（计算数学专业论文）不等式系统包含关系的对偶特征.pdf

摘要 无论是由线性、仿射或者凸函数定义的不等式系统，不等式系统包含关系 的对偶特征在优化和数学规划问题中都起着非常重要的作用。这个对偶条件经 常出现在推广的f a r k a s 弓 理和可解性定理中，也可用于推广l a g r a n g e 算子、对 偶优化问题和最小最大原理。近些年，对偶特征还应用到基于知识识别的数据 分类，尤其是基于知识识别支持向量机分类。 本文主要在欧氏空间r n 中研究不等式系统包含关系的对偶特征我们主 要在两个方面做了推广：首先，我们研究了凸不等式系统包含关系的对偶特征 我们讨论了凸不等式系统的特征锥是闭的充分条件，弱于一般所要求的s l a t e r 条件，我们在凸不等式系统弱s l a t e r 条件的假设下，证明了系统的特征锥是闭 的其次，我们研究了a 为无限凸约束构成的凸集，b 为无限个凸约束构成的逆 凸集合，以及a ，b 分别由无限个d c 函数( 两个凸函数的差) 构成的集合的对偶 特征问题值得注意的是，我们所利用的凸函数不一定是下半连续的，因此集合 a ，b 不一定是闭集同时，由于d c 函数不一定是凸函数，所构成的集合也不一 定是凸的 关键词：凸不等式系统，对偶特征，d c 函数，共轭函数，弱s l a t e r 条件。 a b s t r a c t d u a lc o n d i t i o n s ，w h i c hc h a r a c t e r i z et h ec o n t a i n m e n to fi n e q u a l i t ys y s t e m s ， d e f n e db yl i n e a r ，a f f i n eo rc o n v e xc o n s t r a i n t s ，h a v ep l a y e da ni m p o r t a n tr o l e i no p t i m i z a t i o na n dm a t h e m a t i c a lp r o g r a m m i n g s u c hd u a lc o n d i t i o n s ，w h i c h a p p e a ri nt h eg e n e r a l i z a t i o n so ff a r k a s l e m m aa n di ns o l v a b i l i t yt h e o r e m s ，h a v e b e e nu s e dt od e v e l o pl a g r a n g em u l t i p l i e r s ，d u a lo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，a n dm i n - i m a xt h e o r i e si no p t i m i z a t i o n r e c e n t l y , t h e s ed u a lc h a r a c t e r i z a t i o n sh a v eb e e n e m p l o y e di nk n o w l e d g e - b a s e dd a t ac l a s s i f i c a t i o n ，e s p e c i a l l yi nt h ek n o w l e d g e - b a s e ds u p p o r tv e c t o rm a c h i n ec l a s s i f i e r sw h i c ha r ep o w e r f u lt o o l si nd a t ac l a s s i - f i c a t i o na n dm i n i n g i n t h i sp a p e r ，w ee x t e n dt h ep r e v i o u sr e s u l t si nt h e s et w od i r e c t i o n s ：t o b e g i nw i t h ，w ed on o ta s s u m et h a tt h es l a t e rc o n d i t i o nh o l d s ，w h i c hh a s b e e n r e q u i r e di na l m o s ta l le a r l i e rp a p e r s ，e n s u r i n gn o n a s y m p t o t i cd u a lc o n d i t i o n s c h a r a c t e r i z i n gt h es e tc o n t a i n m e n t s t h es e c o n dp o i n ti st h a tw ep r e s e n te x t e n d t h ed u a lc h a r a c t e r i z a t i o no ft h es e tc o n t a i n m e n to fi n e q u a t i o ns y s t e m s ，d e f i n e d b yi n f i n i t ec o n v e xc o n s t r a i n t s ，i na r e v e r s e - c o n v e xs e tt oa s e ti n v o l v i n gd i f f e r e n c e o fc o n v e xf u n c t i o n s ，i na n o t h e rs e ti n v o l v i n gd i f f e r e n c eo fo t h e rc o n v e xf u n c t i o n s k e y w o r d s ：c o n v e xi n e q u a l i t ys y s t e m ，d u a lc h a r a c t e r i z a t i o n ，d i f f e r e n c eo fc o n - v e xf u n c t i o n s ，c o n j u g a t ef u n c t i o n ，w e a ks l a t e rc o n d i t i o n 致谢 我能完成这篇论文，做相关的研究，首先应当感谢我的导师李冲教授。他 在相关问题的提出、分析、推导技巧以及论文的撰写等方面都给予了相当多的 指导，让我在完成论文的同时，从课堂内和课堂外都学到了不少知识，传授了做 学术的方法和严谨的治学态度。在李老师的鼓励和帮助下，我也慢慢体会到做 学问一定要认真钻研，坚持不懈，这些对我以后的工作和学习也有着莫大的帮 助。在此特致以衷心的感谢! 感谢方东辉、沈卫平、鲍吉峰、王金华、孟丽、胡努春、高文玲、林磊、张远 超、张娜等师兄师姐们的指导和关心，与他们一起参加讨论班的学术交流让我 开阔了研究视野。 感谢浙江大学的老师和同学们，感谢他们对我学习上的指导和生活上的帮 助，使我顺利的完成了硕士研究生求学生涯。 最后还要感谢我的家人多年来对我的鼓励和支持。 第一章引言 优化和逼近论中的许多问题都可以转化成凸不等式系统 或者最小化问题 ( p ) 五( z ) 0 ，i i ( 1 1 ) m i n i m i z e 厂( z ) ， s t 五( z ) 0 ，i ，( 1 2 ) z c ， 其中c 是空间x 中的凸子集，并不一定是闭集在假设下标集，函数族 ：i j ) 以及空间x 满足一定的条件下，许多学者研究了这两类问题，得到 了一些相关的结果，参看 6 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 3 ，1 5 ，1 6 ，1 7 ，2 0 ，1 9 】及其参考文献 设a ，b 是x 中由不等式系统所确定的两个凸子集所谓的凸不等式系统 包含关系的对偶特征问题，就是给出a b 的等价条件该等价条件通常称为 不等式系统包含关系的对偶条件该对偶条件在优化和数学规划中都起着非 常重要的作用，经常用来刻划f a r k a s 引理( 见【9 ，1 4 ，1 9 】) 等问题，同时也应用 于求解l a g r a n g e 乘子，优化对偶问题以及最小最大原理等问题的研究当中( 见 9 ，1 2 ，1 3 ，2 6 ，2 7 ) 近年来，对偶特征问题更被应用到数据分类的研究当中( 见 2 1 ，3 0 】) 数据分类是数据挖掘中的一个主要方法，数据挖掘主要是研究如何充分利 用历史数据来优化决策且发掘规律( 见1 0 ，1 9 ，2 0 ，2 1 1 ) 数据分类的有力工具之 一一一支持向量机( s u p p o r tv e c t o rm a c h i n e s ，简记s v m ) 近年来引起了大家的 关注数据分类主要是用一个线性分离平面将历史数据准确地分离成两个集合， 这样就将s v m 问题就转化成一个数学规划问题，而s v m 数学规划问题又可以 表述为凸二次规划问题利用多平面集合约束的对偶特征，f u n g 、m a n a g a s a r i a n 和s h a v l i k ( 见 1 9 ，3 0 ) 已经应用并高效解决了s v m 数学规划问题 在数据分类问题中，通常只考虑a 是多面体，b 是闭半空间的情形为讨 论更一般情况，m a n a g a s a r i a n 【1 9 1 研究了a ，b 都为任意的多面体，或者a 是有 限个凸约束构成的闭凸集，b 为逆凸集的对偶特征问题受m a n a g a s a r i a n 【1 9 的 第一章引言 2 启发，v j e y a k u m a rf 1 0 1 在r n 中利用共轭函数的上图特性，研究了4 为无限个 凸约束构成的闭凸集，b 为任意的多面体，任意的逆凸集，或者由有限个凸约束 构成的凸集等对偶特征问题同时，j e y a k u m a r 还在函数，满足s l a t e r 条件的 假设下，证明了凸不等式系统 z p ：，( z ) o ) 的特征锥是闭的 本文在欧氏空间r 竹中继续研究此问题首先，我们继续研究凸不等式系统 包含关系的对偶特征我们研究了不等式系统( 1 1 ) 的特征锥是闭的充分条件， 我们在不等式系统( 1 1 ) 满足弱s l a t e r 条件的假设下，证明了系统( 1 1 ) 的特征锥 是闭的值得注意的是，我们所得到的条件比j e y a k u m a r 中的条件要弱，而结论 更具有一般性其次，我们还研究了a 为无限凸约束构成的凸集，b 为无限个凸 约束构成的逆凸集合，以及a ，b 分别由无限个d c 函数构成的集合的对偶特征 问题值得注意的是，我们所利用的凸函数不一定是下半连续的，因此集合a ，b 不一定是闭集同时，由于d c 函数不一定是凸函数，所构成的集合也不一定是 凸的 本文的结构如下：在第二章，我们主要讨论不等式系统包含关系的对偶特 征在这一章中，我们在第一节给出了一些常用的符号和定义；在第二节，在弱 s l a t e r 条件的假设下，给出了凸不等式系统包含关系的对偶特征；在第三节，我 们讨论了a 为无限凸约束构成的凸集，b 为无限个凸约束构成的逆凸集合，以 及a ，b 分别由无限个d c 函数构成的集合的对偶特征问题在第三章，我们还 讨论了在锥规划中的应用 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 2 1符号标记和预备知识 在这一节我们主要介绍一些符号标记和已有的初步结果，本文中所采用的 符号主要参照 2 5 】 在欧氏空间p 中，两个向量z 和矿的内积记作( z + ，z ) = z + ( z ) 对p 的 子集z ，我们用i n tz ( c lz ，c oz ，c o n e z ) 分别表示z 的内部( 闭包，凸包，凸 锥包) 特别指出，当z 为空集时，我们记c o n e z = o ) 令如和o z 分别表示z 的示性函数和承托函数，其定义分别为 如c z ，= ：，x ze r z n , 、z ； a z ( x + ) = s u p ( x ，z ) ，v x + r n x e z 设，：p 叶( 一0 0 ，+ 。o 】为真凸函数，的定义域和上图分别记为d o m f 和e p i f ，即 d o m f = z p ：，( z ) o o ， e p i f ：= ( z ，r ) r 竹xr ：，( z ) r ) ，的共轭函数广：r n _ r 定义为 ，( z ) = s u p + ，x ) 一，( z ) ：z 跫n ) ，v z + r ， 显然，e p i ，+ 是闭的设c l ，表示函数厂的闭包，由下式确定： e p i ( c f ) = c l ( e p i ，) 由 2 5 ，定理2 3 知， ，+ = ( c 1 厂) 若c l f 是真凸函数，则下面等式成立( 参看【2 5 ，定理2 3 4 】) ： ，料= c 1 厂( 2 1 ) 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 4 进一步，易知y o u n g - f e n c h e l 不等式成立： f ( x ) + ，+ ( z + ) ( z ，z ) ，v ( z ，z ) px r p ( 2 2 ) 如果，和h 是真凸函数，则 且 e p i ，+ + e p ih 4 e p i ( f + 危) + ，( 2 3 ) ，h = 令f + h + 钳e p if + e p i h + ( 2 4 ) 下面我们介绍一个常用的引理 引理2 1 设，g ：r n _ 页：= ru + o o ) 是真凸函数且至少有一个在d o mf n d o m g 的某一点处连续，则 e p i ( 厂+ 九) + = e p i f + + e p ih + ( 2 5 ) 证明由【2 5 ，定理2 8 7 ， ( ，+ 州z + ) _ 冰m i 舯n 。 f + ( 矿一秒+ ) + 矿( 删，比+ 舯 因此，由 3 ，命题2 2 】可知( 2 5 ) 成立 ( 2 6 ) 口 2 2凸不等式系统包含关系的对偶特征 本节我们主要在欧氏空间瞅中研究凸不等式系统包含关系的对偶特征 一般而言，不等式系统( 1 1 ) 的特征锥不一定是闭的为保证它是闭集，我们需要 增加一些相应的假设本节我们所讨论的主要内容就是凸不等式系统包含关系 的对偶特征的充分条件 在【1 0 1 中，j e y a k u m a r 给出了下面的命题 命题2 2 设j = 1 ，2 ，m ) ，t 为任意指标集对任意i j ，胁u ，o i r 对任意t t ，设，t ：p _ r 为凸函数，且满足 z r n ： ( z ) so ，亡t ) 0 则下列命题等价? 例【z 毫n ：五( z ) s0 ，t 丁) z 毫n ：( p ，z ) q t ，i ，) 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 5 以砂对任意i i ， ( 地，啦) c l ( c o n e ( u 蚝t e p i 片) ) 命题2 3 令，：p r 是凸函数且a ：= z p ：i ( x ) o ) 若i n t ( a ) d ， 则 c lv o i l ee p i ，+ 1 0x r ) = c o n ee p i ，+ 1 0xr ) ( 2 7 ) 上述命题仅仅考虑了t 为单点集的情形下面我们考虑t 为有限集的情 形为此，我们首先给出下面引理 引理2 4 设j = 1 ，2 ，s ) 令，：妒_ r 是凸函数，对任意i j ， g i ：r n _ r 是仿射函数，形如： 9 i ( x ) = ( p i ，z ) + 跣，p i ，兢妒，i j 设( h n ，) e p i ，+ ，k 0 ，t n , i 0 ，尻。t 0 ，i i 令 = h k + t 椰p i ( 2 8 ) t j = h + 州( 风乒- - b i ) ( 2 9 ) 埏， 且( ，) 一( p ，口) 若存在x 0 r n 使得( z o ) 0 且g t ( x o ) = 0 ，i ，则下 列命题成立： 例k 一十今q n _ + “砂若l l k i i 一+ ，i i 一t j 酬呐0 且f t = i jo 嘶：n = 1 ，2 ，) 有界，则o l n 一+ ( i i i ) 若存在0 入 o ( 2 1 2 ) 由( 2 9 ) ， 三之麓簇嚣芸加 = k ( 一i j 等玩) + 扼j 椰风，i 、7 因此，由( 2 1 2 ) 和h _ + o o 可知k ( 一讵j 等玩) _ + o 。进一步，由于 i ，亡n ，i 阮j 0 ，我们得_ + o o ( i i ) 注意到( h n ，) e p i ，+ ，亡n ，t 0 ，风，i o ，由( 2 8 ) 和( 2 9 ) ，可得 q 几= k + t i t 竹， ( 风j 一玩) = 蛙希铲趔+ 百t 嘶( 风，i 一玩) l i 一e t i t n , i p i l l 寺髻铲一t j 如j 玩 由于厂是有限的，则f + 是1 - c o e r c i v e ( 见 2 6 ， 9 7 1 ) 即当l l k l l _ + 时，有 稚筹一+ 。从而，由上式和所给的条件得知，q n _ + o 。 ( i i i ) 假设存在0 a + ，t 一o 。( 2 1 5 ) 另一方面，由( 2 9 ) ， q = l i m a n = l i m ( k + t 嘶风厂t n , i 玩) ( 2 1 6 ) t jt j 现在，我们考虑如下两种情形： 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 7 1 7 = 0 此时，对任意i ，t = l i r a t 硝= 0 由于t n , i o ，阮j 0 ，由等式( 2 1 6 ) 知l i m 入棚n o t 注意到k 一入，由( 2 1 5 ) 可知，存在叩r 使得_ 叼 从而，由( 2 8 ) 和( 2 1 6 ) ，可得 肛= a h 且及入7 7 由于( h ，7 ) e p i f + 且广是下半连续的，故( p ，乜) c o n e e p i f + 结论成立 2 2 。0 当t 0 时，存在子集b j 使得t t 0 ，i l o 且t i = 0 ，i i 显然， 若i i o ，则 风，t ) 有界，存在o 屈 + 使得风j _ z i ；若i i 厶， 则l i m t n , i 风，i 0 由( 2 1 6 ) 知l i mk 有界注意到k _ a ，存在叩r 使得_ 叩由广的下半连续性可知，( h ，7 7 ) e p i f 奉同样，由于对任意 i i o0 屈 + ，我们有( 纯，屈一b i ) e p i 鲸则有 ( t p i ，t t ( 屈一玩) ) c o n e ( u e p i 9 ；) 诞，t jt j 由于( ，叼) e p i f ，因此( p ，口) c o n e ( e p i f 4u ( u 讵i e p i 9 ；) ) 结论成立 口 定义2 5 称仿射系统( 五 ) ： ) = ( p i ，z ) + 玩，p i ，b i r 竹，i = 1 ，2 ，m 是正线性无关的，如果对任意t i 0 满足 t i p i = 0 ，则一定有t i = o ，v i = 1 ，2 ，m 设，是任意非空下标集， 五：i j ) 是舯上的连续凸函数考虑下列凸不 等式系统： ( z ) o ，i ，。( 2 1 7 ) 设f 为 ：i j ) 的上确界函数，即 f ( x ) ：- - - s u p ( z ) ，z 廷n ( 2 1 8 ) i e l 则f 是r n 上的连续凸函数 第二章 不等式系统包含关系的对偶特征 8 令i ( x ) 为活动指标集，即 i ( x ) ：= i i ：五( z ) = f ( z ) ) ( 2 1 9 ) 进一步，令 i ( x ) ：= i i ( x ) ：五( z ) = o ) ( 2 2 0 ) 下面我们给出s l a t e r 条件和弱s l a t e r 条件的定义，可参看 1 5 】 定义2 6 称系统( 2 1 7 ) 满足 俐s l a t e r 条件，如果存在x o 瞅使得f ( x o ) 0 ； 一砂弱s l a t e r 条件，如果存在x o 舻使得 以i ( x o ) 有限且对于任意i i ( x o ) ，五是仿射函数i 例f o 连续且f o ( x o ) 0 ，其中f o 表示 五：i i i ( x o ) ) 的上确界函数： f 0 ( z ) ：= s u p 五( z ) ，。r p ( 2 2 1 ) i e i i ( x o ) 我们分别称满足( i ) ，( i i ) 的点x o 为系统( 2 1 7 ) 的s l a t e r 点，弱s l a t e r 点 注由上述定义可知， s l a t e r 条件兮弱s l a t e r 条件 一般而言，凸不等式系统( 2 1 7 ) 的特征锥不一定是闭的为保证它是闭集，我们 需要增加一些相应的假设下面我们讨论凸不等式系统( 2 1 7 ) 包含关系的对偶 特征的充分条件 命题2 7 令j = 1 ，2 ，m ) ，对任意i ，五：r n _ r 是凸函数若系统 ( 2 1 7 ) 满足弱s l a t e r 条件，且在弱s l a t e r 点z o 处仿射系统 五：i i ( x o ) ) 正线 性无关，则 c 1 c o n e ( u e p i 疗) ) o r ) = c 。n e ( u e p i 片) o 瓞) 扼f诞f ( 2 2 2 ) 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 9 证明设z o 1 1 跫竹是系统( 2 1 7 ) 1 搦s l a t e r 点对于任意i i ( x o ) ，记五为 五( z ) = ( p i ，z ) + b i ， 其中p i ，b i r n 则五( z o ) = o ，i i ( z o ) 且 仇：i i ( z o ) ) 是正线性无关的令 f 为 五：i ，i ( z o ) ) 的上确界函数，即 f ( z ) ：= s u p i 八m 。) i d z ) ， z r n ( 2 2 3 ) 则f ( z o ) 0 由于五，i i ，( 黝) 是下半连续函数，故f 也是下半连续函数 由参考文献【1 5 】可知 c o ( u e p i f * ) = c lc o ( ue p i f i * ) = e p i f + i l i ( z o ) i e l i ( z o ) 因此，( 2 2 2 ) 等价于 c le o n e ( e p if + u ( ue p i 疗) ) ) o 已) = c o n e ( e p if + u ( ue p i 片) ) ) o r ) i e i ( z o )i e i c x o ) ( 2 2 4 ) 设( p ，q ) c lc o n e ( e p if + u ( u j ( z 。) e p if i * ) ) 且p 0 ，下证( p ，口) c o n e ( e p if + u ( u t ，( 知) e p if i * ) ) 为此，设( ，n n ) c o n e ( e p if + u ( u j ( z 。) e p i 疗) ) 且( ，o t n ) 一 ( p ，a ) 则存在k 0 ，( k ，) e p if + 和t n , i o ，风，i 0 ，使得 = a n h n + t n , i p i ， ( 2 2 5 ) i e i ( x o ) ( 2 2 6 ) 设= i 讹。) t n , 考虑如下几种情形 情形1 s u pk = + o o 不失一般性，我们假设k _ o 。由引理2 4 ( i ) 知q n o o 这与q n q + o o 矛盾这说明s u ph = + 。o 是不可能的 情形2 s u p 死= + 不失一般性，我们假设瓦_ 。由于一弘，因此 瓦a n h ；蒹，瓦t n , i 轨2 舞训 ( 2 2 7 ) 玩 一 风叭k 如 + 一 i i o 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 1 0 注意到炬讯。) 等= 1 ，由协：i j ( 黝) ) 的正线性无关性可知，炬，( 善。) 等轨呐 0 ，故舞h 计0 ，从而l l h n 0 _ + ( 因为s u p a 几 + o o ) 由( 2 2 6 ) ，( k ，) e p ip ，如i 0 和风j 0 ，可得 o l 竹= h + t 讹。) 如，t ( 风， 一b i ) = 竖掣+ 硼训t ( 风i - 玩 ( 2 2 8 ) l l 肛n 一t j ( z 。) 亡n ，t p ii lf 。 ( h o 。) 一t j ( z 。) t n ， 玩 、。7 = 瓦( 1 l 镑一诞j ( 知) 番鼽i i 与等铲一；，( z 。) 等阮) 。 另一方面，由于f 有限，故f 4 是1 - c o e r c i v e ( 见 2 6 】， 2 7 】) ，从而帛翳一+ 此外，由于一p 且i m 。) 簪鼽讲0 ，故i l 舒一诞j ) 簪仇l l 嵴0 显然 i 砒。) 等玩是有界的从而，由( 2 2 s ) ，我们知口n 一+ o o 这与q n _ a + 矛盾因此，s u p 死= + 也是不可能的 情形3 0 i n fh 冬s u ph + o 。 不失一般性，我们可假设入n _ a ，其中0 a + o o 近一步，由情 形2 中讨论所述，我们假设l t ，其中t + o o 因此，由引理2 4 ( i i i ) 可知， ( p ，o z ) c o n ec o ( e p if + u ( u 诞尬。) e p i 疗) ) 结论成立 情形4 a n _ 0 类似地，我们可假设死一t ，其中t + 。o 现在，我们进一步考虑t = 0 和t o 两种情形 ( a ) t = 0 当t = 0 时，t = o ，i ( x o ) 显然，由( 2 2 5 ) 可知l i r aa n h n = p 0 由 h 一0 ，可知i l k | i _ + o o 又由于| | 一 如。) k j 鼽l i _ 肛0 故由引 理2 4 ( i i ) 可知q n _ + ，这与o t n o l + o o 矛盾 ( b ) t 0 由( 2 2 5 ) 可得 l i ma 扎h 几= p 一协p i ( 2 2 9 ) i e i ( x o ) 其中t t = l i mt 删，i i ( z o ) 再分如下情形讨论 ( 1 ) 存在h r n 使得l l 一o o ， 其中第一个不等式是由于( h n ，) e p if + ，而第三个不等式成立是因 为f 是真凸函数故l i ma n 0 ，从而有 q = l i m q n = l i m a n + l i m t j ( z 。) 亡n ，t ( 风j 一玩) l i me t ，( z 。) 如， ( 风，i 一魄) 对任意的i i ( x o ) ，若t t 0 ，则 风，0 有界，故存在屈使得0 屈 + 且风，t 一屈显然，慨，屈一b i ) e p i 疗，故 ( 溉p i 屯( 屈一玩) ) c o n e ( ue p if * ) i e i ( x o )i e i ( z o )i i ( x o ) 因此，( 肛，q ) c o n e ( ( j i j ) e p if * ) 结论成立 ( 2 ) i i k i i _ + o 。 由引理2 4 ( i i ) 可知，如果| l 一 舡。) t n j 鼽i j 卅0 ，则q n 一+ o 。，这 与口竹_ q + 。o 矛盾所以我们可假设l l 一挺m 。) t n , , 鼽l l _ 0 ，即 p = j ( z 。) t i p i 因为( k ，) e p i f + 且f + 是1 - c o e r c i v e 的，我们有 _ ) = 错洲一慨 从i i i l i mx n 0 与( 1 ) 同样可证结论成立 口 命题2 8 令，= 1 ，2 ，m ) ，对任意i i ，五：r n _ r 是凸函数若系统 ( 2 1 7 ) 满足弱s l a t e r 条件，x o 为该系统的弱s l a t e r 点对于任意i j ( z o ) ，记仿 射函数 为 ( z ) = p i ，z ) + 玩，其中p t ，b i p ，令m = c o n e p i ：i j ( z o ) ) 则 。 c l ( c o n e ( u e p i z ) ) m r ) = ( c 。n e ( u e p i 片) ) m r ) jt j ( 2 3 0 ) 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 1 2 证明设f 为( 五：i j i ( x o ) ) 的上确界函数： f ( x ) ：= s u p i e l 如。) ( z ) ，z r n ( 2 3 1 ) 故f ( x o ) 0 由参考文献【1 5 】， c o ( ue p i f * ) = c lc o ( u e p i f * ) = e p i f + i e i i ( z o ) t 八j ( o ) 因此，( 2 3 0 ) 等价于 c l ( c o n e ( e p if + u ( ue p i 片) ) ) m r ) = c o n e ( e p if + u ( ue p i f * ) ) m x i r i e i ( z o ) i e i ( x o ) ( 2 3 2 ) 任取( p ，q ) c lc o n e ( e p if + u ( u i j ( z 。) e p if * ) ) 且p 譬m ，下证( p ，a ) c o l l e ( e p if u ( u 坨，) e p if * ) ) 为此，设( ，q n ) c o n e ( e p if + u ( u t 缸。) e p if * ) ) 且( 加，q 竹) _ ( p ，口) ，则存在k 0 ，( h ，) e p if + 以及t n , l o ，风0 ，使得( 2 2 5 ) 和 ( 2 2 6 ) 成立下面考虑如下几种情形 情形1 s u ph = + 与命题2 7 的情形1 同样可证，s u pa n = + o o 是不可能的 情形2 s u p 孔= + 不失一般性，我们可假设死_ o 。由于p 譬m ，可知i i 一e 挺佩。) t n , t 见l l 嵴 0 ，故 h l l k l i = l l 一k ，t 仇i l 唧0 ( 可能为+ o o ) ( 2 3 3 ) i e i ( x o ) 现分如下两种情形讨论： ( a ) i i h n i l _ + 注意到x o 是系统( 2 1 7 ) 的弱s l a t e r 点，由( 2 2 5 ) ， ( ，x o ) = k ( k ，x o ) + e 诞j ( 茁。) 钒，x o ) = k ( k ，x o ) 一 尬o ) t n ，i b i 再由( 2 2 6 ) ，我们可得 q n = 入n t i n + e i j ( z 。) t n , i ( 风j b i ) a n 7 k 一 ，( z o ) k ，t 阮 = a 竹+ ( p 礼，z o ) 一入n ( h n ，：g o ) h i i h n i l ( 褂+ 锊一蝌) 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 1 3 由于f + 是1 - c o e r c i v e 且锗壬n 必 j h n l 有界，因此q n _ + 。o ，这与口n q + 。矛盾 ( b ) 存在h p 使得忱i l + o o 且h n h 由于铷是系统( 2 1 7 ) 的弱s l a t e r 点，有 t n , i b i = 一亡嘶慨，z 。) = k ( 九n ，x o ) 一( x o ) i e i ( = o )i e i ( = o ) 由情形1 可知，l i r aa n + ，故存在a r n 使得入n 一入故 注意到 q n = h + 椰( 风l 一玩) a n 一t 州玩 i d ( x o )i e i ( = o ) ( 2 3 4 ) 我们知，_ k ) 有界由于k | i k 0 书0 ，知k 书o ，因此 】有界我们不 妨设存在_ r 7 舯使得_ 叼由f + 的下半连续性，知( h ，卵) e p i f 4 另一方面，由于 加一k k = t n , i p i ， i e i ( = o 及n k = 训风厂玩) 一t n , i b i i e i ( = o ) i e i ( = o ) 且慨，一b i ) ee p i 片，因此有( p a h ，o t 一却) c o n e ( u 伯如。) e p is t ) 故 ( 肛，q ) = ( ，叼) + ( 肛一, k h ，q a 7 7 ) c o n e ( e p i f + u ( u e p i f * ) ) i e i ( = o ) 结论成立 情形3 0 i n fk s u ph + o 。 不失一般性，我们可假设k 一入，其中0 a + 。o 由情形2 的讨论可 知，存在t + o 。使得死_ t 由引理2 4 ( i i i ) 可知，( p ，q ) c o n e ( e p if u ( u i ，( z 。) e p if ；) ) 结论成立 z p z 危入 | l 如 mh 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 1 4 情形4 k _ 0 由于p 簪m ，得k i i k | l = i b n 一诞j ( 2 。) t n ，t a i i 啊0 ，从而i i h i i _ + o o 由 情形2 可知 r ) 有界由引理2 4 ( i i ) 可知a 札一+ o 。，这与o l 仉_ a ( 2 3 8 ) 由于e p i 昭是凸锥，则k 可表示成： k = e p i 蛄+ c o n e u t t e p i 片) ( 2 3 9 ) 令 a ：= z c ：五( z ) 0 ，t t )( 2 4 0 ) 表示约束系统盯的解集我们假设a 非空 令兄( ：= a = ( 九) 蚝t ：九r ，t e 且只有有限个九o ) ，r # 为r ( 刁 中的正锥显然，r ( r ) 是 r t 的拓扑对偶空间，赋予乘积拓扑，且 a ( 札) = = e 概，v u 妒，v 入r n t e t t e t e t ：a t o 设j 是任意的下标集， m ：i i ) 为线性子空间簇，g 表示，的所有非空有限 子集的全体则 c o n e ( u 斛k ) = u 憾c o n e ( u j j y j ) = u j g ( c o n ey j ) j e j 由( 2 3 ) 口- f f j 得 e p if 4 上c lk = c c c = c e p i ，+ c l ( 印i 娓+ c o i l e ( u t e t e p i 疗) ) e p i f + + c l ( e p i 5 兰, + u a r z ) e p i ( t t a t ) + ) e p i ，+ + c 1 ( u a r pe p i ( 5 c + e t 丁a t ) + ) ( 2 4 1 ) e p if + + c l ( e p i 娃) 、 e p i 广+ e p i 5 1 e p i ( ，+ 以) ， 第二章 不等式系统包含关系的对偶特征1 6 其中，第四个包含关系是由于( 2 4 ) 和对于任意入= ( 入。) t ? r 了，有6 c + 挺t 九五以，第五个等式成立是由于眩为下半连续 命题2 1 1 设c 是融的闭子集，五，t t 是p 上的下半连续函数若，在 d o r a ，na 中有连续点，则函数族 如；五：t t ) 满足? e p i ( ，+ 以) + = e p i ，+ + c lk 证明由已知条件可知以是下半连续的进一步由【6 ，( 3 1 ) ，知 因此，由引理2 1 可得 e p i 眩= c l k e p i ( ，+ 6 a ) + = e p i ，。+ e p i 眩= e p i f + + c l k ( 2 4 2 ) 口 定理2 1 2 设i 为任意下标集，慨：i ，是r n 上的真凸函数如果对任意i i ，函数族_ 5 c ；五：t t ) 满足? 则下列命题等价： e p i ( 妒t + 以) + = e p i 簖+ c lk ， 俐 z c ：五( z ) 0 ，t t ) _ z c ：妒t ( z ) 0 ，i ) 一砂对任意i i ，0 e p i 妒；+ c lk ( 2 4 3 ) 证明( i i ) 兮( i ) 假设( i i ) 成立令 ：= s u p t t ，a ：= z c ：f o ( x ) o 】， 则c la ：= z c lc ：( c l f o ) ( z ) o ) 显然，a c la 且e p i5 c l a e p i 眩由于 c l a 是闭凸集且靠= ( c l a ) + ，则由【6 ，( 3 1 ) 】可知 e p i 酷a = c lc o n e ( e p i 鲒c + n t ? e p i ( c l ) + ) = c lc o n e ( e p i 蛄+ n t t e p i f ；) = c lk 设z a 由( i i ) 成立，对任意的i ，存在( 乱：，n ) e p i5 毒a e p is 盖，使得 ( 一钆；，一r t ) e p i 饼由上图和共轭函数的定义，我们知( 饥；，z ) 眩( u ；) r t 且 一r t 妒；( 一u ；，z ) ( 一u i + ，z ) 一妒t ( z ) 因此妒i ( z ) 0 第二章不等式系统包含关系的对偶特征 1 7 ( i ) 令( i i ) 假设( i ) 成立记b i ：- - - - - z c ：协( z ) o ) 则对任意i i ， a 垦尻当且仅当慨十以0 因此，由( 2 4 ) ，我们知0 e p i ( 妒 + 以) 由( 2 4 3 ) ， 有 0 e p i + c lk 口 设，是任意指标集对任意i i 和t t ，设慨，哦，g t ：p _ 茛 是真凸函数特别地，设忱和g t 是下半连续函数对任意乱= 【“；) 1 - i t 6 t d o m g ；，( v i + ，r