（计算数学专业论文）各向异性外问题的基于自然边界归化的区域分解算法.pdf

硕士学位论文 2 0 1 0 年3 月 摘要 本文借助于区域分解思想并基于自然边界归化理论，以一类各向异性常系 数椭圆方程为例，研究此类无界区域问题基于自然边界归化的区域分解算法具 体内容如下 第一部分研究一类二维各向异性外问题的重叠型区域分解算法基于自然 边界归化，对各向异性外问题提出一种s c h w a r z 交替算法，并给出其离散形式， 分析了算法的收敛性，给出了收敛性结果通过数值试验验证该方法的可行性和 有效性 第二部分研究一类二维各向异性外问题的非重叠型区域分解算法基于自 然边界归化，对各向异性外问题提出一种d n 交替算法，研究算法的收敛性及 它与r i c h a r d s o n 迭代法的等价性，给出了离散型d n 交替算法，详细分析了算 法中松弛因子的选取，并给出了数值试验 关键词：各向异性问题，自然边界归化，区域分解，无界区域，收敛性 2 黄忠梅硕士学位论文 a b s tr a c t i nt h i st h e s i s ，t h r o u g ht h ei d e ao fd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d ( d d m ) a n dt h et h e o r yo fn a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，d o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s b a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n o u rm e t h o di n c l u d e so v e r l a p p i n ga n d n o n o v e r l a p p i n gd o m a i nd e c o m p o s i t i o nm e t h o d s ，a r ei n v e s t i g a t e df o ra k i n do f a n i s o t r o p i ce l l i p t i ce q u a t i o n sw i t hc o n s t a n tc o e f f i c i e n t si na ne x t e r i o r d o m a i n t h em a i nw o r ko ft h i st h e s i si sa sf o l l o w s i np a r ti ，a no v e r l a p p i n gd d mf o rat w o - d i m e n s i o n a la n i s o t r o p i cp r o b l e m i na ne x t e r i o rd o m a i ni si n v e s t i g a t e d b a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n p r i n c i p l e ，as c h w a r za l t e r n a t i n ga l g o r i t h mf o ra na n i s o t r o p i cp r o b l e mi na ne x t e - r i o rd o m a i ni ss u g g e s t e d ，a n di t sd i s c r e t i z a t i o ni sg i v e n ，a n dt h ec o n v e r g e n c eo f t h i sa l g o r i t h mi sa n a l y z e d ，a n di t sc o n v e r g e n tr e s u l t sa r eg i v e n f i n a l l y , s o m en i l - m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t et h ef e a s i b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s s o ft h em e t h o d s i np a r ti i ，an o n - o v e r l a p p i n gd d mf o rat w o - d i m e n s i o n a la n i s o t r o p i cp r o b - l e mi na ne x t e r i o rd o m a i ni si n v e s t i g a t e d b a s e do nt h en a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o np r i n c i p l e ，ad i r i c h l e t - n e u m a n n ( d n ) a l t e r n a t i n ga l g o r i t h mf o ra na n i s o t r o p i c p r o b l e mi na ne x t e r i o re l l i p t i cd o m a i ni ss u g g e s t e d t h ec o n v e r g e n c eo ft h ea l g o - r i t h ma n de q u i v a l e n c et ot h er i c h a r d s o ni t e r a t i v ea l g o r i t h ma r ep r o v e n d i s c r e t e d na l t e r n a t i n ga l g o r i t h mi sg i v e n t h ec h o i c eo fr e l a x a t i o nf a c t o ri sa n a l y z e d i nd e t a i l s o m en u m e r i c a le x p e r i m e n t sa r ep r e s e n t e d ，w h i c hc h e c kt h ef e a s i b i l i t y a n dt h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d s k e yw o r d s ：a n i s o t r o p i cp r o b l e m ，n a t u r a lb o u n d a r yr e d u c t i o n ，d o m a i n d e c o m p o s i t i o n ，u n b o u n d e dd o m a i n ，c o n v e r g e n c e 硕士学位论文 2 0 1 0 年3 月 套山 一 目 吾。 科学与工程计算中经常遇到无界区域问题，虽然有限元法和有限差分法对有 界区域问题的数值计算非常有效，但对无界区域问题的数值计算却遇到困难为 解决这一问题，求解无界区域问题各种数值方法应运而生如无限元法，边界元 法 1 ，8 ，2 4 ，3 1 】，基于人工边界条件的近似方法f 1 8 ，1 9 ，2 5 ，2 6 ，3 0 】，有限元与无限元耦 合法，有限元与边界元耦合法【1 ，8 ，1 2 】，区域分解法 3 ，5 ，7 ，9 ，1 0 ，1 3 - 1 6 ，2 2 ，2 3 ，2 8 ，3 2 ， 等等其中，自然边界元方法是求解无界区域问题的极为有效的方法之一 边界元法是将区域内微分方程边值问题归化到边界上离散化求解的一种数 值计算方法，其基础在于边界归化，即将区域内微分方程边值问题归化为在数学 上等价的边界上的积分方程边界归化的思想在十九世纪已出现，但将边界归 化应用于数值计算并以此为目的的深入研究边界归化理论则是从二十世纪六十 年代才开始的，并且随着计算机的广泛应用得到蓬勃的发展边界归化的途径有 很多，不同的边界归化途径可能导致不同的边界元法边界元法已被广泛应用于 弹性力学、断裂力学、流体力学、电磁场和热传导等领域的科学研究和工程技术 的数值计算 二十世纪七十年代末，我国学者冯康先生和余德浩教授首创并发展了自然 边界元法f 8 ，1 5 ，3 1 ，此法是从g r e e n 函数和g r e e n 公式出发，将微分方程问题 归化为边界上的强奇异积分方程，然后化为相应的变分形式在边界上离散化求解 的一种数值计算方法，国外学者将其称为“d t n 法”余德浩教授的专著f 8 】的 出版，则是椭圆型问题自然边界元法趋于成熟的重要标志 自然边界元法相对于一般的边界元法来说具有很多优点：易于实现，数值 稳定性好，且与有限元法基于同一变分原理，可以与有限元自然直接地耦合，以 及在处理无穷区域及断裂区域时仍保持理想精度等等但它也有明显的局限性， 对于非线性或非齐次的方程，仍然存在对基本解的区域积分；对一般区域而言， g r e e n 函数往往难以求得，也难以应用f o u r i e r 分析法及复变函数论方法，从而 无法解析地求得自然边界积分方程和p o s s i o n 积分公式，也就不能直接应用自然 边界元法 3 黄忠梅硕士学位论文 二十世纪八十年代随着并行计算机和并行算法的发展而发展起来一种偏微 分方程数值解的新技术一区域分解算法【5 】，它具有很多其他方法不可比拟的优 越性如把大问题化为若干小问题，缩小计算规模，可在不同子域采用不同数学 模型，子域上允许使用不同的方法，可并行计算等等这为自然边界元法在无界 区域上的应用提供了新的途径，因此受到人们的广泛关注 二十世纪九十年代中期，余德浩教授首先提出了无界区域问题基于自然边 界归化的区域分解算法 9 ，1 0 】，这一算法同时具备了自然边界元法和区域分解算 法的优点其基本思想为：先引入人工边界，将无界区域分解为一个有界区域q 1 和一个典型的无界区域q 2 ，然后在这两个子区域q 1 和q 2 上交替求解相应的子 问题，从而获得原问题的数值解通常在有界子区域q 1 上使用有限元法，而在无 界子区域q 2 上使用自然边界元法由于q 1 通常取得银小”，所以使用有限元 法求解q 1 上的子问题时，计算量和存贮量均很小另外，在子域q 2 上使用自然 边界元法求解相应的问题时也仅需在典型边界上进行简单的计算于是，原问题 的规模变小，并且可以并行求解该方法已成功地用于求解许多无界区域问题 本文研究的是一类各向异性常系数椭圆微分方程的d i r i c h l e t 边值问题借 助于坐标变换及调和方程圆或椭圆边界上的自然积分算子提出了各向异性外问一 题基于圆型或椭圆型人工边界的重叠和非重叠区域分解算法 本文主要分为两部分内容；第一部分为各向异性外问题基于自然边界归化 的重叠型区域分解算法( s c h w a r z 交替算法) ，证明了算法的收敛性，详细分析了“ 算法的收敛速度，研究了算法的离散化及有限元处理，并给出了相应的数值例子 来检验算法的可行性与有效性第二部分为各向异性外问题基于自然边界归化的 非重叠型区域分解算法( d i r i c h l e t n e u m a n n 交替算法) ，构造了相应的算法，分 析了算法的收敛性及松弛因子的选取，并给出了数值例子来检验算法的可行性与 有效性 硕士学位论文 2 0 1 0 年3 月 第一章各向异性外问题的基于自然边界归化 的重叠型区域分解算法 1 1 引言 科学与工程计算中许多问题都可归结为无界区域上的偏微分方程边值( 或初 边值) 问题，数值求解无界区域问题有着极其重要的意义对于求解无界区域问 题，可采用边界元方法，边界元与有限元耦合法，人工边界条件方法等等 随着并行技术的发展，区域分解算法在科学与工程计算中越来越得到人们 的重视区域分解算法不仅为并行计算提供了有效手段，也为自然边界元法在无 界区域上的应用提供了新的途径其中，无界区域上基于自然边界归化的重叠型 和非重叠型区域分解算法，同时具备了自然边界元法和区域分解算法的优点 无界区域上基于自然边界归化的区域分解算法，是通过引入人工边界，将无 界区域q 分成一个彳艮小的有界区域q l 和一个典型的无界区域q 2 ，然后在 q 1 和q 2 上交替求解在q 1 上可以应用有限元方法求解，而在q z 上应用自然 边界元方法时仅需在典型边界上进行简单的计算于是，问题规模更小，也可以 并行计算 设r o 是平面上一条光滑( 或分段光滑) 的简单有界闭曲线，q 是以r o 为其 内边界的外部区域考虑如下二维外问题 j 。蠡+ 6 酽o q 2 u = 0 ，哺 ( 1 1 1 ) 【u = 让。， r 。上 。 对问题( 1 1 1 ) ，通过坐标变换并借助于自然边界归化，提出一种基于自然边界归 化的s c h w a r z 交替算法研究了算法的收敛性，特别对规则的无界子区域详细地 分析了算法收敛速度，最后给出数值例子，以示该方法的可行性和有效性 1 2 自然边界归化 对于方程( 1 1 1 ) ，设a b 0 ，r o 是中心在原点，且以两坐标轴为对称轴 的椭圆，即f o = ( z ，! ，) li x - 4 - = 确) ，q 是以f o 为其内边界的外部区域( 椭 黄忠梅硕士学位论文 圆外区域) 作坐标变换 z = 施，y = v b7 7 ，( 1 2 1 ) 区域q 和其边界f o 变为磊和于o ，且磊= ( ，叩) i 2 + ，7 2 = 瑞) ，利用( 1 2 1 ) ， 问题( 1 1 1 ) 可化为与之等价的以圆为内边界的边值问题 卜= 雾喀一o ，确 ( 1 2 【u = 札。， 式上 再作极坐标变换 = ，_ c o s p ，7 7 = 7 s i n p ，( 1 2 3 ) 应用f o u r i e r 级数展开可知，问题( 1 2 2 ) 的解可表示为 时=puo(刚)=以赢筹兽d8i,rjo t o ，( 1 2 4 )u ( 7 ，口) ( 风，p ) 2 丽毒丢篇鬻孑丽 ，( 1 2 4 ) 瓦g g u 娟棚) _ _ 石i 0 2 丌群彬 1 3s c h w a r z 交替法及其收敛性 ( 1 2 5 ) 对于问题( 1 1 1 ) ，q 为分段光滑闭曲线r o 的外区域，采用坐标变换z = 缸芒， y = 、6 叩后，( 1 1 1 ) 中的微分方程等价于调和方程( 1 2 2 ) 在q 内取两同心圆 于l = ( r ，口) ir = r l ，0 【o ，2 7 r 】) ，f 2 = ( r ，口) ir = r 2 ，0 【o ，2 7 r 】) 包围于。且 d i s t ( f e ，f o ) 占 0 ，r 1 r 2 0 区域q 被分为有界环型区域q 1 ( 1 1 1 和r o 围 成的区域) 和无界区域q 2 ( 以r 2 为边界的外区域) 记 q 1 1 = qnq ，q 1 2 = q 1nq 2 ， q 2 2 = q 2nq t ， 其中q ；表示哦的补集( i = 1 ，2 ) 再记让= u ( 七h ，( i = 1 ，2 ) 我们给出如下的s c h w a r z 交替算法 f 警+ 筹一o ，确， u r ：u o ，于。上， 七：1 ，2 ， ( 1 3 1 ) 【u p = u _ 1 ) ，f 。上， j 警+ 筹一o ，硼， 【钆= u p ，f 2 上，k = 1 川2 一， ( 1 3 2 ) 第一章各向异性外问题的基于自然边界归化的重叠型区域分解算法 7 其中让日壶( q 1 ) 任意给定，一般可取为0 求解q 1 上的问题( 1 3 1 ) 时可采 用有限元法，而问题( 1 3 2 ) 实际上并不需要求解，因为只需要知道边界r 1 上的 函数仳笋的值，乱可以利用p o i s s i o n 积分公式( 1 2 4 ) 得到记 v = v l v 咐( q ) ， i 氏= o ) ， = v l v h 1 ( f i a ) ，u l 而= 0 ，口h = o ) ， = v l v 哪( q 2 ) ，v l r , ：= o ， 订知= v l v h 1 ( f i l ) ，t j k = 让删b = 让。) ， 其中明( f i ) = u 撕五而l n ( x 2 + y 2 + 2 ) 赛篙( 孬) ) 为通常的 s o b o l e v 空间 问题( 1 3 1 ) 等价的变分形式。给定礼笋一，求乱 订m ，使得 d 1 ( 让f ， ) = 0 ，v ， 其中 d i ( u ，口) = 上v u v v 必d 叩，i = 1 ，2 j n 零延拓函数u 子与u 箩到孬上，只需要置 仳i i 磊。= u 一，t 正手i 磊，。= 乱r 于是有 u r 一让一1 ，u 一u p 囹题( 1 3 1 ) 与( 1 3 2 ) 的变分形式可分别写为 id 1 ( 仳，一乱， ) = 0 ，v 口， iu p 一u _ 1 ) id 2 ( 乱) 一u ，锄) = 0 ，v k ， iu 笋一u p k 其中u 是问题( 1 2 2 ) 的解，设氏：v k ，i = l ，2 表示v 到 d ( ，) 的正交投影，则( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) 式可写为 d l ( u p 一笋一，口) = d 1 ( 乱一t 上- i ) ，u ) ， vt ， d 2 ( u 一乱i ，口) = d 2 ( u 一乱r ，口) ，v 进而有 i 乱r 一让笋一1 ) = 凡( u 一钍。1 ) ， l 让一让，= ( u 一乱p ) ，k = 1 川2 一 ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) k 按能量泛函 ( 1 3 5 ) 8 黄忠梅硕士学位论文 又由于u u 一1 ) = 牡一u 乎+ u 予一u 字一，u 乎 类似有让一钆笋时因此( 1 3 5 ) 式等价于 一u 爹- 1 )k ，所以t 一u 譬 iu u p = 尸计( u 一仳- x ) ) ， lu 一让= 尸珏( u 一让，) ，k = 1 ，2 ， 令e ：南) = u 一让咒i = 1 ，2 ，则 e p = 坼e 笋1 ) ，e 笋= 研e k = 1 ，2 ， 于是 e = 研e p ，e = 坼坼e ，k = 1 川2 一 显然( 1 3 8 ) 式表明，若 e ) ，i = 1 ，2 收敛，则必收敛于时n 时 引理1 3 1 空间y ，k 满足 v = + k ，时n 时= 0 引理1 3 2 存在正常数岛，使得对所有御v 成立 i i , l l 。，孬岛( i | 凡吣磊。+ 0 凡吣磊：) ， 其中”1 1 1 氟表示能量模、d t ( ，) ，i = 1 ，2 引理1 3 1 的证明参见【9 】，引理1 3 2 的证明参见【5 】5 或【9 】 定理1 3 1 魄嘁埘| | 1 , f i ；= 0 ，i = l ，2 ，且存在常数口 o ，1 ) ，使得 l l 坼i i q ，i i 坼憾a ， 并有 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) 麟+ 1 1 i i l ，磊。扩| l e i l i i 。，磊。， i | e 笋1 1 1 。孬。a 七i i e 字i i 。，矗。，k = 1 ，2 ， 定理1 3 1 表明上述s c h w a r z 交替法是几何收敛的，其证明方法可参见文【9 】 1 4 收敛速度分析 对于一般的无界区域很难定量地分析上述s c h w a r z 交替算法的收敛速度， 但对于典型区域而言可以较精确的分析出算法的收敛速度为此，今设变换后的 区域q 是以原点为圆心，t o 为半径的圆周r o 的外部区域，r l 及r 2 分别为与 r o 同心的圆周，其半径冗1 ，兄2 满足 r 2 r 1 引理1 4 1 以r our l 为边界的环型区域q 1 上的调和方程边值问题 i a u = 0 ， q l 内， 札= 9 1 ，r 0 上， ( 1 4 1 ) 【u = 夕2 f 1 上， 第一章各向异性外问题的基于自然边界归化的重叠型区域分解算法 9 其中 + g l = e 砌日；( 吼a - n = a n ，佗= 0 ，1 ， + 9 2 = k e 棚日；( f - ) ， n = 0 ，1 ， 存在唯一解u h 1 ( q 1 ) ，且 缸( 棚) = 去 ( 曲r - 一6 0 l n r o ) + ( 6 0 一训n r + n = 一 n # o 薪( 少l 一等) 【焉川一捌”n 7 川 + 搀( 少i 一等) ”场娜m 对于问题( 1 4 1 ) ，应用分离变量法立即可得此结果 设e 妒( r 。，p ) = q n e 湖，其中e i l ( r 口) 满足 i e i ”= 0 ，孬1 内， e i l ( 凰，口) = 0 ，f o 上， h ( r 1 ，口) = e 笋( 兄，p ) ，于1 上 由引理( 1 4 1 ) ，得 e ( 1 b = 丽a ol n ( r 而r o ) + n l - 0 0 希r l n l 一型r l n l 、 e 枷 ( 1 4 2 ) r o r 咒1 限制到f ：上，有 e ( 1 慨驴研q ol n ( r 而2 r o ) + n 曼雾筹a n ( 拶 应用( 1 3 2 ) 的第二式，并注意到e ( r 2 ，p ) = e i ( r 2 ，口) ，利用p o s s i o n 积分公 式，可得 驴镒搿+ n 妻：- - - o o 筹筹q 毪) h 例川扩9 佃 1 0 黄忠梅 硕士学位论文 限制到f 1 上，并利用( 1 3 1 ) 中的第三式，有 e ( 2 ( 冗，p ) = e 9 ( 兄，口) = 黼+ 可得 其中 令e 孑( r 1 ，口) = 7 , = 一 。 砰鸡l n c l _ 币r 2 0 l n l a n e 伽，由 n = - - c o n 0 砭i n i一篇i “i 一瑶i n i剖n ( 秽川( 黔扎一曲一， q ：i 6 i 口n i ，礼= 0 ，4 - 1 ， 6 = m a x f - n 杀n 瓦r 1 ，( 等) 2 ) 显然0 j 1 ，从而 幛垤于。= ( 1 + 佗2 ) i q ：1 2 n n 2 - - 0 0 0 6 2 ( 1 + n 2 ) 1 2 = 6 2 i i e ；1 ) i l 赫 n = 一 n g o o t n e 枷 b u l l e p i i 丢，亍。6 l l e i l l i 丢，亍。 同理可得l i e 慨于。刚e 笋1 1 ，于。 由数学归纳法可得 l i e p + 1 0 ，于。6 k l l e 子l i 。f 。，i l e l i ，于。6 知l l e 笋l l ；，f 。，七= l ，2 ， 定理1 4 1 设于。是以原点为圆心，半径为t o 的圆，f 1 , 于2 是与r 同心且 半径分别为r 1 ，r 2 的圆( 其中r o 焉) ，f o = ( ( z ，y ) lz 2 + 等= 焉) 则问题( 1 6 1 ) 的精 确解为u ( z ，y ) = 2 x 兰2 + y 2 + o 0 5 ，u o2 让i 亍。 经坐标变换z = f ，y = 、2 叩，问题( 1 6 1 ) 等价于如下问题 蓐0 2 u + 两0 2 u _ 0 ，吼 ( 1 6 2 ) 【u = u 。， 0 上 对变换后的区域，作两条与于。为同心圆的人工边界f 1 及f 2 满足 0 ，f o = ( z ，y ) ia z 2 + z y 2 = 凰2 ) ，q 是以f o 为其内边界的外部 区域( 椭圆外区域) 作变量替换 z = 、o ， y = 、6 叩， 1 5 黄忠梅 硕士学位论文 则区域q 和其边界f o 变为孬和于o ，且r = ( ，7 7 ) ia c x 2 + b ，r 2 = 风2 ) 问题 ( 2 2 1 ) 化为与之等价的如下的边值问题 卜蹇+ 筹- o ，确 仁2 埘 iu = u of o 上 利用椭圆坐标 毒= f o c o s h p c o s 妒， 7 7 = 厂0 s i n h p s i n 妒， 其中 f o = 岛，伽= l n 逛j b 坠3 - 堡a a ， 可得积分方程 咖卜丽老砭1 锄m 回到原边界f o 上，注意到在边界上妒= 口，便得自然积分方程 排一4 7 f r o v ac o s 坠20 + 3 一s i n 20 ，研1 懒( 狮 ( 2 2 3 ) 2 3d n 交替算法 以原点为中心，作椭圆r 1 = ( p ，妒) ip = p 1 ，p l 0 ，妒【0 ，2 7 r 】) 包围内边 界于o ，且d i s t ( f l ，f o ) 0 椭圆f 1 将外区域孬分成两个互不重叠的子区域：由 f 1 与r o 围成的有界区域壳1 和以于l 为内边界的外区域孬2 给出如下的d n 交 替算法： 。：薯” 步1 选取初始入o 日 ( 于1 ) ，k = 0 步2 在磊2 上解d i r i c h l e t 边值问题 j 警+ 筹一o ，确， 仁3 m iu = a ( 知) 于l 上 步3 在孬l 上解混合边值问题 f 筹+ 筹一o ，确， 娑一娑“上， ( 2 3 2 ) 【缸r = 让or 上 步4 在p 1 上置入( 知+ 1 ) = 以u ，+ ( 1 一以) 入( 轴 第二章椭圆外区域各向异性问题的基于自然边界归化的非重叠型区域分解算法 1 7 步5 置k = k + 1 ，转步2 以上算法中步3 通常用有限元方法求解，而步2 用自然边界元方法求解 注意到求解步3 时仅需要步2 在f 1 上的外法向导数，所以完全不必求解步2 只需要利用其自然积分方程( 2 2 3 ) ，由a 佧) 求出磬即可。 2 4d - n 交替算法的变分形式及离散格式 问题( 2 3 2 ) 的变分形式为：求乱 h 1 ( 孬1 ) ，且乱，魄= u o 使得 嘶= z ，喾u 如= 加舻枷幽虮v 0 1 ( 5 1 ) ( 2 4 1 ) n ( u 子，口) = v u v v d x d y ，曙( 孬。) = ( ui 钉h 1 ( f i - ) ，u 1 = o ) 下面研究该变分形式的离散格式将区间f 0 ，2 7 r 】分成n 等分，相应的在椭 圆f 1 上有n 个节点，同时在孬l 内作三角形或四边形的有限元剖分，使其在f 1 上的有限元节点与f 1 上所得的节点重合可以得到d n 交替算法的离散格式； 步1 初始a o 日( 于1 ) ，k = 0 步2 在孬2 上解d i r i c h l e t 边值问题 j 警+ 第一o ，确， 仁4 q 【u 敬= a 乎于。上 步3 在孬1 求解离散化问题 。( 让= 名，警础 ( 2 4 3 ) 入乎+ 1 ) = 口知u 揪+ ( 1 一p 七) a 乎) f 1 上 ( q l 。l 喜兰曼) ( 誊萎；) = ( 一i 他) c 2 4 4 ， a ( 七+ 1 ) = 氏u ；知+ ( 1 一以) a ( m ，( 2 4 5 ) 其中u ，u ，u 乎分别表示在f 1 上，区域磊l 内和内边界f o 上的函数值向 黄忠梅硕士学位论文 量，b 由q 2 上的自然边界元得到 ( 2 4 4 ) 式左端的总刚度矩阵由q l 上的有 限元得到由于f o 上给定d i r i c h l e t 边界条件，使得【，矿= u o 为常向量，所以 经过约束处理得 q l l 吕“l i ) ) - ( 一第) ， 仁4 q 其中f o = 一q o u o 定理2 4 1 离散d n 交替法( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 与如下预处理r i c h a r d s o n 迭代 法等价 s ( a ( 知+ 1 ) 一a ( ) = 巩( - 0 一s 人( 七) ，( 2 4 7 ) 其中s 譬= q 1 l q 1 i q 磊1 q ms | i l = s 0 + b ，瓦= 一q 1 i q 磊1 f o 定理2 4 2 设预处理r i c h a r d s o n 迭代法( 2 4 7 ) 的迭代矩阵的谱半径为p ， 则存在与子区域q l 上的有限元网格参数h 无关的正数叮，使得p 盯 定理2 4 3 若取巩= p ( k = 0 ，1 ，2 ，) ，则存在一个与子区域q 1 上的有限 元网格参数h 无关的参数6 ( 0 6 1 ) ，使得当0 口 6 时，预处理r i c h a r d s o n 迭代法( 2 4 7 ) 收敛，并且收敛速度与网格参数h 无关 以上定理的证明类似文【1 0 】中的方法，故此处不再证明 2 5 收敛性分析及松弛因子的选取 对于各向异性问题在一般区域上定量分析上述交替算法的收敛性与收敛速 度是困难的，但对于某些特殊的区域可以分析其收敛性与收敛速度为此我们仅 考虑边界f o ，r 1 均为椭圆的情况：f o = ( 肛，咿) ip = p o ，妒【0 ，2 7 r 】) ，f 1 = ( 肛，妒) i 肛= 肛1 ，妒【0 ，2 7 r mf o 与r 1 是同心共焦的椭圆，且满足0 p o 肛1 则混合边值问题 f 口辔舶等一o ，q 。内， 协瓦o u + 嚣铋r 上， ( 2 5 1 ) 【饥= u 。r 0 上 通过变量替换z = 何毒，y = 以7 ，( 2 5 1 ) 化为调和方程混合边值问题 f 会让= 硒0 2 u + 丽0 2 u _ 0 ，确， 1 铷，f - 上， ( 2 矗2 ) iu = u o 式上 第二章椭圆外区域各向异性问题的基于自然边界归化的非重叠型区域分解算法 1 9 其中 正品万万万磊巧 g l2 丽忝萧再荷玑 引理2 5 1 以ruf l 为边界的区域磊1 上的调和方程边值问题 l 一u = 0 ，q 1 内， 2u = u 0 ，f o 上， ( 2 5 3 ) i 癸：9 ，于l 上， 仃竹 其中于。与于1 是同心共焦的椭圆，于o = ( p ，妒) ip = p o ，妒 0 ，2 7 r ) ，f 1 = ( p ，妒) i p = p 1 ，妒【0 ，2 丌】) ，且满足0 伽 p 1 则存在唯一解u h 1 ( q 1 ) 且 札( p ，妒) = 弋j - o 弋o c m ( e l m l ( p p 1 ) + e 胁i ( p l 一，i ) ) + d m ( e lm i 似一细) + 型型塑 z = 二一e l m l ( t t l 一加) + e l m l ( 加一p 1 ) 一o o ，m 0 + c 0 + 而( p p o ) ， e l m i p ( 2 5 4 ) 其中 一曼4 - o o e t m pe 础r 0 ) 一去( 一曼。d m l m l e 溉妒+ d o ) 锄h 鼢， 乱o = 日( r 0 ) ，9 = 去( 溉妒 ) ；( r ，) ， j 为椭圆坐标变换的j a c o b i 行列式，以为j 在f 1 上的值 利用分离变量法易证引理2 5 1 下面讨论算法的收敛性及松弛因子选取 o e ? a n m e 仇妒日( 于1 ) ，则 = 一j i | c ( 入硝) 一去i m l l 口m e 溉妒 j 五一 再求e 7 利用引理2 5 1 及 豢：一去- - 0 0 i m l a , e 唧，在f 。上， 面2 一而皇 e t l 于o = 0 在孬l 上得 其中 e ? = n 。上k ( p ) e 。聊， p i m l ( _ i - u o ) 一户i m l ( 弘。一，1 ) 日m ( p ) 2 春而i 而干而而。 佃 = n 入 一 入 = n 2 e 没 佃 黄忠梅硕士学位论文 因此，在 e ? = 从而 r 1 上有 + o o 口m ( p - ) e 咖， m = 一 = 一去量哳1 ) e 咖 于是，有 o e 瓦? _ + 1 ：一瓦( a 一入n + 1 ) = | i | c ( 靠t 正? + ( 1 一以) a n a ) 1 2 焉 、j 1 + i m i o m ( 如( p 1 ) 一1 + 氏) e 饥妒 t n = - 一 若令矸= _ 删有 + e n ：2 7 rf ：， i = 一 + o o e n + l ：2 7 rf z ，一 竹l = 一 口m 1 2 ， 志i 。仇1 2 ( o n h m ( 一1 + 以) 2 = ( 1 一“) 2 e n + o 。 + 2 1 rf j ：- 一 仃l = 一o o而m 2 扣1 2 e ( p ) ( 肛) + 2 民一2 ) 记 ) 6 卜仇舞毛却再彘丽， 其中z o 是全体非零整数集合由计算得j l = 昙如果取钆= 0 ，1 ，2 ，) ，满 足0 靠 j 1 ，则有 e n + 1 ( 1 一靠) 2 扩 若设 则有 ( p 1 ) = 1 一( p 1 ) = e n + 1 = ( 1 2 0 n ) 2 酽 + + 2 rf 二一， m = 一 2 e 2 1 m l ( m u o ) + 1 志叫2 0 k m ( ( 钆( 川一4 以+ 2 ) 第二章椭圆外区域各向异性问题的基于自然边界归化的非重叠型区域分解算法 2 1 又设 如= 2 mszou，p4-kin(#1)m#o m z o ， 其中z o 是全体非零整数集合由计算得如= 昙若取o n ( 佗= 1 ，2 ，) 满足 如以 1 ，则有 伊+ 1 ( 1 2 以) 。矿 综上所述，只要如( 0 ，1 ) ，当n _ o o 时，e ”单调下降趋于零又由 e k = 0 及有限元理论知 i i e ? l i 埔。研( 旧i l ，矿i 小d s i ) 刊吼a ，| e 孔a q b 。 于是，有 i i e ? l l ；孬，c e _ 0 ，佗_ o o ， 从而d n 交替算法收敛 2 6 数值例子 在下面的数值例子中，用e 表示q 1 上的最大节点误差 e ( n ) = s u pi 钍( 最) 一u n ( 只) i ， 只磊l e + 表示节点最大相对误差 “扯驯警i ， e 表示前后两步的解在节点上的差的最大值 e h ( n ) = s u pi 牡弦1 ( 只) 一乱z h ( 只) i ， 并用鼽模拟收敛速度， q h ( 礼) = 鱼罢盂产 取人工边界是半径为咒1 的圆周，对有界区域q 1 进行有限元剖分得q 1 ，h ， 将圆周等分( n 表示区间 0 ，2 r 】的等分数) ，对应节点相连得到径向线段，再 将径向线段m 等分得到其余节点，最后由这些节点得到q 1 上的一个三角形” 单元剖分 例2 6 1 考虑如下d i r i c h l e t 边值问题 n 面0 2 u + 6 酽0 2 u _ 0 ，q 内， ( 2 6 1 ) iu = u or o 上， 2 2 黄忠梅硕士学位论文 的外区域取a = 1 ，b = 3 ，则此时 为了得到收敛速度与网格的关系，分别取n = 8 ，m = 2 ；n = 1 6 ，m = 4 ； n = 3 2 ，m = 8 这三套网格，并分别用h ，h 2 ，h 4 表示对于问题( 2 6 1 ) 相关 计算结果如表2 6 1 及图2 6 1 所示 表2 6 1 收敛速度与网格的关系( t o = 2 ，r l = 4 ，口= 0 5 ) 网格 n0123456 e0 3 3 1 80 1 4 4 20 1 1 1 40 1 0 4 70 1 0 3 40 1 0 3 10 1 0 3 0 九 e h 0 2 3 7 40 0 3 2 80 0 0 6 70 0 0 1 40 0 0 0 30 0 0 0 1 q h 7 2 2 7 4 4 9 3 4 1 4 8 0 4 64 8 2 9 34 9 1 1 9 e0 2 4 1 3 0 0 6 0 30 0 3 5 10 0 3 0 80 0 3 0 10 0 3 0 00 0 3 0 0 h 2e h 0 2 2 7 90 0 2 5 50 0 0 4 20 0 0 0 70 0 0 0 10 0 0 0 0 q h 8 9 3 4 86 0 2 4 95 8 1 5 45 8 6 2 95 8 8 8 5 e 0 2 3 4 00 0 3 4 00 0 1 1 2 0 0 0 8 00 0 0 7 60 0 0 7 50 0 0 7 5 h 4 e h 0 2 2 3 80 0 2 3 60 0 0 3 40 0 0 0 50 0 0 0 10 0 0 0 0 q h 9 6 5 3 46 9 9 3 86 9 0 4 86 9 7 4 06 9 8 5 2 圉2 6 1 误差与网格粗细之间的关系( r o = 2 ，r a = 4 ，p = 0 5 ) o一6z一。一o毫 兰。 y 7哪沩 ，l o fm 懈 一 獭旷精 第二章椭圆外区域各向异性问题的基于自然边界归化的非重叠型区域分解算法2 3 例2 6 2 为了得到收敛速度与松弛因子的关系，取r o = 2 ，r t = 4 ，h 4 网 格，数值结果如表2 6 2 和图2 6 2 所示 表2 6 2 收敛速度与松弛因子的关系 迭代次数 口012345 0 21 6 6 0 71 6 5 3 61 6 4 6 31 6 0 8 9 0 44 4 1 5 83 2 1 2 63 1 6 0 63 1 6 5 3 0 59 6 5 3 46 9 9 3 86 9 0 4 86 9 7 4 0 0 6 5 1 6 7 33 7 6 3 03 6 3 3 63 6 2 9 3 0 72 5 4 8 12 2 6 8 02 1 3 8 4 2 0 8 4 2 0 81 6 9 1 01 5 7 8 81 5 1 0 2 1 4 7 1 3 图2 6 2 收敛速度与松弛因子的关系 例2 6 3r o = 2 ，r 1 = 4 ，0 = 0 5 ，取h ，h 2 ，h 4 三种网格，q 内节点最大 相对误差矿与网格问的关系如图2 6 3 所示 从以上数值结果我们可以看出： d n 交替算法的迭代序列