（计算数学专业论文）四阶抛物方程的间断时空有限元方法.pdf

四阶抛物方程的间断时空有限元方法 摘要 间断时空有限元方法统一时间和空间变量，在时间和空间的两个方向同时发 挥有限元方法的优势，实现了时空两个方向的高精度同时，间断时空有限元还 具有高度的自适应性，更适合处理复杂的间断问题本文利用间断有限元方法和 混合有限元方法相结合的思想处理了几种边界条件下的四阶抛物型方程对每 个方程构造了混合时间间断时空有限元格式，利用混合有限元方法将高阶方程 降阶，利用空间连续而时间允许间断的时空有限元方法离散方程对线性四阶抛 物方程证明了离散解的稳定性，存在唯一性和收敛性处理半线性抛物方程时引 用布劳威尔( b r o u w e r ) 不动点定理证明了离散解的存在唯一性，并得到了时间最大 模、空间l 。模的误差估计对于非线性抛物方程给出了离散解的l 。( 三。) 模最优 阶误差估计。同时，给出数值算例验证此类方法对高阶抛物方程的有效性 关键词：四阶抛物型方程；混合时间间断时空有限元法；误差估计；布劳威尔 ( b r o u w e r ) 不动点定理 s p a c e t i m ef i n i t ee l e m e n te l e m e n tm e t h o d s f o rf o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s a bs t r a c t d i s c o n t i n u o u ss p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d sd e a lw i t ht h es p a t i a la n dt h et e m p o r a l v a r i a b l e ss i m u t a n e o u s l y a n dh i g ho r d e ro fa c c u r a c yi nb o t hd i r e c t i o n sa x ea c h i e v e d a tt h e s a m et i m e ，t h i sk i n do fm e t h o d si sh i g h l ya d a p t i v e ，a n ds u i t a b l ef o rd e a l i n gw i t hc o m p l e xd i s - c o n t i n u o u sp r o b l e m s t h ei d e ao fc o m b i n i n gt h ed i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o d sw i t h m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d si sc o n s i d e r e df o rp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hs e v e r a l d i f f e r e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n s f o re a c hf o u r t ho r d e rp a r a b o l i ce q u a t i o n s ，t h em i x e dd i s c o n t i n u o u ss p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n ts c h e m ei sc o n s t r u c t e db yl o w e r i n gt h eo r d e ro ft h ee q u a t i o n b ym i x e df i n i t ee l e m e n t a n dt h ee q u a t i o ni sd i s c r e t i z e db ys p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，c o n t i n u o u si ns p a c eb u td i s c o n t i n u o u si nt i m e t h es t a b i l i t y ，u n i q u e n e s sa n de x i s t e n c e ，e r r o r e s t i m a t e so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o na r ep r o v e df o rl i n e a rp r o b l e m s b r o u w e rf i x e dp o i n t s t h e o r e mi su s e dt op r o v et h eu n i q u e n e s so ft h ea p p r o x i m a t es o l u t i o no fs e m i - l i n e a rp a r a b o l i c p r o b l e m sa n dt h ee r r o re s t i m a t ef o rt i m ei nm a xn o r ma n ds p a c ei n ，n o r mi so b t a i n e d f o r n o n l i n e a rp a r a b o l i ce q u a t i o n ，o p t i m a le r r o re s t i m a t ei nl o 。( l 2 ) n o r mi sp r o v e d i nt h em e a n t i m e ，s e v e r a ln u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i wa n de f f e c t i v e n e s s o ft h i sk i n do ft h ea l g o r i t h m k e y w o r d sf o u r t ho r d e rp a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；m i x e dd i s c o n t i n u o u s s p a c e - t i m ef i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；e r r o re s t i m a t e s ；b r o u w e rf i x e dp o i n t st h e o r e m 原创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。除本文已经注明引用的内容外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也 不包含为获得内墓直盔堂及其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同 志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：鱼塑旦查整 日期：2 堂 指刷币虢酝 日 期：磁：工 在学期间研究成果使用承诺书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：内蒙古大学有权将 学位论文的全部内容或部分保留并向国家有关机构、部门送交学位论文的复印件和磁盘，允 许编入有关数据库进行检索，也可以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编学位论文。 为保护学院和导师的知识产权，作者在学期间取得的研究成果属于内蒙古大学。作者今后 使用涉及在学期间主要研究内容或研究成果，须征得内蒙古大学就读期间导师的同意；若用 于发表论文，版权单位必须署名为内蒙古大学方可投稿或公开发表。 学位论文作者签名：鱼堑里兰拐指导教师签名：恕 日期：塑皇日 期：渔鲤 内蒙古大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1时空有限元的历史背景 有很多的实际物理问题都可以转化成一个相应的微分方程的形式后进行研究，为了更好 的数值模拟复杂的实际物理问题，解决好相应的数学模型问题，各种数值方程接连出现，并 且各种数值方法针对不同的问题有着各自的优势如有限差分方法，理论体系完善，可以处 理大多数的问题，有限元方法( 如；混合有限元、间断有限元、连续有限元、时空有限元等) 能够适应复杂区域问题等，常见的数值方法还有有限体积法等，现在更常见的还有各种方法 的混合应用本文研究将混合有限元方法与间断有限元方法相结合的新方法一一混合时间间 断时空有限元方法 混合有限元方法是将问题中所求的未知函数，除了原来的未知量，还将原方程未知 量的导数作为补充的独立变量一起来求解通过混合有限元方法可以将高阶方程进行降 阶处理，化为低阶方程，从而有利于数值处理近年来，很多计算数学工作者致力于混 合有限元方法方面的研究，这个方法早期是于上个世纪六七十年代被几位工程师( f r a e i j s d ev e u b e k e ，1 9 6 5 ；h e l l a n ，1 9 6 7 ；h e r m a n n ，1 9 6 7 ) 用来解决s o l i dc o n t i n u a 问题而引入的，从那时 起，混合有限元方法被广泛应用到( 如，固体力学，流体力学) 很多领域【l ，习，r a v i a r t t h o m a s ，j i m - d o u g l a s b r e z z i o f o r t i n ，z h a n g x i nc h e n ，罗振东等人在这方面作了很大的贡献 【3 ，4 ，6 ，7 ，8 t1 0 ，5 ，4 6 随着混合有限元方法的研究和发展，z h a n g x i nc h e n 等推广到扩展混 合有限元方法瞄一，此方法不同于原始的混合元方法，它可以得到更高的逼近精度，并同时 高精度逼近三个变量：未知纯量函数，梯度和流量 时空有限元方法是解决时间依赖问题，特别是间断问题的一种重要的数值方法这种方 法将时间和空间变量统一考虑，该方法时空两个方向可以同时连续，也可以在某一方向出现 间断或时空同时允许间断，在时间和空间两个方向同时发挥有限元方法的优势，提高数值解 精度该类方法将网格推广到时空片= q ( t 。，t 。+ 1 ) 上，其中q 是基本的空间区域，t 。是 离散的时间层，每个时空片都有自己独特的三角抛分间断有限元方法是利用完全间断的分 片多项式作为近似解和实验函数空间的一种有限元方法，该方法是由r e e d 和h i u 3 7 于1 9 7 3 年为求解中子输运方程首先提出，但这种方法长期以来一直没有得到很好的研究和应用直 到2 0 世纪8 0 年代末，由c o c k b u r n 和s h u 等人结合r u n g e - k u t t a 方法，将间断有限元方法推 广到一维和高维守恒律方程和方程组【3 6 ，3 7 ，3 8 ，3 9 ，4 0 ，这方法才引起人们的足够重视近 年来，出现了丰富多样的间断有限元方法，如流线扩散方法【4 1 ，4 2 1 ，激波捕捉方法【4 3 】和特 征线流线扩散方法等，成为解决计算流体力学问题的卓有成效的数值方法之一对于一般形 式的间断时空有限元方法的讨论，主要是c j o h s o n 等人的工作，在他的一系列的文章中，研 绪论 究了热传导方程的间断时空有限元方法，并给出了线性问题和非线性问题的时空有限元解的 误差估计 2 6 ，2 7 ，3 1 t3 2 ，3 3 随着该理论的完善和发展，为适应各种方程形式的需要，后期出 现椭圆和抛物型方程的空间间断混合有限元方法1 2 8 t2 9 ，3 0 】和四阶抛物方程的时间间断混合 有限元方法1 4 4 过去对高阶方程的有限元方法方面的研究，主要集中在混合有限元方法，文 f 5 】中利用该方法对四阶的椭圆方程作了比较详尽的分析v i d e rt h o m 6 e 在f 3 4 j 中利用时间 间断而空间连续时空有限元方法讨论了形如地+ a u = ，的方程，证明了解的唯性，并给 出解的几种收敛性证明方法文【4 4 】中讨论了饥一u + 2 “= ，的离散解的稳定性及其收 敛性本文将采用文献 3 4 】中的时间间断而空间连续时空有限元方法和混合有限元方法相结 合构造带广义边界条件的四阶抛物型方程及半线性、非线性四阶抛物型方程的混合间断时空 有限元格式，并证明有限元解的稳定性，存在唯一性和收敛性并给出数值例子验证此类方法 的有效性 1 2 有限元空间及定义 为引进方程的混合间断时空有限元方法，首先将时间区间进行剖分，设0 = t o t i t = t ，剖分区问为厶= ( t n ，t n + 1 】，k = t n + 1 一t “，n = 0 ，1 ，2 n 一1 t h 是q 的正则剖分， 剖分单元为7 - 定义时空域q ：= q j ，时空片舻：= qx 厶，在每一个时空片伊上的正则 剖分为t h 朋剖分单元为k = 丁k ，设h n2 k m n a x 。( k ) ，n = o ，1 ，2 “一1 ，h2 掣h 定义 本文所涉及的有限维子空间和无限维空间 y h ，n = u ：u l k p k ( f ) f k ( 厶) ，v k t h ，。) ， q ，n = ：u i j r p m ( 7 ) xp m ( 厶) ，v k t h ，。) ， 砩。= ，n ， 硼。= v h ，。n 硪( q ) ， = l 2 ( j , h 1 ( q ) ) ， = l 2 ( j , 硎( q ) ) ， q 1 = l 2 ( j , h 1 ( q ) ) q 2 = l 2 ( j , 硎( q ) ) 其中r 表示至多为k 次的多项式空间下面给出本文所用到的定义及引理 定义1 记时空片上的内积为( u ，u k = ( u ，口) 伊，相应的范数为l 。= ( t ， ) y 2 定义2t = 俨时，空间l 2 内积为( u ，u ) n = ( u ( ，俨) ，u ( ，t t l ) ) n ，相应的范数为m 竹= ( ”，u ) y 2 定义3 时间间断点处的左右极限为”士( z ，) = 。骧口( z ，t + s ) ，时间跳跃项【u 】= 口+ 一t ，一定 义范数：i l l - i l l 2 = 烈1h 2 + 川3 + 蚝) 2 内蒙古大学硕士学位论文 定义4 空间l 2 ( j , l 2 ( q ) ) 上的范数：i 马= 菇i l v l l 邑d t 定义5 空间l ( 歹，l 2 ( q ) ) 上的范数：m l ，a xi i i i ，其中i i u 表示l 2 范数 定义6 空间工o o ( 了，l o o ( q ) ) 上的范数：i i u i i l ，l 。= s u p i t ( z ，t ) 1 ( 2 ，t ) e n x j 引理l ：引入椭圆投影r ：一畿( i = 1 ，2 ) 满足 ( p ( x ，) v ( r 让一t i ) ，v x ) = 0 ，p ( x ，t ) l 2 ( 正l 2 ( q ) ) 的有界正函数，x 罐n ， 且有误差估计 i i u r u | l c h k + l i l u l l k + 1 引理2 ：引进算子r h ：l 2 ( j , 工2 ( q ) ) _ q h ，若满足 ( o ( x ，) 一他u ) ，v h ) = 0 ，0 ( x ，t ) l 2 ( 4 2 ( q ) ) 的有界正函数，q h 则有 i i u r _ i i u | isc h m + 1 1 1 u 1 1 。+ 1 上述两个引理证明参见【4 7 】 引理3 ：( 布劳威尔( b r o u w e r ) 不动点定理) 设g ：dcr n 一舻在有界闭凸集d ocd 上连 续，且a ( d o ) cd o ，则g 在d o 中至少有一个不动点此引理证明参见 2 0 】 注意在本文中主要应用了c a u c h y - s c h w a r z 不等式，y o u n g 不等式，p o i n c a r d 不等式和 s o b o l e v 空间嵌入定理【4 8 ，4 9 1 并且作估计时所有的c 都是与空间步长h 和时间步长a t 无关的常数 1 3 文章结构 本文的组织结构安排如下，在第1 章中给出了本文所涉及的预备知识在第2 章中讨论 带广义边界条件的四阶线性抛物方程的混合间断时空有限元法，给出了弱解的存在唯一性， 稳定性和l o o ( l 2 ) 模最优阶误差估计及数值例子在第3 章中研究一类四阶半线性抛物方程 的混合间断时空有限元法，利用劳威尔( b r o u w e r ) 不动点定理证明了离散解的存在唯性并， 证明了l o 。( 己2 ) 模最优阶误差估计，并给出了数值例子在第4 章中我们采用混合时间间断 有限元方法研究一类四阶非线性抛物型方程，给出了弱解的l 。( 三2 ) 模最优阶误差估计在 第5 章中给出论文的总体情况和需要进一步解决的问题 3 四阶线性抛物方程混合问断时空有限元法 第二章四阶线性抛物方程混合间断时空有限元法 本章考虑如下的四阶抛物型方程 ft t 一v a ( x ，t ) v u4 - 【6 0 ，t ) 叫+ c ( z ，t ) 钍= ，( z ，t 塑：ob(x百,t)一au：o，ona n 1 u ( x ，0 ) = u o ( x ) q z a q z( 2 0 1 ) q 其中q 是r d ( d = l ，2 ，3 ) 中具有l i p s c h i t z 连续边界a q 的有界区域，j = ( o ，卅，对于固定 的t ，0 t 。o 函数0 a o a ( x ，t ) a l 。o ，0 b o b ( x ，t ) b l 。o ，0 c o c ( x ，t ) c l ，口o ，o l ，b o ，b 1 ，c o ，c 1 为常数，函数f l 2 ( j , l 2 ( f 2 ) ) 是有界的，蛳( z ) l 2 ( f 2 ) 2 1 混合间断时空有限元法弱形式 首先建立方程( 2 0 1 ) 的混合间断时空有限元格式，为此设妒= b ( x ，t ) a u ，6 ( z ，t ) = b ( x ，) ，则原方程可改写为 建立相应的弱形式为如，妒) q l w ) d t + + c ( z ，) 仳= f ( x ，t ) ， 6 砂一a u = 0 ， 丝：型：o。o 一= 一= i - no n 。 t i ( z ，0 ) = 乱o ( z ) ， q z qxz 7 ( 2 1 2 ) a q ， q 一1 ( o ( z ，t ) v u ，v w ) d t + ( 阻】，u + ) 扎+ ( t l + ，u + ) o ( 2 1 3 ) n = l v w ) d t + j o h ( 甜，u ) 出= ( u ，u + ) 。+ j o ( ，u ) d ， + ( 甜，u ) d = ( u ，u + ) 。( ，u ) d 。， z 。( 6 妒，u ) d t + 0 2 ( v u ，v u ) d t = 。， 即在区间厶= ( t n , t “+ 1 】上，有 r k + ( 0 吼 乳k “阻】n 一篇蒜譬如， 从而原问题的裔帮问题可叙述为：求( 铲，矿) 砩，。矾，。满足 r 如+ ( n 乳 乳h “池1 胁h 一鬻蒜譬吨 4 ( 2 1 4 ) ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 毗 识 ，l 7 0 z f 内蒙古大学硕士学位论文 2 2 离散解的稳定性及存在唯一性 定理2 1 ：设( 札 ，扩) 砩，。矾。是方程( 2 1 6 ) 的解，则满足 o m 。a x 。( 1 l u h l t n + i l 妒 i i n ) k ( 1 l u o l l n + i l f l q ) 其中，k 表示不依赖于时间步长k 和空间步长k 的常数 证明在( 2 1 6 ) 中对1 1 求和，并取u = u h ( z ，) ，口= 矿( z ，) ，可以得到 上( 缸 , u h 肼o ( a v u h , v u h ) 三( 帆u u ) 。 一z ( v 妒hv u h ) 出+ z h ( 乱h ? t h ) 出= ( 矿，u 阜) 。+ z ( ，u h ) 出， ( 6 妒 ，1 ； ， ) d r + ( v u ，v 砂 ) d = 0 将上述的方程两边相加有 z ( 谚u h 渺+ o ( a v u h , v u h 胁三( 帆u ( u ) 。 + z ( 6 妒 ，砂 ) d t + z 加( 叫h 7u h ) 出= ( u ，“牟) 。+ o ( ，, u h ) 出， 将方程左端的第一项进行分步积分得到 u l z + o ( a v u h , v u h ) 出+ z ( 6 矿，矿) 出+ z 抽( 优h , t , h ) 出 = ( 矿，u 牟) o - 4 - ( ，u h ) d t ， 注意n ( z ，) ，b ( x ，t ) ，c ( z ，) 是正有界的，利用c a u c h y s c h w a r t z 不等式，得 川驴川2 + n o l l w i b + 击l 妒 马+ c d i | “ j 马 i l u o l l 磊+ 丽1 q 2 + 割u h 喝2 经整理可得 肘l | 1 2 + n o l l v 铲i i 冬+ 却矿i i 为+ 争 i i 南恻i 磊+ 丽1 q 2 并对时间取最大模有 。m 。a x 。( 1 l u h i i 磊+ i l 妒 i i 邑) g ( 1 l u 。i l 鑫+ i i ：i i 南) 定理证毕 定理2 2 ：问题( 2 1 6 ) 的解是存在唯一的 证明要证明问题( 2 1 6 ) 的解是存在唯一的，只需考虑其相应的齐次方程 f ( 札耋l ，u ) n + ( 口v u ，v w ) n + ( 【t 正 】，u + ) 竹一( v 妒 ，v u ) n - 4 - ( l - ：t 上hu ) 。= 0 ， i ( 6 矿，t j ) n + ( v u ，v t ，) n = 0 5 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) 阳阶线性抛物方程混合间断时空有限元法 只有零解即可由稳定性的定理结论立即可得 2 “= 0 ，扩= 0 由于微分方程是有限维的，故 由唯性必有存在性成立由此定理得证 2 3混合间断时空有限元解的最优阶误差估计 定理2 3 ：设( “，妒) 和( u ，l ，饥) 分别是( 2 1 2 ) 和( 2 1 6 ) 的解并且取u h ( x ，0 ) = r h u o ，则存 在不依赖于时间步长k 和空间步长| l t l 的常数k ，使得 吣m a 叫x ( 1 1 - u h l l n + 砂一删n ) sk ( h 冰+ 1 ) 1 1 u 1 1 k + 1 ，q + h ( ”+ 1 ) 1 1 妒1 1 m + 2 ，q ) 成立 证明设 t 正一t = t 一r “+ r t 正一t = a + ( 2 ， 妒一妒“= 妒一t h e + t h e 一妒“= ? 7 1 + ，7 2 ， 由( 2 1 3 ) 式、( 2 1 4 ) 式和( 2 1 6 ) 式有 小一跏阱o ( n v 卜州，v 州t + 篓( 岫u + ) n + ( ( u + 一仳晕) ，) 。一厂( v ( 妒) ，v 啪+ o 抽( c ( u 卅) 川= ( 札。胁) 。， z 。( 6 ( 妒一妒 ) ，u ) 出+ o 。( v ( u u ) ，v t ，) d t = 。， ( 2 3 1 2 ) 上式中取u = ( 2 ，移= 啦，并将两方程相加，得 z r ( 毗一札 ，已) 出+ z ( 口v ( u 一仳一) ，v 白) 出 + 薹( 卜矾“+ ( 础+ r ( v ”们， 0 0 - - o v ( ：2 ) d t + ( c ( u - - t t h ) ，( 2 ) + ( 【u u 】，( 2 + ) 。+ ( ( u + 一“牟) ，白+ ( v ( 砂一晚 ”。( c ( ，( 2 + z ( 6 ( 妒一砂 ) ，7 2 ) d t + 0 ( v ( u u ) ，v 啦) d t = ( ( u 一札h ) ，( 2 + ) 。( 2 3 1 3 ) 利用引理，上面方程化简为 z ( ( ，。，( 2 ) 比+ o ( ( 2 t ，( 2 ) 班+ o ( a v 白，v ( 2 ) 出 + 芝二( 【( 1 】，( 2 + ) 。+ ( 【( 2 】，白+ ) n + ( ( 1 + j c 2 + ) 0 + ( ( 2 舶+ ) o + 厂( 嘶，( 2 ) d t + z ( c ( 2 ，( 2 ) d t 一厂( v v ( 2 ) d t j o0 j 0 + ( ( 1 + ，c 2 + ) o + ( ( 2 + ，白+ ) o + ( c 臼，+ ( c ( 2 ， 一 ( v 7 7 1 ， ， + o ( 嘞，r 1 2 ) d t = ( ( - - 让h ) ，( 2 + ) 。 ( 2 3 1 4 ) 6 内蒙古大学硕士学位论文 由u 的定义，上面的方程司化为 白。+ 上( 。，q ) 出+ z 0 ( n v 白，v 。， ( 2 3 1 5 ) 对上式左端第二项进行分步积分，通过整理可得到 以ave2,111e21112+o(ave2v ( 2 ) d t + z ( 6 啦，r 7 2 ) d t + z h ( c ( 2 ， 2 ) 班+ 上 啦， + 上( c ( 2 ， 2 ) 班 = ( 臼+ 白，白+ ) o + (臼，t，6)dr+(1一，【(2j)njo 磊 一( ( 1 一，( 2 一) + o ( v 叼i , v ( 2 ) 出一o ( c e 。，q ) 出，( 2 3 1 6 ) 利用c a u c h y s c h w a r t z 不等式，注意所给a ，6 ，c 是正有界的，并由u 的定义，及利用三角 不等式，可将上面的方程化为 c 2 2 + a oz o l c 2 1 w c 2 1 1 2 d t + 吉厂1 1 7 7 2 i 瞌出+ 署c o j 0j 厂o 抽i i 已l 恳m c 2 l + 1 1 7 7 2 幅出+ 了 i i 已悒m 【，1 专1 1 1 q 1 1 1 2 + i 缸一u 1 3 + k ( 1 6 一i ：+ i i 白i i 南+ i l v m l l 为) ( 2 3 1 7 ) 即得 1 1 1 1 c 。1 1 1 2 + a oa p i i v ( 2 i l 鑫班+ 击z i i ，7 2 i 皖疵+ 署z i i ( 2 l 瞌出 l u 一 l 恬+ k ( 芝二l ( 1 一i 毳+ i i ( 1 i i 岛+ i l v 叩l l i 为) n = 1 对时间取最大模有 ( 2 3 1 8 ) m a “x , ( 1 1 ( 2 1 鑫+ l | 训2 ) k ( h 2 + 1 i i u i l 2 + 1 ，q + h 2 ( m + l i i 妒l i 象+ 2 ，q ) ( 2 3 1 9 ) 结合引理1 和引理2 ，利用三角不等式简单化简可得定理结论 注：对其他边界条件 如当t t 满足边界条件u = 鬻= 0 时 取 = l 2 ( j , h o ：( q ) ) ，q 1 = l 2 ( j , h 1 ( q ) ) 7 四阶线性抛物方程混合间断时空有限元法 砩n = h ，nnl 2 ( j , 础( q ) ) 或者当u 满足边界条件u = b ( x ，t ) a u = 0 时 取 y l = l 2 ( j , h o ( q ) ) ，q 1 = l 2 ( j , 础( q ) ) 砩，。= y h ，n n l 2 ( j , 础( q ) )钒，。= 砩 我们也能得到定理1 ，定理2 ，定理3 的结论，其证明过程和上述方法类似 方程 2 4 数值例子 考虑在时空区域【o ，1 】【0 ，1 】上具有初值u o ( x ) = c o s ( 7 r z ) ，真解为u ( x ，t ) = e 。c o s ( t r x ) 的 ( 0 ，1 ) ( 0 ，1 】， 0 ，1 ) ， 0 ，1 ) ， 0 ，1 ) 表1 给出了t = 1 0 时的l 2 模误差估计和收敛阶，表2 给出了有限元解的时间l 2 模、空 间l 2 模误差估计，其中7 1 表示空间网格数，m 表示时间网格数图1 为( 3 2 0 ，8 0 ) 剖分时，= 0 5 ，o 7 5 和t = 1 0 时的精确解和近似解，图2 给出了解的收敛速度，即( 1 9 a t ，l g i i t 一u h i i ) ，其 收敛速度是二阶的对于混合时间间断时空有限元方法，由于时间节点处允许间断，时间间 断点处的的跳跃项误差的估计相当重要表3 给出了在t = 0 9 时，函数跳跃项的2 模误差 以及收敛阶，图3 给出了不同时间层跳跃项的数值模拟结果另外时空间断混合有限元方法 的特点之一是引入了新的中间变量，使方程阶数降低，表4 给出了中间变量虫( z ，t ) 的误差估 计和收敛阶，其精确值为霍( z ，t ) = 一7 r 2 e c o s ( 7 r x ) ，图4 为( 8 0 ，2 0 ) 剖分时，t = 0 5 和t = 1 0 时的妒的精确值和近似值，可见，中间变量札的模拟结果也是令人相当满意的 空间网格数 4 0 8 01 6 0 3 2 06 4 01 2 8 0 离散2 模误差3 5 9 1 0 21 0 9 1 0 23 0 1 1 0 37 8 2 1 0 42 0 1x1 0 45 0 8 1 0 5 l 2 模精度 1 7 21 8 61 9 41 9 61 9 8 表1取线性基函数，t = 1 时的l 2 模误差估计 8 蜒蚝旺 订 l 坼q 加 “_夏驴“ u 0 又“ 札奴如 卜 u 巩 = 一乱一归 t ) d 0 钿棚 一，li z 一孤瓢 内蒙古大学硕士学位论文 ( 1 2 , i n )( 1 0 ，1 0 )( 2 0 ，2 0 )( 4 0 ，4 0 )( 8 0 ，8 0 )( 1 6 0 ，1 6 0 )( 3 2 0 ，3 2 0 ) 离散( l 2 ，l 2 ) 模误差 1 2 3 e 0 0 22 8 3 争0 0 36 6 8 争0 0 41 6 2 e - 0 0 43 9 6 e _ 0 0 59 8 1 e 0 0 6 ( l 2 ，l 2 ) 模精度 2 1 32 0 82 0 52 0 32 0 1 3 2 0 表2 ( l 2 , l 2 ) 模误差估计及收敛阶 国： 00757、一 oo 10 20 30 40 ，50 60 70 80 91 图1t = 0 5 ，0 7 5 ，1 0 时原问题的精确解和近似解 e m x d 咖m 图2 解的收敛速度 9 四阶线性抛物方程混合间断时空有限元法 ( n ，m )( 8 0 ，1 0 )( 8 0 ，2 0 )( 8 0 ，4 0 )( 8 0 ，8 0 )( 8 0 ，1 6 0 ) ( 8 0 ，3 2 0 ) 离散l 2 模误差 1 0 8 e - 0 0 2 3 7 0 e 0 0 31 2 0 e 一0 0 33 4 2 e - 0 0 49 3 3 e - 0 0 52 4 4 e - 0 0 5 l 2 模精度 1 5 51 6 21 8 11 8 81 9 3 表3跳跃项误差估计及收敛阶 ( ；h t m x = l 8 0 ( k 妇t = l l l 0 一 _ 。 、一 00 10 20 30 40 506o 70 80 91 j d u 蛳研扣o 肿o + ：j m l u u o no f 忙0 8 - 0 9 - 图3 跳跃项在t = 0 8 和t = 0 9 的图形 ( n ，m ) ( 1 6 ，8 )( 3 2 ，1 6 )( 6 4 ，3 2 )( 1 2 8 ，6 4 )( 2 5 6 ，1 2 8 )( 5 1 2 ，2 5 6 ) ( l 2 ，l 2 ) 模误差 2 1 0 争0 0 25 8 0 争0 0 31 6 0 e - 0 0 34 3 3 e 一0 0 41 1 4 e 一0 0 42 9 1 e 0 0 5 l 2 模精度 1 8 6 1 8 61 8 81 9 31 9 6 o - 1 0 表4中间项m 的误差估计及收敛阶 。一e x a c t 厂 n h n e c 。 一 7 。形 ，1 o 。 0 0 0 2 0 30 40 50 60 7o 80 91 图4 = 0 5 ，1 0 时中间变量的精确值和近似值的比较 3 2 ， o | ；- 吨 内蒙古大学硕士学位论文 第三章四阶半线型抛物方程的混合间断时空有限元法 本文考虑如下的四阶抛物型方程 r 【螂叫籼【6 。冷川+ 豢 q ， 锄z( 3 0 1 ) q 为下面的工作，我们有如下假定： ( a 1 ) q 铲，j = ( 0 ，t ) ，函数0 b o b ( x ，t ) b l o o ，0 c o c ( x ，) c l o o ，b o ，b l ，c o ，c l 为常数，“o ( z ) 工2 ( q ) ( a 2 ) a ( x ，t ) 关于t 是l i p s c h i z 连续，且在q 内对称正定矩阵即， ( a ，) ci i ， na ( x ，t ) 一a ( x ，t 7 ) i i m cl 一t ，i 其中| i 0 m 是矩阵范数 ( a 3 ) f ：q ，r 一冗是l i p s c h i z 连续， i ( x ，t ，s ) 一f ( x ，7 ，s 7 ) i c lt t i ( isi + is 7i ) + is s 7i ) 3 1混合间断时空有限元法弱形式 首先建立方程( 3 0 1 ) 的混合间断时空有限元格式，为此设妒= b ( z ，t ) a u ，6 ( z ，t ) b ( x ，) ，则原方程可改写为 【a ( x ，t ) v u 】+ 矽- 4 - c ( x ，t ) u = ( x ，t ，u ) ， 6 妒一u = 0 ， 缸= 妒= 0 ， “0 ，0 ) = t 幻( z ) ， 建立相应的弱形式为 u ，妒) q 2 q q z ( 3 1 2 ) 御z q z 一肌o ( a 弋t u , v w 肼三( m 水+ ，) 。 一f o t n ( v 妒, v t a ) d t + z 。( c u ，u ) 出= ( ，u + ) 。+ z ( ，( “) ，u ) 出，u ， ， ，t 。 ( 6 妒，u ) d t + ( v u ，v v ) d t = 0 ， t ，q 2 即在区间厶= ( t ”，1 】上，有 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) r h “胛乳k “m m h 一譬：蒜譬咄咄 ， 阴阶半线性抛物方程的混合间断时空有限元法 从而原问题的离帮羽题可叙述为：求( u ，矿) 砩，。砩，。满足 r 岫州v u ，乳h “阻1 胁h 一鬣：= 然掣铲) 咄慨， 3 2离散解的存在唯一性及收敛性 定理3 1 ：设( u ，砂) 和( u ，矿) s ；：。x 砩。分别是( 3 1 2 ) 和( 3 1 6 ) 的解并且取u h ( x ，0 ) = r h u o ，则( 3 1 6 ) 的解存在唯一且存在不依赖于时间步长k 和空间步长h 。的常数k ，使得 o m 。+ z ( ，( 让) 一，( “ ) ，u ) 毗， ( 3 2 1 8 ) 上式中取u = ( 2 ， = r 1 2 ，得 毗一哇t , ( 2 ) d t + f o t n ( 删u u 2 ) v 啪+ n 三- 1 ( 卜u 2 + ) n + ( ( + 一u 2 h “白+ ) 。 一z ( v ( 妒一谚) ，v ( 2 ) 出+ o h ( c ( u u 2 ) ，( 2 ) + z ( 1 f ，一谚) ，7 7 2 ) 出 + z 扩( v 一u 2 ) ，v 啦) 出= ( ( 让一u 2 ) ，白+ 。+ o ( ，( u ) 一， 2 ) ，( 2 ) 班 ( 3 2 1 9 ) 利用引理，上面方程化简为 z ( 臼。， o + o ( ，( u ) 一，( u 2 ) ，白) 出， 对上式左端第二项进行分步积分，通过整理可得到 _(2，班+f。(巧啦，啦)出+0111e21112+10(av v 6 )( c 白，( 2 ) 出 ( 2 ， 班+ 。 ( 巧啦，啦) 出+( c 白，( 2 ) 出 娟+ ( 2 ，( 2 + ) 。+ 蛐胁塾一跚( ( 1 刊 +(v711,vjov 2 ) d t z 。( c 6 ，白) d t + z 。( ，( u ) 一，( u 2 ) ， 2 ) d t ， + ( 一上，白) 出+ 上( ，o ) 一，( u 2 ) ， ， 利用c a u c h y s c h w a r t z 不等式，注恿假定( a 1 ) ，( a 2 ) ，( a 3 ) ，并由”川的定义，及利用三角不 等式，可将上面的方程化为 白z + c f o i v 白1 2 出+ 击z l i 啦幅出+ 署z hi i c 2 f 1 2 d t 去1 1 1 ( 2 1 1 1 2 + i u 一“2 1 3 + k ( 1 6 一i ：+ 1 1 6 1 1 邑+ i i v 叩l i l 南) + 詈i i ( 1 为+ ( 百c o + 去) ( 2 i i 为 ( 3 2 2 3 ) 即得 丢1 1 1 e 2 1 1 1 2 + 击小姗出+ ( 百c o 一去) 巾瓣t i u u 2 佬+ k ( l ( 1 一层+ i i c ：1 1 1 , + i i v 叩1 i i 为) ( 3 2 2 4 ) 对时间取最大模有 嬲( | | ( 2 | 瞌+ i i , 7 2 1 1 2 ) k ( h 2 ( 七+ 1 ii 札i1 2 + 1 ，q + i t 2 ( ”+ 1 i | 妒ii 象+ 2 ，q ) ( 3 2 2 5 ) 结合引理1 和引理2 。利用三角不等式简单化简可得 o m 。a x 。( 1 l u u i i n + 1 1 砂一谚i i q ) k ( ( 七+ 1 ) i f t 上“七+ l ，q + ( m + 1 ) 1 1 妒1 1 。+ 2 ，口) 1 5 1 2 2 2 2 2 3 3 四阶半线性抛物方程的混合间断时空有限元法 这说明( 取) cb h 并且由b r o u w e r s 不动点定理式( 3 1 6 ) 存在离散解( u h7 矿) 畿。s t n 满足( 3 2 7 ) 下面证明离散解的唯一性假设( u ，钟) 和( 让2 ，谚) 是式( 3 1 6 ) 两个不相等的有限元解， 则 ( u ；，t u t ，u ) 竹+ ( a v ( u 2 一u 2 ) ，v u ) 。一( v ( 妒一妒 ) ，v u ) 。+ ( 巧( 落一妒 ) ，口) n + ( v ( u 一u l ，v v ) 。+ ( c ( t 2 一t 正 ) ，u ) n + ( ( u 一札2 ) + ，u + ) 。 = ( ( u 2 一牡 ) 一，) 。+ ( ( ，( 孔2 ) 一f ( u h l ) ) ，加) n v ( u ，t ，) 壤nx 砩住 ( 3