（计算数学专业论文）关于零和序列的几个问题.pdf

摘要 零和理论是组合数论的一个重要分支，其在图论，r a m s e y 理论，几何以及数 论等领域都有重要的应用零和理论的主要研究对象是零和序列，也就是在加法有 限a b e l 群中，元素之和为零元的序列 本文主要从直接零和同题和反零和问题两个不同的研究角度出发，对于零和问 题中的几个重要组舍常数以及一些极值序列的结构进行研究，并得到一系列结果 第二章和第三章从直接零和问题的角度，讨论了组合常数r ( g ) ，d ( g ) ，s ( a ) 与 v ( a ) 以及它们之间的关系其中，在第二章中，作者将对于有限a b e l 群g 成立的 关系式r ( g ) = l g l + d ( g ) 一1 推广到一类非交换群上在第三章中，对于一类特 殊的有限a b e lp - 群g ，得出了s ( g ) 与 ( g ) 的值，并就这类群验证了关系猜想式 s ( g ) = 1 ( g ) + e x p ( g ) 一1 第四章解决的是两个反零和问题作者给出了正规序列和不可扩展序列的定 义，并对这两类序列的结构进行了刻画对于有限循环群，某些初等p - 群以及当n 具有性质b 时的群g = o o 中的正规序列s ，完全刻画了s 的结构另外将研究 一般的有限a b e l 群g 中的极值序列s ，当其满足i s i = i g i + d ( g ) 一2 且0g f g l ( s ) 时的结构特点的问题转化为研究正规序列的问题同时对于有限循环群，秩为2 的 群以及一般的有限a b e l 群中的不可扩展序列的结构，也得到一些性质 第五章主要处理了有限循环群上的两个零和问题，即最小零和序列的等价类和 加权和问题作者就一类特殊的等价类序列给出了序列长度的一个上界，另外对于 a b i a l o s t o c k i 在c a n t 2 0 0 5 会议上提出的关于序列的加权和的猜想，当群为素数阶 循环群，且两个序列中元素出现的最高次数比较小时，给出了猜想的证明 关键词：有限循环群；有限a b e l 群；零和序列；短零和序列；最小零和序列 e g z 定理；d a v e n p o r t 常数 s o m ep r o b l e m so nz e r o - s u ms e q u e n c e s a b s t r a c t z e r o - s u mt h e o r yi sas u b f i e l do fc o m b i n a t o r i a ln u m b e rt h e o r y ，a n dt h e r ea r ei n t r i n s i c c o n n e c t i o n sw i t hg r a p ht h e o r y , p m m s e yt h e o r y , g e o m e t r ya n dn u m b e rt h e o r ye t c 。t h e m a i no b j e c tt h a tw es t u d yi nz e r o - s u mt h e o r yi sz e r o - s u ms e q u e n c e ，w h i c hi sas e q u e n c e i na na d d i t i v ef i n i t ea b e l i a ng r o u pw i t ht h es l l mz e r o i nt h i sp a p e r ，a c c o r d i a gt ot w od i f f e r e n tp o i n t so fv i e wo fd i r e c tz e r o - s u mp r o b l e ma n d i n v e r s ez e r o - s u mp r o b l e m ，t h ea u t h o rg e t ss o m er e s u l t so ns e v e r a lc o m b i n a t o r i a lc o n s t a n t s a n dt h es t u c t u r eo fs o m ee x t r e m a ls e q u e n c e s t w od i r e c tz e r o - s u mp r o b l e m sa r ec o n s i d e r e di nc h a p t e rt w oa n dc h a p t e rt h r e e ， w h i c hi n c l u d e ss e v e r a lc o m b i n a t o r i a lc o n s t a n t sr ( g ) ，d ( g ) ，s ( g ) a n d _ ( g ) i nc h a p t e r t w o ，t h ea u t h o re x t e n d st h er e l a t i o n s h i pr ( g ) = i g j + d ( g ) 一1i nf i n i t ea b e l i a ng r o u p s t os o m et y p eo ff i n i t en o n a b e l i a ng r o u p si nc h a p t e rt h r e e ，f o ras p e c i a lt y p eo fa b e l i a n p - g r o u p sg ，t h ea u t h o rg e t st h ee x a c tv a l u eo fs ( g ) a n dq ( g ) a n dv e r i f i e st h ec o n j e c t u r e s ( g ) = r ( g ) + e x p ( g ) 一1 i nc h a p t e rf o u r ，t h ea u t h o rd e f i n e sn o r m a ls e q u e n c e sa n du n e x t e n d i b l es e q u e n c e s ， a n ds t u d i e st h es t r u c t u r eo ft h e s et w ot y p e so fs e q u e n c e sf r o mt h ep o i n to fv i e wo fi n v e r s e z e r o - s u mp r o b l e m s t h es t r u c t u r eo ft h en o r m a ls e q u e n c e si nf i n i t ec y c l i cg r o u p s ，s o m e e l e m e n t a r yp - g r o u p sa n dg r o u p so ft h ef o r mg = 岛og w h e r enh a sp r o p e r t ybw a s d e t e r m i n e de x a c t l y i na d d i t i o n ，t h ea u t h o rg e t sc l o s er e l a t i o n sb e t e e nt h es t r u c t u r eo ft h e e x t r e m a ls e q u e n c esi na na b e l i a ng r o u pg ，w h e r ess a t i s f i e sl s l = g i + d ( g ) 一2a n d 0ge l 。 ( s ) ，a n dt h es t r u c t u r eo fn o r m a ls e q u e n c e s s i m i l a r i y , t h ea u t h o ro b t a i n s8 0 t i l e c h a r a c t e r sf o ru n e x t e n d i b l es e q u e n c e si nf i n i t ec y c l i cg r o u p s ，t h eg r o u p sw i t hr a n k2a n d g e n e r a la b e l i a ng r o u p s i nc h a p t e rf i v e ，t h ea u t h o rc o n s i d e r st w oz e r o - s u mp r o b l e m si nf i n i t ec y c l i cg r o u p s ) t h a ti st h ee q u i v a l e n c ec l a s s e so fm i n i m a lz e r o - s u ms e q u e n c e sa n dt h ew e i g h t e ds e q u e n c e s a nu p p e rb o u n df o rat y p eo f e q u i v a l e n c ec l a s ss e q u e n c e sw a so b t a i n e d a n df o ra c o n j e c t u r e a b o u tw e i g h t e ds e q u e n c e sa r o s e db ya 。b i a f o s t o c k ii nc a n t 2 5 ，t h ea u t h o rp r o v i d e sa p r o o fw h e nt h eg r o u pi sac y c l i cg r o u pw i t hp r i m eo r d e ra n dt h em u l t i p l i c i t i e so fe a c h e l e m e n ti nt h et w os e q u e n c e sa r en o tv e r yl e a g e i i i k e y w o r d s ：f i n i t ec y c l i cg r o u p ；f i n i t ea b e l i a a _ lg r o u p ；z e r o - s u ms e q u e n c e ；s h o r t z e r o s u ms e q u e n c e ；m i n i m a lz e r o - s u ms e q u e n c e ；e g zt h e o r e m ；d a v e n p o r tc o n s t a n t i v 独创性说明 作者郑重声明；本博士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方 外，论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 大连理工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工 作的同志对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢 意。 作者签名 主鲞翊 日期 w 彤衫玲 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权 使用规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人授权大连理工大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存和汇编学位论文， 保密口，在年解密后适用本授权书 本学位论文属于 不保密 ( 请在以上方框内打”，) 作者签名名垡丝 导师繇塞量鲫 怠蜘年月堕日 1 绪论 1 1 背景介绍 组合数论叉称算术组合，其主要研究整数环或抽象群g 上的子集或序列的组 合性质近几十年来，在一批有影响力的数学家的带动下，组合数论得到了很大的 发展。目前，它已成为组合论和数论研究中的热门课题之一零和问题是组合数论 中众多有意义的课题之一，它是组合论中的一个年轻领域 零和问题可简要叙述如下：设g 是一个加法有限a b e l 群，在组合论中，群c 中的 一个序列s 是由g 中元组成的一个多重集( 允许元素重复且不计元素排列的顺序) ， 记为：s = ( 9 1 ，9 2 ，g t ) = 9 1 舶舶= 兀：l 如若有：1 取= g l + 卯+ 卯= 0 ， 则称s 为一个零和序列直接零韧问题研究的是在什么样的条件下，给定的序列s 中含有非空的满足特定要求的零和子列；相应的，反零和问题研究的是不含有满足 特定要求的零和子列的极值序列s 的结构有什么特点 零和问题的提出可回溯到1 9 6 1 年，p e r d 6 s ，a g i n z b u r g 和az i v 在1 2 7 1 中给出 一个结论t 2 n 1 是满足下面条件的最小正整数，使得对于阶为n 的循环群g 中的任意长度不小于f 的序列s ，都含有一个长度为n 的零和子列，这就是有名的 e r d 6 s - g i n z b u r g - z i v 定理( 简称e g z 定理) 在随后的几年里， p ，c b a a y e n ，pe r d 6 s 和hd a v e n p o r t 等人着手研究满足下面条件的最小正整数，使得群g 中每个长度 不小于的序列s 都含有一个非空零和子列在后来的文献中，这个最小正整数f 被称为群g 的d a v e n p o r t 常数，记为d ( g ) 对于一般的群，d ( g ) 的值( 相对于群 g 的不变量来说) 仍未确定 这两个问题是零和理论发展的源头由于在组合论，数论以及几何等不同的领 域中都存在零和这类问题，因而零和理论与图论，r a m s e y 理论以及几何等有着密 切的联系，可参考文章卧m 【6 5 】hd a v e n p o r t 曾注意到以下事实：若 是某 个理想类群同构于群g 的代数数域上的整数环，则d ( c ) 是出现在n r ( 其中n r 是不可约元) 的素理想分解中最多的素理想的个数( 可重复) 零和理论的发展为 大连理工大学博士学位论文：关于零和序列的几个问题 分拆理论提供了一个强有力的代数工具；反之，分拆理论又很好地推动了反零和问 题的研究另外，零和问题也出现在一些数论课题上，如c a r m i c h e a l 数，a r t i n 关 于加法形式的猜想，以及排列矩阵等 1 2 定义及记号说明 m ：不小于实数z 的最小整数 h ：不大于实数z 的最大整数 n ：h i ：o ，b n 且n b ，k ，h 表示由n ，b 之间的所有整数( 含有n ，b ) 构成的集 合 陋 ：若a 是集合，l 以i 表示a 中所含元素的个数；若a 为序列，则表示a 的 项数，即序列的长度 有限a b e l 群g ：存在n l ，n 2 ，n r n ，使得g = 瓯，o g ：o o 岛，其中， r = n 1 = l 或者1 0 ，称s 包含元素9 ，记为：9 i s ； 记 s u p p ( s ) = 9 c l 码( s ) o ) c g + 若对于任意的9 g ，都有v g ( s ) s 1 ，称s 为平方自由序列 + ，( g ) 中的单位元素1 称为空序列，记为0 ，其长度为0 + 序列t 称为序列s 的子列，如果在，( g ) 中有t i s ，即对于任意的9 g ，都有 码( t ) 茎峋( s ) ； + 当1 t s ，即1 i t l i s l 时，称t 为s 的真子列； + 记s t “为序列s 除去子列t 中的元之后得到的子列，也记为：s t s 用口( s ) 表示序列s 的和，即有： + 对于任意的6 1 ，2 ，味记 且记 + 定义 ( s ) = + 9 1 2 + + 9 1 k i l t 1 1 2 ， i k ) k kf ( s ) = u ( s )( s ) = u ( s ) 女i = k 设s 是群g 中的序列 ( s ) = u ( s ) “( s ) m a x ”9 ( s ) ) 3 g g su 眵 = 鲰 。：i = c ，)口 大连理工大学博士学位论文：关于零和序列的几个问题 + s 是零和序列：若有o ( s ) = 0 + s 为零和自由序列：若有0g e ( s ) + s 为一个最小零和序列：如果s 是一个零和序列，且其任意真子列都是零和自由 序列 + s 为短零和序列：如果s 是一个零和序列，且其长度满足1 茎l s l e x p ( a ) 1 3 论文内容概述 本文主要从直接零和问题和反零和问题两个角度，对与零和序列相关的几个问 题进行了研究其中，第二章和第三章属于直接零和问题，第四章的内容属于反零 和问题 第二章首先介绍了零和理论起源的两个奠基性工作：e g z 定理的证明和d a v - e n p o r t 常数d ( a ) 的提出，并对零和理论中的两个重要组合常数r ( c ) 和d ( a ) 进行 了论述其中，e g z 定理是零和理论中的基本定理，1 9 9 6 年，高维东给出了e g z 定理在有限a b e l 群g 上的一个简洁的推广形式，用组合常数r ( c ) 和d ( g ) 可以表 示为：r ( g ) = d ( a ) + l g | - 1 在这一章中，在已有理论的基础上，我们猜想关系式 r ( g ) = d ( g ) + i g | - 1 对于任意的有限群g 都成立，并就群g 为一类非交换群一一 阶为2 p ( p 是不小于4 0 0 1 的素数) 的二面体群时的情况进行了证明 第三章主要围绕短零和序列展开，对于零和理论中另两个重要的组合常数s ( g ) 与_ ( g ) 进行讨论这一章的主要工作，是在原有理论的基础上，就一类特殊的有 限a b e lp - 群g 确定了这两个常数，并针对这一类群验证了s ( c ) 与q ( g ) 的关系猜 想式：s ( a ) = _ ( g ) + e x p ( g ) 一1 第四章解决的是反零和问题在第一节中，我们定义了正规序列，并对正规序 列的结构进行了刻画，对于有限循环群，某些初等p 群( 其中p 2 ，3 ，5 ，7 ) ) 以及当 n 具有性质b 时的群g = q e g 中的正规序列s ，我们完全刻画了s 的结构同时 得出，对于研究一般的有限a b e l 群g 中的极值序列s ，当其满足i s | = i g l + d ( a ) 一2 且。掣i g i ( s ) 时的结构特点的问题可以转化为研究正规序列的同题在第二节中， 我们给出了长零和自由序列一一不可扩展序列的定义，并对其结构特点进行研究 对于循环群g 不可扩展序列的最短长度为f l 0 9 2 且对于l 0 9 2 n 和d ( g ) 一1 之间的任意的值t 都存在长度为t 的不可扩展序列相应的，我们对秩为2 的群以 及一般的有限a b e l 群中的不可扩展序列的结构，也得到一些性质 4 第1 章绪论 第五章主要处理了有限循环群上的两个零和问题在第一节中我们考虑有限循 环群中最小零和序列的等价类，设s 是循环群g 中的最小零和序列，i n d e x ( s ) 定 义为序列s 在循环群岛中的所有等价序列的和的最小值( 见定义5 2 ) ，若s 是满 足i n d e x ( s ) = 2 n 的最小零和序列且s 不可分( 即对于s 中的任意一个元素9 ，不存 在这样的a ，b g ，使得g = n + b 且勖_ 1 。b 仍是一个最小零和序列) ，则对于序列s 的长度，我们有i s i gj + 1 并猜想( 品) ( 使得岛中每个长度至少为的最小零 和序列s 都满足i n d e x ( s ) - n 的那个最小正整数) 的确定值为：l ( 岛) = l ；l + 2 在第二节中，对于a b i a l o s t o c k i 在c a n t 2 0 0 5 会议上提出的关于序列的加权和的 猜想( 见猜想5 4 ) ，当群为素数阶循环群，且两个序列中元素出现的最高次数比较 小时，我们给出了猜想的证明 注记1 ：在本文中，除特殊说明，有限a b e l 群g 都是加法群 5 2 e g z 定理的推广 e g z 定理是零和理论中的基本定理，1 9 9 6 年，高维东给出了e g z 定理在有限 a b e l 群上的一个简洁的推广形式( 见本章中定理2 4 ) ，并猜想这个结果对于任意 的有限群都是成立的本章的主要工作就是将这个结果推广到一类非交换群一一阶 为印的二面体群上( 其中p 是一个较大的素数) 这是文【8 2 1 中的主要结果 2 。1 e g z 定理与d a v e n p o r t 常数 在本章的开始，我们先给出著名的e g z 定理它是1 9 6 1 年，pe r d 6 s ，a g i a z b u r g 和a z i v 在 2 7 1 中给出的，这也是零和理论的第一项开前性工作，其意义极其深远 定理2 1 ( e g z 定理) ：g 是阶为n 的有限a b e l 群，s 是g 中长度为2 n 一1 的 序列，则存在s 中的子列t 使得l t i = n 且o ( r ) = 0 后来，在1 9 7 6 年，o l s o n 在【7 2 】中证明了，e g z 定理对于任意的有限群g 也是成 立的。 注意到，当g 为循环群g 且序列s 中仅含有元素0 和1 时，s 中长度为n 的零和子列? 恰好就是单个元素组成的序列，即丁中的元素全部为0 或者全部为 1 因而e g z 定理可以被看作是鸽巢原理的代数概括形式，这对零和r a m s e y 理论 的发展起了很好的促进作用 实际上对于e g z 定理，当群g 为素数阶循环群q 时，m a n n 6 7 1 证明了结 论：若序列( 9 l ，9 2 ，g 2 ，一t ) 中任意p + 1 项都不相等，则g 中每个元9 均可表为 9 = g i ，十q i 。+ ，l l ( 赴 m ( g ) 且有下面的定理 定理2 3 ：f 5 0 】在下面的情形中，有d ( g ) m ( g ) ： ( 1 ) g = 四o c 4 k 托其中k n1 2 2 】 ( 2 ) g = c m o c ：o q 。，其中m ，n 是不小于3 的奇数，且有m 旧 6 1 ( 3 ) g = q o c 象，其中n 是不小于3 的奇数，且i 2 ，3 ，4 ) 【45 】 猜想2 1 ： 2 z ，【4 9 】当g = c ：，其中n ，r 是不小于3 的整数，或当g 的秩为3 时，有d ( a ) = m ( g ) 这两个组合常数d ( g ) 与r ( g ) ，是零和理论研究中的核心问题之一，它们的值 的确定是一项长期而艰巨的工作关于d ( g ) 与r ( a ) 之间的关系，1 9 9 6 年，高维 东在【3 3 中给出了下面的结论： 定理2 4 ：对于任意的阶为n 的有限a b e l 群g ，有r ( g ) = 9 ( e ) + n 一1 因而对于确定了d ( a ) 的值的某些有限a b e l 群g ，r ( g ) 的值也相应地被确定 在本章中，我们将对上述关系作进一步的研究，并得到结论：对于任意阶为印的 有限非交换群g ，其中p 是一个较大的素数( 这里假设p 4 0 0 1 ) ，易知g 是指数为素 数p 的二面体群，有r ( g ) = l g i + 9 ( c ) 一1 = 3 p 同时猜想关系式r ( g ) = d ( c ) + n 一1 对于所有阶为n 的有限群g 都是成立的 2 2 e g z 定理在一类特殊二面体群上的精确化 在本节中，群上的运算用乘法表示 设g 是阶为n 的有限乘法群，1 为其单位元素s = ( a 1 ，。2 ：。b ) 是由g 中元组成的序列，若有1 = 兀羔，( ：) ，其中r 是( 1 ，2 ，”上的一个置换，则称s 是g 中的1 积序列记丁= ( “，n 。n 。) 是s 的一个长度为t 的子列，其中 1 i 2 ， 且m i “、姐两两不同特别地，称r 是s 的一个主子列，如 果有1 i l z 2 。茎例如，( n i ，a 2 ) 和( ( 2 2 ，n 1 ) 是s 的两个不同子列，且 ( a l ，a 2 ) 是s 的一个主子列 1 0 第2 章e g z 定理的推广 用b 表下标集t = i 1 ，i 2 ，讲则s t _ 1 表示从序列s 中除去丁子列的 项之后得到的主子歹4 ；若丑= ( q ，q ：，口，。) 和乃= ( a h ，o 2 ，a h 。) 是s 的 两个子列，则丑n 乃是下标集满足h n 见= i t , n 乜的s 的主子列，此外，若有 哂n 吃= 0 ，即乃与乃不相交，则矸玛表示子列( q ，a j 。， ，a j 。，a h t ，a h ：，a h 。) 令j 1 ，2 ， ，q ，记，( s ) 为由s 中所有长度为j 的子列的积所组成的集合，即 ( s ) = 。铲n b l l i l ，i j ，且l ，i 2 ，t 两两不同 j 且记( s ) = u 名，( s ) r ( g ) 表示这样的最小正整数，使得对于g 中任意长度为的序列都含有一个 长度为n = l a l 的1 一积子列由e g z 定理易知对于任意的有限群g 有r ( g ) 2 n 一1 在1 9 7 6 年，o l s o n 【7 2 】猜想下面更强一些的结论成立： 猜想2 2 ：【7 2 】若口l ，a 2 ，n 2 。1 是阶为n 的有限群g 中长度为2 n 一1 的序列 则存在1 i 1 i 2 3 ，= l i = _ 7 j + 1 且= 【j ，s 是循环群g 中 含有k 个元素的子集，则有 ( s ) = q 引理2 5 ( c a u c h y d a v e n p o r t 不等式) ：设a l ，a 2 ，a 是q 中的非空子集，则 其中a l + a 2 + a t = a i a 2 o ia i 以。，。= 1 ，2f ) 1 2 t + f a 。 p( nm 一 4+ +2 a + a 有 第2 章e g z 定理的推广 引理26 ：设素数p21 1 。s 是q 中长度为i s = 2 1 1 。9 2 p j 的序列，则存在s 的 两个互不相交的非空子集曼和岛使得口( s 1 ) = 口( 岛) ，且i 是卜j 忌js 【l 0 9 2 p j 证明：令k = i s l = 2l l 0 9 2 p j 记s 为s 中所有长度是l 的主子列的集合，则 由p 1 1 知， 雕l ：坠业描“ p 因而，s 中至少存在两个不同的主子列正，死使得一( n ) = o ( t 2 ) 且有1 n 1 = 1 疋i = 令 研= n ( 丑n 乃) - 。，岛= 噩( 丑n t 2 ) - 。， 则a ( s 1 ) = 口( n ) 一口( nn 乃) 一1 = 口( 疋) 一口( 噩n t o 一1 = 盯( s 2 ) ，且l s l l = i s 2 1s 【l 0 9 2p j ， 引理得证， 口 引理2 ，7 ：设p 是素数，t 是由c p 中非i 元组成的长度为p 的序列令h = ( r ) = m & x g o h ( t ) ) ，则有 ( t ) = 岛 s h 其中! h ( r ) = u 竺l ，( t ) 证明：可以将t 中的元素分成h 个非空子集a ，a 2 ，、如，在h 个子集a l ，a 2 u 1 ) ，岛u l 上应用c a u c h y - d a v e n p o r t 不等式。且注意到i a l l + i a 2 u p l + + l hu 1 1 = 1 7 1 + h 一1 = p + h 一1 ，可得 ( 丁) l m i n 协i a l l + i a z u + + u 一 + 1 ) = p ( h 因而。( t ) = c p 口 引理2 8 ：( 5 lj ) 设p 是素数，s 是由g 中元素组成的序列如果s 不合长度 为p 的i 一积子列，则对于某个g q ，有 9 ( s ) s 一p4 - 1 证明：因s 中不含长度为p 的1 一积子列，由e c z 定理知i s l 印一2 ，且注意 到当l s l p 时结论显然成立因而可设i s l = 2 p k ，其中2 曼p i 只要证 7 1 = “( s ) 2 黪矧s ) ) p 一+ 1 1 3 大连理工大学博士学位论文：关于零和序列的几个问题 即可 不失一般性，可设s = ( l l 二二乡t ，其中i t i = 2 p k h - 事实上，若有g 0 使得 ( s ) = ( s ) ，则我们可考虑序列，使得s 中的每个元都是s 中的元素乘以 9 的逆元 反证，若有hsp k ，则 t i p ，且t 是由q 中非1 元组成的序列，由引理 2 7 可得，h ( ? ) = q 特别的。 口( 丁) ( 丁) ， 一 眨川q 大连理工大学博士学位论文；关于零和序列的几个问题 在这种情形中，我们要证明其满足引理2 9 ( 1 v ) 的条件令t = i snn l 且r = f t - 警+ 2 ，既然s n n 中至多含有3 k 一2 个互不相同的元，因而在s n n 中至少存 在r 个互不相交的子列( o l ，a 1 ) ( a 2 ) ，( a ，g t r ) 下面证明日f 理2 9 ( i v ) 中的子列矿矿存在在序列snh 上重复应用引理2 6 ， 得到一系列互不相交的子列，记为： 仉，；巩，一；u 。，使得对于每一个诘 1 ，2 ， ，m ，有口( 矾) = a ( k ) ，1 j 巩| = j 【l 0 9 2 刮，并且有 l ( s n 日) ( 巩如ur v r m ) “l 3 ，s = 亓_ 1 9 g 1 9 2 鼽一l 是群g 中长度 为l s i = 3 n 一3 且不合有短零和子列的序列则存在g 中的一组基( e 。，e 2 ) 使得 n j s = ( e i + e 2 ) n - l e 。n 一1l - i ( 如e i + 6 e 2 ) t = 1 其中，对于任意的i 【1 ，n 1 _ 皿 0n l j ，b 【0 n 一1 】 1 ) 在本章的第一节中，我们给出了正规序列的定义( 见定义4 3 ) ，并对正规序列 的结构进行了刻画对于群g = o 。三g 中的正规序列s 当n 具有性质b ( 见定义 4 4 ) 时，我们完全刻画了s 的结构，同时我们得出，对于研究一般有限a b e l 群g 中的极值序列s ，当其满足i s l = f g + d ( g ) 一2 且0 掣i g ；( s ) 时的结构特点的问题 可以转化为研究正规序列的问题( 见定理41 0 ) 在第二节中，我们研究长零和自由序列一一不可扩展序列( 见定义45 ) 的结构特 点对于循环群岛，不可扩展序列的最短长度为1 0 9 2 n 1 、且对于 1 0 9 2 n 1 和d ( g ) 一1 之问的任意的值t 、都存在长度为t 的不可扩展序列相应的，我们对秩为2 的群以 及一般的有限a b e l 群中的不可扩展序列，也得到一些性质 3 1 大连理工大学博士学位论文：关于零和序列的