（计算数学专业论文）加权drazin逆和奇异线性方程组的条件数及它们的条件数.pdf

中文摘要 y s 8 3 9 2 众所周知，矩阵广义逆在许多领域中有广泛应用，如在微分和积分方程、 算子理论、统计学、控制论、m a r k o v 链、最优化等。因此，自上个世纪中 期以来，矩阵广义逆就成为一个重要的研究领域。c l i n e 和g r e v i l l e 于1 9 8 0 年提 出长方阵的加权d r a z i n 逆的概念，它是方阵的d r a z i n 逆的推广，有其实用背 景。在此之后，国内外有大量文献研究加权d r a z i n 逆的计算、连续性、积分 表示、c r a m e r 法则、扰动理论等。本文着重对加权d r a z i n 逆和奇异线性方程 组w a w x = b ，b r ( ( a ) ：) ，峦r ( 似w ) x ) 解的条件数作了系统的研究。 首先，我们利用不同的范数定义了加权d r a z i n 逆及其奇异线性方程组解的条件 数，用来度量矩阵求加权d r a z i n 逆和一类奇异线性方程组求加权d r a z i n 逆解对于扰 动的敏感性。 其次，我们讨论了这类条件数的极小性质。 再次，由于条件数不能被精确计算，d e m m e l 提出了条件数的条件数这个概念， 我们定义了加权d r a z i n 逆和奇异线性方程组的加权d r a z i n 逆解的条件数的条件数， 并给出它的界。 最后，我们讨论了ao b 的加权d r a z i n 逆( ao b ) d 的表达式，并建立投影算子, w 的k r o n e c k e r 积之间的关系。 a b s t r a c t i ti sw e l l k n o w nt h a tt h eg e n e r a l i z e di n v e r s e so fam a t r i xh a v ew i d ea p p l i c a t i o n s i n m a n ya r e a ss u c ha sd i f f e r e n t i a la n di n t e g r a le q u a t i o n s ，o p e r a t o rt h e o r “s t a t i c s ， o p t i m a lt h e o r y ，c o n t r o lt h e o r y ，m a r k o vc h a i n sa n de t c i th a sb e c o m eo n eo ft h e i m p o r t a n ts t u d y i n gf i e l d si nt h ew o r l ds i n c et h em i d d l eo ft h el a s tc e n t u r y i n1 9 8 0 c l i n ea n dg r e v i l l eg a v et h ed e f n i t i o no ft h e w w e i g h t e d d r a z i ni n v e r s ew h i c h i st h e e x t e n s i o no fd r a z i ni n v e r s ef r o mt h e no nm a n yp e o p l es t u d i e dt h ew w e i g h t e d d r a z i ni n v e r s ei nd i f f e r e n tf i e l d s i nt h i s p a p e rw ed i s c u s st h ec o n d i t i o nn u m b e r s o ft h ew - w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s ea n ds i n g u l a rl i n e a r s y s t e m sw a w x = b b r ( ( 阡7 a ) b ) ，z r ( ( a 矿) h ) f i r s t ，v a r i o u sn o r m w i s er e l a t i v ec o n d i t i o nn u m b e r st h a tm e a s u r et h es e n s i t i v i t y o fw - w e i g h t e dd r a z i ni n v e r s ea n dt h es o l u t i o no fs i n g u l a rl i n e a rs y s t e m sa r ec h a r a c t e r i z e d s e c o n d ，w ed i s c u s st h em i n i m u mq u a l i t yo fc o n d i t i o nn u m b e r so fa a wa n dt h e s i n g u l a rl i n e a rs y s t e m s t h i r d ，s i n c ec o n d i t i o nn u m b e r sc a l ln o tb ec o m p u t e de x a c t l y ，w eg i v et h ed e f i n i t i o no ft h ec o n d i t i o nn u m b e ro ft h ec o n d i t i o nn u m b e rt ok n o wt h es e n s i t i v i t yo ft h e p r o b l e m “c o m p u t et h ec o n d i t i o nn u m b e r ” a tl a s t ，w ed i s c u s st h e r e p r e s e n t a t i o nf o rt h ew - w e i g h t e d d r a z i ni n v e r s e ( a o b ) d ，w o fa b f u r t h e r m o r e t h er e l a t i o nb e t w e e nt h ek r o n e c k e r p r o d u c to ft h ep r o j e c t o r i se s t a b l i s h e d 第一章引言 广义逆的概念最早是i f r e d h o | m 于1 9 0 3 年提出的，他给出了积分算子的广义逆。并称之为 “伪逆”。1 9 2 0 年e ，h m o o r e 首先提出了矩阵广义逆，他利用投影矩阵定义了矩阵唯一的 广义逆。然而矩阵广义逆真正得到迅速发展，并在各个领域得到广泛应用是在上世纪5 0 年 代以后。1 9 5 5 年r p e n r o s e 证明了m o o r e 所定义的广义逆是满足四个矩阵方程的唯一矩阵【2 6 b 称这个唯一的广义逆为m o o r e p e n r o s e 逆。1 9 8 5 年，m p d r a z i n 提出了结合环和半群上的广义 逆1 2 5 1 ，后来就称为d r i n 逆。 d r a z i n 逆只对方阵有定义，下面给出方阵指标的定义。 定义1 ，1 设a c n ，我们称满足 r a n k ( a k + 1 ) = r a n k ( a ) 最小非负整数k 为j 4 的指标，记作 i n d ( a ) = k 若a 非奇异，j j l n d ( a ) = 0 。若a 奇异，l j i n d ( a ) 1 a 定2 1 ，2 设a c “”，l n d ( a ) = ，若x c “。“满足 a k x a = a k x a x = x a x = x a 则称x 为a 的d r a z i n 逆，记作x ：a a 或a ( 1 k , 2 ，5 ) 。 d r a z i n 逆在许多领域有着广泛的运用，比如奇异微分方程、m a r k o v 链、迭代法、数值分析 等，可以参看【3 8 】。本文要研究的加权d r a 2 i n 逆是由c l i n e 和g r e v i l l e 于1 9 8 0 年提出的，它是方阵 的d r a z i n 逆的推广，有其实用背景【9 l 。 定义1 3 设a 俨一w e n m ，若对某个非负整数，存在x e “，满足 ( a w ) + 1 x w = ( a w ) x w a w x = x a x = x w a 则称x 为a 的加权d r 。a i n 逆，记作x = a d 。这里，七是a 的指标，记作= j n d ( a ) 。显 然，当w = i ，a g “”时，x = a d 。 国内外学者对加权d r z a i n 逆也有大量研究【9 - 1 2 ，2 8 - 2 9 ，推广了d r i n 逆的一些结果。 关于矩阵计算问题的条件数的研究，已经有了大量的积累，、关于条件数的一般性理论，最早 是由r i c e 【1 3 j 建立的。与此有关的工作，可参阅 1 4 2 0 】 在 1 6 】中。d e s m o n dj h i g h a 用不同的范数定义了非奇异矩阵求逆和线性方程组的解的条 件数。设a g n ”，0 为矩阵范数，定义如下： c 讲；d ( a ) = 。1 + i m 。+ i 。圳s u l s p 圳刈1 业垒j 二会 ：；f 业， gona(a加)=。1im叶|is，。usp刮圳旦生!生些；麓芸妄产 l | 圳i 他指出由于扰动a 的存在，条件数不能被精确计算。因此，h i g h a m 研究了条件数本身对于扰 动的敏感性，定义了所谓的条件数的条件数，而且给出了它的界。 2 0 0 3 年，魏益民在a m c 上发表了一篇文章【1 8 】，他用m c e 关于条件数的一般性理论定义 t d r a z i n ：逆和奇异线性方程组解的条件数，但是没有对条件数本身的敏感性作进一步的讨论。 本文要做的主要工作就是运用黜c e 关于条件数的一般性理论定义加权d r a z i n 逆和奇异线性方 程组解的条件数，推广了魏益民关于 d r a z i n j 逆的主要结果。在第三部分，讨论了上述条件数的 极小性质。第四部分。我们定义了加权：d r a z i n 逆和奇异线性方程组解的条件数的条件数，给出 了它的界。另外，在第五部分，我们讨论了a o 引约加权d r a z i u 逆( a 圆b ) d w 的表达式，并建立 投影算子的k r o n e c k e r 积之间的关系。 2 第二章加权d r a z i n 逆和奇异线性方程组的条件数 1 9 9 5 年，h i g h 啦1 1 6 】讨论了非奇异矩阵和非奇异线性方程组的条件数。当广义逆是m o o r e - p e n r o s e l 堑、d r a z i n 逆、b o t t d u m n 逆时文献【1 7 - 2 0 也有相应的一些结果。在文献【1 8 】中，魏 益民在不同范数下定义3 r d r a z i n 逆的条件数。 设以g “，| | 是矩阵范数。d r a z i n l 筻的条件数可定义为 舭，一州l i r a s 怄u p 川圳螋瓮产 对于奇异线性方程组 a z = b ，6 a ( a ) ，岔r ( a ) ，k = i n d ( a ) 它的条件数定义为 ( 2 1 ) ( 2 2 ) g 。n d ( a ，6 ) = 。1 + i r a 。+ s u ，p 监生垒垒酱望o ! i 垒二趟， (23)ifaj l 6 。+ o + s6 l l a i i 5 i i & d o i i l i a o i i e l l b l l 以上范数是j i p p 或l i - l 喀尸。 在这一部分，我们首先b i a p q ( 2 ) 范数的概念。 设a c t m ”。b 伊。”，z g ”，”泸，定义p q ( 2 ) 范数 a i i p q = l i p 一1 a q i l 2 i i b i i q p = i i q 一1 b p i l 2 和 l l x l l e = l i p 一1 2 1 1 2l l g l l q = i i q 一1 y 1 1 2 这里，p c m x 和q c n 。n 都是非奇异矩阵。 下面，我们将定义不同范数下加权d r i n 逆的条件数，推广了文献f 1 6 ，1 8 中主要结果。 设a c 一一，w g n m i i i i 是矩阵范数，我们定义加权d r a z i n 逆的条件数： 舭) ：州l i r am 椰s u p 钏删些篇i i - q 新- d w i i 趔 ( 2 4 ) 、 s _ + o + i l l i s e i | a w | | o t 由文献【10 知，z = a d , w b 是下面奇异线性方程组的唯一解 w a w z ；b ，b r ( ( i 矿a ) z ) ，z 丑( ( w ，) 1 ) ( 25 ) 3 类似地定义奇异线性方程组( 2 5 ) 的条件数为 c 。n d ( a ，。) = 。l 。i m 。+ ，。 s 。u ；p 州 。韭生兰塑上昔甾兰专台1 1 二! 堑墨剑( 2 6 ) i l b l lse l l b l l 接下来，我们要找到适当的矩阵p 和q ，并利用p q 范数得到加权d r i n 逆和奇异线性方程组解 的条件数的一些结果。 记r ( a ) 和( a ) 为矩阵j 4 的值域和零空间。 引理2 1 1 0 】设a 0 m ”，w c “，j 倒( a w ) = 女1 ，i n d ( w a ) = ，则 ( a ) r ( a d 。w ) = r ( ( a i 矿) t ) = r ( ( a l y ) d ) ： ( b ) n ( a d ，w ) = ( ( a ) b ) = ( ( w ) d ) ； ( c ) p t = w a w a d ，w = ( w a ) ( w a ) a = p r ( ( w a ) 2 ) ，( ( w a ) 2 ) ； ( d ) p 2 = a d ，w w a w = ( a w ) d ( a w ) = p r ( ( a w p l ) ( ( ) 1 ) 和 为了方便起见，我们把以下条件定义为( v ) 条件 a c “。”，w c “。”，i n d ( a w ) = k l ，i n d ( w a ) = 2 ，b = a + a a r ( a a w ) cr ( ( a 仰r ) 七- ) ，兄( ( a - 矿) 4 ) cr ( ( ( a w 。) 1 ) + ) n ( w a a ) cr ( ( a ) b ) ，r ( ( w a a ) + ) cr ( ( ( 且) b ) + ) 6 = 1 l a d w i i p q i i w a a w i i q p 1 引理2 2 1 1 1 若( v ) 条件满足。则 ( a ) i n d ( b w ) = l ，i n d ( w b ) = k 2 ，r ( ( w 。b ) b ) = r ( ( w a ) b ) ； ( b ) b d ，w a d ，w = - - b d ，w w a a w a d ，w = 一a d ，w w a a w b d ，w ； ( c ) b d w = ( j + a d w w a a w ) a d 。w = a d 。( ，+ w a a w a d ，w ) 一1 我们知道a 和w a 都有约当标准型： a = p ( 苫品) p _ 1 ，a = 口( 言；) 。一l ， 这里，矩阵g 和d 是非奇异的并且是同阶的，s 和都是核心幂零矩阵。魏益民给出t a ，w * u 加权d r a z i n 逆 d w 的代数结构- 4 引理2 3 1 1 2 】设a g ”。”w c n “，j r 以( h 7 ) = k l ，i n d ( w a ) = 乜，k = m a x k 1 ，k 2 ) a 则 一( 乞1 三。) 矿，= q ( 1 乏) 一， “w = p ( 一d 。：) 矿 u ”， 这里p ，0 ，a l l 和i h l 是非奇异矩阵。 引理2 4 1 1 设i i f u 1 ，则，+ f 非奇异且l | ( j + f ) 一14s i = 慨t 这里j 是单位阵 定理2 1 假设条件( v ) 满足。那么加权d r i 逆的条件数 g d n d 户口( a ) = 。l i ，m 。+ i i w z x a w i i 。s ，u ；p ；1 1 w ，矿+ 。，“1 生二! 二! ；：2 ：；。i j ： ：出旦_ 1 堡 满足 c o n d p q ( a ) = l w a w i i q p i i a a w l l p q 证明由引理2 2 ( e ) 和i i w a a w i i q p e l l w a w l l o p ，我们有 ( a + a a ) d , w a d ，w = 一a a ，w w a a w a d ，+ d ( ，) 忽略高阶项0 ( ，) 我们得到 ( a + a a ) d ，w a d ，w = 一a a ，w w a a w a 4 ，w 因此 0 山，w w a a w a d ，w t l e q = l i p a d ，w o o 一1 w a a w p p a d ，w q i l 2 e l i w a w i i q p i i a a ，w i l c o ， ii(a+aa)a,w-a。,wiipq si i w a w i i 口p i l a o ，i i p 口 e l l a d w l l e o 一 。1。 下顽证明( 2 8 ) 成立。我们知道存在l l y ，矿w n c 并且满足8 肌1 训2 = 1 1 矿w 1 1 1 1 2 = 1 ，使 得i i ( 肌l a l l 肌1 ) _ 。w 1 1 训2 = 扩w 1 l ( 肌l a l l m l ) 一1 1 1 2 = 1 1 ( m l a l l 肌i ) i l z r 壮a 令 ，、 a 一咿删尸p ( ；) ( 舢) 旷， ( 2 1 0 ) 5 刃 固 渤 吖 但 但 啦 我们有 和 由于 a i i q p = e l l w ”q 尸1 1q ( 等1 0 。) ( ：) ( 。) ( 鬈1 点。) p 一1i l 口p 刮i w a 嘶1 l ( w 。1 1 9 ) ( 棚- o - i i 。 = e l l w a w l l q p i i w n y l l 2 1 1 a c w n l l 2 = 6 1 i w a w i i q p a w = s 1 1 “口p p ( ：) ( 矿。) q 一1 q ( 等1 点。) p 一1 叫唧嘶p ( 一p ( 譬1 圹1 p ( 如? o 圹1 我们可以得到 用相同的方法同样可以推得 和 并且 ( a 咐，：尸f 伊1 0 1p - 1 。 0o r ( a a w ) cr ( ( a w ) z ) r ( ( a a w ) + ) cr ( ( ( w ) - ) + ) r ( w a a ) cr ( ( 彬a ) ：) ， r ( ( w a a ) ) cr ( ( ( w a ) k 2 ) ) 0 a d ，w w a a w a d ，i i p o | | p ( ( 氐。垆唧嘶q ( 譬9 ) ( 册。) 一 p ( w n a 。1 0 ) q = e i i w a w p 山1 鼍d1 肌增) ( c 矿肌州啊，a - 啊广。) i i 。 6 = e i i w a w i i o p i i ( w l l a l l w l l ) 一1 w l l y l l 2 1 1 ( x + w u ) ( w u a u w l t ) 一1 1 1 2 = d l w a w i i q p i i ( w 1 , a u w n ) _ 1 幢 = e i i w a w i i q p i ! a d w i i , q 所以i i ( a + 1 a 1 a j ) d i , w ；1 - - ；a 孑d , w i i p q ：l l w r a l 矿i l q p i i a d ，。户口e i i a d ，0 p o ”。“ 两边取上确界后再取极限可得( 2 8 ) 。 口 推论2 1 1 7 设a ，a a c “。”，k = i n d ( a ) ，r ( a ) cr ( a ) ，r ( a a + ) cr ( ( ) + ) ， i i a d l l e p i i a a i i p p 1 ，那么 g o n d p p ( a ) = 。l i + r 。a + a ，s ，u ；p 。i ， 。，旦垒_ = ! ；： ：；。；：些丑 ( z - ，) 满足 c o n d p p ( a ) = i i a i i p e l l a a l l p e ， ( 2 1 2 ) 这里，p a p 一1 是a 的约当标准型。 对于a c “，b c ”。”，$ c “，c “，我们定义p q ( f ) 范数。 i i a i i ；o = l i p a q i i f ，陆= i i q _ e p i i r 和 ；= l i p 1 ：e i i f = l i p x 1 1 2 ，g = i i q - 1 y l i f = 0 q y 1 2 ， 这里，p c 。“和q “”是非奇异矩阵。由此，我们可以得到 定理2 2 设条件( v ) 成立，则加权d r i n 逆的条件数 g o n d f q ( a ) ：l i m w w 昭s ，u ，p 川w w 惦，业兰二；尝啬；：哥；：堕! 旦 龊 g 枷，：皆 g o n 响( a ) = 竖焉等：；型盟 证明类似于定理2 1 的证明方法，我们须证明 s u p l l a d ，w w a a w a d ，w 0 ；。= 5 0 w a w m 吕p 8 a d 1 1 2 p 口 w a a w i l 5 p 9 t l w a w i l 5 ， 7 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 因为存在肌l 鲈，w u c 且满剧阢1 酬2 = i i x + 肌l f | 2 = 1 ，使劁( 阢l 且l l 肌1 ) 一1 w 1 1 啪= i i ( z + w 1 1 ) ( w l l a l l w l l ) _ 1 1 1 2 = 0 ( i n l a l l 胍1 ) 一1 1 1 2 成立。 令 m 蚍伊棚i i 与p p ( ：) ( 枷) ， 易证 满足条件( v ) 。 与证明定理2 1 相似，我们可以得到( 2 ，1 4 ) 式。 口 如果 是一个非奇异矩阵，从定理2 2 我们可以得到 推论2 2 1 1 6 非奇异矩阵的条件数 州舻。l i m 酬腱s u p 圳圳，螋错每坐 满足 e 删刚) = 皆 如果a 是奇异方阵，从定理2 2 我们可以得到 推论2 3 【1 8 】设a ，a a g “。“，= i n d ( a ) ，r ( l x a ) cr ( a ) ，r ( a a ) cr ( ( a ) ) ， i l a d l i 尸p a | 临p l ，那么a 的d r i n 逆的条件数 g a n a 暑p ( a ) = 。l i + m 。+ 。 i i ；s ，u ；p 。i i i i ；，且生_ = l ； ! ： ；主：垒生“墨 满足 翻俨訾 下面，我们开始要用p q ( 2 ) 范数来刻画奇异线性方程缎加权d r 舰i n 逆解的条件数。 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 定理2 3 设条件( v ) 成立，并r a b r ( ( a ) 。) ，那么奇异线性方程组a z = b ，b r ( ( a ) b ) ，。r ( ( a ) - ) 的解的条件数 gandp。(a，。)=。l。im。+。，su。piiwzxawii。iiwawii。，“生二!二竺!苎2：；!iia!diw!j；：学(z，9) 5 _ + o 十 口p 茎5q p e ， 6 p 、。 1 1 6 l l q ! e l l b l l q 8 黼 ，) ：i ，+ 可i a d , w i 矿p q i b q c o n d p q ( a b i w a w i i q p i i a dw l l p q ( 2 2 0 ) ，) = i ， + 1 r = j 丌_ () 证明由引理2 2 ( a ) 和a b r ( ( a ) 。) 可以得到 b + a b r ( ( 矿a ) 盘：) = r ( ( 计7 ( a + a ) ) 。) 易知w a w x = b ，z r ( ( a ) - ) 和它的扰动系统+ a a ) w z = b + a b ，$ + $ r ( ( 似+ ) i 矿) 2 1 ) 有唯一解。= a d ，6 和正+ 正= ( + a a ) d ，w ( 矗+ a b ) ，当6 r ( ( i 矿a ) b ) 和6 + b r ( ( 彬( + a ) ) b ) ，因此我们有 z = ( a + a a ) d ，w ( 6 + 6 ) 一。= ( a + a a ) d ，w ( b + a b ) 一a d w b 由( 2 9 ) 和i i w a a w i i q p e i i w a w i i q p ，i i a b l i qse l l b i l q ，可以得到 a x = a d , w ( a b w a a w x ) + 0 ( e 2 ) 忽硌高阶项0 ( e 2 ) 我们有 l i z 0 p = i i ( a + a a ) d ，w ( b + a b ) 一a d ，w b l l p = l l a d ，w ( a b w h a w x ) l l p 茎0 a d w i p q ( i i a b i q + i i w a a w i i q p i i x l i p ) e l l a d w l l e o ( i l b l l o + i i w a w i i q p i i a a ，w h i l e ) 因此 堕生! 生皇号茹薹兰专盖等业o a w i i 口p o a a ，o p q + 盟气艏( 2 2 0 ) 下面证明c z 舶) 等式成立。假龇= p ( ：) ，这里刈m - 训。= - 川( 肌- a - m - ) - 1 肌- 训。2 1 1 ( w l l a l l w l l ) _ 1 1 1 2 。因此我们不难得到 l i z = 1 1 w h ”1 1 2 = 1 和 l i a d w w z l i p = i i ( w n a t l w n ) 一1 1 1 2 = i i a d ，w i i p o 记p _ 1 = ( 竺) ，只a “”和马g 忡h m ，那么 p l 。= ( 竺) x = p - t a d , w b = p - t p ( l a 艺肌。一1 ：) q l 。= ( ：) 即p l z = ，p 2 x = 0 。又由于。0 ，我们得p l 0 ，i ip 1 $ 1 1 2 = i i p - 1 。| 1 2 = 忙l i p 。 令 一e 1 i i w a w r i i q p z x * ( p - 1 ) * ( 譬1 护1 ， a b = e w z l l b l l q 由于 我们有 和 c a ，b = q ( ：2 ：) q 一1c 舯= f ( a b = e w z l l b l l q = s q ( 等1z 。) p l p ( ：) 怕l i 。 卅( 矿。( 。旷q ( 譬”) 怕咧c 畔， 一1 i w a w r i i q p z x * ( p - 1 ) * ( 絮1 ：) q ( 鬈1 点。) 一 = 一e w a wq p p ( ：) c p 一1 z ，( ：) p 一1 = 一e i i w a w i i q p p ( 譬1 ：) p l p ( g 等1 ：) p l p ( 气。r ：) p l 因而 r ( a a w ) cr ( ( a ) 1 ) 类似可证r ( ( a ) + ) cr ( ( a ) ：) ，r ( w a a ) cr c ( w a ) b ) ，r ( ( w a a ) + ) cr ( ( w a ) 畦) 。 “w a 、缈i i 。p = e i i w a w i i q p ( w l o x ”) c p l z ，+ ( ：) ：e _ i i w a w i i q p w 1 1 ”1 1 2 0 p l z i l 2 i。$ l l p 。1 1 9 ” = e l i w a w i i q p ， 1 0 因此 恻扣i 卜训圳口i l 。 钟p q ( 鼍1 点。) p - 1 p ( ：) = 悯i 圳w ，1 1 训2 = l l b l l 。 ( a 。+ a ，) d , w ( b + a b ) - - ，a d , w b 1 l p | | a d ，w b l p i l a d 。w ( a b w a a w z ) i i p 。丽历而_ 11a d , w ( 洲圳q + e 咿删p 1 ( 譬1 抄1 砒 e i a d , w b u p 酬洲圳小警w z ( c 酬。) ( ：) ( 狲睁 z i a d ，w b l i p s ( 1 l b l l 。+ 竖瑞訾慨帕w z “p 2 丽丽而一 + ( 1 1 b 1 1 q + i i ，w a w 1 1 q e 1 1 x 1 1 p ) 1 1 a d , w 1 1 e q i i a d ，w b l l e = 1 1 w a i i q 尸i i a d , w 1 p 口+ 业垒船 口 由此可以得到以下推论 推论2 4 t 8 设a ，a c n n ，_ l ：= l n d ( a ) ，r ( a ) cr ( a k ) ，r ( a ) cr ( ( a ) 。) ，a b 兄( a ) ，i i a d i i p p i i a a i i p p l ，则奇异线性方程组a z = b ，b r ( 且) ，霉r ( a ) 解的条件数 g 。n a p p ( a ，砷= 。1 畴o + i i a p p s u p 硎a 。p p 旦鱼! 蔓掣；篙i ；学( 2 2 1 ) l l a b i l es i p 敝 一) ：i +面iladllppllbllpcondpe(a i a l l e e l l a d l l p p ( 2 2 2 ) 一) = i+ m i i c 一 ( 2 ) 这里，p a p 一1 是a 的约当标准型。 接下来我们要用p q ( f ) 范数来考虑奇异线性方程组的加权d r 踮i n 逆解的条件数。 定理2 41 甜茛条件( v ) 成立，6 冗( ( a ) ”) ，则奇异线性方程组a w x = b ，b r ( ( a ) “) ， 茹r ( ( a ) 。t ) 解的条件数 g a n a 暑。( a , b ) = 。l + i r a 。+ i i w a a w i l 5 ，s u ! p 。h ，a 。，1 1 5 ，“1 1 1 二! 垒! 苎2 1 ：；：2 ：i ；： _ _ ：_ ：! ! _ ! 业( z z 。) i i b l l q ! e l l e l l o 、 满足 ( 郇) = i i w 删i 孙i i a d , w 怕口+ 啬栌 ( 2 2 4 ) 证明证明方法与定理2 3 类似，我们须证明 旦生! 苎苎b 磊薹：i 巷学i i a i l 舌p i i a a , w i i p 口+ 业苎赭 等式成立。我们取 址一e 可i i w a w r i l 5 p ( 州( 譬1 ：) 矿， a b = e w z l l b l l q 易证a 满足条件( v ) 、i i w a a w i i g p 6 1 1 w a w i i 与p 和l l a b l l o e l l b l l o 。我们可以得到( 2 2 4 ) 成 立。口 由此可以得到下列结果 推论2 5 1 1 6 】非奇异线性方程组a z = 6 的条件数 满足 g 。n d f ( ，b ) = 。l 。i r a 。+ i l a 。f s u p 训a 8 f 旦鱼! 生生 蔷：妄i 半( 2 2 5 ) l i a b l l u e i i b l l 2 g 。n d f ( a ，6 ) = i i o f i i a 一1 1 1 2 + 镨 ( 2 2 6 ) 1 2 推论2 6 1 8 】设a ，h a c “。“，女= h d ( a ) ，r ( a ) cr ( a ) ，矗( ) cr ( ( 且。) + ) ，a b r ( a ) ，i i a a l i p p l i a a i i f p p 1 ，则 g o n d 量p ( a , b ) = 一l i r a + 忪驯矧s u p i 品逝端铲业( 2 2 7 ) 0 6 p ss 心 p 满足 薛剐刮训品i p p + 竖悲炒 ( 2 2 8 这里，p a p 1 是a 的约当标准型。 在这一章，我们定y - t 自d 权d r a z i n 逆和奇异线性方程组解的条件数，推广y 1 6 ，1 8 】中的主 要结果。在下面各章中，我们分别讨论了条件数的极小性质，条件数的条件数，加权d r a i n 逆 的一些性质。 1 压：征迓革里，我们疋义阴条件型x c o n d p q ( a ) 璃那r 性厦： c o n d p q ( a ) 1 ( 2 2 9 ) c o n d p q ( a ) c o n d e q ( a ，b ) s2 c o n d p q ( a )( 2 3 0 ) 事实上 g 。n d p 。c a ，= i iq ( 1z 。) p 一1 p ( 之1 三：) q 一1 q ( 鼍1 点。) p 一1l | 口p | | p ( ( a 。护1k = 1 a a i w t l 00 w 2 2 a 2 2 w 2 2 ) h 川- - 刚1 l 。l i 一 划肌1 a 1 1 肌1 1 1 2 i | ( 肌l a l l m l ) 一1 i | 2 不等式g 0 n d p 口( 4 ) c o n d p q ( a ，b ) 显然成立。 由于 b l l q = i l 点：) 一p ( 之1 三。) 旷q ( 鼍1 乏) 叫l 。 1 3 o 啊。 酬厂 切 a 一 旷 q 所以 即 i l ( 帆1 之1 w u 。三。1 2 i i p - k i i 。 = l i w a wh l q p l l x l l p c o n d p q ( a ) = l i w a w i q p i i a d ，w l l e q 警， c o n d p q ( a ，2 c o n d p q ( a ) 口 1 4 第三章加权d r a i n 逆和奇异线性方程组的条件数的极小性质 矩阵条件数在矩阵求逆和求解线性方程组的误差分析中起着重要作用。王国荣给出了加 权m o o r e - p e n r o s e 逆的扰动理论【2 9 】指出加权广义逆条件数k m n ( a ) 在扰动理论引出误差估计 不等式中的作用，表明加权条件数耳 f ( a ) 小时，a 的扰动a 对求a 蔷n 的影响小；反之，扰 动a 对求a 0 r 的影响可能很大。陈果良在1 2 9 】的基础上，证明了加权条件数k m n ( a ) 在矩阵扰 动问题引出的误差分析不等式中为最小，即表明耳m ( a ) 在误差不等式中不可能再改小，且是 与a 及正定阵m ，有关的最佳常数值。主要结果如下： 设a c p ”，哇为 的任意小扰动，r ( a a ) cr ( ) ，r ( a a ) cn ( a + ) ，l l a 荔i i r r m l l a a i i m n 0 ，当u x a i i m n e ( e 丽夏h 忑) 时，有 ! 匹生垒兰! 盏理二墨盏丝4 些丝丝盟! 墨业垒墨8 些些趔生! ! 丝盟 l l a + i i n m 二1 一f m ( a ) i i 0 m 川a o m 则 k m n ( a ) = i i | | 吖1 v a 玉i i m f m ( a ) 这里，f m ( a ) 是与a 无关，但依赖于a ，m ，的正数。 关于条件数极小性问题的研究国内外已经有大量文献了，参看【2 0 ，3 2 3 5 】。在第二章 中，我们用p q ( 2 ) 范数定义了加权d r a g i n 逆的条件数。接下来，我们首先分别导出矩阵求加 权d r a z i n ：i 蓝a d 。w 和奇异线性方程组如权d r a 2 i n 逆解的误差估计不等式，然后讨论条件数的极小 性质。 定理3 1 若条件( v ) 成立，则 i i ( a + a a ) d ，w a d ，w l l p q ，c o n d e q ( a ) l l w d x a w l l c ；e l u w a w l l c v ,，q1 、 l l a d ，w o 2 1 一c o n d e q ( a ) i i w z x a w i i q p i i i w a w i i q e 。 这里，c o n d p q ( a ) = i i w a w i i q p i i a d ，w l l p o ：是a d ，w 的条件数 证明由引理2 2 ( c ) 得 ( a + a a ) d ，w = a d ，w ( x + w a a w a a ，) 一1 取范数并利用引理2 4 有 i i ( a + a a ) 4 , w | i p 。s = 币5 i 两i a d 劫, w l 瓦l e q 甄丽雨， 又由 ( a + a a ) d ，w a d ，w = 一a d ，w w a a w ( a + a ) d ，w 】5 我们得到 坚墨二譬鱼婴f 2 兰生婪些翌冬i i w a a w q p i i ( a + ) 吐i i p 。 d ，w i i p q ，| 1 w 7 a i 矿| | 口刮i a d w 0 户口 2 1 一n a d 。w i i p q i w a a w q p c o n d p q ( a ) i i w a a w i i q p i w a w i i q p 。1 一c o n d p q ( a ) i i w a a w i i q e a 9 现在我们来考虑广义逆a d w 的条件数的极小性质 定理3 2 若条件( v ) 成立，r i i w a a w i i q p 岛忙 肛意1 面) 时，有 l i ( a + a a ) d ，w a a , h , i t p q ，a ( a ，w ) i w , x a w i i q p i i w a w i i q p j l a d 0 p o 2 1 一卢( a ，w ) i i w a a w q p i i w a w i i o p 则 c o n d p q ( a ) = i i w a w i i q p a a