（计算数学专业论文）分片代数曲面方法角点gk磨光的空间剖分问题.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 利用分片代数曲面方法来构造光滑拼接曲面的方法在计算机辅助几何设计和计算 机图形学领域中有着重要应用，此方法可以降低拼接曲面的次数，解决了单片拼接曲面 次数过高的问题。在构造分片代数曲面时需要确定空间剖分，刹分中割腔的个数决定光 滑拼接曲面的片数，片数越多拼接曲面的次数就可以越低。但是，对于多个平面的角点 磨光问题，复杂的空间翻分会使得相应的协调方程组越来越复杂，令构造难度大幅增加。 所以，人们希望能以最简单的空间剖分，构造次数最低的分片光滑拼接代数曲面，于是 空间剖分的复杂程度与光滑拼接曲面次数之间的关系就显得非常重要。 本文考虑四个平面横截交于一点处光滑拼接的空间剖分问题，借助围绕一个顶点处 的代数曲面b l e n d i n g 条件，利用多项式环上的素模中的生成基方法1 1 】，判断凸组合情形 下五片伊连续k + 1 次光滑拼接曲面的存在性问题，给出空间剖分的复杂程度与光滑拼接 曲面次数之阅的关系。文中结果将直接影响多个平面角点磨光闯题的光滑拼接曲面的最 少片数和最低次数。 本文研究内容如下： 第一章，对角点磨光的分片代数曲面方法做一个简单的回顾，并对三个平面角点磨 光的情形做简单的介绍： 第二章，介绍代数几何理论等相关基础知识，给出了几何连续性的定义； 第三章，简要介绍了罗钟铉教授的多项式环上素模中的生成基理论，以及求解多项 式系数方程组的几种方法； 第四章，讨论凸组合情况下四个平面横截交于一点处的五片连续k + 1 次光滑拼接 曲面的存在性问题：首先，将围绕一项点处的代数曲面光滑拼接条件转化为多项式系数 方程组的求解，然后利用多项式环上索模中生成基方法求解此方程组，由非零解的存在 性判断g 链续k + 1 次光滑拼接曲面的存在性问题。 最后我们总结此问题的结论，并提出了需要进一步研究的问题。 关键词：分片代数曲面；光滑拼接；空间剖分；几何连续：模中生成基 分片代数曲面方法角点磨光的空间剖分问题 s p a c ep a r t i t i o no fg ab l e n d i n gc o m e r sb yp i e c e w i s ea l g e b r a i cs u r f a c e s a l o s t r a c t t h e0 0 】砸沲删吼o fs m o o t hb l e n d i n gr a n - f a c e sb ya l g e b r a i cs u r f a c et a k e sa l li m p o r t a n t r o l ei nc o m p u t e ra i d e dg e o m e t r i cd e s i g n i na l g e b r a i c 踟埘h c cb l e n d i n g , l o wd e g r e ec o u l d b eg o tb yp i e c e w i s ea l g e b r a i cs u r f a c e ，a n dt h ed e g r e ei sl o w e rw h i l et h en u m b e ro f p i e c e si s l a r g e r h o w e v e r , t h es p a c ep a r t i t i o nw ed e f i n e d , w h e nb l e n d i n gt h ec 碰- n e r , d e t e r m i n e st h e n u m b e ro fp i e c e so ft h eb l e n d i n ga l g e b r m cs u r f a c e s h e n c e 1 0 w e rd e g r e en e e d sc o m p l e x s p a c ep a r t i t i o nw i t c hl e a d st oc o m p l e xa l g e b r a i cc o n d i t i o n s p e o p l ew a n tt oc o n s t r u c ta p i e 傥- w c i s ea l g e b r a i c 圈触w h i c hh a st h el o w e s td e g r e ea n dt h e l e a s tp i e c e s s o 。t h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h ed e g r e ea n dt h en u m b e ro f p i e c e so f t h eb l e n d i n gs u r f a c ei si m p o r t a n t i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e mo f b l e n d i n gt h e0 0 1 1 1 e r $ o ff o u rp l a n e sm e e t i n ga t ae n l l l n o nv o r t e xb yg c o n t i n u o u sp i e 嘶s ea l g e b r a i cs u m c 懿o fd e g r e ek + 1 t h e g e o m e t r i cc o n t i n u i t yc o n d i t i o nf o ra l g e b r a i cs u r f a o cp a t c h e sm e e t i n ga tt h ec o m l i l o nv e r t e xi s c o n v e r t e dt os o l v i n gah o m o g e n o u sl i n e a rs y s t e mo fe q u a t i o n so v e rp o l y n o m i a lr i n g a n d t h e nw e p r e s e n tt h er e l a t i o n s h i pb e c w e e nt h ed e g r e ea n dt h en u m b e ro f p i e c o so f t h eb l e n d i n g s u r f a c e t h er e s u l tw i l la f f e c tt h el o w e s td e g r e ea n dt h el e a s tp i e c e so f t h ep i e c e w i s ea l g e b r a i c b l e n d m gm l l - f a c c s t h et h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s ： i nc h a p t e r1 ，t h em e t h o do fb l e n d m go o r n e r sb yp i e c e w i s ea l g 曲r a l cs r r f a e e sa n dt h e s i t u a t i o no fb l e n d i n gt h ec o r n e r so ft h r e ec o o r d i n a t ep l a n e sw i t hg c o n t i n u o u sp i e e e w i s e a l g e b r a i cs u l f a c 宅$ a r ei i m r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，s o m ep r e l i m i n a r yk n o w l e d g ea b o u tg - r s b n e rb a s i s ，p r i m em o d u l ea n dt h e g e o m e t r i cc o m i n u t yc o n d i t i o nf o ra l g e b r a l cs u r f a c e sa r ep r o v i d e d i nc h a p t e r3 ，t h eg e n e r a t o rb a s i sa l g o r i t h mo fp r i m em o d u l eo v e rp o l y n o m i a lr i n gi s b r i e f l yi n u o d u c 她w h i c hi su s e dt os o l v et h es y s t e mo fe q u a t i o n so v e rp o l y n o m i a lr i n gi nt h e t h e s i s i nc h a p t e r4 ，t h es p a c ep a r t i t i o np r o b l e mo f b l e n d i n gt h ee o l l l e l so ff o _ i 】rp l a n e sm e e t i n g a tt h ec o m m o l lv e r t e xw i t hg p i e c e w i s ea l g e b r a i c 蛐l l - f a c ep a t c h e si sp r o p o s e d t h ep r o c e s s i sa sf o l l o w s a tf i r s t , t h eg e o m e t r i cc o n t i n u i t yc o n d i t i o nf o ra l g e b r a i cs u r f , a c op a t c h e s m e e t i n ga tt h eo o 衄o n v e r t c xi sc o n v e r t e dt os o l v i n ga l la l g e b r a i cs y s t e mo fe q u a t i o n so v e r p o l y n o m i a lr i n g t h e nt h es y s t e mi ss o l v e dv i at h eg e n e r a t o rb a s i sa l g o r i t h mo f p r i m em o d u l e o v e l p o l y n o m i a lr i n g 大连理工大学硕士学位论文 a tl a s tw ep r e s e n tt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h ed e g r e ea n dt h en m n b e ro fp i e c e so ft h e b l e n d i n gm l l f a c e k e yw o r d s ：p i e c e w i s ea l g e b r a i cs u r f a c e ：b l e n d i n g ：s p a c ep a r t i t i o n ；g e o m e t r i cc o n t i n u i t y ； g e n e r a t o rb a s i s i i i 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 x - j c 学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 作者期： 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完金了解“大连理工大学硕士、博士学位 论文版权使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送 交学位论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理 工大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也 可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文。 名：绋争 导师签名： 学月幽 大连理工大学硕士学位论文 1 绪论 在计算机辅助几何设计和计算机图形学领域中，代数曲面受到越来越广泛的重视和 研究。代数曲面作为一类特殊的隐式曲面，具有表达式灵活、总次数较低等优点，另外 其简单的多项式表示，使得它具有更直观的几何表示形式并使得计算得到简化，从而更 便于应用于实际造型中。代数曲面最重要的应用之一是用于构造b l e n d i n g 曲面，即光滑 拼接曲面。 传统的b l e n d i n g 方法是构造单片的光滑拼接代数曲面。然而，用单张代数曲面构造 b l e n d i n g 曲面的缺陷在于所构造的b l e n d i n g 曲面次数可能较高，这将使得曲面的拓扑结 构复杂，并且难以控制，也会使后续的各种几何操作( 如求交等) 中的运算量增大。 例如，r o s s i 萨a c 和r e q 访c “2 】用滚球法【3 】进行曲面拼接时，所得到的代数曲面次数 很高，表达式复杂，而且滚球半径较大时会出现自交现象。r o c k w o o d 和o w 1 4 】利用被 b l e n d i n gr 柏面及其梯度函数构造光滑拼接曲面，在b l e n d i n g 二次曲面时，出现了8 次甚 至更高的b l e n d i n g 曲面。m i d d l e d i t c h 和s e a r s 5 】用ij m i n g 技巧来b l d i n g 初始曲面，由这种 方法对原始曲面进行了o f f s e t ，也导致了较高的次数的b l e n d i n g 硅l t 面。基于l i m i n g 方法， h o 位嘲衄和h 叩c r o 斟捷出了p o t c n 6 a 1 方法【乳l l 】来b l d j n g 两个和三个曲面的一般法则， 当被b l e n d i n g 的代数曲面次数较高或者要求的几何连续次数较高时，得到的曲面次数也 很高。虽然在w a r r e n i 埘给出t b l e n d i n g 两个给定曲面的过渡曲面的形式及其所属理想后， b l e n d i n 9 3 b - 法得到了进一步发展，但是，样条函数方法 1 3 - 1 5 】、i a e r m i t e 插值方法 1 6 】、g r 6 b n e r 基方法1 7 - 2 0 与吴方法【2 ”5 】，都分别存在着次数过高、约束条件太强或者算法复杂等问题。 为了克服这些困难，陈发来、陈长松等人 2 6 , 2 7 使用分片代数曲面的方法构造拼接曲 面。所谓分片代数曲面是指由光滑的曲面片拼接起来的代数曲面，每个曲面片都定义在 空间剖分中的一个四面体剖腔之中。构造分片光滑拼接代数曲面主要由两部分组成：第 一部分是空间剖分，也就是确定每个曲面片的定义区域，目前空间剖分只能入工根据经 验来确定，无自动化实现；第二部分为求解分片代数曲面，主要是利用b l e n d i n g 代数曲 面的拼接条件得到一个含有多项式系数的代数方程组，然后求解未知多项式，最终确定 拼接曲面。陈发来、陈长松等人在g 1 连续的情况下对三通管道进行光滑拼接可以得到三 次分片代数曲面，在g 2 的情况下可以得到四次分片代数曲面。但是所构造的空间剖分 不易调整，并且在给定的空间剖分下，求解由b l 朗d i n g 曲面问题转化的多项式系数方程 组等问题也没有很好的解决。 为解决以上问题，关爱锐阱1 基于文献【2 9 】中的b 1 c i l d i n g 区域，利用模中生成基的方法 “1 求解由顶点处代数曲面的光滑拼接条件得到的多项式系数方程组，给出了三个坐标平 分片代数曲面方法角点萨磨光的空间剖分问题 面间的g 几何连续的分片代数曲面光滑拼接方法。此方法在凸组合情形下，可以构造 最低次数为k + 1 次的g 连续分片光滑代数曲面，如图1 1 ；对于非凸组合情形下，可以 构造最低次数为七+ 【( j + 1 ) 3 】+ 1 次的g 连续分片光滑代数曲面，如图1 2 所示： 图1 1 凸组合角点g 磨光 f i g 1 1c 靠 图1 2 凹组合角点g 磨光 f i g i = 2n o n - m v e x 此方法的主要优点是在同样的光滑度要求下，光滑拼接曲面的次数较低，同时拼接 区域可以通过自由参数来调整，拼接曲面的形状也可以通过自由参数来直观控制。另外， 将此方法与p o t e n t i a l 方法思想相结合可以光滑拼接任意三个横截交于一点的代数曲面。 基于文献【2 8 】的方法针对三个平面拼接角点磨光的结果具有良好的性质，因而考虑将 其拓展应用解决多个曲面拼接的角点磨光问题。在构造分片代数曲面的时候需要确定空 间剖分，剖分中剖腔的个数决定光滑拼接曲面的片数，片数越多拼接曲面的次数就有可 能越低。但是，复杂的空间剖分会使得相应的协调方程组越来越复杂，令构造难度大幅 增加。所以，人们希望能以最简单的空间剖分，构造次数最低的分片光滑拼接代数曲面。 大连理工大学硕士学位论文 因而对于关爱锐的方法在多片情形中的可行性问题，空间剖分的复杂程度与光滑拼接曲 面次数之间的关系就显得非常重要。 本文考虑四个平面横截交于一点处光滑拼接的空间剖分问题，在角点处构造金字塔 形空间剖分，借助围绕一个顶点处的代数曲面b l 衄d i n g 条件，利用多项式环上的素模中 的生成基方法【l 】，判断凸组合情形下五片铲连续k + 1 次光滑拼接曲面的存在性问题，给 出空间剖分的复杂程度与光滑拼接曲面次数之间的关系。文中结果将直接影响多个平面 角点磨光闯题的光滑拼接曲面的最少片数和最低次数，以及文献田】的方法在多片情形中 的可行性结果。 分片代数曲面方法角点萨磨光的空间剖分闯题 2 基础知识 本章将介绍代数几何中的g 埔b n 盯基与合冲模理论f 3 0 j 、代数曲面片定义 3 2 3 和曲面 光滑拼接的几何连续性定义 1 2 , - u 1 。 2 1 代数几何理论 2 1 1 记号与约定 我们以k 表示一般的域，r 表示交换幺环，l 啦，x - 与r x a ，】表示域k 上和 环r 上的 个变元的多项式环。 令n 为非负整数集合，行为给定的正整数。毛，毛，矗表示环r 上的一个变元。令 集合p = 妒，乎9o j 9 斧i q n ，i = l 2 , ，n 为 个交元五，为，矗的幂积的集合。记 带聋。j = x 4 ，其中x = “，而，毛) ，口= ( ，口2 ，a ，) n 。对于t ”中任两个元素 j 4 = 带妒。j 和z 4 = 矸毋。矸，定义它们的乘法为z 。4 - - x ”4 = 妒蜗妒“ 毋“，或者由环r 【五9 0 0 9 矗】中的乘法得到上式。 定义2 1 1 所谓盯是集合上的一个全序，是指对任意给定的p 中的两个元素j 4 和 石，j 下面的三个关系式之一必须成立，而且只有一个成立： x 4 o x 。x 4 = o x , as x 。o 磬 q 、 如果无须特别标注盯，上式可简记为 z 4 j ，z 4 = z ，4 z 4( 2 2 ) 定义2 1 2 集合p 上的全序盯称为良序，如果r 的每个非空子集合都有最小元，即 对p 的任何非空子集4 ，必存在元素z 4 e a ，使得对所有z 9 4 ，x 4 。1 ( 2 ) 对任何z 4 ，x 4 ，x 7 t ”，如果z 4 x 珥。 记p ( 力= j 啦，即l p ( ，) 表示，的首项幂积； l c ( d = o i ，即工c 盯) 表示厂的首项系数； 工丁= a , x q ，即上r u ) 表示，的首项。 定义2 1 5t “上相对妈 而 的字典序( 1 商c o g m 】p h i c a l o r d e r ) ，简记为l e x ，定 义如下： 一 对于口= ( q ，) = ( 属，孱) 则j 气k x 4 营存在l k s n 一1 ，使得口j = p ， _ ，= o ，1 ，k ，和+ 1 展“( 约定= 磊) 若n = 2 ，则1 x 2 毫 霹 焉 x a x 2 x l 巧2 x n 的分次字典序( d e g r e cl e x i e o g r a p h i e a lo r d e r ) ，简 记为d e g l e x ，定义如下： 对于口= ( q ，口。) ，= ( 届，尾) n ”，则 x 4 呐x e 铸 q 矗 q = t d r - i x 。缸x 自 或 和按字典序有 ( 2 4 ) 若n = 2 ，则1 x 2 五 霹 五而 砰 霉 五毫 彳而 # 2 ，1 2c _ r r 6 b n e r 基理论 在g r o b n e r 基理论中，除法定理是最重要最基本的，它为g r 6 b n e r 的求解奠定了理 论基础。 定理2 1 ，2 ( 除法定理) 设f = “，z ) 是五，x 2 ，x n 】中有序的多项式组，那么对 于任何厂埘葺，毛，毛 都可以表示成形式 f = 岛z + + q z + ，( 2 5 ) 分片代数曲面方法角点萨磨光的空间剖分问题 其中q ，埘五，矗】且，= o 或者，的各项皆不能被三丁( ，f = 1 ，s ) 整除。进一步，如 果q z 0 ，我们还有 m u l a d e g ( f ) zm u l f f d e g ( a ，f ) ，( 1 i 口) 。 ( 2 6 ) 而h i l b e r t 基定理则保证了所有的珥五，而，矗】中的理想都是有限生成的，及可以 找到一组有限生成元。 定理2 1 3 ( h i l b e r t 基定理) 任何珂五，x 2 ，毛】中的理想都存在一个有限生成基， 也就是说 f = ，( 2 7 ) 这里舒1 , i = l ，j 。 定义2 1 7 给定一单项式序，称理想，的有限子集g = 9 1 ，9 2 ，9 1 ) 是g r s b n e r 基， 如果 = ( 2 8 ) g r 6 b n e r 基理论在许多问题上是很有用的。常常在求解关于一个任意集f 的问题时， 首先将关于，的问题转变成关于其g r s b n e r 基g 的问题，然后再求解。这需要计算其 g r s b n e r 基。而g - r s b n e r 基理论的关键是提出了计算g r s b n e r 基的可行算法，即提出了由 理想的任何一组生成元出发，计算出该理想的g r d b n e r 基的算法，根据目前计算机的计 算能力，该算法是可以实现的。该算法是由b u c h b e r g e r 提出并以他的名字命名的，此算 法的核心引入了s 一多项式的概念。 定义2 1 8 ( s - 多项式) 设厶g l 【 五，x 2 ，x a m ，l = l c m ( l p ( f ) l p ( g ) ) ，其中缸埘 表示最小公倍式。令 跗据净z 南产三南g ( 2 9 ) 称多项式s ，g ) 为，和g 的s 一多项式( s - p o l y n o m i a l s ) 。 多项式西钫厂和五轰万g 的首项相同。 算法2 1 4b u e h b e r g e r 计算c r r 6 b n e r 基的算法 输入：f = “，工) 科而，而，毛】 o ，项序 输出：g = 9 1 ，g ，) ，6 是理想 的g - r s b n e ：r 基 大连理工大学硕士学位论文 初始化：g = ，d f # “，) i z ，g ) 当i ) f 西时，选择v ，曲d f d f 竽d f ，g ) ) s g ) 模g 约化为h ，矗相对g 是既约的， 如果h 0 ，则 d f ：= d f u “，埘i v u g ) ，g ：= g u 研。 定理2 1 5 上述b u c h b e r g e r 算法产生的g 恰为理想 的g r 6 b n e r 基。 我们给出了计算g r 6 b n e r 基的算法，但即使在序给定的情形下，g - r s b n e r 基也并不 是唯一的，这由计算本身不难看出。首先，算法依赖于输入多项式的次序，输入的次序 不同可导致求出的g r o b n e r 基不同。进而，在计算s 一多项式时，是随机的从d f 中选 取多项式对，这又能导致其结果的不同。我们希望能找到与g r o b n e r 基相关的不变量。 为此，引入极小g r 0 1 m e r 基、既约g - r 6 b n e r 基的概念及其性质。 定义2 1 9 ( 极小g r 6 b n e r 基) 环而，x 2 ，o 0 0 9 矗】中的c _ r r 6 b n e r 基g = 编，岛) 薯， ，毛】、( o 称为极小的( m i n i m 面) ，如果对每个f ，l f s f ，l c ( g , ) = i ，而且对任何 f , 1 s f ，j t ，都有l p ( g 。) 不整除凹( g ，) 。 ， 定义2 i 1 0 ( 既约陆6 b n 艇基) 环研五，而，】中的g r 6 b n e r 基g = g l ，蜀 称为既 约o r 6 b n c r 基，用r g b 表示，如果对所有, 1 f s f ，l c ( g , ) - - 1 ，而且岛相对g 、( g i 是既 约的，即对任何岛中没有非零项可被任何髓，( g ，) ，_ ，i 除。 定理2 1 6 ( b u c h b c r g 廿- ) 在环五，1 上固定项序 ，则环埘五，t ，】中任何 一个理想f 相对 都有唯一的一组既约g - r 6 b n c r 基，因此r g b ( n 是有确切含义的。 一般的求解通常是用既约c r r o b n e r 基。 2 2 3 合冲模理论 首先介绍模的概念。 定义2 1 1 1 设m 为一非空集合。在m 中定义了元素的加法，即对任意的a ，声m ，m 中有唯一的元素口+ 声与之对应，元素口+ 称为口和的和；在肘中还定义了环r 中 元素与肘中元素的乘法，即对任意a r ，口e m ，m 中有唯一的元素五口与之对应，元素 五口称为五与口的积。设盯的加法和乘法满足以下公理： 1 加法结合律： + 历+ ，= 口+ ( 卢+ ，) 2 加法交换律：口+ 声= + 口 分片代数曲面方法角点萨磨光的空间剖分问题 3 具有零元素：即肘中存在元素0 ，它称为零元，使得对任意口m 口+ o = a 4 具有负元素：即对任意口m ，存在e m ，它称为元素口的负元素 5 口( ，+ g ) = u f + c t g ，v 口r ，g m 6 碴七8 、| = 氆 七8 、a ，9 r ， m 7 ( c t f l ) f = 口( 只厂) ，v 口，盖，y e m 8 设1 为r 中的单位元，则i f = ，v ，m 则集合肘成为环五上的模，或者称为置模。 可以简单的把模看作是一个环上的向量空间，它的每一个元素为一个向量。 定义工1 1 2 设震是一个多项式环，f 是每个分量为五中元素的栉维向量的集合。 m c r ”称为孟上的模( 或r 模) ，如果对v f ，g m 及口，卢r 都有a + # g m 。 定义2 1 1 3 如果震模m 的子集本身也是r 模，则称为m 的子模。 引理2 1 7 设肘为胄模，fc - m 为一子集，集合 n = 矿= q z + 啦五+ + 正i z 只a l r ，v f - - 1 ，2 ，磅 ( 2 1 0 ) 是m 的一个子模，也成为m 由，生成的子模，记为n = 。如果 = m 则称为， 生成m 或者说f 是m 的一个生成集；如果存在有限集f 生成 厶则称m 为有限生成 模。 定义2 1 1 4 设肘为环r 上的模rf = “，五，z ) 是一个，元组，其中z 膨。满 足下列条件 6 f , + 吃正+ + 口，z = 0 m ( 2 1 1 ) 的 ( q ，啦，口f ) i q 埘称为f 的一个关系。 下面引入合冲模的概念。 定义2 1 1 5 设f = ( 石，五，z ) 为如上的一个t 元组，其中z m 。集合 矿= ( q ，呸，口f ) 7 r i q ，= o ( 2 1 2 ) j i l 称为( 石，五，z ) 的合冲模，表示为篷归，五，z ) 。由此可见，f 的合冲模就是，上所 有关系的集合。 定义2 ，1 1 6 设为由f = “，石，z ) 生成的模，如果一个矩阵a 的列向量集合是 s y z ( f l ，厶，z ) cr 的一组生成元，则a 称为模m 的一个表示矩阵，此时我们称4 表 示肘。同时f a = 0 。 大连理工大学硕士学位论文 引理2 1 8 如果震为n o e t h e r i a n 环( 即五中的所有理想均为有限生成的) ，则肜所有 子模肘均为有限生成模，因此合冲模也是有限生成的，即我们可以找到它的一组有限 生成元。 相应于理想的g - r s b n e r 基理论，也有模上的除法定理。下面简记所有的实系数三元 多项式的集合r 【x ，弘z 】为r ，容易验证r 为一多项式环。r 。为每个分量为r 中多项式 的n 维向量的集合。 定理2 1 9 ( 除法定理) 设f = “，工) 是r 。中有序的s 元组，那么对于任t g f r ” 都可以表示成 f = 岛z + + q z + ， ( 2 1 3 ) 其中q r ，r r ”且v i ，l t ( a , f , ) l t ，r r = 0 或者，的各项皆不能被埘u ) ( f = 1 ， ，s ) 整除。这里，称为厂被f 除的余数。 下面介绍模的g r s b n e r 基的定义。 定义2 1 1 7 设射为r ”的子模，则 1 表示由所有时中元素， 的首项产生的子模。 2 有限集合g = g l ，9 2 ，岳) cm 称为m 的一个g - r 6 b n e r 基，如果 = ( 2 1 4 ) 易得，当栉= l 时，r ”的子模m 等价于r ”的一个理想。 2 2 代数曲面片的定义及其b b 表示 在实际的几何造型中，常常不是使用整个代数曲面，而是使用它们的一部分，也就 是代数曲面片，然后通过一定的拼接条件把它们拼接在一起构成需要的曲面，这种造型 方式称为分片代数曲面造型。 分片代数曲面由代数曲面片组成，每一个代数曲面片都定义在一个参考四面体中。 这些参考四面体都定义了一个规则的格点网络，这些格点上的系数提供了一种控制曲面 片的有意义的方式。如果定义一个在参考四面体中的以位置为自变量的连续标量函数， 那么每一个四面体中的点都唯一定义了一个标量函数值。通常，四面体中一部分区域为 正值，另一部分区域为负值。取正值区域与负值区域的边界就是相应的代数曲面片。 代数曲面片( 记为矿) 表示形式经常写成 f ( x ，y ，z ) c , j , x y 7 ，= o ( 2 1 5 ) 分片代数曲面方法角点铲磨光的空问剖分闻题 在上面的式子中，多项式系数c 没有任何的几何意义，也就不能使得代数曲面得到具体 的形状控制，因此常常使用它们的b e a n s m i n - b 6 z i c r ( 简称b - b ) 形式，根据b d z i e r 纵标对 它们的形状进行控制。 在四面体k 。内定义代数曲面片一 四面体内点，的重心坐标仅f 砧，定义为： p = s k o + f + “。o + v ，s + t + u + v = l ， ( 2 1 6 ) 四面体内的，z 次代数曲面片矿( 力的b - b 形式为： ，( p ) # f ( s ，咖川+ 邑k ，。瓦n v - o ， ( 2 1 7 ) ，+ ，+ t + ，h j ，j ，f 2 0， 这里( s ，t ，v ) o + f + 甜+ v = 1 ) 是点p 关于四面体k 0 0 0 k o p ；的重心坐标，6 槲称为是 b - b 形式的b d z i e r 纵标。同时我们定义格点为 = 吉k m + 音k 。m + 音。+ 寺虼m 。， ( 2 1 8 ) 其中f ，麒o ，f + j + k + l = 撑。 文献【3 2 1 中详细讨论了如何通过b 晒e r 纵标对曲面片( ，) = 0 的位置形状进行直观控 制，例如： 顶点插值，( ，) 在四面体顶点处的值就是该点的b c z i e r 纵标，也就是说如果我们让 顶点的b d z i a r 纵标为0 ，则曲面就通过该顶点。 边的插值如果沿着四面体的一条边的格点的b d z i e r 纵标均为0 ，则f ( p ) = o 插值该 边。 局部控制b d z i e r 纵标直接影响格点附近的曲面。如果，( ) 是负的( 或正的) ，则减 小( 或增大) 的值，曲面，( p ) = o 将远离，而增大( 或减小) 6 彬的值，曲面，( 尸) = o 将 靠近。 梯度控制如果四面体的一个顶点的b d z i e f 纵标为0 ，而且它相邻的三个格点中有 两个也为0 ，那么曲面，( p ) = o 在四面体的该顶点处与那三个纵标为0 的格点所称的平 面切。 边的相交如果四面体的某条边上格点上b 6 z i c r 纵标均为正值或均为负值，则代数 曲面与该边无交点。而如果某条边上格点上b d z i c r 纵标的符号改变正好一次，则曲面与 该边恰好只有一个交点。 大连理工大学硕士学位论文 避免自交代数曲面的困难之处还在于曲面本身可能会出现自交，如果让四面体内 沿平行于四面体边的方向的b 6 z i e r 纵标都是单调变化的，则曲面与平行于改边的直线最 多只有一个交点。 2 3 几何连续性 在实际的c a d 肥a m 中，设计人员往往都是使用不同的曲面进行拼接，构造最终的 形体。而在拼接的过程中，如何定义所要达到的连续程度和光滑程度就成了需要解决的 问题。 w a r r e n 1 2 j 对于隐式曲面的g 连续给出了如下的定义： 定义2 3 1 ( 隐式曲面的黜龇gc o n t i n u i t y ) 任给两个不可约代数曲面v ( f ) 和 矿( 曲，它们有公共点户= ( x o ，y o ，z o ) 。称矿) 与矿( g ) 在公共点尸处g 连续，如果存在 多项式a ( x ，y ，z ) ，b ( x ，弘：) ( 口( 力- b ( p ) # 0 ) 使得旷与6 9 在尸点c 连续。如果代数曲面 矿( ) 和矿( g ) 在不可约交线c = v ( f ，g ) 上的所有点一除有限个外一都g 连续，则称 这两个代数曲面沿交线c 具有k 阶几何连续。 上述定义有着直观的几何解释，如一阶几何连续表示它们在拼接处有相同的切平 面，而二阶几何连续则表示它们在拼接处有相同的曲率及d u p m 标形。 而对于代数曲面，h a r t s h o r n e 3 3 1 利用相交重数的概念来定义几何连续。 定义2 3 2 ( 代数曲面的i n t e r s e c t i o n m u l t i p l i c i t y ) 设v ( f ) 和v ( g ) 均为r ”中的n - 1 维 代数超曲面，它们的交集彳为n - 2 维，并且矿v ) ，v ( g ) 及x 均不可约。如果v ( f ) 和v ( g ) 沿x 光滑( 即存在，e x ，v ( f ) 与v ( g ) 在p 点光滑) ，且相交重数为k + l ，则称v ( f ) 和 矿( 曲沿j 交集g 连续。 其中，两个超曲面v ( f ) 和y ( g ) 在尸的相交重数定义为s ，如果存在多项式a ( x ，y ，：) 与f l ( x ，y ，：) 位( p ) p ( p ) o ) ，使得a f 一卢奢在，点处直到s - 1 阶导数为零。 更一般的，g 盯畸和w a r r e n f 3 4 】利用流行的观点给出了一种更有普遍性的定义。 定义2 3 3 非空集合肘亡r ”称为r ( r s 疗) 维c 流行，如果对于任意p m ，存在p 的邻域u 以及u 上连续的函数中= 也，中， ，使得对任意q u ，r a n k ( j o ( q ) ) = 一一，而且 m n u = q u i m ( 9 = o ) ( 2 1 9 ) 这里，肺为。的j a c o b i 阵( 劬，o x ， ) 。 m 在p 点的切空间定义为，m ( 尸) x = 0 。 分片代数曲面方法角点萨磨光的空间剖分问题 定义2 3 4 两个流行称为在交点处横截，如果它们在该点的切空间之和张成r ”。 定义2 3 5 ( 流行意义下的g ( x ) m m r i c c o n d m t y ) 代数集矿和矽在它们的交点p 的邻 域均是r 维的流行。z 为与y 和彤在p 点横截的珂一r + l 维线性空间。称y 和矽在 点户为连续，是指如果对任意的z ，曲线z n 矿与z 1 3 w 在p 点连续。进而，代 数集矿和矿在它们的交集z 的邻域均是r 维的c 流行，如果矿和形在j 的每个光 滑点均伊连续，则称y 与矿沿z 是g 连续的。 对于上述多种几何连续性，g 卸j 锣和w 舡在文献【蚓一文中指出了 定义2 3 6 对于解析集来说，上述各种几何连续性的定义是等价的。 其中所说的解析集是指：若a 表示所有解析函数构成的环( 多项式环r 五，】为其 子环) ，我们称集合 v = 红r 4i ，( z ) = o , i = 1 , 2 ，。，s ，z o ) a ( 2 2 0 ) 为由m ) 厶定义的解析集。显然，代数簇都是解析集。 下面介绍代数曲面几何连续的具体条件。 设矿是解析集。用，( 矿) 表示矿生成的理想，它由所有在矿上为零的解析函数构成。 容易验证，y 不可约当且仅当j ( 矿) 为素理想。因此，解析集_ ，与形沿不可约子集爿的 几何连续性与环a 。中的理想，( 矿) 及，( 矿) 密切相关，这里 a j = g l ，g a 且g 在z 上不恒为零 ( 2 2 1 ) 由于朋i 可约，任何在肿不恒为零的解析函数在a ，中都有逆，故a 。有唯一的极大理 想。g a 盯i 锣和w 钉瞰m 给出了关于v - q w 的几何连续性条件的特征刻画定理。 定理2 。3 1 设y 与形为两个，维的解析集，且沿不可约解析集x 光滑。则在y ，矽 和x 都光滑的点处，矿与形是g 连续的充要条件是 i ( v ) + j ( d ”= j ( 阡7 ) + j ( x ) “1 ( 2 2 2 ) 在a ，中成立。 特别地，工为一个点尸时结论成立。 因此，我们有代数曲面的几何连续性条件的代数刻画定理： 定理2 3 2 设代数曲面矿( ，) 与矿( 协横截的交于一条不可约代数曲线c 。则代数曲 面矿( ，) 与v ( g ) 沿c 连续的充要条件是g ，u ，h “1 ) ，即存在多项式a ( x ，y ，：) 与 大连理工大学硕士学位论文 以为弘二) ，基j ( c ) ) ，使得g = 盯+ 芦嘞“。其中，j c 厂，h “) 表示由厂与h “生成的理 想。 在实际应用中，y ( 常常取为一个平面。由上述定理可得 推论2 3 3 设掰次代数曲面v ( f ) 和n ( n 研) 次代数曲面v ( g ) 在平面矿( ) 上有公共 的交线，如果存在多项式口0 ，y , z ) 和p ( x ，y ，j ) ，使得g = 吖+ 声矗“，其中岱与卢分别 为m 一弗和t n k 一1 次多项式，则代数曲面v ( f ) 与v ( g ) 沿交线g 连续。 对于一般的代数超曲面，我们有 定理2 3 4 设r ”中有代数超曲面矿) ，f = 1 ，2 ，与代数超曲面y ( 横截的交于一 不可约代数超曲面c ( 低一维) ，并且c f 与矿x i 力只有有限个交点。则代数超曲面 矿( g ) 沿e 与矿( z ) 为g 连续的充要条件是g j u ，正9 o 9 z ，h “1 ) ，即存在多项式 a ( x ，y ，2 ) 和觑x ，y ，z ) ，使得g = 口石五f + p h “1 。 更一般的，可得 定理2 3 5 设矿u ) 和y ( ) 均为的代数超曲面，它们横截的交于一不可约代数超 曲面c f ( 低一维) ，i = 1 ，2 ，并且c j 与c ，( f j ) 互不相交，则分别与矿( z ) 沿c 为g 拼接的代数超曲面矿( g ) g e l ( & ，9 2 ，g ，) ，这里 g ：。由展开式r i + 矿1 ) 的所有单 j 。l 项构成。 分片代数曲面方法角点g i 磨光的