（课程与教学论专业论文）高师院校数学系学生数学观发展研究.pdf

中文摘要 数学观是数学教育目标体系中的关键性部分。教师的数学观对 于其如何进行教学有着十分重要的影响，学生的数学观直接影响到 他们对数学的态度和学习数学的效率。 对数学教育领域中的数学观问题的研究，要追溯到2 0 世纪7 0 年代h e r s h 等人关于数学哲学的工作。2 0 世纪8 0 年代和9 0 年代， 数学观问题成了数学教育研究中的热点，h e r s h ，e m e s t ，t h o m p s o n ， l e m a n ，r a y m o n d 等人研究了教师数学观对其教学行为的影响以及 教师数学观念与其教学行为的不一致性。l e s t e r ，g a r o f a l o ，c a r p e n t e r f m n k ，w b n gn g a i - ) ，i n g ( 黄毅英) 等人研究了学生数学观及其对他们 在数学上的表现的影响。 本文在已有文献的基础上，探讨了高师数学系学生数学观发展 问题。概括地说，研究的主要问题是：“高师数学系学生是如何发展 他们的数学观的? ” 研究的原始资料和数据是通过问卷调查、访谈和实习课堂观察， 从湖南师范大学数学系全体本科生中进行随机抽样所选取的四个年 级、1 4 1 名学生中收集的。问卷数据全部用s p s s 统计软件进行了分 析，其他资料主要用定性的方法进行了分析。 研究发现，高师阶段学生的数学观主要是柏拉图主义的。在这 个阶段，学生的数学观出现了两次重要变化，一次从工具主义向柏 拉图主义转变，另一次则在柏拉图主义观念的基础上，呈现出了多 种不同的趋向。导致这些发展变化的主要因素是：解题、教师和课 程与教材的内容。相比之下，教育实习过程中，实习生所接触的传 第一章导 论 1 1 研究的背景 近年来，教师与学生的数学观已成为中外数学教育中数学信念研究 的一个焦点。些研究认为，数学观是数学教育的核心一环，它影响到 数学的教与学。事实上，现有的研究一致地表明：“教师的数学观”对 于其如何进行教学有着十分重要的影响。圆然而，已有的关于数学信念 的研究很大程度上是围绕“数学观念”和“数学教学观念”两个主题展 开的，即是希望能对教师的数学观念和数学教学观念给出具体的界定， 并清楚地指出这些观念对数学教学活动的重要影响。换言之，单就数学 观而言，备受研究者们关注的是“教师有怎样的数学观”，对于教师( 或 学生) 数学观改善的问题，则在很大程度上被忽略了。 数学教育中数学观教育问题的实质性解决被滞缓，其中一个重要的 原因可能是对师生数学观的发展缺乏成熟的认识。事实上，已有的对师 生数学观发展的脉络及影响数学观的形成和发展的重要因素的认识多 为理念的或思辨的，缺乏实证性研究的论证。一些研究发现，数学观的 形成和发展是个非常复杂的受诸多因素影响的过程 ，甚至不同的文化传 统对数学观的形成与发展有不同的影响。另一个原因则可能是在数学教 育的实践中“观念”在教师与学生中的发展在一定程度上形成了一种不 良的相互作用和相互限制，而人们对改善数学观的教育上的有效介入仍 知之甚少。 认识到要改善师生的数学观并影响他们的发展所存在的困难以及 现行教学方面课程的不足，本文旨在探究，在作为教师教育之“源”的 高师数学教育阶段，“学生( 即未来教师) 是如何发展他们的数学观 的? ” 1 2 研究的必要- 陛 数学观研究的持续深入使人们对数学观的重要性有了更多的了解。 在一篇展望数学教育的文章中，库尼鲫声称： 任何数学教学上的重大变革，譬如n c t m ( 美国数学教师联合会) 所制 黄毅英，林智中等中国内地中学教师的数学观课程教材教法，2 0 0 2 ，l ：6 8 7 3 郑毓信数学教育：从理论到实践上海：上海教育出版社，2 0 0 1 2 9 ，5 5 a n n emr a y l n o n d k c o 撼i s t e n c y b 吐w e 锄a b e g i l l i l i n ge l c 脚n 协f y s c h o o lt e a c h c r s m 8 t l 咖撕c sb d i e f s d t 钿c l l i d gp r a 出j 砌皿，1 9 9 7 ，2 8 ，n o5 ，5 5 0 - 5 7 6 c o o n e yt j t h et e h e ro fm 甜l e m 撕c s ：i s s wf b rt o d 哿柚dt o m o 小m mw a s b i n g t o nd c ：n 撕o n 出 a c a d e 【yp r s 1 9 8 7 ，p p l 7 - 3 5 l 进一步地，汤普森在认识到多数教师与学生所持的观点并无不同时， 指出： 这是由于教师成功地将自己的观点传授给了学生呢? 还是师生中 这些观点的出现有共同的根源，比如课程? 或者说这是课程与教师间的 一种组合? 这些观点到底来自何处，它们又是怎样形成的? 如果教师的 观点是来自他们自己学习数学的经历，那么几年后当他们回到学校后又 将这些观点传授给新一代的学生( 如此永久地形成一个循环) ，那么我 们在何处可以打开这种循环的一个缺口，又如何去改变那些观点呢? 这 些就是需要数学教育研究者们关注的实质问题。 事实上，国外已有一些研究认为教师职前培训对数学观的影响是 十分有限的( 详细分析见第二章第四节) 。然而，鉴于不同文化传统对 数学观的可能的影响和中外教师职前培训的体制、内容和方式上的可能 的实质性的不同，比照国外的研究深入探讨中国内地高师教育与未来数 学教师数学观的形成和发展之间的内在联系，是必要且紧迫的课题。 本研究通过对三个问题的调查和分析，希望获得关于“未来教师如 何发展他们的数学观”这一问题的比较系统的认识，并在此基础上探讨 有效改善教师( 学生) 数学观的教育介入方式，进而增进对在高师阶段如 何有效地开展数学观教育的了解。 ， 1 1 3 问题的阐述 本研究关注的是数学教育领域的数学观问题。总体的研究问题是“高 师数学系学生是如何发展他们的数学观的? ” 具体而言，此研究旨在探讨如下三个问题： ( 1 ) 高师数学系学生数学观的发展呈现出怎样的脉络和趋向? 有 关中国内地教师和学生的数学观的调查已报告了不少( 例如，王林全罾， 1 9 9 3 ；黄毅英、林智中等，2 0 0 2 ；白乳利固，2 0 0 2 ) ，但这些调研多着眼 于“师生有着怎样的数学观”，没能动态地关注教师或学生的数学观发 展。基于此，本研究试图从整体上来动态地把握未来教师在数学观方面 的发展。 ( 2 ) 高师数学系学生数学观的不同来源对数学观发展的重要程度有 否( 何) 不同? 事实上，已有一些研究探讨了类似的问题( 例如，f o s s f 0 s sd h ，e i l l s a s s 盯rc p r e s e r v i c ed 锄e n t 町t e a c h 啪v i 鲫o f p e d a g o g i c a l 柚dm t l i e m 撕c s c o n t e n t h o w l e d g e t e a c h h l g 锄d t e a c h e re d l i c 砸o i l ，1 9 9 6 ，1 2 ( 4 ) 4 2 9 4 4 2 ( 萤王林全，cam c g e h e 中美两国中学生数学观的调查分析数学通报，1 9 9 3 ( 7 ) 白乳利对初中生数学观的个案调查与反思数学教学通讯，2 0 0 2 ，1 ：卜3 3 k l e i n s a s s e r ，1 9 9 6 ：r a y m o n d ，1 9 9 7 ：范良火。，1 9 9 8 ) ，特别地，雷曼德 等学者的研究认为教师职前培训对数学观发展的影响是十分有限的，笔 者对这个结论是否完全适于中国内地表示怀疑，并希望本研究能实证性 地发现什么是中国内地未来教师数学观的主要来源。 ( 3 ) 对高师数学系学生而言，有效改善其数学观的教育介入的基本 特征是什么? 即是，如果把做学生时的经历视为数学观的一个重要来源 ( 事实上，已有的理论和实证研究都在很大程度上证实了这一点) ，那 么介入这些经历的教育的基本特征又是怎样的? 第二章文献述评 近二十年以来，有关数学信念的研究得以迅速增长并采取了诸多不 同的研究角度。其中一个焦点就是对相对较为具体的数学观的研究。事 实上，已有不少文献对教师和学生的数学观进行了较为深入的探讨。但 在已有的研究中，该方向所受的关注并不均衡，有一些重要闻题仍没有 得到较好的解决和实质性的关注。 总的来说，在数学教育领域中，数学观的研究存在着三个主要问题： 一、数学教育领域需要怎样的数学观? 二、t 数学教育领域现有的数学观 念形态是怎样的? 三、数学教育中师生怎样发展他们的数学观? 在评述相关文献之前，首先对数学观概念的认识论背景作简要介绍。 2 1 什么是数学观7 尽管对数学观给出一个明确的定义十分困难，人们还是从不同的角 度发展和使用了关于“数学观”的各种界定或者理解，以确定“数学观” 的涵义。在探讨数学观问题的过程中，研究者对数学观涵义的界定主要 有如下几种： ( 1 ) 数学观是人们对数学的本质，数学思想以及数学与周围世界联 系的根本看法和认识。( s c h o e n f e l d ，1 9 8 3 ) 学 ( 2 ) 数学观是学生对自己或他人数学行为理解和感知的观念建构。 ( s c h o e n f e l d ，1 9 9 2 ) ( 3 ) 数学观是关于对“什么是数学? ”的问题的认识。 ( 4 ) 数学观是人们对数学的总的看法和认识- ，其内容主要涉及数学 范良火教师教学知识发展研究上海：华东师范大学出版社，2 0 0 3 转引自白乳荆：对初中生数学观的个案调查与反思数学教学通讯，2 0 0 2 ，1 ：卜3 郑毓信时代的挑战数学教育学报，1 9 9 2 ，1 4 的研究对象、数学的特点、数学的地位和作用等。叫 对上述定义稍作分析，我们可以发现，这些定义多是对“数学观是 对数学的根本( 总的) 看法”这一笼统界定的解析和发展。 应当注意到的是，不同于其他的认知，数学观的认知主体虽也是人 类，但客体却是数学这样一个本身存在着本体论问题( 即数学对象的实 在性问题) 和认识论问题( 即数学的真理性问题) 的对象。换言之，如 同对绝对主义数学观的质询那样，或许并不存在“绝对的”数学观，任 何数学观都是人们通过某些活动或过程形成的对数学的理解与感悟。 由此，我们可以将数学观界定为： 数学观是人们在做数学的过程中形成的对“什么是数学? ”这一问 题以及数学的基本特性的根本看法或认识。 在此界定中： ( 1 ) “主体”是“人们”，而不限于数学哲学家、教师和学生，或与 数学紧密相关的人群。事实上，现代社会，数学已渗透到几乎所有的领 域，任何一个人，不论他“做”( 学) 过多少数学，他与数学的关联是 无所不在的，因而他对数学的看法是无条件存在的。 ( 2 ) 主体达成“数学观”认知结果的认知过程是“做数学”。根据 已有的一些研究( 例如，m gj o n e s & v e s i l i n ，1 9 9 6 ；m c d i a r 血铲， 1 9 9 0 ) ，观念的外部“灌输”并不会实质性地改变主体的数学观，“做数 学”才是数学观形成与发展的“载体”。在这里，“做数学”包括了学数 学、教数学( 含教育实习) 、数学问题解决回( 包括数学研究) ，以及在 现实中应用数学的活动。 ( 3 ) “客体”强调了对数学本质的信念。与一些研究模糊的界定不 同，我们明确将“数学教学观念”和“数学学习观念”排除在“客体” 之外。 事实上，根据雷曼德的研究，教师自身希望教好学生的强烈愿望极 有可能导致其持有的关于数学本质的信念与其持有的关于数学教学的 信念不一致。 这也正如赫斯( h e r s h ，1 9 7 9 ) 所指出的：“人们关于数学是什么 的观念影响到数学应当如何被教的观念。而教数学的方式又往往表明了 张国杰数学学习论导引重庆：西南师大出版社，1 9 9 5 罾j o n e sm g v e s i l i i i de m p i i t 血gp r 删c ei n t 0 也e o r y ：c i i 姐g 髂i l it h eo 姆抽z a n o n0 fp r e s e r v i c e 埋a c b e r s p e d a g o g i c a ll q l o w l 醴g ea m 砸c 触e d u c 拍叽a 1 r c a r c hj o u r a l ，1 9 9 2 ，3 3 ( 1 ) ：9 l - h 7 ( 曼) m c d i a m “gw c h a l l e n g i n gp r o s 删v et e 们h 盯sb e l 曲血血ge a d y 毹l de x p 盯i e 眦：a q u 扭嘶cl 】n 枞i n g ? j a 哪a lo f t e a c l l e re d u c 撕o n ，1 9 9 0 ，4 l ( 3 ) ：l l 一2 0 ( d 详细的定义见郑毓信，数学教育哲学成都：四川教育出版社，2 0 0 1 4 5 0 一4 5 5 5 人们对什么在数学中最重要的信念。因而，问题并不在于教学 的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。” ( 4 ) 数学观作为一种认知的结果，未必是一种系统的理论观点，而 也可能是一些素朴的认识，其持有者更未必对此具有清醒的自我意识。 基于此，我们将数学观表述为“对的根本看法或认识”。因为“看 法”往往是浅表的、零碎的( 分裂的) 、感性的，而“认识”则一般是 深入的、系统的( 整体性的) 、理性的。 另外，应当指出的是，对数学观的“客体”作一个明确的界定是极 为困难的，本文所给出的界定对此只是作了一个相对狭窄的限定，即强 调关于数学本质的信念，同时对主客体交互的过程作了一个简单的刻 画，为的是突出强调以下两点：一、数学观问题的核心在于关于数学本 质的信念，其他的观念则在很大程度上由数学本质观所决定；二、“做 数学”的行为过程是我们理解师生数学观的重点所在。进一步说，“数 学教学观”和“数学学习观”并不能与“数学观”混为一谈，虽然它们 在很大程度上由“数学观”决定，但同时它们也在一定程度上折射了别 的因素的干扰。 2 2 数学教育领域需要怎样的数学观? 数学观是世界观的部分，而世界观是哲学范畴的主要要素，因此， 探讨数学观问题，不可避免地要涉及到认识论。在人类认识史上，数学 观始终与哲学有着千丝万缕的联系，它们相互促进，相互影响，又相互 制约。基于此，我们认为全面了解哲学认识论中人们对数学观的认识的 发展是很有必要的。 早期的数学观与哲学联系紧密，古希腊毕拉哥拉斯的“万数皆数”； 中国古代秦九韶的“数与道，非二本也”等言论，既是一种数学观，又 是一种世界本原观。事实上，在很长一段时期内，人们都认为数量关系 是现实的本质，数学的有效性曾使文艺复兴时期的人们笃定地相信“上 帝按数学方式设计了世界”。随后，随着数学与哲学的分离，欧几里德 的演绎观点在很大程度上统领了人们的数学观，并导引了相对具体的基 础主义静态数学观的产生和发展。从1 9 世纪中期到2 0 世纪四十年代， 基础主义数学观处于支配地位。然而，由于三大基础主义学派基础研究 规划的“失败”，引发了人们对数学的反思，并进而导致了基本观念的 变化，即从静态的绝对主义数学观开始向动态的可误主义的数学观转 变。 美国著名数学教育家伦伯格曾指出： 两千多年来，数学一直被认为是人类的活动和价值观念无关的无可 怀疑的真理的集合。这一观念现在遭到了越来越多的数学哲学家的挑 战，他们认为数学是可错的、变化的，并和其他知识一样都是人类创造 性的产物，这种动态的数学观具有重要的教育涵义。 随着哲学认识论观念的重要转变，数学教育哲学家开始探讨数学教 育中绝对主义数学观在教育中的替代观念，例如欧内斯特的社会建构主 义数学哲学就被认为是关于这一论题的最早的系统研究。 与此同时，作为哲学认识论指导数学教育观念的一个重要体现，研 究者们开始尝试对数学观进行归类。 戴维斯和赫斯( d 莉s & h e r s h ，1 9 8 1 ) 率先给出了数学观的一个分 类：柏拉图主义的观点( p i a t o n i s m ) ，形式主义的观点( f o n n a l i s m ) 和 建构主义的观点( c o n s t m c t i v i s m ) 。 利曼( l e 衄a n ，1 9 8 6 ) 在探讨教师数学观与其教学行为的关系的存 在性时，采取了另一种分类方法，他认为欧几里德的、绝对主义的观点 与拟经验的( l a k a t o s i a l l ) 、可误主义的观点构成了两个极端，而在这两 个极端之问的一维连续区域里，还存在着四种观念：逻辑主义的、形式 主义的、直觉主义的、拟经验的。 1 9 8 9 年，欧内斯特 在综合分析前入的工作的基础上i 将数学观分为 以下三类：问题解决的观点、柏拉图主义的观点、工具主义的观点。问 题解决的观点把数学看成是一个动态的，由问题推动而发展的学科。数 学体现着人类的发明与创造，它不是一个一成不变的成品，它的结果是 开放的、可修正的，因而它必然处于不断发展变化之中。柏拉图主义的 观点将数学看成是一个静态而统一的知识的集合，它通过逻辑将相互联 系的结构和真理很好地组织起来，组成一个永恒不变的高度统一的真理 集合。工具主义的观点则把数学看成适于各种情况的有用的事实性结 论、法则和技巧的汇集，这些事实、法则和技巧并不相互关联。因而“数 学是一堆彼此无关但却很有用的事实和法则。” 上述的几种分类反映了这样一个趋势，即它们渐次贴近了教育。事 实上，欧内斯特的分类已充分考虑到了三种类型的数学观“在数学教学 d a v i s 柏dh 粥h1 飞en a t u r eo fm 8 出e m a h c sa n dp e 琏p e c 虹v 锶a b o n t 伍缸h e 皿矗l i c s a d v a h c e si n m a t h m t i c s ，1 9 8 l ，v o l3 3 ，p p 3 1 8 l e m 姐t h ee x i s t e n c eo far e l a h o n s l l i db e t w 鲫lt e a c h e r s v i e w sa b o u tm 矗d l e m a 缸c s 姐di t s t e a c l 正n ga n dt i e i r 证栅以o n a lp r a c 如ep l l i l 稍叩h yo fm a 吐眦a t i c se d u c 撕o nn e w s l e t t 1 9 8 6 ， p p 7 1 e m e s tpt h e k n o w k d g e ，b e l i e f sa n da t t i t l l d 器0 f t l 旧m a | l i 啪a t i c s - i ：苣撇am o d e l j a 哪a l0 f e d i i c 撕o nf b ft e a c h 甜n g ，1 9 8 9 ，1 5 ( i ) ：1 3 - 3 3 7 中被观察到频繁出现和它们在数学哲学学术研究中的价值”。当然，我 们在此也应当注意到，再细致的分类也仍然难以涵盖人们所有的数学 观。有时我们很难确切地界定某人的数学观是属于哪一类型的，它很可 能是处于某两类或几类观念之间的。 纵观哲学认识论中人们对数学观认识的发展和研究者们所给出的各 种数学观分类，虽然并无任何研究明确指出数学教育领域需要怎样的数 学观，但几乎所有已有的研究都暗示了这样一种观点，即动态的、问题 解决的数学观是数学教育中所需要的。在我看来，这三种观念并不存在优 劣比较的问题。对不同的时期、不同的教育对象而言，对观念的侧重与 强调并不完全一致。单就教育角度而言，工具主义代表了低层次的观念 形态，柏拉图主义次之，问题解决则代表了高层次的观念形态。这三种 观念形态构成了金字塔式的、相容的观念架构。 然而，与多数研究所暗示的观点不同，一些学者对以从一个极端陡 转到另个极端为特点的过激看法提出了不同的意见。 例如，郑毓信指出：“无可否认，相对于所谓的绝对主义数学观而 言，拟经验的数学观是一种进步，即更为真实地反映了数学韵本性；但 是，作为问题的另一方面，我们又应防止由一个极端走向另一个极端， 或者说，我们更应注意揭示数学的辩证性质。”在肯定数学首先是一 种活动的同时，我们又应注意从数学知识，即数学活动的产物这一方面 去揭示数学的特殊性。例如，作为数学特殊性的一个重要表现，我们无 疑应当明确肯定数学的形式特性”。 总的来说，这些文献提出了数学观的各种分类，强调了数学观的演 变，并给出了“正确的数学观”的一个大致方向。数学观的影响和被影 响的复杂性，可能正使得人们不论在哲学上还是在数学和数学教育领域 都难以给出所谓“正确的数学观”的一个“绝对主义的”具体界定。 基于此，有学者将“正确的数学观”理解为：一种分析和理解的偏 好、一种理解结构和结构关系的偏好、一种观察事物和相应适应的偏好 。在我看来，在此我们或许也应该“动态地”来看待“什么是正确的 数学观? ”这一问题，进而，如同上述文献所表述的那样，对“数学教 育领域需要什么样的数学观? ”给出广泛意义上的定性分析。 2 3 数学教育领域现有的数学观念形态是怎样的? 多数针对教师数学观的研究是与教师的教学实践放在一起来探讨 郑毓信数学教育哲学，成都：四川教育出版社，2 0 0 1 4 4 5 4 4 6 鲍建生教学问题解决的理论与实证研究见：顾泠沅等编著寻找中间地带：国际数学教 育改革的大趋势上海：上海教育出版社，2 0 0 3 2 4 2 3 1 2 8 的。例如，汤普森( 1 1 1 0 唧s o n ，1 9 8 4 ) 对三名初中教师进行了个案研 究以调查他们对数学和数学教学的认识。通过课堂听课、面谈和书面作 业，该研究对每一位研究对象关于数学及数学教学的认识给出了一个概 括的模式。 着眼于中国乃至整个东亚在各项国际数学比赛中的突出表现，黄毅 英、林智中等人组成了研究小组对中国内地和香港师生数学观进行了深 入的探讨。按上述欧内斯特的分类，该研究中教师的数学观主要是柏拉 图主义的观点。 在对学生数学观的研究中，他们还对已有的针对学生数学观的研究 作了一些归纳和概括窜。而与黄毅英等人的研究方法基本一致，自乳利 ( 2 0 0 2 ) 对5 6 名中国内地学生的数学观进行了调查与分析，得到了类 似的结果。 f r a i l km 在一项旨在了解数学观的形成与解题能力的相互影响的研 究中，对学生的数学观进行了初步的概括。王林全 则在综合一些调研 结论的基础上，将中学生数学观的片面性和他们对数学的误解的主要表 现概括成以下几点：( 1 ) 把数学等同于计算；( 2 ) 把数学看成一堆概念 和法则的集合；( 3 ) 对数学问题的观念呆板化，相当多的学生( 甚至有 些教师) 把数学问题等同于教科书上的练习题、复习题、或考试题，并 习惯于数学问题有确定的甚至唯一的答案：( 4 ) 看不到或很少看到活生 生的数学问题。 总的来说，在那些探讨师生具有怎样的数学观的研究中，多数都一 致揭示出师生数学观的片面性和静止性，而这种狭隘性又限制了师生在 数学教与学的方式上的进步。可以认为，这是为何有如此多的调研报告 和理论文献呼吁要在数学教育中“端正”和改进教师与学生的数学观的 主要原因所在。 2 4 数学教育中师生怎样发展他们的数学观? 在一些直接或间接涉及这一问题的文献中，对影响数学观形成的因 素的分析多数在本质上是思辨性的，或是仅仅关注于一些特殊的因素， 如参加某些体验性的活动或是某些教育课程。有意思的是，这些探讨特 定因素对数学观的影响的研究甚至得到了一些相互矛盾的结论。 转引自范良火教师教学知识发展研究，华东师范大学出版社，2 0 0 3 2 4 2 5 黄毅英，林智中等香港教师数学观的研究数学教育学报，2 0 0 3 ，1 2 ( 2 ) ：1 9 f r kmlp r o b l c ms o m t l g i 曲嘶c a lb e h e 柚n l i n 鲥ct e a c l 毗1 9 8 8 ，( 3 5 ) ：3 2 - 3 4 王林全数学课程要帮助学生形成正确的学科观念教学通报，2 0 0 0 ( 5 ) ：6 7 一些研究发现( 例如，m c d i 撇i d ，1 9 9 0 ；b a l l ，1 9 8 9 ) ，某些数学 教学课程对受训的未来教师确实可以产生一定的影响，但这种影响并不 能在很大程度上持续下去。而一个更广泛的人们早已提及但尚未解决的 问题是，大学里的这种职前培训所产生的影响是否会被未来学校教学的 经验所消除? 事实上，根据k u p a r i 等人的研究，教龄越长的教师，其数学观越趋 于传统，而教龄短的教师，其数学观则相对非传统。笔者认为，一个可 能的原因是数学课程本身隐含的数学观是传统的或被教师理解为传统 的，而且随着教师“数学经验空间”日益单纯，教材隐含的数学观对教 师数学观的影响日益突出，最终导致教师教学的时间越久，他对数学的 看法越传统。 与仅仅关注于一些特殊的因素不同，在一项旨在促使未来教师 反思其数学观的研究中，斯力勒固等人发现，以知识一合作一反思为基 础的作为传统教学方式的替代的数学教学课程可以有效地改善未来教 师的数学观念。同时，斯力勒等人发现，他们研究中所采用的教学内容 对于这些未来教师而言是困难的。 因此，我们可以认为这些研究得出相互矛盾的结论的一个原因是， 那些认为教育介入难以改善教师数学观的研究，其教育内容对受训的教 师而言没有什么智力上的挑战。 除了关注数学观的特定来源的研究，一些研究者还注意到了观念上 的变化与实践上的变化的因果关系，得到了一些有趣的结论。 方面，欧内斯特断言：除非教师深层的数学观念发生了重要变化， 否则其在教学上的变革不会发生。( e m e s t ，1 9 8 9 ) 另一方面，戛斯金指 出，教师在信念与态度上的重大变化只可能发生在学生学习上的变化得 到证明之后。此外，弗兰 的研究也揭示，教师在态度、信念和理解上 的变化一般发生在其行为变化之后，而不是之前。 b a l ld l b r e a l 【i n gw i 也e 冲积曲c e i i ii 朋皿i n gt 0t e a c hm a 血眦撕锚：n el 沁l eo f ap r e s e r v i c 。 婪如o l s c 0 u r s e e 黯tl 删i i l g ，m i ：n a t i o 枷c 蹦衙f o r r 舶e a 母t c a c h i n g e d u c a 曲r l k i l p a r ip f r o m 础i n gc o m p u t 撕o n a ls b l l st 0p r o b 南ms o l v i n g + i n s d t l l t ef 打e d u c 枷o n a l r e a r c hr e a r c h r e p o r t 7 s t l e ，d i 托afp r a a t m o n 盯si e s e 盯c h ：as 乜l _ d yi nc h 柚g i n gp r c s e r v i c et e h c r g c o n c e p t i o i l s a b a u tm 劬e m 鲥c s 如dm g i l l e m 撕c gt e i i i l g 柚di e a m i n g s c h 0 0 ls c i 吼c e m a t l l e m 撕c s ，1 9 9 7 ， 登1 9 7 ，i s & 】e4 q 斌e y _ c h a l l g 沁i nt e a c b b e h e 矗锄d 枷t i l d e s b 栅s he d i l c 撕0 n a l r e s e a r c hj o 啪a l ， 、b 1 1 2 ：2 1 1 2 3 0 ( 巨) f u u 孤a s t i l d yo nn 地i m p i 搴m e n t d 曲no f ar e a d i 昭p r o f 蛐衄e s c h o o ls c i 锄c e & m a t h e m a d c s ， 1 9 8 5 ，以8 5 ：4 0 6 4 1 8 1 0 根据郝勒斯等人的研究，教师教学行为主要受课堂情境和教学决策 的影响，而教学决策不仅源自教师个人的认识结构和信念，还更容易受 外在因素，如有影响力的人物的左右，因此，先于信念变化而变化的行 为在教学中是可能存在的，这种先于信念变化的行为变化无疑可以唤起 教师对观念的反思，进而引发教师深层观念的“革命”，并反过来促进 其教学实践的“稳定的”变革。由此，我们可以认为上述两种观点不但 并不矛盾，而且正好刻画了观念变化的两个不同阶段。 另外，在探讨内地和香港教师“有怎样的数学观”的研究中，黄毅 英( 2 0 0 2 ，2 0 0 3 ) 领导的数学观研究小组对影响教师数学观形成的主要 因素作了深入的理念性的分析。该研究认为：课程与教材的内容，整个 社会的数学、数学哲学的发展，考试制度等是影响教师数学观形成的主 要因素。 与此形成对比的是，雷曼德( 1 9 9 7 ) 在探讨教师信念与教学实践的 不一致性的研究中发现，对新手教师而言，影响其信念形成和发展的因 素按主次顺序依次是作为中小学生时的经历，教师职前培训，教学实践， 早期家庭经历，课堂情境和学生。 在此值得深思的一个问题是，雷曼德的研究所指出的导致教师信念 与实践不_ 致的因素在很大程度上与黄毅英等人的研究所指出的影响 教师数学观形成的因素相重叠。因而，对教师过多的限制可能正使得教 师不论是在信念上，还是在实践中都很少有机会挑战传统。 第三章研究方法 本章主要涉及参与人员介绍，研究工具，数据收集过程，数据处理 与分析的方法，以及研究方法的评述等方面。 3 1 研究设计 数学观是一个复杂的信念系统，因此，“应该从微观和实证的角度” 去拓展教师信念的研究。圆本研究除了通过问卷调查，实习课堂观察， 半结构式的访谈来收集原始数据资料外，还对访谈和实习课堂观察采用 了案例分析的方法来进行尽可能深入细致的探讨。 ( 1 ) 问卷调查表 问卷调查表由2 7 个问题组成，可见附录a 。问卷设计依次参照了第 h o ) d e sm 甜l e m 撕c sb d i e f s 卸da 船s r 趣c d 协硼s ：b e 】j c 岛c 删s n l l c 惦di n s e 砸n g s e d u c 鲥d n a ls t u d i 龉i nm a 吐岫a s ，v 0 1 2 9 ，9 7 1 2 9 康武信念数学教师的方向性问题数学教育学报，2 0 0 3 ，1 2 ( 2 ) ：1 7 2 o 1 h 二次国际数学研究( s 蹦s ) 的问卷和斯潘格勒和托纳固等人的研究所 采用的问卷。为了避免问卷受研究者主观认识的左右，以及保证所给问 题能被明确地回答，问卷设计过程中，还向数名专家和高师数学系学生 作了技术性的咨询。 在理念上，整个问卷设计以第2 章中对数学观作出的界定为基础， 将数学观分成了a ) 对数学本质的认识，b ) 对做数学的内容与方式的理解； c ) 对数学根本特征的感悟等三个调查度向。具体说来，第1 部分( 问题 l 至4 ) 是为了获得有关的背景资料，以帮助理解和分析被调查者对问 卷的回答；第1 i 部分( 问题5 至2 3 ) 用于调查学生目前所持有的数学 观，利用不同年级大学生的回答来横向分析高师数学系学生数学观的发 展；第部分( 问题2 4 至2 7 ) 则针对学生现有数学观的来源。在深入 分析已有相关文献和与专家、高师大学生讨论的基础上，我将影响未来 教师数学观发展的可能因素表述为a ) 教师在课堂中“演示”数学的方式； b ) 数学教材内容与整体编排：c ) 解数学题：d ) 数学考试；e ) 早期家庭教育 经历；f ) 同学及数学课堂情境；曲其他校外活动。 根据第二章给出的界定，本问卷尽量避免将数学观与数学教学观混 为一谈，但同时应当指出的是，由于对“做数学的内容和方式”的理解 在很大程度上与关于数学教与学的观点相重叠，因此，本问卷仍可能不 可避免直接或间接地涉及被调查者关于数学教与学的观点。在我看来， 刻意避免涉及师生关于数学教与学的观点，不如深入分析他们这些观点 是否折射了其他因素的干扰。 需要指出的是，问卷测量只能帮助我们了解学生数学观及其来源的 大致轮廓和整体情形。因此，在本研究中，其他的研究方法也被纳入了 方法框架。 ( 2 ) 半结构式访谈 延续问卷的设计理念，访谈共设计了9 道开放性问题，每个问题情 境可根据未来教师的回答选择下一步的问题。访谈问题可详见附录b 。 访谈内容大致可分为两个部分。第一部分是对问卷调查的深入，尤 其是学生对数学的看法的来源在访谈问题中得到了强调；第二部分针对 可能影响数学观发展的三个重要因素设计了访谈问题，这三个因素分别 是：对数学的反思；阅读有关书刊；教育实习。 s p 卸g l e rd a c c e s s 沁s m d e n 招b e u c f s 曲0 mm 砒锄a 晒t l i em 砒e m a l i c se d u c a 协r ( o nl i e ) ， 4 ( 3 ) ：1 9 2 3 h t t p ：加w i l s c 哩a 枷e p t ，i m e s 鲫，蝴n ”s p 锄g l p d g 切时e rt 唧e f e w so fg e 眦蛐m a 血e m a t i c st e 峙h e 聃m a m e 姒d c s 1 t t p ：、c b d o c 1 州窖 d e ，e b o o 龇，g d m ，1 9 9 6 ，t m 哦 。 1 2 这种半结构式的访谈在研究者指导教育实习的过程中分多次进行， 以求了解学生数学观中深层的、内隐的部分以及他们在观念上的内在变 化。 ( 3 ) 实习课堂观察 与访谈的目的一致，在本研究中，课堂听课被作为一种研究手段是 因为数学观在很大程度上是“隐性的”和“幕后式的”，它往往在教师 的实际授课中间接地反映和体现出来。作为与问卷和访谈并行的研究手 段，实习课堂观察在本研究中用来弥补前二者的缺陷和对比与印证与前 二者的发现。 附录c 给出了用于课堂观察的指导提纲，所有的课堂听课都用笔记 的形式进行了记载。一些与数学观联系较密切的课堂情境被提取为研究 案例，并用“广角镜”的记录方法进行了记录。 总的说来，问卷、访谈和课堂观察并非是截然分开的，相反，在本 研究中它们是相互补充、相互交织的，在方法与方法之间的过渡不是一 种生硬的切换，而是一种相互承接的“软切换”，从一种手段可以很自 然地过渡到另一种手段。 3 2 数据收集 本研究的总体取自湖南师范大学数学系全体本科生。在一至三年级 中，分别随机取了一个行政班作为样本班，每班又随机抽取了4 0 名同 学作为问卷调查对象。对四年级，则以笔者指导教育实习的实习队成员 为问卷调查、访谈和课堂观察的对象，共有2 1 人，分别来自两个行政 班和不同的选学方向。 问卷调查表于2 0 0 3 年9 月初发出，累计发出问卷1 4 1 份，1 0 月下旬 开始收回，回收有效问卷表共计1 2 5 份，有效回复率为8 8 6 5 。其中 问卷的有效性是以问卷中的对偶性问题，如6 与1 2 ，8 与1 6 等来确定 参与者是否认真回答问题的。 总体从三年级起，开始打乱行政班，分成了三个不同的选学方向： 基础数学，应用教学和数学教育。表3 2 1 给出了三、四年级问卷调查 对象选学方向的分布情况。 3 2 1 问卷调查 应用数学 本选学方向分布 基础数学数学教育f 总计( 人) 三年级j 1 5 i 8 四年级i7l 8 访谈对象则在四年级学生中确定，在记名回收问卷并对各参与者的 回答作了初步分析后，确定了1 7 名有较大代表性或特色的学生作为访 谈对象。访谈是与实习课堂观察紧密结合的，两者都作了详细的记录。 3 3 数据处理与分析 如前所述，问卷将数学观分成了数学本质、做数学和数学特征三个 调查度向，为了明确样本的哲学取向，我们将问卷的第1 i 部分的1 9 个 条目按工具主义、柏拉图主义和问题解决三类数学观逐一作了归类，归 类参照了e m e s t 对这三类数学观的具体刻画。把每个条目只归类到一类 显然可以简化数据分析。但事实上某些条目却可以归属到两个不同的类 别中去。例如，条目8 中的逻辑问题在问题解决的观点中具有重要的地 位，但由于柏拉图主义更突出逻辑的地位，因此，我们把它归类在柏拉 图主义的观点中。 事实上，在e m e s t 模型中，工具主义、柏拉图主义和问题解决的观 点构成了金字塔式的相容结构，因此，把一些条目归于低层次的类别并 不会消减它们在高层次类别中的重要性。 问卷第1 i 部分中数学观调查度向和数学观类别的问题分布情况在表 3 3 1 中给出。 表3 3 1问卷第1 i 部分中关于数学观调查度向 工具主义柏拉图主义问题解决 数学本质 1 1 1 3 7 ， 7 ，1 9 9 2 2 做数学 1 0 ，1 4 ，1 5 8 1 22 3 数学特征 2 0 2 l1 6 1 8 5 6 问卷第1 i 部分的数据分析是依次按照以下步骤来进行的： ( 1 ) 首先将问卷按年级进行分组，并在组内进行了编号( 本文中， a 1 表示四年级编号为1 的参与者，b 2 表示三年级编号为2 的参与者， 其他依此类推) ，并对每个组逐题求平均评估分值，1 9 个问题得到1 9 个平均评估分值，然后合并四个组求平均值，以得出高师学生在不同度 向中的认识倾向； ( 2 ) 对每个组作如下处理：按表3 3 1 的类别，求出每位被调查对 象的类别平均评估分值，然后对所有学生的三个平均值按多个相关样本 的非参数检验中的f r i e d m a i l 检验法。检验三类观念的显著性差异，以得 出每个组( 即年级) 的数学观取向。 参见吴喜之非参数统计北京：中国统计出版社，1 9 9 9 7 9 8 2 ；苏金明等统计软件s p s s 系 列应用实践篇北京：电子工业出版社，2 0 0 2 2 4 4 。 1 4 ( 3 ) 针对工具主义、柏拉图主义和问题解决三个类别进行组与组之 间的显著性差异检验。由于各个年级之间在数学观方面的相互影响并不 十分明显，因此此处采用了两个独立样本的m 舢- w h i t n e y 非参数检验 法来对不同年级两两比较，以得出工具主义、柏拉图主义和问题解决 三种数学观各自发展变化的趋向。 问卷第l 部分的数据的分析则依次遵循了如下步骤： ( 1 ) 对所有参与者求出每个因素的均值，以获得各因素影响程度的 初步结果： ( 2 ) 对问卷中所列出的七种影响因素用多元变量的k e n d a l l 协同系 数检验法来检验所有参与者所做的选择的一致程度，再对全部问卷作如 下处理：将评估分为4 和3 的置为l ，评估分2 和l 的置为0 ，然后对 七种因素进行关于二元响应的c o c l l r a n sq 检验以得出各因素的肯否频 数及显著性差异； ( 3 ) 对第部分三个类别的均值按选学方向( 三、四年级) 的不同 用f r i e d m a n 检验法检验其均值的显著差异，以得出选学方向对数学观 发展的影响程度。 以上数据的储存和所有的统计分析，全部用统计软件s p s s 来实现。 对于访谈和课堂观察中得到的数据，分两次作了处理。首先针对数 学观，按e m e s t 的模型来别类，如果内容无法用此标准来别类，则另立 新类别，然后，针对数学观的来源归类，采用了类似的处理方法。 总的说来，数据分析遵循了两条基本原则。 第一，采用了定量分析与定性分析相结合的方式。定量的方法主要 应用于来自问卷调查的数据，以求得到高师学生数学观的一般取向和他 们是如何发展其数学观的一般模式。定性方法主要应用于来自访谈和课 堂听课的数据，以深入地阐明各个体是如何形成和发展他们的数学观 的。这两种方法相互证实，相互补充。 第二，关注学生的背景对其数学观发展的影响。将从问卷获得的有 关学生的背景信息，特别是他们所选学的方向，与他们在问卷中所反映 的数学观取向进行了联系分析。 第四章研究的发现与分析( 一) ： 高师学生数学观及其发展 参见吴喜之非参数统计北京：中国统计出版社，1 9 9 9 5 7 6 3 ；1 1 2 1 13 ；8 2 8 3 ；苏佥明等统 计软件s p s s 系列应用实践篇北京：电子工业出版社，2 0 0 2 23 3 2 3 4 ；下文的k e n d a l l 协同系数 参见2 4 4 2 4 5 ；c o c h r n sq 检验参见2 4 5 2 4 6 1 5 如第二章的文献评述所指出的，关于中小学师生的数学观的研究己 为数不少，且多是围绕着数学观的现状展开的。而对于作为学生与教师 的过渡环节的高师阶段，几乎没有研究，基于此，本章首先报告了高师 阶段学生有着怎样的数学观，然后分析了高师阶段学生数学观的发展变 化，并结合这些发展，就内地数学观研究的焦点问题数学抽象与应 用的问题报告了研究的发现，作了相应的分析。 4 1 高师阶段学生数学观取向 问卷第1 i 部分( 第5 至2 3 题) 是针对学生的数学观取向的。表4 1 1 给出了全部参与者对这1 9 个条目的平均评估分值。 表4 1 1 问薹蠢鬟薹囊蚕囊霎鍪霎篓羹嚣羹蒸攀 班羹 ；粤吲l i ；霎态l i ；i i 8i i i 蓑耄型i ；! ! l ；j i i ! i ；i i | i 薹! i ；萋翼篓i l ；| l i ；i l i l ! i l ；i i 蟊i 耄l ： 料的分析是以表4 13 所给出的基于e m