（计算数学专业论文）sobolev方程的两类非协调元高精度分析.pdf

摘要 本文讨论了在各向异性网格下，高阶w i l s o n 元和c a r e y 元两类非协调元对 s o b o l e v 方程的应用通过引入一些技巧得到了与正则网格下相同的最优误差 估计及超逼近性质，进而通过插值后处理的技巧，得到了相应的超收敛结果 关键词：s o b o l e v 方程；非协调有限元；各向异性网格；超收敛；插值后处 理技术 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t h eh i g h e ro r d e rw i l s o ne l e m e n ta n dc a r e yd e m e n ta r ea p p l i e dt o s o b o l e ve q u a t i o n h i g h e ra c c u r a c ya n a l y s i so ft h et w oe l e m e n t sa r ed i s c u s s e du n d e r a n i s o t r o p i cm e s h e s b yu s i n go ft h ep a r t i c u l a rs t r u c t u r eo fe l e m e n t sa n d8 0 m en e wt e c h - n i q u e s ，t h eo p t i m a le r r o re s t i m a t ea n ds u p e r c l o s e ，w h i c ha r ea 8s a m ea sr e s u l t sd e r i v e do i l r e g u l a rm e s h e sa r ed e r i v e d t h e n ，t h ei n t e r p o l a t i o np o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u ei su s e dt o o b t a i nt h eg l o b a ls u p e r c o n v e r g e i l c e k e yw o r d s ：s o b o l e ve q u a t i o n ；n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ；a n i s o t r o p i em e s h e s s u p e r c o n v e r g e n c e ；p o s t p r o c e s s i n gt e c h n i q u e 1 1 前言 有限元方法的数学理论通常可追溯到1 9 4 3 年c o u r a n t 的工作 1 】) 他考虑了 基于三角形网格剖分的d i r i c h l e t 问题的分片线性逼近，在我国，计算数学家冯 康先生首先独立于西方发明了这种方法【2 ，3 】，有限元方法的实质是根据变分原 理用有限维空间的离散解去逼近无穷维空间的连续解，有限维空间的构造， s o b o l e v 空间插值理论以及微分方程正则性理论都是这种方法能够实现的理论 前提近年来，随着计算机的蓬勃发展，有限元方法的研究也蒸蒸日上从2 0 世纪6 0 年代至今，经过4 0 多年的研究和发展，有限元方法已成为一门理论完 善、应用广泛的数值计算方法 在传统有限元方法的研究中，剖分的正则性假设或拟一致性假设【4 ，5 】( 即 警c 或= h c ，这里h k 为剖分单元k 的直径，p k 为k 的最大内切圆直径， h = m a x h ，元= m i n kh 耳，e 是一个常数) 是传统有限元方法进行理论分析的前 提条件但最近的一些研究成果f 6 - 1 7 表明，这种假设对一些窄边有限元和各 向异性元并非是必要的同时有些问题定义在窄边区域，如果用正则性剖分， 计算量将非常大；另一方面有些问题的解呈各向异性，即沿某个方向解变化非 常剧烈，而沿另外方向解变化平缓，这时若采用各向异性剖分可以用较少的自 由度而得到同样的最优估计不过在这种情况下，传统的b r a m b l e h i l b e r t 引 理在插值误差分析中已不再适用( 见 7 - 9 ) 而且对于非协调元来说，其传统边 界估计技巧也不再适用，因为此时对单元的长边，其误差估计中出现的嚣项 将会趋于无穷大关于这方面的研究，德国的z a p e l 6 , s , v , l a 作出了杰出的贡献 在专著中研究了各向异性下l a g r a n g e 型协调元的误差分析，并给出了判别一 个单元是否具有各向异性特征的判别定理从而利用具有各向异性特征的单元 使我们得以用较小的自由度得到同样的最优误差估计效果但这种方法有时难 以验证陈绍春，石东洋和赵永成【1 0 】对它进行了改进，给出了一个更为一般 的各向异性判别定理，并将之应用到实际问题中( 包括各向异性非协调元) ，取 得了许多有意义和价值的成果( 见【1 0 ，1 4 ，1 5 ，1 6 ，1 7 】) 首先我们先利用积分恒等式技巧，在各向异性矩形网格之下对w i l s o n 元进 行了分析，通过引入一些技巧得到了与正则网格下相同的最优误差估计及超逼 近性质，进而通过插值后处理的技巧，得到了相应的超收敛结果但【1 8 】中的 积分恒等式技巧虽对广义矩形元十分有效，对三角形元却收效甚微，即使对于 等腰直角三角形网格，并且只是通常的一次元及二次元，要算出积分的精确阶 已经很费力了本文在第三章在各向异性网格下分析了c a r e y 三角形单元的超 收敛性质 本文写作安排如下t 第一章：预备知识，介绍有限元方法所用到的一些基本定理和记号 第二章：s o b o l e v 方程各向异性网格下高阶w i l s o n 元超收敛分析 第三章：s o b o l e v 方程各向异性网格下c a r e y 元超收敛分析 2 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及一些结论 设舻为n 维欧式空间，q 为舻中的区域用护( q ) 表示一切定义在q 上的p 次可积函数组成的集合俨( q ) 表示一切在q 上本性有界的可测函数 组成的集合则按范数 l l u l l l 一( n ) = ( 上l u ( x ) 1 9 如) ；，1 p o 。 l u 0 l * ( n ) = e s s s u pi “( z ) i ，p = o o z i 护( q ) 为b a n a c h 空间而l 2 ( q ) 为h i l b e r t 空间，其内积定义为( 珏，t ，) = 如u v d x 用c m ( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，c 。( n ) 表示区 域q 上无穷次连续可微函数组成的集合，简记c o ( a ) 为g ( q ) 记区域q 上的偏微分算子d 。= d a l d ：n ，其中现= 羔，q h ，a 。为非负 整数n = ( n 1 ，n 。) 称为札重指标，记i o l i = o z 。+ o 。+ + o z 。设m 为非负 整数，1 p o o ，考虑函数空间 这个空间依范数 u 7 m ，p ( q ) = “：d 。u z - 尸( q ) ，i q i m m d i 岳上刚谢，1 p o 。 一2 膦炒地。，p 2 。 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间，并定义半范数 一i 岳上酬9 娃，p 。o m 。，。= 珥缸i i d 。札。，p = o o i 圳= m 又令矸伊9 ( q ) 为c g ( a ) 按范数i 。，在空间w ”p ( q ) 内的完备化空间，则 w g ，( n ) 也是一个b a n a c h 空间简记h m ( q ) = 坤( n ) ，h g ( a ) = 仉字2 ( q ) ， ”| | 。= ”2 ，i i 。= 1 t 。于是h ( q ) ，月铲( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( “，口) m = ( d o u ，d o 口) ，u ，v h m ( q ) s o b o l e v 嵌人定理设qc 舻为有界区域，其边界a q 是局部l i p s c h i t z 连续 的，y n ，k 为非负整数，1 p o 。，则 w m + k 9 ( q ) q 彬，4 ( n ) ，m n i p h s l d e r 不等式：设l p ，口 o o 为一对共轭指数，即；+ 1 q - - 1 , 且，驴( n ) ， 9 p ( q ) ，则 i 上，( z ) 9 ( z ) 出l ( oz ) 1 9 d z ) ；( 上l g ( 圳9 出) j 1 2各向异性有限元的基本知识 给定区域q 的一个剖分 ，一般为三角形或者四边形单元，v k j h ，记 h k 为单元的直径，p k 为k 的最大内接球直径，h 5 。m 。a xh k ，如果存在常数c 使剖分族 ( o h 1 ) 满足 堕gv k 以， p k 则称剖分族是正则的 如果剖分族不仅是正则的，而且存在常数7 ，使得 _ h m k “ 则称剖分是拟一致的构造有限元空间，一般情况下为分片多项式，将变分 问题离散化，在有限维空间上求解若cv ，则称有限元是协调元，否则称 为非协调元 设霞是参考元，p 是詹上的一个m 维多项式空间，p 是p 的共轭空 间设协，庇，蔬) 和 厩，厩，吨) 是户和户的一对共轭基，则 危( 扇) = 如，1 i ，j m 2 设j ：h k ( 1 1 是有限元插值算子，满足 疵( 知) = 危( o ) ，t = 1 ，2 ，m 户 n = ( o l 。，o 。，q 。) 是一个多重指标，则b 。p 也是霞上的多项式空间设 d i m b n 户：r ， 幺，l = 1 ，2 ，r ) 是b n 户的一组基，则b 。( 知) 6b 。p 可表 示为 t nr b 。( 知) = 成( o ) d 。扇= 岛( o ) 白 i = l j = t 显然，白是 加丘) ? 的线性组合，而岛( o ) 是 瓤( i ) 仇的线性组合设 ”l 岛( o ) = q t 成( 啻) 一 i = i 则由上面两式我们有 岛( o ) = 0 t 。臧( o ) = q ；疵( ，番) = 岛( 知) i = ii = i 各向异性基本定理1 2 3 1 1 0 1 ：在上述表达下，如果岛( o ) 能表成 岛( 0 ) = b ( d 。j ) ，1 j m ， 其中f j6 ( ( 露) ) ，1 i ，j m ，同时局( 霞) c 伊户，z ( s 一1 ) ，则存在常数 c ( r ) 满足： l i d 。( 缸一i 也) l l t 霞c l b 。也i l + l 。霄，0 t z + 1 ，v 矗6 日i 。i + 件1 ( 霞) 最大角条件【9 j ：存在一不依赖于h 和k6f 的常数仉 丌使得对任意的单元 k 的最大的内角，y ，有，y 曼仉 坐标系条件【9 】：对任意的单元k6f n 的最长的边和z 轴的夹角1 ，有is i n 0 is c ；，其中h = m a x , h k ，元= m i n k h k ，c 是一个常数 g a t m 剖分【2 3 l ：r 称为g a t m 剖分，如果所有的k 都相等，且所有的 也都相等g a t m 剖分可以不是正则的 3 第二章s o b o l e v 方程各向异性网格下高次w i l s o n 元超收敛分析 2 1引言 s o b o l e v 方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论，土壤中湿气的转移问题， 不同介质的热传导问题等许多物理问题中有广泛的应用，因此已有许多文献研 究此方程 2 2 , 2 4 ，但这些研究都是基于对剖分的正则性条件或拟一致假设 4 1 ，即 满足h l f p k c ，或 肛c ，v k t h ，其中h k ，p k 分别是一般单元k 的最大直 径和最大内切圆直径，h = m a xh k ，元= m i nh k ，c 是一个与h 无关的正常数 但是，从理论分析和实际应用的观点来说，如此假设在很大程度上限制了有限 元方法的应用范围，同时对有些定义在窄边区域的问题，如果用正则性剖分， 计算量将非常大；另一方面有些问题的解呈各向异性，即沿某个方向解变化非 常剧烈，而沿另外方向解变化平缓，这时采用各向异性单元剖分，求解的效果 会更好 近几年来，出现了关于在各向异性网格下的理论分析和数值计算的研究 za p e l 和d o b r o w o l s k i m 【0 1 首先给出了各向异性网格下的插值误差分析，并 给出了各向异性判别定理，但在实际问题中很难验证随后陈绍春，石东洋和 赵永成1 1 0 给出了一个更一般和更易于验证的判别定理除此之外，还出现了 很多关于拉格朗e l 型协调元【6 ，7 ，1 9 】和非协调元 1 0 ，1 4 】的研究各向异性单元 可用于很多问题，如变分不等式 2 5 】，平面线弹性问题【2 6 】等等，并得到了一些 超收敛结果【1 9 ，1 6 ，l7 】 本章讨论了s o b o l e v 方程在各向异性网格下，对高阶w i l s o n 元的高精度 分析，通过引入一些技巧得到了与正则冈格下相同的最优误差估计及超逼近性 质，进而通过插值后处理的技巧，得到了相应的超收敛结果 2 2高阶w i l s o n 元的构造及各向异性特征 设露是一叩平面上的参考单元，其四个顶点分别为a 。( 一1 ，一1 ) ，f i 2 ( 1 ，一1 ) ， a 3 ( 1 1 ) 和a t ( 一1 ，1 ) ，四条边为f 1 = 丽，f 2 = 丽，f 3 = 丽和f 4 = 丽 4 下面构造霞上的高阶w i l s o n 插值 令叠l ： 奶，i = 1 ，2 ，一，1 0 ，户l = s p 。n 1 ，叩，f 卵，乎，铲，2 叶，g 矿，4 3 , 叼3 ) 其中 晚= 舌( 盈) ， i = 1 ，2 ，3 ，4 ， 讪= 而1j c 汹， 乩2 ，3 ，4 ， 硒= 高厶。f 武咖， 弛= 高厶卸武却 容易验证上述插值算子是适定的，并可表示如下 j o = o l + q 2 f + 0 3 ，7 + 0 4 叩+ 0 5 2 + 0 6 叩2 + n 7 p r + a s , s r 2 + n 9 f 3 十d l o 叩3 ( 2 2 ) 其中 ( i 5 + 西) ， ( 。6 + 魄) ， ；( 魄刊， i ( v 6 - - 吼 引理2 2 1 上述定义的插值算子j 具有各向异性特征，即对多重指标a 。 ( o h d 。) ，当i n i = 1 时，存在常数c ，使得 d a 一i 西) l l 。露c l 西。1 3 ，膏，v 。h 4 ( 霞) 5 ( 2 3 ) ， + 啦 饥 研坫一o”一o + + + 讥0 一 晒鲫动 魄 r ! 钆 ， 一 + 一 一 o o 叶 川铲卅吼妒妒刊圳产麓篡篡n 霉 一圹针针针譬咄讲m 一 + 一 + + n 砚 一 慨 k矿陬慨慨协吼扎萋4 一li一一388一 一；一；一00可一 一。气严 n 哪 嘟 泓 邮 嘶 啷 删 这里及以后，正常数c 都与h 及鍪无关 p k 证明：当n = ( i ，0 ) 时，我们有 6 ( 2 4 ) c 5 ； 矿蛳 + 缸+ 以 咄 所 2 ， + 、， 蝴 解 + 矿 砚 饥 l l 堂西似 i i 口 ：| | 踟 = p d到意 注 西恼一垮始也哭 丝必、壕小 翱墨。 参? 缈 h一西翻一锄 悖艨 一玎坚4 珏 h 针 ，叫 武 风= 鹿( 西) = i 厶西武一萼厶西却+ 萼厶f 2 西武咖 由迹定理和h s i d e r 不等式，可得i 或( 西) i c 忪忆膏，( i = 1 ，6 ) 即或( h ( 詹) ) 7 ，( i = 1 ，6 ) h ( 霞) 从而r 为h ( 露) 上的有界线性泛 涵，由各向异性插值基本定理，有 i l d 。 一，6 ) 1 1 0 霞o l d 。0 1 3 霄，v o 日4 ( k ) 同理可证，当n = ( 0 ，1 ) 时也有相似结论 由【1 0 】中的各向异性判别定理知引理得证 下面介绍不完全双二次插值 令磊= m ，i = 1 ，2 ，8 ) ，扇= s p a n 1 ， ，7 ，勋，p ，矿，f 2 町 ，7 2 其中 l 识= 移( 也) ， i = 1 ，2 ，3 ，4 ， i 嘶= 高肛s ， 渊s ，4 容易验证上述插值算子是适定的，并可表示如下 ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 引理2 2 2 【。】：上述定义不完全双二次插值算子n 具有各向异性特征，即对 多重指标o = ( n 。) ，当i o t l = 1 时，存在常数g ，使得 | i d 。 一n o ) 詹c l d 。0 1 1 露，v o h 2 ( 膏) ( 2 8 ) 这里及以后，正常数c 都与h k 及堕无关 p k 7 忱 地 、j、j 町 町 3一qg一8 一 十 f 3一rg一8 + 一 19f一2 一 一 ，l，l、j、j 叩 叩 一 十 l l ，i，l、，、jf + 一 地 q 0 9 d溉溉 卜扩v v o擎醛3孙孙 m m o o 2 3s o b o l e v 方程的逼近格式 考虑下面s o b o l e v 方程： 一a u 一u = ， i nn ( 0 ，明， 钍：0 ，帆a q ( o ，卅， ( 2 9 ) u ( x ，y ，0 ) = 夕( z ，) ， 礼n ， 其中q 是边界同坐标轴平行的有界矩形区域，9 ( z ，y ) 为已知函数 上述问题( 2 9 ) 的变分形式为：求u h i ( n ) ，满足 j ( v 啦，v ) + ( v v 口) = ( ， ) ，v 琊( q ) ，( 2 1 0 )、1 u ， i 乱( o ) = g 为了简单起见，不妨设n 是边界同坐标轴平行的有界矩形区域，其边界分 别平行于x 一轴y 一轴死是n 的矩形剖分，对任意的k t h ，定义单元k 的 中心为( z k ，y k ) ，单元k 的顶点为z i ( z k k ，y k h ”) ，z 2 ( x k + h 。，胀一b ，) ，磊( z + k ，y k + h k ) 和z 4 ( x k h 。，y k + h u ) ，单元的边为如= z 磊+ 1 ( m o d 4 ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 2 h 。，2 h ，分别沿方向。一轴和y 一轴方向的两条边的长度记h = m a x h 。，h u ) ， 但剖分不需要满足正财陛和拟一致假设 4 1 定义一个从参考元到一般单元的仿射变换取：露一k ， r 舻地已 ( 2 1 1 ) iy = y k + h u y ， 高阶w i l s o n 元的有限元空间谐可定义为： 喈= 饥，讥i 詹= l k 。fe 户1 ，v f t h ，二h 】d s = o ，f o k ，( 。) = o ，v 结点o n 这里】表示地跨过单元边界的跳跃度，当f 锄时h 】_ v h 定义插值厶：h 2 ( q ) 一喈，厶i k = k ，k ( 口) = 知。舷1 谮ch i ( n ) 为相应的不完全双二次有限元空间， 谮= ，如露= i o f 怠，v f t h ，f o k ，( o ) = o ，v 结点n 0 a 8 定义插值 ：h 2 ( q ) 一诂，i i h i k = i i ，( ”) = m 。矗1 那么变分问题( 2 1 0 ) 在不完全双二次空间的有限元逼近方程为 求铲话，使 i ( v 也? ，v t ，) + ( v 缸6 ，v ”) = ( ，秒) ，v 钉t 乎， 【砬? ( 0 ) 2 i i h g ， 其中i i g 为g 的不完全双二次插值 则变分问题( 2 1 0 ) 对应高次w i l s o n 元的有限元方程为： 求i g h 喈，满足 ia h ( u ，钉) + a h ( u h ，可) = ( ， 秽) ，帕谐， l 州o ) = i i h 夕， 其中 。 ( 叩) = 厶v t 。矶d x d y ，现ge 诺k p 2 4一些引理 ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 下面我们介绍一些重要引理 引理2 4 1 ：设u 砩( q ) nh 4 ( q ) ，讹话，k t h ，则 上v ( u i i h u ) v v d x d y 2 o ( 3 ) iu1 4 , , d 1 1 , k ( 2 1 4 ) 证明：记u i i u = u ，所有证明上式左端为 上乳v 钉出d y = k w x v x d z 咖+ 厶哟如咖 ( 2 1 5 ) 我们只证明第一部分，第二部分可类似得证 由于在参考单元上有限维空间上所有模等价，记= 妒，“。= 砂并利用 9 h f l d e r 不等式得 w 。v z d x d y = | x 咿封。d z 如= 9 飞h 1 1 h z h d e , d r l = h 。l 争e 蕺如 h ，l i 驴0 0 ，丘0 唾0 0 ；b | | 妒1 1 3 k l l i l l 3 , 鲫川l 洳圳蒜幅川赫憾川l 铷纠孰詹 c h y h x h ；1 i 1 h l + 醒4 ，2 + 4 ，k 2 + 鄹 i u l 4 ，l v l i ， = c h 3 1 u 1 4 ，k l v l l k ( 2 1 6 ) 同理 z ，w u v u d x d ysc h 3 1 u 1 4 ，l 口1 1 ，k ( 2 1 7 ) 由( 2 1 6 ) 和( 2 1 7 ) 得 厶v ( u i i h u ) v v d z d y 2 0 ( 3 ) i “川u h ( 2 1 s ) 故引理得证 定理2 4 1设矗为g a t m 矩形网格剖分，“为( 2 9 ) 的解，“，铲分 别为死上的高阶w i l s o n 元解和不完全双二次元解，i i n “为u 的不完全双二 次插值，则 i i h “= 驴， u ? = 缸? 证明：设憎，话为建立在相同剖分瓦上的高阶w i l s o n 元空间和不完全 双二次元空间，由于话c 喈，因此 a h ( ? ， ) + a h ( “6 ，t ，) = ( v a ? ，v 口) + ( v 也“，v v ) = ( ，”) ，、咖舌乎 ( 2 1 9 ) o ( h u 一砬 ，v ) + a ( f l h u “一也“，t ，) = ( v ( r i u 。h 一五? ) ，v ) + ( v ( h h u “一也? ) ，v v ) ： ( h h u ? 。? ，口) + a ( h u 一“h ，t ，) ( 2 2 0 ) 2 莓厶v ( 巩u ? 一u ? ) v u + 莓厶v ( h h u h - - u h ) v 口 1 0 注意到 砷憎，u h 喈，l 札? b = i u “b = 0 由引理2 4 1 有，对讹瞻 因而，对讹憎 。莓，f r v ( n “；一u ? v = 。 3 乱1 4 ，n i 移1 1 n ( 2 2 1 ) 莓上v ( h u h - - u h ) v v - 一- o ( h 3 ) f u9 4 , n f ( v ( n h 罅一砬? ) ，v 口) 十( v ( n “6 一缸“) ，v v ) = 0 ( 2 2 2 ) 在( 2 2 2 ) 中取口= 砖一砧瞻，有 i l h u h 2 2 l 出d i i h u h - - 钟= o ( 2 2 3 ) 又i i “( o ) 一舻( o ) = 0 ，对( 2 2 3 ) 两端积分 由模的定义知 z i n n u ? 一砬批+ i h h u h - - 铲忙o ( 2 2 4 ) i i h 6 = 扩， u ? = 落 故定理得证 注：这说明，高次w i l s o n 元解的不完全双二次插值与不完全二次解相同 引理2 4 2 ：设铲分别为( 2 1 0 ) 和( 2 1 2 ) 的解，谮为矗上的不完全 双二次有限元空间，n 。u 为u 的不完全双二次插值，则 渺一h h u i ， c h 3 晒( 1 l u , n 弘阵 ( 2 2 5 ) 证明： ( v ( 砬? 一u t ) ，v v ) + ( v ( 缸“一“) ，v ”) = 0 ，v f ( 2 2 6 ) 从而 ( v ( 砬? 一i i h u ) ，v ) + ( v ( 也6 一r l “) ，v 口) = ( v ( u ? 一i i h 饥) ，v v ) + ( v ( u “一n 札) ，v v ) ， 由引理2 4 1 及c a u c h y 不等式 ( v ( 也? 一n h 饥) ，v v ) + ( v ( 砬“一i i u ) ，v v ) c h 3 ( 慨i f 4 + i t ) l v l l ( 2 2 7 ) c h 6 ( 1 l 啦1 1 4 + 1 1 4 1 1 t ) 2 + l 训 ，帕话 在( 2 2 7 ) 中取口= 一i i h “) 。，则 雠- r l h , 1 2 l + 互l 面di u h 一 u 1 2 1 ( 2 2 8 ) c h 6 ( i 撕怕+ jj uj 1 4 ) 2 + i 砬? 一i i h u t i i ， 即 ；爰缈一一u 睡c 6 ( m i a + a ) 2 ， ( 2 2 9 ) 对( 2 2 9 ) 式两端积分，并注意到鲈( o ) = n n u ( o ) ，得 渺一m i c h 3 嘛( 1 l 地i i i + i i 让1 1 4 2 ) d s 阵 ( 2 3 0 ) 故引理得证 定理2 4 2 设驴为的高阶w i l s o n 元解，i i 4 为4 1 1 , 的不完全双二次插 值，则 n h u h 一n u i 。c 嘲尉1 u t t l ：+ i i u i f i ) a s r ( 2 - 3 1 ) 证明：由引理2 4 2 和定理2 4 1 直接得到 2 5整体超收敛结果 为了取得整体超收敛结果，我们需要构造如下插值后处理算子n 魏，设 斤t h 是由相邻四个死中的单元合并成的大单元，在露上， n ； u i 霞q 4 ( k ) ，、b c ( k ) 这里，q i ( f o ) 为露上不包含x 3 y 3 , z 3 y 4 ，x 4 y 3 ，x 4 y 4 项的不完全双四次插值多项 式空间，e ( 露) 为露上的连续函数空间 历1 2z 21 1 鲍1 4k 1 厶z 。1 ， 一 k 31 9k 4 五 f 3 z 4 2 8 磊 1 2 图1 辱元馁 历 图大单元露 氛c ( k ) 一q i 满足：参看上图1 沲) - 。于l 忙1 9 ( 2 3 2 ) lz n ! n u d s = 五u d s t = ，一，z 由【l o i 的技巧可以验证上述构造插值后处理算子磊具有各向异性特征，即 q = ( ，o 。) ，当i n l = 1 时有 j d a ( 砬一f i 氮缸) l o 壹c i d 。矗1 3 膏，v 血h 4 ( 詹) ( 2 3 3 ) 引理2 5 1 ：在上述条件下，插值算子n 魏满足 蠢( h u ) = ：b “，( 2 3 4 ) ； “，一u j l l c h 3 l “，1 4 魏训| 1 c l ，铷谮 ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 证明：由h 盏的构造知( 2 3 4 ) 是显然成立的另一方面，令2 h g , 和2 蜀 分别为露的沿霉一轴和y 一轴方向的边的边长，由( 2 3 3 ) 得 ( ! u u ) 。i l ：，霞= h 五l h r 。i l ( i i 夏0 一d ) i l ：詹c h 1 h r 。l 觑噎詹 g 危乏 岛i u l ：，霄h 6 2 也，。如- i “凰- i ( 2 3 7 ) = c h 6 l u 臣霞， 、j 832 ，l 露4 u 3 e 一 后 3 0 l z 、j u u o 胁 ，l n p 日 同理 i i ( n 4 h u u ) ，i i o ，露c h 3 l u l 4 ，露，( 2 3 9 ) 由( 2 3 s ) 和( 2 3 9 ) 即得( 2 3 5 ) 接下来我i f i 正$ j ( 2 3 6 ) ： = r ( 1 1 2 h v 4 ) 2 d x d ! ，= 厶( 而) ； z 也 凰必咖 = 蜢 如0 ( r o 口) 眩膏sc 乏h 凰0 噍眩膏 = 乏拓 - - 1 2 2 - 1 - - 1 如d y =c f gv 2 d x d y = c i i u 。峨露， 所以 0 ( 魏 k i l o ，露c i i v 。i l o ，霞，( 2 4 0 ) 同理 i i ( 基。) 。贾c l l v ，| | o , r ，( 2 4 1 ) 由( 2 4 0 ) 和( 2 4 1 ) 即得( 2 3 6 ) 故引理得证 定理2 5 1 设为( 2 9 ) 的解，矿和鲈分别为以上的高次w i l s o n 元解 和不完全双二次解，n 为不完全双二次插值，为上述构造的插值后处理 算子，则 l l i h “一u l l l c h 3 【( ( 1 l u t l l 5 + i l u 幢) d s 】 十| | u 忆 ( 2 4 2 ) j u 证明：注意到下式 n 磊“h u = 磊( i i h u ) 一“= 魏( t 正 ) 一魏( h “) + 磊( n u ) 一u ( 2 4 3 ) 由定理2 4 2 有 ( n u “) 一觚u m = - n h u ) l l l _ c l ，l “一酬t ( 2 4 4 ) c h 3 记l 。= 窈，1 2 = 窈，f 。= 藕，2 。= 弱及f 5 = 褒( 参看图3 1 ) 设 a ，- 为参考元，i u e t 形成一町平面的一新的单元，顶点为磊( o ，o ) ，乞( 1 ，o ) ，磊( o ，1 ) 和钒一1 ) ，f 1 ：蕊，f 2 ；蕊，f 3 ：兹及i ：l ；碣，f 5 ：蕊( 参看图3 2 ) 则存在一可逆映射取：a u a 。一e u e 。 麓 因此 z 3 2 2 磊 2 2 z 1 赛= z k ，骞= 。，褰= 。，舄= z l 如i = 4 k 由 9 】我们可知 嘉= 壶，荔- o ， 冼 2 k 却 是- 0 ，坠o y1 2 上旧咄噍武d 叩= c 上岫( 砬f 聊一吒和) 唾武d ，7 所以 f e u e ，w v d x d g = c h ；1 b 厶曲峨d f d f d 町= c k l bl ( 也 聊一咄嗣噍d f 咖 c h ；1 l ( 矗f 聊) 2 必d q p + 【厶以( 砬渤) 2 必d 町p ) 【厶键必却p c ( 镌+ k “) l t , 1 3 1 v 1 1 故引理得证 定理3 4 1 ：设p 为g a t m 三角形网格剖分，“和万分别为c a r e y 元 和线性三角形元的解，厶u 为“线性三角形插值算子，则 i h u h = 万，厶u ? = 巧 证明：令谐和币分别为c a r e y 元和线性三角形元的有限元空间 可手= 口月：( q ) ；口l s p a n a 1 ，a 2 ，a 3 因为语c 喈，我们有 ( u ? ，口) + ( 乱“， ) = n ( 巧，口) + d ( 万，口) = ( ， 口) ，v 劬砑 因此v 语 n ( h u 一巧，口) + d ( 1 h u “一一u h ， ) = ( v ( 厶u 一巧) ，v 口) + ( v ( 厶u “一万) ，v ”) = a h ( i h 一砖，口) + a h ( i h u 6 一u “，口) 2 莓厶v ( 厶? 一札? ) v 移+ 莓厶v ( i h u h - u h ) v 盯 注意到u h v “，u v “，l “1 3 耳= i u k = 0 由引理3 4 1 ，v 订 厶v ( 厶u ? 一u ? ) 乳= o ( h 2 ) 嘲a ，k k 2 o ， 厶v ( 厶u h _ u h ) v 钉= o ( h 2 ) l 氓2 o 因而，v 话， 。 ( v ( 厶谚一巧) ，v 钉) + ( v ( i h u h 一石- ) ，v 口) ：0 在( 3 ，1 3 ) 中取，”= 厶札 一面可 i l h u ? 一巧懵+ ；d l i h u h - 万曙= o 注意到i h ( o ) ：万( o ) ，对( 3 1 4 ) 积分可得 于是，容易得到， 故定理得证 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) i l h u h - - 万瞠+ z 。l 厶“? 一巧1 2 d s = o ( 3 a 5 ) 厶 = 巧， i h u “= 万 注：定理( 3 4 1 ) 说明c a r e y 元解的线性插值和线性元解相同 引理3 4 2 ：设，万分别是( 3 6 ) 和线性元空间的有限元解，矗 一y 2 为“ 的有限元插值，则 哥一l h u i 。 c h 2 e o 。( 1 l u , 噱+ ；) d s 】 ( 3 1 6 ) 2 1 证明：由方程( 3 7 ) 和( 3 8 ) 得到 ( v ( 巧一毗) ，v v ) + ( v ( 万一札) ，v v ) = 0 ，语 ( 3 1 7 ) 从而 ( v ( 巧一厶饥) ，v v ) + ( v ( 万一厶u ) ，v v ) = ( v ( u ? 一h u 。) ，v v ) + ( v ( u “一h u ) ，v v ) ， 由引理( 3 4 1 ) 及c a u c h y 不等式 ( v ( u 一h 毗) ，v v ) + ( v ( u h 一厶) ，v v ) c h 2 ( 1 1 毗1 1 3 + 1 3 ) l v l l ( 3 1 8 ) c h 4 ( 1 1 地1 1 3 + f l u l l 3 ) 2 + 川 ，v v 谐 在( 3 1 8 ) 中取u = ( 万一厶“) 幻则 衙一驯；+ 互l 扩d - - 一枷 1 c h 4 ( 1 i 地i | 3 + i l 札| | 3 ) 2 + j 一厶毗限 即 ；爰l 万一厶u e c 舻( 川。+ i i u 峪) 2 ， 对( 3 2 0 ) 式两端积分，并注意到万( o ) = h u ( o ) ，对( 3 2 4 ) 两端积分，得 渺一驯，c h 2 嘛叫1 s + 1 1 u l i 。) 2 d s 降 故引理得证 定理3 4 2 ：设铲为的c a r e y 元解，厶札为u 的线性插值，则 f 厶u 一厶“i 。se 2 【z ( i i “t 惦+ i i 训i 。) 2 d s 】 证明：由定理3 4 1 ，引理3 4 2 ，直接得到 ( 3 2 0 ) ( 3 2 1 ) ( 3 2 2 ) 3 5整体超收敛结果 为得到整体超收敛，我们构造插值算子孔c ( n ) + s 磊= 驯e b ( e ) ，训铀= o ) 如下： 相邻的四个小单元组成一大单元记为e ( 参看图3 1 ) ， 则在每个大单元e 上 满足 图3 1 大单元e 魏札p 2 ( e ) ，v u c ( e ) k u ( 磊) = “( 五) ，i = 1 ，2 ，6 ， ( 3 2 3 ) 其中b ( e ) 是e 上所有次数不超过2 的多项式集合 引理3 5 1 ：上述插值具有各向异性，即v a = ( q 。，啦) ，l o = 1 d 。 一n 魏o ) i o 雪c i b 。0 1 2 雪( 3 2 4 ) 证明：设大单元e 对应的标准单元为宫( 参考图3 2 ) z 4 图3 2 标准元雪 n 孙o = q 1 又i + q 2 支；- 4 - 0 3 天；+ q 4 a 1 a 2 + q 5 2 a 3 + q 6 a 3 a 1( 3 2 5 ) 其中a 1 = 1 一f 一7 ，a 2 = f ，a 3 = ，7 容易验证( 3 2 3 ) 插值算子是适定的，并可表示如下 丘； o = q 1 ( 1 一f 一叩) + 0 2 f 2 - 4 - 0 3 叩2 + q 4 一 2 一 7 ) + n 5 f ，7 + q 6 加一叩一叩2 ) ( 3 2 6 ) 其中 血1 = 番l ，q 2 = 砚，咖= b 3 ，o l 4 = 4 v 4 0 l 一仍，a 5 = 4 魄一讥一赴，n 6 = 4 6 8 番1 一秘 当q = ( 1 ，0 ) 时，我们有 枷轴= 警一2 a l + 0 t 4 4 - 2 ( n t 怕咱船( 2 。一m - i - o r 5 - - o l 6 ) ，7 ( 3 2 7 ) 也t + a 4 = 3 ( 如也) _ ( 诧刊= 3 0 5 掣武一掣武 ( 3 2 8 ) 屯仙- 2 ( 卅2 ( 如刊一2 z 。掣武+ 2 掣必( 3 2 9 ) z n 咱怕咄一a ( ) + 4 ( 魄刮一4 0 5 掣州掣醐3 0 ) 令西= 赛，则 伍= 扁( 西) = 3 2 5 1 而必一上1 西武， 阮= 岛( 西) = 2 2 5 1 西必+ 2 r 面蜓， 风= 是) = 一4 2 5 1 0 西必+ 4 r 曲武， j j 妻 由迹定理和h s l d e r 不等式，可得i 或( 西) i c l l 西l l 。亩，( i = 1 ，6 ) 即戽( 日1 ( 亩) ) ，( i = 1 ，6 ) v 西h 1 ( 亩) 从而只为h ，( 亩) 上的有界线性泛 涵 同理可证，当o = ( 0 ，1 ) 时也有相似结论 由【1 0 】中的各向异性判别定理知引理得证 引理3 5 2 ：上述定义的插值算子孙满足 魏h u = i i ；h u ，( 3 3 1 ) 0 魏珏一训1 1 c h 2 i l u l l 3 ，( 3 3 2 ) i i 孙v i i l c l l v l l l ，帕霜( 3 3 3 ) 证明：由魏的构造我们易得( 3 3 1 ) 令2 h e , 和2 h e y 分别为e 的沿z 一轴 和y 一轴方向的边的边长，由( 3 2 4 ) 有 ( 魏札一u ) 舶e 2 e ( 2 2 u u ，z 2d x d y = 五( 适知一缸) ； 爰 b 岛武咖 = h e h e , h ( l 一砬) 踬盒 c h 。- 1 、2 亩 c h e ：h e 。m ，e h 4 h 2 h - 。l h 。- 。1 = c h 4 川；e ， 因此 0 ( 魏u u k f l o ，e c h 2 l “1 3 ，e ， 类似的，我们有 0 ( 轰u u ) ，e c h 2 l u l 3 ，e ， 合并( 3 2 8 ) 和( 3 2 9 ) 就得到了( 3 2 6 ) 接下来我们证明( 3 2 7 ) 因为 忡毳训；，e = 上( ；) 2 d x d y 2 5 ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) 所以 = 厶( 嘎知) ； 乏h 如 b 必咖 = 乏0 ( 百知) 艇亩 c 乏 毋l l 噍嚯岔= c 乏 b 五武咖 = c h 乏h e , e m 2 。- - n 2 e 。- - l 。- e 1 。- - i l - 1 如如 = c 五记出咖= c o 幢e ， ( 魏口) 。esc i i v 1 l o ，e ( 3 3 6 ) 类似的 0 ( 魏 ) ，i i o ，e c l t l l o ，e ， (