（计算数学专业论文）关于不定问题mortar元方法.pdf

摘要 3 6 2 4 8 艿 在最小正则性假设下，对非自共扼不定两阶椭圆问题矩形网格剖分下使用w i l s o n 元的m o r t 。a r 有限元方法，在给定的m o r t a r 条件下，证明了解的存在唯一性和一致 收敛性；在h 2 正则性假设下给出了误差估计；构造了解离散问题的加性s c h w a i z 预条件子：证明了使用g m r e s 迭代法求解时的收敛性：给出了收敛速度估计：并 给出了具体数值实例证明理论的正确性与计算方法的可操作性。 关键词：m o r t a r 有限元：不定问题：预条件子 a b s t r a c t u n d e rm i n i m a lr e g u l a r i t y a a s u m p t i o n ，t h ee x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d1 1 n i r e r n l c o n v e r g e n c eo ft h es o l u t i o n so fam o r t a rf i n i t pe l e m e n tm e t h o do fw i l s o l lp l e m e n a 陴p r o v e nf o ri n d e f i n i t es e c o n do r d e re l l i p t i cp r o b l e m s ，a n da ne r r o rp s t i m a t ei s o b t a i n e ( il l n d e r 2s m o o t h n e s sa s 8 u m p t i o n a na d d l t i v es w a r t z p r e n d i t i o n j n g m p th o di sc o n s t r n c tp ( 1 l a n ds o n l en u m e r i c a le x p e r i m e n lr e s u l t sa ”p r o v i ( 1 p ( t k e yw o r d s ：m o r t a rf i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，i n d e f i n i t ep r o b l e m a s m 4 自从m o r t a r 元方法作为谱方法和有限元相结合的匹配技术提出以来f 9 1 ，m o r t a r 元力法已经成为解决不匹配网格区域分解方法的一个最重要的技术。而这一方法在 适用性及大尺度并行计算方面的巨大发展潜力推动着对其研究的进一步深入发展。 对于正定两阶椭圆问题，已经有多篇文章对各种不同的情况进行了讨论，给出了几 种加性s c h w a r z 预条件算子并进行了数值分析。 同时，对于不定问题的研究也一直吸引着许多学者的注意。g o l d s t e i n 5 对不 带i t i o i - t a l - 的有限元方法提出了预条件方法，陈金如1 7 1 对其框架作了改进，许进 超和蔡小川f 1 3 】对p 1 协调元得到了最优的预条件子，李立康和陈金如 6 】考虑了 用局部尸1 非协调的m o r t a r 有限元方法求解不定问题，并构造了预处理方法。本文 我们考虑用带m o r t a r 的w i l s o n 元方法求解非自共扼不定两阶椭圆问题。在最小正 则性假设条件下，我们证明了离散解的存在唯一性和一致收敛性，在2 正则性假 设下给出了误差估计：然后在f 1 3 1 的框架上我们构造了解离散问题的加性s c h w a r z 预条件方法。 1 问题 考虑j 维有界多角形区域q 上的变分问题：找“硪( q ) 使得 n ( 讥t ，) = 巾，) v t ，硪( q ) ， 其中 a ( u ，1 1 ) = 正( a ( * ) v t l v v + b ( z ) v u v + d ( x ) “v ) d x ， ( 1 2 ) j n 巾，) = 上， ) d x ( 1 3 ) 4 ( z ) 是在q 上充分光滑的一致对称正定矩阵，6 ( z ) 是在晓上连续可微的向量， d ( x ) 是有界函数，f ( x ) l 2 ( n ) 。 我们假设n 的边界相互平行或垂直：连续变分问题( 1 1 ) 存在唯一解l f 。，且满 足 。l l h f m e i i 川l 。( n 1( 1 4 ) 且 问题( 1 1 ) 的对偶问题为：找咖明( q ) 使得 n ( n 口) = ( g ，p ) ，日j ( n ) 、 我们同样假设连续变分问题( 1 5 ) 存在唯一解扩，且满足 f f 扩f f h - ( n ) c ：r | | ，口( n l 考虑q 由多个互不重叠的矩形n 。组成： k 矗= u q k = l ( 1 5 ) ( 1 6 ) f kn q j = 0 ，l i 对任意七，1 b 冬，定义f ”，l s s ( 五 ) ，为q b 边界的开部分。我们定 义“骨架”s 为所有子区域边界的集合： 灯j f s = uu p 。 ? ) k = lo = 1 电1 埘为满足以下条件的开线段： 亏埘= q 七n 晓2 ( 1 8 ) 我们也把1 n 看成分别在q “与n 2 侧的两条开线段，分别记作矿，。与 f 。定义集 合为所有闭子区域q 的顶点的集合。 我们选择有限集”为有序对m = ( 舟，氓l 女hl ， 的集合，满足 q 与f 2 有公共边界：中任意两元素对应的， 。互不相交( 即( ，) 与( f ，) 只 选择其中之一) ：且 、。 s n q = ( u 产) n n m m ( i 9 ) 我们记这些1 “ 为1 ”，称作“m o r t m - 边”，余下的7 f ，称作“n 。n m 。r f a r 边”。 记丁h = 磅，j = 1 ，一厶) 为吼上的标准矩形有限元剖分。砖为矩形， 长、宽分别为 。，耳 ，hk i 一。，且满足 坚 0 ， j = 矗( e ) 0 ，当h ，成立 ，蕊。忪一| | e i l f l l 卅n ) ( 2 - 8 ) 证：v ，2 ( n ) ，f 0 ，t ，= t 为连续变分问题( 1 i ) 一( 1 3 ) 的解，令 ，一 。 | 川l ：m ) 1 f “2 酾 根捌( 2 6 ) 、( 2 ? ) ，我们有f d 、i x 。 由引理2 4 关于x 的紧性，w 0 ，存在有限f 一网，即，可以找到a 乇= ( f ，x ) 个元素“；x ( i = l ，2 ，0 ) ，使得ycu 乌p ( u i ，d 2 ) ，其中p ( u ，d 2 ) 是在 硪( n ) 中以“i 为中心f 2 为半径的球。由 8 】可得，对每一个i ，v ：0 7 l i = h i ( e 2 ，t “) ，存在t ，i 虬，使得 一t ，i 忆h f 2 。 令 = m i n l _ 0 ，当i ，成立 。i n x f 。i i “一【h | 1 ，h i i g l l l 。( n ) ( 2 9 ) 再由f 】7 】中引理2 3 8 或f 7 】中引理2 7 的方法，由上面引理，可以得到以下引 理： 引理2 7 令f 0 ，j 0 ，当h s u p t h x 类似的我们有 l 2 f n 卉， k ( “， t f = t fe - 啄( f 1 ) 为问题f 一f 别的解，则v f ( ，t ， ) c e l l f i l l 。f n l ，v f 2 ( q )( 2 1 0 ) 引理2 8 令盯l 2 ( f i ) ，= t 叮明( q ) 为问题f ，5 ) 的解，则v e 0 j o ， 当 ，成立 吼l p 生堡兰皇i ；l 掣( ? f i i g | l 铲i n ) 、v f 2 ( n ) ( 2 1 i ) ” c x dm t 圳1 ，h 引理2 9 设f l 2 【q ) ，“= t f 硪( f 1 ) 为问题f ，j f ，驯的解，t t h 为离散问 题f ，j 的解，则有 2 t t r h 0 1 h c ( 1 l “一t r h i i l - i a l + 。i n x f 。m f t h l l l h + 。p 丛安剑) ，v f 2 ( q j ( 2 1 2 十罢冕丽丽；_ “2 ( ” 证；对任意v h x s ，由引理2 2 于是得 c , l l * h t ，h i | ；h n h ( l 一t ) h ，“h t 饥) + c o l l u h t ，h 0 3 h = a h ( t l 一，l t h p h ) + c o i l , , 一2 弧惦 + ( ，u h 1 ) h ) 一n ( u ，u h t ) “ 一u l i l ，h c ( 1 l “一”h 1 1 1 + 1 l u h 一, h 1 1 0 ，h + 裁丛掣 w h h ) x li i1 1 1 立二= 兰卜髓 i 帆 再由三角不等式即证。口 以下我们证明本节的主要结论 定理2 1 设t = y f 硪( n ) 为问题r ! j j r 别的解，当剖分参数h 足够细时， 离散变分问题f ，存在唯一解t h ，且v f 0 琉= 矗( e ) ，当i 0 ，3 h o 0 ，当 0 ，j = 危( e ) ，当h 一t 峨忆 sc e l l f l l l 。( m 口 类似于定理2 1 ，我们可以得到： 定理2 2 设咖= t + f 碥( f b 为问题r j 剀的解，当剖分参数i 足够细时，离散 变分问题f ，j 别存在唯一解a ，且v e 0 ，孤= 危( e ) ，当 ；，则 。i n z f ；1 由引理2 1 0 ，分析定理2 1 的证明，我们即可得误差估计 f 2 1 6 1 定理2 3 令f e 2 ( n ) ，“= t f 为连续变分问题r j ，j f j 3 j 的解，进一步假设 7 1 h 2 ( q ) ，且满足 f i t i i h 。i n j c l l f i l ：f n ) 令网格剖分参数i 足够细，离散变分问题r j 1 1 j 的解为“ ，则 i l u t , h l l l ， c z , l l f l l 纠n 1 ( 2 1 7 ) 3 预条件方法 为简单起见，设粗网格是细网格的一部分( 见f i g u r e2 ) ，且粗网格的剖分参数 矗与细网格的剖分参数无满足 h h o c h 舻qh 一“ 矗 芹随 e 一 h 一 一l - 一 f i g u r e2 ：粗、细网格剖分 1 4 类似于群，我们在粗网格上定义磁为舻上分片p 2 且在q 边界节点值为0 的 函数空间。同样类似于已定义的细网格上的有限元空间地，我们定义粗网格上的 有限元空间x a ( 即分片p 2 函数，满足边界条件，在粗网格上满足m o r t a r 条件) 。 类似于( 1 1 1 ) ，在粗网格上连续变分问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的离散变分形式为：找 l t o h x ，使得 c t h ( u o h ，u o ) = ( f h ，咖) ，v v o x ( 3 1 ) 由上一节的定理2 1 知，当粗网格的剖分参数岛足够小时，( 3 1 ) 存在唯一解t 卟， 且满足 l i u t 从e e j 弘 我们仍采用( 1 1 6 ) 一( 1 1 8 ) 的形式定义范数队、”h 和忆h 。我们有以下 引理： 引理3 1v t 瓴，v h 甄 l a h ，l ( u h ，v h ) i c l l u h l l n l l v a i l o ，( 3 2 ) 牡格格玳网网m 蕴 o h l ( i l h ，v h ) i c h i i , , & l l t , h i l h + ( ? h h l l t h l h 1 5 ( 3 3 ) 证：由s c h w a r z 不等式及系数有界性可得( 3 2 ) 。再由g r e e n 公式，m o r l a l 条 件及 9 】， 0 ，3 矗= 惫( e ) ，当h o 时，有 l i r i h l l h c i l l l h( 3 s ) i l p o t l h t 培l l o ，h c ( i i t ，h l i h( 3 9 ) 证：由p 0 定义，对 x ，令是连续问题( 1 5 ) 的解， ( r t 饥一t 饥，g ) = 一曲。( p o t l h 一? l h 。砂) + ( g ，p o m t h t h ) + a h ( p o t h 一1 1 h ，币一 0 ，3 h = ( f ) ，当h o h 时，有 i i 厶p o “ 一u h l l o ， c ( h o + e ) 1 | t 螗i | ( 3 1 1 ) 证：由引理3 2 ，引理3 3 有 厶p o u h t h l t o ，h 1 | 厶p o i t h p o u h l l o ，h + 0p 0 e l h n h l l o a 矗l ip 0 队+ q e 圳 c x q i l u h l i h + g 队 c ( 矗+ e ) l l u h l l h 1 9 故( 3 1 1 ) 得证。口 定义算子a o ：x a x ，a ：托_ 甄，a ：瓢- x 6 ，n ：x 6 _ 溉 q o ：x6 _ x 为 ( 山t o ，v o ) = a h ( l t o ，v o ) ，v u o ，v o ( 3 1 2 ) ( a n u h v h ) = ( 1 h ( _ c l h ，v h ) ，v u h ，v h k( 3 1 3 1 ( a i t h ，) = o h ，p ，) ，v u h ，v h 甄( 3 1 4 ) ( n u h ，u h ) = ( 1 h ，l ( u h ，t ， ) ，v u h ，t ， f 3 1 5 ) ( q o t 瓴，0 0 ) = ( i t h ，厶口o )，v u h k ，) 0 x ( 3 1 6 ) 由前可知，当网格参数矗足够细时，a o 可逆。再由a o ，r ，。4 ，q o 的定义，有； p 0 = q o a 令b 为关于4 一的对称正定的预条件算子，类似于 1 3 ，定义预条件子为： b n = 厶 4 i 1 q o + p bf 3 1 7 ) 其中，是与口有关的常数。则 b n a n = 厶r + f l b a nf 3 1 8 1 引理3 5v f 0 ，了 = ( f ) ，当晶 0 ，口 0 。( 3 2 1 ) 式即证。又 且 故 b a n u i i h i b a d l a + i i b n j , 1 1 1 u + | | b n * i i h u n u l i i , = ( a b n u ，b n u ) = ( n u ，b a b n u ) c l l u l l o h i i b a b n t , i i h + c h l l * l l i i b a d n * , c a 。i m i o h l l b n * , l l h + c h , i m i l i i b n t , i i h c ) 、i ( c i + h ) l l l l h l l h l l b x t 1 1 h b n , i i c a l ( c t + h ) l l u l l 肤 2 l ( 3 2 2 ) f 3 23 l 于是 令 b r a n u l l hsl i 厶p o , , l i b + p i l b a n u l l h c i p + 卢a 1 ( 1 + c ( g + ) ) ) ij “i l 肛= c m + 口a 1 ( 1 + c 1 c + g i ) )( 3 2 4 ) 则( 3 2 1 ) 式即证。口 离散变分问题最后的剐度矩阵是不对称的。我们使用 1 4 】中的g m r e s 方法求 解预条件化方程组 具体方法如下： 算法1 ( g m r e s ) 选取r 0 ，计算 b n a n u = b n f 7 0 = ( b n f ) 一( b n a n ) r 0 7 0 ”1 2 丽 迭代：对j = 1 ，2 ，m ， 也，j = ( ( b n a n ) v j ，q ) ，i = 1 2 ，j j v j 一+ l = ( b n a n ) v j 一地 1 = l h j + l ，j = 0 t 再1 | l ， + t 2 瓦 v j + 1 f 3 2 5 ) 近似解z 。= z o + ，其中弧使t ，( 弧) = 归e 1 一厦。| | 最小，p 。= 忪o 6 1 是( m + 1 ) ( m + 1 ) 单位矩阵的第一列。 计算r 。= ( b ，) 一( b n a ) z 。，若符合精度要求则停止，否则回到。 为简化计算，【1 4 中还给出了以下的算法 算法2 ( g m r e s 。) 选取z o ，计算 ( 日，) 一( b n a ) v o f 0 l f | | = ( ( b n 4 n ) w t 、) ，i = 1 ，2 ，j ， j = ( b a ) v j 一q ，t k ， i = l = j - + 1 l i 一v j 一+ l 一 仆1 ，j 。 近似解t k = _ r o + v k y k ，其中y k 使t ，( 挑) = 1 | p + 6 1 一i t k y k l i 最小，尹= o f 1 是( k 十1 ) ( k + 1 ) 单位矩阵的第一列。 计算，。= ( b n f ) 一( b n a n ) x 。，若符合精度要求则停止，否则 j 0 ：= 7 1 1 ：= 叫刽( 秽。 由( 3 2 2 ) 、( 3 2 3 ) 、( 3 2 4 ) ，我们有 目t 再由定理3 1 与 1 3 】中定理2 ，我们得到g m r e s 方法的收敛速度估计： 定理3 2 设m 为迭代次数，7 m 为第m 次迭代残量，则 训一 ( 1 一筹) 叫h ( 3 2 6 ) | | = n m 2= j 对代迭 j 1 j 1 a m ：t 4 数值实例 2 4 我们采用p e t s c2 0 2 8 ( t h ep o r t a b l ee x t e n s i b l et o o l k i tf o rs c i e n t i f i cc o m p u t a t i o n ) 1 9 】软件包进行数值计算，并行算法建立在m p i c h1 2 0 3 f o rw i n d o w s n t 【2 0 的基础上由高性能微机实现。在p e t s c 中已经给出了g m r e s 。的叠代方 法，我们根据( 3 1 7 ) 在程序中定义预条件算子鼬的具体实现。以下给出实例的具 体定义： n = ( 0 ，1 ) ( - 1 1 ) q 1 = ( 0 ，1 ) ( 0 1 ) q 2 = ( 0 ，1 ) ( 一1 ，0 ) m = ( 2 ，1 ) ) t l 。( 叠) = k e l ( 1 一。1 ) ( 1 一l 、；) 懈，= ( 瓣 驸) = ( 0 5 ) d ( 事) = 1 0 b=f 在p e t s c 中g m r e s 。迭代法缺省的 z 值为3 0 。 由定理3 1 的证明知，口的选取目的是使厶p 0 与p b 4 的算子范数大致相同 以达到最快的收敛速度。由于直接求解厶p 0 与b a n 的算子范数困难，我们将对不 同的口值进行试验。以下表格给出了不同p 取值及不同迭代次数下迭代结果“b 与 真解“之差在n 中的范数。 表l 网格剖分； 细网格：f 2 1 每边4 0 等分，q 2 每边2 0 等分： 粗网格；q 1 每边2 0 等分，n 2 每边1 0 等分。 ( 5 8 6 1 阶) 运算环境： c p i7 ：p e n t i u mi i i4 5 0 m h z l ： 内存：2 5 6 m bs d r a m ( 一8 n s ) ： 操作系统：w i n d o w s2 0 0 0p r o f e s s i o n a l 。 迭代平均迭代时间误差精度 次数 口= 0 2 5 0 0 0口= 0 2 9 7 3 0 m f k 一- i l o ht u 一“l i hi m k 一“0 hl 旧一, , l i b 1 ls e c0 0 0 1 5 6 40 0 3 1 3 20 0 0 1 6 8 20 0 3 2 9 5 2 ls e c0 0 0 0 9 0 70 0 2 5 7 4o 0 0 1 0 2 00 。0 2 6 0 6 4 ls e c 0 0 0 0 5 0 00 0 2 4 9 70 0 0 0 5 6 60 0 2 4 9 3 迭代误差精度 次数3 = o 3 5 3 5 53 = 0 。4 2 0 4 5j = 0 5 0 0 0 0 i i “ 一“l l o 一“从 2 札一“ o j i l t k 一“ j i , t k 一“j o | | “一“ l0 0 0 1 6 7 30 0 3 4 5 4o 0 0 l7 3 80 0 3 5 9 3o 0 01 8 0 80 0 3 7 1 5 20 0 0 11 3 50 0 2 6 5 io 0 0 1 2 4 50 0 2 7 0 90 0 01 3 5 20 0 2 7 7 8 40 0 0 0 6 4 80 0 2 4 7 40 0 0 0 6 4 80 0 2 4 7 70 0 0 0 6 4 80 0 2 4 7 6 迭代误差精度 次数口= 0 5 9 4 6 0 口= 0 7 0 7 11疗= 0 8 4 0 9 0 l f “k t , l l o ，ht 墙一札f f ht 一, , l l o ，ht 垴一t h m k t f f l o h“如一“l h l0 0 0 1 8 9 40 0 3 8 3 00 0 0 2 0 1 40 0 3 9 5 20 0 0 2 1 8 90 0 4 0 9 4 20 0 0 1 4 5 60 0 2 8 5 70 0 0 1 5 , 5 90 0 2 9 4 60 0 0 1 6 6 20 0 3 0 4 9 40 0 0 0 6 7 70 0 2 4 7 60 0 0 0 7 2 20 0 2 4 8 00 0 0 0 7 7 20 0 2 4 8 9 迭代误差精度 次数口= 1 0 0 0 0 0口= 1 1 8 9 2 1口= 1 4 1 4 2 1 i i “一u l | o ，hl l t i i i i t 一u i i o ，hi | t 饥一t 1 0 t “一 1 1 0 hi i u b u l l h l0 0 0 2 4 4 10 ，0 4 2 6 90 0 0 2 7 9 00 0 4 4 9 30 0 0 3 2 5 50 0 4 7 8 5 20 0 0 1 7 6 40 0 3 1 7 00 0 0 1 8 7 20 0 3 3 1 60 0 0 2 0 1 30 0 3 4 9 1 40 0 0 0 8 2 20 0 2 5 0 20 0 0 0 8 7 00 0 2 5 1 80 0 0 0 9 1 70 0 2 5 4 1 迭代误差精度 次数1 3 = 1 6 8 1 7 9 3 = 2 0 0 0 0 0 3 = 2 3 7 8 4 1 u k u l l o “如一“i l ht 坫t o hi l k 一“ l n k 一, , l l o “b 一“h l0 0 0 3 8 5 10 0 5 1 6 50 0 0 4 5 9 40 0 5 6 5 60 0 0 5 4 9 70 0 6 2 8 2 20 0 0 2 2 5 60 0 3 7 0 10 0 0 2 7 0 10 0 3 9 6 20 0 0 3 4 2 5o 0 4 3 0 7 40 0 0 0 9 6 70 0 2 5 7 6 0 0 0 1 0 3 10 0 2 6 3 30 0 0 1 1 4 90 0 2 7 2 6 迭代误差精度 次数z = 2 8 2 8 4 3口= 3 3 6 3 5 9d = 4 0 0 0 0 0 1 l t 。b t , 1 1 0 t 一“h m 堰t , 1 1 0 ，k t l l ht 坫一训i o u 知一 10 0 0 6 5 7 60 0 7 0 7 1 0 0 0 7 8 4 80 0 8 0 5 10 0 0 9 3 3 l0 0 9 2 5 9 20 0 0 4 4 4 00 0 4 7 8 0 0 0 0 5 7 2 30 0 5 4 2 00 0 0 7 2 5 20 0 6 2 6 2 40 0 0 1 41 30 0 2 8 7 3 0 0 0 1 9 4 90 0 3 0 9 40 0 0 2 8 5 40 0 3 4 2 2 表2 网格剖分： 细网格：n 1 每边8 0 等分，q 2 每边4 0 等分： 粗网格：q 1 每边2 0 等分，n 2 每边1 0 等分。 ( 2 ：3 7 2 l 阶) 运算环境：( 同表1 ) 迭代平均迭代时间 误差精度 次数 z = o 2 5 0 0 0 口= 0 2 9 7 3 0 i h b l , l l o i m b i l l hi l t 墙一t l i i o hl l i t k 一“ 2 1s e c0 0 0 0 3 5 6 0 0 1 7 0 80 o 0 0 4 0 50 0 1 7 2 4 4 1s e c 0 0 0 0 1 6 80 0 1 3 7 00 0 0 0 1 4 50 0 1 ：3 2 6 8 ls e c0 0 0 0 1 5 6 0 0 1 2 7 90 0 0 0 1 8 10 0 1 2 8 9 1 2ls e c0 0 0 0 1 0 7 0 0 1 2 2 40 0 0 0 1l o0 0 1 2 2 4 迭代误差精度 次数z = o 3 5 3 5 5 g = o 4 2 0 4 5 j = 0 5 0 0 0 0 | | u k t l l o , h| | “k 一“| | t 札一t 1 1 0 h| i t “一u l | | i t “一“i o | | “知一t l | l h 20 0 0 0 4 7 00 0 1 7 5 6 0 0 0 0 5 6 40 0 1 8 6 2 0 0 0 1 0 3 00 0 2 2 9 4 40 0 0 0 1 3 1 0 0 1 2 9 90 0 0 0 17 80 0 1 3 6 9 0 0 0 0 2 6 50 0 1 3 3 4 80 0 0 0 2 2 60 0 1 3 1 6 0 0 0 0 2 0 60 0 1 3 5 3 0 0 0 0 1 8 50 0 1 2 8 7 1 20 0 0 0 14 50 0 1 2 5 70 0 0 0 12 0 0 0 1 2 4 20 0 0 0 2 1 20 0 1 3 0 0 迭代误差精度 次数f 3 = o 5 9 4 6 03 = o 7 0 7 11 1 3 = 0 8 4 0 9 0 “k 一“0 h t t k 一“t 札一“0 ，ht t k t fht 地一 t l0 ht 女一“ h 20 0 0 1 3 7 40 0 2 7 5 80 0 0 1 7 2 00 0 3 2 7 90 0 0 2 0 8 30 0 3 8 5 l 40 0 0 0 3 5 50 0 1 3 9 10 0 0 0 4 9 10 0 1 4 9 70 0 0 0 7 0 90 0 1 7 0 8 80 0 0 0 2 0 60 0 1 2 9 90 0 0 0 2 8 40 0 1 3 4 50 0 0 0 1 6 40 0 1 2 7 2 1 20 0 0 0 1 9 l0 0 1 2 9 10 0 0 0 2 8 50 0 1 3 4 40 0 0 0 2 2 l0 0 1 3 0 1 迭代误差精度 次数3 = 1 0 0 0 0 03 = 1 1 8 9 2 1口= 1 4 1 4 2 1 “k t | | o l i k 一“陋k 一“b 一 l l hl h 血一“l l o hk 一“ 20 0 0 2 4 4 50 0 4 4 4 20 0 0 2 7 8 50 0 5 0 1 90 0 0 3 0 9 20 0 5 5 5 8 40 0 0 0 9 8 90 0 2 0 4 20 0 0 1 2 9 30 0 2 4 5 60 0 0 1 5 8 40 0 2 8 8 5 80 0 0 0 1 9 20 0 1 2 7 90 0 0 0 1 9 00 0 1 2 7 30 0 0 0 1 4 30 0 1 2 4 5 1 20 0 0 0 2 9 70 0 1 3 5 00 0 0 0 1 6 80 0 1 2 6 10 0 0 0 1 2 30 0 1 2 3 4 迭代误差精度 次数口= 1 6 8 1 7 9口= 2 0 0 0 0 03 = 2 3 7 8 4 l i m 一“ 0 ，h t t k 一“t 札一t 0 ，h t 札一“h t k t f i o | | t t k h 20 0 0 3 3 6 40 0 6 0 5 00 0 0 3 6 0 40 0 6 4 9 50 0 0 3 8 2 3 0 0 6 9 0 2 4 0 0 0 1 8 5 60 0 3 3 0 70 0 0 2 11 60 0 3 7 3 00 0 0 2 3 6 90 0 4 1 7 l 80 0 0 0 1 2 40 0 1 2 2 70 0 0 0 1 8 10 0 1 2 3 40 0 0 0 3 0 l 0 0 1 2 8 5 1 20 0 0 0 1 2 80 0 1 2 3 80 0 0 0 12 2 0 0 1 2 3 10 0 0 0 16 00 0 1 2 2 9 迭代误差精度 次数口= 2 8 2 8 4 3口= 3 3 6 3 5 9j = 4 0 0 0 0 0 “一t t 0 ，h t 札一“ jt 一t f0 h “岛一“ t 一“| | o | | “k 一, , l i b 2 0 0 0 4 0 3 70 0 7 2 8 50 0 0 4 2 6 50 0 7 6 6 l0 0 0 4 5 3 20 0 8 0 , 5 6 40 0 0 2 6 1 40 0 4 6 2 90 0 0 2 8 4 90 0 5 0 9 40 0 0 3 0 8 0 0 0 5 5 5 5 80 0 0 0 4 1 70 0 1 3 , 5 60 0 0 0 5 4 20 0 1 4 4 40 0 0 0 6 8 5 0 0 1 5 7 6 1 20 0 0 0 1 8 60 0 1 2 3 40 0 0 0 1 6 5 0 0 1 2 2 50 0 0 0 2 2 50 0 1 2 3 9 表3 网格剖分： 细网格：n 1 每边1 6 0 等分，n 2 每边8 0 等分 粗网格：q 1 每边4 0 等分，n 2 每边2 0 等分。 ( 9 5 4 4 1 阶) 运算环境：( 同表1 ) 迭代平均迭代时间误差精度 次数2 = 0 2 5 0 0 0 口= 0 2 9 7 3 0 “量一“0 hc 札一“仳量一“ 0 ，h | j t 船一“ 27s e c0 0 0 0 2 6 20 0 1 0 5 90 0 0 0 3 7 50 0 1 2 7 1 41 0s e e0 0 0 0 1 5 80 0 0 6 8 70 0 0 0 2 1 30 0 0 7 3 3 1 22 1s e c 、0 0 0 0 0 8 00 0 0 6 3 10 0 0 0 1 3 40 0 0 6 5 6 迭代误差精度 次数z = o 3 5 3 5 5z = o 4 2 0 4 53 = 2 0 0 0 0 0 “如一“0 h u 七一t i i h“七一t | | o | | u 七一t ih t “一“ 0 ，hm 一u 20 0 0 0 5 6 70 0 1 6 5 90 0 0 0 9 8 00 0 2 5 4 80 0 0 2 3 2 80 0 5 3 8 5 40 0 0 0 2 2 30 0 0 7 7 00 0 0 0 0 8 30 0 0 6 4 30 0 0 1 2 1 80 0 2 8 2 3 1 2 0 0 0 0 0 4 00 0 0 6 1 40 0 0 0 0 6 40 0 0 6 1 70 0 0 0 2 5 40 0 0 8 1 8 表4 网格剖分： 细网格：n 1 每边3 2 0 等分，n 2 每边1 6 0 等分 粗网格：q 1 每边8 0 等分，q 2 每边4 0 等分。 ( 3 8 2 8 8 1 阶) 运算环境：( 同表1 ) 懒 平均迭代时间误差精度 3 = o 2 5 0 0 03 = o 2 9 7 3 0 f f t 坫一t , l l o ，f 障知一“f f t 地一“0 h“ 一t i f f h l 21m i n1 6s e c0 0 0 0 1 3 40 0 0 4 1 60 0 0 0 1 2 60 0 0 4 1 4 4 lr a i n4 78 e c0 0 0 0 0 2 20 0 0 3 1 90 0 0 0 0 3 00 0 0 3 2 6 l1 23r a i n4 8s e c0 0 0 0 0 5 60 0 0 3 3 80 0 0 0 0 8 50 0 0 3 4 6 迭代误差精度 次数3 = o 3 5 3 5 58 = 0 4 2 0 4 5 口= 2 0 0 0 0 0 l | “k t , 1 1 0 ，i l “k 一“i l hi m k 一训i o ， | “k 一“l l m k 一“l l o l m b 一_ f l l h 20 0 0 0 1 0 l0 0 0 4 5 80 0 0 0 11 20 0 0 6 0 00 0 0 1 0 8 80 0 3 4 4 9 40 0 0 0 0 3 90 0 0 3 3 50 0 0 0 0 4 00 0 0 3 2 20 0 0 0 5 3 70 0 1 7 7 7 1 20 0 0 0 0 2 20 0 0 3 1 00 0 0 0 0 1 70 0 0 3 0 80 0 0 0 1 2 90 0 0 5 0 9 注：平均迭代时间为对不同口取值时所需的运算时间的平均值，由于受操作系统中 其他进程的影响，算法实际占用时间略小于此值。每次迭代的初始向量均随机产生 ( 即，每项数据均为不同初始向量迭代的结果) 。 从运算结果中我们通过纵向比较可以得出，使用我们的算法进行迭代时的收敛 速度基本与理论相符合( 其中部分反常数据可以理解为初始向量不同造成的偏差及 数值计算的误差所至) 。通过横向比较则可得出，算法收敛速度随口的取值变化而 改变，但当p 在一个较大的范围内变化时，仍能保持一定的收敛速度。因此，尽管 我们无法得到p 的精确值，只要能大致估计出口的取值范围，算法仍然是可行的。 r e f e r e n c e s 【1 】 3 0 p g c i a r l e t 、t h ff i n i t ee l e m e n tm e t h o df o re l l i p t i c p r o b l e m s ，n o r t h h o l l a n d ，n e wy o r k ，1 9 7 8 j h b r a m b l e ，m u l t i g r i dm e t h o d s ，p i t m a nr e s e a r c h n o t e si nm a t h e m a t i c ss e r i e s l o n g m a ns c i e n t i f i c t e c h n i c a l ，c o p u b l i s h e di nu s w i t