（课程与教学论专业论文）高层次数学思维与数学自我监控能力关系的研究.pdf

捅姜 高等数学这门课程无论是方法上还是对象上对比初等数学都是一个质的飞 跃，其内容的抽象性和逻辑性造成了相当一部分学生学习的困惑。调查研究表明， 学生对其学习的自我监控能力和学生的思维品质与数学学习成绩之间存在着密切 关系，高层次数学思维品质与数学自我监控能力的高低是影响学生数学成绩的重 要因素。思维品质与自我监控存在着因果关系，自我监控为“因”，思维品质为“果”。 并且思维品质和自我监控实质上是同一事物的两个方面，它们都是完整思维结构 的重要组成部分。思维品质是思维结构的功能的外在表现形式，而自我监控则是 思维整体结构的功能的内在组织形式，也就是说思维品质代表的是表层结构，而 自我监控代表的是深层结构。在现有的数学教学体制中，只重视数学知识结果、 解题技巧的讲授，轻视知识发现过程、数学思想方法地讲授和实际的应用。只重 视学生应试能力的培养，而忽视了学生思维能力、研究能力的培养。这已不适应 当前素质教育的要求。因此，在数学教学中应加强学生自我监控能力的培养，提 高学生的数学思维品质，解决如何教会学生如何学习，从而开发学生的智力和创 新能力，促进学生的整体素质获得全面、和谐的发展。 关键词：高等数学数学自我监控能力高层次数学思维 数学成绩 a b s t r a c t a d v a n c e dm a t h e m a t i c sh a sm a d ea q u a l i t a t i v el e a pb o t hi nw a y sa n di ns u b j e c t s c o m p a r e dw i t hp r i m a r y m a t h e m a t i c s i t sa b s t r a c tc o m e n ta n d l o g i ca l w a y sp u t s t u d e n t si np u z z l ei nl e a r n i n g t h es u r v e yh a sp r o v e dt h a tt h e r ei sc l o s er e l a t i o n s h i p b e t w e e ns t u d e n t s s c o r e so fm a t h sa n dt h e i r s e l f - m o n i t o r i n ga b i l i t y a n dt h e m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g s o t h el e v e lo f t h o u g h t q u a l i t y a n dm a t h e m a t i c a l s e l f - m o n i t o r i n ga b i l i t y a r et h em o s ti m p o r t a n tf a c t o r st oa f f e c ts n t d e n t s s c o r e so f m a t h s ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h et h o u g h tq u a l i t ya n ds e l f - m o n i t o r i n ga b i l i t yi st h a t o fc a u s ea n de f f e c t ，t h es e l f - m o n i t o r i n g a b i l i t yb e i n g t h ec a u s ea n dt h et h o u g h tq u a l i t y t h ee f f e c t i nf a c t ，t h e ya r et w os i d e so fas a m ec o i n ，c o n s t i t u t i n gt h ei m p o r t a n tp a r t s o ft h ew h o l et h o u g h tc o n s t r u c t i o n t h et h o u g h tq u a l i t yi st h ee x t e r n a lf o r mo ft h e t h o u g h tc o n s t r u c t i o nf u n c t i o n s ，r e p r e s e n t i n g as u r f a c el a y e r , w h i l et h es e l f - m o n i t o r i n g a b i l i t yi st h ei n t e m a lf o r m o f o r g a n i z a t i o n ，ad e e pl a y e r n o w a y si n s c h o o lm a t h e m a t i c a le d u c a t i o n ，t e a c h e r sp a ym o r ea t t e n t i o nt o m a t h e m a t i c a l k n o w l e a g e a n d p r o b l e m - s o l v i n gt e c h n i q u e s t h a nt o k n o w l e d g e - d i s c o v e r i n gp r o c e s sa n dt e a c h i n ga n da p p l i c a t i o no f m a t h e m a t i c a lt h i n k i n gm e t h o d s ， m o r et ot h ec u k i v a t i o no f s t u d e n t s a b i l i t yt oc o p ew i t h t e s t st h a nt ot h ec u l t i v a t i o no f t h e i ra b i l i t yt ot h i n ka n dr e s e a r c h t h i sh a sn o ta d a p t e dt ot h ec u r r e n tr e q u e s to f q u a l i t y o r i e n t e d e d u c a t i o n t h e r e t b r e i ti sc r i t i c a it oc u l t i v a t es t u d e n t s s e l f - m o n i t o r i n ga b i l i t y , i n c r e a s es t u d e n t s m a t h e m a t i c a lt h o u g h tq u a l i t ya n ds o l v et h e p r o b l e mh o w t ot e a c hs t u d e n t st os t u d y , t h u sd e v e l o p i n gs t u d e n t s i n t e l l i g e n c ea n d c r e a t i v i t ya n dp r o m o t i n g t h ea l l r o u n dd e v e m p m e mo f s t u d e n t s w h o l eq u a l i 够 k e yw o r d s ： a d v a n c e dm a t h e m a t i c s s e l f - m o n i t o r i n ga b i l i t y a d v a n c e dm a t h e m a t i c a lt h i n k i n gm a t h ss c o r e s 学位论文独创性声明 本人郑重声明； 1 、坚持以“求实、创新”的科学精神从事研究工作。 2 、本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作和取得的研究 成果 3 、本论文中除引文外，所有实验、数据和有关材料均是真实的。 4 、本论文中除引文和致谢的内容外，不包含其他人或其它机构 已经发表或撰写过的研究成果。 5 、其他同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了声明并表示 了谢意。 作者签名：酝蛭 一 e l 期：翌堕盟! 翻 学位论文使用授权声明 本人完全了解南京师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索：有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在 解密后适用本规定。 作者签名：强生 e t 期。2 盟盛盟! 筮 刖罱 联合国教科文组织把具有重要意义的2 0 0 0 年命名为“数学年”。标志着数学 在整个社会发展中起着举足轻重的地位，它已渗入到社会的各个方面，数学的方 法和数学的思维方式也正广泛地影响着其他学科和人们日常生活的各个方面。不 仅像物理学、化学、生物学等一些自然科学或实验科学早就把数学的概念、公式、 方法、方程、模型等作为思维活动依托的工具，而且当代的社会科学也越来越多 地借用数学模型、数理统计、函数分析、优化决策等数学方法作为思维的工具， 并且取得了重大的科学成果与社会效益。在国际数学教育改革的大背景下，我国 的数学教育情况不容乐观，普遍存在着“高分低能”的现象，学生的动手能力差、 创造水平低、应用数学能力弱。因此，数学教学的目的已不仅仅是单一的数学知 识的传授过程，而应是如何有效地发挥数学的功能，培养学生应用数学的意识， 提高学生解决实际问题的能力和创造能力，这已成为我国数学教育改革和发展的 重要课题。在教育部面向2 1 世纪教育振兴行动计划的指导下建立的新课程标 准中，体现了促进学生发展的精神，认为学生有一种与生俱来的，以自我为中心 的探索性学习行为，认为学生应是学习的主人，教师与学生的地位是民主与平等 的，要改变过去强调接受学习，死记硬背，机械训练的现象，指导学生主动参与， 乐于探究，勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获取新知识的能力，分 析和解决问题的能力，以及交流与合作的能力。学生重要的是“会学”，而不仅仅 是“学会”，要培养学生终身学习的能力。 众多研究表明，学生对其学习的自我监控是学生学习能力的重要方面，是影 响学生学业成绩的关键因素。林崇德教授( 1 9 9 6 年) 指出：思维是智力的核心， 人的思维结构成分，是由自我意识来监控和调节的，并表现出各种思维品质。进 入高等教育的学生，其数学思维己较中学阶段有了较大的提高，而高等数学教学 对发展学生高层次数学思维有很大的帮助，郑毓信教授( 2 0 0 1 年) 指出了“高层 次数学思维”应是数学学习心理学研究努力的方向。董奇先生( 1 9 9 0 年) 指出， 数学元认知与数学思维品质上是同一事物的两个方面，前者是数学思维结构的内 在组织形式，是思维的深层结构，后者是数学思维结构的外在表现形式，是表层结 构。显然思维品质差异存在的原因只能在思维的深层结构中寻找。而且，董奇先生 的实验研究结果表明，元认知与思维品质存在显著或非常显著的相关性，这种联系 的实质是因果关系，元认知的改变必然引起思维品质的改变。也就是说，数学元认 知水平的差异是形成学生数学思维品质差异的根本原因。本研究拟在以往对数学 学科自我监控能力和数学思维品质的研究成果的基础上，结合自身的教学环境和 学生特点，对下列问题进行研究：( 1 ) 研究江苏省电大系统的全日制学生高层次数 学思维的状况及特点。( 2 ) 研究江苏省电大系统的全日制学生数学自我监控能力的 状况和特点。( 3 ) 研究学生高层次数学思维与数学自我监控能力的相关性。( 4 ) 研究 学生数学自我监控能力与其学习成绩的相关性。( 5 ) 研究数学自我监控能力在数学 教学实践中的作用。( 6 ) 结合高等数学教学特点，建立运用自我监控，发展学生高 层次数学思维的教学模式。本研究主要采用了两份问卷，问卷一为章建跃在其博 士论文中所编制的中学生数学学科自我监控能力问卷，改名为数学学科自 我监控能力问卷，并结合高等数学的特点，稍作了改动，同时增加了一道重复 题，从而增强了问卷的信度。问卷分为五个维度：计划、调节、检验、管理、评 价。问卷二为数学思维品质测试卷，通过文献研究、专家访谈及结合高层次 数学思维特点，共分为六个维度：正确性、严谨性、定量性、灵活性、独创性、 批判性。通过两份问卷收集数据，并运用社会学统计软件包s p s s i o 0 ，进行数据 的分析。针对问卷数据的结果，本人还结合自己的教学情况，对部分学生的解题 情况进行了访谈，考察了学生在对数学概念理解方面和解题过程中所表现的自我 监控能力和高层次数学思维品质各自特点和关系。进一步验证了上述数据分析结 果的正确性。研究结果表明，高层次数学思维品质与数学自我监控能力存在着密 切的正的关系，而且学习优良生、学习中等生，学习后进生的各数学思维品质与 数学自我监控能力也存在着差异。学习优良生的数学自我监控能力同各数学思维 品质相联系的密切程度高一些，而学习后进生的数学自我监控能力同各数学思维 品质相联系的密切程度要低一些。这表明，高层次数学思维品质与数学自我监控 能力的高低是影响学生学习成绩的重要因素。在现有的数学教学体制中，只重视 数学知识结果、解题技巧的讲授，轻视知识发现过程、数学思想方法地讲授和实 际的应用。只重视学生应试能力的培养，而忽视了学生思维能力、研究能力的培 养。这已不适应当前素质教育的要求。因此，在数学教学中应加强学生自我监控 能力的培养，提高学生的数学思维品质，解决如何教会学生如何学习，从而开发 学生的智力和创新能力，促进学生的整体素质获得全面、和谐的发展。 2 第一章绪言 1 1 问题的提出 社会发展对我国的教育提出了更新、更高的要求，近几年来，我国的高等教 育更是快速发展。2 0 0 3 年全国普通本专科招生约3 8 2 万人。比2 0 0 2 年增加6 1 7 万人，增长1 9 ；全国各类高等教育在校学生规模为1 9 0 0 万人，高等教育毛入 学率达到1 7 左右，进入了国际公认的大众化教育阶段。作为高等教育的一员， 全国电大2 0 0 3 年统招高等普通本专科学历教育招生约1 9 万人，约占全国招生的 5 ，全国电大在校学生规模约5 0 万，约占全国各类高等教育在校学生总数的 2 6 。长期以来，电大学生因其入学前自身的条件较差( 高考成绩较低、学习能 力较弱，缺乏学习的主动性及自身带有自卑心理等) ，造成了他们在高等教育学 习中，特别是高等数学学习中的困难，基于这一现象，如果能帮助他们改进他们 以往的学习方法和学习理念，那么他们的学习能力将会得到总体的提升。 众多研究表明，学生对其学习的自我监控是学生学习能力的重要方面，是影 响学生学业成绩的关键因素。丽影响学生的自我监控能力的因素复杂两繁多，主 要分为环境因素与个体因素两大类。个体自身的一系列因素，在很大程度上影响 着个体自我监控能力的发展水平。林崇德教授( 1 9 9 6 年) 指出：思维是智力的 核心，人的思维结构成分，是由自我意识来监控和调节的，并表现出各种思维品 质。董奇先生( 1 9 9 0 年) 指出，数学元认知与数学思维品质上是同事物的两个 方面，前者是数学思维结构的内在组织形式，是思维的深层结构，后者是数学思维 结构的外在表现形式，是表层结构。而且，董奇的实验研究结果表明，元认知与思维 品质存在显著或非常显著的相关性，这种联系的实质是因果关系，元认知的改变 必然引起思维品质的改变。也就是说，数学元认知水平的差异是形成学生数学思 维品质差异的根本原因。进入高等教育的学生，其数学思维己较中学阶段有了较 大的提高，而高等数学教学对发展学生高层次数学思维有很大的帮助，郑毓信教 授( 2 0 0 1 年) 指出了“高层次数学思维”应是数学学习心理学研究努力的方向。 学生的数学思维水平和自我监控的能力应存在着相关性。 本研究主要目的是通过调查电大教育体系下学生在数学学习过程中数学思 维水平和自我监控的能力认知和应用情况，分析两者之间的相关性，并在此基础 上提出供参考的数学教学与学习方法。 1 2 文献综述 在教育心理学领域，国内外的研究者对关于以学习者为中心的自我监控学习 理论已经作了大量的研究，在实际的教育教学领域中取得了很多成就。其中包括 对自我监控的定义、特性、价值、结构、发展及影响因素的研究，以及对自我监 控能力的培养问题。近年来，自我监控理论的研究进一步与具体的学科自我监控 能力联系起来，延拓了自我监控理论的内涵，也为具体学科教学提供了更好的理 论指导。 1 2 1 关于数学自我监控能力的研究 数学学科的自我监控能力的研究最早反映在g 波利亚( g p o l y a ) 的工作 中，他对如何把抽象的数学研究与具体的教学实践结合起来，培养学生提出问题， 分析问题和解决问题的能力等进行了深入的研究，并先后发表了怎样解题、 数学的发现、数学与猜想等一系列具有世界影响的经典名著。这些著作中 蕴涵了丰富的数学学习自我监控的思想，这种思想突出地反映在他对解决问题过 程中随时对解题活动进行“反思”的强调上。波利亚把解题过程分为四个步骤： ( 1 ) 弄清问题，即清楚地了解问题，弄清它的主要部分；( 2 ) 拟定计划，即了 解已知与所求之间的关系，制定出解题的计划：( 3 ) 实行计划，即实现解题计划， 并仔细地检查每一个步骤；( 4 ) 回顾，即回顾所完成的解答，对它进行检查和讨 论。在整个解题过程中，他特别强调及时评价解题活动的重要性，他认为“一个 认真对待自己问题的解题者，对自己走向目标的步伐、和目标接近的程度、以及 任何影响自己计划前景的变化都会有敏锐的感觉。而我们常常还希望比感觉更进 一步，例如清醒地估计一下自己的处境，判断一下问题的性质，估计一下问题的 前景等等”。波利亚认为，解题活动并非是一个机械地执行事先确定好的程序的 过程，而是一个需要对之进行不断的调整的过程。因此，对解题过程进行及时的 反思和自我调整是十分重要的。波利亚研究的另一个主要问题是“合情推理”， 即在数学论证过程中的合理猜测。例如，在论证一个数学定理之前先猜测其内容； 在做出详细证明前先猜测证明的思路，等等。合情推理实际上也包含着对解题过 程的一种自我监控。 美国当代著名数学教育家舍菲尔德对波利亚的“解题策略”作出了更为细致 的说明，并提出了自己的“怎样解题表”，与波利亚的“怎样解题”表相比，其 4 主要特点之一就是对相应的启发法则作了更为细致的说明。舍菲尔德还从教学的 的角度对如何搞好解题策略的教学提出了一些具体的意见。如使隐含的过程明 朗化：让学生就这些过程进行讨论；提供有指导的实际；确保学生牢固地 掌握相关的程序；既注意定性的理解，也注重具体的程序。另外，他在数学 解题一书给出了“调节”的概念。“调节”即是指解题者对于自身所从事的解 题活动( 包括解题策略的选择、整个过程的组织、目前所从事的工作在整个解题 过程中的作用等) 的自我意识、自我分析( 包括评价) 和自我调整。数学解题中， 对于“调节”的强调主要包括两个方面：一是应努力减少盲目性、增强自觉性。 二是解决问题应是一个需要不断对所发生的情况进行评估并随时加以必要调整 的动态过程。这实际上就是现代认知心理学中所说的“元认知”( 或者更为准确 地说，即“元认知的自我监控”) 。 8 0 年代中期，我国南方地区开展的中学数学目标教学实验。该实验以布鲁 姆的掌握学习理论为指导，以明确具体的教学目标为教学的向导，使整个教学活 动始终在教学目标的控制下进行。实验的重点是在合适的目标体系下，及时地进 行“反馈一矫正”。这种“反馈一矫正”机制在学生的积极主动的参与下，事实 上就是一种自我监控学习机制。但该教学实验，因未能将教学中的形成性评价与 学生学习过程中积极主动的、及时的自我评价结合起来进行培养，从而使学生在 数学学习中的自我监控能力未能得到应有的发展。 中科院心理所卢仲衡研究员创立的“自学辅导教学实验”，提出了数学自学 能力中的九大因素，即主动阅读能力；独立思考能力；善于自练自检能力； 促进自治能力；自我控制能力；自觉探求能力；加速形成概括能力； 能动应变能力；发展创新思维能力。从这九大因素中可以看出，数学学科自我 监控能力结构是自学能力结构的核心结构。主动阅读能力在某种意义上可看成是 自我监控意识的表现：独立思考能力中包括对整个学习过程的自我监控与调节： 自练自检能力、自治能力、自我控制能力主要就是数学学习中的自我监控能力； 能动应变能力则主要体现了学生对学习过程的自我调节。这九大能力其实是学生 自我监控能力的反映，其实质是通过培养学生学习中的自我监控能力而取得良好 的教学效果的教学模式。 理论应用于实践，必须要与具体的事物相联系起来，章建跃( 1 9 9 9 年) 以 5 8 7 名中学生为被试，运用自编的中学生数学学科自我监控能力问卷和中 学生数学问卷搜集数据，考察了中学生数学学科自我监控学习能力的发展情况。 并提出了基于数学教育的数学学科自我监控能力，搭建了数学学科学习、教学与 自我监控理论之间的桥梁，调查研究了中学生数学自我监控能力的特点、结构、 模式、发展和影响因素。探讨了学生数学自我监控能力与学生思维、智力的关系， 研究结果表明，中学生数学学科自我监控学习能力的发展符合从他控到自控、从 不自觉经自觉到自动化、敏感性逐渐增强、迁移性逐渐提高、从局部到整体等基 本规傅。而且中学生数学学科自我监控学习能力的发展落后于其他心理能力的发 展。其研究结果对推动当前的教育教学改革，探讨解决教会学生如何学习、发展 学生思维能力的新途径，都具有十分重要的理论意义和实践意义。 l 。2 2 关于影响自我监控能力因素的研究 众多研究表明，学生对其学习的自我监控是学生学习能力的重要方面，是影 响学生学业成绩的关键因素。而影响学生的自我监控能力的因素复杂而繁多，主 要分为环境因素与个体因素两大类。在影响学生自我监控能力发展的环境诸因素 中，最重要的就是学生学习活动过程的社会相互作用环境，包括家庭、学校及社 会文化因素等方面。其中学校在影响学生自我监控学习能力发展的诸因素中居主 导地位。教学方面，教师的教学风格和水平、课堂气氛、同伴交往对学生的自我 监控能力的发展有很大的影响。例如在开放性课堂中，由于课堂气氛融洽、自由 灵活，学生在思维的流畅性、灵活性和独创性方面的得分，要远远高于传统课堂 的学生学生在思维能力、学习的调节能力、组织力、监控能力等许多方砸， 比传统课堂中的学生表现出更高的水平。个体自身的系列因素，在很大程度上 影响着个体自我监控能力的发展水平。研究表明，学生的自我监控能力的发展与 其性别、年龄、性格、认知风格、技能迁移、学习动机、归因、自我效能感等因 素存在着复杂而密切的关系。例如具有冲动型认知风格的学生，在面临问题时常 常不假思索，立刻做出反应，但这种反应的准确率不高，他们自我监控能力发展 的重点，在于加强对自己行动方案有效性进行评估的意识，在实际做出反应之前， 自觉思考行为理由和可能的后果，控制冲动，适当降低反应速度，提高反应的正 确性。具有反省型认知风格的学生，在做出反应之前会较多关注行为方案的适宜 性，力求正确，反映速度较慢。因此，他们需加强对反应速度的控制，使自己的 6 反应正确而及时。因此，通过对这些影响学生自我监控能力的因素与其相关性的 研究，对我们寻找培养学生的自我监控能力教学方法具有重要的意义。 1 2 3 数学思维与数学自我监控能力关系研究 在国内外，无论谈到数学的智力，数学的精神、思想和方法，数学素养及数 学素质，数学思维都是它们的构成要素和重要成分。 苏联学者奥加涅相特别强调数学思维是人们认识具体的数学科学，或是应用 数学于其他科学技术和国民经济等的过程中的辩证思想。 我国的学者也有类似的观点，王仲春教授等认为：“数学思维是指人类关于 数学对象的理性认识过程，包括应用数学工具解决各种实际问题的思考过程。” 林崇德( 1 9 9 6 年) 指出：思维是智力的核心，人的思维结构成分，是由自 我意识来监控和调节的，并表现出各种思维品质。而数学是一种特殊的思维形式， 数学包含一般思维所具有的本质，同时又表现出数学学科本身的特殊性。数学思 维能力的高低是通过数学思维品质的差异体现出来的，具体的体现在思维的深刻 性、灵活性、独创性、批判性、敏捷性五个方面。数学思维品质在数学学习中很 大程度的表现在学生的数学自我监控能力，数学思维品质的内在的深层次的根 源，来自于元认知自我监控的能力。 董奇( 1 9 9 0 年) 指出数学元认知与数学思维品质上是同一事物的两个方 面，前者是数学思维结构的内在组织形式，是思维的深层结构，后者是数学思维结 构的外在表现形式，是表层结构。显然思维品质差异存在的原因只能在思维的深 层结构中寻找。恧且，董奇的实验研究结果表昵元认知与思维品质存在显著或非 常显著的相关性，这种联系的实质是因果关系，元认知的改变必然引起思维品质 的改变。也就是说，数学元认知水平的差异是形成学生数学思维品质差异的根本 原因。 郑毓信教授( 2 0 0 1 年) 指出“高层次数学思维”应是数学学习心理学研究 努力的方向，“高层次数学思维”相对于“初等数学思维”，是指具体地涉及到概 念的形式定义和理论的演绎开展。近年来，有不少学者对“函数”、“极艰”、“无 限”等概念学习过程进行了深入的研究，已在这一方向上取得了一些十分重要的 成果。关于高层次的数学思维研究其中主要的代表作为a d v a n c e d m a t h e m a t i c a l t h i n k i n g ( 高层次的数学思维) ，e d b y d r a l l ，k l u w e r a c a d e m i c p u b l i s h e r s ，1 9 9 1 年。他从数学概念的理解本质出发，考察了一些高等数学概念 的概念化的研究结果，其中包括函数、极限与无限的概念与数学论证的过程，证 明了在学习高等数学的过程与概念中存在着严重的认知冲突。并指出了在向高等 数学思维的转变过程中，包含着一个困难的转变，即从概念可以凭经验直观地建 立转变到概念用正规的定义加以阐述，而其性质则是通过逻辑演绎加以构造。在 这一思维转变过程中，学生的头脑中同时有着早先经验及其性质与建立在定义与 演绎之上的新思想，这会造成大量的各种各样的认知冲突，从而在学习上形成障 碍。在这种情况下，发展学生学习的自我监控能力，有利于帮助学生更好地克服 这种学习障碍，提高学生的数学思维水平。学生的数学思维品质与学生自我监控 能力两者之间应存在着密切的联系。 从上述的文献综述可以看出，国内外心理学工作者对自我监控能力的定义、 特性、价值、结构、发展、影响因素及其培养问题，已进行了大量、深入的研究， 并得出了大量有价值的结论。这些结论为我们结合具体学科的学习与教学，探讨 自我监控能力在相应学科中的特点，以及如何结合具体学科的学习与教学，培养 学生的自我监控能力，提供了借鉴和理论的指导。但研究多数都只停留在宏观的 层面，与具体学科结合的研究较少，在理论上探讨的较多，而从实际教学作为出 发点进行的研究较少。思辨性的文章较多，而实证性的研究较少。到目前为止， 关于数学思维品质与学生自我监控能力相关性研究还很少，而基于高等数学教学 中，学生高层次数学思维品质和学生自我监控能力相关性研究就更少了。弄清两 者之间的关系及各自的特点，并在数学学科的实践层面上研究如何通过课堂教学 培养学生的数学自我监控能力，发展学生的高层次数学思维品质，对高等教育教 学具有重要的理论和实践意义。 1 3 高层次数学思维品质和学生自我监控能力相关性研究的意义 高等数学是理、工、农、文各科高等教育中涉及学生最多、门类最广、 对学生影响深远的课程之一。而高等数学这门课程无论是方法上还是对象上对比 初等数学都是一个质的飞跃，其内容的抽象性和逻辑性造成了相当一部分学生学 习的困惑。究其原因，主要是传统的高等数学课堂讲授仍只重视数学知识的传授， “定义、定理、证明、举例”一环紧扣一环，使学生感到枯燥难懂。教学中只重 视知识结果、解题技巧的讲授，轻视知识发现过程、数学思想方法的讲授和实际 的应用。只重视学生应试能力的培养，而忽视了学生思维能力、研究能力的培养， 更谈不上引导学生用数学方法和思想来认识世界和改造世界。这就造成了学生自 身对高等数学基本理论一概念、定理、性质、法则和公式本身的学习不够重视， 轻理论重解题，仅把完成作业能解题作为掌握所学知识的唯一标准，缺乏学习的 主动性和积极性。因此，改革以往的教学方法和教学理念，在高等数学教学 中实施素质教育，让学生“学会学习”已成为数学教育改革的当务之急。正如 1 9 7 2 年联合国教科文组织编著的学会生存一书中指出的：“我们再也不能一 劳永逸地获取知识了，而需要终生学习如何建立一个不断演进的知识体系一学会 生存。教育应该较少地致力于传递和存储知识( 尽管我们要留心，不要过于夸 大这一点) ，而应该更努力寻求获得知识的方法( 学会如何学习) 。” 数学思维与数学自我监控能力研究是近年来数学教育界较为活跃的一个研 究方向，由于自我监控能力对人的智力、思维活动起着监视调节的功能，它的发 展水平直接制约着智力、思维的发展水平，因此数学思维与数学自我监控能力的 研究也应该是相互交叉的关系，弄清数学思维与数学自我监控能力两者的关系， 不仅对于弄清数学自我监控能力的一系列理论问题，探讨数学思维与数学自我监 控能力的关系，丰富和发展认知发展理论有重要意义，而且对推动当前的教育教 学改革，解决教会学生如何学习，培养学生的思维能力，开发学生的智力和创新 能力，也具有重要的理论意义和实践价值。 第二章数学学习中高层次数学思维 有一句名言是“数学是思维的体操”。数学本身既是数学思维的结果，又是 科学思维的工具。不仅像物理学、化学、生物学等一些自然科学或实验科学早就 把数学的概念、公式、方法、方程、模型等作为思维活动依托的工具，而且当代 的社会科学也越来越多地借用数学模型、数理统计、函数分析、优化决策等数学 方法作为思维的工具，并且取得了重大的科学成果与社会效益。 2 1 数学思维 2 1 1 数学思维的含义 数学思维通常是指人们在数学活动( 数学研究与数学学习) 中思想的或心理 的过程与表现。数学思维是针对数学活动而言的，它是通过对数学问题的提出、 分析、解决、应用和推广等一系列工作，以获得对数学对象( 空间形式、数量关 9 系、结构模式) 的本质和规律性的认识过程。这个过程是人脑的意识对数学对象 信息的接受、分析、选择、加工与整合。数学思维与数学知识具有密不可分、互 为表里的血肉关系。数学思维是一种内隐的心智活动，而数学知识是这种活动的 外观结果。我们平时提到的数学意识、观念以及数学的精神、思想、方法等则是 数学思维活动的结晶，或者说是数学思维的宏观概括。 2 1 2 数学思维的特点 数学思维的特点一方面来自与数学本身特点，即“高度的抽象性”、“严密的 逻辑性”、“结论的精确性”以及“应用的广泛性”。另一方面，正如徐利治教授 指出的：数学思维同时还具有类似自然科学思维的“观察、实验、类比、归纳” 等特点。张奠宙教授则概括地提出：数学思维的特点是“策略创造与逻辑演绎的 结合。”丁石孙教授等在数学与教育一书中也认为数学思维有三方面的本质 特征：逻辑性；抽象性；对事物主要的、基本的属性的准确把握。我国众 多的数学教育专家与学者在不同的论著中也提出了许多大同小异的看法。诸如广 泛性、深刻性、组织性、批判性、灵活性、创造性、概括性、条理性、相似性、 问题性、辩证性等。基于数学思维既与左脑的分析、逻辑和判断思维以及顺序的 线性的加工和处理信息的方式相关，又与右脑的视觉图像的感知、记忆、具体的 形象思维和美感，以及整体的、综合的加工和处理信息的思维相关。同时基于众 多数学家与数学工作者的数学思维活动的亲身感受和体验，可以认为数学思维具 有广泛的涵义，它除了具有明显的概括性、抽象性、逻辑性、精确性与定量性外， 还具有问题性、相似类比性、辩证性、现象与猜测性以及直觉、美感等特性。 2 1 3 数学思维的基本形式 数学思维的基本形式是指用思维科学的范畴来分析数学思维活动的不同方 式。 按思维活动的性质特征来划分，数学思维的基本形式可分为：数学抽象思维、 数学逻辑思维、数学形象思维、数学直觉思维。 按个体思维发展顺序来划分，数学思维的基本形式可分为：直观动作思维、 具体形象思维、抽象逻辑思维、动态辩证思维。 按思维指向划分，则有集中思维( 又称求同思维) 与发散思维( 又称求异思 维) 。集中思维又可分为定向思维、纵向思维及构造思维；发散思维又可分为逆 1 0 向思维、侧向思维、悖向思维、探索思维等。 按思维类型的不同可分为逻辑思维与非逻辑思维。 2 1 4 数学思维的功能 数学思维的功能是指学习数学、研究数学思维对人们的工作、生活和思想 所能产生的影响和作用。王梓坤院士指出：今日的数学兼有科学与技术的两种品 质。因此数学思维的功能包括数学知识与思维方式、方法本身的直接功能，同时 也具数学思维的经验所能产生的迁移功能。它包括以下四个方面：( 1 ) 计算和科 技应用功能。数学思维是从数学问题引起的，解决具体问题的思维活动的结果表 现为特定的数学知识，形成某种数学技能，获得某种数学经验。这就直接对人们 的生产、工作、生活与科技活动起到演算的工具作用，以及包括逻辑的推理、运 算、证明、构造等算法方面的应用，以进一步地解决实际问题。另外，数学语言 符号等带来的交流数学思想的功能，是学校数学教育所能产生的一个基本功能。 ( 2 ) 数学思想方法功能。这是指数学思维活动给人们带来的较高层次的数学意 识与数学观念，或者说形成一个数学头脑，掌握某些数学思维的方式与方法，形 成数学思维的能力。( 3 ) 文化教育功能。这种功能已进一步深入到数学思维活动 升华的更高层次，或者说已迁移到文化道德、思想修养、智育美育的素质范畴。 ( 4 ) 数学教学功能。这个功能实际上包含于上面三个功能中，数学教学过程是 数学思维活动的教学，通过对数学思维的解剖分析，可以充分揭示数学思维过程 的再创造性，加强数学知识发生与发展过程的教学。 2 2 高层次数学思维 2 2 1 高层次数学思维的含义 d t a l l ( 1 9 9 1 年) 对“函数”、“极限”、“无限”等概念的学习过程进行了 深入的研究，指出了高层次数学思维相对于初等数学思维，是指具体地涉及到概 念的形式定义和理论的演绎开展。王梓坤院士( 1 9 9 3 年) 指出从当代数学发展 和应用中概括出的高层次数学思维应是一种精确定量思维。“所谓定量思维是指 人们从实际中提炼数学问题，抽象化为数学模型，用数学计算求出此模型的解或 近似，然后回到现实中进行检验，必要时修改模型使之更切合实际，最后编制解 题的软件包，以便得到更广泛的方便的应用”。 2 2 2 高层次数学思维的特点 高层次数学思维以两个重要组成部分为特征：准确严谨的数学定义和建立在 此基础上的定理的逻辑演绎。高层次数学思维在数学学习中表现为学习者对数学 概念理解的透彻和精确性，能按照数学的方法和规则进行合理严密的逻辑推理， 具有较强的数学问题解决能力。因此，高层次数学思维应具有以下的特点：概 括性，是指能以大量的己知事实为依据，在已有知识经验的基础上，舍弃个别事 物的个别特征，抽取它们的共同特征，从而得出新的结论。例如在微分在近似计 算中的应用的一些近似公式，只要让学生概括出，这些近似公式都是来自于近似 公式y - 一d y ，就很容易理解和掌握这些近似公式了。凝聚性，所谓凝聚性即有 “数学过程”向“数学概念”的转变。例如函数的概念在最初是作为一种对应法 则出现的，从而也就是这样的过程，即是如何由自变量的已知值去求得相应的函 数值，然而随着学习的深入，函数的概念又逐渐获得了新的意义：这已不在仅仅 被看成一个过程，而且也被认为是一个特定的数学对象，它不仅具有单调性、奇 偶性、周期性等性质，还可以作为对象，具体地去实施各种特定的数学演算，如 微分运算、积分运算等。这事实上就包括了一个“凝聚”的过程，即由一个包含 多个步骤的运作过程凝聚成了单一的数学对象。协调性，是指能够对数学概念 进行适当的组合，并按照某种次序按置演绎推理。例如，由函数的概念出发，通 过引进积分运算，我们就可由此而分化出“可积函数”的概念。精确性，是指 对数学概念的理解的准确性，逻辑演绎的有效性( 可靠性) ，理论的相容性等。 逻辑性，是指能按照数学的方法和规则进行合理严密的逻辑演绎，层次性， 是指能从多个角度理解数学概念和数学方法，并能找出新旧知识和方法之间的联 系，善于多角度、多层次地思考问题。例如通过对一元函数f ( x ) 当x _ 时的 极限定义为：v e 0 ，3 j 0 ，当o k x 。l o ，n o 一) 2 + ( y y o ) 2 艿时，总有 l f ( x ，y ) 一a i ，则称a 为函数f ( x ，y ) 当x 斗x 。，y - - , y o 时的极限。还有可利用 定积分定义，也可得出二重积分、三重积分、第一型曲线积分等的定义。通过对 这些平行或相关概念的理解和掌握，找出它们之间的联系与区别，有助于我们加 深对概念的理解和运用。问题性，是指能从实际中提炼数学问题，并能正确有 效的解决问题。反省性。是指将学习过程中的智力活动作为思考对象，进行内 省、反思。例如在数学解题中，当解题障碍时，能对所用的解题方法重新进行的 思考，并作出相应的调整，从而能找到合适的解题方法，解决问题。 2 2 3 高层次数学思维的品质 根据思维品质的特点，结合数学学科的特点，我们认为高层次数学思维的品 质应具有以下几个特性： 1 、思维的正确性，它包括概念的准确性，推理的有效性( 可靠性) ，理论的 相容性等。学生思维的正确性主要表现为能正确掌握和理解数学概念的内涵和外 延，能进行合理正确的推理，并确保数学结论的精确性。 2 、思维的严谨性，是指能按照数学的方法和规则迸行合理严密的逻辑演绎。 学生思维的严谨性主要表现为能抓住事物的规律和本质，对数学问题能全面而准 确地做出判断，并采用正确的数学方法和规则进行逻辑推理，推理中思路清晰、 周密、有效。 3 、思维的定量性，是指能从实际中提炼数学问题，并能正确有效的解决问题。 学生思维的定量性主要表现在能从所研究的材料中提取有效的数据，抽象为数学 模型，用数学方法计算求出此模型的解，并确保所得结果的正确性。 4 、思维的灵活性，它是指思维活动的灵活程度，主要表现为具有超脱习惯处 理方法界限的能力。学生思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方 向：表现为从一种解题途径转向另一种途径的灵巧性：也表现为从已知数学关系 中看出新的数学关系，从隐藏的形式中分清实质的能力。 5 、思维的独创性，它是指思维活动的创造性精神，是在新颖地解决问题中表 现出来的智力品质。学生思维的独创性主要表现为能独立地、自觉地掌握数学概 念，发现定理的证明，发现老师课堂上讲过的例题的新颖解法等。 6 、思维的批判性，它是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查 思维过程的智力品质，它是思维过程中自我意识作用的结果。学生思维的批判性 主要表现为有能力评价解题思路选择得是否正确以及评价这种思路必然导致的结 果；愿意检验已经得到的或正在得到的粗略结果，以及对归纳、分析和直觉的推 理过程进行检验；善于找出和改正自己的错误，重新计算和思考，找出问题所在： 不迷信与教师和课本，有分析地接受老师讲的一切，凡事都要经过自己的头脑去 思考，然后再作出判断。 2 3 高层次数学思维中的自我监控 人的思维结构成分，是由自我意识来监控和调节的，并表现出各种思维品质。 数学思维品质在数学学习中很大程度的表现是在学生的数学自我监控能力方面， 数学思维品质的内在的深层次的根源，来自于元认知自我监控的能力。思维品质 与自我监控存在着因果关系，自我监控为“因”，思维品质为“果”。并且思维品 质和自我监控实质上是同一事物的两个方面，它们都是完整思维结构的重要组成 部分。思维品质是思维结构的功能的外在表现形式，而自我监控则是思维整体结 构的功能的内在组织形式，也就是说思维品质代表的是表层结构，而自我监控代 表的是深层结构。 数学是思维的体操，数学认知活动本质上是数学思维的活动。因而，数学自我 监控能力实质上是主体对自身的数学思维活动的认识、体验和调控。数学自我监 控能力在思维活动中所具有的这种统摄作用说明，它是数学思维活动的核心成分。 实际上数学自我监控能力就是数学思维结构五大系统( 即目标系统、材料系统、操 作系统、产品系统、监控系统) 中的监控系统，它对其他四个系统起着控制和协调 作用。数学自我监控通过数学思维结构中各要素的协调发展，有效地促进了主体数 学思维的概括、判断、推理和想象等能力的发展。它的发展水平不仅直接制约着 主体的数学思维活动的发展水平和效率，还制约着主体的数学思维能力的发展水 平。因此，在高等数学教学中，要使大学生的数学思维能力得到充分发展，就必须发 展其数学自我监控能力。 数学思维品质是数学思维能力的表现形式，是衡量数学思维能力高低的重要 指标。在高等数学学习中，学生认识问题有深刻与肤浅之分，分析问题的速度有快 慢之分，解决问题的方法有灵活与呆板之分等等。我们认为，这些数学思维品质差 异的根源在于数学思维整体结构的内在运行机制的差异，特别是数学自我监控对 数学思维结构中各系统进行控制和调节水平的差异。一般地，数学自我监控能力水 平高的学生，对数学思维活动进行调控的水平较高，他们养成了对数学思维过程和 结果进行反思的习惯，具有较强的反思能力，善于总结数学思维的规律，概括数学 思维过程所反映的数学思想方法，掌握了丰富的数学思维的策略知识。这必然会有 利于发展他们数学思维品质的正确性、严谨性、定量性、灵活性和独创性。显然， i 车 在数学自我指导和调节作用下，这样的数学思维是深刻的、敏捷的，也是灵活的，富 有创造性的。 例如“问题解决”被认为是人类智力的集中表现，而解题活动并非是一个按 照事先制定的程序一成不变地加以实旄的机械过程，而是一个需要不断对所发生 的情况进行评