（计算数学专业论文）基于水平集方法的图像分割.pdf

摘要 论文题目：基于水平集方法的图像分割 学科专业：计算数学 研究生：李晓伟 指导教师：赵凤群教授 戴芳副教授 摘要 签名： 签名： 签名： 图像分割是计算机视觉中的关键步骤之一。传统非模型的分割方法由于其方法本身的 局部性，有分割区域边界可能不完整、缺乏结合先验知识能力等缺陷，难于满足复杂分割 应用的需要。因此，需要一种能有机结合图像本身的低层次视觉属性与待分割目标先验知 识的灵活开放的框架，以获得分割区域的完整表达。目前基于水平集方法的图像分割正在 显示它的优越性，它有对初始轮廓线位置不敏感，拓扑适应性强等优点。 本文研究了基于水平集方法的图像分割方法。首先综述了图像分割的方法，对图像分 割的目的、意义进行了概述，并重点对基于能量的s n a k e 模型、m u m f o r d - s h a h 模型、 c h a n v e s e 模型等三种模型进行了介绍和分析。其次详细介绍了曲线演化理论、偏微分方 程模型的水平集方法求解以及数值计算方法。针对水平集方法中符号距离函数计算量比较 大这一缺点，本文提出了一种快速构造符号距离函数的方法一八邻域源点扫描法，该方法 具有速度快、精度高的特点。通过和直接法、快速行进法、李俊的方法进行对比，结果表 明该方法是有效的。最后针对c h a n - v e s e 模型对一些多目标图像边缘定位不准确的不足， 本文通过加入基于梯度的能量项对c h a n - v e s e 模型进行了改进，使得模型不但利用了图像 的区域灰度信息，而且还利用了图像的区域梯度信息，并用本文提出的八邻域源点扫描法 来构造符号距离函数，从而使模型对多目标图像有更好的分割效果，并减少了迭代次数， 缩短了分割时间。 关键词：图像分割；偏微分方程；水平集方法；c h a n v e s e 模型；符号距离函数 西安j e x - 大学硕士学位论文 t i t l e ：l m a g es e g m e n t a t l o nb a s e d o nl e v e ls e tm e t h o d m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s n a m e ：x i a o w e il i s u p e r v i s o r ：p r o f f e n g q u nz h a o a s s o c i a t ep r o f f a n gd a i a b s t r a c t s i g n a t u r e ： s i g n a t u r e ： c ：心。批i s i g n a t u r e ：里堕幽 i m a g es e g m e n t a t i o ni so n eo fk e yi s s u e si nc o m p u t e rv i s i o n b e c a u s eo fe x t r a c t i n go n l y l o c a li n f o r m a t i o n 谢t 1 1d i s c o n n e c t e db o u n d a r yo ft h es e g m e n t e dr e g i o n ，a n dl a c ko fa b i l i t yt o i n t e g r a t ep r i o rk n o w l e d g ea b o u tt h es e g m e n t e do b j e c t s ，c l a s s i c a ln o n - m o d e lb a s e di m a g e s e g m e n t a t i o nt e c h n i q u e sc a n n o ts a t i s f yt h er e q u i r e m e n t so fc o m p l e xi m a g ev i s i o na p p l i c a t i o n s i nt h i sc a s e ，af l e x i b l ef r a m e w o r ki sr e q u i r e dt h a tc a ni n t e g r a t eb o t hl o wv i s i o ni n f o r m a t i o n f r o mi m a g e sa n dp r i o rk n o w l e d g ea b o u tt a r g e to b j e c t ss e a m l e s s l yt ol e a dt oac o n s i s t e n t r e p r e s e n t a t i o no ft h es e g m e n t e dr e g i o n s n o w a d a y s ，t h ei m a g es e g m e n t a t i o nb a s e do nl e v e ls e t m e t h o dh a sr e c e i v e dm u c ha p p r e c i a t i o n ，s u c ha st h ei n s e n s i t i v i t yt ot h ei n i t i a lc u r v ep o s i t i o n ， t h es t r o n ga b i l i t yt od e a lw i t ht h et o p o l o g i c a lc h a n g e se t c sp a p e rh a v eas t u d yo ni m a g es e g m e n t a t i o nw h i c hi sb a s e do nl e v e ls e tm e t h o d f i r s t ， t h em e t h o d s ，t h et a r g e ta n dt h es i g n i f i c a n c eo fi m a g es e g m e n t a t i o na r ei n t r o d u c e d ，a n dt h e s n a k em o d e l ，m u m f o r d s h a hm o d e l ，c h a n v e s em o d e la r ed i s c u s s e di nd e t a i l a n dt h e n ，t h e t h e o r yo fc u r v ee v o l u t i o n ，h o wt os o l v et h ep d e sm o d e lb a s e do nl e v e ls e tm e t h o da n di t s c a l c u l a t i o nm e t h o d sa r ee x p a t i a t e d o n ed i s a d v a n t a g eo fl e v e ls e tm e t h o di st h a tt h e c o m p u t a t i o n a l c o s to fs i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o ni s e x p e n s i v e an e wm e t h o d - - - e i g h t n e i g h b o r h o o dv o r o n o is o u r c es w e e p i n g ，w h i c hc a nc o n s t r u c tt h es i g n e dd i s t a n c ef u n c t i o nf a s t ， i sp r e s e n ti nt h i sp a p e r t h i sm e t h o dp o s s e s s e sg o o da c c u r a c ya n dh i g hs p e e d c o m p a r eo u r m e t h o dw i t ht h ed i r e c tm e t h o d ，t h ef a s tm a r c h i n gm e t h o da n dl i j u n sm e t h o d ，t h ee x p e r i m e n t a l r e s u l ts h o wt h a to u rm e t h o di se f f i c i e n t l a s t ，t h ec h a n - v e s em o d e lc a nn o tg e tg o o de d g e so f s o m em u l t i t a r g e ti m a g e s ，s ot h ee n e r g yt e r mb a s e do ng r a d i e n ti se n t e r e di n t oc h a n - v e s e m o d e lt oi m p r o v et h i sm o d e l ，t h ei m p r o v e dm o d e ln o to n l ym a k eu s eo ft h ei m a g er e g i o n g r a y i n f o r m a t i o nb u ta l s om a k eu s eo ft h ei m a g er e g i o n g r a d i e n ti n f o r m a t i o n ，a n du s et h en e w m e t h o d _ e i g h tn e i g h b o r h o o dv o r o n o is o u r c es w e e p i n gt oc o n s t r u c tt h es i g n e dd i s t a n c e i i 摘要 f u n c t i o n ，s ot h ei m p r o v e dm o d e lc a ng e tb e r e rr e s u l tt ot h em u l t i - t a r g e ti m a g e s ，a n da l s ot h e u s i n gt i m e o fs e g m e n t a t i o na r es h o r t i n g k e yw o r d s ：i m a g es e g m e n t a t i o n ；p d e ；l e v e ls e tm e t h o d ；c h a n v e s em o d e l ；s i g n e dd i s t a n c e f u n c t i o n 独创性声明 秉承祖国优良道德传统和学校的严谨学风郑重申明：本人所呈交的学位论文是我个 人在导师指导下进行的研究工作及取得的成果。尽我所知，除特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人的研究成果。与我一同工作的同志对本文所论述的工作和成 果的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并已致谢。 本论文及其相关资料若有不实之处，由本人承担一切相关责任 论文作者签名：犁蟛u 奄 年；月狮 学位论文使用授权声明 本人乐璺维在导师的指导下创作完成毕业论文。本人已通过论文的答辩，并 已经在西安理工大学申请博士硕士学位。本人作为学位论文著作权拥有者，同意授权 西安理工大学拥有学位论文的部分使用权，即：1 ) 已获学位的研究生按学校规定提交 印刷版和电子版学位论文，学校可以采用影印、缩印或其他复制手段保存研究生上交的 学位论文，可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索；2 ) 为教学和 科研目的，学校可以将公开的学位论文或解密后的学位论文作为资料在图书馆、资料室 等场所或在校园网上供校内师生阅读、浏览。 本人学位论文全部或部分内容的公布( 包括刊登) 授权西安理工大学研究生部办 理o ( 保密的学位论文在解密后，适用本授权说明) 论文作者躲撙导臌：姆沙严多月棚 第一幸绪 论 1 绪论 图像是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，可以直接或间接作 用于人眼并进而产生视知觉的实体【“。图像中包含了它所表达物体的丰富描述信息，是我 们最主要的信息来源。 在对图像的研究和应用中，人们往往仅对图像中的某些部分感兴趣。这些部分常称为 目标和前景( 其它部分称为背景) ，它们一般对应图像中特定的、具有独特性质的区域。 为了辨识和分析图像中的目标，需要将它们从图像中分离提取出来，在此基础上才有可能 进一步对目标进行利用。图像分割就是指把图像分成各具特性的区域并提取出感兴趣目标 的技术和过程【2 l 。 1 1 图像分割的目的和意义 图像技术在广义上是各种与图像有关技术的总称。图像技术种类很多，跨度很大， 但可以将它们归在一个整体框架图像工程之t t l l 。图像工程是一个对整个图像领域进 行研究应用的新学科，它的内容非常丰富，根据抽象程度和研究方法等的不同可分为三个 各有特点的层次：图像处理、图像分析和图像理解。 操 作 对 象 符号 目标 像素 图1 - 1 图像分割在图像工程中的位置闭 f i g 卜1t h ep o s i t i o no f i m a g es e g m e n t a t i o ni ni m a g ee n g i n e e r m g 图像处理着重强调在图像之间进行变换以改善图像的视觉效果。图像分析则主要是对 图像中感兴趣的目标进行分割和测量，以获得它们的客观信息从而建立对图像的描述。图 像理解的重点是在图像分析的基础上，迸一步研究图像中各目标的性质和它们之间的联 系，并得出对原始成像客观场景的解释，从而指导和规划行动。 图像分割是由图像处理到图像分析的关键步骤，在图像工程中占据重要的位置，一方 面，它是目标表达的基础( 见图卜1 ) ，对特征测量有重要的影响。另一方面，因为图像 分割及其基于分割的目标表达、特征提取和参数测量等将原始图像转化为更抽象更紧凑的 西安理工大学硕士学位论文 形式，使得更高层的图像分析和理解成为可能。 图像分割在实际中已得到广泛的应用，例如在工业自动化，在线产品检验，生产过程 控制，文档图像处理，遥感和生物医学图像分析，保安监视，以及军事，体育，农业工程 等方面。概括来说，在各种图像应用中，只要需对图像目标进行提取、测量等都离不开图 像分割。虽然人们对图像分割己进行了大量的研究，但还没有一种适合于所有图像的通用 的分割算法。所以，图像分割一直以来都是图像技术中的研究热点。因此，从原理、应用 和应用效果等方面来深入研究图像分割技术，对于提高图像分析和图像理解系统的性能以 及提高图像处理技术的应用水平都具有十分重要的意义。 1 2 图像分割方法综述 多年来人们对图像分割提出了不同的解释和表达，借助集合概念对图像分割可给出如 下比较正式的定义囝。 令集合r 代表整个图像区域，对r 的分割可看做将震分成个满足以下五个条件的 非空子集( 子区域) 墨，足，： il 足一r ； 1 1 对所有的f 和j , i - ，有置n 胄，- 彩； o 对f 1 , 2 ，n ，有p ( 足) t r u e ； 对f j ，有p ( 足n r ，) 一f a l s e ； 对f 1 , 2 ，n ，冠是连通的区域。 其中p c r , ) 是对所有在集合冠中元素的逻辑谓词，彩代表空集。 1 2 1 传统的图像分割方法 图像分割的研究多年来一直受到人们的高度重视，至今已提出了上千种各种类型的分 割算法【3 】。由于现有的分割算法非常多，所以将它们进行分类的方法也提出了不少，传统 的图像分割方法，一般可以分为以下三类【2 】： 基于阈值的分割方法； 基于边缘检测的分割方法； 基于区域提取的分割方法。 其中，基于阈值的分割方法在本质上也是一种区域提取方法。由于图像种类的多样性和复 杂性，基于阈值的分割方法往往很难确定合适的阈值大小。而基于方向导数的边缘检测方 法对于噪声图像、边缘模糊图像或纹理图像的分割效果不理想，并且这种方法往往需要一 些预处理手段，如用高斯滤波去除图像中的噪声和预后处理，如进行边缘连接等。基于区 第一章绪论 域提取的分割方法，如区域增长法，往往比较复杂。 a 基于区域的图像分羽 基于区域的图像分割技术以区域为处理对象，依照共同的图像属性划分图像区域。分 割的目的是把图像中的每一个像素都赋予一个类别属性，使得具有预定义属性的像素都聚 集在同一个类别中。这样的图像属性包括闭： 原始图像的强度值，或基于图像算子的强度计算值； 每类图像区域的独特的纹理或模式； 提供多维图像数据的谱参数。 有些比较复杂的图像分割系统可能综合采用好几种这些属性，而一些比较简单的图像 系统可能只采用一些与使用的图像数据有关的属性。基于区域的图像分割技术中最为常见 的方法有：阈值分割技术、区域增长和分裂合并技术。 阈值分割技术是一种最古老、最简单、最常用的图像分割技术，广泛应用于许多图像 分割应用中【3 ，叼。阙值化分割算法的历史可追溯到近四十年前，现已提出了大量的算法。 简单说来，对灰度图像的阈值分割就是先确定一个处于图像灰度取值范围之中的灰度阈 值，然后将图像中各个像素的灰度值都与这个阈值相比较，并根据比较结果将对应的像素 划为两类：像素的灰度值大于阈值的为一类，像素的灰度值小于阈值的为另一类( 灰度值 等于阈值的像素可归于这两类之一) 。这两类像素一般分属图像中两类区域，所以对像素 根据阈值分类达到了区域分割的目的。由此可见，阈值化分割算法主要有两个步骤： 确定需要的分割阈值； 将分割阈值与像素值比较以划分像素。 阈值分割法分为全局阈值法和局部阈值法。全局阈值分割法在图像处理中应用比较 多，它在整幅图像内采用固定的阈值分割图像。经典的阈值选取以灰度直方图为处理对象。 根据阈值选择方法的不同，可以分为模态方法、迭代式阈值选择等方法。这些方法都是以 图像的直方图为研究对象来确定分割的阈值的。另外还有类间方差阈值分割法、二维最大 熵分割法、模糊阈值分割法等等。 在利用取阈值方法来分割灰度图像时一般都对图像有一定的假设。换句话说，是基于 一定的图像模型的。最常用的模型可以描述如下1 2 j ：假设图像由具有单峰的灰度分布的目 标和背景组成，处于目标或背景内部相邻像素间的灰度值是高度相关的，但处于目标和背 景交界处两边的像素在灰度值上有很大的差别。则图像的直方图将出现两个分离的峰值， 如图l _ 2 所示： 西安理工大学硕士学位论文 图l _ 2 双峰直方图 f i g l - 2d o u b l ep e a kh i s t o g r m n 对于这样的图像，分割阈值可以选择直方图的两个波峰间的波谷所对应的灰度值作为 分割的阈值。这种分割方法不可避免的出现误分割，使一部分本属于背景的像素被判为物 体，使属于物体的一部分像素同样会被误认为是背景。可以证明，当物体的尺寸和背景相 等时，这样选择阈值可以使误分概率达到最小。在大多数情况下，由于图像的直方图在波 谷附近的像素很稀疏，因此这种方法对图像的分割影响不大。这一方法可以推广到具有不 同灰度均值的多物体图像。 局部阈值选取也叫做自适应阈值选取，将原始图像划分成较小的图像，并对每个子图 像选取相应的阈值。在阙值分割后，相邻子图像之间的边界处可能产生灰度级的不连续性， 因此需用平滑技术进行排除。局部阈值技术比全局闽值技术的分割效果要好，但是计算量 也要大得多。局部阈值法常用的方法有灰度差直方图法、微分直方图法。局部阈值分割法 虽然能改善分割效果，但存在几个缺点；每幅子图像的尺寸不能太小，否则统计出的结果 无意义；每幅图像的分割是任意的，如果有一幅子图像正好落在目标区域或背景区域，而 根据统计结果对其进行分割，也许会产生更差的结果；局部阈值法对每一幅子图像都要进 行统计，速度慢，难以适应实时性的要求。 区域生长的基本思想怯5 ，6 1 是将具有相似性质的像素集合起来构成区域。具体先对每 个需要分割的区域找一个种子像素作为生长的起点，然后将种子像素周围邻域中与种子像 素有相同或相似性质的像素( 根据某种事先确定的生长或相似准则来判断) 合并到种子像 素所在的区域中。将这些新像素当做新的种子像素继续进行上面的过程，直到再没有满足 条件的像素可被包括进来。这样一个区域就长成了。 在实际应用区域生长法时需要解决三个问题： 选择或确定一组能正确代表所需区域的种子像素； 确定在生长过程中能将相邻像素包括进来的准则； 制定让生长过程停止的条件或规则。 分裂合并是先从整幅图像开始通过不断分裂得到各个区域。实际中常先把图像分成任 意大小且不重叠的区域，然后再合并或分裂这些区域以满足分割的要求。 基于区域的分割方法都具有算法简单、容易实现、计算速度快等特点。尤其是对于面 积或体积计算以及易于鉴别的组织的分类。然而，它们也有一定的缺点限制了它们的具体 第一章绪论 应用：没有提供任何关于分割区域的结构信息，因为要从分割像素点集中提取有关的几何 信息非常困难；容易受到图像的异常表现( 比如闭合但是又独立的区域之间的错误桥形连 接) ，或者一个区域阻挡了另一个区域的视线的阻挡现象的影响；虽然能得到封闭的区域 轮廓，但是边缘定位精确度不高。 b 基于边界的图像分割 边缘是图像最基本的特征 7 1 。根据边缘的构型，可以将它分为阶跃型和屋脊型，阶跃 型边缘点是图像灰度的一阶导数的极大值点，或者二阶导数的过零点；而屋脊型边缘点是 图像灰度的一阶导数过零点，或者二阶导数的极小点。基于边界的图像分割方法是要找出 灰度不连续的点作为边缘。在图像分割中常用灰度的一阶和二阶导数作为边缘检测的依 据，为此人们设计了个各种各样的边缘检测算子，如梯度算子、方向算子、拉普拉斯算子、 马尔算子、综合正交算子、坎尼算子等，追踪检测出的边缘点以构成边界。 边缘检测算子检查每个像素的邻域并对灰度变化率进行量化，通常也包括方向的确 定。有若干种方法可以使用，其中大多数是基于方向导数模板求卷积的方法，下面介绍几 种经典的边缘检测算子陆7 一。 ( 1 ) s o b e l 边缘算子 s o b e l 算子采用3 3 邻域可以避免在像素之间内插点上计算梯度。考虑图1 - 3 中所 示的点( j ，) 周围点的排列。 吒 m 呜o ，)q a 4吗吗 图1 _ 3s o b e l 算子邻域像素点示意图 f i g l - 3e x p l a n a t i o no f s o b e lo p e r a t o rn e i g h b o r h o o dp i x d s s o b e l 算子的梯度幅值可表示为： m 一以+ s ； 其中的偏导数用下式计算： 一 ( x + 1 ，y - 1 ) + 2 f ( x + l ，力+ f ( x + l ，y + 1 ) - f ( x - 1 ，y - 1 ) + 2 f ( x - i ，力+ ，o - 1 ，y + 1 ) ) j ，- 厂( x - 1 ，y + 1 ) + 2 ，( x ，y + 1 ) + f ( x + l ，y + 1 ) ) - f ( x - i ，y - 0 + 2 f ( x ，y 一1 ) + o + l ，y 1 ) ) 邑和j ，可用下列卷积模板来实现： ( 1 1 ) ( 1 2 ) 西安理工大学硕士学位论文 雕雕 墨模板 s , 模t i 这个算子把重点放在接近于模板中心的像素点。s 0 1 ) c l 算子是边缘检测器中最常用的算子 之一。 s o b e l 算子检测出来的边缘可能大于2 个像素。对精度要求比较高的场合需要对边缘 细化。s o b e l 算予利用像素点上下、左右相邻点的灰度加权算法，根据在边缘点处达到极 值这一现象进行边缘检测。因此s o b e l 算子对噪声具有平滑作用，提供较为精确的边缘方 向信息。但是，正是由于局部平均的影响，它同时也会检测出许多伪边缘，且边缘定位精 度不够高。所以，当对精度要求不是很高时，这是一种较为常用的边缘检测方法。 ( 2 ) 拉普拉斯边缘算子【9 】 拉普拉斯( l a p a l a c i a n ) 算予是一种常用的二阶导数算子，实际中可根据二阶导数算 子过零点的性质来确定边缘的位置。对一个连续函数f ( x ，y ) ，它在位置( z ，y ) 的拉普拉斯 值定义为如下： v 2 厂孥+ 箕 ( 1 3 ) 赦 砂 其中，o ，y ) 是具有整数像素坐标的输入图像。它通常可以用图l _ 4 的形式以数值化方式 的卷积核来表示。 固围 图l - 4l a p a l a c i a n 卷积核 f i g l - 4l a p a l a c i a nk e r n e l 当l a p a l a c i a n 算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点 ( 均匀零区) 。对于零交叉点刚好在两个中心像素之间时，边缘可以用其左边或者右边像 素来标记( 整幅图像的标记必须一致) 。多数情况下，零交叉点很少恰好在两个像素点中 间，因此边缘的实际位置要通过内差方法来确定。原则上，过零点的位置精度可以通过线 性内插值方法精确得到子像素分辨率，对于含有噪声的图像，在利用l a p a l a c i a n 算子之前， 通常选用g a u s s 低通滤波进行预先平滑。 基于边界的图像分割方法计算量小，边界探测的速度也很快，但是也存在着一些问题， 容易产生对边缘点的错误追踪，可能产生伪边缘、不连续边缘甚至边缘丢失，不能保证封 闭的边缘。此外，提取出的边缘是基于灰度变化的某种准则而得到的“图像意义上的边缘”， 这种边缘可能不与实际边缘完全对应。因此，它们具有灵敏性和确定性不足的问题。梯度 第一幸绪 论 空间的图像必须经过阈值计算或者按照边缘或非边缘进行分类。此外，单独使用低层次图 像边缘算子不能很好地追踪分岔边缘。导数算子具有固有噪声，将加重或恶化图像已有噪 声的影响，所以应用梯度算子或l a p l a c i a n 算子之前，必须对图像进行平滑。遗憾的是， 图像的平滑运算可能会隐藏或损失图像的某些精细结构。 1 。2 2 基于模型的图像分割方法 基于模型的分割方法一般分为两种，一是基于变分方法的参数活动轮廓模型分割方 法，二是基于水平集方法的几何活动轮廓模型分割方法。相比于传统的图像分割方法，基 于模型的图像分割方法，具有以下显著的优点： 由于模型在连续状态下实现，所以最终得到的图像边缘表示可以达到更高的精度， 这一点对于医学图像分割和应用具有非常重要的意义。 通过约束被提取物体的边缘是光滑的，并且融入了其它关于物体形状的先验信息， 所以，基于模型的图像分割具有较强的鲁棒性。 使用光滑的闭合曲线表示物体的边缘，避免了传统的图像分割方法中的预后处理过 程，如边缘连接等，而且对于物体的形状分析和识别都具有重要的作用。 参数活动轮廓模型 i o 】是一种基于变分的图像分割模型，该模型通过使得图像的能量 函数达到最小而达到对图像的分割，这里通过变分法对能量函数极小化，得到模型演化的 偏微分方程。1 9 8 7 年k a s $ ，w i t k i n 和t e r z o p o u l o s 提出了s n a k e 模型【l 川，该模型首次引进 了变分法。首先给定图像和初始曲线，然后使曲线沿法线的方向演化，当运动到物体边界 处时，则停止演化，即已检测到图像中物体的边缘，其中物体的判别需要依赖传统的基于 图像梯度的边缘检测器。通过该模型能得到正确的边界，并且还能保持边界的光滑性。然 而当s n a k e 模型中的初始曲线离物体边界比较远时，会使演化陷入局部极值点，则无法得 到正确的物体边缘。针对该缺陷，c o h e n 在s n a k e 模型中引入球形力来使轮廓沿着法向方 向向内或向外演化【l l 】，同时最大化光滑边界所围区域的面积。球形力使轮廓线跨过假的、 孤立的图像边缘，用以抵消收敛趋势。c o h e n 等又提出了距离有势力模型【1 2 1 ，虽然极大拓 展了主动轮廓捕获边界的范围，但该模型只适用于二值图像分割。改进的s n a k e 模型虽然 降低了对曲线初始位置和图像噪声的敏感性，但仍然需要人工决定充气还是放气，而且也 不能自然地处理曲线拓扑结构变化。另外，s n a k e 模型中的能量泛函只依赖曲线参数的选 择，跟物体几何形状无关。 而另外一种重要的活动轮廓模型称为几何形式的活动轮廓模型。几何活动轮廓模型由 c a s e l l o s 和m a u a d i 等分别独立提出【1 3 ，1 4 】，可以认为是s n a k e 模型的扩展，不同于s n a k e 模型之处在于这种模型的轮廓曲线运动过程是基于轮廓曲线的几何度量参数。这样，轮廓 曲线运动过程就独立于轮廓曲线的参数，因此可以自动处理拓扑结构的变化。几何活动轮 廓模型中应用较多的是由c a s e l l o s 和y e z z i 等提出的测地活动轮廓模型【i 习，然而该方法的 主要缺点是一旦特征边界出现缝隙，曲线就会越过目标边界发生“泄露”现象，而且，再 也无法返回到正确的位置。随着水平集方法的提出，几何活动轮廓模型与水平集相结合的 西安理工大学硕士学位论文 曲线演化方法是目前广为关注的一种图像分割方法。该方法利用轮廓曲线的几何特性，建 立轮廓曲线运动的能量函数，最小化这个能量函数，使轮廓曲线逐渐逼近图像中目标边界， 并利用水平集函数将轮廓曲线运动方程转化成求解偏微分方程问题。m u m f o r d s h a h 模型 p 6 1 是基于区域的几何活动轮廓模型，适用于模糊边界或不连续边界等场合，并且对初始 轮廓曲线位置不敏感。t s a i 考虑到区域间像素的差异性，提出最大化区域间平均灰度值之 差的平方建立能量函划用。经典的c h a n - v e s e 模型【18 】是一种基于水平集方法的几何活动 轮廓分割模型，该模型充分利用了图像的全局区域信息，在图像分割应用中取得了令人满 意的结果。但是由于该模型仅利用了区域灰度信息，使得在某些图像的分割中，图像边缘 定位的精确性不够高。用不同的轮廓曲线能量函数，获得正确的或所需的图像分割结果， 是当前几何活动轮廓模型与水平集方法相结合的图像分割方法研究的热点和难点。 1 3 水平集方法概述 水平集方法是一种新颖的求解几何曲线演化的方法，它以一种隐含的方式来表达平面 闭合曲线或者立体闭合曲线，从而避免了对闭合曲线演化过程中的跟踪，将曲线演化转化 成一个纯粹的求偏微分方程数值解问题【1 9 j 。另外，水平集方法应用于几何曲线演化时， 避免了演化曲线的参数化过程，这样，曲线的拓扑结构的变化，即分裂或合并，就变得非 常自然【2 0 ，越l 。因此，近年来，水平集方法逐渐成为研究的热点，并被应用于图像分割【、 图像平滑嘲、运动分割以及运动目标跟踪嘲，甚至立体视觉和图像的恢复。 水平集方法的基本思想【1 9 】是：先给定一封闭的初始轮廓，该初始轮廓不断沿其法线 方向向外或向内以一定的速度演化，得到曲线( 曲面) 族。水平集方法把曲线族看作是更 高维空间曲面庐的零水平集侈- o ，而妒y ) 则被称为水平集函数，当轮廓改变拓扑结构 时，西仍可以保持连续，因而从原理上保持了这种方法很容易处理拓扑结构改变的问题。 图卜5 说明了水平集函数表达闭合曲线的方式，其中图卜5 ( a ) 是一条平面闭合曲线，图 1 - 5 是其水平集函数的隐含表达，图中的黑线就是隐含为水平集的平面曲线。 ( a ) 平面闭曲线 闭曲线水平集函数的表达( c ) 水平集函数的演化( d ) 曲线拓扑结构发生变化 ( a ) p l a n e rc l o s e dc u r v e ( b ) l e v e ls e tr e p r e s e n t a t i o n ( c ) t h ee v o l u t i o no f ( d ) t o p o l o g i c mc h a n g eo f t h e o f t h ec l o s e dc u r v el e v e ls e tf u n c t i o na l h v 图l _ 5 水平集函数表达的的曲线演化”w f i gl 一5i l l u s t r a t i o nt ol e v e ls e tr e p r e s e n t e dc u r v ee v o l u t i o n 水平集方法处理平面曲线的演化问题不是试图去跟踪演化后的曲线位置，而是遵循一 定的规律，在二维固定坐标系中不断更新水平集函数，从而达到演化隐含在水平集函数中 第一章绪 论 的闭合曲线的目的。这种演化曲线方式的最大特点是：即使隐含在水平集函数中的闭合曲 线发生了拓扑结构变化( 合并或分裂) ，水平集函数仍然保持为一个有效的函数，如图 1 - 5 ( c ) 、( d ) 所示，其中图卜5 ( c ) 是水平集函数更新后其零水平集曲线的形状，而图i - 5 ( d ) 中的零水平集曲线已经分裂为两条。 水平集方法实现轮廓线演化具有如下优科嘲： 首先，只要速度函数v ( k ) 是光滑的，则水平集函数妒o ，y , o 始终保持为一个函数， 然而( x ，y ，f ) 的水平集，即演化曲线c 可以随着妒的演化很自然地改变其拓扑结构，可以 分裂、合并、形成尖角等可以从图卜5 ( c ) 和( d ) 看出，妒所表达的闭合曲线c 由图1 - 5 ( c ) 中的一个闭合曲线变为图卜5 ( d ) 中的两个闭合曲线，拓扑结构变了，水平集函数却仍然 保持为一个函数。 因为妒( 五y ，f ) 演化时始终保持为函数，因此很容易实现数值近似算法，可以利用离 散网格结构的有限差分方法来很容易实现函数妒也) - ，) 的演化。 曲线c 内在的几何特征，比如内向单位法矢和曲率等，都可以直接由妒 y ，f ) 计算 出来。 水平集方法很容易扩展到高维情况，比如可以很方便的扩展到三维闭合曲面的演 化，这对于三维图像的分割很有用的。 在水平集方法中，水平集函数妒( 工，y ，0 的选择，通常取由初始闭合曲线生成的符号距 离函数，因此如何快速计算稳定的任意曲线的符号距离函数，对于提高水平集方法的效率 和稳定性非常重要，据此本文提出了一种快速构造符号距离函数的方法。 1 4 本论文的主要工作 基于水平集方法的图像分割具有易于处理曲线拓扑结构变化的优点，但在水平集方法 中符号距离函数的重构是一个非常耗时的过程，同时对精度也有很高的要求。人们直在 寻找提高符号距离函数的重构的有效方法，本文的工作重点之一是通过使用改进的源点扫 描法来构造符号距离函数，该方法能快速精确的构造出符号距离函数。其次在c h a a - v e s e 模型的基础上添加能量项，从而使模型对图像细节有更好的分割效果，在求解时引入了本 文提出的八邻域源点扫描法来构造水平集函数。本文共分五章，具体安排如下； 第一章概述了图像分割的目的、意义等，同时给出了水平集方法的概述。 第二章阐述了在图像分割领域占有重要地位的基于能量的三种分割模型：s n a k e 模 型、m u m f o r d - s h a h 模型、c h a n - v e s e 模型以及它们基于交分和水平集方法的求解。 第三章首先详细介绍了曲线演化理论、水平集方法以及数值计算。水平集方法的主要 缺点是符号距离函数的计算量比较大，针对此问题，本文提出了一种快速构造符号距离函 数的方法- ：k 邻域源点扫描法。该方法不仅速度快，而且精度高，从而大大减少了构造符 号距离函数所花费的时间。 第四章详细讨论了c h a n - v e s e 模型，对该模型给出了解释并总结了该模型的优缺点。 针对c h a n - v e s e 模型仅利用图像区域灰度信息的不足，本文在c h a n - v e s e 模型中加入一项 西安理工大学硕士学位论文 能量项，使得模型不但利用了图像区域灰度信息，还利用了图像区域梯度信息，从而对图 像细节有更好的分割效果，并且在模型的求解中应用本文提出的八邻域源点扫描法来构造 符号距离函数，所以减少了迭代了次数缩短了分割时间。 第五章是总结与展望。对本文工作进行总结的基础上，对尚待研究的问题进行了展 望。 第二章基于变分和水平集方法的图像分割模型 2 基于变分和水平集方法的图像分割模型 1 9 8 7 年k a s $ 、w i t h k i n 和t e r z o p o u l o s 三人共同发表了题为“s n a k e ：a c t i v ec o n t o u r s ” 的论文【埘，首次提出了运用活动轮廓模型进行2 d 和3 d 图像分割的思想。此后，随着该 模型的迅速发展，逐渐成为最有生机和最成功的图像分割技术之一。随之活动轮廓模型也 衍生出具有各种不同特点的名称如蛇形、形变模型、活动曲面、形变气球、形变轮廓、形 变曲面等等。 活动轮廓模型是一类定义在图像区域中的能量最小化的样条曲线或曲面。模型的形变 受到同时作用到模型上的许多不同力的控制。每一种力所产生一部分能量，这部分能量表 示为活动轮廓模型的能量函数的一个独立的能量项。k a s s 等人假设模型有三种不同类型 的能量：内能、图像能和外能。内能描述样条的弹性变形和歪曲变形，规范模型的演化； 图像能描述图像中的诸如边和角等等各种特征，把模型吸引到图像特征上；外能表示为用 户强加到模型上的各种其他约束形式，用来模拟用户交互式干预。 活动轮廓模型应用到图像上，它的能量函数发生最小化变化，其形状也发生演化，使 得模型变得“活动”起来。能量最小化问题不是一个静态问题，而是一个动态问题，模型 的演化受到弹性规律和拉格朗日动力学规律所控制。在各种力的作用下，模型不断的发生 演变，当所有的作用力达到一种平衡的状态时，演化过程就停止。这种力平衡状态等价于 能量函数的最小化状态。这样，图像分割问题就转变为一个最优化问题，最优化的目的就 是获得最小化的活动轮廓模型的能量函数。 活动轮廓模型的理论框架由三个不同的部分组成：模型的描述，模型的能量函数和模 型的最小化。自从k a s s 等人推出原始的活动轮廓模型以来，活动轮廓模型的理论得到了 很大的发展，其应用范围也越来越广泛。对活动轮廓模型的推广主要是在两个方面改善它 的性能。其一是在活动轮廓模型中加入先验知识。先验知识的使用可以使模型产生更鲁棒 性的更准确的结果，特别是对于大量的具有相似轮廓形状的对象的情况。使用先验知识必 须要经过一个训练过程，通过人工交互方式收集对象形状的变化信息。其二是全局形状属 性建模。全局形状属性能够为模型的初始化提供更强的稳定性。虽然先验知识和全局形状 属性是不同的概念，实际上常常相互配合使用。 活动轮廓模型依据活动轮廓线的表达方式，可分为参数活动轮廓模型 2 4 1 ( s i m k e 模型) 和几何活动轮廓模型【1 3 ，2 5 1 。其中，参数活动轮廓模型直接以曲线( 曲面) 的参数化形式显式 地表达曲线( 曲面) 的变形。这种表达方式允许与模型直接交互，并且模型的表达紧凑，有 利于模型的快速实时实现。然而，参数化的s n a k e 模型表达难于处理模型拓扑结构的变化。 而几何活动轮廓模型却能自然地处理演化曲线( 曲面) 拓扑结构的自适应改变，它主要基于 曲线( 曲面) 演化理论和水平集方法，将活动轮廓线间接地表达为水平集函数的零水平集的 形式，曲线的参数化仅仅是在模型演化变形后用于显示。 西安理工大学硕士学位论文 2 1 参数活动轮廓模型_ ( s n a k e 模型) 2 1 。1s n a k e 模型表达 将参数活动轮廓模型的轮廓曲线想象为一条具有弹性的橡皮曲线，轮廓曲线的能量由 内部能量和外部能量两部分组成刚。内部能量描述轮廓曲线的平滑性，它使得轮廓曲线 伸缩、弯曲；外部能量是基于图像数据定义的，并在图像中目标的边界达到最小值。最小 化内部能量和外部能量，使轮廓曲线沿能量降低方向运动。参数活动轮廓模型轮廓曲线c 可定义为x ( s ) - ( 曲，) ，( j ) ) 的集合，其中j 是轮廓曲线c _ l = 的- - 维坐标点，j 为归一化 的弧长，取值为0 s s l 。轮廓曲线c 的能量层( c ) 由( 2 ，1 ) 式给出 占( c ) - 瓦+ ( 2 1 ) 点0 为内部能量，昱二为外部能量。最小化能量时产生内力和外力，( 2 1 ) 式实际上是一 个力平衡方程： f m + 吃一0 ( 2 2 ) 内力j 孟控制轮廓曲线的伸展和弯曲，试图收缩轮廓曲线，并保持轮廓曲线不被过度弯曲； 而外力j 二引导轮廓曲线朝着图像中目标的边界运动。 s n a k e 模型的引人之处在于，它对于广泛的一系列视觉问题给出了统一的解决方法。 在最近十余年里，己被广泛应用于图像边缘检测、图像匹配、目标跟踪等多个领域。与其 他特征提取技术相比，其主要的优点是图像数据、初值估计、目标轮廓特征及基于知识的 约束条件都集成在一个特征提取过程中，经过适当的初始化后，能够自主地收敛到能量极 小值状态。 参数化s n a k e 模型的数学表述为【1 0 】：设参数曲线为c ( s ) ，s 【o ，1 】，j ( x ，y ) ； o ，川【o ，b 卜发2 为图像函数，曲线c ( s ) 的演化服从极小化下面的能量函数： c ( s ) - a r gm i n e ( c o ) ) ) e ( c ( s ) ) 曲c 例2 d s + 而c 钏2 d s + j | ( c ( 。弦 _ 其中口，芦为正的实参数。前两项称为模型的内部能量，是用来表示与轮廓的平滑项、连 续性等形状特征有关的能量。第三项为外部能量，该项使得轮廓曲线朝物体的边界演化， 一般可取e 二( x ，力- 一1 w ( x ，y ) 1 2 或点0 力一一i v 吃，阮力1 2 ，q 表示尺度参数为的二维 高斯光滑核函数。 活动轮廓模型的演化过程实际上就是其能量函数的最小化过程。而能量函数式( 2 3 ) 的最小化问题实际上对应活动轮廓模型以能量函数定义的各种约束形式的最优化问题。如