（计算数学专业论文）提升格式在小波分析中的应用.pdf

华中科技大学| 顼士学位论文 ，_ _ _ e _ _ _ 簟i i i i i i i _ - _ _ - - - - - _ _ _ _ _ _ _ _ l 攘蔓 f 囊扶w s 喃他l 如拄等人予1 9 舛年提出提蠢楱式以来，提势掺式不仪逐步成失梅 造第：代小波的工具，而且它还可以用来构造第一代小波。它是一种完全在时域 上构造小波的方法。其基本思想在予： 黛霎焉铲鲐鼢机不同髋质鹩，j 、波。弘 阻一个简单的多分辨分析为起点，逐步“提 因而，人们可以根据自己的实际需要来构造 本文蕾先奔绥了提拜格式毒对鳃提舞格式鹃豢本璎论，谗论了挺舞、对褥搀 手 前蹶尺度遗数与小波丞数之阀的变换关系，详缨讨论了小波提舞变换算法鲍分 割、预测、更新三个步骤，分析了提升变换的特点，并给出了小波提升变换的实 例。从中可以看到，着选择不同的预测算子和更新算予，就对应着不同的小波变 换。另外，还可以着剜，提升格式掇供了一种比m a l l a 土算法更快、更简洁和更易 搽 筝黥小滚交撩方法，焉疑还霹蔽斑舔褥羁冀遂交换。 本文蓑重讨论了摄拜格式在双蓬交檬量小波、忑交掭量，l 、波梅逡主豹应熙。 讨论了提拜格式与小波对称性之间的关暴，褥到了提升算子的选择方法。并构造 了双谁交标纛小波的提升格式构造算法。另外，从实例可知，如果选择不闽的提 升算予，述可以得到不同类型与性质的敢正交标纛小波与正交标量小波。这充分 箍示了捷舞格式的应用广泛经。 舅一穷瑟，本文结合挺秀格式瓣磅讨橇述了爨羹，l 、渡静基本理论，并将鬟舞 猿式攘广到向量，l 、波系统。褥到了双正交向量小波的撼是 姆造算法，势绘出了梅 造实例。从算法中可以着融，道选择不同长度的撼舞算子时，即可得到不同类型 姆性质的双正交向量小波。这进一步表明了提升格式的广泛性和优越性。 关键谜；撼舞格式糖i 量小浚囱量，l 、波滠近输 撬舞算子 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t l i l t i n g s c h e m eh a sb e c o m et h et o o lf o r c o n s t r u c t i n g t h es e c o n d g e n e r a t i o n w a v e l e t ss i n c e1 9 9 4 a l s oi tc 黜b cu s e df o re o m m a c t i n gt h ec o n v e n t i o n a lw a v e l e t s i t i sam e t h o do f c o n s l r u e t i n gw a v e l e t si ns p a c ed o m a i n t h em o t i f o ft i l em e t h o di st l u t t y o u c a l ll i rt h es a m p l em u l t i - r e s o l u t i o nt ot h em u l t i - r e , s o l u t i o nt h a ty o u w a n t t h u s y o u e a r lb u i l dy o u ro w nw a v e l e t sb a s e do i lw h a t y o u w a n t a c c o r d i n g t ot h el i f t i n gs c h e m e f i r s t l y , n o to n l yt h ec h a r a c t e r i s t i c so fl i f t i n gs c h e m ea n dd u a ll i f f i n gs e h e r a ea r c a n a l y z e d ，b u ta l s ot h er e l a t i o i l sb e t w e e l lw a v e l e t sa f t e rl i f t e da n dw a v e l e t sb e f o r el i f t e d a r ed i s c u s s e di nt h i st h e s i s t h et h r e es t e p so fl i f t i n gi z a n s f o r ma r ed i s c u s s e di nd e t a i l t h e n t h ea l g o r i t h m so fw t v e l c t sl i t t i n gs c h e m ei sp r e s e n t e da n ds o m ee x a m p l e sa r e 瘿嘲f r o mt h ee x a m p l e s ，o 珏ec 黼k n o w 也& t t h el i f t i n gs c h e m e p r o v i d e s 8m u c hf a s t e r a n d s i m p l e r m e t h o d o f w a v e l e t m o r c o v e l , t l a ci n v e r s el r a n s f o r mm e t h o dc 艇b eg o t a l l t h e s ei n d i c a t e t h a t l i t t i n gs e l a e m o 执a d v 稚t a g e o v e l t h ee o r w e n t i o n a lw a v e l e t t r a n s f o r m 。 s e c o n d l y , t h ee o n s t m e t i o n so fb i - o r t l a o g o n a lw a v e l o t s ，o r t h o g o n a lw a v e l e t sb a s e d o nl i f t i n gs c h e m ea 辩d i s c u s s e di nt h et h e s i s 。n o to n l yt h er e l a t i o nb e t w e e nl i f t i n g s c h e m ea n dw a v e l e t ss y m m e t r y 啦d i s e m 暇li nt h i st h e s i s 。b u ta l s ot h em e t h o d so f s e l e c t i n go p e r a t o r sa 船g o t a l s o t h e t h r e ed i f f e r e n t a l g o r i t h m s o fc o n s t r u c t i n g b i o r t h o g o n a lw a v e l e t sr e e db yl i f t i n gs e l a e m e 郴g o t f r o mt h ee x a m p l e s ，o i l ew i l l k n o wt h a td i f f e r e n tt y p i c a la n dc h a r a c t e r i s t i cb i - o r t h o g o n a lw a v e l e t sa n do r t h o g o n a l w a v e l e t sc a nb eg o ti fo n es e l e c td i f f 赶 e n to p e r a t o r s t h i si n d i c a t e st h a tm e t h o di sv e r y g e n e r a li nc o n s t r u c t i n g w a v o t e t s o nt h eo t h e rh a n d ，t h eb a s i ct t a e o r yo fm u l t i - w a v e l e t si ss i m p l ya e c o u r l l l 缸 m o r e o v e r , l i f t i n gs c h o m ei se x p a n d e di n t om u l t i - v 嘲t v e l o t s f o r mw a v e l e t s 。t h e n ，t h e 挂 华中科技大学硕士学位论文 a l g o r i t h m o f c o n s t r u c t i n gm u l t i - w a v e l e t si sa c h i e v e d a n d e x a m p l e sa 糟g i v e n 。f r o m t h e a l g o r i t h m ，o n ec a nk n o wd i f f e r e n tt y p e so fm u l t i w a v e l e t sc a nb eg o ti fo n es e l e c t d i f f e r e n to p e r a t o r s 。i n 曩w 锻鸯t h em e t h o d s o f c a 旺曲褂翻蕾gw 瓤懒a n d m u l t i - w a v e l e t s b a s e do n l i f t i n gs c h e m e a r en o to n l y 藏蹴g e n e r a lt h a nt h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d sb u t a l s oh a v e a d v a n t a g e o v e rt h ec o n v e n t i o n a lm e t h o d s k e y w o r d s ：li f t i n gs c h e m e w a v e l e t sm u l t i w a v e l e t s a p p r o x i m a t i o no r d e r l i f t i n go p e r a t o r m 华中科技大学硕士学位论文 j * _ _ _ _ = t _ _ = _ = i _ _ 目i j _ 1 1 11 1 1 1 i r i _ _ _ _ _ _ - 1 1 小波分析的发展 1 绪论 小波分析是应用数学中迅速发展的一个新领域。经过邋十几年的发展，其数 学基础理论日益完蛰，基本的数学体系泌经建立。由于小波变换是时间与空间上 的局部交羧，霞而与f o 证c r 交换楣眈，它更能有效的蚨信号串提取相关信息。翻 此，小波变换在信号分析、图像处理、语音分析、计算机视觉、模式识别、数据 瑟缩、c t 藏缘等蘧多镶壤都取褥了其蠢秘学意义强应建羚毽戆获援簸鬃。 近十几年来，小波理论穰经取得了许多创造性的成果。例如，a l d u u b i 和 u n s e r i l ，以及c h u i 和w a n g t s 4 1 的榉条小波，d a u b e c h i e s l 9 q 2 1 的匿交小波，c o h e n 、 d a u b e c h i e s 和f e a u v e a l 珏的黻正交小渡。d o h o e n ! 降1 冀的撩值小波。f r a z i e r 和 j e a v e r t h t l 6 “1 朝，h e r l e y 和v e r t t e r l i t l 9 - 2 0 ，k o v a e e r i c e 和v e r t t e r l i t 2 1 2 2 1 ，m a l l a t t 2 3 - 2 5 ， m e y e r l 2 6 1 等久都援太滚丰塞、键迸了，j 、浚淫论豹发装。跨裂怒法莺数学家m e y e r 、 l e m a r i e 予1 9 8 5 年提出的光滑的正交小波基，为小波理论作出了重要黄献。另外， 泡枣时数学家i d a u b e c h i c s 予1 9 8 8 年瓤惩“谱分瓣”l 奄造窭了具有紧支集的光潺 派交小波豢函数( d a u b e c h i e s 小波基函数) ，也极大地键进了小波在工稷界的应用。 具有重要意义的是，m a l l a t 予1 9 8 9 年提出了多分辨分析的概念，并给出了构造诞 交，j 、渡鹊獠絮毪方法，丽豆戆还给出了小浚交换的快速算法( m a l l m 黪法) ，这不 仅使小波猩工程界上得到了广泛的应用，而且使箕产生了旗的飞跃，体现了小波 变换的实麓徐篷。馕褥注意弱是，上述这些藏累黪取褥黎是鸯f o u r i e r 交换分不拜 的。 随着小波的更避一步的广泛应用，例如，在偏微分方穰的数值解中。它要求 在光滑醒阕上构选酌，j 、波能遥痰诧光潺嚣闻，这裁是医闻，j 、波鹘构造；叉如，在 微分算子芹h 加权逼近中，需要一组适台加权铡度的小波基黼数，这就是加权小波 豹憨造，豁上这鳌小波罄统舔失第二钱夺渡 2 7 - 2 s l 。筹二代小渡毒令显蔫熬特熹， 就是它不褥是由某个固定的基瀚数作伸缩和平移樽到的。这样，使得f o u r i e r 变换 华中科技大学硕士学位论文 在第二代小波的构造中不再有效，因此必须找到另外的工具来代替f o u r i e r 变换。 1 2 提升格式的研究 自从s w e l d e n s 于1 9 9 4 年提出提升格式【2 7 。2 8 1 的概念以来，它已引起了越来越 多学者的关注。它不仅被认为是构造第二代小波的关键工具【2 8 】，而且它还拓展了 小波分析的研究领域。它使得构造小波不再是数学家的专利，工程技术人员可以 按照自己的实际情况来构造不同的小波( 用w s w e l d e n 的话来讲，y o uc a l l b u i l d y o u r w a v e l e ta th o m e ! 2 8 另一方面，利用提升格式还可以构造出整数小波变换1 2 9 - 3 0 ，这对图像处理特 别是图像的无损压缩口2 】而言是十分有利的。正因为如此，提升格式已经被图像 编码国际标准j p e g 2 0 0 0 所借鉴( f c d l 5 4 4 4 1 ， j p e g 2 0 0 0 s o l h t t p ：w w w j p e g o r g f c d l 5 4 4 4 - 1 h t m ) ，另外，定于2 0 0 3 年发射的欧洲宇航局的宇 宙飞船r o s e t t a 也是利用提升格式来构造它的图像压缩编码系统。( i - i o m e p a g eo f e u r o p e a ns p a c ea g e n c y o l h 髓p ：s c i e s a i n t c o u t e n t d o c e 7 2 2 7 9 h t m ) 。另外，利用 提升格式还有利于小波变换的硬件实现。 1 3 本文的结构 本文在总结前人成果的基础上，主要探讨了提升格式在双正交标量小波、正交 标量小波以及双正交向量小渡构造上的应用 第2 章除叙述了提升格式、对偶提升格式的定义，以及小波提升变换外，并分 析了小波提升变换的优点与特点。并给出了小波提升变换的例子，从例子中可以 看到，若选择不同的预测算子和更新算子，就对应着不同的小波变换。 第3 章重点探讨了提升格式在双正交标量小波以及正交标量小波构造上的应 用，讨论了提升格式与对称小波的关系以及提升算子的选择，并给出了构造实例。 从例子可以看到，利用提升格式可以构造出c d f 型的双正交标量小波以及 d a u b e c h i e s 正交小波，而且通过选舞不同的提升算子可以得到更多类型的双正交 小波及正交小波，这充分显示了提升格式在构造标量小波上的优越性。 华中科技大学硕士学位论文 由于在实际应用中，我们往往要求所用的小波基函数能同时拥有短支集、正交、 对称、高逼近阶等性质，这对标量小波而言是不可能同时拥有的，而向量小波却 能同时满足这些要求。因而在本文的第4 章概述了向量小波的一些基本理论及基 本概念。并将提升格式及对偶提升格式推广到向量小波系统，讨论了双正交向量 小波的提升构造方法，并给出了构造实例。从例子上可以看到，这种构造方法与 传统的构造方法相比，是更容易实现的。 本文的第5 章主要讲述了提升格式的一些特点，并就提升格式的发展前景作了 极有意义的探讨。 华中科技大学硕士学位论文 2 1 提升格式的定义 2 提升格式 提升格式是一种完全在时域上构造小波的方法f 2 7 1 。其基本思想在于，从一个简 单的多分辨分析出发，通过提升与对偶提升，逐步得到一定性质与要求的多分辨 分析，因此它被誉为是构造第二代小波的关键技术。另一方面，从理论上来讲， 提升格式大大拓展了小波分析的研究领域；另外从应用上来讲，它也使得构造小 波不再是数学家的专利，工程技术人员也可以根据自己的实际需要来构造相应的 小波。 为了得到提升格式，首先介绍小波变换的m a l l a t 算法 2 3 1 ，图2 1 1 就是小波变 换的m a l l a t 算法的分解与重构部分。 分解部分重构部分 图2 1 1 小波变换的m a l l a t 算法 其中，舀【z ) = z - t 日( 一z 一1 ) ，膏( z ) = 一, 7 - 1 g ( 一z 。) 。如果分解与重构部分的低通、 高通滤波器分别相等，这就是正交小波变换1 1 0 1 。为了保证信号经过小波正变换和 逆变换后能够复原，必须满足以下的完全重构条件： h ( z ) b ( z “) + g 0 ) g 0 - 1 ) 。2( 2 】1 ) h ( z ) f i r ( - z 。) + g ( = ) g ( 一：1 ) = 0( 2 1 2 ) 在( 2 1 1 ) 、( 2 1 2 ) 中分别用一z 代替z ，则有： h ( - z ) h ( - z 1 ) + g ( - z ) o ( - z 。) = 2( 2 1 3 ) 4 华中科技大学硕士学位论文 日( 一：) 青( 2 1 ) + g ( 一z ) g ( z 一1 ) = 0 ( 2 i 4 ) 联合( 2 i 1 ) 一( 2 i 4 ) 司得： 肛t f i f - z 1 糯g ( 2 - 。1 2 1 1 ) ( 鬻鬻卜 亿国 “)“) 八“【z ) “( 吨j j 令： 一搿) 鼢( 黧篙) 则有： 麝7 ( z 一1 ) m ( z ) = m 7 ( z ) 厨( z 一1 ) = 2 1 ( 2 1 6 ) 其中：i 为单位矩阵。 考虑图2 1 中的系统函数日( z ) 、g ( z ) 、3 ( z ) 、召0 ) 的奇部和偶部，即： 玩( z ) = k 2 “ ( z ) = k 。z “ 那么有：日。(zz)：垦生掣、ho(z：)：_z(h(z)-h(-z)。膏(z)、 g ( z ) 、0 ( z ) 的奇部、偶部类似定义，同时定义： 尸c ：，= ( 笔暑象篆；) f c z ，；( 象葛囊暑 此时称p ( ；) 为滤波嚣对( h ，g ) 的多相型矩阵，类似的称声( ：) 为滤波器对( i ，喜) 的多相型矩阵。 那么有： 州) 弓肌啦二 ( 2 ) 将( 2 i 7 ) 代入( 2 1 6 ) 有： 户( z ) 声7 ( z 一) = ， ( 2 1 8 ) 华中科技大学硕士学位论文 因此可将图2 1 1 的m a l l a t 算法转换为图2 1 2 的等价算法。 分解部分重构部分 1 沪 斗 1 曰一 户7 ( z 一1 ) p ( z ) 叶j 骨 o 叶研何 图2 1 2m a l l a t 算法的等效算法 一 定理2 1 1 2 7 1 ：( 提升格式)对于一组初始的双正交滤波器集 ，反o l d ，酽，舻) ，提升格式为： p ”c z ，= p “c = ) ( ：s ：2 c z ， 职加心k - 1 ) o 这里选择s ( 2 ) 为l a u r e a a t 三角多项式，则经过提升后的双正交小波的双正交性 保持不变。 证明：由于初始的滤波器是双正交的，因而由( 2 1 8 ) 有： p “( ：) 歹枷( z 1 ) 7 = ， 所以： 尸“”c ：，声。”c z 1 ，r = p o u t c = ，( ：) s ：2 ) ( ：一罩2 声“c = 1 ，= ， 因此由( 2 1 8 ) 知：初始的滤波器经过提升后，其小波的双正交保持不变。_ m ( 2 1 7 ) 可知， ，f1 m 2 = p 沁2 b 6 华中科技大学硕士学位论文 畜= = 拳蠲= 躺, , i i i i 甯嗣_ _ _ 端曩_ - _ 置蕾葛_ 爿皇i _ 攀- 韵_ _ 曩_ _ 单- _ 掣i 姆( 2 i ，9 ) 妓入毒： a f ”。c z ，= 户4 ”c = 2 ，7 ( 二，一：。) = ( s 。：i ：，：) ) p 8 酣t z 2 ，( 二一：。，) 。? m ， 将此式展开有： 何一( z ) = “( 。)( 2 1 1 1 ) g - - ( z ) = g 删( 力+ s ( 彳2 ) “( = )( 2 1 2 2 ) 同理可知； 岔( z ) = 詹枷( z ) 一s ( z 1 2 ) 舀枷( = )( 2 1 1 3 ) 0 ”= 0 “( ：)( 2 。1 1 4 ) 簌8 ，t ，1 1 ) - ( 2 ，1 1 鸯冒淡蓍密；经过捺_ 阡着，滤波器赫霉缣挎不交，褥蓐，譬赁| j 发 生了焚化，阂而使尺度函数伊( x ) 保持不变，石，g 的变化刚导致了对偶尺度函数烈x ) 及小波函数妒( x ) 发生改变。而瓣偶尺度溺数萨( x ) 的改变则又导致了对偶小波函数 驴( 工) 的改变。 其具体关系寄： 定理2 2 ：缎双正交小波岛删o x 乒“) ，枷o x 妒“o ) 经过一次提升詹， 参”( 破乒”o ) ，矿”) ，扩一( 磅 交先： 驴”酝) 。妒船o )( 2 1 1 5 ) 矿”( 磅= 舻搬秘) + 矗妒础。一七) ( 2 1 ，i 妨 痧一( = 2 置哆- - ( 2 x - k ) 一s 妒”( x 一七) ( 2 i 1 7 ) 旷”( x ) = 2 藏( 2 x - k ) ( 2 i 1 8 ) ， 华中科技大学硕士学位论文 证明：为了证明上的方便，在( 2 1 1 1 ) - ( 2 1 1 4 ) 中，令z = 8 ”则 日”( ) = 日( c o )( 2 1 1 9 ) g 一( 国) = g “( c o ) + s ( 2 c o ) h 。a ( c o )( 2 1 2 0 ) 厅”( ) = 厅“( ) 一s ( 2 c o ) g “( c o )( 2 1 2 1 ) g 一( ) = g 。“( )( 2 1 2 2 ) 1 ) 由 1 0 】的迭代算法可知： ( ) ：矗日学) 所以： a ”“ ) = n 日一( 罟) = 矗日“( 为= 痧“( ) k = l l 作f o m - i e r 逆变换有： 妒”( x ) = 妒埘( x ) 2 ) 矿”( 咖g ”( 争多9 = ( g “争跏c 井“c 争 = 痧“( ) + s ( ) 庐“( 詈) 作f o u r i e r 逆变换有。 y 飞) 2 妒“( 栌孕妒“( 卜七) 3 ) 阳咖豆一9 参”( 争 = ( 膏“9 一s - 两) g 鲋9 弘”9 = 詹鲥( 詈漏”( 争一i i 鬲弦”呼) 拳一呼) = 膏“呼) 参”( 争一吾丽”( 国) 华中科技大学硕士学位论文 作f o u r i e r 逆变换有： 爹一( x ) = 2 五p “( 2 x - k ) 一s 一。矿“”( x - k ) it 4 ) 对于( 2 1 1 8 ) 由小波的双尺度方程即可直接得到。 2 2 对偶提升格式 在前面的提升格式，我们的要求是保持办，季不变，而使石，g 发生变化，这样就 可以通过选择合适的提升算子s ( z ) 使小波函数的消失矩得到提高，从而得到相应 的多分辨分析。如果我们要提高对偶小波函数的消失矩，就应该使石，g 保持不变 而使 ，蚕发生变化，这就导致了对偶提升。因此，对偶提升格式可定义为 定理2 3 1 2 7 】 i h 譬d ，g 曩产，季、 ( 对偶提升格式) 对于一组初始的双正交滤波器集 ，其对偶提升格式为： 蹦加0 z 芦”c z ，= 声蒯c z ，( ：一r ? 。 c z 2 z ， 其中选择r ( z ) 为i a t * r e n t 三角多项式。 与定理2 1 的证明相类似，对偶提升格式也保持小波的双正交性质。 由定理2 3 很容易得到对偶提升后其滤波精之闯的变化关系为： 日”0 ) = 日“( z ) 一t ( z 2 ) g 谢( z ) ( 2 2 3 ) g 一( z ) = g “( 2 ) ( 2 2 4 ) 詹”( ：) = 膏“( ：) ( 2 2 5 ) 6 ”( z ) = 0 枷( z ) + 丁( z 2 ) 膏甜( z ) ( 2 2 6 ) 9 华中科技大学硕士学位论文 由( 2 2 3 卜( 2 2 6 ) 可以知道：对偶提升格式使对偶尺度函数( x ) 保持不变，而 使尺度函数妒( x ) ，小波函数y ( x ) ，对偶小波函数矿( 善) 发生变化。另外从( 2 2 6 ) 可 以看出，利用对偶提升格式可以提高对偶小波函数矿( x ) 的消失矩。 与定理2 2 类似，可以得到对偶提升后，尺度函数伊( x ) ，小波函数y ( x ) ，对 偶尺度函数多( x ) ，对偶小波函数痧( 工) 之间的变化关系 定理2 4 ：一组双正交小波切。“( 工) ，爹“( x ) ，矿“( x ) ，妒“( x ) 经过一次对偶提升 后，移”( x ) ，“( 工) ，y “( x ) ，矿”“( x ) 变为： 伊”“( z ) = 2 鲜“p 一( 2 x t ) 一f i y “( x - k ) 缈“( x ) = 2 g 妒“”( 2 x - k ) t “( x ) = “( x ) 痧“( z ) = 妒“( 工) + ，。尹“( x - k ) 从文献【2 7 】可以知道，可以通过提升格式来提高小波函数的消失矩，此时，并 不改变对偶小波函数的消失矩；而通过对偶提升格式可以提高对偶小波函数的消 失矩，此时，并不改变小波函数的消失矩。因此，我们可以反复应用提升格式和 对偶提升格式来增m ，j , 波函数、对偶小波函数的消失矩，这样就可以逐步缛到满 足一定条件与性质的小波涵数与对偶小波函数 2 3 小波提升变换 提升格式还提供了一种比m a l l a t 算法更快、更简洁和更易操作的小波变换方 法。并且，还可以立即得到其逆变换，这是m a l l a t 算法所不能拥有的。 一般而言，小波提升变换主要由分割( s p l i t ) 、预测( p r e d i c t ) 和更新( u p d a t e ) 三部分组成。如图2 3 1 示。 1 0 华中科技大学硕士学位论文 分 上7 丫 7 割 。重幸 c j 1 ( n ) d j 1 ( n ) 7 亭。圭： k 口 并 。，( h )。，( n ) 小波提升正变换小波提升逆变换 图2 3 1小波提升变换 ( 1 ) 分割 分割的目的是将信号x ，( n ) 分割成相互相关的两部分，即x 。( 一) 与x ，( 丹) 若 x j , e ( ”) 与x 。( 以) 的相关性愈强，其分割的效果就愈好。一般情况下，采用惰性( 1 a 巧) 分割方法，即： x j , e ( h ) = x j ( 2 玎) ，x j , o ( n ) = x j ( 2 九+ 1 ) 这种惰性分割方法也称l a z yw a v e l e t 变换，也就是图2 1 2 分解部分中的前半 部分，它充分利用了信号x ，( 一) 的局域相关性，为随后的预测与更新提供了基础a ( 2 ) 预测 所谓预测，就是用x 如( n ) 来预测x 。，( n ) ，即有预测误差： d j 一。( 靠) = x ，( 月) 一尸b 。( 一) ) 其中，p ( ) 表示预测算子。一般情况下，这种预铡过程的可逆的。这样，只要 选定了一种预测算子p ( ) ，就可以由0 ，伽) 、d j - i ( 玎) 来恢复z ( n ) ，即有 x j , o ( 一) = 缸。( n ) + p b ，( 一) ) 在这里预测算子p ( ) 有如下作用： 使得原信号数据更紧凑。一般情况下，信号x ，( n ) 是局域相关的，因此，预 华中科技大学硕士学位论文 测误差d 一( n ) 的数据要比x 。( ) 小的多。也就是说，用x 。0 ) 、d r l ( n ) 表示信号 j ，( 刀) 要比z 。( 砑) 、。( 胛) 表示信号( 疗) 更紧凑。 可以分离信号x j ( n ) 中的高频分量。在预测中，总是用x j ( 2 n + n 附近的若 干个偶位点x j ( 2 h + 2 七) 来预测z ( 2 一+ 1 ) ，也就是说用若干个x ( 2 n + 2 七) 来平滑( 逼 近) 工，( 2 n + 1 ) 。这样一来，若逼近的程度越高，其预测误差d ，- j ( 疗) 就越小。从这方 面上讲，也可以将预测误差d h ( n ) 称为信号x ，( ，1 ) 的小波系数。 在一般情况下，为了构造和实现上的方便，预测算子p 采用多项式的形式。 ( 3 ) 更新 更新的主要目的是要用预测误差d ，。( n ) 来修正x 。( 玎) ，使得修正后的x j t ( n ) ( 也 就是。川( n ) ) 只包含信号x ，( 珂) 的低频部分，即： c j - 1 ( 行) = 工。( 打) + u 乜，( 腔) j 其中，【，( ) 称为更新算子。从空间上看，这种更新过程就是要使c 。( n ) 的包络 线成为信号x ，( 挖) 的一条平滑曲线，也就是要使。川( h ) 和x ，( 糟) 有相同的直流分量 ( 即零阶消失矩) 。一般情况下，更新过程也是可逆的，即有： x ，( 疗) = c 川( h ) 一【，臼川( 以) ) 与预测算子一样，更新算子u 一般也采用多项式的形式。 综上所述，小波提升正变换可以写成： s t e p 】：分割( s p l i t ) 工j ，。( 九) 2 x j ( 2 n ) ，x 3 , o ( 九) = x j ( 2 摊+ 1 ) s t e p2 ：预测( p r e d i c t ) 华中科技大学硕士学位论文 测误差d ，一一( n ) 的数据要比z 。( 玎) 小的多。也就是说，用x 。( n ) 、d j - 1 ( n ) 表示信号 x j ( n ) 要比x 。( 疗) 、。( ”) 表示信号_ ) 更紧凑。 可以分离信号x j i 0 ) 中的高频分量。在预测中，总是用x ，( 2 n + 1 ) 附近的若 干个偶位点x ( 2 h + 2 七) 来预测x ，( 2 珂+ 1 ) ，也就是说用若干个x ，( 2 以+ 2 j | ) 来平滑( 逼 近) x ，( 2 n + 1 ) 。这样一来，若逼近的程度越高，其预测误差d 。( 以) 就越小。从这方 面上讲，也可以将预测误差d 。( ) 称为信号x j ( n ) 的小波系数。 在一般情况下，为了构造和实现上的方便，预测算子p 采用多项式的形式。 ( 3 ) 更新 更新的主要目的是要用预测误差d 川( n ) 来修正x 。( n ) ，使得修正后的x 。( n ) ( 也 就是c j - i ( n ) ) 只包含信号x ，( ) 的低频部分，即： c j - i ( ) = x 。( n ) + u 一( n ) ) 其中，u ( ) 称为更新算子a 从空间上看，这种更新过程就是要使c 。( n ) 的包络 线成为信号( 刀) 的一条平滑曲线，也就是要使q 一，( 帕和一( 刀) 有相同的直流分量 ( 即零阶消失矩) 。一般情况下，更新过程也是可逆的，即有： x j , e ( ”) = cj - 1 ( n ) 一u 妇川( 行) ) 与预测算子一样，更新算子u 一般也采用多项式的形式。 综上所述，小波提升正变换可以写成： s t e p1 ：分割( s p l i t ) x ( 疗) = 0 ( 2 ) ，x i , 。( m = ( 2 竹+ 1 ) s t e p2 ：预测( p r e d i c t ) 华中科技大学硕士学位论文 2 4 小波提升变换的例子 在小波提升变换中，若选择不同的预测算子户和更新算子u ，则可以构造不 同的小波变换。 例1 ：有变换如下， f d j - i ( 胛) = x j , o ( ) 一x j ，。( n ) = x ( 2 ”+ 1 ) 一x ( 2 h ) 1 c ，( n ) = x ，( 2 挖) + 丢d j _ 1 ( n ) 将d ，一( h ) 代入c ，一1 ( 疗) 可得： c ，一。( ”) = j 1x ，( 2 n + 1 ) 一圭x ，( 2 n ) 由于d j - 1 ( ) 、c j - 1 ( 玎) 分别是高频、低频分量，从而可知，其相应的低通滤波 器 = 侄，一吉) 、高通滤波器g = 1 ，一1 。这即是h 附小波。 例2 ：变换如下， d j - i ( ”) = x ，( 2 以+ 1 ) 一三k ，( 2 拧) + x j ( 2 以+ 2 ) 】 。阳) = x j ( 2 ”) + 丢p 川( 一- 1 ) + 吐知) 】 将d j 1 ( ) 代入c j 1 ( ”) 可得 c ，一。( 一) = 言x ，( 2 胛+ 2 ) + i 1x ，( 2 行+ 1 ) + 言x ，( 2 一) + i ix ，( 2 行一1 ) 一x ，( 2 n + 2 ) 从而可知，其相应的低通滤波器 = 一互1 ，l 一言) 、高通滤波器g = 一；， ， 三，丢，一；) ，这就是c 。r c ：，：，双正交小波。 从上述例子中可以看到，若选择不同的预测算子p 和更新算子u ，则得到不 l 华中科技大学硕士学位论文 同的小波变换，同时还可以看出，一种提升格式对应着- d , 波变换。 2 5 小结 在本章中，主要介绍了提升格式与对偶提升格式的基本理论，证明了经过提 升格式后，尺度函数与小波函数之间的变换关系。详细讨论了小波提升变换算法 的分割、预测、更新三个步骤，并分析了提升变换的优点。给出了小波提升变换 的例子，从例子中可以看出，若选择不同的预测算子和更新算子，就对应着不同 的小波变换。 华中科技大学硕士学位论文 3 提升格式与标量小波的构造 3 1 双正交小波的提升格式构造方法 3 1 i 算法的设计( i ) 与传统的构造方法相比，提升格式是一种十分简单的、完全在时域上构造小 波的新方法，其基本思想在于：从一个简单的多分辨分析出发，利用提升与对偶 提升不断将其提升至满足一定条件和性质的多分辨分析。 从定理2 1 ，定理2 2 可以看到：从给定的多分辨分析出发，构造新的多分辨 分析的关键在于提升算子s ( z ) 的选择，而提升算子s ( z ) 的选择又关键在于 ( 2 1 1 2 ) 及( 2 1 1 6 ) 。如：若想提高小波函数y ( x ) 的消失矩，而小波函数y ( x ) 的 消失矩的阶数是与其对应的高通滤波器a ( z ) 在z = 1 处的零点阶数，因此这只要通 过( 2 1 1 2 ) 选择适当的s ( z ) 即可满足条件。又如，在模式匹配中要求小波函数 y ( x ) 具有特定的形状，也是只要按照( 2 。1 1 6 ) ，选择适当的以) 即可达到要求。 因此，( 2 1 1 2 ) 与式( 2 1 1 6 ) 是构造新的多分辨分析的关键。由于提升格式与对 偶提升格式是对称的，因此本节讨论的构造算法完全可以适用对偶提升格式。 由上述分析可知，有如下的直接构造算法： 算法l ( 直接方法) ： s t e p l ：由消失矩条件及式g ”( z ) = g 删( z ) 一s ( z 2 ) 日洲( ：) ( 或妒”( x ) = 缈枷( x ) 一妒鲥o 女) ) 得到提升算予s ( z ) 所满足的条件( 一般情 况下，这是一个方程组) s t e p 2 由满足的条件，选择合适的算子s ( z ) ，进而得到g ( z ) 、 g 。) ( 或y 0 ) ) s t e p 3 ：由膏( ：) = 一2 1 g ( 一= 1 ) 得到 i k ) ( 或由( x ) = 蕺“( 2 x 一七) + s 。矿。一七) 得到o ) ) 1 6 华中科技大学硕士学位论文 s t e p 4 ：由小波的双正交性可得到 i ) ， 甑) ，( 或妒 ) ，矿o 。) 3 1 2 算法的设计( ) 由于小波的消失矩往往与其相对应的f i r 滤波器的消失矩相同，而后者又与 其相对应的l a u r e n t 多项式g ( z ) 在z = l 处的零点的阶数相同；另一方面，如果 l a u r e n t 多项式g ( z ) 在z = 1 有阶零点，这意味着多项式g ( 2 ) 可以分解为0 1 ) ” 与某个l a l l r e m 多项式g ( z ) 的乘积。即g ( z ) 可以写成：g ( z ) = ( z 一1 ) ”g ( z ) ，且 q ( 1 ) 0 。这个事实表明了可以通过l a u r c n t 多项式在z = 1 处的零点的阶数来反映 对应的小波的消失矩。这在提升格式的构造算法中是十分有用的。 假设初始的双正交小波滤波器组为： h o w ( z ) ，g “( z ) ，豆“( z ) ，6 甜( z ) ) ，其对 应的小波y “o ) 以及相应的对偶小波痧“( x ) 分别具有阶和膏阶消失矩，因此其 对应的l a u m n t 多项式g “( z ) 和g “( z ) 在z = 1 分别具有阶和费阶零点。即： g 。埘( ：) = ( z 一1 ) ”g 耐( z )( 3 1 1 ) g 砌( z ) = 0 一1 ) 。虿“( 2 )( 3 1 2 ) 其中，g 鲥( ：) 和虿“( ：) 均为l a u r e n t 多项式，n q c z ( 1 ) 0 、虿“( 1 ) 0 ，由提 升格式的特点可知，经过算予s ( z ) 的提升后，滤波器组变为： 日”( z ) = 日鲋 七时有，a “= 0 则( 3 1 1 4 ) 可转化为方程组： a f = b 其中：彳= 【口】。，r = k 比，b = 眈比 由定义可知，矩阵a 是下三角矩阵。 ( 七= 0 , 1 ， ( 后= 0 , 1 ， a n 一1 ) a n n f 3 i 1 5 ) 这样，就将提升算子s ( 力的设计转移到求解( 3 1 1 5 ) 。另外由于 吼j = 2 ”+ 枷( 1 ) 0 ，因此1 4 0 ，即方程组( 3 i 1 5 ) 有解，设其解为：，= 以譬1 ：另- 2 ；u g ，在推导过程中，我们利用了w a n i 这一假设。这样，就可以得到多 项式t ( z ) 的系数公式： 忙意：霎竺二： t “， 这样，将( 3 1 1 6 ) 代z n ( 3 1 1 2 ) 就可以得到r ( z ) ，然后将r ( 2 ) 代n ( 3 1 8 ) 就可 以得到提升算子s ( z ) 。如此，可将小波y ( 的消失矩提高。 现将双正交标量小波的提升构造算法归纳如下： 算法2 ： s t 印l ： 根据滤波器g 枷( z ) 及其消失矩，计算g 州( z ) = 匹g = w d 矿( z ) 华中科技大学硕士学位论文 s t e p 2 ：取定提升系数的初始位置，计算吼。及钆，根据a ，t ，b 的定义得到方 程组a t = b s t e p3 ：求解方程组，得到f = 钲嚣1 ，按下式取气： 铲意七k _ 1 时，可以考虑将厶最佳的一阶提升格式级联起来，而最佳的一阶提 升格式容易由( 3 1 1 7 ) 得到，因而可以得到如下的迭代算法： 2 1 华中科技大学硕士学位论文 算纭3 ( 迭代万法) ： s t e p l ：令k = 0 ，假设滤波器g “( ：) 的消失矩为n ，令 g 。( z ) = q o t a = 黜 s t e p 2 ： i ：1 ：1 t t = 一可劣面，计算出r ( z ) 的系数“ s t e p3 ：q k + l = 业监警掣，计“z ) s t e p4 ：令n = n + i ，k = k + l ，若n = ( + ) 返回s t e p 2 ) ，否则，到 s t e p 5 a 一l s t e p5 ： 将“代入丁( z ) = “( z - 1 ) ，然后，由( 3 1 8 ) 得到提升算子s ( z ) 考虑到： ( ：s 1