沪科版九年级数学上册 第21章 二次函数与反比例函数 单元测试.doc

第21章二次函数与反比例函数单元测试一.单选题（共10题；共30分）1.如图为坐标平面上二次函数y=ax2+bx+c的图形，且此图形通（1 , 1）、（2 ,1）两点下列关于此二次函数的叙述，何者正确？( )A.y的最大值小于0B.当x0时，y的值大于1C.当x1时，y的值大于1D.当x3时，y的值小于02.抛物线y=(x-1)2+3的对称轴是（） A.直线x=1B.直线x=3C.直线x=-1D.直线x=-33.将抛物线的图象先向右平移2个单位，再向下平移3个单位，所得图象的函数解析式为，则的值为( ) A.B.C.D.4.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c与轴交于A、B两点，顶点C的纵坐标为2，现将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线y=a1x2+b1x+c1 ， 则下列结论：b0；ab+c0；阴影部分的面积为4；若c=1，则b2=4a正确的是（）A.B.C.D.5.在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为“梦之点”，例如点（1，1），（0，0），（,），都是“梦之点”，显然，这样的“梦之点”有无数个，应用：若点P（2，m）是反比例函数y=（n为常数，n0）的图象上的“梦之点”，则这个反比例函数的解析式是（） A.y=B.y=C.y=D.y=6.二次函数y=ax2+bx+c（a0）的部分图象如图所示，图象过点（1，0），对称轴为直线x=2，系列结论：（1）4a+b=0；（2）4a+c2b；（3）5a+3c0；（4）若点A（2，y1），点B（ ，y2），点C（ ，y2）在该函数图象上，则y1y3y2；（5）若m2，则m（am+b）2（2a+b），其中正确的结论有（ ） A.2个B.3个C.4个D.5个7.已知二次函数y=ax2+bx+c的x、y的部分对应值如下表： x10123y51111则该二次函数图象的对称轴为（ ） A.y轴B.直线x= C.直线x=2D.直线x= 8.如图，正方形OABC的面积是4，点B在反比例函数y= （x0）的图象上则反比例函数的解析式是（ ） A.y= B.y= C.y= D.y= 9.若抛物线y=x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a1b，则有（ ） A.p+q1B.p+q=1C.p+q1D.pq010.如图，双曲线y= 经过抛物线y=ax2+bx（a0）的顶点（1，m）（m0），则下列结论中，正确的是（ ） A.a+b=kB.2a+b=0C.bk0D.ka0二.填空题（共8题；共24分）11.已知下列函数 y=y=-y=+2,其中,图象通过平移可以得到函数y=+2x-3的图像的有_ （填写所有正确选项的序号） 12.如图，已知函数y=3x与y=ax2+bx（a0，b0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，则关于x的方程ax2+bx+3x=0的解是_13.（2016兰州）二次函数y=x2+4x3的最小值是_ 14.如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过两点（1，0）和（0，1），则化简代数式 (a+1a)24 + (a+1a)2+4 =_ 15.如果抛物线y=（m1）x2的开口向上，那么m的取值范围是_ 16.（2011遵义）如图，已知双曲线 y1=1x(x0) ， y2=4x(x0) ，点P为双曲线 y2=4x 上的一点，且PAx轴于点A，PBy轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线 y1=1x 于D、C两点，则PCD的面积为_ 17.（2017枣庄）如图，反比例函数y= 的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为_ 18.如图，矩形ABCD的边AB与y轴平行，顶点A的坐标为（1，2），点B与点D在反比例函数y= （x0）的图象上，则点C的坐标为_ 三.解答题（共6题；共31分）19.天猫商城旗舰店销售一种进价为每件20元的护眼台灯销售过程中发现，每月销售量y（件）与销售单价x（元）之间的关系可近似的看作一次函数：，在销售过程中销售单价不低于成本价，而每件的利润不高于成本价的60%（1）设该旗舰店每月获得利润为w（元），求每月获得利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并确定自变量x的取值范围（2）当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？每月的最大利润是多少？（3）如果旗舰店想要每月获得的利润不低于2000元，那么每月的成本最少需要元？（成本进价销售量） 20.如图，在平面直角坐标系xOy中，AB在x轴上，以AB为直径的半O与y轴正半轴交于点C，连接BC，ACCD是半O的切线，ADCD于点D（1）求证：CAD =CAB；（2）已知抛物线过A、B、C三点，AB=10，tanCAD= 求抛物线的解析式； 判断抛物线的顶点E是否在直线CD上，并说明理由； 在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形若存在，直接写出点P的坐标(不写求解过程)；若不存在，请说明理由 21.如图(1)，直线y=3x+23与x轴交于点A、与y轴交于点D，以AD为腰，以x轴为底作等腰梯形ABCD(ABCD)，且等腰梯形的面积是83，抛物线经过等腰梯形的四个顶点.图(1)(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图（2）若点P为BC上的个动点（与B、C不重合），以P为圆心，BP长为半径作圆，与轴的另一个交点为E，作EFAD，垂足为F，请判断EF与P的位置关系，并给以证明；图（2）(3) 在（2）的条件下，是否存在点P，使P与y轴相切，如果存在，请求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由. 22.一个二次函数y=（k1） +2x1（1）求k值（2）求当x=0.5时y的值？ 23.如图，有一座抛物线型拱桥，桥下面在正常水位AB时宽20米，水位上升3米就达到警戒线CD，这时水面宽度为10米若洪水到来时，水位以每小时0.2米的速度上升从警戒线开始，再持续多少小时才能到拱桥顶？（平面直角坐标系是以桥顶点为点O的） 24.（2017宁波）如图，正比例函数 的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点，点C在x轴负半轴上，ACAO，ACO的面积为12(1)求k的值； (2)根据图象，当 时，写出自变量 的取值范围 四.综合题（共1题；共15分）25.（2014崇左）在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象与x轴、y轴分别相交于A（3，0），B（0，3）两点，二次函数y=x2+mx+n的图象经过点A(1)求一次函数y=kx+b的解析式； (2)若二次函数y=x2+mx+n图象的顶点在直线AB上，求m，n的值； (3)当3x0时，二次函数y=x2+mx+n的最小值为4，求m，n的值 答案解析 一.单选题1.【答案】D 【考点】二次函数的图象，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【分析】根据图象的对称轴的位置在点（-1，1)的左边、开口方向、直接回答【解答】A、由图象知，点（-1，1)在图象的对称轴的右边，所以y的最大值大于0；故本选项错误；B、由图象知，当x=0时，y的值就是函数图象与y轴的交点，而图象与y的交点在（-1，1)点的右边，故y1；故本选项错误；C、对称轴在（-1，1)的左边，在对称轴的右边y随x的增大而减小，x-1，则对应的函数值一定小于1，故本选项错误D、当x=3时，函数图象上的点在点（2，-1)的右边，所以y的值小于0；故本选项正确；故选D2.【答案】A 【考点】二次函数的性质 【解析】【分析】易知抛物线y=(x-1)2+3为函数顶点式，则h=1.故选A.【点评】本题难度较低，主要考查学生对顶点式知识点的掌握。 3.【答案】B 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【分析】将抛物线的图象先向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得函数解析式为，整理得，所以b=2，c=0，故选B 4.【答案】D 【考点】二次函数的应用 【解析】【解答】解：抛物线开口向上，a0，又对称轴为x=0，b0，结论不正确；x=1时，y0，ab+c0，结论不正确；抛物线向右平移了2个单位，平行四边形的底是2，函数y=ax2+bx+c的最小值是y=2，平行四边形的高是2，阴影部分的面积是：22=4，结论正确；， c=1，b2=4a，结论正确综上，结论正确的是：故选D【分析】此题主要考查了二次函数的图象与几何变换，二次函数的图象与系数的关系，熟练掌握平移的规律和二次函数的性质，解答此类问题的关键 5.【答案】D 【考点】待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：（1）点P（2，m）是“梦之点”，m=2，点P（2，2）在反比例函数y=（n为常数，n0）的图象上，n=22=4，反比例函数的解析式为y=；故选D【分析】先由“梦之点”的定义得出m=2，再将点P坐标代入y=， 运用待定系数法即可求出反比例函数的解析式 6.【答案】A 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】解：抛物线的对称轴为x= =2， b=4a，即4a+b=0，故（1）正确；由图象知，当x=2时，y=4a2b+c0，4a+c2b，故（2）错误；图象过点（1，0），ab+c=0，即c=a+b=a4a=5a，5a+3c=5a15a=10a，抛物线的开口向下，a0，则5a+3c=10a0，故（3）正确；由图象知抛物线的开口向下，对称轴为x=2，离对称轴水平距离越远，函数值越小，y1y2y3 ， 故（4）错误；当x=2时函数取得最大值，且m2，am2+bm+c4a+2b+c，即m（am+b）2（2a+b），故（5）错误；故选：A【分析】根据对称轴可判断（1）；根据当x=2时y0可判断（2）；由图象过点（1，0）知ab+c=0，即c=a+b=a4a=5a，从而得5a+3c=5a15a=10a，再结合开口方向可判断（3）；根据二次函数的增减性可判断（4）；根据函数的最值可判断（5） 7.【答案】D 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：x=1和2时的函数值都是1， 对称轴为直线x= = 故选：D【分析】由于x=1、2时的函数值相等，然后根据二次函数的对称性列式计算即可得解 8.【答案】A 【考点】反比例函数系数k的几何意义，待定系数法求反比例函数解析式 【解析】【解答】解：根据题意得正方形OABC的面积=|k|=4， 而k0，所以k=4，反比例函数的解析式是y= ，故选A【分析】根据反比例函数y= （k0）系数k的几何意义和正方形的面积公式得到|k|=4，然后去绝对值得到满足条件k的值 9.【答案】C 【考点】抛物线与x轴的交点 【解析】【解答】解：抛物线y=x2+px+q中二次项系数为10， 抛物线开口向下抛物线y=x2+px+q与x轴交于A（a，0），B（b，0）两点，且a1b，当x=1时，y=1+p+q0，p+q1故选C【分析】由10即可得出抛物线开口向下，再根据抛物线与x轴的两交点横坐标分别在1的两侧即可得出当x=1时，y=1+p+q0，移项后即可得出p+q1 10.【答案】C 【考点】二次函数图象与系数的关系 【解析】【解答】解：A、错误（1，m）在y= 上， k=m，根据对称性，（1，m）在y= 上，不在抛物线的图象上，x=1时，y=a+bm，即a+bk故错误B、错误抛物线对称轴x=1， =1，b=2a，2ab=0，故错误C、正确m= ，m= ，b=2m=2k，b0，k0，bK0，故正确D、错误b=2a，b=2k，a=k，故错误故选C【分析】灵活应用图象信息，顶点坐标公式一一判断即可 二.填空题11.【答案】 【考点】二次函数图象与几何变换 【解析】【解答】原式可化为：y=（x+1）24,由函数图象平移的法则可知,将函数y=x2的图象先向左平移1个单位,再向下平移4个单位即可得到函数y=（x+1）24,的图象,故正确；函数y=（x+1）24的图象开口向上,函数y=x2；的图象开口向下,故不能通过平移得到,故错误；将y=（x1）2+2的图象向左平移2个单位,再向下平移6个单位即可得到函数y=（x+1）24的图象,故正确故答案是【分析】二次函数图象. 12.【答案】x=3 【考点】二次函数的图象 【解析】【解答】解：点P在函数y=3x上，点P的纵坐标为1，1=-3x ， 解得x=3，函数y=3x与y=ax2+bx（a0，b0）的图象交于点P的坐标为（3，1），解得x=3故答案为：x=3【分析】根据已知函数y=3x与y=ax2+bx（a0，b0）的图象交于点P，点P的纵坐标为1，可以求得点P的坐标，将y=3x与y=ax2+bx联立方程组，变形可得ax2+bx+3x=0，从而可知ax2+bx+3x=0的解就是函数y=3x与y=ax2+bx（a0，b0）的图象交点得横坐标，本题得以解决 13.【答案】-7 【考点】二次函数的最值 【解析】【解答】解：y=x2+4x3=（x+2）27，a=10，x=2时，y有最小值=7故答案为7【分析】利用配方法把二次函数写成顶点式即可解决问题本题考查二次函数的最值，记住aO函数有最小值，aO函数有最大值，学会利用配方法确定函数最值问题，属于中考常考题型 14.【答案】2a 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：y=ax2+bx+c的图象经过两点（1，0）和（0，1）， ，整理可得a=b+1，对称轴在y轴的右侧，抛物线开口向上， b2a 0，且a0，b0，0a1，a 1a ， (a+1a)24 + (a+1a)2+4 = + = 1a a+a+ 1a = 2a ，故答案为： 2a 【分析】把已知点的坐标代入可求得a=b+1，再由对称轴在y轴的右侧可求得b0，则可求得0a1，则可比较a和 1a 的大小关系，化简可求得答案 15.【答案】m1 【考点】二次函数的性质 【解析】【解答】解：因为抛物线y=（m1）x2的开口向上， 所以m10，即m1，故m的取值范围是m1【分析】根据二次函数的性质可知，当抛物线开口向上时，二次项系数m10 16.【答案】98 【考点】反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解：作CEAO于E，DFCE于F， 双曲线 y1=1x(x0) ， y2=4x(x0) ，且PAx轴于点A，PBy轴于点B，PA、PB分别依次交双曲线 y1=1x 于D、C两点，矩形BCEO的面积为：xy=1，BCBO=1，BPBO=4，BC= 14 BP，AOAD=1，AOAP=4，AD= 14 AP，PAPB=4， 34 PB 34 PA= 916 PAPB=CPDP= 916 4= 94 ，PCD的面积为： 98 故答案为： 98 【分析】根据BCBO=1，BPBO=4，得出BC= 14 BP，再利用AOAD=1，AOAP=4，得出AD= 14 AP，进而求出 34 PB 34 PA=CPDP= 94 ，即可得出答案 17.【答案】4 【考点】反比例函数系数k的几何意义 【解析】【解答】解： 设D（x，y），反比例函数y= 的图象经过点D，xy=2，D为AB的中点，B（x，2y），OA=x，OC=2y，S矩形OABC=OAOC=x2y=2xy=22=4，故答案为：4【分析】可设D点坐标为（x，y），则可表示出B点坐标，从而可表示出矩形OABC的面积，利用xy=2可求得答案 18.【答案】（3，6） 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征 【解析】【解答】解：四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（1，2）， 设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），点B与点D在反比例函数y= （x0）的图象上，y=6，x=3，点C的坐标为（3，6）故答案为：（3，6）【分析】设B、D两点的坐标分别为（1，y）、（x，2），再根据点B与点D在反比例函数y= （x0）的图象上求出xy的值，进而可得出C的坐标 三.解答题19.【答案】解：（1）由题意，得：w=（x-20）y=（x-20）（-10x+500）=-10x2+700x-10000，即w=-10x2+700x-10000（20x32）.（2）对于函数w=-10x2+700x-10000的图象的对称轴是直线x=-7002-10=35又a=-100，抛物线开口向下当20x32时，W随着X的增大而增大.当x=32时，W=2160.答：当销售单价定为32元时，每月可获得最大利润，最大利润是2160元（3）取W=2000得，-10x2+700x-10000=2000解这个方程得：x1=30，x2=40a=-100，抛物线开口向下当30x40时，w2000.20x32,当30x32时，w2000设每月的成本为P（元），由题意，得：P=20（-10x+500）=-200x+10000,k=-2000，P随x的增大而减小当x=32时，P的值最小，P最小值=3600答：想要每月获得的利润不低于2000元，小明每月的成本最少为3600元 【考点】根据实际问题列二次函数关系式 【解析】【分析】（1）由题意得，每月销售量与销售单价之间的关系可近似看作一次函数，利润=（定价-进价）销售量，从而列出关系式；（2）首先确定二次函数的对称轴，然后根据其增减性确定最大利润即可；（3）根据抛物线的性质和图象，求出每月的成本 20.【答案】（1）证明：连接OC，CD是O的切线，OCCD，ADCD，OCAD，OCA=CAD，OA=OC，CAB=OCA，CAD=CAB；（2）解：AB是O的直径，ACB=90，OCAB，CAB=OCB，CAOBCO，=，即OC2=OAOB，tanCAO=tanCAD=，AO=2CO，又AB=10，OC2=2CO（10-2CO），解得CO1=4，CO2=0（舍去），CO=4，AO=8，BO=2CO0，CO=4，AO=8，BO=2，A（-8，0），B（2，0），C（0，4），抛物线y=ax2+bx+c过点A，B，C三点，c=4，由题意得：，解得：，抛物线的解析式为：y=-x2-x+4；设直线DC交x轴于点F，AOCADC，AD=AO=8，OCAD，FOCFAD，=，OFAD=OCAF，8（BF+5）=5（BF+10），BF=，F（，0）；设直线DC的解析式为y=kx+m，则，解得：，直线DC的解析式为y=-x+4，由y=-x2-x+4=-（x+3）2+得顶点E的坐标为（-3，），将E（-3，）代入直线DC的解析式y=-x+4中，右边=-（-3）+4=左边，抛物线顶点E在直线CD上；（3）存在，P1（-10，-6），P2（10，-36）A（-8，0），C（0，4），过A、C两点的直线解析式为y=x+4，设过点B且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b，把B（2，0）代入得b=-1，直线PB的解析式为y=x-1，解得,（舍去），P1（-10，-6）求P2的方法应为过点A作与BC平行的直线，可求出BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求P1同法，可求出x1=-8，y1=0（舍去）；x2=10，y2=-36P2的坐标（10，-36） 【考点】待定系数法求二次函数解析式 【解析】【分析】（1）连接OC，由CD是O的切线，可得OCCD，则可证得OCAD，又由OA=OC，则可证得CAD=CAB；（2）首先证得CAOBCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得OC2=OAOB，又由tanCAO=tanCAD=， 则可求得CO，AO，BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式；首先证得FOCFAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到F的坐标，求得直线DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；根据题意分别从PABC与PBAC去分析求解即可求得答案，小心漏解 21.【答案】解：(1) y=3x+23，当x=0时， y=23；当y=0时，x=-2，A(-2,0)，D(0,23)，ABCD为等腰梯形，AD=BC，OAD=OBC过点C作CHAB于点H，则AO=BH，OH=DC.ABCD的面积是S=12（DC+AB）DO，83=12（DC+OH+2+2）23，DC=2，C(2, 23)，B（4,0），设抛物线解析式为y=ax2+bx+c(a0)，代入A(-2,0)，D(0,23)，B（4,0）得0=4a-2b+c23=c0=16a+4b+c，解得a=-34b=32c=23，即y=-34x2+32x+23；（2）连结PE，PE=PB，PBE=PEB，PBE=DAB，DAB=PBE，PEDA，EFAD，FEP=AFF=90，又PE为半径，EF与P相切.；(3)设P与y轴相切于点G，P作PQx轴于点Q，设Q(x,0),则QB=4-x，PBA=DAO，ODOA=3，PBA=DAO=60，PQ=34-x， PB=8-2x ，P(x, 34-x),P与y轴相切于点G，P过点B，PG=PB，x=8-2x，x=83，P(83，433) 【考点】与二次函数有关的动态几何问题 【解析】【分析】（1）过C作CEAB于E，利用矩形的性质分别求得三点的坐标，利用求得的点的坐标，用待定系数法求得二次函数的解析式即可；（2）连结PE，可以得到：PEDA，从而得出EF与P相切；（3）设P与y轴相切于点G，P作PQx轴于点Q，设Q(x,0),用含有x的代数式分别表示出PG和PB，再根据PG=PB求出x的值即可 22.【答案】解：（1）由题意得：k23k+4=2，且k10，解得：k=2；（2）把k=2代入y=（k1）+2x1得：y=x2+2x1，当x=0.5时，y= 【考点】二次函数的定义 【解析】【分析】（1）根据二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a0）的函数，叫做二次函数可得k23k+4=2，且k10，再解即可；（2）根据（1）中k的值，可得函数解析式，再利用代入法把x=0.5代入可得y的值 23.【答案】解：设所求抛物线的解析式为：y=ax2 设D（5，b），则B（10，b3），把D、B的坐标分别代入y=ax2得： ，解得