（固体地球物理学专业论文）块状结构大地电磁综合反演方法研究.pdf

摘要 摘要 针对在石油勘探中常常遇到大块具有均匀电导率的地质单元被尖锐边界分隔 的情况，c a t h e r i n ed eg r o o t - h e d l i na n ds t e v e nc o n s t a b l e 构建了一种新的 反演方法，首先从模型的构建上着手，把地质结构表示为有限数量的具有均匀 电导率的层。这些层的厚度在横向上是变化的，反演的参数是各层的电导率值 以及各层在横向上的深度( 即地质单元的界面) 。通过引入光滑限制条件以及控 制地质单元之间电导率的差异的办法来使反演稳定。他的反演方法是线性反演 方法，要计算偏导数矩阵，即使采用互易定理，计算量也非常大，大大的影响 了反演的速度。 快速松弛法( r r i ) 在解决横向电性变化平缓的地质结构的反演中具有简易的 偏导数计算方法，计算量很小。本文在深入研究了各种大地电磁反演方法的基 础上，把r r i 法与c a t h e r i n ed eg r o o t - h e d li na n ds t e v e nc o n s t a b l e 的模型 构建方法结合起来，提出了种具有明显电阻率差异界面的二维m t 快速反演方 法，每次反演只需要做一次j 下演，可以快速反演横向电性变化平缓的块状电性 结构的界面。 在反演计算中，偏导数矩阵的计算是关键。在反演过程中偏导数矩阵的计算 消耗了大多数的计算时间。r r i 法通过对当前模型计算出来的场值进行积分得到 测点对其下某一层的电阻率的偏导数，它在每一次反演迭代中只需要做一次正 演，这样节约了大量的时间。 但是，r r i 法求出的偏导数实际上是一维的偏导数。在r r i 法中，反演是单 点的一维反演，而c o n s t a b l e 的偏导数是对地下一定长度的层深度变化的偏导 数，是二维偏导数，因此要把r r i 法计算的偏导数转化为二维偏导数。本文通 过对比一维偏导数与c o n s t a b l e 对地下一定长度的层深度变化的偏导数，计算 了修f 系数，利用这个修j 下系数把一维的偏导数转化为二维的偏导数。 通过把r r i 计算的偏导数转化为二维偏导数，并且在偏导数矩阵中只保留对 本测点下的模型参数的偏导数，而忽略掉对其他测点下的参数的偏导数，形成 一个近似的偏导数矩阵。通过大量的模型实验证明，这种近似处理是可行的。 在反演的过程中，为了反演的稳定，消除多解性，在反演的目标函数中加上 最平限制条件，此外在反演过程中对界面还进行了圆滑处理。在反演前首先对 摘要 实测数据进行了插值加密，使得测点个数与要反演的每层的深度数相同，这增 加了数据量，可以有效地减少多解性，但采用本文反演方法在计算偏导数时并 不增加计算量。 利用本文的方法，采用有限单元法编制了正演计算程序，以此为基础编制了 反演计算程序，对大量的理论模型及实际数据进行了试算分析，证明了本文二 维大地电磁界面快速反演方法的快速及有效性。 最后，关于进一步工作的方向进行了简要的讨论。 关键词：大地电磁，块状电性结构，快速松弛反演，雅可比矩阵，有限单元法 i l a b s t r a c t a b s t r a c t i na c c o d a n c ew i t ht h es o r to fg e o l o g i c a ls t r u c t u r et h a tt h es u b s u r f a c es t r u c t u r e c o n s i s t so fg e o l o g i c a lf o r m a t i o n so fn e a r l yu n i f o r mc o n d u c t i v i t ys e p a r a t e db ys h a r p b o u n d a r i e s ( s a n d w i c hs t r u c t u r e ) ，c o n s t a b l ee t c d e v e l o p e dal i n e a r i z e da l g o r i t h mt o i n v e r tt h en o i s y2 - dm a g n e t o t e l l u r i c ( m t ) d a t a t h e yr e p r e s e n tt h ee a r t h ss u b s u r f a c e i nt e r m so f2 dm o d e lc o n s i s t i n go fal i m i t e dn u m b e ro fl a y e r so fl a t e r a l l yv a r y i n g t h i c k n e s s ，e a c hh a v i n gu n i f o r mr e s i s t i v i t y t h ep a r a m e t e r sa r et ob ei n v e r t e da r et h e r e s i s t i v i t i e sa n dt h ed e p t h so fe a c hl a y e r i no r d e rt om a k et h ei n v e r s i o ns t a b l e ，t h e yp e n a l i z ev a r i a t i o n si nt h eb o u n d a r y d e p t ha n dt h ec o n t r a s t si n t h er e s i s t i v i t i e so fa d j a c e n tu n i t s t h e ye m p l o yt h e r e c i p r o c i t yt oc a l c u l a t et h e2 - dm tj a c o b i a ni n f i n i t ee l e m e n t s ，w h i c hn e e da l o to f c o m p u t a t i o n t i m e r a p i dr e l a xi n v e r s i o n ( r r i ) g i v eas i m p l em e t h o dt oc a l c u l a t et h ej a c o b i a n ， w h e nt h el a t e r a lr e s i s t i v i t yv a r y i n gs l o w l y o n en e e do n l ys o l v eo n ef o r w a r dp r o b l e m t oc a l c u l a t et h e ja c o b i a n i nt h i sp a p e r , af a s tm e t h o do f2 一dm ti n v e r s i o nh a sb e e nd e v e l o p e db ym i x i n g t o g e t h e rt h er r ia n dt h em e t h o do fc o n d t a b l ee t c t h i sm e t h o du s e st h er r it o c a l c u l a t et h ej a c o b i a na n de m p l o y st h em o d e ls t r u c t u r eo fc o n s t a b l ee t c t h ed i f f i c u l t yo ft h i sm e t h o di sh o wt oc a l c u l a t et h ej a c o b i a nu s er r i ，b e c a u s e t h ej a c o b i a ng o t t e nd i r e c t l yf r o mr r ii s1 一df o r m ，b u tt h ec o n s t a b l e sm e t h o dn e e da 2 - dj a c o b i a n aa p p r o x i m a t er e l a t i o nh a sb e e n f o n d ，t h a ti s ，2 一d d e r i v a t i v e c o n c e r n i n gt h ed e p t hi sd i r e c tr a t i ot ot h el dd e r i v a t i v ei nt em o d e l a n dt h er a t i oi s o n l yr e l a t e dt ot h el a y e rd e p t ha n di sn o tr e l a t e dt ot h er e s i s t i v i t i e so f e a c hl a y e rw h e n t h ef r e q u e n c yi st h es a m e u s i n gt h i sr e l a t i o n ，aa p p r o x i m a t e2 一dj a c o b i a ni sg o t t e n i ne a c hs i t e ，i to n l yc o n s i s t st h ed e r i v a t i v e sc o n c e r n i n gt h ep a r a m e t e r sr i g h tl o c a t e b e l o wt h es i t e t h em e t h o dd e r i v e di nt h i sp a p e re m p l o y sf i n i te l e m e n tm e t h o d ( f e m ) t os o l v e t h e2 - dm tf o r w a r dp r o b l e ma n du s e st h ea p p r o x i m a t ej a c o b i a nt oi n v e r tt h e2 - dm t 1 1 1 a b s t r a c t d a t ai nt em o d e l 。l i k et h er r i ，o n en e e do n l yt od oo n ef o r w a r di ne a c hi t e r a t i o n ， t h a ts a v eal o to ft i m ec o m p a r et ot h em e t h o do fc o n s t a b l ee t c i no r d e rt om a k et h e i n v e r s i o ns t a b l e t h eb o u n d a r i e sa r es m o o t h e di 1 1e a c hi t e r a t i o n f o ri n v e r t i n gm o r e e l a b o r a t em o d e l ，t h em td a t aa r ee x p a n d e dt od a t ao fm o r es i t e s ，b u tw h i c hd o s e n t a d dc o m p u t a t i o nt i m eo fi n v e r s i o n b a s e do nt h em o d e l sc a l c u l a t i o nr e s u l t sa n dt h er e a lo b s e r v e dm td a t a ，t h e m e t h o dd e r i v e di nt h i sp a p e rh a sb e e nt e s t i f i e da saf a s ta n da c c u r a t em e t h o d i nt h ef i n a l i t y , t h ep r o b l e m sr e q u i r i n gf u r t h e r s t u d i e sa r ed i s c u s s e d k e yw o r d s ：m a g n e t o t e l l u r i e ，s a n d w i c hs t r u c t u r e ，r a p i dr e l a xi n v e r s i o n ，j a c o b i a n ， f i n i te l e m e n tm e t h o d i v 学位论文版权使用授权书 本人完全了解同济大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：礅东戤 饧卯f 年罗月e 髟日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在二年解密后适用 学位论文作者签名： 娜罗年罗月 同济大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 第1 章引言 第1 章前言 1 1 大地电磁反演方法概述 自从5 0 年代苏联的a n t i k h n o v d3 和法国的l c a g n i a r d d 3 提出大地电磁 测深法( m a g n e t 6 t e l l u r i c ( m t ) s o u n d i n g ) 以来，m t 法在理论和实践上都得到了 很大的发展。近几十年来国内外众多专家针对m t 的理论研究相继出版了许多系 统性的专著n 叫别。现阶段，m t 的应用范围主要是：研究地壳和上地幔结构： 探测沉积笳地结构，寻找含油气阳远景区：勘探地热阳：寻找水源和良 导性矿产；通过监测地壳深部电阻率随时间的变化来研究天然地震预报等。 国内外在这方面已经进行了大量的应用，并取得了很大的成功。在我国，m t 广 泛地用于探测沉积笳地结构，划分二级构造单元，寻找含油气有利构造，为地 震勘探提供靶区，划分岩性，预测含油气有利层段。此外，m t 在地震工作困难 的山区，地震勘探难以得到中、深层资料的南方碳酸盐岩区以及其它区域等都 发挥过重要作用。m t 的应用缩短了油气的勘探丌发周期，节省了成本，起到了 其它物探和化探所不可替代的作用，已经成为一种必不可少的勘探手段。 大地电磁的研究离不丌数值模拟计算方法，同时大地电磁的反演也离不丌 各种数值模拟计算方法。目前常用的方法主要有：解析近似解法、有限元法、 积分方程法、有限差分法、边界元法n 3 “钔等等。其中： 1 解析近似法：多用于研究的早期，用于电磁响应的计算和一维介质 模型及简单形体的计算乜j 毛岫1 ； 2 有限单元法：对导电性分命比较复杂的地电断面或空间，是一种有 ：效的模拟技术手段，其中早期的研究以j h c o g g o n 引和j r i j i o ( 1 9 7 7 ) 刖的研究结果为代表。通过对给定有限单元网格定义一组基 函数而将问题转化为求解未知值的一组线性方程组。随后国内外对 有限单元法的研究更加深入n 蝴1 ，现今有限单元法已经成为多维电 磁数值模拟的一个重要手段： 3 积分方程法：八十年代后期，该方法被广泛应用于三维电磁问题的 数值模拟啪娟1 ，以p e w a n n a m a k e r 1 和w a s a nf i l i p o 2 3 的研究 第1 章引言 成果为代表。其特殊优点在于只需要计算异常区域对场的贡献，因 而特别适用于对导电介质中的一个或者多个三维形体的电磁响应 的计算； 4 有限差分法：是将m a x w e l l s 方程组对磁场或者电场的矢量方程 根据特殊问题需要改写成场各个分量形式的标量微分方程，并将方 程中对空问或者时间的导数用差分形式近似，从而使得原来的微分 方程变为一个离散的差分方程，对该方程附加初始条件及边界条 件，便可以求解以各个场分量组成的矩阵方程组。微分的差分近似 可以有不同的形式，如常用的中心差分、两点向前差分或者向后差 分等等形式。有关有限差分的研究成果比较多。卅鲥1 ，m l o r i s t a g li o 等h 0 1 1 9 8 4 年曾用d u f o r t f r a n k e l 差分格式研究了时间域电磁场在 二维介质中的扩散，陈百舫嵋2 3 3 则对前人的相关研究成果做了归纳 总结。 大地电磁反演，特别是二维反演技术在过去的几十年旱得到了较快的发展， 有许多相对成熟的技术瞄5 - 。 大地电磁的反演按维数也可分为一维、二维、三维反演方法。一维的大地 电磁反演理论比较成熟，方法众多。例如b o s t i c k 以低频区视电阻率曲线尾支 渐进线特征为基础，创造性的给出了m t 一维b o s t i c k 反演公式拍。理论和实践 证明该方法虽不能很好拟合观测数据但却能直观地给出地电断面的基本特征， 所以得以广泛使用至今。b a s o k u r 提出了m t 剥皮法啪川，采用层剥离思想，只 需要给出第一层的电阻率便可以递推地求得地下电性层参数。为了适应连续介 质的情况，o l d e n b u r g 给出了m t 连续介质反演法蹭刳，w e i d e l t 等基于量子散射 的薛定谔方程给出了一维m t 逆散射反演法p 3 州1 ，随着计算机和最优化理论的发 展，基于线性广义反演的梯度法、阻尼最小二乘法、广义逆法等在m t 的反演解 释中得到广泛的应用一5 9 6 1 。 虽然从原理上讲二维和三维反演方法在本质上是一致的，然而高维m t 的反 演方法相对薄弱。早期的二维m t 反演方法是形式化的解释法，即用一维的反演 结果排在。起构成二维地电剖面拍1 。理论和实践表明这种方法在某些情况下能给 出地电断面的基本特征但却有畸变阳7 1 ( 阮百尧) 。7 0 年代后许多专家学者提出用 最优化方法进行二维m t 反演。这种方法的本质与一维反演一样，都是在最小： 乘意义下拟合观测数据。如c o n s t a b l e 等1 9 9 0 提出的求最平缓构造的o c c a m 反 2 第1 章引言 演法洄- 7 订和s m i t h 等1 9 9 1 提出的快速松弛反演法h 2 - 7 5 1 ( r a p i dr e l a x a t i o n i n v e r s i o n ，简称r r i ) 随着维数的增加，求解的计算量巨增，解的非唯一性更加严重，解的稳定 性变差。o l d e n b u r g l 9 9 4 砷刚年指出，实现高维m t 反演问题方法的主要难点有三 个：1 高维的m t 正演问题计算时间较长；2 高维的m t 反问题的雅可比偏导数 矩阵的计算时间更长：3 求雅可比偏导数矩阵的逆或者解大型反演方程组的非 唯一性更为严重。传统的求雅可比矩阵是用有限差分法 珥蚓，这就要求做反演参 数个数一样多次的f 演。采用互易定理，可将偏导数的计算次数减少到观测点 数目帅m ，这仍然需要做多次f 演，计算成本大。关于计算偏导数的文章还有 不少n 毗1 0 4 o 但他们的计算量都比较大。为避免二维的m t 反演求雅可比偏导数矩 阵的计算量大的问题，8 0 年代术9 0 年代初，不同的学者提出了不同的方法提高 了高维m t 反演的速度。s m i t h 等提出用前一次迭代二维正演产生的电磁场来近 似场的水平梯度。据此可用类似一维反演的方法求各测点下的模型修改量，该 法称为快速松弛反演法竹2 啪1 ( r r i ) ，他用近似的方法来计算雅可比矩阵，减少了 内存需求，极大的提高了反演速度。g a c k i e 等人则提出用共轭梯度法m 制来求 解反演方程从而避免了求雅可比矩阵的逆，比传统的基于最小二乘的反演方法 快，但是比r r i 法慢。 自8 0 年代以后，地震技术被逐渐引入到电磁场中柬，k a d i n e s 与 r j 1 y t l e 0 5 j 删的研究实现了与地震资料处理方法( 层析射线成像法) 相类似的 处理大地电磁资料的先例。基于电磁波在导电介质中的传播与地震波在弹性介 质中的传播具有相似性而建立起来的这种反演解释方法，这些年来有了很大的 发展，出现了如拟地震解释法0 7 - 。m 1 、波场变换法7 引、相位移偏移法铲心， 以及电磁场偏移成像2 卜啪1 以及偏移与反演结合的方法4 0 - h 舶等。 偏移成像技术是对物性界面的成像，而传统的反演法则是求最佳拟合意义 下的分布式地球物理参数，长期以来这两种方法缺乏有机的结合。1 9 8 4 年法国 的地球物理学家t a r a n t o l a t m 在用声波方程对反射地震数据的反演时才首次将 偏移与反演结合起来。通过对声波方程的扰动分析，并用g e e n 函数法求其扰动 场，最后可以求出目标泛函对模型参数的导数等于反传波场与j 下传波场的关联 度( 积分域为时间) 。以此可以求出研究区域内每一点波场相对于模型参数的梯 度，从而可用各种最优化方法如最速下降法、共轭梯度法等柬求解。这种方法 在每一次迭代反演过程中只需要一次j 下传波场的j 下演计算及一次反传波场的计 3 第1 章引言 算，而反传波场又可以等效为逆时偏移场，可以采用波动方程偏移技术进行计 算，故而称为波动方程反演法。z h d a n o v n 3 门将地震偏移理论被引入到电磁场中。 电磁场成像技术也逐渐发展成为电磁法反演研究中的一门新方法。 w a n g 等1 9 9 4 圳年采用该技术财瞬变电磁场做二二维反演获得了满意的效果， z h d a n o v 等n 艏j 3 7 1 则丌始了用该技术研究时间域和频率域的电磁测深的二维、三维 反演问题。z h d a n o v 等人经过借鉴地震中的逆时偏移概念，提出了偏移电磁场的 概念。针对m t 的偏移成像时在频率域中实现的。其基本思想是：对扩散的电磁 场不是转换成波场而是将地震波场从地面向地下反向外推进行偏移成像的方法 用于对电磁场的解释，形成了电磁偏移方法。电磁场偏移研究电磁场的上行波。 利用有限差分法，以反向扩散传播方式使各个场源归位。根据向下传播的偏移 电磁场的相位与原来上行波场的相位在介质分界面上相同的条件，可以构建产 生响应的地下电性界面以及电阻率成像。国内师学明 1 ，于鹏6 3 一1 也做了这方 面的二c 作，尤其是于鹏在推导电磁场有限差分方程中通过保留波数对水平方向 的一阶导数项，使差分方程精度和成像分辨率得到了提高，并且在背景电导率 的确定、t e 和t m 模式的联合反演和再次成像以及多参数反演等方面取得了重要 进展，使m t 偏移成像研究从简单模型实验走向实际资料的处理。 p m a n r i e l l o 和d p a t e l l a ( 1 9 9 7 、1 9 9 9 ) 憾h 孔提出了一种基于能量密度 理论的成像方法一天然电磁场感应场概率成像。基本原理是使用一个概率成像 方法判别因电性不连续面而形成的电荷积累和导电体内感应电流所在的最可能 的位置。该方法引入了电磁能量密度概念，将地面频率域电磁场观测值描述为 由激励电荷或电偶极子在空问单元作用的总和，从而将观测场相关的总能量与 地下极化电荷或电偶极子的极化场相关联，是一种基于概率论的新的成像方法。 不用求解大型线性方程组，而把要求的地质体的几何形态以多大的可能性呈现 某个轮廓的方式给出结果。 近年来，大地电磁反演研究的个热点是非线性技术。非线性技术主要包 括遗传算法、神经网络、模拟退火算法、混沌算法和小波分析等。一些基于非 线性最优化的算法也逐渐应用于m t 反演中来。如蒙特卡罗反演法们、模拟退火 反演法。i 遗传算法反演法( 如过仲阳等伯一驯) 、神经网络反演法t 洲、基十小 波理沦建：就起来的多尺度反演法等等呻。 传统的反演方法采用线性化方法，这些方法一般都是局部最优化算法。它们 一般利用当前模型的信息来计算模型的修改值，通常它们需要良好的初始解， 4 第l 章引言 并且按梯度下降方法搜索以找到同初始解最近的局部极小值，因此它们的结果 依赖于初始模型，并且容易陷入局部极小值的误区，但它们的收敛速度较快。 为了克服线性反演结果过分依赖初始模型的弊端，研究重点和注意力开始向 非线性反演方法的研究转移。非线性最优化方法般是全局最优化算法，它们 对初始模型的选择不十分敏感，并且偶尔能接受比较差的模型，这使得它们能 够避免陷于局部极小值，它们一般不需计算梯度，然而因为它们搜索的盲目性， 使得其收敛速度较慢，很费计算时间。 1 2 论文研究目的、内容和研究进展 大地电磁各种反演方法从不同的角度用不同的思路来解决m t 反演问题。各 有优缺点，应用条件也各不相同。在实际的勘探中，地下的地质结构特征也各 不相同。在一个地区应用非常成功的方法换到别的勘探区域就不一定能适用， 反而有可能给出错误的结果。所以应该针对不同的地质条件来构建并选择反演 方法。 在石油勘探中常常遇到大块具有均匀电导率的地质单元被尖锐边界分隔的 情况，当知道地下具有明显电导率差异的地质机构时，采用块状结构的模型就 非常有用了。z h d a n o v2 0 0 2 年提出了一种使异常电导率所在的区域达到最小来 反演地下结构瓢1 ，另一种方法是直接求耿地质单元的边界位置。如 m a r c u e ll o - p a s c u e l 等( 1 9 9 2 ) n 捌。他们的方法是已知单元电导率，仅仅反演 单元边界位置，而边界是由简单的几何函数来表示。s m i t h 等1 9 9 9 提出了一种 反演方法可以向时反演地质单元的光滑边界以及单元内横向变化的电导率值 【1 5 ：l o c a t h e r i n ed eg r o o t h e d l i na n ds t e v e nc o n s t a b l e 构建了一种新的反演 方法甜1 ，首先从模型的构建上着手，把地质结构表示为有限数量的具有均匀电 导率的层。这些层的厚度在横向上是变化的。反演的参数是各层的电导率值以 及各层在横向上的深度( 即地质单元的界面) 。通过引入光滑限制条件以及控制 地质单元之问电导率的差异的办法来使反演稳定。他的反演方法是线性反演方 法，要计算偏导数矩阵，即使采用互易定理，计算量也非常大，大大的影响了 反演的速度。因此有必要研究快速、准确的大地电磁反演方法。 r r i 法具有简易的偏导数计算方法，并且r r i 法已经是一种很成熟的方法， 5 第1 章引言 在大量的实践中证明了他的快速及有效性。因此本文针对块状电性结构把r r i 法与c a t h e r in ed eg r o o t - h e d li na n ds t e v e nc o n s t a b l e 的模型构建方法结合 起来，提出一种具有明显电阻率差异界面的二维婀快速反演方法。与原来的方 法相对比，在满足一定精度的前提下，极大地提高了反演的速度。同时也是对 r r i 法应用的扩展。 本文的主要研究内容是： 1 如何将r r i 法计算偏导数的方法与块状结构大地电磁反演法相合。 2 对r r i 法计算的视电阻率对层深度的偏导和c o n s t a b l e 二维偏导进 行研究对比。寻求把一维偏导转变为二维偏导的方法。 3 对雅可比矩阵的近似处理研究。 4 如何使反演过程稳定。 5 对两层模型，三层模型，四层模型以及一些在地质上具有典型意义 的模型进行了试算以及对结果进行分析研究。 6 对实测的大地电磁测深数据进行了2 一d 反演研究。 6 第2 章基本原理 2 1 引言 第2 章基本原理 由于任何实际的大地电磁数据都是包含误差的有限个数的数据。因此寻找他 的响应最能拟合观测数据的地质模型的非线性地球物理反演问题是病念的，存 在无限多个模型在一定的拟合差之下都能拟合观测数据。因此反演的任务就变 为建立一个选择标准去缩小模型的范围，使得反演结果为那些具有先验特征的， 最有可能的模型。所以2 维大地电磁反演方法可以根据选择标准不同进行分类。 参数化的反演方法( 如 j u p p a n d v o z o f f , 1 9 7 7 ；o r i s t a g l i o a n d w o r t h i n g t o n ，1 9 8 0 ) n j 蚓是去寻找最接近某些理想形式的模型。以这种方法 为基础的解释方法包括根据先验地质知识构建一个m t 断面，然后通过最小二 乘反演来计算电导率。这些方法高度依赖于模型的参数化以及先验地质信息的 准确性。 另外一种方法就是过参数化。即把模型分解为比观测数据多的参数，然后 通过正则化的方法来限制反演的过程( t i h o n o v 1 9 6 3a ，b ) n 诋晤引。正则化包括 同时最小化数据拟合差和某些不想要的模型的特征。现在一个标准的方法是寻 找能够拟合数据的最光滑的模型。在很多文章中可以找到不同的对光滑度的定 义。如r o d i ( 1 9 8 9 ) n ，d eg r o o t h e d l i n 和c o n s t a b l e ( 1 9 9 0 ) ，s m i t h 和b o o k e r ( 1 9 9 1 ) 1 7 ：, 1 ，u c h i d a ( 1 9 9 3 ) 钏，r o d i 和m a c k i e ( 2 0 0 1 ) 等等。强加这些限制条件后，可以 使反演变得稳定并且能避免引入虚假电导率( 这些电导率仅仅是由反演方法所 引起的假的结果) 。 然而在石油勘探中常常遇到大块具有均匀电导率的地质单元被尖锐边界分 隔的情况训，反演过多的参数往往会制造出与实际情况不符合的地质构造。采 用块状结构的模型能够很好地描述这种地质构造。c a t h e r i n ed eg r o o t h e d li n a n ds t e v e nc o f i s t a b l e 构建了一种反演方法圳，他首先从模型的构建上着手， 把地质结构表示为有限数量的具有均匀电导率的层，这些层的厚度在横向上是 变化的，反演的参数是各层的电导率值以及各层在横向上的深度( 即地质单元 的界面) 。通过引入光滑限制条件以及控制地质单元之间电导率的差异的办法来 7 第2 章基本原理 使反演稳定。这种反演方法是线性反演方法，要计算偏导数矩阵，即使采用互 易定理，计算量也非常大，大大的影响了反演的速度。r r i 法具有简易的偏导 数计算方法，在每次反演中只要计算一次正演，并且r r i 法已经是种很成熟 的方法，4 ：人l ! j ；= 的实践j l j 证剀了他的快速及有效性。凶此小义把f c i cj 法j c a t h e r i n ed eg r o o t h e d li na n ds t e v e nc o n s t a b l e 的模型构建方法结合起来， 研究出一种具有明显电阻率差异界面的二维m t 快速反演方法。 本文方法的基本思路是，用有限单元法进行正演计算，在反演过程中利用 前一次正演所得的电、磁场来计算近似的偏导数矩阵，通过一个修j 下系数把r r i 的一维偏导变为二维偏导，实现二维反演。 2 2 大地电磁有限单元法正演 有限单元法是解偏微分方程的有力的数值方法，5 0 年代首先在力学中发展 起来：7 0 年代，丌始应用于地球物理的正演计算，解决了许多计算难题，现在 已经成为地球物理f 演中最主要的数值方法之一。本文主要参考徐世浙的专著 地球物理中的有限单元法川编制大地电磁萨演程序。 有限单元法解决数学物理边值问题的基本思路和过程如下： ( 1 ) 给出地球物理边值问题中的偏微分方程和边界条件( 及初始条件) 。 只有对地球物理方法的原理和问题有深入的理解，才能给出边值问题中的偏微 分方程和边界条件以正确的描述。 ( 2 ) 将地球物理边值问题转变为有限单元法方程。实现这种转变的主要数 学工具是变分法，用变分法得到的有限元法方程称为泛函极值问题。 ( 3 ) 用有限元法解泛函极值问题，其步骤如下： 把研究区域剖分成有限个小单元，在每个单元上，把函数简化成线性函 数、二次函数或高次函数，这称为单元上函数的插值。用简化后的函数计算每 个单元上的泛函，各单元之间，通过单元间的节点上的函数值相互联系起来， 对各单元的泛函求和，获得整个区域上的泛函。这样，有限单元法将连续函数 的泛函离散成各单元节点上函数值的泛函。根据泛函取极值的条件，得到各节 点的函数值应满足的线性代数方程组，解代数方程组，得到各节点的函数值。 有限单元法的主要优点是，适用于物性复杂分布的地球物理问题，而且其解题 过程也比较规范，这些优点使得有限单元法在地球物理中获得广泛的应用。 8 第2 章基本原理 2 2 1 边值问题 根据麦克斯韦方程，角频率为缈的定态电磁场方程是 v e = i o ) p h( 2 1 ) v h = p i c o e ) e( 2 2 ) 其中是介质的磁导率，仃是电导率，s 是介电常数。 假定电性结构是二维的，选取直角坐标轴的原点在地表，z 轴垂直向下，x 轴平行于走向方向。当平面电磁波以任何角度入射地面时，地下介质中的电磁 波总以平面波形式，几乎垂直向下传播。将( 2 1 ) 和( 2 2 ) 式按分量展开，并 考虑到= 0 ， m a x w e l l 方程可以分离成两组相互独立的电磁波。一组仅包 含，、日，、h ：分量，称为e 型电磁波；另一组仅包含h ，、e ，、e ：分量，称 为h 型电磁波。e 。和h ，分别满足如下方程： e 型波： 日型波 譬一i a h y ：( t i l e 一) t o 一一= 疗一i - 加瑟 、7 5 誓：f 础y 瑟 。 ” 一筝：f 咄 加 。 ： 豢一誓：，训， 孰a z j 1 i a h , ：p f w e ) e y 瑟 、 7 一孕：( 盯一f 刎e ： d y 从( 2 3 ) ，( 2 4 ) 可得如下偏微分方程： 9 ( 2 3 ) ( 2 4 ) 第2 章基本原理 昙( 壶等) + 昙( 去警) 二c 州嬲圾= 。 c 2 渤 专( 上c r - i c o e 盟) + 瓦c 9 ( 磊1 警) + ，删，= 。 ( 2 5 ) 和( 2 6 ) 式可以统二表示为： v ( 刃“) 4 - 勉= 0 其中v = 言e ，+ 鲁e ：，对于e 型波： “：e ，jf ：_ l ， 允：仃一f 伽 对于h 型波： “：日，r ：，a ：f 掣 2 2 。2 边界条件 ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 这罩将外边界都取为矩形。对于e 型电磁波，研究区域如图2 1 所示。边 界条件为： ab d 窄气 地球 圈2 1e 波研究区域 a c d 地球 圈2 2h 波研究区域 b c ( 1 ) 上边界a b 离地表面足够远，以使异常场在其上可以忽略不计。此时 可以设 1 0 第2 章基本原理 t = 1 在a b 上 ( 2 ) c d 边取在离异常体足够远的地下深处，在c d 以下岩石为均匀体。 在c d 边上，e ，满足： e l = e l q e 。b 其中k = , - z - 鬲# 一o - ，盯是c d 以下岩石的电导率。对e 求导得： 堡+ 施。：o 昆 5 ( 3 ) a d 和b c 边取在离异常体足够远处，以使异常场在其上可以忽略不计。 对于h 型电磁波，研究区域如图2 2 所示，边界条件为： ( 1 ) 因为空气的电导率为零，可以证明空气中的磁场为常数，因此上边界 a b 直接取在地表面。令 h ；= 1 在a b 上 ( 2 ) c d 边取在离异常体足够远的地下深处。在c d 以下岩石为均匀体。在 c d 边上，日，满足 盟+ k h ：0 化 ( 3 ) a d 和b c 边耿在离异常体足够远处，以使异常场在其上可以忽略不 计。在a d 和b c 边上，日，满足 o h x ：0 o y 在内边界介质物性突变处，电场和磁场的切向分量是连续的。e ，和h ，满 足 e 一砂 龊 峨一砂 e上边cb 和 da 在 第2 章基本原理 足第一类和第三类边界条件。综合以上讨论，变值问题归纳为： v ( 刃“) + 2 , u = 0 豁= 1 丝三。 锄 坐+ k u ：0 + = = “i2 “2 一塑：r ，塑 。锄锄 甜分别代表t 和日，。 2 2 3 变分问题 2 a b a d ，b c c d 内边界 内边界 ( 2 1 0 ) 方程( 2 9 ) 等价的变分问题为 脚) = i 1 赃r ( v u ) 2 一三2 u z 盥+ 1 2 助f1 2 r k “2 订i 铭l 爿一= 1 ( 2 11 ) 州炉。 j 用有限单元法解变分问题( 2 11 ) 就可以得到e x 或者日，。进而可以计算 视电阻率。在本文中，采用欧阳联华编制的大地电磁二维有限单元正演程序 1 。 采用三角形网格剖分，线性插值。图2 3 为理论三层模型的一维数值解与本文 的二维有限元法结果的对比。三层模型的参数为：第一层电阻率为1 0 0 0q m ， 第二层电阻率1 0 0 q m ，第三层电阻率为2 0 q m ，第一层深度为5 0 5 m ，第二 层深度为1 0 0 0 m 。图2 3 中横坐标为周期，单位为秒( s ) ，纵坐标为t e 模式的 视电阻率，单位为欧姆米( q m ) ，点线为有限元解，实线为一维解析解。 共算了2 4 个频点，从0 0 0 2 5 秒到1 0 0 秒。从图中可以看出，两条曲线拟合得 不错，所以本文有限元法完全可以用来进行反演计算。 1 2 第2 章基本原理 g g q 1 0 tj o 0 0 1 、t 、 、一 圈2 3 理论二层模玳的一维解析解与本文的二维有限元法结果的对比 2 。3r r l 法基本原理 为避免二维的m t 反演求雅司比偏导数矩阵的计算量大的i 司题，8 0 年代木 9 0 年代初，不同的学者提出了不同的方法提高了高维m t 反演的速度。s m i t h 等 提出用二维f 演产生的电磁场来近似场的水平梯度。据此可用类似一维反演的 方法求各测点下的模型修改量，该法称为快速松弛反演法( r r i ) 口引。 首先考虑t e 模式，忽略掉i 0 9 6 以及x 下标，重写( 2 5 ) 式为： i 1 可a 2 e + 哇窘) + f 叩= 。 ( 2 1 2 ) 定义t y ：三丝：f 彬生( 2 1 3 ) ea z e ， 、 从这个定义可以得到： 丢c 害，= 尝 亿 因此( 2 1 2 ) 变为： 警+ 哇害) + f 掣删 ( 2 1 5 ) 进行扰动分析。假设有电导率的扰动鼢，则盯= + 衍，矿= 圪+ ，注意到 一佻 一笙! 童墨奎堕堡 一 一一。 括专内的项是电场的横向的二次导数。由于趋肤效应，通常场的水平梯度要比 场晶垂向梯度要小得多( 特别是电导率在横向上变化缓慢时) a 因此可以作如下 近似： 1 e 一一1 堕 ( 2 1 6 ) 一一= 一_ ：一 、 e 砂2a y 2 把上式代入( 2 1 5 ) ，忽略掉二次无穷小，得： 旦+ 2 v o s v + i r o z 6 c r = 0 ( 2 1 7 ) 这是个一维常微分方程。解得地表的扰动为： 洮，。) = 丽i r g z 胁i ，z 腓) 出 2 1 8 s m i t h 定义观测数据为： 妒t n 却( 别乩岛) ( 2 1 9 ) 则有： 妒甓篇器硼m q 2 禾ii田(220)可以求观测数据对参数1n仃偏导数。从而可以用单点反演法进行i4114 反演。州模式也用类似的方法进行推导。忽略掉i s 以及x 下标，重写( 2 6 ) 式： 吉鲁( p 訇+ ( p 期卜2 。 亿2 1 ) 定义： u ：一p 一0 h ；旦 ( 2 2 2 ) 用类似的方法有： 肌呲1 ，。，f 驰2 ，z ) 跳 2 2 3 t 4 第2 章基本原理 得到： 小n 卜纠乩c 等， 峨= 毫黼黼硼n 啪 2 4 块状结构大地电磁反演方法 ( 2 2 4 ) ( 2 2 5 ) 2 4 1 模型构建 按照文献e 1 5 4 的模型构建把地质结构表示为有限数量的具有均匀电导率 的层。这些层的深度在横向上是变化的。反演的参数是各层的电导率值以及各 层在横向上的深度( 即地质单元的界面) 。例如图2 4 三层模型可用以下参数描 述： m o d e l ( ) = ( 1 0 9 p i ，l o g p 2 ，l o g p 3 ，l o g d i 1 ，l o g d l 朋，l o g 以1 ，l o g d 2 彤) p 。，p ：，岛分别为三层的电阻率，d l l 为第一层的底界面的第一个深度，d 坼 为第一层的第，7 c 个深度，h e 为每层的深度采样个数。因为各个参数变化范同 较大，为了反演的稳定，采用它们的对数值进行反演。 2 4 2