（计算数学专业论文）广义算子的矩刻画及其应用.pdf

摘要 本文利用向量值矩，讨论了广义算子及其若干应用主要结果如下： 一对经典白噪声分析框架下的广义算子给出向量值矩的定义，然后建 立了相应的矩刻画定理 二应用经典白噪声分析框架下的广义算子的矩刻画定理，讨论了广义 算子序列收敛性问题和广义算子值函数的积分问题 三对经典白噪声分析框架下的广义算子的矩刻画进行推广，讨论了 k - s 白噪声分析框架下的广义算子的矩刻画定理，以及应用这些结果讨论了 广义算子序列收敛性问题和广义算子值函数的积分问题 关键词：白噪声分析；广义算子；矩刻画；广义算子序列；广义算子值 函数 a b s t r a c t ht h i sp a p e r w eu s et h em o m e n ta p p r o a c ht od i s c u s sg e n e r a l i z e do p e r a t o r s a n di t s 印p l i c a t i o n s f i r s t l y , w eg i v e ad e f i n i t i o no fv e c t o r - v a l u e dm o m e n tt oa g e n e r a l i z e do p e r a t o ra n dd i s c u s st h ec h a r a c t e r i z a t i o no fg e n e r a l i z e do p e r a t o r si nt e n t i s o ft h e i rv e c t o r - v a l u e dm o m e n t so nk u b of r a m e w o r ko fw h i t en o i s ea n a l y s i s s e v e r “ m o m e n tc h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e m sa r e e s t a b l i s h e d s e c o n d l y ，w eu s e t h e s em o m e n t c h a r a c t e r i z a t i o nt h e o r e m st od i s c u s st h ec o n v e r g e n c eo f s e q u e n c e so fg e n e r a l i z e d o p e r a t o r sa n dt h ei n t e g r a lo ff u n c t i o n so fg e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e do nk u b o f r a m e w o r ko fw h i t en o i s ea n a l y s i s f i n a l l y , w ee x t e n do u rm a i nr e s u l t 3t ok o ( 1 r a 土i e v _ s t r e i tf r a m e w o r ko fw h i t en o i s ea n a l y s i s k e yw o r d s ：w h i t en o i s ea n a l y s i s ；g e n e r a l i z e do p e r a t o r s ：m 0 m 铋tc h a r a c t e 小 z a t i o n ；s e q u e n c e so fg e n e r a l i z e do p e r a t o r s ；f u n c t i o n so fg e n e r a l i z e do p e r a t o r - v a l u e d 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果 尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得西北师范大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的 材料，与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 日期： 碰经6 2 盈墨翻 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留送 交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容，可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：二耋至幽导师签名： 阻日期 盈坌：么：乙 i 上- 一 目i j 吾 白噪声原本是一个声学概念，是指各频带的音强都相同的混合声音在工程技术 中，工程师们常用白噪声这个术语来表示动态系统中出现的一种随机干扰这种随机干 扰的数学模型被认为是一个具有零均值，无穷大方差并同时满足下面两个条件的随机过 程z ( t ) ： ( 1 ) 当s t 时，z ( s ) 与z ( 力独立； r 2 ) e f fl ( 0 z ( t ) d t 2 = f f ( t ) 1 2 d t 因此，文献中一般把具有上述特征的随机过程称为白噪声由于b r o w n 运动s c t ) 的形式时间导数b i ) 具有上述特征，所以b i t ) 是一种白噪声，称为g a u s s 白噪声 然而，白噪声并非通常意义下的随机过程长期以来，为了给白噪声赋予严格而合 理的数学意义，人们做出了各种努力1 9 7 5 年，h i d a 2 6 1 提出了一种类似s c h w a r t z 分 布理论的无穷维分布理论一白噪声分析，其基本思想是把w i e n e r 泛函视为白噪声泛 函 8 0 年代初，k u b o - t a k e n a k a 1 4 首次用二次量子化方法构造了经典的白噪声分析框 架( e ) c ( l 2 ) c 怛) + ，其中( e ) 和( 曰+ 分别为检验泛函空间和广义泛函空间经典自 噪声分析框架中的广义泛函空间虽然包含了许多重要的广义泛函，但是在应用上仍显得 偏小为了克服这一缺陷，1 9 9 2 年，k o n d r a t i e v 和s t r e i t 【1 2 针对指标8 ( 0 卢 1 ) 建 立了所谓的k - s 白噪声分析框架在白噪声分析框架中，不仅作为数学对象的白噪声可 获得严格而合理的定义，而且，诸如be t ) 2 , e b i d 等白噪声泛函都可得到方便的处理 2 0 世纪8 0 年代初期，作为i t 5 随机分析理论与量子力学相互渗透的结果，诞生了 量子随机分析理论1 9 9 1 年，黄志远f 4 1 将白噪声分析理论应用了量子随机分析，提出 了量子白噪声的概念，并系统发展了一套理论与方法一量子白噪声分析 在量子系统的数学描述中，许多物理量并不是通常意义下的算子在白噪声框架 前言 下，可以定义点态的湮灭和增生算子巩，罐，这就是量子白噪声，它是提升到算子水 平的白噪声，是一种广义算子量子场中的w i c k 编序就是广义算子的w i c k 积广义 算子的概念比传统的h i l b e r t 空间中算子要广泛得多，包含了人们感兴趣的许多物理 量这一新观点突破了传统的五2 理论，为量子随机分析和计算提供了合理的数学框 架，并使得有可能将重正化方法置于严格的数学理论基础之上，克服了构造性量子 场论中的种种困难正因为如此，广义算子在量子白噪声分析中起着基础作用近年 来，广义算子己经被成功地应用于量子随机分析，量子随机计算和量子随机极限理论中 【5 j ， 6 】，【7 】，翻，【1 0 】，【2 7 】， 2 8 j ，因而越来越多地受到物理学家和数学家的关注，成为自噪声 分析理论中不可忽视的一部分 对于广义算子和广义泛函的讨论主要有：o b a t an _ 【2 0 】，【2 1 】借助于广义算子的象征 讨论广义算子的解析刻画c h u n gd m 【2 l 利用w 变换对广义算子的解析刻画定理给出 了更简单的证踢但是，这种解析刻画方法具有一定的局限性，它依赖于广义算子的象 征或s - 变换同时，在k - s 白噪声分析框架下要求指标0 卢 0 ( 岛) ，并赋予( e ) 投影极限拓扑，则( 日) 是一个可列 h f l b e r t 核空间，并且( e ) + = u p o ( 码) ，从而 ( e ) c ( l 2 ) c ( e ) 构成一个g e l ，f a n d 三元组 定义1 3 i q 称复g e l f a n d 三元组( e ) cc ( l 2 ) cc ( e ) ；是实g e l f a r a d 三元组 echce + 上的经典白噪声分析框架同时，分别称( e ) c 和( e ) a 为检验泛函空间和 广义泛函空间，它们的元素分别称为检验泛函和广义泛函 6 1 白噪声分析框架 将( e ) ；俾) c 上的典则双线性型记作( ( ，- ) ) 引理1 4 嘲设妒( p ) c ，其f o c k 表示0 墨。支r ( 丑c ) ，则妒( e ) c 当且仅当 。墨。厶n or ( j _ c ) ，在此情形下有 o o 1 1 妒1 1 ；= n ! i 厶i ； p 0 n = 0 引理1 5 【6 j 令r ( 蜀) = u p 0 r ( 丑一p l c ) ，则对每个圣( e ) a ，存在唯一的0 刍f n r ( 品) 满足 ( ( 壬，妒) ) = n ! ( f n ，n ) ，v 妒= ，( o ) ( e ) c ( 1 1 ) n - - - - 0n = 0 反之，若0 当r r ( 蜀) ，则存在唯一的圣( e ) a ，满足关系式( 1 - 1 ) 在上述情况下， 对于p 0 ，圣( 丑p ) c 当且仅当。昙o r r ( 丑p c ) 并且 陋i 巳= n ! l r 已，p 0 n - - - - 0 2 检验泛函的乘积 设n 表示自然数集合对于自然数m 1 ，以n ”表示n 的m 重笛卡尔积n m 中的 元素称为m 重指标，设口是一个m 重指标，规定 e ( n ) = e 。l o e o oe n m 其中o = ( 口，n z ，o 。) 易见 e ( a ) i n n ”) c 霹“且还是霹”的标准正交基 定义1 4 i q 设f ，m ，竹0 ，= l o 如o 6 + 。，g = 叼1 0 啦固o 机。，其中 ，f f + 。e c ，则 ，o l g = ( 6 ，m ) - ( 6 ，研) 6 + 1 0 0 6 + m o 叩l + l o - o 研+ 。 引理1 6 n 设，e f ，g 罐8 ，则对于一切。e e + ，下式成立 ( ：扣：腓产，g ：州”) ( “) ( - 一删：厢。9 )( ：z 。m ：，刷：z “：，= f 州“) ( “) ( ：z 。( “”啦) ：，瓯) k = 0 k 引理1 t n 若p ，r 1 ，r 2 0 满足矿r - + 矿t + v 2 + 2 p + 矿r 。 1 ，则对切妒，1 l f ，( e ) c 7 1 白噪声分析框架 下列不等式成立 r 筹篝筹两一陬。 其中p = l i a _ 1 虮 3 广义泛函的连续版本 设l p ( e ) ，则妒( 工2 ) i l 2 ( 口，“豫) 因而作为e 上的泛函，妒是p o e 定义 的，一般无连续性可言本小节，我们证明：对每个f p ( e ) 有e + 上的连续泛函庐使 得妒( 。) = 庐( ，卢一a e ，z e + ，即妒有连续版本 引理1 8 【6 】设妒( e ) c ，则存在e 上的连续泛函庐( e ) c 满足妒( z ) = 驴( z ) ，p a e 。p 定义1 5 【6 】设变换0 ：( e ) c 一( e ) c ， o ：妒= j ( o ，n ) 一e 妒= j - ( 0 鲰) ( 1 - 2 ) n - - - - 0 n - - - - o 其中如= c 盟2 ( 2 一1 ) ! ! ( 一1 ) 7 - 亩园2 k 厶+ 2 ，则称o 为重正化算子 命题1 5 【6 】设o 是由( 1 - 2 ) 定义的重正化算子，则对任意的p 0 ，当q p v 丁d + l ，r 0 满足4 r t 2 _ 口严 l 且z 矿 l 时，0 满足如下的范数估计式 i i o 妒1 1 ，i z l l c p i i 。+ ，妒( e ) c 其中口2 而筇而i 丽两 注容易验证，重正化算子o 还具有下列运算的性质： e ( 哦，嫉) = 厶( 矗囟已园- 囟矗) 其中6 ，6 ，靠e c 三广义算子 如果以v 是同一个数域上的两个局部凸拓扑线性空间，则我们总以l 瞄v 】表示u 到v 的全体连续线性算子构成的空间 8 1 白噪声分析框架 工 ( e ) c ，( e ) 割中的元素称为框架( e ) cc ( l 2 ) cc ( e ) a 上的广义算子( 以下简称广 义算子) 此外叫( e ) c ，( e ) c 】和三 ( e ) a ，( e ) 副中的元素也都视为广义算子 设t l 【( e ) c ，( 司纠是一个广义算子，则根据拓扑线性空间的对偶理论可知，存 在唯一的一个广义算子t l 【( e ) c ，( e ) 刮满足： t 忆妒= t + 妒，妒，妒，1 ；f r ( e ) c r 为t 的对偶算子 引理1 9 【q 设 矗 。1c 三 ( e ) c ，( e ) 割是一个给定的广义算子序列，如果 r ) 。2 1 满足： ( 1 ) 对于任意，叩点，数列 磊( ，”) 。1 在c 中收敛； ( 2 ) 存在非负常数e 0 ，k 0 和p 0 使得 s u p n l li 矗( ，”) i c e x p k ( i 曙+ i 叶 ；) ，刀e c 那么存在广义算子t l i ( e ) c ，( e ) 刮使得 r ) 。l 强收敛于t 引理1 1 1 0 6 i 设，f 】) 是一个完备的口一有限测度空间，t ( ) ：q l 【( e ) c ，( e ) 刮 是一个给定的广义算子值函数，若t ( ) 满足： ( 1 ) 对任意q j 毛，函数t ( ) ( 毛叩) ：q c 可测： ( 2 ) 存在常数k p 0 及n 上的非负可积函数e 0 ) ，使得对p a e u q 成立 i t ) ( ，h ) i s c ( w ) e x p k o i ；+ i7 咖，目民 则t ( ) 关于测度p 强b o c h n e r 可积，并且其强b o c h n e r 积分满足下列范数估计 l | 上t ( u ) d v ( u ) l pi i 一。r = i 曼i 糕l l 妒，妒( 蜀) c ， 其中q p 且2 e 2 k i i a 一( 。一9 l l 备s 1 特别地，f n t ( w ) d u ( u ) l ( ( e ) c ，( e ) 孙 定义1 6 【6 】设t ：( e ) c 一( e ) ：是一个线性算子，定义( e ) c ( e ) c 上的复值泛函 于如下 t ( ，口) = 丁九，町( e ) c 称泛函于为线性算子t 的象征 9 1 白噪声分析框架 引理1 1 1 1 6 1 设g ：( e ) cx ( e ) c c 是一个给定的二变元泛函若存在广义算子 t 三 ( 司c ，( 目剞使得g = t ，则g 满足： ( 1 ) 对任意f ，7 ，吼叼，( e ) c ，下列二元复值函数是cz c 上的整解析函数 ( z ，) g ( e + 7 ，卵+ w t ) ( 2 ) 存在非负常数c 0 ，k 0 和p 0 使得 l g ( ，叩) i c e = p k ( i f l ；+ i 町i ；) ) ，f ，町( e ) c 反之，若二变元泛函g 满足上述两个条件，且存在唯一的一个广义算子t 叫( e ) c ，( e ) 5 】满足g = 于此外还满足下列范数的估计 一 i l 印h s f 丽击砸a ，妒( 日) c 其中g p 且2 e 2 k i i a 一( 口一叫隆s l ，a 为删的谐振子 1 0 92 经典白噪声分析框架下广义算子的矩 刻画 本小节我们讨论经典白噪声分析框架下广义算子的矩刻画定理 设h ，k 是两个可分复h i l b e r t 空间，其内积和范数分别记为：( ，) 和 一。关于多线性映射的一些结果，即广义算子核定理 首先我们引入强有界，有界的多线性映射的概念，然后去证明关于强有界多线性映 射的一些结果 x ，y 是两个b a n a c h 空间，它们的范数记为i - i j ：x x ”是自然嵌入映射定义 如下： ( t ，( z ) ，) x 。x = ( ，5 9 ) x * x ，x + ，z x 对n a 用x n 表示x 的笛卡尔积如果n = 0 ，x “= c 如果m ( h l ， 2 ，h 。) 对每 个变量是线性的，称映射m ：x n y 是n 一线性进一步，如果对每个口& 有 m ( h 。( 1 ) ， ，( 2 ) ，k ) = m ( h l ， 2 ，k ) ，v ( 1 ，h 2 ，k ) ， 称m 为对称的这里，晶表示 次置换群 对于对称n 一线性映射m ：x n y 我们使用下面的表示 m ；1 ? 兰m ( h l ，h i ，危1 ， 2 ， 2 ， 2 ，h n ，h n 。，h n ) 其中n + r 2 + + “= n ，h 。出现n 次( i = l ，2 ，；a ) 特别地，有 m h ”= m ( h ，h ， ) 对于一个n 一线性映射m 来讲，其范数| lmi i 定义如下： | im | l = s u p im ( u 1 ，h 2 ，h 。) 1li 11 sl ，ih 2i 1 ，if hl l ，( h l ，h 2 ，。，h n ) x “) 52 经典白噪声分析框架下广义算子的矩刻画 如果l l m l l o o ，则称m 是有界的 定义2 1 1 3 0 设7 , 1 和m ：h n k 是一个有界的佗一线性映射m 如果满足下列 m l i , - s u p芝：i ( g ，m ( 勺。，) ) 1 2 ) 0 是t 的矩序列，则存在 常数k 0 和p 0 使得 0m i ( f ) l i - p 0 和p 0 使得 | | t o 一1 ( 1 p ) i i 一，kj 妒1 1 ，p ( e ) c 1 4 2 经典白噪声分析框架下广义算子的矩刻画 因此，对任何f e c 和n 0 ，有 1 1 确= 1 1t o 一1 阪( p ) m ，sk 俪i 卵 证毕 定理2 2 设m o ( e ) ；，对每个犯1 ，设尬。：蠕一( e ) 是一个对称扎一线性映 射假设存在常数k 0 和p 0 使得 1 | ( ) 1 - p - - 耳、佗! i l ，e c ，n 0( 2 - 1 6 ) 则存在唯一的广义算子t l 【( e ) c ，( e ) 劲使得 肘子( 矗，岛，一，矗) = 坛( 6 ，一，矗) ，6 ，岛，矗e c ( 2 - w 而且，对q p + 警且e 2 i i a 一徊0 备s 1 ，我们有 i t o _ l ) 1 1 - , 万i 赢| | i i 州( 司c 协1 8 ) 证明：t 如果存在则唯一性显然因此，下面我们只需要说明t 的存在性取 口2p + 警，使得e 2 i i a 一“刊昭s 1 我们有 | i m 劬( a a 勺1 ，a 一。勺2 ，a - q e j 。) 慨 j l 出，j n 1 5 2 经典白噪声分析框架下广义算子的矩刻画 = u 慨( a 一9 e j t ，a 一4 e i z ，a - q e j n ) 吐 j 1 出，靠 i i 螈( a 一9 e i ，a 一4 勺。，a - q e j 。) 吩 j l ，j 2 ，j n k 2 等i a - q e j ，目a - q 勺zi ia - q e j n 甚 = 酽鲁l a 一( 口一，jj 盈 因此，由命题2 1 ，我们知道，对于n2i ，对称n 一线性映射 踏：咤c 一( 日) ： 强有界和 n 憾k z 和一。刊。热( 2 - 2 1 ) 由命题2 4 ，对n 21 存在唯一一个砖l 【点韶，( 毛) 刮使得 毋( 1 ，已，- - ，厶) = l 9 ( ，园已囟园矗) ，6 ，如，一，矗e 。，c ( 2 - 2 2 ) 和 i i 三2 = 剌御畦 其中”i i 是五袅到( 马) ；有界算子在通常意义下的范数 定义一个映射l ( a ) ：r ( 岛，c ) 一( 晶) ：如下： 上( 神( f ) = 堵( ，n ) ，f = 曰目 r ( 马，c ) ( 2 - 2 3 ) 这里二乎：c 一( e ) 定义为l 乎( z ) = = 我们断言三( g ) 是有意义的和l ( 口) l 【r ( 马，c ) ，( e ，) 刮 事实上，对f = o ，n r ( 日，c ) ，我们有 i l 工( ，n ) 忆 i i 砖怫 州i 厶睁 = k 顽n 2 n 删黼5r l f k e 2 “i ia - ( q 计i | 0fo r ( 岛，。) 1 6 2 经典白噪声分析框架下广义算子的矩刻画 丽i 丽k 而i i f l i t ( 岛，c ) o ，p 0 ，假定 | 1 碍( f ) 9 一，s k 、n ! l l ：，e c ，n 0 ( 2 - 2 5 ) 则对口p + 警且e 2 i i a 一( 口| | 0 ，q 0 使得 | l 晦( ) 忆k 瓶i i i , e c ，n 20 ( 2 - 2 7 ) 证明：由引理2 1 ，我们有 面子幢) ；t m ( f ) 】”= t o 一1 【厶( 。“) 】，e c ，n 0 另一方面，我们看到t o 一1 l 【( e ) c ，( e ) c j ，这表明对任意p 0 ，存在常数k 0 ，q 0 使得 1 it o 一1 ( 曲j i p 0 ，g 0 使得 i i 砒) l i p _ k 俪i 巴e c ，n20 (2-28) 则存在唯一的广义算子t 互【( e ) c ，( 昱) c 】使得 肘：( l ，已，一，靠) = 坛嬉。，已，- 一，靠) ，f l ，6 ，一，矗e c ( 2 - 2 9 ) 证明：t 如果存在，则唯一性显然因此，下面我们只需要说明t 的存在性取 r q + 警，使得e 2 1 1 a 一( 7 一a 0 l 是最c 的正交基而且，对于n 1 我们有 i i 衅( a ”e j ，a e j 。，a - r e j 。) i i ； = i i ( a 一白，a 一7 e j ：，一，a 一”e j 。) i i ； j l 抽，矗 k 2 鲁ir 勺t 舭1 嘞”i r 勺。曙 = 舻鲁0 a 一( 口峙s 因此，由命题2 1 ，我们知道对于n 1 ，对称n 一线性映射 砰：咤c 一( 昂) c 强 有界和 i i 碰q ) g k 2 可n 2 n | fa 一( r 一咖热 ( 2 - 3 1 ) 由命题2 4 ，对n21 , g 在 - - - - + l 乎l i 点柱，( 耳) c 】使得 埘穿( 6 ，如，一，矗) = 砖( f 1 囟6 亩园厶) ，6 ，岛，一，靠岛，c( 2 3 2 ) 和 i i 趔1 1 2 2 去i i 删幢 其中”0 是e q 肌, c 到( 蜀) c 有界算子在一般意义下的范数 定义一个映射l 油：r ( 日，c ) 一( 耳) c 如下： 加( f ) = 础( 厶) ，f = o 厶1 1 ( ，c ) ( 2 - 3 3 ) 这里三乎：c 一( 岛) 定义为l ( z ) z m o 我们断言l ( q ) 是有意义的和l ( g ) 叫r ( 岛，c ) ，( 马) c 】 事实上，对f = 0 墨o r ( e q c ) ，我们有 l i 工擘( 厶) i i ， | ll 2 ) 圳 睁 = 研薹o v 而g 2 n l a - ( r - q ) 删耶。) 2 经典白噪声分析框架下广义算子的矩刻画 k e 2 “0a 一( 一曲0 盔) jo f f r ( 岛。) n = 0 万菰k 菰雨l i f 恤酬 0 ，p 0 使得 s u p0b ( w ? ) i l p 、n ! ifl ；，e c ，n 0 ( 3 - 1 ) 2 l 其中w ；= 五( ) ，f e c 证明：充分性设s k = 巩e ，a 之l 和s = t ( 9 ，我们看到s ，& l 【( e ) c ，( e ) 刮，并且 噩) 强收敛于t 当且仅当 ) 强收敛于s 因此，只需要证 明 & ) 强收敛于s 3 广义算子序列及广义算子值函数一矩刻画定理的若干应用 取q p + 警且e 2 i i a 一( 口一曲昭s o 1 万i 赢i i i i 妒( e ) c 一 1 一e 2 | | a 一( 口- p 备s ”一、“ 设蹬是最到( 目) c 上的有界扩张，七0 ，则从上述不等式我们得到 唧i is l ) o 万亏希高孺 k 0、l e l l 以一w 卅l l 台。 其中i is i i 是蹬作为l 【( 日) c ，( 日) 割中元素的一般意义下的范数 另一方面，对任何n 0 和e c ，我们有 & 健。n ) 】= 冗( 叩) 一t o ( w d = 岛( 朗) 】 这说明 号乒( p ) = s ；( 妒) 一s b ( 妒) = s 紫( i p ) ，妒卿 ua 。) n 0 其中k = 厶( 舰) 陪既) 我们知道集合$ p ua 矗在( e p c 中稠密因此，由b a n a c h - s t e i n h a u s 定理，我 们有 蹬) 强收敛于s o ( q ) = s ( w 特别地， 瓯) 强收敛于s o = 必要性显然，由靠强收敛于t 表明靠( w ? ) 一t ( w ? ) 一c o ) ( 依( e ) 毛中 的范数) ，e c ，n 0 为了证明其余内容，我们设= 纠妒( 功，s u pi | 靠e _ 1 ( i p ) l i - p _ l 。 k1 学俪x 岛，n o 讦毕 二广义算子值函数积分问题 设( q ，f 功是一个完备的盯一有限测度空问，t ( ) ：n l i ( e ) c ，( e ) 刮是一个给定 的广义算子值函数 定理3 2 设( q ，f 旷) 是一个可测空间和t ( ) ：( q ，f i 功一l 【( e ) c ，( e ) 扑假定t ( ) 满足以下条件： ( 1 ) 存在的一个完全子集三使得对任何，三，& 和n20 函数 ( ，t ( ) ( w ? ) ) ( 司；( f ) 。：( q ，只p ) 一c 可测，其中睢= ( ) ( 2 ) 存在p 20 和k l 1 ( q ) ，k 0 使得对几乎所有的u n 8t ( u ) ( v i 翟) t l - p l 其中吸= ( ) ，f e c 2 4 3 广义算子序列及广义算子值函数一矩刻画定理的若干应用 证明：充分性，设瓯= t k e ，k 1 和s = t o ，我们看到s 】