（计算数学专业论文）亚式期权定价的偏微分方法.pdf

摘要 在金融市场复杂多变的今天，金融衍生产品以其强大的杠杆作用和避险功能而备受 广大投资者欢迎，它的发展是国际金融领域的主旋律，期权作为金融衍生产品的核心， 日益成为理论界研究的重点和热点。其中如何对期权进行定价和如何得到它的数值解是 必须解决的核心问题。上个世纪七十年代初期，b l a c k 和s c h o i e s 通过研究股票价格的 变化规律，运用套期保值的思想，成功的推导出无分红情况下股票期权价格所满足的偏 微分方程，为期权的定价提供了新的思路，极大的推进了金融衍生市场的稳定与完善。 为了满足金融市场及不同的投资者的特殊需求，也为了防范自己所面临的风险，在标准 期权合同的基础上，人们运用期权理论和分析方法，设计创造出各种具有不同特征的变 异期权品种。亚式期权就是其中一种，它是一种路径依赖型期权，它在到期日的收益依 赖整个期权有效期内标的资产价格的平均值，由于具有路径依赖特征，所以使得亚式期 权定价比标准期权定价复杂。而且，由于算术平均亚式期权很难得到解析解，所以人们 对几何平均亚式期权的研究较多。 交易帐户期权是一类期权，本文通过研究发现，亚式期权是交易帐户期权的一个特 例。由于交易帐户期权满足的方程具有统一的形式，所以只需要改变交易策略，亚式期 权的价格就可以通过一个简单的一维偏微分方程来求解。本文利用有限差分方法对固定 敲定价格算术平均亚式期权进行定价，并对有限差分格式的截断误差进行了讨论。最后 通过在m a t l a b 环境下编程，求出方程的数值解，并与用其他方法求出的数据进行对 比，取得了满意的定价结果。 关键词：亚式期权，交易帐户期权，b s 方程，期权定价 ap d em e t h o df o rp r i c i n ga s i a no p t i o n s u ny 抽( c o m p m a t i o n 甜m a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yp r o f 、7 gz i t i n g a b s t r a c t i nt o d a y sc o m p l e xa 1 1 dv o l a t i l ef i n a n c i a lm a r k e t s ，f i n a i l c i a ld e r i v a t i v ep r o d u c t sa r e 觚jo y e d b ym o s to f 廿1 ei n v e s t o r sb e c a u s eo fi t sp o w e 饷l l e v e r a g ea i l d h e d g e 劬c t i o n 1 1 1 e d e v e l o p m e mo ff i n a l l c i a ld e r i v a t i v e si san e wm e l o d yi nt 1 1 ei n t e m a t i o n a lf i n a l l c i a lf i e l d sn o w a st h ec o r eo ff i n a n c i a ld e r i v a t i v e s ，o p t i o nb e c o m e sf o c u so f 咖d y i n gi nt | l e o 巧a i l dp r a c t i c e a b o v ea l l ，i tm u s tb es o l v e dt h a th o wt 0 埘c eo p t i o na n dg e ti t sn u m 甜c a lr e s u l t s i n1 9 7 0 s ， b l a c ka 1 1 ds c h o l e sd e r i v e dt l l ep a r t i a ld i f j f e r e m i a le q u a t i o n 、i mn od i v i d e n dt h r o u 曲 s t u d y i n gs t o c kp r i c ec h a n g e sa n dh e d g et h i n k i n g ，、h i c hs u c c e s s 如1 1 ys o l v e dt h ep r o b l e mo f 埘c i n gt l l ee u r 0o p t i o n 1 1 1 i s 、v a yw en o wc a l lb sm o d e lg i v eu sav e 巧g o o di d e at o 研c e o p t i o n s o nt 1 1 ef o u n d a t i o no fs t 叽d 砌c o m r a c t ，m o r ed i n e r e mc h a r a c t e r i s t i c se x o t i cf i n a i l c e d e r i v a t i v e sw e r ed e s i g i l e di no r d e rt os a t i s f ym ef i n a l l c em a r k e ta n dt h ed i 矗e r e n ti n v e s t o r e s p e c i mn e e d sa i l dk e 印a w a yt l l er i s kw i l i c hm a l l yi n v e s t o r sm i 曲tf a c e o n eo ft 1 1 e mi s t l l e a s i a l lo p t i o n ，i ti sap a _ t l l d 印e n d e mo p t i o nw h o s ep a y o f rd 印e n d so nt l l ea v e r a g eo f u n d e r l y i n ga s s e tp r i c ea t t a i n e do v e rac e r t a i np e o do ft i m e i ti sm o r ec o m p l i c 砷e dt op r i c e t h ea s i a no p t i o nb e c a u s eo ft h ep a md e p e n d e n c e m o r e o v e r ，i ti sd i m c u l tt oo b t a i n 锄a 1 ”i c a l s o l u t i o n so fa r i t h m e t i ca v e m g ea s i a l lo p t i o n ，s op e o p l er e s e a r c hg e o m e t r i ca v e r a g ea s i a i l o p t l o nm o r e o p t i o n so nat r a d ea c c o u n ta r eak i n do fo p t i o n ，a s i a j lo p t i o ni sas p e c i a lc a s eo fi t b e c a u s eo p t i o n so nat r a d e da c c o u n tm e e tw i t ht h es 籼ef o 彻e q u a t i o n ，t h ep r i c eo ft h ea s i 锄 o p t i o ni sc h a r a c t e z e db yas i m p l eo n e d i m e n s i o n a lp a n i a ld i 髓r e n t i a le q u a t i o n o n l yn e e dt o c h a n g et h et r a d i n gs t r a t e g y w ep r i c e df i x e ds 们k e 撕t h m e t i ca v e r a g ea s i a no p t i o ni nu s eo f n n i t ed i f r e r e n c em e t h o d m o r e o v e r ，w es t u d i e di t st r u n c a t i o ne n d r f i n a l ly ，w eo b t a j n e dt h e n u m e r i c a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o ni nm a t l a b ，a n dc o m p a r e dt h ed a t aw i t hw h i c hi sg o ti n u s eo fo t h e rm e t h o d s ，a c h i e v e ds a t i s f a c t o r yr e s u l t s k e yw o r d s ：a s i a i lo p t i o n ，o p t i o i l so n at i 丽e da c c o u n t ，b se q u a t i o 玛o p t i o n 面c i n g 独创性声明和使用授权书格式 关于学位论文的独创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在指导教师指导下独立进行研究工作所取得的 成果，论文中有关资料和数据是实事求是的。尽我所知，除文中已经加以标注和致谢外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含本人或他人为获得中国石油 大学( 华东) 或其它教育机构的学位或学历证书而使用过的材料。与我一同工作的同志 对研究所做的任何贡献均已在论文中作出了明确的说明。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文储繇五牡 日期腓f 月珈 学位论文使用授权书 本人完全同意中国石油大学( 华东) 有权使用本学位论文( 包括但不限于其印 刷版和电子版) ，使用方式包括但不限于：保留学位论文，按规定向国家有关部门 ( 机构) 送交学位论文，以学术交流为目的赠送和交换学位论文，允许学位论文被 查阅、借阅和复印，将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，采用 影印、缩印或其他复制手段保存学位论文。 保密学位论文在解密后的使用授权同上。 学位论文作者签 指导教师签名： 同期：妒夕年，月2 7 日 同期：彬厂月矽日 中圈石油大学( 华东) 硕i ：学位论文 1 1 研究背景与意义 第一章绪论 期权理论是2 0 世纪世界经济学领域最伟大的发现之一。由于期权具有良好的规避风 险、风险投资和价值发现等功能，且表现出灵活性和多样性的特点，期权定价理论成为 现代金融学的重要组成部分。它与投资组合理论、资本资产定价理论、市场的有效性理 论及代理问题一起，被认为是现代金融学的五大理论模块。 近2 0 年来，特别是上世纪9 0 年代以来，期权作为最有活力的金融衍生工具，得到了 迅速的发展和广泛的应用。期权定价理论的研究对于学术界、交易所和柜台交易市场乃 至对整个金融服务业都具有非常重要的意义。 在金融市场上，要对风险进行有效的管理，就必须对金融衍生证券进行正确的定价。 如何确定金融衍生证券的公平价格是他们合理存在与健康发展的关键。在所有的衍生证 券定价中，期权定价的研究最为广泛，这是因为：( 1 ) 与其他衍生证券相比期权易于定 价；( 2 ) 许多衍生证券可表为若干期权合约的组合形式；( 3 ) 各种衍生证券的定价原理是 一样的，有可能通过期权定价方法找到一般衍生证券的定价理论。 期权定价理论的研究有以下六个意义： ( 1 ) 对定价原理的研究，是一切金融决策的前提和依据； ( 2 ) 在现代市场经济中，收益与风险并存是金融资产的基本特征，风险管理已成为金融 机构管理的重要内容。与传统的风险管理方法注重风险分散不同，期权理论则是通过套 期保值来实现风险转移，从而为金融机构提供以较低成本管理金融风险的有效工具； ( 3 ) 金融衍生市场内不仅存在套期保值者，而且存在投机者和套利者。当金融衍生工具 异常波动时，为投机者提供了大量的投机机会。而当不同交易市场的同种金融衍生工具 报价不同时，会给套利者以大量的机会。因此，对金融衍生工具的正确定价，对于有效 的抑制套利、投机活动的发生，降低金融衍生市场风险、稳定金融市场具有重要的意义； ( 4 ) 八十年代开始，金融界将金融期权研究得出的原理、方法及结论全面应用于投资决 定、筹资决策、资本结构等公司理财的各个方面，给财务理论带来了多方面的突破，财 务理论的面貌为之一新。期权定价问题是其中应用的重要部分； ( 5 ) 期权定价理论加速了现代分析型金融学的建立； 第一章绪论 ( 6 ) 期权定价理论促进了金融市场的繁荣。 因此，对期权定价数值分析的研究和实现，使期权定价理论成为人们投资理财的基 础工具，对金融科学衍生工具的交易、风险管理、公司理财等实践活动起到重要的指导 作用。 随着全球金融一体化步伐的加快，我国面临加入w t o 后全面开放金融市场的承诺， 如何促进我国金融市场的发展完善变得日益迫切。而目前我国金融市场中的期权工具几 乎还是空白，除了权证产品具备一些简单的期权特征以外，标准化的期权产品尚待开发， 因此对期权的研究就显得尤为重要。在对期权产品推出的研究中，选择哪一种期权类型 作为突破口是大家关注的重点。虽然说欧式期权和美式期权都是相对比较成熟的类型， 且欧式期权较易得到解析解，但从我国的国情出发，选择亚式期权似乎更加理想。 首先，对于一些合约规模较大而流动性不高的期货合约，虽然有做市商来维持其流 动性，但其作用是有限的，实力雄厚的交易方可能人为的操纵期货价格以达到期权合约 有利于己方的目的，而亚式期权具有路径依赖的特性可以有效的防止这种价格操纵行 为。同样，对于标的资产总值较小的期权品种来说，亚式期权也能够防止人为操纵标的 资产价格，有效地维护市场的公正性。 其次，对于期望套期保值的交易者来说，亚式期权可以提供风险更小的期权合约， 而且由于其较低的波动率，期权合约的价格也较低，因此更受套期保值交易者的青睐。 对于我国这样一个金融市场只有十几年发展历史的发展中国家来讲，市场的完备性 很低，仅有的交易品种无法实现风险的有效对冲。加速建立期权交易市场，提供更多的 交易产品给投资者，构建投资组合，规避风险，实现保值增值，应该说是追在眉睫。又 由于交易制度、交易品种、交易者素质等各方面不利因素的影响，我国金融市场中的各 种主要产品，如股票、期货、国债等，均表现出较发达国家更大的波动性，因此在我国 开展期权交易时，应优先考虑亚式期权而不是欧式期权或美式期权。 1 2 期权的概述 随着金融市场的蓬勃发展，金融市场日益呈现出高度的风险性和不确定性。半个世 纪以来，金融活动在给投资者带来巨大收益的同时，也蕴涵着日益显著的高风险，给投 资者带来巨大的经济损失。尤其是近十多年来，这种高风险引发的严重的金融危机频繁 发生，其带来的损失都是前所未有的。因此促使了学术界和金融界开始考虑和重视如何 2 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 能够证券评估金融风险的研究。而金融学研究的主要对象之一就是金融衍生证券或者称 为未定权益，是指一切未确定的或者是或然的权益。常见的衍生证券有：远期合同 ( f o r w a r dc o n 钮a c t s ) 、期权( 叩t i o n ) 、期货( f u t u r e s ) 和互换( s w a p s ) 。对衍生证券的 研究主要从两个方面来考察，即如何确定衍生证券的价格问题和衍生证券的套期保值问 题。衍生证券的价格是指为了拥有在未来某一时刻( 如t 时刻) 的衍生证券而现在应支 付的费用。衍生证券的套期保值是解决衍生证券的出售者应该采用哪种策略才能避免或 者尽可能的降低因为出售衍生证券而在未来可能遭受的损失。在衍生证券的研究中，期 权既能够给投资者提供套期保值功能，又不丧失盈利机会，因而在金融衍生工具中占有 重要的地位。 期权作为一种最基本的金融衍生工具，是一种权利。期权的买方向卖方支付一定数 额的权利金后就获得了这种权利，即在一个预先约定的时间或者在特定的期限范围内， 以一个事先约定的价格买入或者卖出一定数量的某种原生资产的权利。但这只是一种权 利，而不是义务。期权是一种特殊的金融合同，按照权利的性质分，可以分为买权( c a l l o p t i o n ) 和卖权( p u to p t i o n ) 两种类型。其中买权又叫看涨期权，是指期权的持有者有权 在某一确定的时间以某一确定的价格购买标的资产；而卖权又叫看跌期权，是指期权的 持有者在某一确定的时间以某一确定的价格出售标的资产。如果根据合同持有者在有效 期内行使权利的自由度不同，期权又可以分为美式期权和欧式期权。欧式期权是指期权 的买方只能在合同到期日当天才能行使权利：美式期权则可以在合同到期日以前任何一 天行使权利。由于欧式期权的特征比较容易分析，所以对期权的研究都是以欧式期权为 起点的。如果期权按照交易方式分，又可以分成标准化期权和非标准化期权( 变异期权) 。 标准化期权是在交易所上市交易的期权，例如欧式股票期权，股指期权，外汇期权和利 率期权等。非标准化期权又称为变异期权，大多是在店头市场进行交易。按照标的资产 类型的不同，期权可以分为股票期权、利率期权、货币期权、黄金期权、商品期权、期 货期权等。 由于期权是一种权利，而不是义务，即合约持有人有放弃合同的权利，所以要获得 这种权利就必须为了获得这种权利支付一定数量的权利金。这种支付的权利金就q 做期 权的价格，而期权的价格很难从市场交易中直接反映出来。因此期权的定价一直是金融 实践和金融数学中的一个重要的课题。为了获得准确的期权定价公式，金融学家和金融 数学家花费了长达半个世纪的努力，虽然在许多问题上得到了突破，但是还存在大量的 问题等待进一步研究。期权的价格是由期权市场的供求关系决定的，它的价值等于其内 3 第一章绪论 在价值和时间价值之和。其中期权的内在价值是指期权盈价的金额，即期权的做多方从 执行期权合同中得到的现金收入额。由于损益结构的不对称性，其内在价值不会为负。 而时间价值在形式上表现为期权价值减去内在价值的差，反映了买权做多方手中拥有的 相机抉择权利的价值。它是由期权合约的有效期长短等时间因素所决定的标的资产合约 价格波动风险的估计值。通常情况下，期权合约距离剩余有效时间越长，期权的时间价 值就越大；反之则时间价值就越小。因此确定期权的时间价值是期权定价理论研究的一 个重要问题。下面以欧式期权为例，先分析期权在到期日的价值，它是进一步研究期权 有效期内任意时刻价值的基础。假设标的股票为一股。投资者在t 时刻买入一个到期日 为t 的股票买权合同，其执行价格( 又叫敲定价，s t r i k e 研c e ) 为x ，品为到期日市场 价格，则在到期日当s r 彳时，买方行使权利，获得了s ，一x 的差价，卖方则相反， 否则放弃执行。则买权合同在到期日的价值c r 可以表示为g = m a x 岱r x ，o ) 简记 心，一x ) + 。显然，通过买入买权，该投资者一方面得到买权的有利部分，即他手中买 权的价值将随标的股票的上涨而增加，从理论上讲，可以达到无限值；另一方面又避免 了股票价格向不利的方向变动带来的损失。期权的这一特性使得它受到交易者的关注。 期权合同执行，期权就会有盈亏。期权的盈亏状态是指一个期权合同立即执行时对持有 人所带来的收益或损失。它是反映期权价值的一个基本概念。盈亏状态有三种可能：盈 价( i 1 1t h em o n e y ) ，平价( a tm em o n e y ) 和亏价( o u to f m o n e y ) 。一个期权合同到底处 在何种盈亏状态关键要看执行价格相对于标的资产价格s 的差异，并要考虑期权的类 型。 表卜l 期权的盈亏状态 t a b l e l 1t h ep r o f i ta n d1 0 8 so fo p t i o n s 买权卖权 盈价 x s 平价 x = sx = s 亏价 x sx s 从分析上可以看出期权使买方得到了对其有利的不确定性，避免了不利的不确定 性。而卖方则不能保证价格变动的损益对冲，正是由于期权损益的不对称性，使得它成 4 中国石油火学( 华东) 硕l ：学位论文 为金融市场上用来进行资产风险管理的有效的工具。当然除了这个优点之外，它还可以 进行投资和套利。 它所有的金融衍生产品中，由于期权易于定价，且大多数衍生产品可以表示为期权 组合的形式，因此其研究最为广泛。期权的价格其实是一种风险价格，影响期权价格的 因素很多，一般从经济的角度来说主要有以下六种。下面考察这六种因素与期权价值的 关系。 第一标的资产当前价格s ，：就买权价值而言，它是由内在价值和时间价值构成的，买 权的内在价值体现为期权合同执行时标的资产市场价格超过执行价格的部分。由于执行 价格x 是事先确定的量，因此在其他条件相同的情况下，s ，越高，买权的价值就越高， 反之，卖权的价值就越低。 第二执行价格x ：在其他条件相同的情况下，执行价格x 越高，则标的资产市场价格 大于执行价格的可能性就越小，买权的内在价值就越低。反之，卖权的内在价值就越高。 第三距离到期日的时间t - t ：距到期日的长短对买权价值的影响要视买权的类型及有无 股利发放而定。首先对美式期权，在其他条件不变的情况下，距到期日时间越长，其时 间价值就越大。这是因为，对于长期买权的持有人来说，其可以行使权利的机会完全包 括了短期买权持有人的机会。其次，对于欧式买权，可以证明，如果不存在股利发放， 买权的价值仍然与到期日的长短呈正相关。但是，在存在股利发放的场合，情况则有所 不同。例如，假设有两个欧式买权股票，它们离到期分别有2 个月和1 个月，且标的股 票预期在六周后将发放较大数额的股利，其他参数相同。由于股利除权后导致股票价格 的下降，而期权合同的有关条款不对现金股利支付进行调整，这可能会导致短期买权的 价值高于长期买权。对于欧式卖权，卖权价值与t - t 之间的关系是不确定的。 第四无风险利率r ：无风险利率r 反映了投资者的资金成本( 即货币的时间价值) 。与 直接在股票市场上购买股票相比，买权的做多方直到执行合同才付出现金。显然r 越大， 这种延期支付的价值就越高。因此，在其他条件相同时，无风险利率越高，炙权的价值 就越大，卖权的价值就越低。 第五标的资产的波动率o ：是对标的资产价格未来变化不确定程度的度量。其值越大， 标的资产价格未来的波动率就越大，即其涨跌的可能性及幅度就越大。对买权持有者来 说，由于买权损益结构的不对称性( 即因价格下跌导致的可能损失有限，而因价格上涨 导致的可能收益是无限的) ，大的波动性不是件坏事，而是件好事。一方面，它既可以 5 第一章绪论 从标的资产价格的上涨中获得更大的内在价值；另一方面，又不必担心标的资产价格下 跌会带来巨大的经济损失。因此，在其他条件相同的情况下，波动率越大，卖权的时间 价值就会越大。波动率与期权价值之间这种正向相关性反映了持有买权和直接持有标的 资产的本质差异。 第六股利支付d ：股利支付将对标的股票价格产生除权作用，即让股票价格有所下降。 因此，对于买权来说，在其他条件相同的情况下，标的股票的股利支付金额d 越大， 买权的价值就越小。 表1 2 期权价值与各参数的相关性( 其他参数不变) t a b l e l 2t h er e i e v a n c eo ft h eo p t i o nv a l u ea n dp a r a m e t e 瑙( o t h e rp a r a m “e 噶u n c h a n g e d ) 参数欧式买权 欧式卖权美式买权美式卖权 s i + + x + t - t 99 + o o+ r + d + 1 - 3 期权定价理论的起源和发展 期权定价模型的建立是将上述影响期权定价的诸多因素作为参数来建立起相应的 数学模型。长期以来，人们一直在探索利用各种因素采用各种方法来j 下确评估资产风险 的有效方法。1 8 7 5 年，一家名叫t u m b r i d 紧a n dc o m p a n y 得证券经纪商提出以下建议： 1 若你认为股票的价格会下跌，则可以买入卖权或者买入买权，同时卖出相应的标的股 票。2 若你认为股票价格会上涨，则可以买入买权或者买入卖权，同时买入相应的标的 股票。3 上述策略除了支付的权利金之外，没有负债，也不存在风险。显然上述建议至 今仍然具有应用价值。到了1 9 世纪后期，期权的店头交易开始出现，当时有一位名叫 萨奇( r u s s e l ls a g e ) 的铁路大投机商对期权交易策略很有研究，因此被后人称为“期 权之父”。他提出的“转换( c o n v e r s i o n s ) ”和“逆转换( r e v e r s ec o n v e r s i o n s ) ”的期权 交易策略，至今仍然被人们所应用。所谓转换，即是做多卖权和标的股票，同时做空买 权。萨奇的做法是：当投资者要从萨奇借钱时，萨奇要他们以股票为交换，因此，萨奇 6 中国石油火学( 华东) 硕l ：学位论文 在借出钱的同时做空了股票。然后，他立即买入以该股票为标的资产的卖权合同，同时 向其他投资者出售该股票的买权合同。不过，当时期权市场规模仍然很小，由于期权被 投机者大量用来进行套利活动，其在公众心目树立的形象不佳。不过，从严格意义上说， 对于期权问题的最早研究可以追溯到1 9 0 0 年。法国数学家路易斯巴舍利耶( l o u i s b a c h e l i e r ) ，在他的博士论文投机理论【2 1 中，他提出了最早的期权定价模型，在考察 股票波动时，他注意到布朗运动数学理论的某些特性，假设股票价格运动过程是没有漂 移的，单位时间方差为o 的绝对布朗运动，并推导出到期日时的看涨期权的期望值为： c = 鼬( 等) 一鹪( 等) + 。如( 等) m ， 在( 卜1 ) 式中，s 是股票的价格，x 是执行价格。t 是距到期同的时间，9 ( ) 和由c ) 分别 是标准正态分布累积函数和正态密度函数。巴舍利耶模型奠定了现代期权定价理论的基 础，但是他的模型假设具有很大的局限性和缺陷，即：股票价格过程是绝对布朗运动一 一允许股票价格为负，这与现实明显不符，另外他的模型对股票价格做出的零期望值假 设忽略了资金的时间价值为正，期权与股票间的不同风险特征以及投资者的风险厌恶， 因此在应用上受到很大的限制。 在巴舍利耶以后的半个世纪里，期权定价理论进展很缓慢，其大部分发展表现在经 济模型上。一直到上世纪6 0 年代，才有一些新的发展，主要表现在以下几个方面：1 9 6 1 年斯普里克尔( s p r e r 曲e ) 在认股权价格是预期和偏好的指示器一文中【3 1 提出设想， 股票价格服从对数正态分布，其均值和方差都是常数，并且考虑到股票的正漂移，并以 此假设为基础，他提出了一个买权的定价公式： r 。谢c q lh 妻+ ( 仅+ 三。2 ) c c 一鼬l 掣一。一兀泗i 掣 ( 1 - 2 ) ( 1 2 ) 式中7 c 是市场价格杠杆的调节量，但是他的缺陷在与他没有对期望值折现， 以确定期权值。1 9 6 4 年博内斯( b o n e s s ) 在股票期权价值理论的要素【4 】一文中跟斯 普里克尔相似，他也假设股票收益服从平稳的对数正态分布。不同的是，博内斯考虑了 风险溢价的重要性。为便于处理，他假定投资者不在乎风险，利用这一假设按0 折现期 权的期末期望值( 其中0 是股票的预期收益率) ，得到期权定价模型是： 7 第一章绪论 掣 髑趟掣 ( 1 3 ) 这个模型在行使上和b s 模型相同，唯一不同地方表现在0 【的使用上，这是它的股 票的预期收益率，而不是无风险利率，如果博内斯将他的假设再向前推一步使0 【= ， 那么他就得出著名的布莱克。斯科尔斯( b l a c k s c h o l e s 简记为b s ) 定价公式【5 】。 1 9 6 5 年萨缪尔森( s 锄u e l s o n ) 意识到在一般情况下期权的预期收益率和股票的预 期收益率会因风险特征不同而不一致，尽管他意识到更深的理论会推出预期收益率，但 是他所设定的期权的预期收益率( 常数) p 高了一些，他还意识到这些假设意味着提前 执行合约可能是最优策略，但是他没有办法求出最优执行策略( 永久性看涨期权除外) ， 在他的论文认股权定价的合理理论中【6 】，提出了欧式买权的定价模型，模型公式是： k 4 掣掣巧即姆l 掣掣 ( 1 - 4 ) 博内斯的方程是这个模型的特殊情况。上市期权定价模型的提出，推动了期权定价 理论的发展，为后来的b s 模型的出现奠定了基础。 1 9 6 9 年，萨缪尔森和默顿研究了在资产组合简单均衡模型中的期权定价7 1 。这样就 可以根据模型确定股票和期权的预期收益。他们证明了期权问题可以用函数形式中的 “公共概率 项来表示，这种函数形式和实际概率表述问题一样。根据这种表示法，经 调整后的股票预期收益率和期权的预期收益率是相同的。这种方法预示着风险中性或无 偏好期权定价法的发展。 现代期权定价理论的最新革命开始于1 9 7 3 年。虽然在这之前学者们已经建立了各 种各样的期权定价模型，但是这些模型几乎不具备任何实用价值。因为它们或多或少的 包含着一些主观参数。如投资者个人对风险的态度，市场均衡价格等。在1 9 7 3 年，布 莱克和斯科尔斯在政治经济学杂志上发表了他们关于期权定价的经典论文胡权定 价于公司债务一文【5 j 。首次提出了欧式股票期权定价公式：在定价日t ，到期日为t ， 欧式买权的定价公式为： c = s ，p 1 ) 一娩”( 7 一) ( d 2 ) ( 1 - 5 ) 8 中国石油大学( 华东) 硕1 ：学位论文 脚，：垒挚鸠叫一。厉脓一 数。即g ) = p 伍 x ) ，这里x 服从标准正态分布。由买权卖权平价公式： p = q 一墨+ 拖一，( r 一) ( 1 6 ) 以及n ( x ) 的性质得到欧式卖权在定价日t 时的定价公式为： e = 一s ，( - d 1 ) + 舵”( 7 叫) ( 一d 2 ) ( 1 - 7 ) 上述的模型就是著名的布莱克斯科尔斯模型( b s 模型) ，这一模型是金融领域的 里程碑。在b s 模型中有五个参数，其中股票的现价是s ，执行价格是x ，距到期日 t - t ，无风险利率r 都是可以观测的，而波动率。也可以通过市场数据去估计，这使得它 具有广泛的实用性和可操作性。b s 模型克服了以往各种模型存在的问题，为包括期权 在内的衍生工具定价问题的研究开创了个新时代。布莱克和斯科尔斯成功之处在于， 他们认识到了一个期权损益特征可以由标的股票和无风险证券的适当组合来精确复制， 即任意一个期权都可以通过人为合成的办法来实现。因此，合成期权所需要的成本即为 所对应的期权的价值。b s 公式给出的定价与所谓的预期收益率p 无关，也就是说，期 权的合理价格是不依赖于投资者的偏好的，这一特征使人们能利用所谓的风险中性的方 法进行定价。风险中性定价现在已经发展成为一种非常有效的定价方法。除了布莱克和 斯科尔斯之外，默顿( m e r t o n ) 也对期权定价理论和实践的发展做出了独到的开创性的 贡献，他几乎和布莱克、斯科尔斯同一时间得到了期权定价模型峭j 以及其他成果。例如， 布莱克和斯科尔斯只考虑了股票价格连续变化的情况，而实际上股价并不是始终连续变 化的，可能存在着非连续的跳跃点【9 j ，另外由于b s 模型中没有考虑标的股票在合同有 效期内发放股息的情况，这是这个模型又一个的缺陷。1 9 7 3 年默顿考虑了标的股票存 在连续支付股利的期权定价问题，给出了修正后的b s 公式，从而使该模型的实用性大 大增强，被学术界称为b s m 模型。布莱克、斯科尔斯和默顿的定价理论是现代金融 学最杰出的成就之一，该理论为金融经济学的研究开辟了新天地。三十多年来，金融学 的发展几乎都是在b s 模型或者b s m 模型的基础上进行的。 b s 期权定价模型对市场做了许多理想化的不切实际的假设：例如，标的资产价格 波动率为已知，且在期权的寿命期内不发生变化；股票交易是连续不间断进行的，因此 9 第一章绪论 它的价格变动是平稳的，在短时间内不会发生向上或者向下的跳跃；短期无风险利率为 一给定的常数，不是随机变量；任何人都能以同利率借入或贷出任意金额的资金；可 以任意卖空标的股票或期权，且所得可以立即全额使用；股票市场或期货市场均不存在 交易成本；投资者参与市场交易并不影响其所承担的税赋；股票市场和期货市场都具有 充分的流动性；标的股票不支付股利；期权为欧式的，即投资者只能在期权到期日行使 权利；不存在兼并或其他可能中止期权寿命期的事件等。这些直接影响到b s 公式的推 导及运用。过于严格的假设削弱了原始定价公式在现实中的应用，使其在理论和应用上 存在缺陷。其后默顿、考克斯和罗斯，斯科尔斯和鲁宾斯坦，布伦南和布莱克，哈里森 和克雷斯普，加曼和科尔哈根等学者对模型进行了更加详细深入的研究和改进，并把它 推广到对其他金融衍生工具的估价和金融风险控制这些“更普遍的环境 中，使期权理 论得到进一步完善。 1 4 国内外研究综述 亚式期权自上世纪9 0 年代初推出以来，虽然尚未正式进入场内交易市场，但因其在期权 交易成本方面的优势而备受场外交易者青睐。过去十几年间，国内外学者在亚式期权定 价方面取得了大量的研究成果。 k e 肌a 和v o r s t n 们应用m o n t ec a r l o 的减少方差法计算了算术平均亚式期权，但方差 只能估计置信区间内的误差，并不能给出最大误差。c a r v e r h i l l 和c 1 e w l o w 1 使用快速 傅立叶变换，但也未给出最大误差。r o g e r 和s h i 1 2 1 用有限差分方法给出了亚式期权的数 值计算解。 t u r n b u l l 和w a k e m a n n 3 3 找出了一近似解析解，l e v y 1 给出了离散模型的近似解析解， 他们都将m o n t ec a r l o 的结果作为真值来估计误差。g e m a n 和y o r n 朝应用反拉普拉斯变换 给出了算术平均亚式期权的半显示解。b o u a z i z ，b r i y s 和c r o u h y n 钔给出了亚式期权解的 展开式的主项。 c h a l a s a n i ，j h a 和v a r i k o o t y m 3 使用三叉树法计算了离散的亚式期权。t h o m p s o n 1 司 改进了此方法，使之更精确。 i n g e r s o l l 【l 叫通过解二维偏微分方程来给亚式期权定价，他还将满足浮动敲定价格 亚式期权的二维偏微分方程降到了一维。z v a n ，f o r s y t h 和v e t z a l 呦1 通过计算流体动力 学方法改进了数值精确度。s a k ，o z e k i c i ，b o d u r o g l u 心通过平行计算对亚式期权进行定 1 0 中国石油火学( 华东) 硕上学位论文 价。a l z i a r y ，d e c 硼p s ，k o e h l 乜2 1 通过解偏微分方程来对亚式期权定价，最后给出了数值 解。 国内学者也对亚式期权定价进行了深入研究，如嵇少林1 利用倒向随机微分方程， 讨论了算术亚式期权的无套利定价问题，给出了算术亚式期权价格的概率表示式。郑小 迎、陈金贤【2 4 】运用证券组合模拟期权收益构造了有交易成本的亚式期权定价基本方程， 通过分析保值因子得到定价公式。章珂【2 5 j 等从风险中性定价思想角度给出了几何平均亚 式期权的定价。金春红【2 6 】研究了一种离散时间几何平均价格亚式期权的定价问题。 1 5 本文的内容和结构安排 本文的总体思路如下：首先介绍本文的研究背景与意义和期权产品的种类与特点， 以及期权的来源与发展历程；第二章中介绍了本文所需要的随机分析方面的知识；第三 章中介绍了b 1 a c k s c h o l e s 模型的建立、推导和求解，这是期权定价理论的基础；第四 章中详细介绍了亚式期权定价模型的建立、推导和求解，以及看涨看跌亚式期权的平价 公式；第五章中引入了交易帐户期权，通过推导得出了它与亚式期权的关系，并通过交 易帐户期权满足的一维偏微分方程对亚式期权进行定价，最后通过有限差分方法求出了 它的数值解，并与其他方法求得的结果做了比较。 第二章随机分析知识 2 1 基本的随机过程 第二章随机分析知识 下面研究几个基本的随机过程： 1 马尔可夫过程 若任意置 s 2 s 。 s r 丁，x ( t ) 关于x ( j 1 ) ，x ( 5 2 ) ，x ( s 。) ，x ( s ) 的条件分布 正好等于x ( t ) 关于x ( s ) 的条件分布，即： 尸留( f ) ylx 0 ) = 五x o 。) = x 胪，彳( s 1 ) = 而) = 尸留( ，) yx ( 5 ) = x ) 就称过程x ( t ) 具有马尔可夫性，称x ( t ) 为马尔可夫过程。马尔可夫过程是一类特殊的随 机过程。在这个过程中变量只与当前值和未来预测有关，而变量的历史和变量从过去到 现在的演变过程与未来的预测没有关系。人们通常假设股票价格变动符合马尔可夫过 程，这一假设与弱性市场有效性相一致。所谓的弱性有效市场是指一种股票的当前价格 已经包含了所有当前过去的所有信息，将来任意特定时刻股票价格的概率分布只和当前 的股票价格有关。 2 维纳过程( 布朗运动) ： ( 1 ) 普通的维纳过程。 维纳过程也称为狭义的布朗运动，是马尔可夫过程的一种特殊形式，它可以用一个 特定的随机差分方程( 离散场合) 或随机微分方程( 连续场合) 来表示。维纳过程有一 些特殊的性质可以用变量w 在短时间f 内的变化进行数学表示：假设变量w 服从维 纳过程，形是在& 时间后的变量的增量，则形：p 石，其中e 服从标准正态分布， 在时间区域【t ，t 】，令f = 土 ，当前时刻为t ，由布朗运动的马尔可夫性可得离散的维 纳过程( 或叫随机走动过程) ：形= 形( 丁) 一形( r ) = p ，出。由于p ，是相互独立且服 从n ( 0 ，1 ) 的变量，显然厶服从均值为o ，方差为t 的正态分布。就是说孵的均值仍 是形。记为形( r ) 一( f ) = p ，r 一，若令时间间隔址趋近于无穷小，记为微分疵，则 维纳过程的离散型就变成了连续型，记d 形= ( r ) 一( r ) ，则有连续维纳过程的表达式 1 2 中国石油大学( 华东) 硕上学位论文 为：d 彬= 口，衍，显然期望e ( d 形) = o ，肠，( d 形) = 出，且e ( d 彬) 2 = 出，肋( d 彬) 2 = o 。 这说明维纳过程是一个随机过程，d 肜是不可预测的，但是它的平方却是完全可测的， 即( d 形) 2 = 出。 ( 2 ) 具有漂移态的维纳过程： 若随机过程杪( f ) ：f o ) 满足： ( a ) 每一个增量w ( t + s ) - w ( s ) 都是均值为，方差为d2 f 的正态分布，其中p ，o 为固定参 数； ( b ) 对于每一个f l f ： 其中p r f = 7 = 一彬，p ，服从n ( o ，1 ) ，对式( 2 5 ) 两边取对数整理得： 1 5 ( 2 - 5 ) 第二二章随机分析知识 - n 慨) = ( p 2 ) ”) 喝厉 协6 ， 由此可知，如果当前时刻为t ( t t ) ，则股票未来时刻t 的投资回报率服从正态分布，且 均值和方差分别是： d ，n ( ) = ( “2 卜妇 - n 慨) 卜， ( 2 7 ) 在下一章的讨论中我们将看到伊藤引理在期权定价理论中起着十分重要的作用。布 莱克和斯科尔斯正是利用该引理推导出b s 方程，而后者又是到处各种期权定价模型的 基础。 1 6 中国石油火学( 华东) 硕十学位论文 第三章b i a c k s c h o i e s 期权定价模型 3 1b s 模型的基本假设 首先讨论关于金融市场的假设。在现代财务金融学领域，包括期权定价理论在内的 各种金融资产的定价理论，都是建立在以下5 条关于金融市场一般特征的假设基础之上。 ( 1 ) 市场不存在摩擦( f r i c t i o n e s s ) 。即金融市场没有交易成本( 如佣金、买卖差价、 税赋等) ，没有保证金要求，没有卖空的限制。提出这一假设的目的在于简化金融资产 定价的分析过程。 ( 2 ) 市场参与者不承担对家的风险。即市场参与者所涉及的任何一个金融交易合同 交易，合同对家不存在违约的可能。这一假设同样出于简化分析过程的目的；另外，这 一假设还隐含着另一个假设，即金融市场上的借入和贷出利率相同。 ( 3 ) 市场是完全竞争的。即金融市场上的任一位参与者都是价格的承受者，而非价 格的制定者。显然，市场规模越大，竞争性市场的假设就越接近于现实。 ( 4 ) 市场参与者厌恶风险，且希望财富越多越好。这一假设是关于市场参与者偏好 的基本假设。 ( 5 ) 市场不存在套利机会。即若市场上存在套利的可能性，价格会迅速地进行准确 地进行调整，使得套利机会很快消失。 所谓套利是指在某项资产的交易过程中，投资者可以在不需要初期投资支出的条件 下，获得一定的无风险报酬。无套利假设是期权定价理论生存和发展的最重要的假设， 无套利定价原则讵是建立在此假设基础之上的。所谓无套利定价原则是指，在一个有效 的资本市场上，任何一项金融资产的定价应当使得利用该资产进行套利的机会不存在。 无套利定价原则的理论基础是无套利均衡基本定理。无套利定价原则是贯穿于现代 金融学各个领域的一个重要概念。当今所有的衍生资产定价方法都使用了套利这个概 念，而资产价格一般是在无套利机会的条件下确定的。在均衡定价方法中，无套利是一 般均衡条件之一，现代套利理论的研究是对无套利假设的含义的研究。 b 1 a c k 和s c h 0 1 e s 在推导b s 模型时，除了要求上述5 条