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b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程的 有限差分近似解 专业计算数学 研究生李胜坤指导教师冯民富教授 摘要：在这篇文章中，使用c r a n k - n i c o l s o n 有限差分 方法来离散b e n j a m i n b o n a - m a h o n y 方程，得到其数值解 的存在性和唯一性。同时证明了这种格式的收敛性并且得 到了较好的误差估计。最后又给出了一种求其数值解的迭 代算法。 关键词：b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程，有限差分格式， 收敛性，误差估计 f i n i t ed i f f e r e n c e a p p r o x i m a t e s o l u t i o n sf o r t h e b e n j a m i n - - b o n a - m a h o n ye q u a t i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a l m a t h e m a t i c s s t u d e n t ：l i s h e n g k u nd i r e c t o r ：f e n gm i n f u a b s t r a c t ：i nt h i sp a p e r , t h ec r a n k - n i e o l s o nt y p ef i n i t ed i f f e r e n c e m e t h o di sa p p l i e dt ot h eb e n j a m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o n w eo b t a i n t h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so f t h en u m e r i c a ls o l u t i o n s c o n v e r g e n c e a n de r r o ra n a l y s i so ft h es c h e m ea r ea l s os h o w n a tl a s t , w eg i v ea n i t e r a t i o n a l g o r i t h m t os o l v et h en u m e r i c a ls o l u t i o n s k e y w o r d s ：b e n j a m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o n ，f i n i t ed i f f e r e n c e s c h e m e , c o n v e r g e n c e ，e r r o r e s t i m a t e 致谢 在读研究生期间，我的导师冯民富教授在学业上给予 我悉心的指导，在生活方面热情的关怀，我衷心地感谢他。 冯老师的严谨治学态度、深邃的思想，对数学的热爱，对 工作的热忱给了我深刻的影响，是我一生学习的榜样。 同时，我也要感谢谢小平老师，罗鲲老师在研究生阶 段的教导和论文上的帮助。最后，我还要感谢数学学院老 师们的关心，各位同学的关心和帮助，在此，特向他们表 示衷心的感谢。 西瓣大学矮士论文 前言 波动方程一壹是天j 醣突戆簿象。二卡羹绝以来，为了舞决一熬实际阕 题，毙耍珏小幅长波在媒介中髓肇向传播等蔼作磁了很多研究，提出了备稀模型 方程，并腹讨论了它们解的情况。人们在初期掇出了最简单的模型方程 撕十一缸一t = 0 壶予它与灾际壤援樱差甚嚣，b e n j a m i n ，t b 。，b o n a ，j l 。a n dm a h o n y , j j 4 鬟 考虑弼波猩籍播过程中通常露非线性的扩散影噙，提出了模登方程 毗+ “z + u 让。一u $ 耐嚣0 并且研究了其解的情况。后来，m e d e i r o s ，l a a n dm i r a n d a ，m m 1 3 】叉甩 g a l e r k i n 方法落论了发震方糕 钍t + ( ，( 珏) ) 。一钍。m = g ( z ，t ) 的解。假撼小幅长波在媒介申传播时往往还要受划很复杂的耗散原理的影响， 这时人们提出了更一般的b e a j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程 矬t t 如瓣一城+ + 铭魄= 0 其中，a m i c k ，c j ，b o n a j l a n ds c h o n km e 【2 1 带能量估计和极太朦理讨 论了其解。 当然谯这期闯也有很多人讨论了这些模型方稷的解的情况，但怒他们很 多嚣嘉黢夔努方法寒讨论其鬻数数筐鼹。在本麓文攀孛，我靛将臻在诗簿上援、 对于畜蔽毙方法释其谴方法蘩麓荦鹩有隈差分方法米讨论萁近戳鼹 四川大学硕士论文 第一章基本理论 1 引言 考虑一般的带有初值和边值条件的b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程 2 u t u 2 t y u 嚣+ “+ u 让。= 0 ，t ) q ( 0 ，t 】( 1 1 a ) 初值条件 u ( x ，o ) = u o ( x ) 。q( 1 1 b ) 边值条件 u ( 0 ，t ) = z ( 1 ，t ) = 0( 1 1 c ) 它包含了波在传播过程中所受到的非线性扩散项和耗散项的影响其中，” 是一个固定的正常数。在这里，u = u ( x ，t ) 是关于两个实变量z 和的实函 数，它是关于传播方向上距离和流失时间的一种典型比例关系。 关于方程连续解的存在性和唯一性，已经有很多人研究过，比如a m i c k e ta 1 2 】；b o n aa n dd o u g a l i s 【3 】；b o n aa n ds m i t h 【1 l 】；s h o w a l t e r 【1 4 ，这在前 面已经介绍过这里，我们将用c r a n k - n i c o l s o n 差分方法来讨论其数值解。 在第2 节，我们会介绍一些基本的记号，引进一些算子，从而得到方程( 1 1 ) 式的c r a n k - n i c o l s o n 格式。在第3 节，我们将讨论这种有限差分近似解的存 在性和唯性，并且得到了很好的误差估计，验证了其是收敛的。在第4 节， 我们将讨论在特殊情况下这种差分格式是保持能量守恒的。 2 预备知识 令m 和是自然数，h = 1 m ，= i h ，l = 0 ，1 ，m 。令 ：= 丁，护= n k ，n = 0 ，1 ，。 四川大学硕士论文 记 ? = ( z 。t “) 和z 2 = ( = ( t ) l o = u m = 0 ，i = 0 ，1 ， ，) 。 定义差分算子： v i 饥= 竿，v 吉地= 竿，v q = 竺皆 a a v 。= 坠笋，一 = t v n + l - fv n ，o t v “- 号 显然，a h = v z v ；= v i v 吉 利用上面的记号，方程( 1 1 ) 的c r a n k n i c o l s o n 有限差分离散格式为 3 n 兰1 ，i = 1 ，2 ，m 一1 。 根据初值条件( 1 1 b ) 和边界条件( 1 1 c ) ，我们分别定义： w = u 0 ( )( 2 功) 和 w = = 0( 2 1 c ) 为了研究有限差分格式( 2 1 ) 的误差估计，我们引进如下的离散内积形 式： ( 廿，叫) = _ 3 i w i ，w 露 i = u 同时，l 2 空间的离散范数队，日1 空间的离散半范数l - l t ，h 分别定 义如下： = ”? ) i = 0 m l ”b = ( v ；v d 2 l = 0 对任意的两个网格函数 ，7 ) 魂，我们使用部分求和，有下面的等式成 立： ( v g v ，埘) = 一( u ，v 未叫) 为了方便记号，我f i 弓l 入一个新的离散函数妒，定义如下 ( 2 2 ) 划埘 哇 嵋v噶 + 皓 嵋 嘴 1 3 + 皓 嵋v + b 嵋 p 一 叼a“ 一 wa 四川大学硕士论文 妒p ，埘b 然赢( 毽+ l + 地十一1 ) ( 谢t 斗l 埘l 1 ) ( 2 - 3 ) 利用( 2 2 ) ，( 2 3 ) 求和，我们得到下面的引理： 罢l 理2 + l ：对任意的”露，我们裔 ( 1 ) ( v 耵， ) 一o ； ( 2 ) ，( 妒( 口，曰) ，w ) = o ； ( 3 ) 。( & p ，口) 一一( 专i 。，v ) 6 ； 由于在麟简的证明过程中，要多次用到离散型的o r o n w a l l s 不等式，所 以在这里我f f l 给出它的一种形式： 孳l 毽2 2 ：( 瓷教鳌戆g r o n w a l l ，s 苓等式) 缓设楚一拿葵敷黪葶翻，燕 果序列满足： ， i 西。基g o l 热翱+ p s + 热，摊l 。 ls = $ = # 那么，满足 l咖l g o ( 1 + ) + 执 番。m珏-1十)+孽热育f+奄r)+瓠一l，肄290 112 1 瓠珏十) + 热蠢+ 奄r ) + 瓠一l ，肄 l$ = u s = ur = 3 十t 而且，如果对任意的n 0 都有g o 0 和陬o ，则有 n 一1n - - i 氛g o + p ；) e z p ( 蠡。) ，弦1 s = o5 = 8 在这整篇文章中，我们定义g 是一个一般的与步长h 和k 无关的常数。 3 存在性和收敛性 我靛莓毙考瘗有藩夔势疆式f 1 1 ) 方程舞浆毒农魏。舞了话骥方程f 2 1 ) 薅 的存在性，我们将要甩到下面的b r o u w e r 不动点定理。其证明参看b r o w d e r 1 四川大学项士论文 定理3 1 ：令日是一个有限维内积空间。假设算子9 ：h - 4 h 是连续 的，并且存在一个o ，使得对所有满足i = n ，z h 时都有( g ( z ) ，z ) o 成立。那么存在h 使得g ( x + ) = 0 和忪+ | | o 。 利用上面的定理3 1 ，方程( 2 1 ) 式的解u “的存在性就可以得到证明。 定理3 2 ：方程( 2 1 ) 式的近似解泸存在。 证明：为了用数学归纳法来证明定理，我们假设u o ，u 1 ，泸存在， 0 成立。根 据定理3 1 ，那么存在v 罐使得g ( v + ) = 0 。不妨令u 1 = 2 v 一u “， 那么驴时1 满足方程( 2 1 ) 。 这样就完成了定理的证明 我们现在就要证明( 2 1 ) 式的近似解u 1 收敛到( 1 1 ) 式的准确解“ 定理3 3 ：令t “是( 1 1 ) 式的解，u ”是( 2 1 ) 式的解。那么存在一个常 数e ，使得对充分小的k ，有下式成立： 0t ，一矿0 + i t ，一u “1 1 , h 冬c ( h 2 + k 2 ) 证明：在( 2 1 ) 式中令扩= t “一e “，并且在等式两边分别与e n + i 作内 积，我们得到 ( a e n ，e n + ) + ( v i ( a 矿) ，v i e “+ ) + ( v i e “+ ，v i e ”十 ) ) + ( v h e “+ j 1 ，e ”+ ) 四川大学硕士论文 6 = ( a 钍n ，e n + ) 一( ( 反u n ) ，e n + ) 一( n i 1 ，e 卅 ) + ( v h “叶 ，矿+ j ) + ( 妒( u ” ，u “+ ) ，e ” ) 既然 ( v e n * ，e 叶 ) = 0 ( ( a u n ) ，e ”+ ) = ( t 芒刍专+ o ( 2 + k 2 ) ，e ”+ j ) 我们可以得到 ；侥i ie nl | ；+ ；岛i e ”l ；，。+ v e n + l ：( u n + ，e n 十 ) 一( 遗，e n + ) 一( 札譬 ，e “+ ) + ( 让：+ ，e 卅 ) + ( c p ( u n + ，u “+ ) ，e n + ) + ( o ( 2 + k 2 ) ，e 计；) ( 妒( u n + ，矿+ ) ，e n + j 一( p ( u “十 ，仙“+ j 1 ，c 7 * + z 1 ) + c ( 1 le n + i | ：+ 4 + 女4 ) 而且，我们有 ( 妒( 扩“，扩+ ) e n + ) 一( 妒( u “，“+ ) ，e 叶 ) = 一( 妒( u n + ，e n + ) ，e ”+ ) 一( f p ( e “+ ，“+ ) ，e ”+ ) 曼c ( 1 e n + 钆。+ i ie 卅钏 ) i le 叶钏n sg ( i e n 十讯。+ l l 矿+ 钏：) 所以，推得 ；a 。i le n | l ：+ ；魂i e ”i ，。s g ( i e “+ i i + i ie ”+ 51 i ：+ h 4 + k 4 ) g ( 1 e n + 1 i ： + l e n l 2 1 ， + i le “+ 1i i ：+ i ie “l 隈+ 九4 + k 4 ) 和 由于 a i | e “幢= ! ! ：坐二! ! ! ! 蝰 k 仆广型毕 四j i f 大学硬士论文 将它们分别代入上述不等式，然后在时间方向上从n = 0 ，1 ，n 求和。 因为e o = 0 ，则有 nn i | e “+ 11 1 ；+ le ”+ 11 2 1 g 七( | le “+ 1 | | ：+ le “十1i ；， ) + g ( h 4 + k 4 ) n = 0n = o 当k 很小时，上述不等式可以化为 n 一1 i ie ”幢+ ie ”i ； c 七( i | e ”l l ；+ ie “i ： ) + c ( h 4 + k 4 ) n = 0 这时利用离散型的g r o n w a l l s 不等式，则有 矿峨+ i 矿 c ( h 2 + 七2 ) 2 7 甚口 1 1 札”一扩i i h + i 矿一扩1 1 , h c ( h 2 + k 2 ) 这样就完成了定理的证明。 定理3 4 ：( 2 1 ) 式的近似解驴是唯一的 证明：令y ”是( 2 1 ) 式的另外一个解，那么y “满足 o , v n a ( a y “) 一v a h v ”+ + v y n + + 妒( y ”+ i ，v “+ ) = 0( 3 2 ) 令 驴= y “一u “ 则利用( 2 1 ) 式和( 3 2 ) 式，我们可得到 o , e n a ( a e n ) 一u a e n + 吾+ v e 时 = 一妒( e “+ ，v “+ ) + 妒( u “+ j 1 ，e 叽+ ) ( 3 3 ) 在( 3 3 ) 式的两边分别与e 作内积，然后仿照定理3 3 的证明，我们 可以推得 al ie “幢+ o , i e ”e ( | i 酽+ 1 乏+ i i 酽眩+ f 驴“+ f e t i 艮) 根据( 2 1 b ) ，我们有 e o ：0 西弼走学硬圭论文8 这时，我们把 酬驴| | j ：= 崆刿掣 秘 巍i 酽i 乏。：塑篓学 代入上述不等式，再猩时间方向上求和，并飘应用离散型的g r o n w a l l s 不等 式，则有 1 le 8 | | + e “l k = 0 鞠 这样就完成了定理的证明。 e “= 0 4 特殊情形 嬲= 0 时，( 2 1 a ) 式变为 凌谬一& 漆四) + 姚霹+ ；f 噶+ 磙+ + 噶5 ) 瓿嚣丰 ：0f 4 。l 如果其初值和边值条件不变，我# 1 还w 以证明这种有限羞分方法是保持 能甓守恒的 蹴理4 1 ：令u “魁( 4 1 ) 式的解那么有下面的能量守恒群式成立 1 l u “霾+ t u “艮= l u o 隧+ l u 。t i 矗 诹明：在( 4 1 ) 式的掰边分别与口卅佟内积，得到 ( 孰扩，u “十) + ( v i ( 觑u ”) ，v ；u ”+ ) + ( v 己严+ ，u ”+ ) + ( 妒( u ”+ ；，u n + ) + 【严+ ) 然。 避过求秘，很容易知道 ( 乳扩帐，沪+ ) = 妒扩憾，沪+ ) ，扩+ 净0 四川大学硕士论文 和 因此，我们可以得到 这时，将 侥l i 【严幢+ 魏l u ”i = 0 ；：嵝半咄 磊妒匣。：型半盟 代入上述等式，然后在时间方向上求和就可以完成定理的证明。 9 四川大学硕士论文 第二章迭代算法 考虑当= 1 时的b e n j a m i n - b o n a - m a h o n y 方程 1 0 u t u 。t 一牡。+ u 。+ “钍。= 0扛，t ) q ( 0 ，1 ( 5 1 a ) 假设边值条件不变令初值 ， u 0 ( z ) = x 2 ( 1 一z ) 2 ( 5 1 6 ) 我们取k = 击时，采用与( 2 1 a ) 一( 2 1 c ) 同样的方法来离散方程( 5 1 a ) 一 ( 5 1 b ) ，那么我们得到如下的非线性差分方程系统 巩叼 其中 如果h 取定，将前面定义的算子代入，经过整理后可以得到 p ( 嘴1 ) 2 + p 嘴1 叼+ 1 一p u ? + 1 瞄1 一p ( 嘴1 ) 2 + g ? + 1 嘴1 + ”+ 1 叼+ 1 + 辞+ 1 噶1 + r ? = 0 1 2 4 h = 一壶一孬1 + 磊1 + p ( 2 曙。+ 叼) = ；+ 壶+ 去+ p ( u h 。一引 = 一南一丽1 一面1 一p ( w + 2 u l - ) = 一i 1 叼+ ( 丽1 一丽1 。u 州2 2 叼+ 哩1 ) + 去( 曙。一曜。) + p ( 曙。+ 叼+ 哩- ) ( 吁- 一u $ ! - - - ) = 】2 m 一1 划蚴 + 嵋口噶 + 哇 醴 + 嘴 1 3 + + 嵋审 + + 嵋 一 四a 四川大学硕士论文 上述式子为时间方向上礼和n + 1 层的一个递推非线性方程组。由于初 值已经给出，那么实际上就是要求出关于时间方向上每一层n 的一个非线性 方程组的解叼。当求解这个叼时，我们采用n e w t o n 迭代法当第( m ) 和( m + 1 ) 步满足下面的收敛条件时，我们停止迭代运算。 型二兰三婴旦 1 0 - s 1 昭“叫i 一 既然我们不知道( 5 1 a ) 一( 5 1 b ) 的准确解，我们可以计算时间方向上每一 层p 在不同网格( 粗网格和细网格) 时同一点的收敛速度，记为尼。： l l ( c 馏一c 哩) i l + 1 ( u 嚣一u ) | 1 ，h p 一! 。i i 一 1 “一i | ( 明一u ) i i + i ( u 一u 2 ) 1 1 ， 我们还可以求其平均收敛速度忍。： 1 1 0 2 击三 在这儿，对每一个h ，叼是( 5 1 ) 式的数值解，t “= n k 。 四川大学硕士论文 参考文献 1 2 f l j lf e b r o w d e r ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s st h e o r e m sf o rs o l u t i o n so fn o n t i n e a rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，a p p l i c a t i o n s 盯n o n l i n e a r p a n i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n 似r f i n n ) p r o c e e d i n g so fs y m p o s i a 机a p p l i e dm a t h e m a t i c s 1 7 ，2 4 - 4 9 ，a m s ，p r o v i d e n c e ( 1 9 6 5 ) 2 】a m i c k ，c j ，b o n a j l a n ds c h o n km e ，d e c a yo fs o l u t i o n o fs o n l e n o n l i n e a rw a v ee q u a t i o n ，d i f f e r e n c ee q u a t i o n ，8 1 ，1 - 4 9 ，( 1 9 8 9 ) 3 】b o n a ，j l a n dd o u g a l i s ，v _ a ，a ni n i t i a l - a n db o u d a r y - v a l u ep r o b l e mf o r am o d e le q u a t i o nf o rp r o p a g a t i o no fl o n gw a v e s ，m a t h a n a l a p p l ， 7 5 ，5 0 3 - 5 2 2 ，( 1 9 8 0 ) 4 】s k c h u n g ，f i n i t ed i f f e r e n c ea p p r o x i m a t e s o l u t i o n sf o rt h er o s e n a u e q u a - t i o n ，a p p l i c a b l ea n a l y s i s ，v 0 1 6 9 ( 1 2 ) ，p p 1 4 9 1 5 6 ( 5 】s m c h o oa n ds k c h u n g ，c o n s e r v a t i v en o n l i n e a rd i f f e r e n c es c h e m ef o r t h ec a h n h i l l i a x de q u a t i o n ，c o m p u t e r sm a t h a p p l i c ，v 0 1 3 6 ，n o 7 ， p p 3 l 一3 9 ，( 1 9 9 8 ) 【6 1b i x i a n gw a n g ，a t t r a c t o r sa n da p p r o x i m a t e i n e r t i mm a n i f o l d sf o rt h eg e n e r a l i z e db e j a m i n - b o n a - m a h o n ye q u a t i o n ，m a t h e m a t i c a lm e t h o d si nt h e a p p l i e ds c i e n c e s ，v 0 1 2 0 ，1 8 9 - 2 0 3 ，( 1 9 9 7 ) 7 】a l b e r t ，j o nt h ed e c a yo fs o l u t i o n so ft h eg e n e r a l i z e db e n j a m i n b o n a m a h o n ye q u a t i o n ，a t m a t h a n a l a p p l ，1 4 1 ，5 2 7 - 5 3 7 ，( 1 9 8 9 ) 8 】b e n j a m i n ，t b ，b o n a , j l a n dm a h o n y , j j ，m o d e le q u a t i o n sf o rl o n g w a v e si nn o n h n e a rd i s p e r s i v es y s t e m s ，p h i l o s t e a n s r o y s o c ，l o n d o n ， 2 7 2 ，4 7 - 7 8 ，( 1 9 7 2 ) 9 b i l e r ，p ，l o n gt i m eb e h a v i o u ro fs o l u t i o n so f t h eg e n e r a l i z e db e n j a m i n b o n a - m a h o n ye q u a t i o n i nt w o - s p a c e d i m e n s i o n s ，d i f f e r e n t i a li n t e g r a le q u a h o n s ，5 ，8 9 1 - 9 0 1 ，( 1 9 9 2 ) 四川走学硕士论文1 3 ( 1 0 】b o n a ，j l a n db r y a n t ，p j am a t h e m a t i c a lm o d e lf o rl o n gw a v e s g e n e r a t c d 酚w a v e n u m b e r s