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对流扩散方程等问题的数值方法 本文主要分为三部分： 摘要 对流扩散方程的高精度有限差分格式 在这一章里，我们利用p a d d 逼近，给出对流扩散方程非齐次边界问题 在时间上任意高阶的有限差分格式。并迸一步构造空间上也是高精度 的有限差分格式。数值结果显示，我们的数值格式的精度优于已有的 几种格式。 t i m o s h e n k o 粱和r e i s s n e r m i n d l i n 板的一致精确的数值方法 在这一章里，我们推导了一个新的关于t i m s h e n k o 梁方程的一致精确 的数值格式。除了右端载荷项稍有不同外，这个格式与【6 】中的p e t r o v g a l e r k i n 格式是一样的。接着我们把这格式推广用于r e i s m e r m i n d l i n 板。 数值例子显示我们的格式克服了自锁现象。 一维扩散方程的间断有限元方法的稳定性分析 最近，l , b a b u i k a ，c e b a u m a n na n dj t ，o d e n l l j 提出了一种新的间断h p 有 限元方法用于一维的两点扩散方程，他们证明了多项式基函数次数3 对方法是稳定的。但f 1 j 中的数值例子显示，当多项式基函数次数兰2 时，该方法同样也是稳定收敛的。在这一章里，我们理论上证明了当 多项式基函数次数= 2 时方法的稳定性。 本文是在程晓良老师的悉心指导下顺利完成的。在此致以衷心的感 谢! 同时感谢科学与工程计算所的其他老师和同学们的帮助。 n u m e r i c a lm e t h o d s f o rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o n sa n d o t h e r p r o b l e m s a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nm a i n l yc o n s i s t so ft h r e ep a r t s s o m eh i g ho r d e rs c h e m e sf o rc o n v e c t i o n - d i f f u s i o np r o b l e m s i nt h i sc h a p t e rw ed i s c u s st h en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt h ec o n v e c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n s w ec o n s t r u c ts o m eh j 曲o r d e rs c h e m e sb o t h f o rt i m ea n ds p a c e a n dw e p r e s e n ts o m en u m e r i c a le x a m p l e st oc o m p a r e o u rs c h e m e st oo t h e rk n o w ns c h e m e s 一 t h eu n i f o r m l ya c c u r a t en u m e r i c a la p p r o x l m a t i o nf o rt h et i m o s h e n k o b e a r na n dr e i s s n e r ，m i n d l i np l a t e i nt h i sc h a p t e rw ed e r i v ean e wu n i f o r m l ya c c u r a t en u m e r i c a la p p r o x i m a t i o nf o rt h e t i m e s h e n k ob e a mp r o b l e m w es h o wt h a tt h es c h e m ei st h es a m ep e t r o v - g a l e r k i n f o r m u l a t i o na st h eo n ed e r i v e di n 6 】w i t has l i g h t l yd i f f e r e n tr i g h th a n dl o a dv e c t o rt e r m w ea l s oe x t e n dt h es c h e m et ot h er e i s s n e r - m i n d l i np l a t ep r o b l e mm i dt o p r e s e n ts o m en u m e r i c a l r e s u l t s w es h o wt h a to l l rs c h e m e sd o e sn o to c c u rt h el o c k i n g p h e n o m e n o n o nt h es t a b i l i t yo fad i s c o n t i n u o u sf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o ro n ed i m e n s i o n a ld i 乳s i o np r o b l e m s i nt h i sc h a p t e rw ed i s c u s st h ed i s c o n t i n u o u sq u a d r a t i cf i n i t ee l e m e n tm e t h o df o ro n e d i m e n s i o n a ld i f f u s i o np r o b l e m s ，w ep r o v et h es t a b i l i t yf o rt h ep o l y n o m i a lb a s i sf i m c t i o nd e g r e e = 2o nt h ea r b i t r a r ym e s h ，w h i c hi si n d i c a t e db yn u m e r i c a le x p e r i m e n t sb y r e c e n tp a p e ro fi b a b u g k a ，c e ，b a u m a n na n d j t o d e n t 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 5 1 1 介绍 在这一章里，我们考虑用数值方法来求解一维的线性c o n v e c t i o n d i f f u s i o n 方程： 祟+ 。罢：，尝，o u ，1 1 上1j 其中c ，” 0 ，并且满足初始条件： u ( z ，0 ) = ，( z ) ，05 s l ， ( 1 1 1 a ) 以及d i r i c h l e t 边界条件： u ( o ，) = a ( ) ，u ( 1 ，) = 6 ( ) ，t 0 ( 1 1 1 6 ) 引进空间步长为h = f 0 ，时间步长为 0 的网格( z i ，如) ，。fi h ，i = 0 ，1 ，n ，t j = j ，j = 0 ，1 ，2 ，。用嵋表示函数“在节点( t j ) 上的值，并引 进记号r = v k h 2 ，p = c k h 。 先对空间变量的偏导用中心差分格式进行离散化后，再对时间变量的 偏导应用欧拉格式、向后欧拉格式，或古典梯形格式，分别产生人们所熟 知的有限差分格式( 1 1 2 ) 、( 1 1 3 ) 、( 1 1 4 ) ： u ；+ 1 = “；一：( “0 。一u i 一。) + r ( + 。一2 u ；+ u l ，) ； ( 1 1 2 ) ( 一r + ；) u 件j + ，l + ( 1 + 2 r ) u i + 1 + - - ? - - ；) u j 一+ 1 = “； ( 1 13 ) ( 一；+ ：j + l + ( ，+ r ) u ；+ 1 + ( 一；一：) u i ! ：= ( ；一；) u i + ，+ ( 一r ) + ( ；+ p i ) u ；一。 ( 1 1 4 ) 格式( 1 1 2 ) 与( 1 1 3 ) 的截断误差都是o ( k + h 2 ) ，但( i i 2 ) 只有在p 2 2s rs1 2 时才是稳定的，而( i i 3 ) 是无条件稳定，格式( 1 1 4 ) 的截断误差是o ( 自2 + h 2 ) 且无条件稳定。当c = 0 时，( 1 1 4 ) 退化成著名的c r a n k n i c l s o n 格式。对这些 以及其他一些格式的详细探讨和数值演示可在【1 j 中找到。 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 最近，c h a w l ae ta l 2 】应用u s m a n ia n da g a r w a l 3 的扩展梯形格式和c h a w l a e ta l 4 的扩展s i m p s o n 格式构造出一批高阶的差分格式。他们证明了这些格 式分别为o ( k 3 + h 2 ) ，o ( k 4 + h 2 ) 和o ( k 5 + h 2 ) 并且无条件稳定。但事实上我们 发现其中的五阶差分格式在边界上只能达到四阶，从而部分影响了整个逼 近阶数。 1 2 1 p a d 6 逼近 定义：设c t ：为一给定的形式幂级数，使 i = 0 ，( = ) ；掣； i = 0 如果有理函数p q 跪( m ，n ) 满足 p ( 。) 口( 。) = o ( z ”+ “+ 1 ) q ( o ) = 1 ， 其中o ( z m + n - k 1 ) 表示一个形如吣的形式幂级数，则p q 称为，在瞬( 。，。) i = o 中的p a “逼近式，记为 m n 】， 有关p a 拍逼近的专门著作见 6 ，7 】。 指数函数的p a “逼近在微分方程数值解中有特殊作用。 指数函数e 。部分的p a 挺逼近式： l 】e 小) = 涨= 篝 w 。k = 器= 专 ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) 一2 一 界一上 ! 一逆一店次一空装鬟 鬻丽拇一分一值燮堕数巍 然里 引一耻影 理 下面一有一向 2 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 。k = 渊= 毒辫 。， 关于指数函数的p a d 6 逼近的值的分布有以下结论： 引理ll 设 p q 。( z ) 为e 2 的p a “逼近，且p + g 0 ，那么有以下论断： ( 1 ) 如果g = p ，那么 l i p q 。( z ) l 1 当舭( z ) o ； ( 2 ) 若g p ，则 f p q 。( ：) i 1 当： o ； ( 3 ) 若q = p + l 或q = p + 2 ，则 i p q 。( z ) | 0 ，同理可得关系式 邮。，- - _ e h ( t 2 - t i ) u 池，+ 薹0 ( 一口一薹学目i ) 打 m = i = 0 “ ， ( 1 2 8 ) 以关系式( 1 2 8 ) 为基础，我们对变量t 进行离散化。取女 0 为步长，令 t y = j 女，u j = u ( t a ，g j = g ( t j ) j = 0 ，1 ，2 ， 那么( 1 27 】可写成 u + 1 = e m w + ( 日女“+ 1 9 ；，= o ，1 ，2 ，( 1 2 9 ) m = o 其中多项式嚷( z ) = ：一1 ( 矿一罂。筹) 。 + ， g m q 一 驴 一 k 矿一 十 + u u 日 日 第一章对流芏墼塑垦塑壹堕垦童堕鲞坌塑茎 一一 定理1 1若由胡，( z ) = p p ，。( z ) q ，。( z ) ，pse l ，则 躜= z - m - 1 ( 也小) 薹荆，一叭，卅 是常数项为而 可的q - 1 次代数多项式，且 q ，。( 日纠。j + 。：昂，。( 日) w + p + q - 1 ( 日自) ”i + 1 岛“j = 。，1 ，2 ， 是常微分方程组( 1 2 5 ) 的p + q 阶近似。 证明：由( 1 2 1 ) ： q p , q ( o 】= 1 ，p p ，。( ：) 一吼、。( ：矽= o ( z v + q + 1 ) 所以m 墨p + 口一1 时， p p 。( z ) 一q ，。( z ) l z i ： p p ，。( 。) 一q ，。( ：) 矿+ q p , q ( = ) = q ，q ( ：) j t + o ( z v + 9 + 1 ) = 寿面+ o ( 2 ) 又因为昂，。( z ) 一口。( z ) 育1 是m “( p ，g + m ) 次代数多项式，所以p 5 口时 ( z ) 是q - 1 次代数多项式，常数项为小。 因为 褂，z - r a - 1 ( 渊一薹荆圳扩卅，= 器+ o c 矿州， 由( 1 2 9 ) 得： p 十0 一i u + 1= e 片u + c 品( 日女) 自“+ 1 彰”+ d ( 9 + 4 + 1 ) p 十q 一1 ：q 未( 日i ) b ，口( 日) u + 口云：( 日) s 晶( 日女) k m + l g ( m + o ( 9 + 4 + 1 ) 5 ) ) 0 1 l 1 2 2 l l ，【 ( 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 所以 p + q ， q p , q ( h k ) u j + t = b 。( 日k ) 叶+ s 晶( 日 ) 女m + l g ：“ n l = 0 是常微分方程组( 1 2 5 ) 的p + q 阶逼近。口 1 3 时间高精度格式 回到方程( 1 - 1 1 k 先对空间变量进行离散化，分别用中心差分格式 矗( u o ，一u i 。) ，驴1 、一j + 。一2 + u l ，) 替代笔，象，得到： ， 袅 ( 。i ，t ) + ；( u ( 。；+ ，t ) 一“( z t t ，t ) ) + ( 1 3 1 ) = 矗( u ( 2 i + 1 ，t ) 一2 u ( 戤，) + “( z i - l , t ) ) ， = 1 ，2 ，一1 a = u ( t ) = 一21 121 u ( z l ，) u ( z 2 ) ( 2 一1 ，t ) l一21 l一2 n 一1 ) x ( n 一1 ) a ( t ) 0 0 6 ( t ) 口= b ( t ) = 01 101 d ( ) 0 0 6 ( # ) 10 一l u 心) = ( 嘉a 一轰日) u ( t ) + 盖a ( t ) + 轰b ( t ) 那么方程( 1 1 1 】的半离散近似方程为： m 罴麓t 旷0 ， 一1 ) xf n 1 ) ( 1 3 2 ) ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) 6 一 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 其中 h = 嘉且一矗b ，g ( ) = 盖a ( t ) + 矗b ( t ) 易证方程( 1 3 4 ) 的解是收敛的，即当h 一0 时。u ( t ) 收敛于方程( 1 1 1 ) 的真解 u ( ) ，u ( z “) 7 ，速度为o ( h 2 ) 故由定理1 1 直接有以下推论： 推论1 ：记 p q 。( ：) = p p 。( z ) q ，。( z ) ，晶。( z ) 定义同( 1 2 1 0 ) ，则 p + q - 1 q p , q ( 日女) u + 1 = p p ，q ( h k ) u j + 晶。( h k ) k ”+ 1 9 p ，j = 0 ，1 ，2 ， ( 1 3 5 ) m = 0 是c o n v e c t i o n d i f f u s i o n 方程( 1 ) 的o ( k p + q + h 2 ) 阶逼近格式，且当g = p 时，该格式 a 一稳定；当口= p + 1 或g = p + 2 时，该格式l 一稳定。( 稳定性证明见 7 b 3 0 4 ) 格式( 1 3 5 ) 中的已知向量g 的各阶导数可直接计算或用p + g 个点上之 值的线性组合来替代或其它方法近似计算。 例：1 ) 由( 1 2 3 ) 代入( 1 3 5 ) 得： 再将 p l 2 ( 日) = n 肌 ( 1 删 印1 ，2 ( 日女) = ，一日+ 日2 女2 ( j 一；日 + 日2 女2 ) u j + 1 ( 1 37 ) = ( j + h k ) u j + ( ，一 h k ) k g j + ( j 一 h k ) k 2 9 ；+ ( ，一击h k ) k 3 9 ； 代入( 1 3 7 ) ，得： g ；= ( 一3 9 j + 4 9 j + l g j + 2 ) + o ( k 3 ) ( 1 3 8 ) 1 2 9 ? = g j 一2 9 j + 1 _ + g j + 2 + o ( k 3 ) ( j 一 日女+ 日2 2 ) w + 1 ( 1 3 9 ) = ( + h k ) u j + 吉k ( s g s + ( 8 x 一2 h k ) g s + 1 一g j + 2 ) 7 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 由推论i ，知( 1 39 ) 是c o n v e c t i o n - d i f f u s i o n 方程( 1 1 1 ) 的o ( k 3 + h 2 ) 阶逼近格式 2 ) 由( 1 2 4 ) 代入( 1 3 5 ) 得 再将 恳，3 ( h k ) = ，+ ；日女+ 嘉口2 2 q 2 ，3 ( h k ) = j 一；日m + 嘉日2 2 一击耳3 3 ( 一 日i + 嘉日2 女2 一矗日3 3 ) u s + 1 ( j + ；日南+ 嘉日2 奄2 ) + ( ，一击日南+ 矗日2 七2 ) 蠡g + ( ；一击日女+ 斋日2 女2 ) 2 苗+ ( ，一南日t + 南日2 2 ) 女3 9 ? + ( 击j 一矗日女+ - & h 2 2 ) 女4 9 ? + ( 南j 一去h k + 击日2 女2 ) 5 9 5 4 k g ：= ( 一2 5 9 j + 4 8 9 j + 1 2 3 6 9 j + i + 1 8 9 j + 3 2 3 9 j + 2 ) + o ( k 5 ) ( 1 3 1 0 ) 南2 9 ? = ；( 3 5 9 j 一1 0 4 9 j + x 2 + 1 1 4 9 j + l 一5 6 9 j + 3 2 + l l g j 十2 ) + o ( t 5 ) ( 1 3 1 2 ) 七2 彰= 一2 0 9 j + 7 2 9 j + 1 2 9 6 9 j + 1 + 5 6 9 j + 3 2 1 2 9 + 2 + o ( k 5 ) 忌2 毋= 6 9 j 一6 4 9 j + l ，2 + 9 6 9 j + 1 6 4 9 j + 3 2 + 1 6 9 j + 2 + o ( 七5 ) 代入( 1 3 1 1 ) ，最终得到方程( 1 1 1 ) 的o ( k 5 + h 2 ) 阶l 一稳定逼近格式： ( i 一 日女+ 嘉日2 2 一矗日3 3 ) w + 1 = ( j + h k + 刍日2 南2 ) u j + 喜葫1 剐( 5 8 + 1 9 h k ) g j + ( 2 4 8 i 一8 h k ) g j + 1 2 ( 1 31 3 ) 一( 4 8 1 5 4 h k + 6 2 七2 ) 郎+ 1 + ( s z + 8 h k ) g j + 3 2 一( 2 i + a k ) g s + 2 c h a w l ae ta 1 2 】给出了如下的扩展梯形格式e t f ( 卢o ) ： 卜+ 去( t + 风) e + 去( z + 岛) e 2 + ，= p + 西1 一z ) g 一去风e 2 m f 1 。) 右 ( 1 0 7 + 卢o c ) c j + 1 6 ，+ ( 2 + z o ) c c 一2 唧2 】， 一8 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 以及扩展辛h 生格式e s r ( c z o ) ： n ( 5 - 4 d o ) c + 诹1 ( 1 1 = p 一击( 1 十) c + 百1 4 、8 。 1 6 a o ) c 2 + 而1 ( 1 2 q o ) c 3 卜+ 1 t ) c 2 q + 壶 r 一去( - + t n 。) c 勺 。n 。) c l + t ，：+ 西1 ，+ 击( s t a 。) g + ( 1 - 2 a o ) g 2 勺+ ， 其中c = p b 一2 r a 2 h k ，。= p q + 2 r b j = 2 k g i 可以看到e t f ( 0 ) 格式与( 1 3 9 ) 完全一样，而e s r ( 7 2 0 ) 与( 1 _ 3 1 3 ) 仅在边界上不同，但事实上e s a ( 7 2 0 ) 在 边界并不能达到五阶。 数值例子见1 5 。 5 1 4 空间高精度格式 1 4 1 二阶导数的高阶逼近 对方程( 1 1 1 ) 半离散化时，一般总是用中心差分来取代空间上的一阶 和二阶导数，使得逼近式的截断误差在空间上只有o ( h 2 ) 。所以即使时间 上的逼近阶很高或者时间步长很小，为取得满意的逼近效果，可能仍需要 很小的空间步长。这直接导致最终的方程组规模巨大化，计算难度大大提 高。所以有必要对空间的逼近阶作些提高。 记畿为变量z 的二阶导数算子，以， 为z 的步长为h 的二阶中心差分。 弓j 理1 3 谚= 一矗a r c c 。s 2 ( 1 + ；瓦，n ) 证明：因为c 。s h ( ：) = 凳。南= 甚。( 一1 p 篙爷= c o s ( z i ) 所以c c 0 8 2 ( c o 出( ；) ) = 8 l t c c o $ 2 ( c o s ( ：t ) ) = ( = 1 ) 2 = 一：2 而如， ，( ) = 2 貉1 丽h 2 m 2 ”f ( # ) = 2 ( c o s h ( h 0 。) 一1 ) ( z ) 即 瓦， = 2 ( c o s h ( h s 。) 一1 ) ， 所必a r c c o s 2 ( 1 + ；缸， ) = c c o s 2 ( c o s h ( h o ) ) = 一 2 咒 即 理= 一萨19 c c o s 2 ( 1 + 抱h ) 口 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 由引理1 , 3 ，理论上我们可以得到醒的任意阶离散逼近，例： 1 ) t a y l o r 逼近方法 。(1+互1atccos 。) z2 萎( 一1 ) m 紫：m ，误差主项： 2 ( 1 + 亏。) z2 ( 一1 ) m 世去笋z “，误差主项： m = l 、7 因为6 础= h 2 磋+ o ( h 4 ) ，由引理1 3 得： 畿= 吾羔( 1 ) ( 2 m ) 此时需要用到2 m + 1 个离散点。 2 ) p a d 逼近方法： 峨，误差主项 ( m ! ) 2 ( 2 m + 2 ) 2 ( m ! ) 2 + 砑丽面 2 m 磋2 1 1 一c o s ：( t + 翔2 矗j 石，误差主项：一面1 产 2 1 一砷峥) = 掣， 误差主顼：盎：4 ( 1 4 1 ) ( 14 2 ) 旧2 一2 ( 1 + 黝= 云端， 误差主项：丽丽7 9 ( 1 4 f 3 ) 由引理1 3 得磋的4 ，6 ，8 阶逼近： 醒。嘉( 1 + 击屯一) 一1 6 计，误差主项：一4 2 1 0 - 3 4 磋， ( 14 4 ) 畿2 吉( 1 + 去瓦， ) - 1 ( 1 + 去l ， ) 如m 误差主项：+ 3 o 1 0 “ 6 键， ( 1 4 5 ) 磋。去( 1 + 器屯， + 衍2 8 3 0 6 砷2 ) 一1 ( 1 + 是k ) k ，误差主项：一1 7 1 0 一s s 鹾1 。( 14 6 ) 此时分别用到3 ，5 ，5 个点的信息 1 4 2 空间高精度格式的构造 瞄篓- ( 1 4 7 ) 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 冥中y 0 由引理1 3 得： 象= _ - va r c c o s 2 ( 1 + 小( 啪) 删州) ( 1 48 ) 因为p a d 逼近用到的点数比t a y l o r 少，且截断误差小，所以我们考虑用p a d d 方法近似二阶导数篚 将( 1 4 4 ) 代入( 1 4 7 ) ，并两端乘以( 1 + 矗6 “) ，得： ( 1 + 土1 2 ，h ) 毗= 矗如， u + ( 1 + 三1 2 * ，h 蛔+ o ( h 4 ) 写成矩阵形式为： ( ，+ 击a ) u 7 + 去a ，= 吉a u + 矗a + s + o ( h 4 ) 其中g = ( 1 + 矗如，h ) g ，a ，u ，a 定义同( 1 3 2 ) 。 于是得扩散方程( 1 4 7 ) 的另一个半离散方程： j u 7 = 豢g u + ( ，+ 壶a ) 一1 菩，t 0 ( 。) iu ( o ) = ，( z - ) ，( z 一) 7 其中 g = ( j + 壶矿1 且，菩= g + 矗a 一1 a ( 1 4 1 0 ) 显然，方程( 1 4 9 ) 的解u ( t ) 以速度o ( h 4 ) 收敛于方程( 1 4 7 ) 的真解 u ( z i ，) ，u ( z n “) t 由定理1 1 ，知： q p , q ( g r ) u j + 12 昂q ( 西) u j + ( ，+ i 1 2 a ) 。( g r ) m + 1 菩( 1 _ 4 1 1 ) 是常微分方程组( 1 4 9 ) 的p + q 阶逼近，其中r = 一 2 。 ( 1 4 1 1 ) 式两端分别乘以( ，+ 矗a 户得： q p , q ( a , r ) u j + ，2 ( 西1a ) ”9 ( a ，r ) u + 三洲m a ，r ) m + 1 菩( 1 4 1 2 ) 第一章对壅芝塑查堡塑壹翌窒蔓垦叁坌塑塞 一 其中 p p q ( a ，r ) = ( j + i 1 ：a ) p p p ，口( g r ) ， q pq ( a ，r ) = ( i + i 1 。a ) 4 q p 。( g r ) ， s 品( a ，r ) = ( 工+ 砸1 - - ，q - 1 s 晶( g r ) ，m = 0 ，1 ，2 ，p + q 一1 p ( a ，r ) ，q ( a 。r ) 分别是( p ，p ) 和( q ，q ) 次多项式，而品( a ，r ) ，m = 0 ，1 ，2 ，p + g 一】 都是( q - 1 q - 1 ) 次多项式。 推论2 ： q p , q ( 如胁1 - ( a ) q - - p p p , q ( 如肘篙1 涮埘耐1 爵例， ( 1 4 1 3 ) 是方程( 1 4 7 ) 的o ( k p + q + h 4 ) 阶差分格式。且当g = p 时，该格式a 一稳定；当 g 2 时，该格式l 一稳定。 证明：由推导过程易见格式( 1 4 1 3 ) 的截断误差为o ( 女p + 。+ h 4 ) 。现证明 稳定性。 考虑齐次情况，格式( 1 _ 4 1 3 ) 可写成 q p q ( a ，r ) q + 12 ( ，+ 壶a ) ”9 ( a ，”) u j ，j 2 o ，1 ，2 ， 即 q + 1 = 圣嗡，j = 0 ，1 ，2 ， 壬= q m - i ( a ，r ) ( 壶a ) ”( a ，r ) 2 吲- 1 ( g r ) p p ，q ( g r ) = p q e ( o r ) 记 ( a ) 为n 一1 维矩阵a 的第i 个特征值( f = 1 ，2 ，n 一1 ) ， 因为一4 a i ( a ) = 一4s i n 2 杀 0 ， 所以 一6 丸( g ) = 赫 0 ， p 训。( 凡( g r ) ) p 时，格式( 1 。4 1 3 ) l 一稳定。d 注l ：因为鞴1 ( z ) 的常数项系数为丽1 ，所以 髻等1 虢( a 。+ 1 ”1 = ( 7 + 击a ) 2 1 ( p 。+ ：q - l m 。- 1 ( g r ) 一丽1 ) ”8 j ”+ p 。+ ：q 。赢1t m a 5 ”) = ：罂f 1 ( 跚1 ( 4 ，r ) 一矗( ，+ 击且) ，1 ) 七加m + ( ，+ 击创r 一1 ( + l 一) + o ( 护+ 口+ z 并且鼢i 1 ( ，r ) 一嘉f f + 矗a r 一1 能被r 整除。故( 1 4 ，1 3 j 可改成 ，q ( a j r ) u j + - = ( j + 击且) 2 一p p ，口( a ，r ) d 晶( a ，r ) t l + j ：磐1 蹄口( ，r ) 七m + 1 玉m ) + m p + ：q o - 1k m r q m 一矗( j + 击且) g 一1 ( + l 一) 、 其中磷，( ar ) = 嚣。( ar ) ， 雌g ( ，”) 2 鼢( a ，r ) 一击( 踮1 ( a ，r ) 一矗( 扣) 州) ，m = 1 ，2 ，p + g - 1 ( a r ) 是( a # ) 的( q - l ，q - t ) 次多项式。 格式( 1 4 “) 比格式( 1 ：3 5 ) 仅在右端项第一项多一次三对角矩阵的乘 法，却得到更好的收敛阶。例： 1 ) 取用f 1 1 e 逼近，见( 1 ，2 ，2 j ，并将za + 。一，苗z 髟+ ，一旬代入 ( ，+ ( 击十；r ) a ) w + t = ( f + ( 击一 r ) 且) q + ( 南+ ；a ) a + l + ( 一击+ ；a ) a i + ( g j + g j + 1 ) ( l 4 1 5 ) 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 此即d o u g l a s 格式，与c r a n k n i c o l s o n 格式一样的计算量，但它的精度是o ( h 4 + k 2 ) 而c r a n k - n i c o l s o n 为o ( h 2 + b 2 ) 。 2 ) 将( 1 3 6 ) 和( 1 3 8 ) 代入( 1 4 1 4 ) 得到方程( 1 4 7 ) 的o ( k 3 + h 4 ) 阶l 一稳 定逼近格式： ( ，+ ( 一；r ) a + ( 南一矗r + 5 1 ，。2 ) a 2 ) u j + l = ( + 击a ) ( ，+ ( 击+ r ) a ) u j + 击( ( 1 + 5 r ) i + ( 击+ ；r ) a ) a j + 西1 ( ( 一1 + 8 r ) i + ( 一西1 + ；r 一2 r 2 ) a ) a j + 1 一矗r a ，+ 2 + 西5 k ( j + 击a ) g j + 丧( 8 j + ( ；一2 r ) a ) g j + 1 一鲁( j + 矗a ) g j + 2 ( 1 4 1 6 ) 3 ) 将( 1 3 1 0 ) 和( 1 3 8 ) 代入( 1 4 1 4 ) 得到方程( 1 4 7 ) 的o ( k 5 + h 4 ) 阶l 一 稳定逼近格式： ( j + ( 一 r ) a + ( 矗一南r + 斋一) a 2 + ( 鲁蠢一南r + 矗r 2 一击r 3 ) a 3 ) u j + ， = ( + 击a ) ( j + ( ；+ ；r ) a + ( 南+ 由r + 击r 2 ) a 2 ) u j + 击( ( 1 + 嚣r ) j + ( + 面1 0 1 r + 丽1 9 ，2 ) a + ( 南+ 击r + 嘉r 2 ) 2 ) a j + ( ( 一击+ 嘉r ) j + ( 一去+ 揣r 一嘉r 2 ) a + ( 一r + 南r 一击r 2 + 击r 3 ) a 2 ) a j + ， + 蠢( 3 1 i + ( 器一r ) 且) + ：+ 蠡( j + ( 丧+ r ) a ) a j + 。：一i 裔( + ( 矗+ ；r ) a ) a j + z + 南( 2 9 i + ( 器+ 孚r ) a + ( 盏+ 嚣1 9 r ) a 2 ) g j + 击( 3 1 i + ( 苦一r ) a + ( 鼍一番) a 2 ) g + 1 2 + ( 杀+ ( 击一嘉) 且+ ( 矗矗一蠡+ 磊) a 2 ) g j + 。+ 击( ，+ ( + r ) a + ( 击+ 南) a 。) g j + 。，。 一南( j + ( 南+ ；r ) a + ( 南+ 蠡) a 2 ) g j + 2 注2 ：至于一般的对流扩散方程： f 象+ c ( z ) 垫o z 叫砷象蚓州川 删，川， 法羔。篙& 。 1 4 一 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 害= 巾) 象州刈) 咖地。 0 ，( “) 为u 的非线性函数。完全相似与线性方程的d ( 女，+ 。+ h 2 ) 阶格式( 1 3 5 和o ( k p + q + h 4 ) 阶格式( 1 4 1 4 ) ，我们有方程( 1 4 1 8 ) 的o ( 驴+ 9 + h 2 ) 阶近似： p + g 一1 吼，口( r ) u j + t = b ，口( 且r ) u j + t 如( a r ) t “+ 1 彬，j = 0 ，1 ，2 ， ( 1 4 1 9 m = 0 和o ( k p + q + h 4 ) 阶近似 q p , q ( 且，r ) a j + 1 = ( h 击矿( a ，r ) u ，+ p m + = q 。- 1 辄且，m ”+ 1 蟛 2 。 + 襞葑10 7 , 口( g ，r ) 七m r 川一击( j + 古a ) 。( a j + 。一) 其中 蟛1 = 厂”( t j ) 厂( t ) = _ ( u ( t ) ，( u ( x j v - x , t ) 7 n ；”= n m ( 。) ，n ( t ) = ( 1 + i 1 2 6 。， ) r ( t ) 对( 1 4 1 9 ) 中的彬和( 1 4 2 0 ) 中的珂p 应用向前或向后差分得到的为非线性多层差 分格式，应用向后差分可得到线性多层差分格式。 1 5 数值例子 这一节里，我们举几个数值例子来比较c r a n k n i c o l s o n 方法( 1 1 4 ) ， 2 中的e t f ( o ) 方法( 1 3 1 4 ) ，e s r ( 7 2 0 ) 方法( 1 3 1 5 ) ，以及我们的格式( 1 3 t 3 ) ， 1 5 貉 = z t埘 f o v e | l z8 程方的 74l 如形 中 到 其 得 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 ( 1 41 6 ) ，( 1 4 1 7 ) ，分别记为c n ，e t f ( 0 ) ，e s r ( 7 2 0 ) ，p a d ( 2 ，5 ) ，p a d 6 ( 4 ，3 ) p a d 6 ( 4 ，5 ) 从数值结果看，我们的数值格式优于已有的几种格式的精度。 例1 ：热传导方程： 甓= 学，o z o u ( z ，0 ) = s i n ( 2 ) ，0s zs r ， “( 0 ，t ) = 0 ，u ( 7 r ，t ) = 0 ，t 0 精确解为u ( t ，。) = e - t s 锄( z ) 取h = ”1 0 ， = 0 5 ，数值结果见表1 1 。 表 1 1 时间精确解数值解与精确解的误差最大模 最大模 c nl s e t fl s e s r p a d ( 2 ，5 )p a d ( 4 ，3 )p a d 4 ( 4 ，5 ) t = 1 3 6 7 9 ( 一1 】4 7 1 9 ( - 3 )2 4 7 2 ( 一3 、3 0 3 0 ( - 3 )3 0 3 0 ( 3 )5 5 4 9 ( - 4 11 6 4 7 ( 一5 ) t = 5 6 7 3 8 ( 3 14 2 1 3 ( 一4 )2 2 9 4 ( 一4 12 8 2 1 ( 一4 )2 8 2 1 ( 4 )5 0 6 7 ( 5 11 5 0 9 ( 一6 ) 例2 ：边界点不一致的方程： 镑= 器，o z o u ( 。，0 ) = 1 ，0 2 1 ， u ( o ，t ) = 0 ，u ( 1 ，t ) = 0 ，t 0 精确解为 婶，加；煮熹e _ ( 2 州一、i n ( 。川m 取h = o 1 ，= o 1 ，数值结果见表1 2 。 表1 2 时间精确解 数值解与精确解的误差最大模 最大模 c ，nl s e t fl s - e s r p a d 6 ( 2 ，5 ) p a d ( 4 ，3 ) p a d f 4 ，5 ) t = 0 5 9 1 5 7 ( 一3 1 1 5 0 8 ( - 1 1 l - 8 8 5 ( 4 )3 0 4 7 ( - 4 13 0 4 7 ( 4 15 5 7 1 ( 4 16 8 4 0 ( - 5 1 t = i 6 5 8 6 ( - 5 15 5 9 9 ( - 2 12 2 0 6 ( 6 15 0 3 8 ( 6 15 0 3 8 ( - 6 1 7 3 3 3 ( - 6 14 4 2 2 ( - 7 1 t = 5 4 1 7 3 ( 一2 2 12 8 7 0 ( 一4 16 0 4 4 ( 2 3 12 3 3 0 ( 一2 2 12 3 3 0 ( - 2 2 12 0 1 3 ( 一2 2 12 7 9 7 ( 一2 5 1 1 6 第一章对流扩散方程的高精度有限差分格式 例3 ：一根棍子两端保持与冰水混合物的接触，经过对棍子中点长时 间的加热后，有如下热传导方程： 甓= 枣，o z o ， “( z ，。) _ 2 z , o _ z 1 2 , fs1 “( o ，t ) = 0 ，( 1 ，t ) = 0 ，t 0 精确解为 。，。，：；i!去。；。j18 1 。，。i 。，。一。：。：。 “( 细) = 誊去( s i nj 州( s 劬叫e 2 一。 取h = 0 0 5 ，e = o 1 3 ，数值结果见表1 3 。 表1 3 时间精确解数值解与精确解的误差最大模 最大模 c nl s e t fl s e s r p a d d ( 2 ，5 ) p a d s ( 4 ，3 )p a d 6 ( 4 ，5 ) t = o 1 3 0 2 t ( - 1 11 7 0 7 ( - 1 11 4 7 2 ( 一2 19 4 8