（计算数学专业论文）城环模上grobner基的性质和算法.pdf

文中 东北 献均 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：东北师范大学有权保留 并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学 可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存， 汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位敝储繇蛐枷导教师繇趟 ，jd一一， 日期：出口日期： 13q 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：舷盔致之慨 通讯地址： 邮编： 摘要 本论文通过多项式，单项式序和s 一多项式引出了g r o b n e r 粼x ，并参考了文献【1 ，2 3 ，4 1 3 进一步深入综合阐述了域，环，模上g r o b n e r 基的性质和算法，最后给出了g r o b n e r 基的一些 计算方法和应用问题 关键词：单项式序；g r o b n e r 基；b u c h b e r g e r 算法；强可计算环； i i 目录 中文摘要 英文摘要 目录 引言。 正文 第一章理论基础 第二章域，环，模上g r o b n e r 基 第三章g r o b n e r 基的计算与应用 参考文献 致谢 i i i m ， 2 2 3 怕 篮 船 引言 在本文中，第1 章给出了多项式中领项，领式，领项系数的定义以及四种不同的单项式序， 并且一一举例，并且通过多项式的约化引入了g r o b n e r 基的定义在第2 章中给出了g r o b n e r 基在域上的一般定义，然后又给出环上g r o b n e r 基的定义，引出了强可计算环，极小元，第一 约束模，齐次合冲，s 基，强g r o b n e r 基和极小强g r o b n e r 基等的定义，列举了域，环，模上 g r o b n e r 基的一些性质与证明在第3 章中本文列举了g r o b n e r 基的算法一些应用 1 东北师范大学硕士学位论文 第一章理论基础 1 1 多项式 定义1 1 1 领项领式领项系数 对于一个非零多项式 ，( z ) = a o x 竹+ a l x 钾一1 + + a ， 里a i 是实数a o 不为零，并且扎= d e g ( f ) 我们就叫a o x 钉为领式，记做l t ( f ) = a o x n ：叫a o 为 项系数，记做l c ( f ) = a o ：叫3 - ”为领项，记做l m ( f ) = 扩，并有 l t ( f 1 = l m ( f ) l c ( f ) 例1 1 1 ，= 3 x 4 4 - 2 x 3 - t - 5 j 的领项是l m ( f ) = x 4 领项系数l c ( f ) = 3 ，领式是 l t ( f ) = l m ( f ) l c ( i ) = 3 x 4 定义1 1 2 对于给定的环a 中的三个多项式，g h ，其中g 0 ，我们说，模g 一步约化为 用，sh 表示，当且仅当l t ( g ) 是，中某一非零单项式x 的因子，并且 九= ，一历x 丽9 个约化过程，就是将，中的一个项用严格比它小的和来代替 例1 1 2 ，= z z 2 + z 1 g2x l + x 2 项序为o l x 2 的字典序，那么我们有 ，三h = ，一x l x 2 9 = z 1 一x l z ； 定义1 1 3 令，h ， ，厶是环a 中的多项式，且对i = 1 2 ，k ，0 令f = ( ，s ) 我们说f 模f 约化为h 用，二+ h 当且仅当以下式成立： ，互h 1 垒h 2 一互h 后：h 2 东北师范大学硕士学位论文 其中对j = 1 ，2 七， f fh i ，a 定义1 1 4 设多项式r a f = ( ，8 ) 为环a 中非零多项式的有限集如果r = 0 或者 r 模f 不能约化，即l t l ( y i ) 中的任何一项都不会在r 中出现幂积的因子，则称多项式r 相对 于f 是既约的如果，三+ r 和r 相对f 是既约的，则称r 为，相对f 的剩余多项式或余多 项式，有时也称r 为，的余多项式或，的剩余 1 2 单项式序 推论1 2 1 ( 1 ) 是一个全序，即对任意z a ，护必有矿 扩或者z 口 z 口；( 2 ) ” ”与单 项式乘积相容，当z q z 序，对任意单项式有z n 矿 x t ；( 3 ) ” ”是良序，即每个单项式 集合中必有” ”关系下的最小元素 定义1 2 2 字典序设a = ( n l ，a 竹) 和p = ( 1 3 1 ，阮) ，如果口一p 左边第一个非零项是正 的，我们就写为z o z 。霉z 启或者n k 口 例1 2 2 ( 1 ，2 3 ) ( 0 4 ，5 ) 因为。一p = ( 1 ，一2 ，一2 ) 左边第一个1 o ； ( 1 ，3 4 ) ( 1 ，3 2 ) 因为a p = ( 0 ，0 2 ) 左边第一个非零项2 o ； 定义1 2 3 分次字典序川= ：1q l 蚓= ：1 屁或者川= 蚓并且q z 凹卢我们就记 做q 胁p 例1 2 3 ( 1 ，2 ，3 ) 泐( 2 ，3 ，0 ) 因为l ( 1 ，2 ，3 ) l = 6 i ( 2 ，3 ，o ) l = 5 ； ( 2 ，2 ，3 ) 尬( 2 ，1 ，4 ) 因为i ( 2 ，2 ，3 ) l = 7 = i ( 2 ，1 ，4 ) i = 7 并且( 2 ，2 ，3 ) 妇( 2 ，1 ，4 ) ； 定义1 2 4 分次反字典序= ：lo l i 俐= 扭7 1 , l 屈或者川= 俐并且q p 最右边非 零的项是负的，我们就说o l o r e v l e xp ； 例1 2 4 ( 1 ，2 ，3 ) 孵v l 。z ( 2 ，3 ，0 ) 因为i ( 1 ，2 ，3 ) i = 6 i ( 2 ，3 ，o ) i = 5 ； ( 3 ，2 ，1 ) 眇。l e x ( 2 ，1 ，3 ) 因为i ( 3 ，2 ，1 ) l = i ( 2 ，1 ，3 ) i 并且( 3 ，2 ，1 ) 一( 2 ，1 ，3 ) = ( 1 ，1 ，一2 ) ； 定义1 2 5 加权序归定了单项式中每一个元素的权重，然后再计算出来总权重比较 例1 2 5 规定每个z 的权重为2 , y 的权重为1 ，z 的权重为，伽的权重为1 ，他的权重为1 ，那么单项 式5 ：r 3 y z w 3 t 的权重为警，而单项式4 2 2 可3 z w t 2 的权重为等 定义1 2 6 约化算法设多项式环k 上单项式种类已给出， g = 9 1 ，鲰) ， 3 4 东北师范大学硕士学位论文 定义1 3 2 确定一个单项式序，一个有限生成的g = 9 1 ，鲰) 是理想a 的g r o b n e r 基如 果 = 推论1 3 3 ( 1 ) 设g = g l ，g k 是i 的g r o b n e r 基，属于多项式环，存在r 满足( i ) r 不 能被任何l t ( g i ) 整除；( i i ) 有g i 满足f = g + r ( 2 ) 设g = 9 1 ，g k ) 是i 的g r o b n e r 基，属于多项式环，整除g 当且仅当f ，： ( 3 ) 设f ，g 是非零多项式，( i ) 如果m u l t i d e g ( f ) = 0 1 m u l t i d e g ( g ) = p ，并且，y = ( 1 1 ，) n ) 有 铂= m a x ( a i ，岛) ，我们可以得到= l c m ( l m ( f ) ，三m ( 夕) ) ( 4 ) 设i 是多项式a 中的非零理想，g = 9 l ，g k 是i 中非零理想则以下叙述等价： ( i ) g 是j 的g r o b n e r 基； ( i i ) f i 当且仅当，由g 生成； ( i i i ) 厂i 当且仅当存在危1 使得 知 f = h 肌 i = 1 l m ( f ) = m a x l m ( h i ) l m ( g i ) ，i = 1 一以； ( i v ) l t ( g ) = l t ( n 证明：( i ) 一( i i ) 当f = 0 时显然r = 0 ，成立设f 0 由约化算法f i ，则r = 0 ( i i ) 一( i i i ) 设f 0 ，由约化算法，可得到环a 中 1 h t 和r ，使得 k f = 锄+ r ， t = 1 l m ( f ) = m a x m a x l m ( h i ) l m ( g i ) ，l m r ， 和r 相对g 是既约得所以f j 当且仅当r j 时，或者r = 0 时，于是有 k f = 俄， t = 1 l m ( f ) = m a x l m ( h i ) l m ( g i ) ，i = l t ) ； ( i i i ) _ ( i v ) 一定有l t ( g ) 2l t ( i ) 所以只需证明l t ( g ) | l t ( i ) 就完成由于l t ( i ) = l t ( f ) 这里 f i ，所以只需证明对任何f i ? 有l t ( f ) l t ( g ) 因为f i 当且仅当存在h 1 ，h t 使得 k f = 仇， 5 6 使得 y 4 一x 3 y 4 一x 3 y 3 ，( h g ) 可以表示为 其中 = h k 因此 l t ( f ) = l t ( h ) l t ( f j ) ? 因为对于某个吼存在满足 l t ( h g i ) l l t ( f 、 = 争l t ( g i ) i l t ( f i ) 因此g 是 的g r o b n e r 基当且仅当h g 是 的g r o b n e r 基 推论2 1 3 设i 是环a 中的非零理想，g 是i 中有限个非零多项式的集合令k 是a 中的 扩域，j e 为i 在扩张环k 中生成的理想如果g 是i 的g r o b n e r 基，则g 也是1 8 的g r o b n e r 基 证明：在扩张环k 中，e = ( j ) 设g = 夕1 ，鲰) 是i 中有限个非零多项式的集合对任何 ，r ，存在多项式h 1 ，玩k ，使得 k ，= 纷 t = 1 可以得知，在环k 中 r ：7 g ， 根据g r o b n e r 基定理，g 是扩张理想，。的g r o b n e r 基 7 东北师范大学硕士学位论文 推论2 1 4 域k 上的多项式环a 中每个非零理想都有g r o b n e r 基 证明：设i 是a 中的非零理想，则定有 l t ( i ) = l t ( f ) l f n 。 它是由i 中的首项生成的环a 中的理想因为l t ( i ) 是由集合 l t ( f ) l f ，) ， 中的有限子集生成设 l t ( i ) = l t ( 9 1 ) ，l t ( g k ) 其中g i i 令 g = 9 l ，g k ， 则l t ( i ) = l t ( g ) 根据g r o b n e r 基性质定理，g 是i 的g r o b n e r 基 定义2 1 5g 是环a 中非零有限集，我们称约化关系”二+ ”是合流的，如果多项式f ，g ，h a 和，三+ g 与，三+ h ，则存在多项式r a ，使得h 三+ r 和g g + r 定义2 1 6 环a 中的g r o b n e r 基g = 9 1 ，9 ) a o ) 称为称为极小g r o b n e r 基，如果 有l t ( g i ) = 1 ，并且对任何i j ，1st ，歹k ，都有l t ( g i ) l t ( g j ) 定义2 1 7 环a 中的g r o b n e r 基g = 夕1 ，g k 称为既约g r o b n e r 基，用r g b 来表示， 如果对于所有的i ，1 i t ，l c ( g t ) = 1 ，而且g i 相对g 锄) 是既约的，即对任何砒7 f 中没有任 何l t ( g j ) 除，j i ( 注意：既约g r o b n e r 基是极小g r o b n e r 基，极小g r o b n e r 基不一定是既约 g r o b n e r 基) 定理2 1 8b u c h b e r g e r 在环a 上固定某一单项式序，则环a 中任何一个理想i 相对于此 项序都有唯一的一组既约的g r o b n e r 基 证明：设g = 夕1 ，g k 是理想i 的极小g r o b n e r 基，即对任何i 歹，l t ( g i ) i l t ( g j ) 又有 l t ( g j f ) = l t ( h i ) ，因为日j 因此h 是极小g r o b n e r 基，从而对玩= h x ，一l ，g 1 ，g k 是既约的，可以得出对于h = h i ，h i 一1 ，危件1 ，鲰) 是既约的因此h 是i 的既约g r o b n e r 基再证唯性设g = 9 1 ，g k 和h = h i ，玩) 是i 相对项序的既约g r o b n e r 基则可 知k = t 如果有g i h i ，则g i h i i 中非零多项式因此存在，使得l t ( h j ) i l t ( g j h i ) 由 于l t ( 乃一h i ) l t ( h j ) ，故j i ，l t ( h j ) 可除肼不是首项的某一项或者玩的不是首相的某一 项，但是l t ( g i ) = l t ( h i ) 和g 与h 都是既约g r o b n e r 基，矛盾因此对每个i ，都有仍= h 。即 g = h 8 东北师范大学硕士学位论文 定理2 1 9b u c h b e r g e r 算法设g = 夕1 ，g k ) a o ) 则g 是理想，= 的g r o b n e r 基当且仅当对所有的i j ，1 ：j k 有 s ( 乳9 ) s + 0 证明：设多项式 ，a a 0 且对每一个i 1si s l t ( ) = x 。即 的首幂积完全相 同令f = 任klc j 五，其中c f k 如果l t ( f ) x 则，是s ( 五，乃) 其中i j 且1 ，j k 因 为工t ( ) = x 可以将五表示为 = n f x + 次数低的某些项，其中口f 非零由于f = 警lq 且l p ( f ) 我们说多项式r 为相对f 的 极小元，如果r = 0 或者r 0 但r 模不能约化 j f a 和集合f = ，f k ) a o ) 则存 在f 的极小元r ，使得，三+ n 而且存在多项式h 1 _ ，h k a ，使得 l m ( f ) = m a x m a x l m ( h i ) l m ( f i ) ，1si 七) ，l m ( r ) ) 证明：若，相对f 是极小的，则定理成立，不成立时，则，模f 可约化，有，二，对r ， 做同样讨论，或者r ，是极小的，或者r 1 是可约化的，于是n fr 2 q r 2 继续往下做，如 果此过程在有限步以后停止，则存在多项式r l ，n 使得 f ffff ，_ r l1r 2 一_ r t - 1on ，r l ，r 1 r 2 ，r t - 1 r t ，而且n 相对f 是极小的进而，由约化定义可得 其中如果c i ，t 0 ，则l m ( f ) = 甄 工m ( ) l m ( r 1 ) ， 其中如果c 2 t 0 ，则l m ( r 1 ) = 恐 l m ( 五) l m ( r 2 ) ， 其中如果c t 一1 i 0 ，则l m ( r t 一1 ) = x t 一1 ， 工m ( 纠 l m ( r t ) ，这里翰，j r 置 j a ，1 i t 一1 ，1 j k 于是 f - - 1kk ，= 勺，t 玛l 十r t = + n ， j = li = l i = l 1 0 r+ h 膏脚 i i ， n + x q 七谢 = ，j 2 r + 五2 x 2 c 后嘲 = n n + 一 墨一 e 僦 i i n 东北师范大学硕士学位论文 其中= 葛c j _ f x j ，i 和l m ( f ) m a x m a x l m ( h i ) l m ( f i ) ，1 i 七】l m ( r ) ) 由 t 一1 kk ，= 乏：勺t 置t 五+ n = 乏二办+ r t j = li = 1 z = 1 我们可以得到 l m ( f ) m a x m a x l m ( h i ) l m ( f i ) isf 研丁( r ) ) 因此 l m ( f ) = m a x m a x l m ( h i ) l m ( f i ) 1 i 七) 工m ( r ) ) ， 成立 定义2 2 3 环上的g r o b n e r 基i 是环a 中任一非零理想，有限集合g = g l ，g 七) j o ) j 如果g 满足 ( i ) l t ( g ) = 三丁( n ( i i ) 对任何，a 有，i 当且仅当，三+ o ： ( i i i ) 对任何f i ，存在h 1 ，h f a 使得 k ，= 吼： l = 1 l m ( f ) = m a x l m ( g i ) l m ( f d ，ls is 七) ， 我们称g = g h ，鲰】冬i 0 是i 的一组g r o b n e r 基 定义2 2 4 第一约束模设 夕1 ，g k ) 是r 模有序k 元素组，所有使a l f l + + n = 0 成立的 a l ，口膏) 七r 膏 组成r 。的r 一子模，称为 夕1 ，鲰) 第一约束模，记为s y z ( g l ，g k ) 证明：设 a l ，n 知) 。， 8 1 巩) 七s y z ( g l g k ) c m 贝4a l l l + q - o 七九= 0 ，b l f l + + 6 七厶= 0 ，从而得到( c a l + b 1 ) f l + + ( c a k + b k ) = 0 这表示( c a l + b l ，c a k + b k ) s y z ( g l g k ) ， 即s y z ( 9 1 ，蟊) 是m 七的子模 定义2 2 5 给定k 个单项式c l x l ，c k x k ，其中龟r o ? x a ，1 i 凫，即由它们的合 冲a - 模s y z ( c 1 x 1 ，c k x k ) 设x 是给定的幂积，则我们称h = h i ，h k s y z ( c l x l ，c k x k ) 是齐x 次，如果对于每个单项式h i 0 ，有墨l t ( h i ) = x 引自文献【2 】 定义2 2 6 环a = r x 1 ，z 。) ，b = h 1 h k ) 是a 中非零多项式，并且k22 我们称合 冲a - 模s y z ( l t ( h 1 ) l t ( h 七) ) 的生成元集合b 是s 基，如果b 的每个元都是齐次的，并且 东北师范大学硕士学位论文 有2 个非零分量如果r 为主理想区， ， 为环a 中非零多项式，并且k 1 ，则a 一模 s y z ( l t ( f 1 ) ，l t ( f k ) ) 有s 一基 定义2 2 7 强g r o b n e r 基和极小强g r o b n e r 基令r 是主理想环g = 夕1 ，g 七) r 且 非零，如果对于每个f i ，都有l t ( g i ) l t ( f ) ，则g 是理想i = 夕1 ，鲰 的强g r o b n e r 基；如 果g 是强g r o b n e r 基，而且对i j ，1 t ，j k ，l t ( g t ) l t ( g j ) ，则g 是理想i = 9 l ，g 南) 的极 小强g r o b n e r 基 引自文献【2 】) 2 3 模上的g r o b n e r 基 定义2 3 1 设m 是n 的子模，n 满足单项式序l t ( m ) 表示m 中的所有元素的首项生成的 子模g = g x ，g k 是m 中非零多项式的有限集合，满足 = ， 则g 是m 的g r o b n e r 基； 推论2 3 2 设g = g l ，g k 是r 的理想对某个单项式的g r o b n e r 基，m = s y = ( 9 1 ，g 后) 是i 的第一约束模，则1 1 i ，j k 是m 作为r 模的生成元集 推论2 3 3 设g r m 是对于给定单项式序的g r o b n e r 基，则则s f l l i ，j k 构成的第 一约束模m = s y z ( g l ，g k ) 的g r o b n e r 基，相对于础上的单项式序：当l t ( x n g i ) l t ( x 口g j ) ， 且i j 时，有z 口g i x z g j 证明：i j 时，由s 一多项式定义 工丁( ) 2 面m 丽i d e ，i 歹? 0 1lu t ， 所以l t ( s q ) 2 若勺他也必定大于a i j = a i j l e l + + a i j k e k 的每一项，而。泓是由被g 约化的产物，故有l t ( s i j ) l t ( g i j k e k ) ，有s 一向量定义有三丁( 艺笋裔吼) l t ( s i j ) ，即 岗凹( 。渺n 现设f = ，1 e l + + e k 是第一约束模m = s y z ( 9 1 ，g k ) 的任一元，设l t ( f i e ) = 仇 e l ，m f 是 ，的某项再设l t ( f ) = m e 令 s = m 。e 。其中都满足m u l t ( g u ) = m ，l t ( g v ) 的乱求和于是l t ( s ) 可以被某个l t ( s i j ) 整除 推论2 3 4 设m = ， ，n = 夕1 ，g s ) 是中子模，它们共同生成一个曰m 得子 模m ， g i 渺中的个向量h o = ( h o l ，) r m n n 的充要条件是，在约束模l = s y z ( v o l j ，v o 。， v l ，v k ，v k + 1 ，v k + ) 中存在前m 个分量等于 o 的各个分量 证明：设( h 0 1 ，h 1 ，h 七，h 知+ 1 ，h 七+ t ) l 而且( 1 ，h 咖) = h 0 ，则有 h o l v o l + + 7 如m 珈慨+ h i v l + + h k v k + h k + l v k + 1 4 - ，+ h k + t ) v k + t = 0 i ， 1 2 考虑到( h 0 1 一，) ：故h o m an 同样如果h o mnn ，则h o = ( l ，) k 必可 表示为 和g 的线性组合 九o = h i f l + + h k = h k + l g + + h k + t g t ，如l 铷1 + + ，一h i v l 一一h k v k h k + l v k + l j 。一h k + t20 ， 所以( 1 一m 一h i 一- h k 一h k + l j h k + t ) l 1 3 9 3 = 3 y 2 8 2 3 9 4 = 1 2 0 2 5 9 6 2 7 + 9 2 8 + 6 4 0 x z 3 9 5 = x 2 2 x z + 5 ， 1 4 s i n g u l a r 和 项式环上的 基的相关计 在分次字典序下( 含有 9 2 = 8 2 3 3 y 2 9 3 = 8 x y 2 + 3 y 3 9 4 = 9 f 4 + 4 8 y 3 2 + 3 2 0 y 2 在分次反字典序下( 含有z ，y 名) 的g r o b n e r 基为 9 1 。z 2 2 x z 十5 ， 9 2 = 8 2 3 3 y 2 ， 9 3 = 8 x y 2 + 3 y 3 ， 9 4 = 9 f 4 + 4 8 y 3 z + 3 2 0 y 2 从以上可以看出，字典序下的g r o b n e r 基和分次字典序，分次反字典序不同，但是分次字典序， 分次反字典序却相同 3 3 对于一个被给定的理想1 = ， ) ，算出他的g r o b n e r 基g = 们，g k 我们判断 一个多项式f 是否位于i 上，可通过f 除g 来验证即当严= 0 ，有， 例3 3 j = z + y + 2 ，x y + y z + 。z ，x y z 一1 】l ， 是一个多项式理想，我们可以计算它在分次反字典序情况下的g r o b n e r 基为 g = g l9 2 ，9 3 ) = z + y + 。，y 2 + y z + z 2 ，z 3 1 ) 对于给定的多项式，= z 5 一z 3 他可以表示为 即产= 0 ，所以， 对于另一个多项式 它除g 的余项为 f = 0 9 1 + o g z + z 2 9 3 ， ，f = y 2 1 r = 一y z z 2 1 1 5 一i 铜， 3 5 在不同序之间转化g r o b n e r 基 例3 5 1 j = 3 x 3 + x y y 2 + 1 , 2 y 3 一x y + z ) ， 1 6 壅! 垦i 师董查堂亟堂垡迨塞 _ 一 是一个多项式理想，我们可以计算它在分次反字典序情况下的g r o b n e r 基g 为 9 1 = 2 y 3 一x y + x ， 9 2 = 3 x 3 + x y y 2 + 1 ， 再对g 求在字典序下的g r o b n e r 基为 9 3 ：一1 + 3 y 一2 y 2 2 y 3 + 5 y 4 5 可5 + 2 可6 + 2 4 剪9 ， m ：1 2 可+ 2 6 3 + 2 1 可4 + 2 6 剪5 + 2 4 y 6 + 2 4 可7 + 2 4 可8 + 1 2 x 而直接对i 求在字典序下的g r o b n e r 基为 9 3 ：一1 + 3 y 一2 y 2 2 y 3 + 5 y 4 5 y 5 + 2 y 6 + 2 4 y 9 9 4 ：1 2 y + 2 6 可3 + 2 1 剪4 + 2 6 可5 + 2 4 剪6 + 2 4 可7 + 2 4 可8 + 1 2 x 和间接求的一样，证明所求正确并且我们可以求单变量的g r o b n e r 基为 夕：4 4 x + 3 5 x 3 6 2 2 2 6 x 4 1 5 x 5 + 1 0 2 x 6 3 6 x 7 + 1 0 8 x 9 ， 例3 5 2 j = z 33 x y ，z 2 童，一2 y 2 + z ) ， 是一个多项式理想，我们可以计算它在分次反字典序情况下的g r o b n e r 基g 为 9 1 = y 3 + y x ， 9 2 = y 2 x + z 2 ， =x2y一2y93y2 y 2 + z = 一。+ z - 9 4 = 丁3 3 y x 还可以求i 在字典序下的g r o b n e r 基为 9 5 = 一3 y 3 + y 6 ， 9 6 = y 5 2 y 2 + x 如果我们设a 是 2 2 + 3 z + 3 = 0 ， 1 7 9 3 = 7 2 2 6 9 2 5 1 4 4 2 7 + 1 2 8 0 0 2 1 4 3 7g r o b n e r 基在环形理想( t o r i ci d e a l ) 中的应用 定义3 7 1 设a = 托1 ，a n ) 是多项式环中的理想，其中的每一个向量a i 被固定在确定的 单项式序下，假设存在半群映射 ，：nha f ，u = 乱1 ，u n ) hu l a l + + 珏n a n 1 8 壅些堕蕉本堂亟堂垡迨窒 我们知道，的像是 n a = 6 l a l + + b a n b l ，b ”) ，有一个半群代数映射，的核记为a ? 即是a 的环形理想- 定义3 7 2 环形理想基( t o r i c l d e a i b a s i s ) 是指整数矩阵下环形理想的既约g r o b n e r 基 ( 开始a 必须为整数矩阵) 3 7 3 环形理想基的计算对于矩阵 a 2 11 12 10 o1 0 o 0 0 11 34 0 0 0 o 1o o1 0 0 00 10 01 0 o 0 0 0o 0 0 0 0 0 0 1 0 01 和 u = u 1 ? 蛳) 我们可以在字典序下计算a 的环形理想基为 n g x2u 2 u 4 u 一u 3 一u 6 u 8 9 22 一u 2 t 正3 t 正5 钆8 + u l u 4 u 6 t t 7 ， 9 32u l u 3 t t 6 一 a 2 一u 5 7 2 7 o9 9 4 = t 上1 u i u ；一孔i u 5 谴，= t 上1 u i u i 一孔i u 5 蚝 9 5 = u 1 2 u 4 u 3 一札2 3 u 5 2 札8 1 9 东北师范大学硕士学位论文 参考文献 【1 】w w a d a m sa n dp l o u s t a u n a u a ni n t r o d u c t i o nt og r o b n e rb a s e s a m s ， 1 9 9 4 【2 】刘木兰g r o b n e r 基理论及其应用科学出版社，2 0 0 0 【3 】j a p e l ar e l a t i o n s h i pb e t w e e ng r o b n e rb a s e so fi d e a l sa n dv e c t o rm o d u l e so f g - a l g e b r a s c o n t e m p m a t 1 9 9 2 【4 】b b u c h b e r g e r g r o b n e rb a s e s ：a na l g o r i t h m i cm e t h o di np o l y n o m i a li d e a lt h e o r y nm u l t i d i m e n s i o n a ls y s t e m st h e o r y , 1 9 8 5 ：1 8 4 2 3 2 【5 】j f a u g e r e an e we f f