（计算数学专业论文）几类广义变分不等式解的不动点算法.pdf

4 1 q o t “i t h7 1 1 8o ff i x e dp o i n t s f o rs o l u t i o n so fs o m ek i n d so ig e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s 摘要 本p h d 论文应用逼近不动点迭代方法，分别在h i l b e r t 空问、b a n a c h 空问框架下，通 过研究相应构造格式的收敛性，逼近求出算子方程的不动点，即得到了几类变分不等式的 解的存在性和求法在具体迭代过程中，结合了b a n a c h 空间几何学理论、临界点理论、变 分原理、b a n a c h 空间中非线性逼近理论、不动点理论等现代分析的理论与方法，应用度 量投影、广义投影、预解算子方程等工具和手段，研究了几类变分不等式( 变分包含) 解 的m a n n i s h i k a w a 迭代法、h y b r i d 方法、h a l p e r n 迭代法、逐次逼近法及其新变型迭代格 式的收敛性。其结果创新、改进、推广了许多作者近年来的相应结果。具体内容如下： 1 第三章，首先在h i l b e r t 空间中应用度量投影算子，研究了迭代逼近非扩张映像不动 点集和逆强单调映像变分不等式解集的公共元素的方法；考虑了保证强收敛性的条件，以 及相应于非扩张算子s ，度量投影算子和强迫集q 的逼近扰动的稳定性：证明了迭代序 列 z n ) 强收敛到上述的不动点集和变分不等式解集的公共元素。其次，我们把h i l b e r t 空 问中的部分结果推广到一致凸和一致光滑的b a n a c h 空间中，同样应用度量投影算子，通 过构造一个新的迭代序列 z 。) ，得到了一个关于非扩张映像的迭代逼近强收敛定理。 2 第四章，第一个主要结果是应用b a n c h 空间中的广义投影算子、半闭原理和数学 规划中的h y b r i d 方法，建立了渐近伪压缩映像变分不等式的强收敛定理。第二个结果是 在b a n c h 空问中，研究了一组相关的有限族非扩张映像公共不动点的迭代格式的强收敛 性，其方法仍然足应用崭新的广义投影算子和数学规划中的h y b r i d 方法。第三个结果是 在b a n c h 空问b 中，应用广义投影算子和变形的逐次逼近法、变形的m a n n 迭代法，研 究了称之为渐近弱压缩映像的非自映像t ：gcb 一召的迭代过程的强收敛性。 3 第五章，首先我们在h i l b e r t 空间应用三类新的算法，建立了一组无限l i p s c h i t z 伪 压缩映像族变分不等式的强收敛定理。其次，我们在b a n a c h 空间中应用预解算子方程， 研究了无限族广义集值拟变分包含的解的存在性和逼近问题。 关键词：变分不等式；变分包含；迭代算法：黏性逼近；强收敛性：不动点，度量投影算 子：广义投影算子；预解算子：非扩张映像；渐近弱压缩映像：l i p s c h i t z 伪压缩映像 ab s t r a c t i n t h j 8p h d t h e s i s ，i ti si n v e s t i g a t e dt h a tt h ea l g o r i t h m so fi t e r a t i v ea p p r o x i m a t e 政e d p 0 i n t sf o rs o l u t i o n so fs o m ek i n d so fg e n e r a l i z e dv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e si nh i l b e r ts p a c e s a n db a n a c hs p a c e s ，r e s p e c t i v e l y i nt h er e a li t e r a t i v ea p p r o x i m a t e p r o c e s s ，t h ee x i s t e n c ea n d a p p r o x i m a t l o np r o b l e m so fs o l u t i o n sf o rs o m ek i n d so fv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s a r es t u d i e d b yu s j n gm a n n - i s h i k a w am e t h o d ，h a l p e r nm e t h o d ，h y b r i dm e t h o d ，s u c c e s s i v ea p p r o x i m a t i o n m e t h o d , a n dt h e i rn e wm o d i f i e dm e t h o d s ，w h i c ha l er e l a t i n gt ot h em o d e r na n a l y s i st h e o r i e s o fb a n a c hg e o m e t r y , c r i t i c a lp o i n tt h e o r y , v a r i a t i o n a lm e t h o d s ，n o n l i n e a r a p p r o 嫡m a t e i h e o 巧i nb a n a c hs p a c e s ，a n df i x e dp o i n tt h e o r ya n dc o m b i n i n gt h et o o l s 0 fm e t r i cp r o j e c t i v e o p e r a t o r g e n e r a l i z e dp r o j e c t i v eo p e r a t o r ，r e s o l v e n to p e r a t o re q u a t i o n 毗c t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sa r ei nt h ef o l l o w i n g ： 1 i nc h a p t e r3 ，f i r s t l y , w el l s et h em e t r i cp r o j e c t i v e o p e r a t o rt os t u d yi t e r a t i v ea p p r o x - 1 m a t l o n sf o rf i n d l n gac o m m o ne l e m e n to ft h ef i x e dp o i n t so fa n o n e x p a n s i v em a p p i n g 卸d t h e8 e to f 蚓u t i o n so fav a r i a t i o n a l i n e q u a l i t yf o ra ni n v e r s e - s t r o n g l ym o n o t o n em a p p i n g s l nh i l b e r ts p a c e - t h ec o n d i t i o n sw h i c hg u a r a n t e es t r o n g c o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t yo ft h e s e a 】印嗽1 m a t l o n sw i t hr e s p e c tt op e r t u r b a t i o n so f n o n - e x p a n s i v eo p e r a t o rs ，m e t r i cp r o j e c t i o n o p e r a t o r a n dc o n s t r a i n ts e tqa r ec o n s i d e r e d w es h o wt h a tt h ei t e r a t i v es e q u e n c e k c o n v e r g e ss t r o n g l yt oac o m m o ne l e m e n to ft h et w os e t so ft h ef i x e dp o i n t sa n dt h es o l u t i o n s s e c o n d l y ，w eo b t a i nan e ws t r o n gc o n v e r g e n c et h e o r e mo fan e wi t e r a t i v es e q u e n c e 0 s u c ht h a t ， d ( t x ，t y ) l d ( x ，剪) ，v 2 ，q ( 2 1 3 ) 1 4 - 4 幻( j n 勘n 3q ，f z z e dp o i n t s 厂口rf i o l u t i o n s 盯s o ，耽k i n d s g e n ( rr a h z e dv a r i a t i o n a ll n e q a a l i t i e s t h es m a l l e s tlf o rw h i c h ( 2 1 3 ) h o l d si ss a i dt ob et h el i p s c h i t zc o n s t a n tf o rt h em a p p i n gt a m a p p i n gt ：x _ x i ss a i dt ob ec o n t r a c t i v ei ft h el i p s c h i t zc o n s t a n tl 0s u c ht h a t h o l d s t h ef u n c t i o n p e ( t ) = s u p z + u l i + i i x y 一 2 z + u l l + i i x y 2 1 e l l y l i 1 ：i = 1 i l y l l = t ) ， i sc a l l e dt h em o d u l u so ft h es m o o t h n e s so ft h es p a c ee 2 2f u n d a m e n t a lt h e o r y t h e o r e m2 2 1 ( 【6 】) l e tjb et h en o r m a l i z e dd u a l i t ym a p p i n g t h e n ： ( 1 ) b yh a h n b a n a c ht h e o r e m ，f o ra n yz e ，a ( x ) i sn o n e m p t y i e ：j d ( j ) = x ( 2 ) ji sa no d dm a p p i n g ，i e ，( 一z ) = 一j ( z ) ( 3 ) 歹i sp o s i t i v eh o m o g e n e o u s ，i e ，f o ra n ya 0 ，j ( a x ) = 口歹( 。) ( 4 ) ji sb o u n d e d ，i 。e f o ra n yb o u n d e da e ，s ( a ) i sab o u n d e ds u b s e to fe 1 6 ( 2 1 9 ) 4 1 9 0 r i t h m so sf i x e dp o i n t s ? f o rs o l u t i o n so ls o m ek i a d s0 1g e n tr a l z z e dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s 5 6 7 ji sa ni d e n t i t ym a p p i n gi fa n do n l yi fei sah i l b e r ts p a c e i fe i ss t r i c t l yc o n v e x t h e nji ss i n g l e v a l u e d ei ss m o o t h 兮ji ss i n g l ev a l u e d ji ss t r o n g - w e a k c o n t i n u o u s ( 8 ) ji ss i n g l e v a l u e da n dn o r mt on o r mu n i f o r m l yc o n t i n u o u so na n y e ei sau n i f o r m l ys m o o t hb a n a c hs p a c e 铮l i m 。ot - 1 p e ( t ) = 0 兮 s m o o t h b o u n d e ds u b s e to f ei sr e f l e x i v ea n d ( 9 ) i fe i sr e f l e x i v e ，t h e nji sam a p p i n go feo n t oe ，a n dei ss t r i c t l yc o n v e x 兮e i s s m o o t h ei ss m o o t h 兮e i ss t r i c t l yc o n v e x t h e o r e m2 2 2 ( b a n a c hc o n t r a c t i o np r i n c i p l e ) i f ( x ，d ) b eac o m p l e t em e t r i c s p a c e ，a n dt ：x _ xb eac o n t r a c t i v eo p e r a t o r ，t h e nt h e r ee x i s t sau n i q u ef i x e dp o i n tf o r t ，i e ， j ! 虿x ，虿= 丁( 虿) t h e o r e m2 2 3 ( 【6 0 】) t h ep o i n t 虿= r zi st h em e t r i cp r o j e c t i o no fz eo nqce i fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi ss a t i s f i e d ： ( j ( x 一虿) ，虿一f ) 0 ，v 专q( 2 2 1 ) a n dt h eo p e r a t o r 忍i sn o n e x p a n s i v ei nh i l b e r ts p a c e s t h e o r e m2 2 4 ( 【1 6 】) t h ep o i n t 拿= h n xi st h eg e n e r a l i z e dp r o j e c t i o no fz e0 1 1 qcei fa n do n l yi ft h ef o l l o w i n gv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yi ss a t i s f i e d ： ( j z j 窑，岔一) 0 ，比q ( 2 2 2 ) t h e o r e m2 2 5 ( 1 1 1 ) l e teb ear e f l e x i v eb a n a c hs p a c e ，qab o u n d e dc l o s e dc o n v e x s u b s e to fe t ：q e am o n o t o n es e m i c o n t i n u o u sm a p p i n g t h e nt h es e to fs o l u t i o n s y ，( q ，t ) o ft h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( 2 1 2 ) i sn o te m p t y , b e s i d e si ti sc o n v e x l e m m a2 2 1 ( 6 】) l e teb ear e a lb a n a c hs p a c ea n dj ：e 一2 e b et h en o r m a l i z e d d u a l i t ym a p p i n g t h e nf o ra n yg i v e nx ，y x ，t h ef o l l o w i n gi n e q u a l i t yh o l d s ， z + u l l 2 i i x l l 2 + 2 ( y ，j ( x + y ) ) ， z + y i l 2 i i x l l 2 + 2 ( 耖，j ( x ) ) ， 1 7 ( 2 2 3 ) a l g o r i t h m so f i x e dp o i n t ss 9 v 。l u l i o n so ls o m ek i n d s0 1 ( ；e n e , u l i z e dv a , a t i o n a li n e q u a l i t i e s f o ra l lj ( z + y ) j ( x + y ) ，j ( x ) ，( z ) l e m m a2 2 2 ( n a d l e r st h e o r e m ( 9 5 ) ) l e teb eac o m p l e t em e t r i cs p a c e ，t ：e _ c b ( e ) b e as e t v a l u e dm a p p i n g t h e nf o ra n yg i v e ne 0a n da n yg i v e nz ，y e ，u t ( z ) ： t h e r ee x i s t s t ( y 1s u c ht h a t d ( u ，u ) ( 1 + e ) 日( t ( z ) ，丁( ) ) ，( 2 2 4 ) w h e r ec b ( e ) i st h ef a m i l yo fa l ln o n e m p t yc l o s e da n db o u n d e ds u b s e t so fe ，d ( ，) i st h e m e t r i co ne a n d 日( ，- ) i st h eh a u s d o r f fm e t r i co nc b ( x ) l e m m a2 2 3 ( 【1 8 】) l e t z 。) a n d 蜘) b eb o u n d e ds e q u e n c e si nab a n a c hs p a c eea n d l e t 威) b eas e q u e n c ei n 0 ，1 】w i t h0 l i m i n f 。o 。风l i ms u p n 。风 0f u n c t i o n sg ( t ) a n d ( ( t ) s u c ht h a t g ( o ) 三0 ，e ( o ) = 0a n di fz q l ，y g ，j l z y l l 至，t h e n & z 一岛u l i g ( m a x i i x l l ，l i i i 】) e ( 口) t h e o r e m3 1 1l e tl b eac o n v e xc l o s e ds u b s e to f ar e a lh i l b e r ts p a c e a n dl e tsb ea n o n e x p a n s i v em a p p i n go fq i n t oi t s e l f t h ec o n d i t i o n sp ( 1 ) 一p ( 2 ) o ft h i ss e c t i o na r ef u l f i l l e d l e t 丁：hh b ea na - i n v e r s e - s t r o n g l ym o n o t o n em a p p i n gs u c ht h a tf ( s ) n v ( q ，t ) 谚， s u p p o s ex 0 = “qa n d z n i sg i v e nb y x n + l = a n u + 风z “+ 饥& 十1 p n 。+ l ( z 7 l a n 死。) ， w h e r e q n ， 熊 a r et h r e es e q u e n c e si n 【0 ，1 】，s a t i s 匆i n gq n + 凤+ = 1a n d a 。) i sa s e q u e n c ei n 0 ，2 q 】i f q 。) 风) ， ) a n d 入n a r ec h o s e ns ot h a t ( 1 ) k 【a ，6 1 ，0 o b 2 a ， ( 2 ) l i m 。口n = 0 ，罂1 q 。= 。， ( 3 ) 0 t i m i n 厶o o 风l i ms u p 。风 1 ， ( 4 ) l i m , t 一( a n + 1 一a n ) = 0 ，t h e n z n ) c o n v e r g e ss t r o n g l yt of r ( s ) o w ( u ，r ) u ，i e t h es o l u t i o n o ft h ev a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ： ( t 。一面，面一f ) 0 ，比f ( s ) ni 厂7 ( q ，r ) p r o o f p u t ! f 。= 尸k + 1 ( z n 一久。t x n ) ，a n dl e t 霉+ f ( s ) f - 1v r ( n ，丁) s i n c ei 一入。ti s n o n - e x p a n s i v ea n dz 。= 尸h ( o 一入n t x ) ，w eh a v e | i 蜘一。0 = i i 忍。+ 。( z n a n t x n ) 一r ( z + 一a n 丁z ) | i sj f 忍1 。+ 。( 霉n a n ? n ) 一只k + 。( z 一天n t x ) | f + l l 。+ ，( 茁一a n r z ) 一r ( z 一入n 7 k 4 ) i l sl l z n a 。7 。一( z + 一a t x ) l | + g 、云i 嘉i i i ? n z + 0 + c 、丽 n o ww ee s t i m a t e i l s n + l ! n z l l ，o w nt o 何( q n + 1 ，q )so n + 1 ，t h e r ee x i s t st k 十1 q n + l ，s u c ht h a ti i v n + 1 一茁+ i i q n + 1 ，t h u s 4 l g o v i t h m so | f i x e dp o i n t sf o js o l u t i o t f so fs o m ek i n d so lg e nc r a h z e di ， z r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s l i s _ + a y n 一矿i | = i i & + l y 一s x l i l i 最+ a y 一晶+ i v 。+ 1 1 i + i i s + 1 u n + 1 一s x l l | l ! ，n t h + 1 1 i + g ( m a x l l v n + 1 i i ，i i z + i | ) ) ( ( 盯n + 1 ) si l 一z + 0 + l i v n 十1 一z 4 i i + g ( m a x l l v 。+ 1 | i ，i l z + i l ) ( ( + 1 ) i l y 一z + | | + o r n + 1 + g ( m 衄( 1 l v n + 1 1 t ，l i x + i i ) ) ( + 1 ) ， t h e n ，w eh a v e i i x n + 1 一z + l l = l i 口n u + 风z n + & + l y n z i | sq 。i i u z + i l + 风| i z 。一z + i l + 7 n i | & + l y n z + i f q 。i l u z + l i + 风i l z n z i | + 【l i 跏一z 0 + f i n + 1 + g ( m a x l l v + 1 1 1 ，i i x + i i ) ( ( 仃n + 1 ) ) q n i l u z l l + ( 1 一o t 。) l l x n _ z l i + 一y 。 c 、丽+ 十1 + g ( m a x l l , , + 10 ，0 z + | f ) ) ( ( + 1 ) 】 ，n n z i i 仳一z + l i ，i l z o z + i i ) + c 瓜- t - + 1 + g ( m a x l l v + 1 i x + ) ) ( ( + 1 ) ) l l u z 0 + c 丽+ o r n + 1 + g ( m a x l l v n + 1 1 1 ，i i 丁+ l i 】) ( + - ) ， b e c a u s eo r n 叶0 ，、瓦_ 0 ，( ( 靠) _ 0a u sn _ 0 0 ，w ek n o wt h a t z n 】i sb o u n d e d h e n c e y 。 ，【晶+ l 鼽) ， t x 。，a r ea l s ob o u n d e d o nt h eo t h e rh a n d i i 鼽件1 一协，i i = 0 。+ 2 ( z n + 1 一a n + i t x 。+ 1 ) 一尸k + 1 ( x 。一a 。t x 。) 0 i i f 。+ 2 ( z n + 1 一a 。+ i t x n 十1 ) 一。+ 2 ( z 。一a 。7 1 z 。) 0 + l i p ( 一h t z n ) 一凫州( z n k 丁z n ) 1 1