（应用数学专业论文）一类二阶微分方程解的有界性.pdf

摘要 本文主要研究二阶微分方程 ( ( z 7 ) 4 - 妒( 士7 ) ) 7 + a b ( z + ) 一口乃( z 一) = 妒( ，z ) ，p 1 其中a ，p 。，死= i 硒7 丽f+ 爵瓦7 而1 = i 2 7 r ，b ( s ) = j s i s ，妒( ，z ) = 妒0 + 2 7 r ，筇) 在妒( 一) ，妒( ，z ) 满足一定增长限制的条件下，我们应用扭转定理证明了方 程( 1 ) 的所有解有界即方程( 1 ) 的解z ( ) 对于z r 都有意义，并且 s 锄u p ( 1 z ( ) i + 帅) j ) 1 ，( 1 ) w h e r ea , 卢一p o s l t c o n s t a n t s ，蜀2 南+ 南= 等矧s ) _ i s ， 妒0 ，。) = 妒( + 2 丌，嚣) u n d e r $ o m ei n c r e a s i n gr e s t r i c t i o n so f 砂( 茹) a n d 妒0 ，z ) ，w ea b t a i n t h eb o u n d e d n e s so fa l ls o l u t i o n sf o rt h ee q ( 1 ) b yas m a l lt w i s tt h e o r e m ，t h a ti s ，i fx ( t ) i s as o l u t i o n 。t h e n i te 虹s t 8 f o ra l i t ra n d s u p i z o ) f + f 一 ) i + o 。 t e r k e y w o r d s ：h a m i l t o ns y s t e m ，h a m i l t o n i a nf u n c t i o n ，s y m p l e c t i ct r a n s f o r m a t i o n ， a c t i o n - a n g l ev a r i a b l e s ，s m a l lt w i s tt h e o r e m ，t h eb o u n d e d n e s so fa l ls o l u t i o n s 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知。除了文中特别加以标明和致谢的地方外论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书丽使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 = 、关于学位论文使用授权的说明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期刊登) 授权东南大学研究生院办理 签名；导师签名：至墨丑车日期：业 第一章引言 1 1 基本概念 哈密领系统一个系统称之为哈密顿系统是指2 n 个具有形式 口= 缉，西= 一峨，( 吼p ) 驴 的常微分方程组其中h = h ( t ，玑p ) 叫做哈密顿系统所对应的哈密顿函数，向量q = ( q l ，q 2 ，) 和p = 白l ，p 2 ，h ) 是对共轭变量，是时间变量，整数竹称为这个 系统的自由度 令z 一( g ，p ) ，则上述系统可写成 2 = j v ；h c t ，z ) ( 1 1 ) 如果日与t 无关，则称系统( 1 1 ) 是自治哈密顿系统，否贝称为非自治的 首次积分 设光滑函数f ：0 r 2 “卜+ r ，( 1 1 ) 是自治哈密顿系统，咖( t ，。) 是( 1 1 ) 的一般解如果f ( 曲( t ，z o ) ) 兰f ( z o ) ，则f 称为系统( 1 1 ) 的个首次积分如 果f 是首次积分，那么集合f - 1 ( c ) 0 是相空间中的不变流形，从f _ 1 ( c ) 出发的解蓝 线将始终落在f _ 1 ( c ) 上哈密顿函数日本身就是系统( 1 1 ) 一个首次积分 辛觯设a 是一个。礼的矩阵，t ，= ( 二：) ，其中。是n n 的 零矩阵，i 是n n 的单位矩阵如果a t j a = 7 j ，其中7 是一个常数，则称a 是一 个以，y 为乘子的辛矩阵；当7 = 1 时，称a 为辛矩阵 辛变换设0 是r 2 , 中的一个开集，圣是0 上的一个光滑映射 圣：0 时r 2 “ z 时西( ：) 1 2 如果其j a c o h i 矩阵挲是辛矩阵，则称西是辛映射或辛变换 圣是辛变换当且仅当 ( 笔) t ，笔吐 因为两个辛矩阵的乘积还是辛的，所以根据复合函数求导法则，两个辛映射的复合还是 辛的又因为辛矩阵的逆矩阵是辛的，由隐函数定理知辛映射圣是可逆的所以逆映射 西_ 1 也是辛的由于辛矩阵的行列式的值为1 ，所以辛映射是保向保面积映射 辛映射将哈密顿系统变换为哈密顿系统 n 个两两对合的函数只，f 2 ，f n ， 最，毋) 三0 ， ，j = 1 ，2 ，n ，且这n 个函数只 独立( 1 i pn 个1 - 形式蜗线性无关) 鄢么哈密顿系统( 1 1 ) 是可积的考虑这些函数的 如= z ：最( z ) = ，i = 1 ，2 ，- ，n ) 若流形m s 是紧连通流形，则它微分同胚于n 维环面 她 纰= 如 咖 巨d i 蔡o h 纛 1 2 背景知识 早在1 9 6 0 7 8 ，l i t t l e w o o d 就在文【1 】1 中建议研究方程 z ”+ 9 ( 工) = p ( t ) 3 ( 1 2 ) 的解的有界性问题其中p ( t ) 是周期函数，g ：rhr 是连续的，且g ( z ) s i g n ( x ) _ + ，( h _ + ) 方程( 1 2 ) 的解有界是指方程( 1 2 ) 的解x ( t ) 对于t r 都有意义，并且 鳓p i x c t ) i + j 一( t ) i ) + o 。 t e r 这方面的第一个很有意义的结果是由m r i s s 得到的，在文f 1 9 】中。当g c x ) = 2 x 3 ，p o ) 是分段连续函数时，他利用扭转定理证明了方程( 1 2 ) 的所有解有界 此后，在一大类超线性情况下，即 墨掣- + o o ，( i z l 叶。) ， 得到了方程( 1 2 ) 的解的有界性相关结果见【1 5 1 8 】等 而在半线性情况下，即g ( x ) 满足 。s 七旦盟k 5 + o o ，z r 时，方程的解的有界性问题的研究比较困难因为在这种情况下，9 ( 茹) 中的线性项可能 会产生线性共振现象如线性方程 z ”+ 竹2 $ = c o s n t ，n n 就没有有界解另外，北京大学的丁同仁教授在文【8 】中也给出了一个重要的例子，他证 明了方程 。”+ 舻z + a r e t a n x = 4 c o s n t ，n n ( 1 3 ) 无周期解，由m a s s e r a 定理f 。】知方程( 1 3 ) 的解全局存在且无界 那么，在什么条件下方程 ：r ”+ ”2 。+ 咖( w ) = ，( f ) ：n( i t ) 4 的解有界呢? o r t e g ar 1 0 】研究了分段线性方程 z “+ n 2 2 7 + h l ( z ) = v ( t ) c 5 ( s 1 ) ，n n ， ( 1 5 ) 其中h z ( z ) 是分段函数，定义如下 h l ( x ) = 证明了当i 舻p ( t ) e - i n t d t i 器，v p , q gz , q 0 ) d p ) ，k 是两个正常数，并且【，】。赤上z ( t ) d t 0 时，方程( 1 6 ) 的所有解有界 o ”+ a 叶一芦z 一+ ( 芏) = p ( t ) ( 1 8 ) 当而1 + 丽1 = ；q 时，函数 即) - ；( 掣一掣) 一去j ( 打刖踯+ o ) d t ( 1 9 ) 对方程是否存在周期解起着很重要的作用其中s ( ) 是问题 z ”+ 口z + 一p z 一= 0 ， z ( o ) = 0 ，茁( o ) = 0 的解 f a b r y - m a w h i n l “】证明了如果三( 口) 有2 s ( 一1 ) 个零点，并且这些零点全是简单 零点，则方程( 1 8 ) 至9 w - - 个2 ”一周期解并且，如果5 2 ，则初值较大的解无界 相关的结果见 2 1 2 3 】 f a b r y m a n $ l s e v i c h l 2 h 将 2 4 l 结果推y - 至, ip l a p l a c i a n 方程 ( ( 。，) ) 7 + n 昂( 。+ ) 一p 乓( z 一) 一f ( t ，z ) ，p i ， ( 1 ，1 0 ) 其中 昂( 沪h 2 一一l i m 。( f 甸吐( 7 j = 舞+ 丽7 1 p = 等 i ， 地川r ( 1 啊、r 叫诈熹) 【】 证明了如果函数 6 砌) _ f t 印枷( 1 ) ，。 ，+ ( 删) 出+ 如。籼。 ，- ( 删邢瑚 ( 1 1 1 ) 有2 s ( s 1 ) 个零点，并且这些零点全是简单零点，则方程( 1 1 0 ) 至少有一个2 口- 周期 解，其中 ( ) 是齐次方程 ( 耳( 一) ) 7 + a b ( 一) 一p 昂扛一) = 0 的满足( v ( o ) ，口( o ) ) = ( 0 ，1 ) 的解 我们更加感兴趣的是在什么条件下方程的解有界，e ( 日) 和z ( o ) 对解的有界性又会 有什么影响? 从【1 2 j 和( 1 4 j 中我们可以看到三( 8 ) 和z ( e ) 对解的有界性也起着很重要的 作用 w a n gx i n p i n g 在文f l2 】中证明了方程( 1 8 ) 在满足f 1 1 j 中( i ) ，( “) ，( i i i ) 三个条件， 并且z ( o ) 不变号时，所有解有界 柳彬在f 1 4 j 中也在完全共振( 即t o = 南+ 南= i 2 7 r ) 的条件下得到了以下结论 若方程( 1 1 0 ) 满足条件 ( 旬 f ( t ，z ) g 6 ( s 1 固，。鸟f ( t ，z ) = ，( 幻，对e 一致成立； ( 谢) 。增z m 赫，( ，z ) = ，士 m ( ) ，当( 礼，m ) = ( o ，6 ) ，( 7 ，6 ) t ( 7 ，o ) 时，对一致成 立且a ，o ，6 ( ) = 0 ，止o 6 ( ) = 0 ，a o ( ) = 膛( t ) 当z ( o ) 不变号时方程( 1 1 0 ) 的所有解有界 ( 有关非共振的情况可参考【6 , 7 ，1 3 】) 本文将考虑下列更一般的p l a p l a c i a n 微分方程 ( 昂( z 7 ) + 妒( 。) ) + 昂( z + ) 一p 弓( z 一) = 妒0 ，。) ，p l 的解的有界性证明了在一定的条件下上述方程的所有解有界 本文以下部分的结构安排如下： 第二章：我们给出了本文的主要结果定理1 第三章：通过一系列的辛变换最终把问题化成丫一个可积哈密顿系统的小扰动问题 进i 酊利用m o s e l 扭转定理证明我们的结论 考虑二阶微分方程 第二章主要结论 ( f p ( x i ) + 砂( z 7 ) ) 4 - q b ( z + ) 一p 耳( z 一) = 妒0 ，z ) ，p 1 ， ( 2 1 ) 其中t 昂( s ) = i s f ”2 s ，a ， o ，蜀= 南+ 赤= 等( 不妨设n = 1 ) ， 皿( z ) = 詹妒( s ) d s 是凸函数 令 如) = 辫，北) = 茫，。 盯 o 外。+ 口) i ( t ) r 4 出 一五啦。州m ) 0 叫删r q + 五啪：州川删卅酬”讹妒1 出 一z 训州删币( 一酬”印) l ”戤 其中v ( t ) 是齐次方程 ( 昂( z ) ) 十n o 矿) 一s f ( x 一) = 0 ( 2 2 ) 的满足( ，一( o ) ，。，) ) = ( 0 ，1 ) 的解 在本文的证明过程中，我们将会发现w ( e ) 在本文中与由( 11 1 ) 定义的z ( o ) 在文 【1 4 】中起着类似的作用 下面给出本文的琶要结论： 定理l 假l 二方程( 2i ) 满足i ，i ? ”以下几个条件 x ￥1 、少，( ：】= ( j 一 8 1 4 ，坚乳一蔷面丽9 ( ，。) 29 ”一( ) ，当( k ，m ) = ( 6 ，o ) ，( 6 ，7 ) ，( o ，7 ) 时，对。r 一 致成立，且9 士6 ，0 0 ) = 0 ，驴士矗7 ( ) = 0 ，# 士n 7 ( ) = 事芏( ) 如果w ( o ) 不变号，则方程( 2 1 ) 的所有解有界 注 当口= p 一1 ，砂( 一) = 0 时，本文考虑的即为文【1 4 j 的情形本文中我们将文 14 】 的结果推广到o 矿 扎；曳秽咎= 币( 士o o ) 的情形 妒( z ) = i 茹| # 一2 z ，妒0 ，。) = i 茹i 庐一2 zc o s t ，0 叠 o 并且。妒( z 飞妒( t ，z ) 满足假设a 1 一a 4 ，则由定理1 知此时方程( 2 1 ) 的所有解有界 第三章定理1 的证明 本文中我们主要借鉴柳彬在文【1 4 】中的证明思路来证明定理1 当r 充分大时，在 区域 口= 0 ，一) 舻：$ 2 + ：r r 2 冬r 外，方程( 2 1 ) 可转化成一个可积系统的小扰动，此时，p i o a c a r 4 映射就是可积系统的 扭转映射的小扰动，由m o s e r 扭转定理 1 q 知，方程( 2 1 ) 有任意大的包围原点的不变 闭曲线。进而由解的存在唯一性知从任意一不变闭曲线内部出发的解始终停留在该曲线 内部，从而得到所有解有界 3 1 作用变量和角变量 在本节中我们首先将方程( 2 1 ) 化成哈密顿系统 令 9 = 0 ( z 7 ) + 妒( 一) = j z j 一2 王+ 1 1 f ，( z ) ( 3 1 ) 记f ( z ) = ；1 i z r + 中( z ) ，则y = p ( ) 因为皿( z ) 是凸函数且皿( z ) g 7 ( r ) ，贝! i f ( 2 ) 是g 7 的严格凸函数设f 是f ( g ) 的l e g e n d r e 变换，那么f 也是g 7 的严格凸函数由l e g e n d r e 变换的定义和性质知 一= f “( ! ，) 这样方程( 2 1 ) 就化为 p 2 ( y )( 3 2 ) y = 一n s 扛+ ) + 卢乃( z 一) + 妒( t ，z ) 则( 3 , 2 ) 是哈密顿系统，对应的哈密顿函数为 爿( _ ，：t ) = f ( 掣) + i ( n i # + 1 9 + 舅4 e j ”) 一垂( z ) ， j 9 其中 则 我们记 垂( t ，z ) 2 妒( 屯s ) d s 0 ，z j f ( ) = 1 1 4 + m ( 可) 1 0 l 皿4 ( ) i o ；t ( 南，2 7 r ) 时。 ( t ) o 不难证明，方程( 2 2 ) 的每个非平凡解均是2 丌周期的 定义变换( z ，! ，) 卜+ ( 0 ，r ) ： z = r 1 ，口( 口) ，y = o y u ( 0 ) 那么 出ad y = d ( r 1 p v ( o ) ) ad ( r 1 4 u ( 口) ) = ；r 1 脂”( 口) 打 r t t q u ( o ) d o + r 1 序以口) 抬 ：r _ 加u d r = ( 一；1 t j ( 咖 ) + 扣洲) 瑚 如 = ( 知矿( 钏制”v 妒) + 扣钏9 ) d o 腑 ：三硼 d n 口 更i 变换( 孔可) 一( 口，r ) 是以：为乘子的广义辛变换它把哈密顿系统( 3 - 2 ) 变换为下列哈 密顿系统 = 警( 删，r ，= 一丽8 h ”t ) ， ( 3 4 ) 其中哈密顿函数 ( r ，0 ，t ) = r + 口旷( r 1 ( 口) ) 一扣( t r 1 ， ( p ) ) 由假设不难看出 0 ，t ) 对n t 是c 7 的，对口是连续的 3 2 典则变换 1 2 由上节知 ( r 0 ，t ) 对n t 是g 7 的，对0 是连续的哈密顿函数 0 ，t ) 对0 的光 滑性不足将导致p o i n c a r 6 映射的光滑性不足，从而不能满足扭转定理的光滑性要求因 此，我们将通过变换将哈密顿系统( 3 4 ) 化成以( ，t ) 为共轭变最，0 为时间变量的一个 新的哈密顿系统 令 r ( r ，0 ，t ) = g 皿( r l g ( 口) ) 一口圣( t ，r l p v ( e ) ) ， 则 ( r 0 ，t ) = r + r ( 0 ，t ) 由a 1 和( 3 3 ) 知 筹m 0 i ( r _ 删， 从而 等( r 巩t ) = 1 + 百o r ( r 口叶1 ，p - + + o o ) ， 由隐函数定理知存在函数r = r ( ，以t ) 注意到 r d o h d t = 一( d t r d o ) ， 则在变量( h ，t ，0 ) 下，哈密顿系统( 3 4 ) 转化为另一新的哈密顿系统t 嚣= 一警( ，历d t = 丽o r ( ( 3 5 ) 下面我们将考虑哈密顿系统( 3 5 ) 的p o i n c a r d 映射的不变曲线问题 3 3 若干引理 1 3 为了- 研究哈密顿系统( 3 5 ) 的p o i n c a r 6 映射的性质- 我们需要以。l = 一些日i 理作准备 引理1 设妒( t ，z ) ，庐( t ，茁) 满足假设a x 和山，圣( t ，z ) = 届驴( t ，s ) d s ，则有， m + m ( t ) 。萼蠡一蔷音丽妒( t ，。) = 于士 m ( t ) ，o s s6 ，o m s 7 对t r 一致成立 麟) 。一等器= 鬲1 。删，o s k s7 o m 姐 其中 驴士， m ( t ) = 0 ，ts 七s6 ； 庐士，l ，。( t ) = 9 士，o m ( t ) = 庐堂( t ) ，0 m s7 证明 ( ) 证明见【1 4 】引理2 1 ( t i ) 我们先来证明 。蛾嚣里韭= 击剑。一 m 一7 i z l , - 1 - 。x ( 3 6 ) 。! 靼i 聂鬲2 。一。石= ；妒￥( ，o 一 一 ( 3 6 ) 由( i ) 得 一l i r a 叶叠i p - o ( t , x ) l - a = l i x - ! m i o o 罴m ) ：9 ， + 士o oi $ l p m m 、7 。1 i r a 。写- 笋= 白一1 一盯) ( p v - 一2 一a ) ( p - k - a ) 妒9 ( t ) ，( 3 7 ) 1 56 ，0 s ，n s7 。 又因为 象器一击p - p 热) 优mi z l p 一1 4 z盯7 士r = 臀一而1 热- ( i n p )i o i p 一1 一。z 一盯r 工r 7 ：壁墨出! l 翌望倒坚! ：塑 1 x l p 一1 4 z 由o a p 知川r 1 _ 叶。o ( 茹- + o 。) ，若z 。暴妒( t ，s ) 一9 堂( 圳s i 一1 ”d s 有 界，则 h l n 壁羞出! l 型业匕：坐：o o 。 7 1 4 若上2 呆妒( ，s ) 一9 堂( t ) j s i 一一1 4 d s - o 。 _ + o 。) ，由l h o s p i t a l 法则和( 3 7 ) f f 黼 t i m 鲻翘罂名擎世= 生：o ，咐m 7 z - + - t - 嘧l p l 一4 0 一一 所以 。嚣兽= 历1 舢) j o m s ， 由( 3 6 ) 和( 3 7 ) 可得 一l i r a 。矿筹器= 而1 乒4 - , k - - l , m 7 。m 7 引理2 设西( 。) 满足假设如和a 3 ，则有： l i r a z k 事( ( o ) = 0 ，1 6 z 斗4 - o o 、 一一 在本文中参( 。) 与文f 1 1 中的妒p ) 条件相同，由 1 1 】则有 i 事( ( z ) i c ，0 s 女6 ， ：墨i 。移伪( z ) = 0 ，ls k 6 ， ，磐强貉= ( p - 1 - a ) ( p 一2 叫( p 一女刊址o 。) ( 3 8 ) 引理3 设f ( ) 是f ( z ) = p 1 _ t z l 9 + 妒( ：) 的三叼e n d 他变换，妒( ，) = p ( 暑，) 一百1l y h 如) = 器瑚f 1 l i r a 。( g ) = 一：西( 士o o ) ，墨娶矿础( ) = 0 ，1s 女6 证明 由( 3 1 ) 式得 鲋 妒i p - 2 一 竖i x , j 2 - ，= 1 1 - 1 - i 差ri i p 一2 一l 于是 引伸烨( 1 + 盟i l p - 2 x , 、h i + 器r 记 么( ! ，) = 皿“( v ) ，由l e g e n d r e 变换及一= p 7 ( f ) 知 一= i y t q 一2 y + 以( ”) ， 于是 删= 一( 1 + 盟i x p - 2 x 、h s l + 器r 令幽；器，则 蜘爿糟拶 慨。， l l i p 一2 一+ 妒( 芏) j 于是我们有 = 一i x 糟笋- i - i 一士 i i p 一2 一妒( 一。9 = 一攀1 1 嵩萨 一一+ + 。 一1 1 4 + i ； ；蓦b 1 9 = 一坐雌炉虻溉而扣 由l h o s p i t a l 法则和( 3 _ 8 ) 式得 ，。! 坠。塑型烈掣 ：一坚灶掣群掣 = 掣。，l + 嚣r 一峨( 帮等一( p _ 1 ) 器) = 掣洳一1 一盯) 每( 士o 。) 一如一1 ) 事( 士。o ) ) = ( 1 一口) 币( 土o 。) 1 6 所以 ，要乳祝( 们= 1 - 口) 币( 士o o ) = 一：巧( 士。) ( 3 1 0 ) 我i f 对( 3 9 ) 式两边关于一求导，利用隐函数求导法则、( 8 8 ) 和( 3 1 0 ) 式可得 m l i r a 。y 嚣= 0 ，i s 6 - 证毕 注由引理3 我们有 ：矿貉= ( q - l - o ) ( q - 2 - a ) ( 口一女) 雉吼1 鲰 从而 i 田。( ) ( 掣) i o l y l 9 一一一，0 冬七7 引理4 设r ( r 0 ，t ) = h ( r ，0 ，t ) 一r ，则 l 嬲( r j 吣) r l - k - 和女+ m 7 l 证明 ( i )m 0 时，由引理1 得 i 瓣( r ，忙i 堂学i c r i - k - ； ( t i )m = 0 时，出引理1 和由引理3 得 l 器( r i = i 丽a k r 叫) i l 幽o 一, r 加k “m 、i + ! 塑错型l 口r “ 证毕 记 k h ，日，t ) = h + r 1 ( 蚝t 口) 则皿是由以下隐函数关系来确定 则有 s i 理5 r l ( ，t ，9 ) = - r ( h + r 1 ，口，t ) 百0 k i + 丽m r l 、t ，o ) 1 c h z - 女- ；，。s 女7 ，0 m 7 证明 ( i )k + m = 0 时，由引理4 我们有 ( t i ) k + m = 1 时，令 i r l ( ，口) lsc h l 一； ( ，t ，口) = 1 + 筹- - ( h + r 1 ，口，t ) 玑( h ，t ，口) = 石o r + r l ，口，t ) ， 协 = 箬( + r z 班 则当h 1 时，由引理4 得 j f l ( ，t ，o ) 1 i 1 ，1 9 2 ( h ，t ，口) i 兰c h l 一； 对r l ( h ，t ，口) = 一r + r t ，以t ) 两边关于h 求偏导得 杀枷) 咄( ) 所以 同理由 ；l 鬻( ，驯i 丽0 r 1 ( ”，驯= 掷 0 ) 1 - c h 一； 警瑚) = 肌( h , l 0 ) 1 7 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 我们得 ；j 鲁枷胚i 警阮绷肛屯o ) l _ c h 叶 ( i i i ) k + m = 2 时，( 3 1 1 ) 两边分另关于h 和t 求偏导得 ( 3 1 2 ) 两边关于t 求偏导得 由引理4 得 所以 豢+ 丝o h 丽o r l 纛+ 百o a 丽o r l 西1 a 曲1 况 警+ 酉o a 百o r l = 等 i 瓮( 枷) | f 等( 扯，e ) l c h 一；， s c h 一；， 争丽0 2 r 1 ( ) j sj 簪屯o ) 1 冬i - 触b - - i ( h ，t ，o ) 0 0 鬻( h , t , o 川0 胪9 1 t ht ， c h 1 一i ， 争慧t ，e ) i s l 耐0 2 r 1 扯f i o 抛a ht 杀仇枷卅| 鲁枷) c h 一； ；1 警( 川忆i 警棚) | 5 i 筹- ( h ，啪) 警( ，0 ) 1 + | o 优9 2t h ， c h l 一； ( i v )若对于+ sf ，我们有 j 瓣( ，m j j c i * 1 1 8 t p ， 一 一 p 厅 h g e g 一 o 都成立同样由引理4 得 则 )p o ，口，如+ 日) s ；0 5 ( 1 ) ， p o ，以t o + 口) ；0 5 ( 1 ) ， 僻竺篙；2 。影o r 篡1 篇篇 = 扩吖。i p ( t 0 + 口，e i 1 蹦_ 1 砌- 1 4 口( 口) 硼 一5 ；一；z 孙识砖一 蠢u ( p ) ) 石；u ( o ) d o + 0 5 ( 1 ) ：! f 2 。! ! ! ! ! ；二：二! ：! ：! ! ! ! ! 业 。( 口) l ，一一一v ( o ) d o p o 一 p 抽 ；露t ，洲p 斗a 。 一f 2 ”毒擘坐盟r 一让( 口) d 口面手+ d 5 ( 1 ) 如一蠢u f q - - l - - 一一” “ = ：；( 口。f 0 。哪扣( 口) ，。，妒+ ( t 。+ o ) 1 。( 口) l 一1 4 ”( 口) d 口 + 工p 【0 i 酬 。，瓦o i ll , 峋，t 。) 。，v ( v o , t o ) ， ( 3 1 8 ) f 2 ，妒l ，l p 2 c 5 ( a ) ( 3 1 9 ) 另外我们假设存在映射f ：a r ，满足 f ( v o ，幻) 伊( a ) ，f ( v o ，t o ) o ，蒹( 唧，如) o ，v ( ，t 0 ) 五 ( 3 2 。) ，如) 丽o f ( 峋，如) + f 2 ( t oa o 石f ( 峋，钿) = o ，v ( 峋，如) “ ( 3 2 1 ) 定义函数 砌( 峋) = m a x f ( 峋，t o ) ， f m ( 峋) = 2 啦“f ( 坳，如) t 帕 n 6 】t 引理7 【1 0 ，定理3 1 】 设，满足( 3 1 7 ) 一( 3 1 9 ) ，f 满足( 3 2 0 ) 和( 3 2 1 ) ，且存在常数a - ，b 1 满足 a a l b 1 b ，翰( 口) ( 8 1 ) f m ( 8 i ) 0 使得6 且l l 妒l l l c s ( a ) + 1 1 0 2 1 1 c , ( 4 ) s 时。映射，具有不变闭 曲线r ，其中与6 无关+ 且对于，的旋转数u ( r ，6 ) 有 i + m o u ( r ，6 ) = 0 - 注 作变换f = - t ，口= p ，则( 3 1 8 ) 变成 州如) ( 札f l ( u o , t o ) 。，象( t o ) 、 0 ，v ( 【扣争， f ( 峋，幻) ( f ；，们xs 1 ) ，f ( 峋，如) 0 ，丽o f ( 峋，岛) 。，v ( u o , t o ) f ；，i r ， 且 l l ( 的，t 。) 丽o f ( 峋，t 。) + 1 2 ( ，如) 百o 丽f ( 峋，t 。) = 一；毗) 菇影瑞+ p - q w ) 舻禹 一洲qw ( 矿t o ) + ；鬻均 令 取 n = r a ；。i n w ( t 。) ，卢= 1 警w ( 如) 7 ：凶尚 1 1 ，。：( 2 皇) 一鼎严( 2 望) 尚 r l nn 则 如。争叩蒜：岳圳萨咤。w - 7 - 7 叶丽o ) ：压，如( ；) = z 皆蒜= v 螽，凡= 哮7 1 。i = 螽， ，冲蒜：岳，：毒蒜：届 ，：呼菇：俘，珊蜘警需= 俘 则有 1 = 1 恤 7 ， 翰( 二) 晶m ) s f m ( 7 1 ) 晶( 能) s 如( 能) 晶( 7 ) 至此，我们证明了映射q 满足引理7 的所有条件，则引理7 的结论成立即映射 口存在同伦于 0 = 常数的不变闭陆线，进而映射尸存在同伦于伽= 常数的不变闭曲 线 这样我们就得到方程( 2 1 ) 的所有界有解 致谢 首先感谢我的导师徐君祥教授本文是在徐老师的悉- l - 指导下完成的从本文的选 题，文献的收集到论文的写作以及最终定稿，无不烦注者徐老师的心血和汗水徐老师 渊博的知识，严谨的治学态度，敏锐的洞察力，坦荡的胸襟以及谦逊的学者风范，让我 耳满目染，受益终生研究生学习期间，徐老师为我的学习、研究提供了一切优越的条 件、环境、发展空间与机会；生活上无微不至的关怀更是让我倍感温暖在此谨i 句我的 导师徐君祥教授致以最崇高的敬意和最衷心的感谢! 感谢东南大学数学系的悉心培养在校学习期间，数学系的领导和老师们给予了诸 多帮助；我的家人更是给予了全力的支持。在此也对他们表示谢意 在日常的学习和论文的写作过程中，师姐粱建莉、师兄壬少平以及张东峰、丁建、 吴伟力，张丽、王丙风、江舜君、张艳玲等给予了热心的支持和宝贵的意见；在日常生活 中也得到宿舍舍友李桂玲、袁敏、陈静及我的好友常娟、葛静的热心鼓励和无私帮助； 在论文的校订过程中我的同学李亚铡、孙建平、吴静宇、罗东梅、熊文军、刘莉、陈群也 给予我很多帮助。感谢他们l 另外，感谢2 0 0 2 级的所有同学，是他们给了我家的感觉谢谢 参考文献 【1 1 l i t t l e w o o d j s o m ep r o b l e m si nr e a la n dc o m p l e xa n a l y s i s h e a t h l e x i n g t o n m a ，1 9 6 8 f 2 】o r t e g ara s y m m e t r i co s c i a t o n sa n dt w i s tm a p p i n g s j 。l o n d m a t h s o c ，1 9 9 6 ，5 3 ： 3 2 5 - 3 4 2 3 ja l o n s oj m 。，o r t e g arr o o t so fu n i t ya n du n b o u n d e do fa na s y m m e t r i co s c i l l a t o r j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 8 ，1 4 3 ：2 0 1 - 2 2 0 【4 】b l i u b o u n d e d n e s si na s y m m e t r i co s c i l l a t i o n s j m a a ，1 9 9 9 ，2 3 1 ：3 5 5 - 3 7 3 【5 l 王奕倩非对称振动中解的有界性【j 】数学学报，2 0 0 3 ，4 6 ：7 0 9 - 7 1 4 【6 】6 b l i n b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sf o rs e m i l i n e a r ed u m a ge q u a t i o n j j d i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s ，1 9 9 8 ，1 4 5 ：1 1 9 - 1 4 4 闭梆彬，壬奕储非线性振动的不变环面f j j 中国科学( a 辑) ，1 9 9 9 ，2 9 ( 1 ) ：4 8 9 - 5 0 0 8 】t d i n g n o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sa tap o i n to fs o l u t i o n sv i at h et w i s tt h e o r e m ，a n n s c u l a n o r m s u p p l e ac 1 s c i ，1 9 8 7 ，1 4 ( 1 ) ：7 9 - 9 5 9 1 j m a s s e r a t h ee x i s t e n c eo fp e r i o d i cs o l u a t i n n so fs y s t e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s d u k e m a t h j ，1 9 5 0 ，1 7 ：4 5 7 4 7 5 【l o o r t e g a 凡b o u n d e d n e s si nap i e c e w i s ol i n e a ro s c i l l a t o ra n dav a r i a n to ft h es m a l lt w i s t t h e o r e m p r o c l o n d o nm a t h s o c ，1 9 9 9 ，7 9 ：3 8 1 - 4 1 3 i i 】b l i u b o u n d e d n e s si nn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n sa tr e s o n a n c e j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，1 9 9 9 ， 1 5 3 ：1 4 2 - 1 7 4 f l2 】x pw a n g i n v a r i a n tt o r ia n db o u n d e d n e 8 8i na s y m m e t r i co s c i l l a t i o n s a c t am a t h e m a t i c a s i n l c a ，e n g l i s hs e r i e s ，2 0 0 3 ，1 9 ( 4 ) ：7 6 5 7 8 2 ( 1 3 lx j y a n g b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sf o rn o n l i n e a ro s c i l l a t i o n s a p p l i e dm a t h e m a t i c sa n d c o m p u t a t i o n ，2 0 0 3 ，1 4 4 ：1 8 7 - 1 9 8 ( 1 4 1b l i u b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sf o re q u a t i o n sw i t hp - l a p l a c i a na n da l la s y m m e t r i cn o n l i n e a rt e r m j d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，2 0 0 4 ，2 0 7 ：7 3 - 9 2 f 1 5 】r d i e c k e r h o f f , e z e h n d e r b o u n d e d n e s so fs o l u t i o n sv i at h et w i s tt h e o r e m a n n s c u l a n o r m s u p p i s ac 1 s c i ，1 9 8 7 ，1 4 ( 1 ) ：7 9 - 9 5 f l6 jm l e v i q u a s i p e r i o d i cm o t i o n si ns u o e r q u a d r i a t i et i m e - p e r i o d i cp o t e n t i a lc o m m m a t h p h y s ，1 9 9 1 ，1 4 4 ：4 3 - 8 2 【1 7 1 b l i u b o u