ee x a c ts o l u t i o nc a l lh a r d l yb eo b t a i n e d i nt h i s p a p e r , al o c a lm a r c h i n gn u m e r i c a lm e t h o d i s d e v e l o p e dt os o l v et h e o n e d i m e n s i o n a li n v e r s en o n l i n e a rh e a tc o n d u c t i v i t yp r o b l e m ( i n h c p ) w h i c hi sn o t o n l yr e l a t e dt op o s i t i o nb u ta l s ot h et e m p e r a t u r e ，i e k = k ( x ，t ) a tt h ep r e s e n tt i m e ， m a n ye x p e r t sa r er e s e a r c h i n gt h e r m a lc o n d u e t i v i t yt h a ti so n l yr e l a t e dt op o s i t i o no r o n l yr e l a t e dt op o s i t i o na n dt i m e r e s e a r c ha b o u th e a tc o n d u c t i v i t yt h a ti sr e l a t e dt o p o s i t i o na n dt e m p e r a t u r ei sr a r e l ys e e n i nf a c tt h em a t h e m a t i c a lm o d e lt h a ti sd i s e r e t e f r o mt h ei n h c pi sd i s c u s s e di nt h es e c o n dc h a p t e r t h em e t h o ds t a b i l i t y 豳w e l la s t h el o g a r i t h ma c c o r d i n gt ot h ep r o c e s s i n gm e t h o di sa n a l y z e di nt h et h i r dc h a p t e r i n t h ef o u r t hc h a p t e rt h en u m e r i c a ls i m u l a t i o ni sc a r r i e do u ta n di t sr e s u l ti sd i s c u s s e d n u m e r i c a la n a l y s i si n d i c a t e dt h a tt h i sm e t h o di ss t a b l e i nt h i sa t t i c l eu s et h e t e m p e r a t u r ed a t eo b t a i n e db yt h es u r f a c et oc a l c u l a t ei n t e r i o rh e a te o n d u e t i v i t yo ft h e m e d i u m t h e nt h ei h c ps o l u t i o nc a nb eg o tb ym a t l a bp r o g r a m m i n g a n df o r t u n a t e l y , t h es o l u t i o nh a sa g o o dp r e c i s i o n b e c a u s et h ei n v e r s eh e a tc o n d u c t i v i t yp r o b l e mi si l lc o n d i t i o n e d ，w ec a l ln o tf i n d t h es o l u t i o nd i r e c t l y t os o l v et h ep r o b l e m , n e e dt or e g u l a r i z et h ee q u a t i o n i nt h i s p a p e r , b a s e d o nl cf t ，c u r s ec r i t e r i o n ) r e g u l a r i z a t i o nt e c h n i q u e s ，t h es t a b l en u m e r i c a l s o l u t i o ni so b t a i n e d t h er e s u l ti n d i c a t e dt h a t ，t h i sp r o p o s e dm e t h o di sh i g h l ye f f e c t i v e ， s t a b l e ，t h eo v e r a l ls i t u a t i o nr e s t r a i n sa n ds oo n k e y w o r d s ：i n v e r s ep r o b l e m ，h e a tc o n d u c t i v i t y , n o n l i n e a r , r e g u l a r i z a t i o n ， n u m e r i e a ls i m u l a t e 浙江大学硕士学位论文 一类热导率的反演数值解法 第一章：引言 1 1 简述 在数学物理问题中，一般研究的是数理方程的正问题，即给定了方程以及它 应该满足的条件，如：初边值条件、混合初边值条件等，然后求满足给定条件的 解及研究解的正则性。例如：某物体的热传导问题，设其在( z ，y ，z ) 处及t 时刻 的温度为u ( x ，y ，z ，t ) ，k ( x ，y ，z ) 、c ( x ，弘2 ) 及p ( x ，y ，= ) 为物体的热传导系数、比 热系数以及密度系数，f ( x ，y ，z ，f ) 为外界对物体的加热过程【“，则物体的内部温 度函数为u ( x ，y ，z ，f ) ，满足下述方程： 笔警：i o ( 丘i o u ) + = 0 【七i o u ) + 乏0 【七i o u ) + ， &苏、敏7 幻、却7a z 、如7 。 设u ( x ，y ，z ，0 ) = p ( x ，y ，z ) ，且物体与外界接触的表面温度变化规律已知： u ( x ，y ，z ，t ) k y ，：) 。r = g ( x ，y ，z ，t ) 其中r 为物体的边界曲面，这样物体内部温度u ( x ，y ，z ，t ) 的变化规律被唯一确定。 但是，在实际求解过程中却常会碰到与正问题求解过程相反的情况，即反问 题。反问题是相对于正问题而言的，对一般的数理方程来说。正问题是在反映物 理模型的方程模式下，给出已测量的事实和规定的条件来求出方程的解。正问题 的研究从内容上讲是从一般到具体，从原因到结果，从本质到现象，从微观到宏 观。而反问题往往是已知了部分解的特征，然后提出对源分布或者边界条件的要 求，或者是确定方程的系数用来预测未来。这种问题不仅已知初边值条件，且可 以得到关于解或是场的某些附加信息，但反映场源结构的某些参数却是未知的。 当人们研制出一种新物体时，它的热传导系数，比热系数，密度系数等往往是未 知的，而物体与外界接触表面上的某些点流量是可观测的，这就要求我们利用附 加信息来反求其未知参数。 然而，不管正问题是线性的还是非线性的，它的反问题一定是非线性的，且 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 常常是不适定的，这就给求解带来了很大的困难。 所谓不适定问题【1 】是相对于适定问题而言的。下述问题称为适定问题： 由度量空间u 的元素“来确定度量空间，上的解z 的问题。如果满足下列条件， 则称该问题在度量空间对( f ，u ) 上的适定问题： ( 存在性) 对所有元素”“均存在空阊f 上的解z ； ( 唯一性) 解z = 胄 ) 是唯一被确定； ( 稳定性) 问题在空间对( f ，u ) 上是稳定的 凡是不满足上述三个条件之一的问题统称为不适定( i 1 1 p o s e d ) 问题。 对于不适定问题，我们需要对其系数进行处理，较常用有t i 如n o v 正贝j j 化法【2 棚 ( t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n - - t r ) ，变分法l l j ，阻尼奇异值分解( d a m p e ds i n g u l a r v a l u ed e c o m p o s i t i o n - - d s v d ) ；选择正则化因子的方法有l 标准曲线( l - c u r v e c r i t e r i o n - - l c ) 方法【6 】g c v ( g e n e r a l i z c dc r o s s v a l i d a t i o n ) 方法【司等等。最常用 的且比较有效的处理方法是采用t i k h o n o v 正则化方法进行求解。本文中采用的正 是基于l c 法则的t i k h o n o v 正则化方法。 本文主要针对一类热传导反问题( i h c p ) ，提出解决方法，并进行数值模拟反 演计算，结果表明本文所提数值解法是有效的且是切实可行的。 1 2 研究背景 在早期，研究不适定问题的学者主要有p h i l l i p s 和t i k h o n o v 。近期，丹麦学者 p c h a n s e n 在不适定问题领域开展了卓有成效的研究工作，他的主要研究基于线 性代数理论的离散不适定问题。 估计材料的热传导率在工业上应用十分广泛，在许多实际工程问题中热传导 率不仅与位置有关，还与温度有关，这就使问题非线性化了，并且在确定热传导 率时就比线性情况或者仅仅由位置决定的热传导反问题i h c p i ；同难很多。目前在 处理反问题的数值算法方面主要有以下几种算法：量子散射法，这种方法虽精 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 度比较高，但是计算量太大；o 标准的a d i ( 交替方向隐格式法) 来解决相应的伴 随问题，虽然a d i 方法的稳定性相当好，但是这种方法需要更大的计算量；o 用迭 代最优化来解决相应的最小值问题。该方法计算复杂且为局部收敛；利用脉冲 谱技术( p s t ) 【阍，在实际中应用比较广泛，但是在计算时不一定收敛；o 有限 元反演法，这种方法避免了格林函数的计算，在工程力学中有广泛应用，但其缺 点是计算量较大。u - 8 自1 9 7 6 年以来，许多科学家对热导率进行了不同程度的研究，由最初研究 的热导率为常数k ：发展到研究热导率只与位置有关即( 功，如：r o s e n c w a i g ， g e r s h o 9 1 对光热性质均匀的固体样品，首次确定了与光热信号有关的样品表面温 度、样品的光热性质和样品表面的入射光调制频率三者之间的定量关系；y c h 、 a f r o m o w i t z 和y e e 【1 0 研究了热性质均匀、光性质变化样品的表面温度与调制频 率关系，利用拉氏逆变换，将一组调制频率与表面温度的关系反演成样品中随深 度变化的光吸收系数；再发展到热导率与位置和时间有关即i ( x ，) ，如：香港城 市大学数学系的y c h o n 博士以及兰州大学数学与统计学院教授魏婷【1 1 1 2 1 ( t w e i ) ，他们研究的是高维【1 3 k ( x ，r ) 情况下的热传导方程，还有台湾学者【1 s l c h e n g h u n gh u a n g ，他采用共轭梯度法解决二维线性热传导问题，另外南京大学 声学研究所的张淑仪【”】( s y z h a n g ) 院士用脉冲谱方法( p u l s es p e c t r u m t e c h n i q u e p s t ) 来解决热传导问题：但是对于既与位置有关又与温度有关的热导 率即k ( x ，t ) 的研究甚少。本文主要是针对这一问题，采用m a r c h i n g 方法【1 硼研究 非线性的带热导率k ( x ，r ) 的反演计算。 1 3 目的与方法 本文中，首先介绍用一种步进( m a r c h i n g ) 方法来求解i h c p 中的伴随问题， 然后对热传导率为k ( x ，r ) 的反问题进行离散化，得到迭代方程。再证明此方法 在求解过程中是收敛且稳定的。最后，用此方法由m a t l a b 求解非线性热导方程 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 反问题的数值解，在求解过程中采用基于l c 标准曲线的t i k h o n o v 正则化方法 对原方程进行改善。 文中选取了三个数值例子，并分别对数值模拟和结果进行了比较。比较结果 表明，该数值处理方法是高效、稳定且全局收敛的。 这种方法有相当广泛的应用：如半导体的性能检测，钢的硬度分布的无损检 测，以及物体边界形状的识别【1 9 】、与热源有关项的识别| 2 0 l 、边界条件的识别【2 l 】等 等。 第二章：数值解法构造 2 1 模型及其离散化 首先，我们考虑热传导率为七( x ，t ) 的反问题： 丢( m 哥肚詈毗班岬钆吣( 。； 越”) 矧o xf 0m 坝耵) 乱- g ( 嘎 ( 2 。) l #觑b l z l r ( x ，0 ) = 0 ，r ( o ，t ) = z ( f ) 对于( 2 1 ) 式，在( _ ，0 + ) 处进行离散化1 引，可以得到如下形式 1 1 2 一， f ：互 m n 一= 。+ = ( 歹+ j 1 ) e ( i = 0 ，1 ，m ) ， ( j = o ，1 ，n i )，t，【 渐江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 补充定义在边界上节点的函数值如下： t l = 一h ，+ l = l + h 为了简便，我们令嫩d 等于k ( x ，) 对于以下方程 丢( 缸川瓦8 t 厂、印瓦e t = m 力 在( + 1 ) 处 ( 2 2 ) 在x = x 处，取： 则： 又取 a t ( x _ - , t j q ) 。t ( x , t j + , ) - t ( x , t j )( 2 3 ) 饼f 胪_ e r ( x , t j q ) 。缈坠型! 幽( 2 4 ) o tf 旦n 1 。笠竺尘2 昙( ；c ( 训“t 量， 鼬、力 华， 鼬r ， 华， 这样( 2 2 ) 式可近似化为： 去， c 工一，q ，罢l ，。q 一c x _ ，q ，矧，。， 。户。三! 兰上旦掣+ f ( 。，f ，) fj + ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) 浙江大学硕士学位论文 一类热导率的反演数值解法 对方程( 2 2 ) ，由( 2 6 ) 式和( 2 7 ) 式可以得到以下近似方程： ( q ，。+ t ) 三尘生! ：! ! ：暑；! ! i ! 生吐一正( 工，一；一q ) 三! ! 二蔓三毛：! ! ! ! 二! ! ：业 ( ：。) l。p c 三鱼三量生掣+ f ( _ ，f ，+ ) f 巧，z 丁( _ ，) ， l t ( x j + i ，0 + ) ( 互“p l + z 扎) 2 ，丁( 而，0 + ) ( f ，+ i + 正) 2 ， 【丁( ，0 + ) ( 巧，+ i + 互) 2 ，t ( x j l ，f ，+ ) ( z l + l + z - 1 ，) 2 簪，簪母u 一( 一监2 h 血2 爿+ - 鱼簪丛爿“+ 簪矗u + 孚以u 一 1 ) ( 2 l o ) ( i = o ，1 ，2 ，埘) ； u = 0 , 1 ，2 ，疗一1 ) 莨擎毋 即t乙l“j，=：tl乙j w 4 2：hf萼j ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 塑垩查兰耍主兰堡堡奎 二娄垫昱兰堕垦堕墼! i 堕 2 2 步进格式 下面我们给出方程( 2 1 0 ) 和方程( 2 1 2 ) 的详细求解过程 当，：o 时，让r ( x ，o ) = o ，方程( 2 1 0 ) 转变为如下形式： 铷u + ( 学节c 卜叫碘，亿 上式中，当i = 0 时，得到 弋簪抄c 卜+ ( 删五- 2 一每，和毗，亿1 4 ) 当l i 墨取一l 时，迭代方程同方程( 2 t1 3 ) 。 当j - m 时，得到： p 乒卜一( 气+ 爿和够誓+ 9 将方程( 2 1 3 ) ，方程( 2 1 4 ) 和方程( 2 1 5 ) 联立，得到如下的方程组： a ，一u = k 这里4 是( 研+ 1 ) x ( 加+ 1 ) 阶严格三对角占优矩阵 u = ，五p ，乙。 1 ， k = 象警，o ，o ，簪等i 以 其中： r下 丘= lf ( x o ，f 1 ) ，f ( 工。，f 1 ) ，( 靠，f ) l 当1 ，s ，l 一1 时，我们可以将迭代方程写成如下线性方程组的形式 4 “。u ，+ 1 ；8 j + 1 u j + _ + 1 这里4 + 仍然是( 肌+ 1 ) ( 历+ 1 ) 阶严格三对角占优矩阵， ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 2 i 9 ) 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 q = ，7 i ，l ，丁 ( 2 2 0 ) 叫一每卺，o ，o ，簪卺卜亿z ， e = f ( 而 ) ，f ( 而，+ ；) ，f ( ，哇) 7 赡善 亿捌 七一 j + + 后；，+ 七l + ，+ ；k i n _ l + ；，+ ； 兰丝兰芝丝堡三：丛二垒：丛 一垒丛：生蔓，( ，1 ，川 2 h 2 、777 浙江大学硕士学位论文 一类热导率的反演数值解法 l 拍2 让 j 哇+ e 一畦) ( k q 一+ k ：i _ 一 ) 0 o m0 0 峰一；， + 鹎， )嘎j 。气i o 00 0 0 鼍，一( 鼍一 + o ) ；， m 0 0 r r - rr - 一o一 - 一- ， o - 000 。 女p 鹕，哇0 00 00 o 一似j 十哇一) 0 00 0 o o 。七j 一“0 00 - - - - ，- - - r rr r r o 一- o。 00 o ”k 一一 一缸z 一一 + 矗叫一 ) 缸叫一 0 00o l 叫。 一( ”一。 + ；一呻 ) ；t 叫一 0 0 0 。0 靠j 一 + q 一 ) 一( q 一 + q 一 ) 2 略 学。句，q + 略专，( ，讣j 咖 ( 2 2 3 ) 方程( 2 2 3 ) 可以写成： u j + i = - ( e 一南弓+ 1 ) 啦+ 去。+ 1 ) 。u j 一寿( e 一磊弓+ 1 ) 。 记 这样我们有 u j = 【丁( ，t a t ( x t ) ，r ( x ，t ，) nu = 0 , 1 ，几) 6 j = u i u ： a j + - 2 一去。一“ 4 “= 一( e 十a ，+ 。) ( e a ，。) 9 一 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解洼 第三章：数值分析 3 1 稳定性分析 下面分析方程( 2 2 0 ) 的数值稳定性b ” ( e + a j + i ) 一r ( e a 川) 假设( x ，f ) 毛 o ，l t ( 五，) 喀丘，f c , c x ，叫：其中毛，丘，宅都是大于零的 常数。考虑 。的特殊形式：它是弱对角占优矩阵，其主对角元都大于零，且 它的次上三对角元和次下三对角元都小于零。因此，有唯一的( m + 1 ) ( m + 1 ) 阶 对角阵d 。，所有的对角元都大于零，满足： q a 川= 量+ i 这里q “是( 珊+ 1 ) ( 肌+ 1 ) 阶是对称阵，i ! p ，s 。有( m + 1 ) 个实特征值 因此有， a 川= 碟。量r 醇( 蟛s j + j 蟛) 壤。 很明显a 川的特征值都是实的。另外，由g e r s c h g o r i n 圆盘定理，我们知道 人川的特征值都是非负的，即兄( a 川) 0 因为所有的特征值带权d 。两两正 交，我们定义一个如下函数： ( 五y ) q 。= ，q y 此外，如果a ，“x = 触，那么 ( 醇邑+ 1 d ：) ( 壤。x ) = z ( 壤。z ) ： 即，a 川的特征值与( 蟛墨+ 1 蟛) 同。因此，( 蟛量+ i 哦) 不仅是对称矩 阵，而且对角元是非负的。由于 ( a ，+ - x ，x ) 2 卜，a + l x ) q 。= ，d j + 。a y + l x = y t ( 9 盎卧9 j ) y o 对每个x 震”1 ，i g 里x = 磷y 。我们得到a 川是半正定阵。 浙江大学硕士学位论文 一类热导率的反演数值解法 我们还有以下结论 这里 即指 0 一( e + a 川) 。( 一a 川牝s l ，嘲 丝、：函瓦 h k - 0 ，x r ，t o ) 浙江大学硕士学位论文一共热导率的反演数值解法 或者 击= ( x ，f ) l ( x ，f ) = a + 缸+ 玉+ 玉f + 缸2 + 多2 o , x r ，t o ) 等等。然后采用非线性最小二乘法，来解决这个最小值问题。 不妨取：西= = k ( x ，f ) 1 k ( x ，t ) = a + 6 茗+ 西 0 ，x r ，t 0 ) 令： f ( a ，6 ，a ) ：曼 t 0 ，j z ( t ，) 2 选择毛b ，6 使f ( a ，b ，6 ) 达到最小，即有： a f ( a = - , 6 , a ) ：o ， 掣：o 刁b 掣：o 然后求解这些非线性方程组。上述即为非线性最d , - - - 乘法拟合过程。 3 3 正则化方法 由于原始方程( 2 1 ) 式，经过离散后是病态的且不适定的，我们需要对其系数 进行处理，这里采用了t i k o n o v 正则化法( t i k h o n o vr e g u l a r i z a t i o n - - t r ) 嘲：在 正则化因子的选择上，我们选取l 标准曲线( l c u r v cc r i t e r i o n - - l c ) 方法【2 引。 即文中采用的正是基于l c 法则的t i k h o n o v 正则化方法。具体求解过程请看参考文 献【2 8 】。 下面先介绍一下基于l - 标准曲线选取因子的t i k o n o v i e 贝u 化方法。假设算子 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 方程为： a z = “ 设a 为赋范向量空间f 到u 上的紧算子，设a 有逆算子a ，但其在a f 上不连 续，从而不稳定，并且解集f 也不是紧集。因此，e p 使u 5 u ，且1 1 一“吣j ， 也不能满足l l - z l l u = 1 1a 1 一a - 1 圳u 非常小，这违背了它作为近似解的意义。 故需要借助参数与否有关的算子r ( u ，0 3 来确定z 6 ，使得当子一0 ( 或- - 9 , 租) 时乃- - 9z 。记乃为 r ( u ，j ) ) 中的任意一个元素，存在关于万的函数口= 口( 艿) ， 对v e o , xe 尺，r o ) 反演得到k ( x ，丁) 的表达式以及其系数，如采用： 一 = k ( x ，t ) i k ( x ，t ) = 6 b + 6 l 工+ 如丁= k ( x ，t ) 0 ，x r ，t 0 ) 最佳系数可以根据m a t l a b 中的行列式命令m l d i v i d e 自动选择来实现，其所求 得的系数误差满足最小二乘法的要求。由迭代初始值, 7 0 ，a ，a 2 ，岛反演求出 k ( x ，t ) 中的系数6 0 ，6 l ，6 2 。 记：b - - e b , ，b 2 ，量( 卅+ ，m ) 7 。其中耳是( z ，f ) 在相应离散点上的数值， 1 ，( m + 1 ) x n 再记z ，j = r ( 薯，0 ) ， 则a 的第i 行元素为 i 正j ，o - ，o 1 ) ；再令x = 【6 0 ，反，b 2 1 7 ，则可以得到线性方程组 趔= b ，再用x = m l d i v i d e ( a ，b ) m a t l a b 命令即可求出系数b o ，b l ，5 2 。 然后计算反演后的模拟解k ( x ，t ) 与精确解| i ( 工，7 1 ) 之间的误差。我们可以采 用以下误差公式来进行计算： 由k ( x ，丁) 与精确解k ( x ，t ) 之间的相对误差e ： e ：崾兰1 2 二! ! ( 兰：到2 i | 七( x ，丁) ij ： 这里j ：是2 模，并且求的是相对误差。 浙江大学硕士学位论文 一类热导率的反演数值解法 第四章：数值模拟与结果 4 1数值模拟 在这里我们所采用的数值模拟是已知r c x ，o ) ，( f ) ，g c t ) 采1z ( f ) 来反演计算 热传导率地乃假设j i 具有如下形式k = a o + q - x + 吒f + a 3 x t ，则反演计 算的主要目的就是解出系数，q ，a 2 ，a 3 。再反演求地，乃，因为t 中含有霓，而 k ：是a o ，q ，a 2 ，a 3 的函数，故r 可以表示成r ( 口o ，口i ，d 2 ，吗) 例1 ： 设k = 瓦p c = 1 ：0 x 1 ；0 t o ，x r ，f o ) 为了求解a o ，a l ，a 2 ，a 3 ，只需要令f f 分别关于a 0 ，a l ，a 2 ，a 3 的偏导数为零，也就 是求最小值。即： 9 0 = 箬：o ，g l = 娑：o ，吼：篓：o ，岛：箬：o o a oo a l d 盘，a 峨 再根据t a y l o r 展开，到一阶为止，理论上来说，阶数越高，误差越小，但 是，随着阶数的增大，求解过程变得异常复杂，这里采用的是一阶的情形，即牛 顿迭代格式。 利用t a y l o r 展开公式： f ( 石) = f ( x o ) + f 。( x o x z x o ) + 击f ”( 而) o 一毛) 2 + r 其中r 为误差，我们在实际计算过程中采用的是： f ( x ) = f ( x o ) + f 。( x o ) ( x - x o ) + r 我们可以得到下列离散表达式： 浙江大学硕士学位论文一类热导率的反演数值解法 g o - 萼强威叠x ，d ：) ：堑( 鱼：塑! ! ! ：! 鱼：! 鱼：! 二堑! 鱼：二塑：刍：! 1 2 ：鱼：! 2 搿 g i ：娑瓴 口l 4 ：炳) m ：笸f 鱼! ：刍! 塑：生：! 鱼：2 二堑! 鱼：! 竺；：二型：鱼：! 鱼：! 2 x d d 9 2 _ 要9 2 ( a o ，口l ，呸，口3 ) 眠 ：堑亟：! 正鱼：塑：鱼：2 二丛! 鱼：! 刍：生：二塑! 生：2 2 甜 岛2 甏z “, t l l 一, q 2 , t 2 3 ) ：丛( 蓝! 苴! 竺：! ! ：型2 二丛! 鱼：刍：! 1 2 ：鱼：二型2 2 d d ( 4 1 ) 踟= 等* 堑亟：型：鱼：生：鱼：! = ! 兰堑亟：正1 2 ：! 鱼：! 堑! 签二塑! ! ! ：! 1 2 ：鱼：! 谢。 鼠= 等z 堑! 蓝：互型：签：蓝! 二兰兰堑鲨：鱼：! 垒：签2 堑l 蓝! 鱼：二塑! 竺2 ：蓝2 舢 冽2 ( 4 2 ) 鲈器“ “ 堑! 鱼：鱼：! 丝：塑! 鱼：2 = ! ! 丛亟：! ! ：丝：鱼：2 ：堑鱼：鱼：垒：= 塑! 鱼：2 驴罄z ff(ao,a1,aa,a3+old)-一2xff(ao,a,a2,at)+ff(ao,01,a2,a3-dd)。 塑垩查兰堡圭兰垡堡奎 = 垄垫曼皇堕垦堡墼堕坚鲨 9 0 15 器* i 去【所+ 彩码+ 彩，i 彳坝i 一崩炳+ 蒯彳向+ ) 一k + 冽，q 。一谢岛，呜) + j 扩瓴一戤q 一础，呸，码) 】； 踟= 芸* 去 + 姒彳z 十彩，i ) 一历心一蒯炳总+ 尉，i ) 一( 石+ 谢，彳，i 一甜，i ) + ( 菇- a d ，i z 一谢彳) 】； 踟= 畿* 杀芦阿+ 批。岛彳+ 奶一讹一砒，呸彳 一所+ 缘q ，i 彳一嘲+ 尻i 一磁彳z 彳一奶】；h 3 1 自：= 羞岳z i 未矛够+ 码+ 彩岛+ 戤彳) 一( i 一一冽，呸+ 尉彳) 一疗嘁反+ d d 疋一d d 磊、+ 移嘁反一d d 蕊一d d 蠢强 g 廿= 著玺* 五叭i 彳+ 戤i 彳+ 卿一心彳一戤彳彳+ g 五= 鼍* 百丢u 战反正+ d d 蕊+ 鲫一移试五砖一翻蠢+ 娴 一扩瓴码彳+ 谢，q 一+ 所时一，i 一蒯妈一奶】； 我们可以得到如下形式的牛顿迭代格式 i q o = o g o + 9 0 0 q - g o l q + 9 0 2 吃+ g q ； g l = 0 2 9 l + 蜀o x 峨+ 岛l 她+ 9 1 2 缸+ 9 1 3 她；( 4 4 ) l 吼= 0 2 + o 她+ l q + 岛2 呸+ 9 2 3 q ； 、7 其中d d 是偏导数的离散步长。我们取a o ，q ，哆，岛的离散步长均为耐， a o ，a ，a 2 ，a 3 分别为a o ，q ，吒，q 的迭代改善增量。 然后选择迭代改善次数，满足： m a x 蚓，蚓，l 刽，蚓 f p 为给定的精度。并且设定最大迭代次数，若经过设定的最大迭代次数以后，还 没有达到给定的精度，则中断循环程序。文中选择f 为1 0 ，最大迭代次数设置 1 8 - 为2 0 0 。 在实际求解过程中，( 4 1 ) ( 4 3 ) 式右端项均乘以4 x d d 2 ，这不但对( 4 4 ) 式 结果没有影响，还消除了因分母2 甜、d d 2 或者4 x d d 2 太小而导致误差增大的现 象。在数值模拟时，将迭代增量加到迭代初值上，经过若干次迭代改善后，可以 达到较好地逼近精确值的近似解。 精确解为： 【a o ，q ，a 2 ，a 3 】= 【0 ，0 ，1 ，1 】 当选取迭代初值： 【a o ，a t ，a 2 ，码】= 【0 0 2 ，o 0 2 ，1 0 2 ，o 9 8 】： ( 表1 1 ) ：m - - t = 1 0 时，下表中列出了当( 搿选取不同的值时，误差的变化情况： 积取值反演系数( a o ，a 。a 2 ，a 3 )相对误差e 1 0 e 7 _ 0 3 6 1 5 ，0 4 2 0 6 ，1 ，1 3 7 3 。0 6 5 6 6 0 5 6 9 7 1 o e 8 0 0 4 8 5 0 0 4 4 7 ，1 2 0 5 8 ，0 9 4 4 9 0 1 3 6 2 l 。0 e - 90 ，0 1 8 8 ，0 。0 1 9 8 ，1 0 1 9 7 ，0 9 7 7 9 o 1 0 7 2 1 0 e 1 0 0 0 2 0 0 ，0 0 2 0 0 ，1 0 2 0 0 ，0 9 8 0 0 0 1 0 7 7 1 0 c - 1 1 0 ，0 2 0 0 ，0 0 2 0 0 ，1 0 2 0 0 ，0 9 8 0 0 0 1 0 7 9 注： l ：相对误差是指由k ( x ，t ) - - ) 七( x ，t ) 的相对误差e ： 2 ：文中以后提到的相对误差e 与这里的意义相同： 3 ：此处采用的是正则化以后的结果。 用非线性最小二乘法拟合得到的【b o ，b l ，b d = 【- 0 1 2 7 ，0 1 3 6 ，0 9 5 4 】。由此可以 看出拟合所得k ( x ，r ) = 6 b + b l x + b 2 t 与精确的k ( x ，t ) = t 已经十分接近，这说 明了这种反演数值解法是有效的。 当选取迭代初值： a o ，q ，a 2 ，a 3 】= 【0 0 1 ，0 0 1 ，1 0 1 ，1 0 1 】； ( 表1 2 ) m - - - n = 1 0 时，下表中列出了当d d 选取不同的值时，误差的变化情况 d d 取值反演系数( a o ，a ，a ：。a 。)相对误差e 1 0 e + 8o 0 7 5 4 ，0 0 1 0 4 ，l ，0 5 3 1 1 0 3 2 7o ，1 2 4 3 1 0 e 一90 0 0 7 8 0 0 0 9 0 ，1 0 0 9 1 ，1 0 0 9 00 1 0 2 7 1 0 c 1 0 0 0 1 0 0 ，0 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 ，1 0 1 0 00 1 0 3 6 1 o e - l l 0 。0 1 0 0 ，0 。0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 ，1 0 1 0 00 1 0 3 8 浙江大学硕士学位论文类热导率的反演数值解法 【a o ，d i ，a 2 ，口，】= 【0 0 1 ，0 0 1 ，1 0 1 ，1 0 1 】 且为正则化后的结果。 ( 表1 3 ) ：m - - u = 2 0 时，下表中列出了当d d 选取不同的值时，误差的变化情况 d d 取值 反演系数( a o ，a l ，a 2 ，乱) 相对误差e 1 0 c - 7 0 4 4 3 1 , - 05 5 3 0 ，2 6 1 0 5 ，0 7 0 6 8 1 1 4 8 5 1 o e 8 0 0 6 9 7 9 ，0 0 11 7 ，t 0 7 6 7 ，1 0 7 8 8 0 1 5 0 1 i o e 9 0 0 0 9 5 ，0 。0 0 9 1 ，1 0 0 9 4 。1 0 0 8 0 0 ，0 9 9 8 1 o e 1 0 0 0 1 0 0 ，0 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 o 1 0 0 】 1 0 e 1 l 0 0 1 0 0 ，0 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 0 1 0 0 3 ( 表1 4 ) ：t a = , 1 - - 4 0 时，下表中列出了当谢选取不同的值时，误差的变化情况： 耐取值反演系数( a o ，a ，a 。，a d相对误差e i o e 7 0 1 0 1 5 ，o 0 8 9 7 ，0 8 6 6 1 ，0 9 3 2 0 0 2 9 1 2 l ，o e 8 - q0 0 3 0 ，- 0 0 0 3 5 ，0 9 9 3 6 ，0 9 7 0 9 o 1 1 6 0 1 o e 9 0 0 0 8 9 ，d 0 0 7 8 ，1 0 0 8 6 ，1 0 0 2 0 0 0 9 8 2 1 o e 1 0 0 0 1 0 0 ，0 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 ，1 0 1 0 0 0 0 9 8 4 ( 表1 5 ) ：m - - - u - - 8 0 时。下表中列出了当d d 选取不同的值时，误差的变化情况： d d 取值反演系数( a 0 ，a ，a 2 ，a ，)相对误差e 1 o e 8 0 0 0 8 2 ，0 0 1 4 7 ，1 0 1 6 5 1 0 1 3 90 0 9 9 0 1 ，o e -