（计算数学专业论文）带有阻尼项的单摆方程数值解的长时间行为.pdf

中文摘要 带有耗散项的方程 中文摘要 u 托+ 0 f 牡一a u + 卢s i nu = ，z q ，0 0 ，有 l 口6 i t o 在日中是列紧的我们也假设 s ( 亡) ) 存在日中的个吸引集c ，那么 s ( 亡) 在日 中存在个紧的吸引子 一4 一 第3 章e u l e r 隐格式 第3 章e u l e r 隐格式 3 1e u l e r 隐格式解的存在性 引进新的未知函数妒( 亡) = ( 亡) + 6 0 ，那么原微分方程的初值问题( 1 1 ) 一( 1 2 ) 就 等价地变为如下常微分方程组的初值问题 f 矿+ p 一妒= o ， + ( q e ) 妒+ 多s i n o + ( ，y 一( 0 c s ) ) p = 6 ， ( 3 1 ) i ( 0 ，窃l t _ o = ( o o ，) 首先，我们讨论常微分方程组初值问题( 3 1 ) 的e u l e r 隐格式 f o n + l _ _ o n + e p n + l 一矿+ l ：o ， lr 掣+ ( o e - - g ) + 脚n 矿+ ( y - - ( q 叫沙“= 6 ， l ( 0 ，妒) i t = o = ( 如，妒o ) ( 3 2 ) 若第佗层俨，矿的值已知，则上述格式是一个关于第n + 1 层的o n + 1 ，妒1 为 未知数的非线性方程组对此我们先证明t 对于任给n 0 ，差分格式( 3 2 ) 的解都 存在 由( 3 2 ) 的第二个式子可得 ( 1 + 下( q s ) ) 矿+ 1 一矿+ f ；r s i n0 n + 1 + 下( ，y 一( 0 f 一) ) p n + 1 = r 6 ， ( 3 3 ) 又由( 3 2 ) 的第一个式子可得 q o n + l = o n - i _ - 1 一o n + s p 竹+ l ， 代入上式可得 ( 1 + 丁( d 一) ) ( 掣托扩+ - ) + 下( 9 - - 6 ( 一g ) ) p 州 + 卢r s i no n + 1 = 丁6 + 矿， 整理得 ( 1 + r ( a e ) ) ( 1 + e r ) o n + 1 + 7 - 2 ( ，y 一毒( q e ) ) p n + 1 + p r 2s i n 0 n + 1 = 下2 6 + 下妒n + ( 1 + 下( 0 f s ) ) p n ， 黑龙江大学硕士学位论文 记 j | c = ( 1 + r ( a 一) ) ( 1 + e 丁) + 7 - 2 ( ，y g ( q e ) ) 1 ， 则上式变为 即 7 = r 2 6 + 丁妒n + ( 1 + 下( 口一) ) 秽n ， 瓦沪+ 1 + 3 r 2s i n 日1 = 7 - - ， 口n + 1 = 瓦一1 7 啊一j | c 一1 3 r 2s i n 扩+ 1 我们记，( z ) = 尼7 - 一咒q 3 r 2s i n x ，那么 i ，( z ) 一，( 秒) i = 咒一1 3 r 2 is i n x s i n y l 咒一1 p 丁2 i x y l 3 r 2 i z 一可1 ( 3 4 ) 故当3 r = 1 ，即r 3 - 吾时，由b a n a c h 压缩映像原理可知，方程( 3 3 ) 有唯 一解，从而e u l e r 隐格式( 3 2 ) 当7 ， 0 都有( 俨，矿) 满足 俨+ 1 一俨 矿+ 1 一矿 + 俨+ 1 一矿+ 1 = 0 ， + ( 0 f s ) 矿+ 1 + 卢( s i n 口 + l s i n o ；+ 1 ) + ( 7 一( q e ) ) 俨十l m - 0 ， ( 3 1 0 ) 将( 3 1 0 ) 第二个式子两端乘以r 矿+ 1 ，得： 其中 o n + i 1 2 一妒n 妒n + 1 柯( q 一) l 妒n + 1 1 2 + 卢丁( s i n 卵+ 1 一s i n e ! + 1 ) 妒n + 1 + ( ，y g ( a 一) ) 丁p n + 1 妒n + 1 = 0 妒州1 2 一矿矿+ 1 = 矿+ 1 ( 妒n + l - - 矿) 丢( 伊1 1 2 一矿1 2 ) 再由l a g r a n g e 中值定理可知 l p 丁( s i np + 1 8 i n 鳄+ 1 ) 妒n + 1i 代入( 3 1 1 ) 式可得 p 7 - i p + 1 一臼；+ 1i i 妒n + 1l = 卢丁l p 他+ 1 i i 妒n + 1 i 去声丁( i p n + 1 1 2 + l 妒n + 1 1 2 ) 丢( 1 矿+ 1 1 2 i i 矿1 2 ) + 丁( 口一e ) l 妒时11 2 + ( 7 - 6 ( q e ) ) r p 蚪1 矿+ l 言卢7 - ( i 铲“1 24 - 矿“1 2 ) 厶 将( 3 1 0 ) 第一个式子两端乘以7 俨+ 1 ，得 其中 所以 ( 俨+ 1 一铲) 铲+ 1 + 盯i 俨+ 1 1 2 一丁铲+ 1 矿+ 1 = 0 ( p n + 1 9 n ) p n + 1 三( i p n + 1 1 2 一i p n l 2 ) o n + 1 1 2 一i p n l 2 ) 4 - 6 r i o n + 1 1 2 一丁p n + 1 妒n + 1 0 上式两端同乘，y 一( 口一e ) 得 丢( ，y g ( q 一) ) ( 1 p n + 1 1 2 一 i 口n 1 2 ) + 7 ( ，y s ( q s ) ) i p n + 1 1 2 一下( 7 一( 口一) ) 口n + 1 妒n + 1 0 9 一 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 黑龙江大学硕士学位论文 ( 3 1 2 ) 式与( 3 1 3 ) 式相加得： 圭( 伊1 1 2 一槲) + 丁( q e ) 伊1 1 2 + 互1 ( 7 一( q 一洲p 州1 2 一l e 似1 2 ) + 盯( ，y e ( x - - - e ) ) i 扩1 1 2 i 去州矿1 | 2 i + l 矿+ 1 1 2 ) 即 i 妒n + 1 1 2 一i 矿1 2 - i - 2 t ( a g ) i 妒n + 1 1 2 + ( ，y 一( q s ) ) ( i p n + 1 1 2 一l e n l 2 ) - i - 2 e t ( 9 , 一s ( a e ) ) l e n + 11 2 p r ( i p n + 11 2 + l 矿+ 11 2 ) 所以 i 妒n + 1 1 2 - i - ( ，y g ( 口一s ) ) l p n + 1 1 2 l 妒n 1 2 - i - ( ，y e ( a 一) ) l p n l 2 + z t ( i e n + 1 1 2 + i 矿+ 1 1 2 ) 由上面记酽= l 矿1 2 + ( ，y 一 一e ) ) 妒1 2 得 e 竹+ 1 e 竹- i - 卢丁( 1 p n + 1 1 2 + i 妒n + 1 1 2 ) ( 3 1 4 ) 又因为 9 , 0 = m i n ( 1 ，y 一( q e ) ) 酽伽( i 矿1 2 - i - - i p n l 2 ) 所以 肼州2 等 将上式代入( 3 1 4 ) 可得 e 行+ 1 0 即丁 百9 0 时 e n + 1 ( 1 9 0 1 卢7 - ) 一1 e n ( 1 9 0 1 多r ) 一2 酽一1 一、 ， ， ( 1 9 0 1 卢7 ) 一( 1 ) 伊 即 驴( 1 9 0 1 卢丁) 硼e o ( 3 1 5 ) 第3 章e u l e r 隐格式 又因为当o z 互1 时，有r 1 _ 1 + 2 z 所以，令。卢7 一百1 互1 ，即7 i 务时 即 所以( 3 1 5 ) 式化为 再由( 幸) 式可得 ( 1 一百1 卢7 - ) 一1 1 + 2 p 丁百1 ( 1 一百1 所) 呻( 1 + 2 了r 1 ) n 矿( 1 + 2 声r 汀1 ) n e 。e 2 7 9 1 夕7 死e 。 矿1 2 + 于是，我们就得到如下结论； i o 1 2 焉e 2 百1 p r ( 卅+l 妒0 1 2 ) 定理2 当7 老且7 i 0 分别满足下列方程； 旦曼掣+ s o ( t n + 1 ) 一妒( t n + 1 ) = r 7 + 1 ， 妒( 如+ 1 ) 一妒( k ) r 俨+ 1 一俨 7 - 妒竹+ 1 一妒n 7 + ( 口一g ) 妒( k + 1 ) + ps i n 移( k + 1 ) + ( 7 - 6 ( a 一) ) 口( 如+ 1 ) = 燧+ 1 + 瓯 + e o 珏+ 1 一妒b + 1 = 0 ， + ( 0 1 一g ) 矿+ 1 + 3s i n l 9 竹+ 1 + ( ，y 一( 口一g ) ) p n + 1 = 6 ， 将( 3 1 6 ) 一( 3 1 7 ) ，且记p = 妒( 亡n ) 一9 9 n ，r i n = 9 ( k ) 一俨，有 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 血t q - 6 t n + l - - - ：研， f n + l f n 一l - ( a - ) p + 1 + ( s i n 护( 如+ 1 ) 一s i n o n 十1 ) + ( 7 一( 口一) ) 矿+ 1 = 磁+ 1 ， ( 3 1 8 ) 一1 1 一 ，j【， 黑龙江大学硕士学位论文 将( 3 1 6 ) 第二个式子两端同乘蚪1 ，得 ( n + 1 一p ) p + 1 + ( q 一6 ) 1 - i c + 11 2 - i - 卢丁p + 1 ( s i n0 ( t n + 1 ) 一s i n0 n + 1 ) - i - 1 - ( 7 一( 0 f 一) ) p + 1 矿+ 1 = 1 - 月雹+ 1 p + 1( 3 1 9 ) 其中 1 ( p + 1 一p ) n + 1 去( 1 p “i l p l 2 ) 又由l a g r a n g e 中值定理可得 i 卢7 - p + 1 ( s i n0 ( t n + 1 ) 一s i n0 n + 1 ) i 3 1 - l e v x + lll o ( t + 1 ) 一俨+ 1i = 3 1 - i c + 1 1 1 , 7 蚪1 l 去卢丁( i 1 | 2 i4 - l 矿- - i - 11 2 ) 将上述结论代入( 3 1 7 ) 式，得 百1 l 与+ i i p 1 2 ) + ( 0 f 二s ) 丁l e + 1 1 2 + 7 ( ，y g ( 口一) ) p + 1 矿+ 1 i t 卢7 c l e n - - 11 2 + i 矿+ 1i 2 ) + 丁冗矿1 p + 1 ( 3 2 0 ) 再将( 3 1 6 ) 第一个等式两端同乘丁矿+ 1 ，得 ( 矿+ 1 一矿) 矿+ 1 + 代l 矿+ 11 2 7 p + 1 矿+ 1 = 研+ 1 r 矿+ 1 其中 ( r n + 1 - - 矿) 矿+ 1 丢( 旷1 i - 1 7 1 2 ) 所以 丢( 1 矿“l f 矿| 2 ) + 他l 矿+ 1 1 2 - - 7 p + 1 矿+ l r 7 + 1 t 矿+ l 在上式两端同乘7 一e ( 0 f s ) ，得 去( ，y s ( q 一) ) ( 1 7 n l lj 一坩i ) + r e ( 9 - - ( 5 n e ) ) 伊1 1 2 一r ( 7 一( q s ) ) p + 1 矿+ 1 砑+ 1 下( ，y e ( q e ) ) 矿沣1 ( 3 2 1 ) ( 3 2 0 ) 式与( 3 2 1 ) 式相加得； 扣州1 2 一i c l 2 ) + ( q e ) r 护1 1 2 + 互1 ( ，y g ( q 一渊t n l l i i 矿i 2 ) + 下( ，y e ( q 一) ) 俨1 1 2 三例p 1 1 2 + 旷1 1 2 ) + 下端+ 1 p + 1 + 碍+ 1 丁( 7 一e ( 口一e ) ) 矿+ 1 第3 te u l e r 隐格式 即 i p + 1 1 2 + 2 ( q g ) 7 i p + 1 1 2 + ( ，y 一( q g ) ) l 矿+ 1 1 2 + 2 丁6 ( 7 一s ( 口一s ) ) i 矿+ 1 1 2 卢丁( 传n + 1 1 2 + i 矿+ 1 1 2 ) + i p l 2 + ( ，y e ( 口一e ) ) l 矿1 2 + 2 丁冠+ 1 p + 1 + 2 r + 1 1 ( 7 一e ( q e ) ) 矿+ 1( 3 2 2 ) 记 g n = i p l 2 + ( ，y g ( q e ) ) i 矿1 2 则( 3 2 2 ) 式化为 g ，l + 1 + 2 ( q s ) 7 i p + 1 i + 2 r e ( 7 一e ( q 一6 ) ) i 矿+ 1 1 2 g n + p 7 - ( i p + 1 1 2 + l 矿+ 1 1 2 ) + 2 丁磁+ 1 p + 1 + 2 - r ( 7 一s ( q 一) ) 研+ 1 矿+ 】( 3 2 3 ) 又因为7 0 = m i n ( 1 ，y 一( 0 f s ) ) ，所以 即 又由卜不等式有 酽伽( 妒1 2 + i 矿1 2 ) 1 1 2 + | 一1 2s 三饷a 竹+ 1 1 2 r # “p “i 2 丁( q 一引扩1 2 + 方习l 璐“1 2 1 2 r ( 7 - 6 ( q s ) ) 研+ l ? 7 n + l i 2 他( 7 - 6 ( n s ) ) 胛i + 煎二 晏型i 砰圳i 将上述结论代入( 3 2 3 ) ，得 伊1 妒+ 伽l - - f l r g * + l + 南雕1 1 2 i + 血趔雕1 1 2 i 所以， ( i - 扣) g 州g n + 南雕m i + 立趔畔1 1 2 i 令( 1 一去纠以= 口 所以， 伊1 q g n + q ( 南雕1 1 2 i + 立警型雕l | 2 ) i 黑龙江大学硕士学位论文 口( q g n - 1 + q ( 志i 硝1 2 + 立警型i 研1 2 ) ) + 口( 志防1 1 2 + 业警型附1 1 2 ) = 口2 g + 9 2 ( 志i 磺1 2 + 盟警趔l 研1 2 ) + 口( 南l 端+ 1 1 2 + 业警型l 钟“1 2 ) q n + l t ( 南俐2 + 掣附) + + 口( 志防1 1 2 l + 掣孵1 1 2 ) ( 3 2 4 ) 义由 r i + 1 掣叫钿) t ，) d s - + 1 ) = 睾，( 忡m ( 训d s = 导，e 。仰肌 所以 m 三t ，1 叭盯) i d o 蜒互1 嬲h 同理 i p 4 岖l 寻，k “i p ( 盯) d a d s 互1 踌悱卅 将它们代入到( 3 2 4 ) 式的右端，有 伊c r 2 ( m a 叫xi 矿 ( t ) 1 2 + 州m a xip(t)lt 2 ) 一 u t 。u t 因此，我们有如下定理 定理3 假设初值问题p 圳的解p ( 亡) ，妒( 亡) ec 2 ，当丁菇 t o 且r 卢一；时，眈f e r 隐格式p 矽的解( 俨，q o n ) 与初值问题p j j 的解( p ( 亡) ，妒( 亡) ) 之间有如下的误差估 计 i o n o ( t n ) i + i p q o c t ) l c 丁， 其中c _ 是与区间0 ，t i 的长度t 有关而与r 无关的常数 第3 章e u l e r 隐格式 3 5本章小结 在本章中，我们给出了方程( 3 1 ) 的e u l e r 隐格式，并讨论了e u l e r 隐格式解 的存在性、一致先验估计，并对其格式的稳定性和解的误差估计做出研究，得出很 好的定理结论 第4 章 c r a n k - n i c o l s o n 有限差分格式 4 1c r a n k n i c o l s o n格式差分解的存在性 本节我们将讨论初值i , q 题i ( 3 1 ) 的c r a n k - n i c o l s o n 格式； 血兰二型一丢( e 孚r 矿+ 1 + e 一警f 矿) = o ， e 譬r 妒n + 1e i z - - 2 一r 矿 一8 竺兰鱼! ：竺二：! 二! ! 呈鱼二! ：竺! 一 e 暑r 伊+ 1 一e 一考丁伊 + 掣( e 参下俨+ 1 + e 一差r 俨) ) = 6 ( 4 1 ) 同样地，此格式仍是关于俨+ l ，妒时1 的非线性格式我们先来证明此格式的可解性 为此将( 4 1 ) 的第二个等式两端同时乘r ，且记 g【e考下pn+-，e一差下pn】=!竺兰三霎；霎；：三兰铲-cos(e-虿0) e 垒手，- 妒n + 1 - - e 一y - 下矿一p 7 - g 【e 暑r 俨+ 1 ，e 一盖r 俨】 由( 4 1 ) 的第一个式子得： + 掣丁滢下俨+ t + e - 争扩) 新 e 譬下妒n + 1 = 2 e 哥0 - + 1 - e 一暑r 俨 e 一孚下妒n 将上式代入( 4 2 ) 式得： 2 1 1 ：旦：二呈二! ：竺一2 e 一警r 矿一卢丁g 妙0 n + l ，e - 言丁0 n 】 7 - 即 + 7 一( q 2 堕(e 詈下俨+ 1 + e 一差下酽) = 打 2 声伊+ 掣t 2 6 即+ l = 2 - e - 铲矿+ 2 e - 争铲 一生掣户e 匆矿- _ i - t 2 删沪p n + l ，6 - 扣叫6 记l = ( 2 + 掣 等 n = 2 e 一等俨+ 2 r e 一孚r 矿+ t 2 6 一 ! 二三! 竺二盟t 2 e - 主下o n 2 1 6 一 ( 4 2 ) 第4 章 c r a n k n i c o l s o n 有限差分格式 又因为 g 萨扩+ 1e - - 锄肾堕筹芒驴 e2 t 一e2 = f os i n ( e 等o n + 1 8 - - ( 1 一s ) e 一言r 俨) d s 那么俨+ 1 满足t l p l = r 2 卢z 1 s i n ( e 譬- 0 + 1 8 + ( 1 一s ) e 一言下俨) d s + p 即俨+ 1 = l 一1 7 2 卢露s l 。n t 7 e t ”b + 1 8 + ( 1 一s ) e 一言r o n ) d e + l 一1 n 设譬( z ) = l - 1 7 2 p “j “0s t a 。t e ”2x s + ( 1 一s ) e 一善r p ) d s + 三一1 p ( 4 3 ) 显然g ( x ) 是定义在r 上的连续函数，且由l a g r a n g e 中值定理可得 i 夕( z ) 一夕( 可) l = l 一1 1 - 2 侈iz 1 ( s i n ( 而8 + ( 1 _ s ) e 哮 一s i n ( e 筹- y s + ( 1 8 ) e 一墨丁0 n ) ) d s l 。7 1 2 pz 1ls i n ( e 譬- x s + ( 1 一s ) e 一丢r 俨) s i n ( e 等秒s + ( 1 一s ) e 一墨1 。o ) l d s l - 1 7 - 2 卢e 舌r s i z y l 铆z 一秒 故当譬丁2 1 即f 据时，g ( x ) 为r 到r 上的一个压缩映射，从而由 b a n a c h 压缩映射原理，方程( 4 3 ) 有唯一解 从而当7 - 锈时，c r a n k - n i c 。l s 。n 格式有唯一解 4 2c r a n k n i c o l s o n格式差分解的一致先验估计 在( 4 1 ) 第二个式子两端同乘7 - ( e 孚下妒卅1 + 6 - a 2 e r 矿) ，得 e ( q 一p i 矿+ 1 1 2 一e - ( 口一) 下i 矿1 2 一p 7 - c o s l 7 , e 您2u “1 ) 一c o s ( e 一差下俨) e 等o n + 1 6 - i r o , , ( e 孚r 矿+ 1 + 6 - 孚丁矿) + 7 - 生兰孚型( 8 等9 n + x + e - 锄以e 孚下妒n + 1 + e 一孚r 矿) 亍6 丁( e 孚r 妒n + l + e - 孚下矿) 又由( 4 1 ) 第一个式子得e 垒尹r 妒1 + e - 垒笋r 矿= 代入上式得 e ( a e 卜i 妒n + 1 1 2 一e - ( 口一e ) 下l l 矿1 2 2 f l ( c o s ( e 等0 n + 1 ) 一c o s ( e 一考r p n ) ) + ( 7 一( a 一) ) ( e e 下i o n + 1 1 2 一e - e r i p n l 2 ) = 6 丁( e 孚r 妒n + 1 + e 一孚r 妒住) 一1 7 即 e ( a g 汀l 矿+ 1 1 2 + ( ，y e ( a 一) ) e s 丁l p n + 1 1 2 = e 一( a - e p i 妒n 1 2 + ( ，y e ( q s ) ) e e f i p n l 2 + 2 多( c o s ( e 等口n + 1 ) 一c o s ( e - 墨r 口n ) ) + 6 丁( e 孚下矿+ 1 + e - a - 尹r 矿) 利用s 不等式，上式化为 ( 1 + ( 0 f 一) 7 ) i 矿+ 1 1 2 + n e ( q s ) ) ( 1 + 9 7 - ) l p n + 1 1 2 e 一( a 吒p l 妒n 1 2 + ( ，y 一( 0 1 一e ) ) e 一盯i p n l 2 + 2 卢( c o s ( e 譬俨+ 1 ) 一c o s ( 6 一盖下俨) ) + 6 1 - ( e 警r 矿十1 + e 一孚下矿) e 一( 舛卜i5 f , n 1 2 + ( ，y 一6 ( 0 f e ) ) e 一盯l e n l 2 + 肛l e 譬下( s o n - l l + 6 - - 警下矿i + 6 丁e 警下妒n + 1 + ( s r e 一竿r 矿 e 一( a - e ) r i 妒n 1 2 + ( ，y s ( 0 f e ) ) e s f l e v l 2 + ( 卢+ 6 ) r l e 警r 矿+ 1 + e 一譬f 妒n i 由于e n = l 矿1 2 + ( 7 一e ( a - 6 ) ) t 0 珏1 2 所以，上式化为 e - + l + ( 0 f g ) 7 i 矿+ 11 2 + ( y - e ( a - e ) ) e r l o + 11 2 e - ( 舛p i 矿1 2 + ( ，y s ( 0 f s ) ) e 一盯1 日n 1 2 + ( p + 6 ) f l e 孚r 矿+ 1 + e 一竿r 妒n i ， ( 4 4 ) 再利用s 不等式 妒删毋矿- i ( 川洲2 + 搿e 卜咖 + 删仃钆耶手巾n 1 2 e - ( a - e ) r + 搿 所以( 4 4 ) 式化为 e n 0 ，它们分别满足下列差分方程 f 生虫虹毒蔓竺盥一昙( e 警，妒( k + 。) + e 一孚7 妒( 九) ) ：璐州2 ， 呈a ：- - e t ! ! ! 堡! z 二! 二兰：竺! ! 1 2 一疗竺! ( ! ! ：皇( ! ! 1 2 2 二! 竺! ! ! 二! ：皇! ! 竺2 2 ( 4 6 ) i 7 。 产 e 哥侈( “1 ) 可扣9 ( k ) i + 竺兰譬丑( e 盖丁目( 亡n + 1 ) + e 一言r o ( t n ) ) = 6 + 璐+ 1 2 ( 4 7 ) 其中磁+ 1 2 ，磁+ 1 2 是c r a n k - n i c o l s o n ( 4 1 ) 格式的局部截断误差当初值问题( 3 1 ) 的解伊( 亡) ，妒( 亡) c 3 时，有 磁+ 1 2 = o ( r 2 ) ，磁+ 1 2 = p ( 丁2 ) ，与e u l e r 隐格式的讨论类似，我们有如下差分解的收敛性和误差估计 定理6 假设初值问题p 砂的解口( 亡) ，妒( 亡) c 3 ，当丁充分小时， c r a n k - n i c o l s o n 格式“砂的解( 0 珏，矿) 与初值问题似的解( p ( 古) ，妒( 亡) ) 之间有如下的误差估计 1 0 n o ( t n ) i + i 妒n 一妒( 亡n ) i c r 丁2 ， 其中c 量是与区间 0 ，t 】的长度t 有关而与7 - 无关的常数 罢 手 0 一h o 一 一卜 疗 丽 + 哥1 弘 ， “ 一。 刮 竹嘴一 。 愀 堡 l ! ：| l 伊瓮磊 羔 第4 章c r a n k - n i c o l s o n 有限差分格式 4 5本章小结 在本章中，我们给出了初值问题( 3 1 ) 的c r a n k - n i c o l s o n 格式，讨论了该格式 解的存在性、二致先验估计在此基础上得到了格式的稳定性和差分解的收敛性和 误差估计 黑龙江大学硕士学位论文 第5 章离散动力系统吸引子的存在性 在本节中，我们将e u l e r 隐格式( 3 2 ) 和c r a n k - n i c o l s o n 格式( 4 1 ) 放到离散 动力系统的框架中对于固定的a t ，让我们定义映射 t ( k ) ：( 口o ，矿) ( 俨，矿) ，v 佗z + 其中( 俨，矿) 是e u l e r 隐格式( 3 2 ) 或c r a n k - n i c o l s o n 格式( 4 1 ) 的解它将r 2 映 射到自身，并且满足如下的半群性质 l 瓯，t ( t n 十t m ) = 既，t ( k ) & ，a t ( t m ) ，v 仃1 n z + ； o m 之n 定理8 在定理5 的条件下，由c r a n k - n i c o l s o n 格式似j 夕生成的离散动力系统 s 厶) 在r 2 中拥有整体吸引子4 t ，并且 5 1 本章小结 4 t = nu t ( 亡n ) b ， n om n 在本章中，我们讨论了由e u l e r 隐格式( 3 2 ) 和由c r a n k - n i c o l s o n 格式( 4 1 ) 生 成的离散动力系统的长时间行为，证明了这两个离散动力系统都存在吸引集和整体 吸引子 结论 结论 人们在求耗散的s i n e - g o r d o n 方程的行波解时，耗散的s i n e - g o r d o n 方程就被 化为带有耗散项的单摆方程 矿+ q 矿+ 3s i n0 + t o = 最t 0 本文用有限差分法研究了单摆方程初值问题的数值解法，即分别研究了e u l e r 隐格 式和c r a n k - n i c o l s o n 格式首先证明了这两个格式的可解性，然后我们对差分解做 了一致的先验估计，其次，我们在任意有界区间上研究了格式的稳定性和收敛性 最后，我们研究了这两个差分格式所生成的离散动力系统的动力性质，证明了它们 在相空间r 2 中都存在整体的吸引子 黑龙江大学硕士学位论文 参考文献 【1 】j m g h i d a g l i aa n dr t e m a m a t t r a c t o r sf o rd a m p e dn o n l i n e a rh y p e r b o l i ce q u a - t i o n s j j m a t h p u r e sa p p l ，1 9 8 7 ，6 6 ：2 7 3 - 3 1 9 【2 】r t e m a m i n f i n i t ed i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m si nm e c h a n i c sa n dp h y s i c 8 s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 9 7 【3 】j k h a l e a s y m p t p t i cb e h a v i o ro fd i s s i p a t i v es y s t e m ，a m sm a t h e m a t i c a ls u r - v e y sa n dm o n o g r a p h s2 5 a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e ，r i ，1 9 8 8 【4 】j k h a l e ，x b l i na n dg r a u g e l u p p e rs e m i c o n t i n u i t yo fa t t r a c o r sf o ra p - p r o x i m a t i o n so f s e m i g r o u p sa n dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，m a t h c o m p ，1 9 8 8 ， 5 0 ：8 9 - 1 2 3 【5 】j k h a l e ，g r a u g e l l o w e rs e m i c o n t i n u i t yo fa t r r a c t o r so fg r a d i e n ts y s t e ma n d a p p l i a n c a t i o n a n n a l im a t h p u r ee t a p p l ，c l ，1 9 8 9 ，2 8 1 3 2 6 【6 】a v b a b i na n dm i v i s h i k r e g u l a ra t t r a c t o r so fs e m i g r o u p sa n de v o l u t i o n e q u a t i o n s j ，j m a t h p u r e sa p p l ，1 9 8 3 ，4 4 1 4 9 1 【7 】a v b a b i na n d m i v i s h i k a t t r a c t o r so fe v o l u t i o ne q u a t i o n s n a u k a ， m o s c o w ，1 9 8 9 ，6 2 e n g l i s ht r a n s l a t i o n ，n o r t h - h o l l a n d ，1 9 9 2 8 】郭柏灵无穷维动力系统( 上、下册) 【m 】国防工业出版社，2 0 0 0 9 】9 y i ny a n a t t r a c t o r sa n dd i m e n s i o n sf o rd i s c r e t i z a t i o n so faw e a k l yd a m p e d s c h r o d i n g e re q u a t i o na n ds i n e - g o r d o ne q u a t i o n ，n o n l i n e a ra n a l ，1 9 9 3 ，2 0 ：1 4 1 7 - 1 4 5 2 【1 0 】f y z h a n ga n ds j l u l o n g - t i m eb e h a v i o ro ff i n i t ed i f f e r e n c es o l u t i o n s