（计算数学专业论文）几类中立型时滞差分方程的振动性研究.pdf

摘要 摘要 差分方程的定性理论( 包括振动性，周期性，渐进性等) 是差分方程理论 的重要组成部分。如今，随着计算机技术的迅速发展，有关它的研究已成 为一个比较活跃的研究领域，差分方程更是广泛应用于工程控制、医学、 现代物理、生物数学等科学领域所研究和处理的许多重要实际问题中。 本文分别研究了具有正负系数的中立型时滞差分方程、具有连续变量 的高阶非线性交时滞差分方程和高阶非线性中立型时滞差分方程的定性问 题。所涉及的课题推广了已有文献中所研究的问题。针对这几种方程，分 别给出了其解的振动性、渐进性以及正解存在性的一些充分条件。 首先介绍了有关本文所要研究的几类差分方程的发展历史以及本文所 要研究的内容。 其次研究了一类具有正负系数的中立型时滞差分方程正解的存在性问 题。去掉了已有文献中一个相当强的假设，扩大了参数的取值范围。同时， 把该结论推广到任意的高阶方程上，得到了有关非振动解存在的两个全局 性结果。 然后讨论了一类具有连续变量的高阶非线性变时滞差分方程的振动性 与渐进性问题。运用反证法和数学归纳法，将已有文献中关于振动性的结 论推广到了高阶方程上。同时，又给出了几个新的有关这类方程振动性和 方程的解渐进性的充分条件。 最后运用不动点原理研究了一类高阶非线性中立型差分方程最终正解 的存在性问题。扩大了参数的取值范围，得到了较已有文献中更简洁的一 个充分条件。 关键词差分方程：振动性；渐进性；正解；正负系数 燕山大学理学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e o r yo fq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s ( i n c l u d i n g o s c i l l a t i o n ，p e r i o d i c i t y ，a s y m p t o t i cb e h a v i o re t c ) i st h ei m p o r t a n tc o n s t i t u t ep a r t o ft h e o r yo fd i f f e r e n c ee q u a t i o n s n o w , w i t ht h ed e v e l o p m e n to fc o m p u t e r s c i e n c e ，t h er e s e a r c ho fi th a sa l r e a d yb e c a m eam o r ea c t i v er e s e a r c hf i e l d ，a n d t h ed i f f e r e n c e e q u a t i o n h a se x t e n s i v e l yb e e na p p l i e dt om a n yi m p o r t a n t p r o b l e m ss t u d i e da n dh a n d l e db yt h es c i e n c ef i e l ds u c ha se n g i n e e r i n gc o n t r o l ， m e d i c a ls c i e n c e ，m o d e r np h y s i t sa n db i o m a t h e m a t i c s t h i sp a p e ri sd e v o t e dt ot h ep r o b l e m so fq u a l i t a t i v eb e h a v i o ro fan e u t r a l d e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n w i t ht h e p o s i t i v e a n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s ，a h i 曲- o r d e r n o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o na n dah i 曲一o r d e r n o n l i n e a rn e u t r a lv a r i a b l ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u sa r g u m e n t s t h er e l a t i v et o p i c se x t e n dt h ep r o b l e m ss t u d i e di nt h el i t e r a t u r e s f o rt h e s e d i f f e r e n tk i n d so fe q u a t i o n s ，t h i sp a p e rg i v e ss e p a r a t e l ys o m es u f f i c i e n t c o n d i t i o n sf o ro s c i l l a t i o n ，a s y m p t o t i cb e h a v i o ro fs o l u t i o n sa n de x i s t e n c eo f p o s i t i v es o l u t i o n s f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h eh i s t o r yo ft h e s es e v e r a lt y p ed i f f e r e n c ee q u a t i o n s w h i c hw i l lb es t u d i e di nt h i sp a p e ra n dt h ec o n t e n t sw h i c hw i l lb es t u d i e di nt h i s p a p e l t h e n ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no fan e u t r a ld e l a y d i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t l lp o s f f i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s w eg e tr i do faq u i t e s t r o n gt e n t a t i v ei nt h ep r e v e n i e n tl i t e r a t u r e s ，e x t e n dt h er a n g eo fp a r a m e t e r , a t t h es a l n et i m e ，w ee x p a n d st h e s ec o n c l u s i o n st oh i g h e ro r d e rc a s e ，t w og l o b a l r e s u l t sa b o u tt h ee x i s t e n c eo f n o n - o s c i l l a t o r ys o l u t i o nw e r ea c h i e v e d t h i r d l y , w ed i s c u s st h eo s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i cb e h a v i o ro fah i g h o r d e r n o n l i n e a rn e u t r a lv a r i a b l ed e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o nw i t hc o n t i n u o u sa r g u m e n t s u s i n gr e d u c t i o nt oa b s u r d i t ya n dm a t h e m a t i c si n d u c t i o n ，t h e s er e s u l t sa b o u t o s c i l l a t i o ni nt h ep r e v e n i e n tl i t e r a t u r e sw e r ee x p a n d e dt ot h eh i g ho r d e rc a s e ，a t t h es a m et i m e ，s o i n en e ws u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fo s c i l l a t i o na n da s y m p t o t i c b e h a v i o rt ot h i sk i n do fe q u a t i o nw e r eo b t a i n e d f i n a l l y ，b yu s i n gt h ef i x e dp o i n tt h e o r e m ，w es t u d yt h ee x i s t e n c eo ff i n a l d o s i t i v es o l u t i o no fah i g h o r d e rn o n l i n e a rn e u t r a ld e l a yd i f f e r e n c ee q u a t i o n t h er a n g eo fp a r a m e t e ri se x t e n d e d ，ac o m p a c t e rs u f f i c i e n tc o n d i t i o nt h a nt h e p r e v e n i e n tl i t e r a t u r e si so b t a i n e d k e y w o r d sd i f f e r e n c ee q u a t i o n ；o s c i l l a t i o n ；a s y m p t o t i cb e h a v i o r ；p o s i t i v e s o l u t i o n ；p o s i t i v ea n dn e g a t i v ec o e f f i c i e n t s n i 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1引言 离散与连续是现实世界中物质运动对立统一的两个方面。离散数学与 连续数学是描述、刻画和表达现实世界物质运动的两种有力工具。从数学 角度来看，连续的结果与离散的结果是可以相互通达的。但是，离散数学 的基本原则却不能完全由连续数学取代；它有自己的理论基础。特别是在 电子计算机技术蓬勃发展的今天，离散数学自然也就变成了计算机、信息 系统、工程控制、生态平衡、社会经济和生物工程等科学技术的重要理论 基础之一。另一方面，随着近代科学技术的突飞猛进，对于控制理论学家、 经济学家以及生物学家来说，描述离散肆阃系统的差分方程已经成为一个 重要且有用的数学模型。事实上，近年来由于医学、生物数学和现代物理 等自然科学和边缘科学的进一步发展，亦提出了许多由差分方程描述的具 体数学模型。例如在现代控制论中，随着控制系统复杂性的增加、最优状 态的严格要求以及经济上的原因，以数字计算机为核心构成的数字控制器 已被广泛应用。数字控制器由采样器、模拟数字转换器( a d c ) 、数字计算 机、数字模拟转换器和保持电路组成。它的特点是接受短脉冲形式的数据， 并产生与控制信号相类似的输出信号，这种系统常称为采样数据控制系统。 它的数学模型就是差分方程。由于这种系统使用了数字计算机技术，因此 在现代复杂控制系统、高精度控制系统和远距离数据传输系统以及雷达跟 踪系统等技术领域都被广泛地应用着。再则，在微分方程离散化方法的研 究中也出现了许多差分方程。我 f 不能仅仅局限于对差分方程的迭代计算， 而应当对差分方程解序列的全局性结构进行分析，然后再进行计算和数值 分析，这样才有的放矢。此外，在诸如物理学、生物工程、电信号系统和 自动控制等抽象出来的数学模型中，当考虑到事物本身的复杂性以及精确 性时，往往导出时滞微分方程或称为泛函微分方程。但这些微分方程往往 很复杂，在很多情况下都无法给出其精确的解析表达式，因此其离散化后 所得的差分方程往往更具有实际的应用价值。因此，差分方程也就成为从 燕山大学理学硕士学位论文 事生物工程、电信号系统和自动控制等各方面工作的科技人员所必须熟悉 的数学工具。 差分方程作为与微分方程相平行的一个数学分支，它的建立与完善可 以追溯到很早年代。历史上许多著名数学家，如e u l e r ，p o i n e a r e 等都对这 个理论作出过许多贡献。人们自然觉得一个差分方程应该解出来，然而遗 憾的是，很多差分方程用人们所熟悉的初等函数来解出这些方程的可能性 很小。这种情况促使人们把问题提到更高2 层以扩大视野，而且很多时候 人们的真正目标就是要了解这些方程解的本质和特性。如果能通过这些解 的初等式子来达到这个目的，那当然很好，如果不能，就得设法找别的途 径，以求达到同一目的。所以我们把注意力转向这样一个问题，即在没有 得出这些差分方程的解的表达式时，看看从直接分析方程本身着手能够对 这些解的基本特征有何了解。令人惊异的是，用这种方法居然能得出这么 多有趣的和有用的知识。后来，人们又发现，在解的振动性、稳定性或渐 进性等方面，差分方程与微分方程在许多结果上虽然是相似的、相近的或 平行的，但也有很多本质上的差别。因此，许多研究者对差分方程的定性 理论产生了研究兴趣。这些年来，人们也越来越重视差分方程的研究。由 于这些方程应用的广泛性，差分方程现已成为数学研究特别是动力系统中 的一个重要分支，具有重要的理论意义和研究价值，其定性研究的思想和 技巧己渗透到其它应用数学分支，差分方程理论的完善和发展推动着人们 对客观现实世界的认识和改造。近年来，它不但在数值分析、计数理论和 特殊函数论等数学本身中有着广泛的应用，而且由于电子计算机技术的蓬 勃发展，差分方程理论不仅在工程技术、现代控制论以及航天卫星等尖端 应用领域中有重要作用，而且在计算机科学、人口动态学和金融等领域中 也成为不可缺少的数学工具。 在各类差分方程模型中，由于中立型时滞差分方程客观准确地描述了 各类动态系统的运动过程以及其本身涉及的大量数学问题，国内外许多学 者对中立型差分方程进行了大量的深入的研究。e r b e 和张炳根1 9 8 8 年在 美国c h i o 国际微分方程会议上的报告，第一次提出了作为时滞微分方程的 离散形式。早期的研究工作主要集中在方程解的基本理论和稳定性理论上， 2 苎! 兰堑笙 系统的总结这方面工作的有d r i v e r ，h a l e 2 1 ，李森林和温立志 3 1 等人的专 著。后来人们发现中立型差分方程的诸多性质除了可由方程的系数以及方 程自身结构等一些因素引起外，滞量本身的改变也可引起方程解的振动性 质的改变。最近几年中，国内外众多学者对各类中立型差分方程进行了广 泛的研究，并取得了丰富的研究成果，文献【4 7 】就是这些工作的一部分， 尤其是a g a r w a l 8 i i ，e l a y d i l l 2 1 ，张广、高英等人的专著对近几年的研究 成果作了系统的总结。 对于差分方程模型，目前为止有很大一部分工作是围绕研究它的所有 解的最终性态出发的。在最近3 0 年中，差分方程理论有了迅速的发展，国 际文献中也相继发表了许多论文，如差分方程的振动性1 4 , 1 5 1 、周期性和稳 定性m 一8 1 、持久存在性和吸引性1 蚰1 1 等，并陆续出版了一系列专著2 2 崩1 。 广泛的应用背景促使这一理论迅速而深入地发展。 本篇论文主要讨论了下面四个中立型时滞差分方程 3 k 0 ) + p x 0 r ) 】+ r 。0 b 0 一玩) 一r ：0 h 0 一d ：) = 0( i ) “k o ) + p x ( n r ) 】+ r 1 0 h 0 4 ) 一r 2 0 h o ) = 0( i i ) t x ( r ) + p ( t ) f ( x ( t 一8 ( 0 ) = 0 ( i i i ) a m ( x 。一p c 一) + g 。f ( x 。一。) = 0 ( i v ) 的定性问题，所得结论均推广或改进了已有文献中的相应结果。 1 2 关于具正负系数线性差分方程正解存在性的研究概况 由于计算机科学、自动控制技术、生物学、经济金融、航天卫星和数 值计算等研究领域的迅速发展，自1 9 8 0 年以来，在数学界和应用科学领域 中，许多学者在对中立型时滞差分方程的振动性理论进行研究。而且近年 来已取得了许多好的结果f 2 鼬”。众所周知，差分方程正解的存在条件与系 统是否可解和振动性等许多问题密切相关，因此，一些作者对中立型时滞 差分方程存在最终正解的条件作了研究，如孙书荣、韩振来1 2 9 3 ”、杨军、 关新平口、廖新元 3 3 , 3 4 1 等。同时对于具有正负系数的中立型时滞微分方程 的振动性与最终正解存在性 3 5 3 列的研究和对于具有正负系数的中立型时 滞差分方程的振动性【3 叫1 l 研究已有很多的研究成果。但对于具有正负系数 3 燕山大学理学硕士学位论文 的中立型时滞差分方程有界正解存在性的研究却并不多见h 2 ，4 3 1 ，而且方程 的阶数多为低阶的。文献【4 4 】研究了具有正负系数的一阶差分方程 a ( x 。+ i p n x n ) + q n x n 。一，b = 0 ( 1 - 1 ) 有界正解的存在性。在0 互时，有 a r l ( h ) 一r 2 ( h ) 0 ( 1 - 6 ) 这里p - + 1 ，那么方程( 1 3 ) 存在一个最终正解。 关于方程( 1 3 ) 非振动解存在的充分条件，在变系数的情况下，迄今为 止，这是第一个关于所有中立项系数p 值而言的全局性结果。但是条件( 1 6 、 对蜀( ”) ，r ：( ) 的限制似乎太强了，论文的第二章就是在去掉条件( 1 - 6 ) ，而 且允许p = 1 的情况下，构造了一个全新的压缩映射，利用不动点原理，得 到了具有正负系数的三阶线性中立型时滞差分方程( 1 3 ) 最终正解存在的 一个充分性条件。同时，本论文还将此结论推广到与方程( 1 3 ) 相对应的任 意高阶方程 “b 0 ) + 彤0 一r ) 】+ r 。0 h o 一4 ) 一心o b 0 一疋) = 0( 1 7 ) 上，得到了关于这类任意的高阶方程( 1 7 ) 最终正解存在的一个充分性条 4 第1 章绪论 件。这是两个全新的全局性结果( 关于中立项系数p 值而言) 。 1 3关于一类具有连续变量差分方程振动问题的研究概况 最近几年以来，关于对具有连续变量的差分方程的定性研究已取得了 一些结果【4 7 5 0 】。但所研究的方程多为低阶的 5 1 , s 2 或线性的5 5 1 。对于具有 连续变量的高阶非线性变时滞差分方程解的渐进性与振动性研究在己知的 文献中还未见任何结果。论文的第三章，研究了一类具有连续变量的高阶 非线性变时滞差分方程 ? r x o ) 十p ( t ) f ( x ( t d ( f ) ) = 0( 1 - 8 ) 的振动性与渐进性问题，这里f 0 是步长，x ( r ) = x ( t + f ) 一x ( r ) ， a a r x ( o = a r a - l ( ，x ( r ) ) ，p ( o c ( t o ，+ 。q ) ，r + ) ，8 ( 0 r ，l i m ( f 一占( f ) ) = + o 。， f c ( r ，r ) 。 与该课题有关的研究是从一类具有连续变量的一阶非线性多时滞差分 方程开始的。张玉珠和燕居让【5 6 1 研究了一类具有多个时滞的连续变量的差 分方程 y ( r ) 一y ( t - r ) + p ) _ y ( 卜q ) = 0 ( 1 9 ) i = l 的振动性问题，给出了该方程振动的几个充分条件。熊万民和王志成5 7 1 研究了一类具有连续变量的中立型差分方程 ( x ( r ) 一p x ( t f ) ) + q ( t ) x ( t c r ) = 0 ( 1 1 0 ) 的振动性问题，给出了该方程振动的若干准则。刘召爽和吴淑剥5 8 1 给出了 一类具有多个时滞连续变量的中立型差分方程 卫 ( x ( ，) 一p x ( t f ) ) + q i x ( t q ) = 0 ( 1 - 1 1 ) l ；l 振动的几个充分条件。最近韩振来等在文献【5 9 】中将方程( 1 1 1 ) 在形式上加 以推广，研究了一类具有连续变量的三阶非线性变时滞差分方程 j r x ( f ) + p ( t ) f ( x ( t 一盯( r ) ) = 0( 1 1 2 ) 解的振动性问题。这里f 0 是步长，ax ( f ) = x ( t + f ) 一x ( r ) ， 5 燕山大学理学硕士学位论文 r x ( f ) = ，2 ( ，x ( r ) ) ，p ( r ) c ( t o ，+ ) ，r + ) ，仃( f ) r ，。l 斗i r a 忡( t 一仃( r ) ) = + f c ( r ，r ) 。并获得了下面的结论： 首先给出下列条件： ( a ) 矿( “) 0 ，“0 ； ( b ) 对某个f t o ，有p ( t + i t ) = + o 。； ( c ) ! ! m i n f l ，( ”) p 0 ； ( d ) t 一8 ( t ) 是单调非减的： ( e ) 存在正的常数占 0 使得f ( u ) s g n u j 。 定理a 假设条件( a ) ，( b ) ，( c ) 成立。若函数f ( u ) 在“0 处连续， 则方程( 1 1 2 ) 的所有有界解是振动的。 定理b 设条件( a ) ，( b ) ，( d ) 成立，若函数f ( u ) 单调非增，则方程 ( 1 1 2 ) 的所有有界解振动。 定理c 设条件( b ) ，( e ) 成立，则方程( 1 1 2 ) 振动。 在此以后，没有相关文献资料记载有关此类方程进一步的研究情况。 本论文的第三章，正是在此基础上研究了一类具有连续变量的任意高阶非 线性变时滞差分方程( 1 8 ) 的渐进性与振动性问题。将已有文献中关于振动 性的三个结论推广到了任意高阶方程( 1 8 ) 上，又给出了两个新的关于该类 方程所有有界解振动的充分性条件。同时，还给出了三个关于该类方程有 界非振动解渐进性的全新的充分性条件。推广并改进了已有文献中的相关 结论。 1 4 关于非线性高阶差分方程最终正解存在性的研究概况 由于管理科学、生物数学、数值分析和边缘科学等的不断发展，在生 产实践中提出了很多由时滞差分方程描述的具体数学模型，因而对于时滞 差分方程定性理论的研究吸引了大批学者的关注。近年来，已有许多文献 研究时滞差分方程的定性性质，并取得了许多好的结果。但这些成果多为 6 第1 章绪论 线一眭的1 6 0 , 6 q ，而对于非线性的情形又多为低阶的 6 扛6 5 1 。对于高阶非线性的 情形，由于研究难度大，研究工作很少【6 “8 1 。论文第四章研究了一类高阶 非线性差分方程 ( “一肛。) + 吼，( 矗一。) = 0( 1 - 1 3 ) 的振动性。其中m 是正奇数， n ，p r ，对”e n ，玑r + 。盯n ， r n ( 1 ) 。记2 = m a x r ，叫，c ( r ，r ) 满足x 0 时矿( x ) 0 ，且对 v x ，y r ，有 i ，( x ) 一厂( _ y ) l l i x y i( 1 - 1 4 ) 其中三为正的李普希兹常数。 对于方程( 1 1 3 ) ，其特殊情形已在泛函微分方程的数值分析中出现【6 9 1 。 近年来，已有不少工作研究当m = p = 1 时方程( 1 1 3 ) 的振动性【7 0 。2 1 。对于 m 1 ，p 1 的情形，还只有零星的工作。张炳根和杨博在文献【7 3 中研究 了当p = 1 时其与m + 1 阶方程 卅“y + 兰2 厂( 儿) = 0 - g 在振动性上是等价的，同时也得到了这些方程的一些新的振动准则。杨逢 建和刘洁纯在文献【7 4 】中研究了一类高阶非线性变时滞方程 a m ( x 一p x 。) t 吼，( x 。一) = 0( 1 - 1 5 ) 正解的存在性问题。其中m 2 为偶数；行n ；p r ；对门n ，q 。r + 且( 吼) 最终不恒为0 ；吒en ，且序列以) 有界：，( 1 ) ；记 k 2 m a x l ；女。，n n ；f c ( r ，r ) ，当x 0 时有矿0 ) 0 ，且对任意 x ，y r ，有 l 厂( x ) 一，( y ) i 冬l l x - y l( 1 - 1 6 ) 其中三为正的常数。并获得了下面的结论： 定理a 假设p 1 ，( x ) 满足条件( 1 1 6 ) ，且有 姜薯坚箍竽 佃r = of = r l 盯一二，： 则差分方程( 1 1 5 ) 存在有界的最终正解。 本论文在此基础上，对于当方程( j ：1 3 ) 为奇数阶方程时， ( 1 1 7 ) 构造了几个 燕山大学理学硕士学位论文 完全不同的压缩映射，利用b a n a c h 空间上的压缩映射原理得到了其存在最 终正解的一个充分条件，这个充分性条件比上述定理更简洁，因而也就具 有更广泛的应用性。同时，还扩大了中立项系数p 的取值范围，允许p = - 1 ， 丰富了这类方程的研究成果。 1 5 论文的结构安排及有关记号 本论文共分四章。 第1 章绪论。本章首先介绍了差分方程的发展背景及其发展历史，然 后介绍了一类具有正负系数线性中立型时滞差分方程正解存在性、一类具 有连续变量的高阶非线性变时滞差分方程的渐进性与振动性和一类高阶非 线性时滞差分方程最终正解存在性的研究概况。 第2 章具有正负系数线性差分方程正解的存在性。本章研究了一类具 有正负系数的三阶线性中立型时滞差分方程 a 3 【x ( 疗) + p x ( n f ) 】+ r 1 ( n ) x ( n 一4 ) 一r 2 ( n ) x ( n 一疋) = 0 及其高阶方程 ”“b o ) + 彤0 一r ) 】+ 置0 h 0 一点) 一心o b 0 6 2 ) = 0 正解的存在性问题。这里 p r ；r ( 1 ) ；玩，最；r l ( 帕，r 2 ( 叻c ( 【行o ，+ ) ，r + ) 给出了这两个方程正解存在的两个充分条件。 第3 章具有连续变量差分方程解的定性性质。本章研究了一类具有连 续变量的高阶非线性变时滞差分方程 d r z ( f ) - i - p ( t ) f ( x ( t 一占( f ) ) = 0 的振动性与渐进性问题。这里f 0 是步长，a ，x ( r ) = x ( t + f ) 一x ( r ) ， ? r x ( t ) = ，d - i ( ，x ( ，) ) ，p ( r ) c ( t o ，+ o 。) r + ) ，j ( f ) r ，l i m ( t 一8 ( 0 ) = + 。， 厂c ( r ，r ) 。给出了这类方程所有有界解振动和方程振动的五个充分性条 件，以及有关该类方程有界非振动解渐进性的三个充分性条件。 第4 章非线性高阶差分方程最终正解的存在性。本章研究了一类高阶 非线性时滞差分方程 客 第1 章绪论 a m ( x 。一口x 。一，) + 吼f ( x ) = 0 最终正解的存在性问题。其中m 是正奇数，n n ，p r ，对v e n ，吼r + 。 口n ，f n ( 1 ) 。记u = m a x r ，o r ) ，厂c ( r ，r ) 满足x 0 时矿( x ) 0 ， 且对v x ，y r ，有 i 厂( x ) 一，( y ) i 三i x y l 其中工为正的李普希兹常数。针对不同的中立项系数给出了该类方程最终 正解存在的一个充分性条件。 为行文方便，现将本文用到的基本概念和记号叙述如下： “a ”表示向前差分算子，即缈0 ) = y g + 1 ) 一y o ) ；z 表示所有整数 构成的集合；r 表示实数集合；设口z ，记n ( a ) = 缸，a + l ， ，n = ( o ) ； 对任给的日，b z ，且口b ，记n ( a ，b ) - - - 忙，口+ 1 ，b 。 一个差分方程的扛0 ) 解称为最终为正的，是指存在正整数m ，使得 ) 时，有i x ( n ) 0 ；若存在正整数m ，使x ( 疗) n 时下面的两个 式子成立 第2 章具有正负系数线性差分方程正解的存在性 荟矿r ，( 哪i 1 ( 2 - 4 )p 2 | j 2 r ：( 研1 ( 2 5 ) 令 a = x l 。：2 x ( n ) 4 ，聍n ( n o ) ( 2 - 6 ) 那么a 为三。上的有界闭凸子集。定义4 上的映射r ：a j l 。如下： t x ( n ) ：3 + 善。赢萎。“+ 1 ) 瞰蛐一a 1 ) 喇班( 卜蜊腔( 2 - 7 ) i z h ，) n o n 显然a 是连续的。下面证明r 为爿上的自映射。 对任意x a ，当疗n 时由式( 2 - 6 ) 和式( 2 7 ) 有 佃l n + 2 i r 一1 n + ( 2 i - 1 ) r ii r x ( n ) 3 + l + i o k + 1 ) r 。( j ) z ( s 一8 1 ) i = 1l 女珊( 2 f t ) r k - n + ( 2 i 一2 1 t s = k 3 + 4 ( s - k + 1 ) r ，( s ) e 3 + 4 ( s k + 1 ) r l ( j ) 3 + 4 s 2 r 1 ( j ) 从而，由式( 2 4 ) 有 t x ( n ) 3 + 4 二= 4 由式( 2 5 ) ，式( 2 6 ) 和式( 2 7 ) 又有 t x ( n ) 3 - 4 s 2 r 2 ( s ) 3 - 4 。了1 = 2 显然当n n 时 2 t x ( n ) = r x ( n ) s 4 从而对任意的x a ，都有 2 蔓t x 4 因此t x a ，即r 为4 上的自映射。 燕山大学理学硕士学位论文 下面证明r 为爿上的压缩映射。 对任意一，屯a ，r l n 有 十呻n + 2 i t - - l + ” i t x ，( n ) 一t x ：( 聍) i - l ( s - k + 1 ) g 。( s ) 【x 。0 8 1 ) 一x ：o 一占：) 】1 t = lk = n + ( 2 i n rs = k ( s k + 1 ) g 。( s ) 一x ：悟 k = ns = k + 1 j 2 r 。o ) ox 。一x ：1 1 去i i _ 一x ：i i 故存在g = _ 1 ，使得 4 i t x l ( n ) 一t x 2 ( 竹) i q | | x l x 2 | | 显然当n 。一 n 时 i t x l ( ”) 一t x 2 ( n ) l = l t x i ( n ) 一t x 2 ( n ) 阵q | i x l 一x 20 从而，对任意的而，x 2 a ，当 n o 时，均有 i t x l ( ，z ) 一t x 2 ( ”) 阵q0 x 1 一x 2 | | 所以丁是a 上的一个压缩映射。 综上所述，由b a n a c h 压缩映射原理，r 在爿上有一个不动点，即t x = z 。 其中z = x ( ) ) 满足： r + 2 i 1 。 砌) ：j3 + 乳赢萎。“) 驯砸圳础z 。h 。卅州 l x ( )n o n n 从而有 x ( ”一r ) = 3 + ( s - k + 1 ) g 。( s ) x ( s - 8 0 - r 2 ( s ) x ( s 一吒) i = 1k = n + ( 2 i 一2 ) rs = k x ( h ) + x ( n f ) = 6 + ( s 一时j ) 限( s ) x ( s - - 占i ) 一r 2 ( s ) x ( j 一最) _ i = 1k = n + ( 2 i 一2 ) rs = k 6 + ( 5 一尼+ 1 ) r ，( s ) x ( s 一8 1 ) 一r 2 ( s ) x ( j 一以) 】 对上式求三次差分，得 第2 章具有正负系数线性差分方程正解的存在性 a 3 x ( 聆) + p x ( n f ) 】+ r 1 ( n ) x ( n 一磊) 一r 2 ( n ) x ( n 一如) = 0 因此，该不动点( x ( 胛) ) 为方程( 2 1 ) 的一个正解。情形1 证毕。 情形20 p 1 由式( 2 3 ) ，可以选取充分大的正整数n 。+ 占，其中 j = m a x r ，4 ，巧2 ) ，使得 薹嘲邮气掣 s ， 茎矿删导笔出 ( 2 - ，) 聆2 蜀( 疗) + 且2 ( n ) 】 l p ( 2 1 0 ) 这里m - 和m ：是正常数，且满足l 一 p 兰差。 令 a = x 三。：m 1 x ( n ) s m 2 ，”n ( n o ) )( 2 - 1 1 ) 那么a 为l 。上的有界闭凸子集。 定义a 上的映射t ：a 斗上。如下： 取功： 1 - p 一烈舻力+ 萎暖：w 限铆地磊) 一是( 咖( 卜嘎) 腔n t( 2 _ 1 2 ) ltx(n1)lqon 显然r 是连续的。下面证明t 为a 上的自映射。 对任意的x a ，当h n 。时，由式( 2 1 1 ) 和式( 2 1 2 ) 失n z x ( n ) = 1 - p p x ( n f ) + c , l 2 一。【r l ( j ) x ( s 一4 ) 一r 2 ( 5 ) x ( 5 一疋) 】 1 一p + c r 。( j ) 工( s 一4 ) l p + m ：s 2 r i ( s ) 从而，由式( 2 8 ) ，可知 脚) l - p - ：出生警碱 显然当n o n 啊时 m l r x ( n ) = r x ( n 1 ) m 2 从而，对任意x a ，均有 m 1 t x s m 2 因此t x a ，即r 为4 上的自映射。 下面证明r 为a 上的压缩映射。 对任意x 1 ，z 2 a ，即船1 ，有 i t x ，( n ) 一t x ：( h ) l p x 。( i q - - l y ) + c 三2 一。 r 。( s ) z 。( s 一最) 一r ：( s ) x 。( j 一也) + p x ：( 行- r ) 一c 三：一。【r 。( s ) x ：( s 一4 ) 一恐( j ) x ：( s 一岛) i 卜p x ( n f ) + p x ：( 一一r ) 卜：一。r ，( s ) 瞰s 一4 ) 一 x ：( s 一点) l + c 三：一。r ：( s ) lx 。( s 一以) 一x ：( s 一以) 峰 p i ix 一x ： | + i ix 。一x ：i i s 2 ( r ( j ) + r ：( j ) ) = h x ：帅+ s2 ( 置( s ) + 尺：( s ) ) 5 = 月 1 4 第2 章具有正负系数线性差分方程正解的存在性 故由式( 2 1 0 ) 可知，存在0 q 1 ，使得 z k l ( 胛) 一t x 2 ( 行) i 目1 | | x l x 20 显然当n n 。，满足 咒2 + f = n o + m a x 占1 ，j 2 ) ，使得 薹n 2 r i 哗产 薹矿删半 + a o n 2 r i ( 胛) + r 2 ( 仃) 】 p 一1 2 这里m 3 和m 。是正常数，且满足( 1 一屿) p l + m 。，p ( 1 一m 。) 1 。 令 ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) ( 2 1 5 ) 燕山大学理学硕士学位论文 爿= x k ：m 3 x ( n ) m 4 ，n n ( n o ) ) 那么a 为。上的有界闭凸子集。 定义4 上的映射t ：a l 。如下： m ：”1 一x ( n m 三弘一隅雌珈一是哪】 i 瓤也) 显然丁是连续的。下面证明t 为4 上的自映射。 ( 2 1 6 ) n 儿 ( 2 1 7 ) n o s 盯 恐 戤( n ) = 1 1 p 一吉z 咖+ 力+ 吉，茎譬：一，哦( s ) 石。一嗔) 一如( 一弦。一最) 】 一* 薹生州咖卜哪- 一刍+ m 4 艺。s 2 r 1 从而，由式( 2 1 3 ) ，有 脚) l 一吉+ 了m 4 掣m 啦ppa 由式( 2 1 6 ) 5 f i 式( 2 - 1 7 ) 又有 脚) 。1 。i 1 i 1 砌+ ) + 吉，挈i 胤咖圳喝坤吲 1 一万1 一万1 砌一吉；弘：私：砸一如) 卜* ”等势： a ( h ) 2 1 一! 一土m 。 p p 显然当竹 n 2 时 。m 4 p ( 1 - m 3 ) - ( 1 + m 4 ) pma m 3 t x ( n ) = r x ( n 2 ) m 4 所以，对任意x 爿，均有 m 3 t x m 4 = m 3 第2 章具有正负系数线性差分方程正解的存在性 因此t x a ，即t 为a 上的目映射。 下面证明t 为a 上的压缩映射。对任意一，z ：a ，订厅：，有 t x l ( n ) - 硝叫