（课程与教学论专业论文）高中生数学概括能力发展研究.pdf

摘要 在数学学习中，由于数学的高度抽象性和概括性，特别是使用 了高度概括的形式化语言，容易使学生造成表面的形式理解，而不 能很好的掌握数学知识的实质。因此，数学学习中更需要进行抽象 概括，只有通过逐步地从具体到抽象的概括，才能使学生真正的掌 握数学知识，因此数学概括能力是学习数学所必须的能力，是学习 数学的前提条件。一些研究表明高中阶段是学生的数学概括能力的 又一显著的变化期，并且逐步趋于成熟，故高中生数学概括能力的 发展比较重要。 国内外关于数学概括能力的研究，主要是研究数学概括能力在 数学能力中的地位，多以实证研究为主。高中生数学概括能力包括 对数学符号、关系、结构、运算与推理、数学思想方法的概括能力， 具有过程性和多样性等特点。影响高中生数学概括能力发展的内部 因素包括学生的智力因素和非智力因素，外部因素包括教师、学校、 家庭和社会四个因素。学生的学习方法、教师的教学方法以及教材 的编排，是发展高中生数学概括能力有效路径。通过实证研究，本 文发现通过改进学习方法和教学方法，发展高中生数学概括能力是 可能的。 关键词：数学教学数学概括能力能力发展 a b s t r a c t i nm a t h e m a t i c s ，s t u d e n t st e n dt os t a yo nt h es u r f a c e ，s e l d o mt h e h a r d c o r e ，d u et oi t sa b s t r a c t i o na n dg e n e r a l i t y , e s p e c i a l l yw h e ns p e c i a l f o r m a lw o r d sa r eu s e d t h e r e f o r e ，i ti s r e q u i r e di nt h el e a r n i n gt h a t s t u d e n t sh a v et h e a b i l i t y t os u m m a r i z et h eu n i v e r s a ll i n k s t h r o u g h m a s s i v ef a c t sa n dg e n e r a l i z a t i o nb eam u s t ，ap r e r e q u i s i t ew h i c hs h a l lb e m e ti nt h ef i r s tp l a c e s o m es t u d i e sh a v es h o w nt h a tt h et i m es p e n ti nt h e s e n i o rh i g hs c h o o li sar e m a r k a b l ep e r i o dd u r i n gw h i c ht h ea b i l i t yo f g e n e r a l i z a t i o nv a r i e sd r a m a t i c a l l ya n dc o m e st oas t e a d ys t a t ee v e n t u a l l y s ot h eg e n e r a l i z a t i o na b i l i t yt oh i 曲s c h o o ls t u d e n t si se s s e n t i a l ，w h i c hi s t h i se s s a yt r y i n gt oe x p l o r e t h es t u d i e so fg e n e r a l i z a t i o n a b i l i t yi nm a t h e m a t i c sa r em a i n l y f o c u so ni t ss t a t u si nm a t h e m a t i c sa b i l i t yb o t hd o m e s t i ca n da b r o a d ，a n d m o s to ft h e ma r ee m p i r i c a lr e s e a r c h e s t h em a t h e m a t i c a lg e n e r a l i z a t i o n a b i l i t yo fs e n i o rh i g hs t u d e n t s ，w h i c hi n c l u d et h eg e n e r a l i z a t i o na b i l i t yi n m a t h e m a t i c a ls y m b o l s ，r e l a t i o n s ，s t r u c t u r e s ，c o m p u t i n ga n dr e a s o n i n g ， m a t h e m a t i c a lt h o u g h ta n dm e t h o d ，h a st h ec h a r a c t e r i s t i c so f p r o c e s sa n d d i v e r s i t y t h e i n t e r n a lf a c t o r st h a ti n f l u e n c et h ed e v e l o p m e n to ft h e a b i l i t yi n c l u d ei n t e l l i g e n c ef a c t o r sa n dn o n - i n t e l l i g e n c ef a c t o r s ，a n dt h e e x t e r n a lf a c t o r si n c l u d et h et e a c h e r , t h es c h o o l ，t h ef a m i l ya n dt h e s o c i e t y l e a r n i n gm e t h o d so fs t u d e n t s ，t e a c h i n gm e t h o d so ft e a c h e r sa n d t h e l a y o u t o fm a t e r i a l sa r eb o t he f f e c t i v e w a yt od e v e l o pt h e m a t h e m a t i c a lg e n e r a l i z a t i o na b i l i t yo fs e n i o rh i g hs t u d e n t s a tl a s ti nt h e e m p i r i c a lr e s e a r c ho nt e a c h e r sa n ds t u d e n t s ，t h i sp a p e rf i n d st h a ti ti s l i k e l yt om a k er e m a r k a b l ep r o g r e s si nt h eg e n e r a l i z a t i o no fm a t h e m a t i c s h f o rs e n i o rh i g hs t u d e n t st h r o u g hi m p r o v e m e n to ft e a c h i n ga n dl e a r n i n g m e t h o d s k e yw o r d s ：m a t h e m a t i c st e a c h i n g ；g e n e r a l i z a t i o na b i l i t y ； a b i l i t yd e v e l o p m e n t i i i 湖南师范大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独 立进行研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论 文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的 研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人 完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：鼍多i 聿律功d 7 年2 月 日 湖南师范大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，研 究生在校攻读学位期i - 1 论文工作的知识产权单位属湖南师范大学。同 意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅。本人授权湖南师范大学可以将本学位论文的全 部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描 等复制手段保存和汇编本学位论文 本学位论文属于 1 、保密口，在年解密后适用本授权书 2 、不保密嘭 ( 请在以上相应方框内打“ ) 作者签名：专乡2 刍砗 日期：如d 件f 二月 7 日 导师签名：溯司发魄啼 l 月7 日 高中生数学概括能力发展研究 绪论 随着学生进入高中阶段的学习，数学能力的发展进入了关键阶 段，而数学概括能力是数学能力的重要组成部分，因而选择对高中 生数学概括能力发展进行研究，对中学教学实践和学生数学能力的 发展都具有一定的指导意义。 选择这样一个论文题目还有以下几方面的认识： 1 、数学高度的概括性使得我们学习数学需要较高的概括能力 作为一门科学的数学，是客观世界的数量关系和空间形式的最 抽象的反映，具有高度的抽象性和概括性，数学的概括性具有自身 的特点。科学的发展过程，都是从一些假说和公理出发，经过严密 的逻辑推导，概括出大量客观存在的经验和事实，从而推动该学科 的发展。天文学、物理学等自然科学中的大部分理论和公式都是概 括的结果。“数学的发展不是在破坏和取消原有理论的基础上进行 的，它是通过深化和推广原有理论，而不断提出新的概括理论的方 式进行的” 概括是研究数学的一种方法。伟大的数学教育家辛钦认为：“数 学问题的解决，不能由它所反映的物质本性去解决，而只能由它的 形式结构特点去解决。”数学研究的对象是高度概括化的思维材料， 是从自然和社会中抽象概括出来的数量规律，故而数学概括是对概 括的概括。所以，学习数学需要较高的概括能力。 2 数学概括能力在数学学习中的地位要求我们学习数学需要较 强的概括能力 首先，数学知识的学习过程就是一个概括过程，没有概括能力 参与，我们的数学认知结构就不可能形成，更难形成完善的数学知 亚历山大洛夫数学一它的内容、方法和意义北京科学出版社1 9 8 4 ：1 1 2 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：7 2 农村教育硕十学位论文 识体系。数学概括能力是数学学习的重要条件。 其次，概括能力是数学能力得以发展的关键。前苏联著名的心 理学家和教育家克鲁捷茨基指出：“概括能力是数学能力最重要的指 标，在数学学习中很容易成功的学生往往是因为他们具有较强的概 括能力 。思维品质的优劣正是概括能力的反映，故而“思维最显 著的特征是概括性”。数学中对数学符号意义的理解，对空间关系 的想象，对数学结构的把握，数学运算的迅速与简缩，对数学思想 方法的归纳都离不开概括。 再次，数学学习水平的高低取决于数学概括水平的高低。通过 概括可以将新知识和旧的知识网络紧密地联系起来，把新知识纳入 到旧的知识结构中去，促进理解，从而建立新的认知结构。概括有 利于理解能力的提高，“理解就是认识或揭露事物中本质的东西 。 概括能促进记忆的形成。前苏联著名数学家莫达克海波尔达夫 斯基说过“一个数学家不必记住一个定理的全部证明过程，他只需 记住定理证明的起点和终点，以及有关于定理证明的思想”，这正 是概括在促进数学记忆形成中的一种表现。 概括有利于简缩性思维结构的形成。“简缩是概括的结果 通 过概括，将所学知识凝聚成“块 ，在应用的时候，知识以“块的 形式出现，加速了思维的进程，缩短了运算环节和推理过程。 3 教学实践中的感受 笔者在几年的教学工作中以及跟同事的交流中感受到，大部分 高中生在数学学习中不能很好的理解许多数学问题的本质，从而也 就导致不能很好的触类旁通，更难达到很好的将数学知识应用到解 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：3 7 2 朱智贤、林崇德思维发展心理学北京北京师范大学出版社1 9 8 7 ：2 2 8 朱智贤、林崇德思维发展心理学北京北京师范大学出版社1 9 8 7 ：1 7 5 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：6 0 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：2 8 1 高中生数学概括能力发展研究 题中，应用到实践中去，所以很多学生产生了学数学无用的想法， 即使在数学上狠下功夫的学生中也只是出于升学的压力，而非对数 学有很大的兴趣。 而要培养学生的数学兴趣，我们认为首先得让学生觉得学习数 学是有用的事情，“数学是思维的体操”，学习数学能够培养我们的 思维品质，而要培养思维品质，需要数学素材作为基础，对数学素 材的理解需要较高的概括能力，因为只有概括能力上去了才会有很 好的正迁移的发生，迁移是我们应用数学的目的，也是我们学习数 学的目标。由上可知，概括能力的强弱制约着数学学习的发展。 当前学校教育中，学生学习数学大部分只是停留在依葫芦画瓢 的基础上，以前见过的题目会做，没见过的题目即使难度不大，也 不是很容易的事情，这正反映学生对数学知识理解的深度不够，概 括性不够强，所以学生大部分都怕新题，因为新题型更需要概括。 对于高中生而言，从初中数学学习到高中数学学习的过渡是不 容易的，因为高中数学知识抽象程度高了，概括性强了，自然对学 生的要求也提高了，很多在初中数学成绩很不错的学生进入高中之 后感觉数学学习十分吃力，很多学生数学成绩一落千丈，究其原因 是学生的数学概括能力没有跟上，没有得到很好的发展，所以说发 展高中生数学概括能力是很有必要的。这也是我选择这个课题的主 要原因。 农村教育硕士学位论文 第一章数学概括能力文献综述与问题的提出 一、国内对数学概括能力的研究 从上世纪八十年代开始，我国陆续出现一些学者对数学概括能 力进行过研究，主要的研究者有朱智贤、林崇德、曹才翰和蔡金法 等。 朱智贤、林崇德通过实验研究，将小学儿童的概括能力分为五 个水平阶段，他们认为学生的数学概括水平发展的趋势是一个螺旋 式上升的过程，高一级水平必然建立在低一级水平之上，各级水平 不能互相代替。他们认为思维最显著的特性就是概括性，发展学生 的概括能力是发展思维、培养智力的一个重要环节。林崇德在主持 “中小学生能力发展与培养 的实验研究中，关于数学能力得到如 下结论：“数学能力是以概括为基础，将中学数学中的三大能力与思 维的五个品质所组成的开放动态系统的结构。 他在研究中学生运 算能力时，将中学生的数学概括能力水平分为四个等级。 曹才翰认为：“数学学习的显著特点之一是数学学习需要较强的 抽象概括能力他对数学概括能力做了大量的研究，其成果主要反 映在他的两本著作中学数学概论和数学教育学概论中。 蔡金法先生在关于学生数学概括能力发展差异的实验研究 一文中，论证了同一年龄的学生在数学概括能力方面存在明显差异， 这些差异主要表现在数学概括的深度、数学概括的方法和数学解题 方法的迁移三个方面。他在试论数学概括能力是数学能力的核心 一文中从五个方面论述了数学概括能力是数学能力的核心。 朱智贤、林崇德思维发展心理学北京北京师范大学出版社1 9 8 7 ：2 7 8 朱智贤、林崇德思维发展心理学北京北京师范大学出版社1 9 8 7 ：2 7 6 林崇德学习与发展北京北京师范大学出版社1 9 9 9 ：2 8 6 曹才翰中学数学概论北京北京师范大学出版社1 9 9 0 ：1 2 5 蔡金法关于学生数学概括能力发展差异的实验研究数学通报1 9 8 8 3 ：5 蔡金法试论数学概括能力是数学能力的核心数学通报1 9 8 8 2 ：3 - 6 高中生数学概括能力发展研究 此外，国内还有一些学者对数学概括能力做过研究，如陶文仲 和张锦斋指出数学概括能力是一种特殊的概括能力，概括能力的四 个指标是：准确性、稳定性、深度、速度。张乃达区分出了不同类 型的概括：完全概括、外推性概括、上升性概括。 国内学者对数学概括能力的研究，主要是围绕思维与能力两个 方面进行的，主要以对中、小学学生的数学概括能力研究为主，多 数是通过实验的方法进行的，得到了一些很有指导意义的结论。 二、国外对数学概括能力的研究 自上世纪五十年代开始，国外就有很多学者开始对数学概括能 力进行了研究，其中最有影响力的是前苏联心理学家和教育家克鲁 捷茨基所做的研究工作，他系统地研究了数学能力的结构成分，并 将学生的数学能力区分为九种成分，而数学概括能力是其中最重要 的一种成分，位居九种成分之首。为了进一步分析学生数学概括能 力的特点，他还对部分学生做了一些个案分析。 鲁宾斯坦指出“思维都是在概括中进行的 。卡尔米科娃认为 学习的速度决定于准确区别不同的概括化联系的速度与准确度，决 定于从一个概括化联系系统向另一个概括化联系系统转换的速度。 心理学家桑代克认为概括是一种一般的代数能力。 前苏联心理学家 安顿诺夫通过分析小学不同年级的学生对不同客体的定义所进行的 概括，确定了小学生的概括发展经历了四个不同阶段。 张锦斋、陶文仲中学生学科能力目标与培养北京中国城市经济出版社1 9 9 0 ：1 5 5 张乃达数学思维教育学南京江苏教育出版社1 9 9 0 ：1 1 7 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：2 2 1 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：6 3 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：7 1 林崇德学习与发展北京北京师范大学出版社1 9 9 9 ：4 8 克鲁捷茨基中小学生数学能力心理学上海上海教育出版社1 9 8 3 ：7 0 农村教育硕十学位论文 国外学者对数学概括能力的研究主要是在研究数学能力的结构 与成分的同时进行的，专门用独立的章节来论述数学概括能力的很 少，但是得出了一些很有意义的结论，对数学概括能力的发展有一 定的指导意义。 三、对已有成果的评析 现有对数学概括能力的研究成果，主要是说明数学概括能力在 数学能力中的地位，强调数学概括能力的重要性，多以实证的研究 方法为主，所获得的结论具有一定的科学性。对数学概括能力的本 质问题，以及它如何在数学学习过程中产生作用，研究较少，多是 点到为止，研究不够深入，未形成较系统完善的体系。对于高中生 数学概括能力的研究做得不多，不能很好的指导教学实践，学生能 力不能较快的发展，学生成绩难以快速提高。 就数学教育研究而言，需要理论与实践相结合，才能更好的发 挥理论的巨大作用，指导我们的实践活动。所以，把理论层面上对 概括能力的一般认识运用到数学教学过程之中正是我研究高中生数 学概括能力的出发点和目的，促进高中学生的学习，指导高中数学 教师的教学，促进高中学生数学概括能力发展。在数学教学中，部 分教师提出过一些提高学生数学概括能力的策略，但由于理论方面 的局限性，没有上升到理论高度。高中数学教师们非常希望能够做 到用理论指导教学实践，使我们的教学实践活动更具有科学性，但 是前人已经建立的相关理论似乎又缺乏操作性，很难将其运用到我 们的具体教学中。 四、本研究的内容 1 影响高中生数学概括能力的内、外部因素。 弄清影响高中生数学概括能力的内、外部因素，对于我们寻找 发展高中生数学概括能力的途径，构建提高学生数学能力的理论提 供依据。 高中生数学概括能力发展研究 2 发展高中生数学概括能力的途径。 寻找发展高中生数学概括能力的途径，对于认识高中生数学学 习活动的过程，改进数学教学方法十分重要，他可为数学教育改革 提供心理基础。 农村教育硕士学位论文 第二章数学概括能力的含义、内容和特点 第一节数学概括能力的含义和内容 一、数学概括能力的含义 数学概括能力的含义就是从大量的或繁杂的数学材料中抽象出 最重要最本质的东西，以及从外表不同的数学材料中看出共同点的 数学能力。 二、数学概括能力的内容 在我们的数学学习中处处包含有概括，数学学习的目的是为了 获得数学规律和形成数学概念，所以在任何数学学习过程中，都离 不开概括能力。而数学概括能力主要包括数学思想方法的概括能力、 数学符号的概括能力、数与形的概括能力、结构的概括能力、关系 的概括能力、运算与推理的概括能力，以下对这些概括能力进行具 体阐述。 1 数学思想方法的概括能力 我们在数学知识的学习中，只有较好的掌握了数学思想方法才 能真正达到融会贯通。因为数学思想方法是存在于具体的数学内容 之上，它不但基于数学知识，又高于数学知识，与普通数学知识相 比，数学思想方法更抽象，在反映数学问题时，比普通知识更能反 映数学问题的本质。数学思想方法既是数学中的深层次基础知识， 又是解决问题时的思维策略。故而对数学思想方法的概括有层次之 分： 第一层次的概括是对解决特殊问题的方法的概括。如解析几何 中求解直线与圆锥曲线相交问题的“点差法”，求解立体几何问题中 点到平面距离的“体积法”，求解与二次函数相关问题的“判别式法” 林崇德学习与发展北京北京师范大学出版社1 9 9 9 ：2 9 9 曹才翰、章建跃数学教育心理学，北京，北京师范大学出版社，1 9 9 9 ：1 8 2 8 高中生数学概括能力发展研究 等，这些方法的操作程序比较固定，常用在特定的数学问题中。 第二层次的概括是对具体某一类问题时所用的一种共同方法的 概括。如换元法、代入消元法、坐标法、三角法、构造法等。这些 方法适合的范围比较广泛，操作步骤也并不具体，取决于具体问题。 第三层次的概括是对数学思想的概括。常用的数学思想有：函 数思想、化归思想、分类思想、数形结合思想等。数学思想是对数 学方法、数学概念、数学原理等的本质性认识。 学生对数学思想方法的概括，不但要依靠教师在教学中点拨、 提示、启发，还要靠学生在数学学习中反复体验、自觉概括，才能 在数学学习中很好的认识、理解、掌握和运用。比如： 例1 解不等式组jx 一乏y + j l x 一11 分析：通过完成此题，我们从中概括出数学解题的一种模式一 一交轨模式。下面这道题也是用这种方法来求解的，题目为：高一 ( 3 ) 班的同学中有2 5 位同学有妹妹，1 6 位同学有弟弟，既有妹妹 又有弟弟的同学有6 位。那么全班有妹妹或有弟弟的同学共有多少? 将以上解决问题的方法进一步概括，我们容易将交轨模式的思想方 法进行延伸，进而得到容斥原理这一组合数学中重要的思想方法。 总而言之，关于数学思想方法的概括，有利于学生加强数学知 识之间的联系，有利于学生将所学数学知识形成稳固的网络结构。 能够促进学生知识结构的转化，使其内化形成学生自身数学知识的 认知结构，有利于学生数学能力的培养。 2 数学符号的概括能力 数学符号是以简洁的形式来反映数学概念及其基本特征的，如 果数学符号所表示的意义不能得到正确理解，那么符号将阻碍我们 思维的发展，并且影响我们对数学知识的掌握程度。数学符号是数 学概括的最终结果表示，能促成我们进一步的概括，使数学概括形 农村教育硕+ 学位论文 式化得以顺利进行。符号表示的作用主要是将数学内容转变为某种 形式，对数学符号的表现形式与其所表示的意义之间的联系进行概 括，能使我们从符号上把握数学对象的本质属性。 在数学学习中，同一数学符号常常表示不同的数学对象，准确 概括出数学符号所表示的不同数学对象所具有的不同意义，能使我 们对数学符号有一个更全面的认识。比如有序实数对( x ，y ) 在几何中 常常用来表示点的位置，在向量中可以表示向量。 我们只有对数学概念有深刻的理解，才能对数学符号所表示的 意义进行准确的概括，比如，“代数中的一a 是正的还是负的? ”刚 学习用字母表示数的初中学生很多都认为是负的。究其原因，主要 是学生对用字母表示数的认识还是停留在一种具体的数的水平上。 没有准确的将数学符号的形式和数学符号所表示的意义之间建立一 种正确的联系。事实上一口是口的相反数，而作为一种表示符号的a 可 正可负，故一口也是可正可负的。 众所周知，数学符号的高度形式化掩盖了数学本身所具有的丰 富内容，所以，对数学符号所表示的意义准确进行概括，就是为了 揭示出数学符号所包含内容，以加强数学知识间的联系。 3 数与形的概括能力 ( 1 ) 数的概括能力 数的概念的发展是一个不断概括的过程，经历了从自然数开始 的五个概括过程，任何一次概括都是将原有的数和性质带到新的数 集之中，将数的外延扩大。对于数的理解也是一个不断概括的过程。 在上世纪七十年代，英国心理学家库奇曼对1 3 1 5 岁的英国中学生 进行了关于学生对字母理解的研究，他的研究区分出了学生的六个 不同水平： d a 格劳斯数学教与学研究手册，上海，上海教育出版社，1 9 9 9 ：8 5 高中生数学概括能力发展研究 数的概括也包括对数量关系间的概括。如： 例2 在以下括号中填入一个适当的数。 3 ，8 ，7 ，2 7 ，1 5 ，6 4 ，3 1 ，1 2 5 ，( ) ，( ) ， 9 8 5 ，1 0 0 0 ，1 9 0 ，2 0 0 ，3 5 ，4 0 ，( ) ，( ) 0 00000 分析：中的偶数项8 ，2 7 ，6 4 ，1 2 5 所具有的共同特征显而易 见，它们分别是2 ，3 ，4 ，5 的立方( 概括) 。所以很容易使我们猜 想到下一个偶数项应是6 的立方，即2 1 6 。那么奇数项3 ，7 ，1 5 ， 31 具有什么样的共同特征呢? 7 = 3x2 + 1 ，15 - - 7x2 + 1 ，3 1 - - - 15 2 + l ， 后项是将前项乘以2 再加1 而得( 概括) ，我们很容易猜想下一奇数 项是31 2 + 1 = 6 3 。 中偶数项1 0 0 0 ，2 0 0 ，4 0 的特征是非常明显的，表示形式分 别为1 0 0 0 5 = 2 0 0 ，2 0 0 5 - - 4 0 ，用前项除以5 就得到后项。故下一 偶数项应是8 。再看奇数项9 8 5 ，1 9 0 ，3 5 的特征? 这三个数之间似 乎没有规律，我们可以将它们跟偶数项联系起来进行分析。发现 9 8 5 - - 1 0 0 0 1 5 ，1 9 0 = 2 0 0 1 0 ，3 5 = 4 0 5 ，每一项是与之相应项数的偶 数项减去5 与其项数减l 的差的积( 概括) 。故而下一奇数项应为 8 5 ( 4 - 4 ) = 8 。 观察可知中的关系要比复杂，概括起来比较困难。通过对 学生的调查发现，有的学生具有良好的数感，一眼就能看出数学问 题中所包含的关系，而迅速给出答案，有的学生尽管冥思苦想，可 也不能发现数量间的关系，无法解决问题。由上可知学生在数量关 系方面的概括能力存在的差异很大。 ( 2 ) 形的概括能力 几何中很多形的概念是通过概括获得的。比如，三角形的概念 是在考察三角板，红领巾，房屋的一些三角形结构等对象的基础上， 从中抽象出它们的共同特征三角形形状，舍弃具体对象本身具 农村教育硕士学位论文 有的物理特征，从而概括获得三角形的概念。 中学数学中，形的概念之间所具有的关系也具有明显的概括特 点。如： 正方形专长方形_ 平行四边形专平面四边形专空间四边形 以上五个概念之间为种属关系，每一个概念都概括着前一概念。 通过将内涵丰富的正方形这一概念进行概括，逐步增大其外延，使 得内涵丰富的种概念能过渡到内涵较少的属概念。数学中，形的概 括还包括对图形结构及其关系的概括。 4 结构的概括能力 数学中结构的概括能力包括对数学知识结构和对数学对象结构 的概括能力。数学结构的概括中，最典型的是对数学表达式的形式 结构进行概括。比如： 例3 求函数厂( z ) = , f x 2 + 9 + ( x 一3 ) 2 + l 的最小值。 分析：从表达式的形式结构，我们可以联想到解析几何中的两 点间距离公式。令p ( x ，o ) ，a ( o ，3 ) ，b ( 3 ，- 1 ) ，易知表达式的结构反映 了平面上一动点到两定点间距离之和( 概括) 。 数学学习的实质是把数学知识结构经过学生积极主动的思维活 动，转化为他们头脑里的数学认知结构。对数学知识结构的概括是 指对数学知识之间所包含的内在联系作出概括，数学知识结构自身 并不能自动地转化成为学生头脑中所具有的数学认知结构，需要学 生通过一系列的思维动作才能促成其转化。在学生的思维动作中， 概括起到了举足轻重的作用。 5 关系的概括能力 数学关系主要包括同一个数学对象的不同表达形式之间的关系 和不同数学对象之间所体现的关系两方面，数学关系的概括能力的 郑君文、张恩华数学学习论，广西，广西教育出版社，2 0 0 3 ：2 1 6 高中生数学概括能力发展研究 强弱对数学知识自身所反映出来的内容的深层次理解有一定影响。 如“根据三角函数值的大小来判断角的取值范围问题”是对s i n a 和 c o s 以，s i na 和t a na ，t a na 和c o ta 等几对不同的数学对象分别进 行概括。 s i n 口和c 。s 口：在同一个周期内，口在( 署，等) 上有s i n 口 c 。s 口； 口在( 一_ ，5 n n ) - 1 7 - ：有- 4 s i n 口 t a na c o t 口，求口( 一i 7 1 c o ta 、 口( 一和。 在数学中，有些数学对象具有不同的表达形式，复数的三种表 达形式是一个典型的例子。它的每一种表达形式都体现了复数的本 质属性数量加方向： 农村教育硕士学位论文 本质属性代数形式三角形式几何形式 z = a + b i z = r ( c o s 秒+ i s i n 秒) 向量历，点z ( a ，6 ) 数量 、a。2。+。b。2。 厂 向量的长度 方向 t a n ( a r gz ) = 鱼 秒向量的方向 口 三种不同的表达形式之间可以相互转化 当表示辐角主值时，厂= 口2 + b2 ，秒= a r gz = a r c ( t a n 竺) 。 在学习复数一章知识时，学生如果能够由复数的一种表示形式立刻 联想到与之相关的其它表示形式，则表明学生已经深刻理解了复数 的概念。学生如果能积极主动发现、概括出复数概念的本质，以及 它所包含的各种形式之间的关系，有助于学生形成网络型知识结构， 有利于正迁移的发生。 6 运算与推理的概括能力 数学运算和推理的概括能是从数学知识掌握到数学能力形成和 发展的重要环节，能促使学生数学技能上升，达到形成数学能力的 高中生数学概括能力发展研究 高度。数学学习中的运算和推理的概括能力既是数学能力的基本成 分，也是数学技能的主要内容。因此，作为数学技能和数学能力的 运算和推理的完成都需要数学概括能力。 ( 1 ) 运算的概括能力 数学运算的概括主要包括对算法和运算步骤的概括。 数学问题中算法的概括。算法是从学习实践中抽象出来的一 般性法则，每一种算法都是一种具体的概括。数学运算对我们估算 和计算的准确度、速度有要求，对算法的选择也有一定要求，而算 法的选择更重要。以下是对数列运算中的阶差法的分析： 例4 在数列 口， 中，已知口l = 1 ，口州= 口一+ 3 ”( ，z 1 ) ，求通项 公式。 解：口。一口：一i = 3 胪1 ，a 川一口，l - 2 = 3 舻2 ，口2 一口l = 3 1 ( 拆项相减) 将上列式子相加可得 口。= 口l + 3 + 32 + 33 + + 3 俨1 = ( 3 ”一1 ) ( 合式相加) 数学问题中运算步骤的概括。数学运算过程中的关键和重要 的环节是我们对运算步骤作出概括的主要内容。l l 女1 1 例5 利用导数方法求函数y = 厂( x ) 在k ，6 j 上的最值的基本运算 步骤可以概括为： 求厂( x ) 一求相应方程厂( x ) = 0 的根专确定函数的极值专 比较函数极值与区间端点函数值厂( 口) ，f ( b ) 的大小专确定函数的最 值共五步，它们是我们利用导数方法求函数最值的基本步骤。 对数学运算步骤的概括，有利于解题经验的积累，并将其熟练 地运用到其它的运算中，不易造成解题思路混乱。学生在对同类型 问题运算时容易整理自己的思路，有利于形成简缩的思维动作。 ( 2 ) 推理的概括能力 钱佩玲、邵光华数学思想方法与中学数学，北京，北京师范大学出版社，2 0 0 1 ：2 0 5 农村教育硕士学位论文 数学推理的概括主要包括对推理步骤和推理方式的概括两部 分。 推理步骤的概括。概括解决数学问题的推理步骤，就是要概 括出数学问题的整个推理过程，以及围绕其进行的推理前提。比如： 例6 证明函数f ( x ) = 一x 3 + 1 在( 一o o ，+ o 。) 上是减函数。 证明：在( 一o 。，+ o 。) 上任取x l ，x 2 ，且x l 0 当x i x 2 0 f ( x 1 ) 一f ( x 2 ) = ( x 2 一x 1 ) ( 石f + x l x 2 + x 2 2 ) 0 ， 即f ( x 2 ) f ( x 1 ) ， 所以，函数( x ) = 一x 3 + 1 在( 一，+ ) 上是减函数 以上的推理有两个前提：x x 2 ，f ( x 2 ) f ( x 。) 。推理步骤 可以概括为：x l x 2 专f ( x 2 ) o ) 的图象的关系吗? 口 学生：关于y 轴对称。( 第二次概括) 教师：y = 厂( x ) 与y = 厂( 一x ) 的图象是不是也关于y 轴对称呢? 学生：我想应该是。( 第三次概括) 在以上的课例片段中，在教师的引导下，学生一共进行了三次 概括。其中第三次概括是对前两次概括的不完全归纳概括。 解题概括中的一些通则通法也可以通过归纳式概括获得。比如， 过椭圆内部一点的直线与椭圆相交问题，方程消元之后，不需要考 虑二次项系数是否为零，也不需要考虑判别式是否大于或等于零， 它们都是成立的。就是在解题的过程中，概括而得到的，所获得的 规律可以适用于任何满足条件的直线。 4 简约式概括 对数学知识加以整理，获得简约认识的概括方式称为简约式概 括。它在我们数学学习中是一种常用的概括方式，它的模式是：数 学知识一堕兮精炼的知识。 我们在学完“直线方程的几种形式 这一节后，我们可以抓住 农村教育硕士学位论文 “点斜式 这一关键点，以“直线上的点”、“直线的倾斜角”、“直 线的斜率、“直线的方程 等概念作为基础，通过串联概括出直线 方程的四种形式之间的关系，可以作出如下的概括： 斜截式 卜 点斜式 专 两点式争截距式 由上图知：其它三种形式的直线方程都是由点斜式导出的。通 常，一条直线可以由一点和直线的倾斜方向确定，当然也可以由两 个点确定。点斜式与斜截式是反映的前者，两点式与截距式是反应 的后者，通过对以上关系的理解，直线的各种表示形式问的关系就 显得简单了，我们运用直线方程解决相关问题也就不是什么难事， 这正是知识简约之后的效果。 二、数学概括的过程性 数学概括不会一步到位，它具有过程性，是分步进行的。不同 数学对象概括过程的步骤基本上是相同的，在数学学习中对数学知 识的概括有五个步骤：观察、抽取、筛选、推广、确认。这五个步 骤是我们对数学知识的概括过程必须经历的，其中的某些步骤可以 简缩，甚至不会被我们所察觉。 我们可以从下例来研究概括能力在数学概括过程中所表现出的 各个步骤。 侈09求13 + 23 + 33 + + n3 ( n n ) ( 1 ) 观察：观察是一个有目的、有计划、且有思维参加的感知 过程，它能从所给数学材料的形式和结构中，寻找到对解决问题有 效的成分，他能较准确地找出事物的主要特征，能发现解决问题的 关键之处。有利于把握事物的本质和内在联系，敏锐的观察力有利 于数学概括。上例的形式简单，即要求我们求出n 个连续自然数的 立方和。 陈嫣数学学习中的概括南京师范大学硕士学位论文南京师范大学2 0 0 3 ：1 8 2 2 高中生数学概括能力发展研究 ( 2 ) 抽取：它是将数学对象的属性或特征从具体的形式中抽取 出来的过程。抽取出的属性常常只是是数学对象的局部特征，不一 定都是我们研究的数学对象的共同特征或本质属性。抽取与抽象不 同，抽取是提取、找出数学对象的属性和特征，但这些对象的共同 特征并不清楚，数学对象的本质属性依附于具体事物，未能从具体 事物中脱离出来；抽象则是把共同特征提炼出来，把本质属性从具 体的事物上脱离开来。在例9 中抽取过程如下： 13=1 13 +23=1+8=9 13+23+3 3 =1+8+27= 3 6 13 + 23 + 33 + 43 = 1 + 8 + 2 7 + 6 4 = 1 0 0 对这四个等式的特征进行尝试性的描述： 13=1 13+23=1+8=9=3 2 13+23 + 33=1+8+27= 3 6= 6 2 13 + 2 3 + 3 3+43=1+8+27+64=100= 1 0 2 = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) 2 ( 3 ) 筛选：这一阶段要对前一阶段中所表述的本质属性和共同 特征按照逻辑方式进行比较、区分，从而选出其中合理的部分。将 我们所抽取的结果去粗取精，加深对问题的理解。观察式中 的特征描述，它们并不能适合每个式子，再观察式，底数l o 可表 示为1 + 2 + 3 + 4 ，其他三个式子中的底数是否也可以表示成这种形 式? 显然有以下三式， 1 ：1 3 = 1 + 2 6 = 1 + 2 + 3 通过筛选，我们发现的描述( 1 + 2 + 3 + 4 ) 2 适合于四个式子。 ( 4 ) 推广：推广阶段是将特殊形式推广到一般形式，将前面所 农村教育硕十学位论文 描述结论的外延扩大。 由筛选出来的“( 1 + 2 + 3 + 4 ) 2 ”，我们可将四个式子都用同样形 式表示： 13 = 1 2 13 +23 =1+8=9=(1+2)2 13 +23 + 33=1+8+27= 3 6= ( 1 + 2 + 3 ) 2 ( d 13 + 2 3 + 3 3 + 43=1+8+27+64=100= 1 0 2 = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) 2 由此可以归纳得出， t3+23+33 + + n3 = c t + 2 + 3 + + 刀，2 = ! 半 2 ( 5 ) 确认：上一阶段的归纳和类比仅仅只是合情推理，需要进 行证明或检验，以确定结果是否可信。这时可能出现两种情况：一 种是通过检验或证明，将原来的假设否定，此时，我们就要重复前 面的四步，修正误漏，直到结果正确。另一种是通过检验或证明， 证明了原来的假设成立。上例概括出的共同特征是 t3+23+3 3 + + 刀3 = c - + 2 + 3 + + 甩，2 = ! 半 2 我们采用数学归纳法证明上式成立。 第三节高中生数学概括能力的内容和特点 一、高中生数学概括能力的含义 高中生数学概括能力的含义就是高中生从所学习的高中数学知 识材料中抽象出最重要最本质的东西，并将其建构到自己的数学认 知体系之中，用以指导今后的数学学习的独特的稳定的心理特征。 高中生数学概括能力发展研究 二、高中生数学概括能力的内容 高中生数学概括能力是一般数学概括能力的延伸，包括对高中 所学数学相关知识的概括能力，如：数学符号的概括能力，数与形 的概括能力，关系的概括能力，结构的概括能力，运算与推理的概 括能力，数学思想方法的概括能力等。它所概括的对象范围相对于 小学生、初中生而言有所扩大，但它仅仅是我们数学概括能力发展 过程中的一个阶段，就如高中数学知识是整个数学知识系统中的一 部分一样，它是一般数学概括能力的一部分。 三、高中生数学概括能力的特点 高中生抽象思维能力还不够强，在数学学习中还常常照搬初中 的学习方法，以机械记忆为主，总是寄希望于能依葫芦画瓢的解决 问题，很少能够主动对一些问题进行认真的观察、思考，缺乏独立 的对数学知识、数学问题的积极归纳与概括，缺乏创造性思维，在 农村高中生中以上问题更为突出。 由于高中学习科目多，难度加大，使得一些学生学习压力加大， 课间不休息，晚上有时加班加点到半夜，第二天没精打采，学习效 率低；而有些学生则消极的放弃学习，整天沉迷于网络的虚拟空间 中。如此状态，上数学课时注意力不集中，观察不认真，难以进行 积极的数学思维活动，自然很难谈及对数学知识、方法和技能的积 极概括，更不用说数学概括能力的培养。由于农村中学在管理上比 较落后，所以以上问题也较为突出。 部分高中生对数学的学习没有兴趣，在高中各学科中，数学学 习难度相对较大，很多学生对数学认识不够，对数学在生产生活中 的作用认识不够，使得他们对数学没有兴趣，而学习兴趣是学习动 机中最活跃、最现实、带有强烈的情绪色彩的因素，是推动学生学 习的动力。兴趣的缺乏是制约高中生数学能力发展的瓶颈，自然影 响到数学概括能力的发展。 农村教育硕士学位论文 还有一些学生不求甚解，对问题的思考不注意细节，不注意