（计算数学专业论文）基于helmholtz方程的曲面造型方法研究.pdf

摘要 随着c a d 技术应用的日益普及，人们对几何造型方法提出了越来 越高的要求。对于复杂曲面的构造和高质量曲面的设计，b 样条方法 已不能满足人们的需要。为了提高曲面设计的能力，简化复杂曲面的 设计过程，近年来提出了一些新的曲面造型技术，如小波曲面造型方 法、偏微分方程( p d e ) 曲面造型方法、能量曲面造型方法等。 为了追踪先进研究趋向，本文研究了基于h e l m h o l t z 方程的曲面 造型方法。将h e l m h o l t z 方程引入到了曲面造型技术中，为了在曲面 造型设计中得到更多的自由参数，把h e l m h o l t z 方程中的系数进行扩 展，给出一类含有三个形状控制参数的偏微分方程，本文把它叫做 b i h e l m h o l t z 方程。重点讨论了二阶和四阶b i h e l m h o l t z 方程在过渡 面构造及其形状控制和自由曲面设计中的应用，研究了形状控制参数 对曲面形状的影响。 为了提高曲面造型的交互式设计能力，本文给出了一个带有六个 矢量形状函数的b i h e l m h o l t z 方程，讨论了形状控制参数及其力源函 数对曲面形状的影响，并通过修改边界条件和边界导矢来达到交互式 设计的目的。由于矢量形状函数是以曲面参数甜，v 为自变量的连续函 数，可以在整个参数域上变化，所以极大地提高了利用偏微分方程 ( p d e ) 方法构造曲面的能力。为曲面的交互式设计提供了更大的灵 活性，增强了曲面的控制能力。此外本文还讨论了一种构造p d e 曲面 造型的数值方法，即谱配点方法，详细介绍了谱微分矩阵的计算及其 在p d e 曲面造型设计中的应用。 关键词p d e 方法，h e l m h o l t z 方程，谱配点法，过渡曲面， 自由曲面，交互式设计 a b s t r a c t w i t ht h es p r e a d i n ga p p l i c a t i o no fc a d c a m ，p e o p l ep l a c em o r ea n d m o r eh i g ha c q u i r e m e n t so nc a g d t h et r a d i t i o n a ln u r b sb a s e d s u r f a c e sm o d e l i n gc a n ts a t i s f yt h en e e d st oc o n s t r u c tt h ec o m p l i c a t e d s u r f a c e sa n dg e n e r a t eh i g hq u a l i t ys h a p e t h i si sam a j o rc h a l l e n g ef a c i n g s y s t e m o nc a g da n dh a sg i v e nr i s et oan u m b e ro fa l t e r n a t i v e a p p r o a c h e s ：t h e w a v e l e t s b a s e ds u r f a c em o d e l i n g ，t h ep d es u r f a c e m o d e l i n g ，t h ee n e r g y b a s e ds u r f a c em o d e l i n ga n ds oo n i no r d e rt op u r s u et h et r e n d so fa d v a n c e dr e s e a r c h ，t h i sp a p e ri s a b o u tt h es t u d yo fs u r f a c em o d e l i n ga p p r o a c hw h i c hb a s e do nt h e h e l m h o l t ze q u a t i o n s h e l r n h o l t ze q u a t i o n sc a l lb e i n t r o d u c e di n t ot h e d e s i g no fs u r f a c em o d e l i n g f o rt h ep u r p o s eo fg e t t i n gm o r ef r e e p a r a m e t e r si ns u r f a c em o d e l i n gd e s i g n ，t oe x p e n dt h ec o e f f i c i e n t so f h e l m h o l t ze q u a t i o n s ，g i v e nac l a s so fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw h i c h c o n t a i nw i t ht h es h a p eo ft h et h r e ec o n t r o lp a r a m e t e r s ，b e i n gc a l l e d b i h e l m h o l t ze q u a t i o ni n t h i sa r t i c l e t h i sp e p p e ra l s of o c u s e do n s e c o n d o r d e ra n df o u r t h o r d e ro ft h eb i h e l m h o l t z e q u a t i o n s t o a p p l i c a t i o n i nt h et r a n s i t i o na r e as t r u c t u r ea n ds h a p ec o n t r o la n d f r e e f o r md e s i g n i t ss t u d i e dt h es h a p eo ft h ec o n t r o lp a r a m e t e r so nt h e s h a p eo f t h es u r f a c e t o i m p r o v e t h e d e s i g nc a p a b i l i t i e s o ft h ei n t e r a c t i v es u r f a c e m o d e l i n g ，t h i sp a p e rg e tas i xv e c t o rs h a p ef u n c t i o no ft h eb i - h e l r n h o l t z e q u a t i o n st od i s c u s st h es h a p eo ft h es u r f a c ei n f l u e n c e db yt h es h a p e c o n t r o lp a r a m e t e r sa n di t sp o w e rs o u r c ef u n c t i o n ，i t sm o d i f y i n gt h e b o u n d a r yc o n d i t i o n sa n da r r o wc u tb o u n d a r yt oa c h i e v ei n t e r a c t i v e a s t h ev e c t o rs h a p ef u n c t i o ni sac o n t i n u o u sf u n c t i o nb a s e do ns u r f a c e p a r a m e t e r s 甜，vo fs e l fv a r i a b l e s i t s c a nb ev e r yt h r o u g h o u tt h e p a r a m e t e r sd o m a i n s oi t s h a sg r e a t l yi n c r e a s e dt h es u r f a c ec o n s t r u c t a b i l i t i e sf o ru s eo fp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( p d e ) m e t h o d i t sa l s o p r o v i d e sg r e a t e rf l e x i b i l i t yf o ri n t e r a c t i v es u r f a c ed e s i g n ，a n de n h a n c e d s u r f a c e sc o n t r 0 1 i na d d i t i o n ，t h i sa r t i c l ed i s c u s s e dt h en u m e r i c a lm e t h o d s w h i c hs t r u c t u r eap d es u r f a c e m o d e l i n g ，t h a ti s ，t h ep o i n t s p e c t r a l a l l o c a t i o nm e t h o d ，d e m i l e di nt h ed i f f e r e n t i a ls p e c t r a lm a t r i x c a l c u l a t i o na n di t sa p p l i c a t i o ni np d es u r f a c em o d e l i n gd e s i g n k e yw o r d sp d em e t h o d s ，h e l r n h o l t ze q u a t i o n s ，s p e c t r a l c o l l o c a t i o n m e t h o d s ，b l e n d i n gs u r f a c e s ，f r e e - f r o ms u r f a c e s ， i n t e r a c t i v ed e s i g n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名：绝怠基日期：2 丝臣车丛月毫蜩 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论 文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文； 学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：姓导师签名幺坚至 日期：堡年且月韭日 1 1 曲面造型概述 第一章绪论 曲面造型( s u r f a c em o d e l i n g ) 是计算机辅助几何设计( c o m p u t e ra i d e d g e o m e t r i cd e s i g n ，c a g d ) 和计算机图形学( c o m p u t e r g r a p h i c s ) 的一项重要内容， 主要研究在计算机图像系统的环境下对曲面的表示、设计、显示和分析。它起源 于汽车、飞机、船舶、叶轮等实体的外形放样工艺，由c o o n s 、b d z i e r 等大师于 二十世纪六十年代奠定其理论基础n 】【2 1 。如今经过三十多年的发展，曲面造型现 在已经形成了以有理b 样条曲面( r a t i o n a lb s p l i n es u r f a c e ) 参数化特征设计和 隐式代数曲面( i m p l i c i ta | g e b r a i cs u r f a c e ) 表示这两类方法为主体，以插值 ( i n t e r p o l a t i o n ) 、拟合( f i t t i n g ) 、逼近( a p p r o x i m a t i o n ) 这三种手段为骨架的几 何理论体系。 1 9 6 3 年美国波音飞机公司的f e r g u s o n 首先提出将曲线曲面表示为参数的矢 量函数方法，并引入参数三次曲线。从此，曲线曲面的参数化形式成为形状数学 描述的标准形式。1 9 6 4 年美国麻省理工学院的c o o n s 发表一种具有一般性的曲 面描述方法，给定围成封闭曲线的四条边界就可定义一块曲面。但这种方法存在 形状控制与连接问题。1 9 7 1 年法国雷诺汽车公司的b d z i e r 提出一种由控制多边 形设计曲线的新方法。这种方法不仅简单易用，而且漂亮地解决了整体形状控制 问题，把曲线曲面的设计向前推进了一大步，为曲面造型的进一步发展奠定了坚 实的基础。但是b d z i e r 方法仍存在连接问题和局部修改问题。到1 9 7 2 年，d e b o o r 总结、给出了关于b 样条的一套标准算法。1 9 7 4 年g o r d o n 和r i e s e n f e l d 又把b 样条理论应用于形状描述，最终提出可b 样条方法。这种方法继承了b d z i e r 方 法的一切优点，克服了b d z i e r 方法存在的缺点，较成功地解决了局部控制问题， 又轻而易举地在参数连续性基础上解决了连接问题，从而使自由型曲线曲面形状 的描述问题得到较好解决。但随着生产的发展，b 样条方法显示出明显不足，如 不能精确表示圆锥曲线及初等解析曲面。这就造成了产品几何定义的不唯一，使 曲线曲面没有统一的数学描述形式，容易造成生产管理混乱。为了满足工业界进 一步的要求，1 9 7 5 年美国s y r a c u s e 大学的v e r s p r i l l e 首次提出有理b 样条方法。 后来由于p i e g l 和t i l l e r 等人系统地论述了非均匀有理b 样条( n u r b s ) 方法， 终于使非均匀有理b 样条( m 瓜b s ) 方法称为现代曲面造型中最为广泛流行的 技术。 非均匀有理b 样条( m 瓜b s ) 方法的突出优点是：可以精确地表示二次规则 1 曲线曲面，从而能用统一的数学形式表示规则曲面与自由曲面，而其他非有理方 法无法做到这一点；具有可影响曲线曲面形状的权因子，使形状更易于控制和实 现；n u r b s 方法是非有理b 样条方法在四维空间的直接推广，更多非均匀有理 b 样条曲线曲面的性质及其相应算法也适用于n u r b s 曲线曲面，便于继承和发 展。由于n u r b s 方法的这些突出优点，国际标准化组织( i s o ) 与1 9 9 1 年颁布 了关于工业产品数据交换的s t e p 国际标准，将n u r b s 方法作为定义工业产品 几何形状的唯一数学描述方法，从而使n u r b s 方法称为曲面造型技术发展趋势 中最重要的基础。 1 2 论文的选题 我们已经目睹了基于样条的曲面造型技术的发展，但它们都是多项式表示 法。构造曲面时先定出曲面的轮廓线，再进行蒙面。这种造型方法形状不易控制， 在处理曲面过渡时生成的曲面与原有曲面连接线有交线外，还可能有别的交线。 随着c a d 技术应用的日益普及，人们对几何造型方法提出了越来越高的要求， 以上介绍的几何造型方法已不能满足人们的要求。为了提高曲面设计的能力，简 化复杂曲面的设计过程，近年来提出了一些新的曲面造型技术，如小波曲面造型 方法、偏微分方程( p d e ) 曲面造型方法、能量曲面造型方法等。 为了追踪先进研究趋向，本文研究了基于偏微分方程( p d e ) 方法的曲面造 型技术。对于偏微分方程曲面造型问题的研究，虽然已经有了一定的研究成果， 但是大多数局限在具有一个常系数的四阶偏微分方程上，并且提供的曲面交互式 设计工具很少。因此，对于这些问题还有待进一步地研究和完善。 1 3 国内外在该领域的研究现状和动态 偏微分方程( p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，简称p d e ) 方法是由英国l e e d s 大 学的b l o o r 等人首先于2 0 世纪8 0 年代末将其作为一种曲面设计工具引入c a g d 领域。其思想起源于将过渡曲面的构造看作一个偏微分方程的边值问题，而后发 现使用该方法可以方便地构造大量实际问题中的曲面形体。b l o o r 等人探索了p d e 方法在过渡曲面阻埘、自由曲面 m 1 及n 边域曲面构造中的应用。同时也探索了 这种方法在功能曲面设计口1 中的应用。船体、飞机外形、螺旋桨叶片n 3 1 “脚巾幻、l i e 等外形都可以由p d e 方法构造。 进而，l o w e ，b i o o r 和w i l s o n 提出一种方法把一般的工程设计准则( 如函数 约束) 融合到p d e 曲面的几何设计中n 甜。这样就可能在设计过程中同时引入几 何约束、美学准则、物理和工程约束。另外，b l o o r 和w i l s o n 等人分别使用基于 2 配置法的b 样条n 力和基于有限元法的非均匀b 样条n 帕逼近p d e 曲面，旨在表明 p d e 曲面和其他成熟的基于样条的曲面设计是相容的，因此p d e 曲面技术就能 融入现有的商业设计系统。 1 9 9 3 年b l o o r 和w i l s o n 利用参数边界条件构造了p d e 几何实体n 口】，拓宽了 p d e 方法学的几何覆盖范围。在理论上，基于偏微分方程的方法有个必然的优点， 即定义一个曲面的大部分信息来自于曲面的边界条件，这就允许通过少量的参数 来生成和控制曲面。通过改变边界条件和p d e 中的形状控制参数a ，可以生成各 种曲面形状。u g a i l 和b l o o r 等人对曲面交互式图形控制做了相应的研究栅l 嘲， 主要集中讨论三个方面：力源函数f ，形状控制参数a ，通过p d e 曲面的b 样条 表示用控制顶点对曲面进行调整。 美国n e wy 0 r k 州立大学的q i nh o n g 教授和加拿大t o r o n t o 大学的 t e r z e p o u l o r 教授研究了基于n u r b s 表示的动态曲面1 设计方法。q i n gh o n g 教 授的博士生h a i x i ad u 在其基础上将p d e 曲面造型方法和基于物理模型的曲面造 型方法结合起来嘲、咖，拓宽了p d e 方法的应用范围，并利用隐式偏微分方程研 究了散乱点数据的拟合嘲嘲。英国b o u m e m o u t h 大学的j i a n j u nz h a n g 等人研究 了偏微分方程的p s e u d o - l e v y 序列解嗍。 国内北京航空航天大学的朱心雄教授及其博士生马岭对基于偏微分方程的 曲面造型方法开展了研究，并取得了一定的研究成果嘲巾5 阳。北京航空航天 大学的余正生、雷毅研究了基于n u r b s 的p d e 曲面构造及其应用，由于非均 匀有理b 样条曲线曲面给定边界条件( 边界值或者加上边界导失) ，用偏微分方 程来构造曲面b 。上海复旦大学谭永基教授在p d e 曲面造型中的反问题进行了 研究，提出了一种基于偏微分方程反演自动决定偏微分方程系数和边界条件的 p d e 曲面造型的新方法啪k h 泓1 。 1 4 论文的研究内容与组织 先前的工作主要集中于讨论如下的类双调和偏微分方程： 二阶偏微分方程： 芬材脚咖。 四阶偏微分方程： 。( 鲁+ 口2 争2 脚加。 ( 1 1 ) ( 1 2 ) 由于偏微分方程组中的形状控制参数对p d e 曲面的形状影响很大，且在现 3 有文献中除了对边界曲线控制和修改偏微分方程的系数外，对于直接交互式p d e 曲面的设计技术较少，且常规的p d e 技术控制整个参数域，局部控制较弱，基 于以上几点原因，总结l e e d s 大学及国内外诸学者的研究成果，为了进一步提高 p d e 曲面造型的能力，本文着重在以下两个方面做了进一步探索：给出了如下 所示的椭圆形偏微分方程，对其在曲面造型设计中的应用进行了研究，并讨论了 形状控制参数对曲面形状的影响。 二阶b i h e l m h o l t z 方程： 皤+ 唠+ c ) 脚加盹v ) ， ( 1 3 ) 及周期边界条件 j x ( o ， ，) 2 岛( y ) ，x ( 1 ，叻2g l ( d ， ( 1 4 ) l x ( u ，0 ) = x ( u ，2 万) 为了得到g c l 连续的过渡曲面，需要考虑四阶的偏微分方程。 四阶b i h e l m h o l t z 方程 ( 口导+ 唔+ c ) 2 讹力叫， ( 1 5 ) 及周期边界条件 1x ( o ，y ) = g o ( v ) ，x o ，d = g i ( y ) ， 咒( o ，) = s o ( v ) ，五( o ，v ) = 而( d ， ( 1 6 ) ix ( u ，o ) = x ( u ，2 万) ， 其中x ( u ，1 ，) = o ( 甜，) ，y ( u ，v ) ，z ( ”，) ) 为三维空间中的p d e 曲面，“，y 为曲面参数 f ( u ，力是力源函数，口，b ，c 为常数。 求解区域q = 0 甜l ，0 ，s 2 万) ，g o ( 力和蜀为给定的边界曲线，和 而p ) 为对应边界曲线处的跨界导矢 为了得到更多的形状控制参数，对( 1 3 ) 进行展开，用连续的矢量函数代 替方程中的常数，可得： ，力导嘶，力南嘶，d 导+ m ，力导+ 咖，d 嘉州训v m 。 q 7 ) 4 方程( 1 5 ) 一方面增加了形状控制参数的个数，在构造曲面时有了更多的自由 度。因此在交互式设计中给用户提供了更多的交互式操作手段，另一方面因为 a ( u ，y ) ，b ( u ，d ，c ( u ，y ) ，a ( u ，v ) ，“，v ) ，f ( u ，v ) 在整个参数域上变化，这就增加了 p d e 曲面的局部控制能力。 论文内容安排如下： 第二章介绍了h e l m h o l t z 方程，并把h e l m h o l t z 方程引入到曲面造型设计中。 为了增加p d e 曲面造型方法中的自由参数，在常规的h e l m h o l t z 方程中引入更 多的系数，文中把这一类方程叫做b i h e l m h o l t z 方程。详细讨论了谱配点方法及 其在曲面造型方法中的应用。 第三章中阐述了p d e 曲面造型方法的基本原理，并研究了二阶和四阶 b i h e l m h o l t z 方程在构造过渡面、自由曲面中的应用，详细讨论了形状控制参数 对曲面形状的影响。 第四章阐述了p d e 曲面交互式设计的各种技术，并讨论了基于h e l m h o l t z 方 程的p d e 曲面在交互式设计中的应用及其优点，增强了p d e 曲面在曲面造型方 法中的形状控制能力。 第五章为本文总结，并对后续的研究做了展望。 1 5 论文的创新之处 在使用偏微分方程方法进行曲面造型时，有几点需要首先考虑： 第一，偏微分方程的阶数与计算效率和生成曲面的能力相关。阶数越高，计 算效率越低，但生成曲面的能力却越强大。 第二，偏微分方程中的形状控制参数对偏微分方程曲面的形状影响很大。 第三，对于直接交互式p d e 曲面的设计技术较少，且常用的p d e 技术控制整 个区域，局部控制较弱。 基于以上几点原因，为了进一步提高p d e 曲面造型的能力，本文着重在以下 两个方面做了进一步的探索和研究。首先给出了一类含有三个形状控制参数的二 阶和四阶b i h e l m h o l t z 方程及个含有六个矢量形状参数的四阶b i h e l m h o l t z 方 程，它们包含了现有文献中的二阶和四阶偏微分方程。而且比现有二阶和四阶偏 微分方程多了一些自由参数，因此有了更强的曲面形状控制能力。而所给的矢量 5 形状函数是以曲面参数甜，1 ，为自变量的连续函数，用来代替现有文献中常用的常 数，它们可以在整个曲面参数域上变化，因此极大地提高了利用偏微分方程方法 进行曲面造型的能力。这就为曲面的交互式设计提供了更大灵活性和可操控性。 此外本文采用谱配点方法对b i h e l m h o l t z 方程的边值问题进行求解，它具有“无 穷阶收敛性，且运用f o u r i e r 谱配点法使周期边界条件的处理变得非常方便，而 且快速算法( 如f f t ) 的使用可以让计算量得到大大的减小，因此可以更好的解 决提高偏微分方程的阶数所带来的计算效率低的问题。 6 第二章h e l m h o l t z 方程及求解 2 1h e l m h o l t z 方程 自然界中的一些物理现象常用偏微分方程来描述，而椭圆型方程作为描述稳 态物理现象的模型被广泛应用。当我们在研究声音的传播时，因为声音是流体或 固体内的小振幅传播，当只考虑频域内声音在流体里的传播，并且假设声场是由 固定频率w 的场声器产生的，这样，在最简单的情况下，在波动方程警= 磊v 2 中令矽= r e ( u ( x ) e 一蛔) ，得到 ( v 2 + 七2 = 0 ， ( 2 1 ) 其中k ：一w ；( 2 1 ) 就是著名的h e i m h o i t z 方程。当七：o 时，就是我们所熟悉的 口o l a p l a c e 方程。 在二维笛卡尔极坐标系下，用分离变量法使得： u ( x ，y ) = x ( 功】，) 则h e l m h o l t z 方程( 2 1 ) 可转化为： 罂】，+ 粤x + k 2 x y ：o a k 2c 如2 对于分离常数脚2 ，可得如下两个常微分方程： ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) o = 矿+ 塑扩 一y + 2 一- 口：塑舻 得 一x 可腰以除时同边两 = 塑舻 卫塑妒 这里x ，y 可以互相交换且依赖于边界条件。即： x = a e ”+ b e 一“ y ：c _ 瓣，+ d ，瓜y ：s i n ( 厨) ，) + 巴c o s ( 厮) ，) 。 则可得h e l m h o l t z 方程( 2 1 ) 的一般解为： ( 2 7 ) ( 2 8 ) 甜( 工，y ) ：妻( 4 ，i p 一+ 吃e 一雕) 【已s 试石五万力+ c o s ( 石f 虿) ，) 】 ( 2 9 ) m = l 其中4 ，岛，瓦，己由边界条件确定。因此在给定适当边界条件的情况下，可 以方便求得h e l m h o l t z 方程( 2 1 ) 的解析解表达式( 2 9 ) ，但是在大多数情况下， 解析解的表达式( 2 9 ) 是比较复杂的，尤其是当边界条件比较复杂时，给出具 体的解析表达式就很困难，而在解决实际问题的时候，一般边界条件都比较复杂， 所以就需要采用高效的数值方法进行求解。 大量文献研究了( 2 1 ) 中的h e l m h o l t z 方程在机械工程、声学、热能、电磁 学等方面的应用。由于h e l m h o l t z 方程具有调和方程的一些相似性质，因此本文 把它引入到曲面造型设计中，为了在曲面造型设计中获得更多的自由度，把( 2 1 ) 式进行扩展，我们给出如( 2 1 0 ) 所示的偏微分方程，本文把它叫做b i h e l m h o l t z 方程： 口z k + b u 删+ c ”= f ， ( 2 1 0 ) 其中口，b ，c 为常数，f 是力源函数。 2 2h e l m h o l t z 方程的谱配点方法求解 对于b i h e l m h o l t z 方程( 2 1 0 ) 可以有许多数值解法，如有限差分法、有限 元法以及谱方法等。它们有各自的优点和使用范围，谱方法不同于差分法，也不 同于有限元法，在谱方法中试探函数被取为无穷可微的整体函数，根据检验函数 的不同选取，谱方法可分为g a l e r k i n 谱方法、t a u 方法和配点法。g a l e r k i n 谱方 法有时就称为谱方法，配点法有时也称为拟谱方法。在g a l e r k i n 谱方法中，检验 函数与试探函数属于同一个空间，并要求满足边界条件；t a u 方法类似于g a l e r k i n 8 谱方法，但不要求检验函数满足边界条件，而是利用边界条件再补充一些方程， 最后得到一个封闭的方程组；配点法则是检验函数为以那些配置点为中心的 d i r a c 一万函数，使得微分方程在这些配置点上精确成立。 如果按所讨论的问题是否周期，又可把谱方法分为f o u r i e r 谱方法( 周期情 形) 和c h e b y s h e v 谱方法、l e g e n d r e 谱方法和h e r m i t e 谱方法等，这些方法是分 别以三角函数、c h e b y s h e v 多项式、l e g e n d e r 多项式和h e r m i t e 多项式等作为基 函数来讨论问题。谱方法的最大优点是所谓“无穷阶收敛性 ，即如果原问题的 解充分光滑，那么谱方法的收敛阶将是无穷阶的；此外，快速算法的使用可以大 大减少计算量。 在偏微分方程的过渡面设计中，主要研究的是带有周期边界的椭圆型偏微分 方程，以往的数值方法( 如有限差分法、有限元法) 对周期边界的处理都比较困 难，而用f o u r i e r 谱方法很好的解决了周期边界的问题，对于非周期边界， c h e b y s h e v 谱方法具有计算量小且精度高的优点，因此下边讨论f o u r i e r 谱方法 和c h e b y s h e v 谱方法在带周期边界条件的h e l m h o l t z 方程中的应用。 2 2 1f o u r i e r 微分矩阵 定理1 1 给定节点_ = 等，o 一1 ，插值于函数( x ) 的指数函数可以 写成如下形式： 尸( x ) = c k e 出， ( 2 1 1 ) k = o 其中，q = ( 厂，p 斑) ，也就是说，p ( x j ) = f ( x j ) ，o j n l 。 当o ) 是2 万为周期，且一阶导数连续的周期函数，则它的f o u r i e r 系列一致收 敛于，在实际应用中，常取如下截断f o u f i 既 系列： ( 2 1 2 ) 假设，( ，) = f ( x j ) ，_ = 等，o ，一1 ，则可得 厂( _ ) = n - i 吼，2 ( 一1 ) ，p 舰，。_ ，s 一1 ( 2 1 3 ) 厂( _ ) = 吼，2 ( 一1 ) ，p 舰， o _ ，s 一1 ( 2 七= o 9 ：釜 p 芝一 = x， 由( 2 1 1 ) 可得 删：= 丙1n 缶- i ( 一1 ) f ( x j ) e - 龇，o k n - i ( 2 1 4 ) 现在，对截断f o u r i e r 系列f ( x ) 逐项求导，得到如下的导数逼近形式： 其中朋为正整数，可以把f “( 功写成如下的等价形式： ( 2 1 5 ) 一l f 册( 功= ，- ，2 ( 她- n z ) ) 埘州彪弦 ( 2 1 6 ) 七= o 由( 2 1 4 ) 和( 2 1 6 ) 可得 = ( ( 一1 ) 7 汐( i ( k - n 2 ) ) 历) 嚣。 = 专“一1 ) j e 妇( f ( 七一n 2 ) ) ”n 。- ：。i “_ 1 ) _ 魄 因此给出了f o u r i e r 谱配点法如( 2 1 8 ) 所示的m 阶微分矩阵。 。脚= 专( ( - 1 ) ，产( f ( 后一n 2 ) ) m 片n 脚- i ( ( ) k e - 弘, , k n - t 。( 2 1 8 ) 取c h e b y s h e v 点_ = c o s ( x j n ) ，o j s n ，根据c h e b y s h e v 多项式的定义， 觥：o = c o s 一1 ( 曲，$ 1 j ：r ( x ) = c o s ( n 0 ) ，对巧( x ) 求导，可得如下的一些结果1 ： 巧( 一) = o ，i s n i 巧( 扩( _ l 广l 2 南，k _ ，洲- l ( 2 1 9 a ) ( 2 1 9 b ) 溉 p 辨 访 耽一 = 工 伽 f 2 2 一 舭吁： 怯 一 一 一 帅鼬 即 、， 、-、 l 。斯。剐 和 l_一，l 册 席 历 f f f ，-l。- 、 ) ) 卜 m 柑；址“； ，f f ，。- o l = 一i 、 硪乃) ( - 1 ) j + 1 3 n 2 南1 钉州_ 1 蜀( 1 ) = ( 1 ) n 2 ，巧( 1 ) = 妻( 士1 ) n 2 ( 2 - 1 ) 假设多项式纨( 工) = 兀( x - x d ，由( 2 1 9 a ) 可得 c o n = 风( 工2 1 ) 砭( 力， ( 2 1 9 c ) ( 2 1 9 d ) ( 2 2 0 ) 风为便( 2 2 0 ) 式右端中，“的系数等于1 的正常数。根据( 2 1 9 a ) 祁( 2 1 9 d ) 可得： 西= ( 一1 ) 弓2 风，o j n ( 2 2 1 ) 其中磊= 西= 2 和弓= l ，l n 一1 。 对于节点集 一) 二，l a g r a n g e 多项式为： f j ( x ) 2 端，吲 ( 2 2 2 ) 用c o n ( x )( ) 的展开式可得 删= 帮，吲州 亿2 3 ) 直接计算可得形o ) 为： 驰) 2 髻南( ( 2 瑚卅- 1 照堋卜扩- l 删砌( 2 2 4 ) 当七，由上式和( 2 1 9 a ) 、( 2 1 9 d ) 可得 f ( ) ：拿玉坐，o 七，5 ( 2 2 5 ) o j 一 j 当1 k = ，s 一1 ，由( 2 2 3 ) 得 碱) - 一l i m 掣) _ 1 ) 二丝盘! 型二堕r q 卫6 ) x - + 黾 ( 工一再) 2 其中i = ( 一1 ) n 2 。 对( 2 2 6 ) 式运用两次l h o s p i t a l s 法则可得： ( 吒) = 互1 ，ij l _ i m 黾( 2 t ( z ) + 4 x 碍( 工) + ( x 2 - 1 ) 硝d ) = 如( 妒1 2 ( 惫一碡3 x k ) 弦2 7 ) 一南，l k i ，让( + 1 ) ( + 1 ) 阶的c h e b y s h e v 谱微分矩阵d 的行和列的 指标都从0 到，则矩阵d 中的元素为： d k , j - - ：c k 一( - i ) 七+ y ，j k d k , k = - - 南，k 0 , n do=一环，=(2n2+1)60,0- 其中：五二 其k = 它o 。， 2 2 8 d n n j = 一o k 。j 且当配置点为c h e b y s h e v 点_ = c o s ( # n ) ，o j n i 对，由矩阵d 的幂可得高阶 2 2 3 谱方法与有限差分法比较 评价一个数值方法，重要的是考察其精度、效率和适应性。从精度上和收敛 速度上讲谱方法在某种意义上说是最佳的，因为从理论它可以达到任意高的精度 且是按指数速度收敛。为了比较有限差分方法和谱配点方法的收敛性，对于定义 在 一万，万】上的函数u ( x ) = ”，用四阶有限差分矩阵去逼近甜( x ) 并和它的导数 的精确解e 州。c o s ( x ) 进行比较，如图2 1 ( a ) 所示，其计算精度随着节点数n 的 增加而成线性提高，即对于常数聊，光滑解的收敛阶数为o ( n 1 ) 。而用f o u r i e r 谱微分矩阵代替四阶有限差分矩阵去逼近( 功并和它的精确解g 叫町c o s ( x ) 进行 比较，其结果如图2 1 ( b ) 所示，误差递减得非常快，只需取较小的n 值就能达到 很高的精度，即给定的常数m ，都能达到o ( n 1 ) ，对于光滑函数，谱方法的收 敛阶将是无穷阶的且呈指数形式递减o ( c ) ( 0 c 1 ) 。 邑 ： ii _ i ： ： ： ；k p ： ： ： ： i： ；0 二：、： 。一i 1 - 。f 。? ：。?： o o 1 0o t 。 ：、q ： ： ： ： l 一 - 一一：一：1 h - 一 k ： - ： 、 ： ： 、 ： ：、： ： ：n ：! i! 图2 1 ( a ) c o n v e r g e n c eo fs p e c t r a ld i f f e r e n t i a t i o n i - - - - _ - - - 一 一氏一 1 v r ：- - q r - - n 图2 1 ( b ) 1 3 o 6 1 铲 时 1 1 1 1 由于谱方法是定义在整个求解区间上的全局插值，所得的微分矩阵是个满矩 阵，而有限差分法或者有限元法离散后得到的是稀疏矩阵。所以计算效率上要比 有限差分或者有限元法低，但是随着快速f f t 变化的提出，对于n 维向量的插 值运算，计算量由n 2 变为n l o g ：v ，从而大大减少了计算量。随着计算机运算效 率的提高，谱方法得以越来越广泛的应用。 2 2 4 矩形域上的谱配点法 在矩形域q = 【0 ，l 】【0 2 尼】上，考虑如下的二维b i h e l m h o l t z 方程。 i 口+ 抚o + 伽= f ， i n g ) 甜( z ，o ) = 甜( x ，2 万) ， ( 2 2 9 ) 【z ，( o ，y ) = 甜( 1 ，y ) = 0 在工方向上取c h e b y s h e v 点磊= c o s ( 荔，o i n ，在】，方向上取等距节点 协2 等，o ，s m ， ( 善) ) 竺。为相应节点集 缶) 墨。上的l a g r a n g e 多项式， 已( ，7 ) ：乙为相应节点集切，) 上的指数多项式，则插值多项式可写为： 甜删o ，y ) = “脚( 点，) c ( x ) 已o ) ( 2 3 0 ) 把( 2 3 0 ) 带入( 2 1 9 ) 可得 碟( 圳+ 6 秽俐+ c z ，删( 驯2 聪，咖 ( 2 3 1 ) 1 i n l ，0 s ，m 用d x 表示二阶的c h e b y s h e v 微分矩阵，印表示二阶的f o u r i e r 微分矩阵，u 和f 为如下( 一1 ) ( m + 1 ) 阶矩阵： u = 删( 磊，) ) 答，= 叭毛，7 x x 胆1 n - ! 知m 则( 2 3 1 ) 可写成矩阵的形式： a d x u + b u d y r + c u = ，( 2 3 2 ) 标准线性方程组为 ( 吐 眈+ 6 印9 厶+ c ，l 圆厶) 订= 7 ( 2 3 3 ) 其中为m + l 阶单位矩阵，厶为n 一1 阶单位矩阵，歹和万是从f 和u 的矩阵按 列形式展开得到的长度为( n 一1 ) x ( m + 1 ) 的向量， 表示矩阵的张量积。 例子3 1 求解如下的b i h e l m h o l t z 方程，矩形域为q = 【0 ，1 x 0 ，2 r e 】。 f 材口+ 掰拶+ 9 甜：p 1 。“j ，1 ) 2 “工 ) 2 ) ， 加q ( x ，o ) = u ( x ，2 x ) ( 2 3 4 ) l 甜( o ，y ) = 甜( 1 ，少) = 0 【 当( 2 3 3 ) 中的常数口= l ，b = 1 ，c = 9 ，就是方程( 2 3 4 ) ，用上述介绍的谱配点法 容易求得方程的解，如图2 2 所示。 图2 2 ( a ) 5 2 9 x 5 2 9 离散的稀疏点 0 皿 0 0 1 0 0 1 m 皿 b 23 小结 0 o 田22 i b b i - h e l r a h o l t z 方程的解曲面 ( 1 ，工砷精确到9 为有效数字 本章为了在p d e 曲面造型方法中得到更多的自由度，我们把h e l m h o l t z 方程 引入到曲面造型设计中，并对h e l m h o l t 2 方程( 2 1 ) 进行扩展，给出一类舍有 多个方程系数的b i h e l m h o l t z 方程( 2 1 0 ) ，该方程的优点是含有多个方程系数， 因此在曲面造型设计中就有了更多的自由度。以