（计算数学专业论文）平面弹性问题协调的矩形混合元.pdf

原创声明 i i i ii ii ii i ii ii ii ii ii il 18 3 3 5 3 6 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃，抄袭等违 反学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律 后果，特此郑重声明 学位论文作者( 签名) t 壬士至士两p 二零一零年相一日 学位论文使用授权声明 本人在导师指导下完成的论文及相关的职务作品，知识产权归属郑州大学根据郑 州大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留或向国家有关部门或机构送交论文 的复印和电子版，允许论文被查阅和借阅；本人授权郑州大学可以将本学位论文的全部或 部分编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印或者其他复制手段保存论文和汇编 本学位论文本人离校后发表、使用学位论文或与该学位论文直接相关的学术论文或成果 时，第一署名单位仍然是郑州大学保密的论文在解密后遵守此规定 学位论文作者( 签孙甜豆锏尸 二零一零年，月一日 摘要 本文针对由h e u i n g e r - r e i s s n e r 变分原理导出的以位移向量和应力张量为初始未知 量的平面线弹性混合元问题在矩形剖分网格上提出一簇协调的混合有限元格式利用混 合有限元理论和二维空间中的弹性复形，我们分析了这些格式的稳定性并对位移向量和 应力张量分别给出了最优误差估计基于本文所构造的有限元空间我们建立了弹性复形 的离散形式。这也就表明本文所构造的应力有限元空间是h ( d i v , q ，s ) 空间的自然离散形 式最后，我们用一个交换图给出了弹性复形及本文所给出的其离散形式之间的关系 关键词：弹性复形，线弹性问题，混合元，协调元，矩形元 a b s t r a c t i nt h i sp a p e dan e wf a m i l yo fc o n f o r m i n gm i x e df i n i t ee l e m e n t so nr e c t a n g u - l a rm e s h e sa r ep r o p o s e df o rt h es t r e s s - d i s p l a c e m e n ts y s t e md e r i v e df r o mh e l l i n g e r - r e i s s n e rv a f f a f i o n a lp r i n c i p l ef o rt h el i n e a re l a s t i c i t yp r o b l e mi nt w od i m e n s i o n s b a s e d o nt h et h e o r yo fm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d sw i t ht h e e l a s t i c i t yc o m p l e x , w ea n a l y z e t h e i rs t a b i l i t ya n do b t a i no p t i m a le r r o re s t i m a t e sf o rb o t ht h es t r e s sf i e l da n dt h ed i s p l a c e m e n tf i e l d ad i s c r e t ev i s i o no ft h ee l a s t i c i t yc o m p l e xu s i n go u rf i n i t ee l e m e n t s p a c e si sa l s oe s t a b l i s h e d ，s h o w i n gt h a tt h ee l e m e n t sf o rt h es t r e s sf i e l da r en a t u r a l d i s c r e t i z a t i o no fh ( d i v , ( 2 ，s ) t h e nw e p r e s e n tt h e i rr e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h i sd i s c r e t e s e q u e n c ea n dt h eo r i g i n a lo n ei nac o m m u t i n gd i a g r a m k e yw o r d s ：e l a s t i c i t yc o m p l e x ；l i n e a re l a s t i c i t y ；m i x e dm e t h o d ；c o n f o r m i n g f i n i t ee l e m e n t ；r e c t a n g u l a re l e m e n t 目录 1 引言1号i 舀1 2 预备知识4 2 1 s o b o l e v 空间4 2 2 有限元方法理论7 2 3 混合有限元理论1 3 3 协调的混合有限元新格式1 6 3 1 记号说明1 6 3 2 平面线弹性问题1 7 3 3 最低阶格式的单元构造1 9 3 4 误差分析2 2 3 5 高阶元的推广3 1 4 弹性复形的离散形式3 4 参考文献3 7 个人简历在学期间发表的学术论文与研究成果4 0 致谢4 1 1 引言 混合有限元方法作为有限元方法的一个重要分支，在实际应用中突显出其独特的优 点首先，利用标准的有限元方法求解某些问题时，对试验函数空间的光滑度有较高的要 求，要构造协调的有限元空间要求单元上的形函数的次数较高，例如板弯曲问题但若引 入中间变量采用混合有限元方法求解，则可降低这种对光滑度的限制其次，有些问题的 初始未知量中并不包含有我们所关心的变量，要得到真正感兴趣的量还需要对初始未知 量的近似解作进一步的处理，这无疑降低了求解的精度，如本文所考虑的平面线弹性问 题，其有限元方法求解的过程中一般是以位移向量作为初始未知量，要得到应力张量还需 要对位移的近似解求导及应用广义的h o o k e 定律然而若使用混合有限元方法，位移向 量和应力张量将同时作为初始未知量进行求解，最终的误差分析也表明这样的求解方法 能使它们各自都得到最优误差估计此外，许多问题本身就只能用混合有限元方法，例如 s t o k e s 问题 然而，应用混合有限元方法求解问题也有其制约因素在用混合有限元方法时，通 常需要构造两个有限元空间，由混合元理论【1 3 ，1 4 】知，这两个空间不可以任意选取而要 相互兼容，即满足稳定性条件，这也决定着能否应用混合有限元方法成功地求解问题而 能否构造出稳定的混合元格式关键在于是否抓住了所考虑问题结构的本质特征，且构造出 离散格式使其充分反映原问题的结构特性以致能继承原问题的稳定性在很多情形下，由 原问题诱导出的微分复形链充分地展现出该问题的微分几何结构因此，近几年来微分复 形在构造和分析微分方程的数值解法中起到了至关重要的作用 本文所考虑的问题是平面线弹性基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理所得到的混合变 分问题，为这一问题构造有效的混合有限元格式绝非易事正如d o u g l a sn a r n o l d 在 2 0 0 2 年国际数学大会的报告中所言，”从2 0 世纪6 0 年代开始人们一直致力于弹性力学 问题的混合有限元方法，但四十余年的努力却始终未能得到任何以多项式空间作为形函 数空间的稳定的混合元格式”困难就在于应力张量的对称性要求，以及构造协调的混 1 合有限元格式时应力有限元空间需要满足的连续性条件为了绕过这些限制，前期的工作 主要采用了两种方法t 一种是对应力采用复合单元【6 ，2 0 ，2 3 ，3 2 】；另一种是使用其他的变分 原理导出混合变分形式，以减弱或完全去除应力张量的对称性限制【3 ，5 ，7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 一直到2 0 0 2 年，d o u g l a sn a r n o l d 和r a g n a rw i n t h e r 针对平面线弹性问题由 h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理导出的混合变分形式在【1 0 】中提出了第个对应力和位移未 知量在剖分中的任意单个三角形单元上都采用多项式空间作为形函数空间的稳定的混合 元格式，并将其推广到任意高阶在这篇文章中作者给出了平面线弹性问题所对应的弹性 复形的形式，基于此证明了该格式的稳定性同时在这篇文章中，作者指明为了得到协调 的应力有限元空间，用顶点函数值作为自由度是不可缺少的因此，这种混合元格式在每 个三角形单元上应力需要2 4 个自由度，位移需要6 个自由度。为了降低计算规模，他们 在【1 1 】中提出了个非协调混合元格式，经简化后在每个三角形单元上应力给出1 2 个自 由度，位移给出3 个自由度 此外，也有作者在矩形网格剖分下针对此问题给出稳定的混合元格式在这些格式 中，【1 2 】中所提出的格式是唯一的一簇协调的混合元格式但在【1 2 】中即使是简化后的 最低阶格式，在每个矩形单元上仍要求3 6 个应力自由度和4 个位移自由度，对于用计算 机实现来说，计算量的要求仍然是非常大的【3 3 】中构造的是非协调元格式，但在每个 单元上也要求1 9 个应力自由度和6 个位移自由度迄今为止，基于矩形网格剖分的最简 单的非协调元格式在【2 1 ，3 4 】中在每个矩形单元上，该格式要求正应力的形函数空间 是双线性多项式空间，剪应力的形函数空间为p 2 ( 的一 x l x 2 ，位移向量的形函数空间取为 ，、 r a v i a r t - t h o m a s 空间i 口+ ? 2i ，故在每个单元上，要求1 3 个应力自由度和4 个位移自 ic + 出1j 由度 本文针对该问题提出的一簇协调混合元格式是定义在矩形网格上的，其中的最低阶 格式与【2 1 , 3 4 】中最简单的非协调混合元格式密切相关事实上，在每个矩形单元上，对 于位移向量我们仍然采用r t 元作为形函数空间，而对于应力未知量我们所采用的多项式 空间则是【2 1 ，3 4 】中相对应多项式空间的扩充然而，这两种格式的本质区别在于，本文 所构造的是协调的因而，也更容易推广至任意高阶由于在每个单元上，该格式需要1 7 个应力自由度和4 个位移自由度，已是目前最简单的协调元格式如【1 0 】中所提及要构 2 造协调的混合元格式，用顶点函数值作为自由度是必不可少的但在本文的格式中并不要 求应力张量的所有分量的顶点函数值都作为自由度，只要求剪应力的顶点函数值作为自 由度我们利用平面弹性复形和混合元理论对新格式进行了稳定性分析，优化了由混合元 理论所得的误差结果，最终对应力和位移分别给出了最优估计最后我们还建立了与本文 的离散格式密切相关的弹性复形的离散形式，并指出它与原问题弹性复形之间的关系，进 一步说明本文构造的稳定的格式是对原问题的一种自然的有限元离散在我们所建立的 弹性复形的离散形式中还可看出c 1 有限元与h ( d i v ，q ，s ) 有限元之间的关系，从而再次印 证了构造有效的弹性力学混合元格式并非易事 本文的写作安排如下。 第二章：预备知识，给出本文所用方法的理论基础 第三章s 给出本文所构造的协调的混合元新格式，并对其进行了稳定性分析和误差估计 第四章：构建平面弹性复形的离散形式，分析了它与弹性复形之间的关系 3 2 预备知识 2 1s o b o l e v 空间 s o b o l e v 空间是现代偏微分方程( p d e ) 理论研究的基础之一，为保证p d e 的数值解 法的可靠性，首先要求p d e 边值问题的提法是正确的，即要求解存在、唯一和对定解数 据连续依赖同时，s o b o l e v 空间理论也是有限元方法的理论基础之一在此，先给出 s o b o l e v 空间中的一些概念及重要定理 设础为竹维欧氏空间，q 为彤中的区域 用尸( q ) ( 1 p o o ) 表示一切定义在q 上按l e b e s g u e 积分的意义p 次可积函数所 组成的线性空间，其上的厂和g 将视为同一个函数，若厂和g 在q 上几乎处处相等，即 ， l p ( n ) = f lf | f ( x ) l p d x 叫， q 对它赋以范数 fi l l , c a ) - ( fi f ( x ) l pd x ) 1 r j q 时，工尸( q ) 是b a m c h 空间其中。l 2 ( q ) 是h i l b e r t 空间，当内积定义为g ) = 厶以出 l ”( q ) 表示一切在q 在上本性有界的可测函数组成的线性空间，按范数定义 明b ( 0 ) = 俗ss u p i f ( x ) l ， x 【】 它也是b a n a c h 空间 几个常用不等式 m i n k o w s l ( i 不等式1 p o o ，工函l r ( n ) ，则 厂+ gi l p ( q ) i i 厂i i l p ( o ) + gl i 工，( q ) h d l d e r 不等式1 p ，q 且1 p + 1 q = 1 ，f l z ( n ) ，g 邙( q ) ，则以l 1 ( q ) 且 i i 以i i l ，( o ) - - 1 且1 p + 1 q = 1 则 nnn 础y ( # ) ；( 卯) i = 1i = 1 i = 1 设“是定义在q 上的函数，“的支集定义为集合 s u p p “= z qiu ( x ) 0 如果s u p pucq ，则称“在q 中具有紧支集，记为s u p pc cq 称口= ( a l ，口。) 为栉重指标，其中口1 ，为非负整数口的长度川定义为 l a l = 口1 + 口2 + + 口以简记区域q 上的l a l 阶偏微分算子为d d = d ：1 d ：”，其中d i = 杀 几个重要的连续函数空间： ( 1 ) 空间c 卅( q ) 表示定义在区域q 上具有直到m 阶连续偏导数的函数组成的集合用 c ”( q ) 表示区域q 上无穷次连续可微函数的集合 ( 2 ) 空间c 州( q ) 是由c 卅( q ) 中满足本身及其川阶偏导数( 1 a i m ) 均在q 上有界和一致连 续的函数全体组成 ( 3 ) 设o 0 使得 i d a f ( x ) 一矿厂( ! ，) i k l x y l a , y x , y q 定义 c 芋( q ) = “c ”( c 2 ) l s u p p “c cq 定义2 1 1 ( 广义导数的定义) 设l 乙( q ) 表示区域q _ 1 ：6 0l e b e s g u e 局部可积函数空 间，“l 乙( q ) 如果存在口( q ) ，使得 上“d c p d x = ( 一1 正v c p d x ，v 妒四( q ) 则称v 是“的阶广义导数，并记为口= 伊“ 定义2 1 2 ( s o b o l e v 空间的定义) 设m 是非负整数，定义空间 5 它在范数定义 w 唧( q ) = u i d a u r p ( f 2 ) ，川优 ， 圳晰棚e 厶i 伊训p 出) ；，1 ， ， i a l 。( d 瑾“，l y v ) ， v “，z ，h ( q ) l a l m 时，是h i l b e r t 空间 s o b o l e v 空间中的嵌入定理深刻地刻画了s o b o l e v 空间与其他函数空间之间的关系 定义2 1 3 设x 和y 是两个线性赋范空间，如果x cy ，且恒等映射j ：x tx h 及 是连续的即存在常数c 使得 i h i l y c l l x l l x ，v z x 则称x 嵌入y ，记为xqy 又称f 为嵌入算予，c 为嵌入常数 s o b o l e v 嵌人定理 设m ，七是非负整数，1 p o o q 为r ”中具有l i p s c h i t z 连续 边界的有界区域，则 w m + 却( q ) q v 俨坷( q ) ，v 臼【1 ，n p ( n m p ) 】， w 切( q ) ，y q 【1 ，) ， c k ( q ) ， 6 当m n p 时 w m 护( q ) c - 一c ( q ) 的含义是对于任意的函数u w 州矿( q ) ，一定可以通过修改该函数在q 中的零测集上的函数值以使得修改后的函数( 记为疗) 属于c ( q ) ，并且存在常数m 满足 疗c ( o ) 5mi l u l l 坍，p ，o ， v u w m 矿( q ) 定义2 1 4 如果xqy 且嵌入算子j ：x y 是紧的，即设bcx 是x 中的有界 集，则在b 中存在在i l y 意义下收敛的子序列则称x 紧嵌入到y ，记为x y s o b o l e v 紧嵌人定理设m ，k 是非负整数，1 p 0 使得 i a ( u ，z ，) i m l l u l l l l v l l ， v “，z ，v ( 2 ) 口( ，) 是y 椭圆的，即存在常数口 0 使得 i a ( v ，口) i a l l v l l 2 ，v 口v ( 3 ) 厂是v 上的有界线性泛函，即存在常数l 0 使得 i 厂( z ，) isl i i v l l ，v v v 则存在唯一的“v 使得 a ( u ，v ) = 厂( 秒) ， v z ，v 注意到若口( ，) 是对称的，则抽象的变分问题( 2 2 1 ) 等价于下述极小值问题。求“v 使得 m ) = 黔他)z ，e y 8 其中 1 l ( v ) = 言口( z 7 ，刁) 一f ( v ) 厶 这也就是砒t z 方法的出发点一一最小势能原理而由g a l e r t i n 方法的出发点一一虚功原 理所得到的虚功方程一般就同( 2 2 1 ) 的形式 l a x - m i l g r a m 定理虽然给出问题( 2 2 1 ) 的解的存在唯性，却并未说明如何才能求 得该精确解事实上，人们通过长期的实践发现。实际中只有极少数的微分方程能够求得 其精确解，更多的时候是应用数值解法求其近似解，有限元方法就是其中一种在应用有 限元方法时，我们首先选取有限维的空间来逼近无穷维的h i l b e r r 空间y ，然后在h 上求解离散问题s 求u h v h 使得 a ( u h ，v h ) = f ( v h ) ， v 巩 ( 2 2 2 ) 该离散问题解的存在唯一性同样可由l a x - m i l g r a m 定理给出但注意到这里的并不是 任意选取的，而是由具有小支集的基函数张成的有限维空间，这也就是有限元方法相对于 r i t z 和g a l e r t i n 方法的改进之处 在描述n 之前，首先把区域q 剖分成有限个子区域k 并记兀= i k ik cq 1 称k 剖分单元，用p k = 1 学d i a m s 表示单元k 的最大内切球直径，h k = d i 锄收表示单元k 的直径把h = m k 叽a x h x 称为剖分直径，以它作为该剖分的参数在应用有限元方法时我 们要求剖分死满足t ( a 1 ) 对于每个单元k 死，要求k 是闭集，其内部文是非空的连通集 ( a 2 ) 单元k 的边界d k 是l i p s c h i t z 连续的 ( a 3 ) q = uk ( a 4 ) 对于任何两个不同的硒，k 2 死，要求岛n 岛= 0 ( a 5 ) 对于每个单元k 死，其边界d k 或者是相邻单元的边，或者是a q 的一部分 定义2 2 1 称剖分族死是正则的，若存在正常数c 使得其满足 墼cvk 死，h _ 0 p x 若还存在常数y ，使得 彘轨愀死， 9 则称该剖分族为拟一致的 在解离散问题时所取的有限维空间在有限元方法中称为有限元空间，它由一个三元 组( kp k ，x ) ( 称为有限元) 确定，其中 ( 1 ) k 表示剖分q 时所选用的单元，一般选取三角形单元、矩形单元和任意四边形单元 ( 2 ) 氏表示定义在单元k 上的某种多项式空间。且需要满足， ( a ) 当h 一0 时，保证离散问题的解在某种意义下收敛到原问题的解； ( b ) 使计算简单易行 ( 3 ) e k 是砍的对偶空间的一组基，可以唯一确定攻中的元素 定义2 2 2 称有限维空间 v h = 砚iv h i k p k ，v k f h 且满足某种边界条件 为有限元空间若v hce 则称之为协调元空间；否则，称为非协调元空间 求出了离散问题的解u h v h 后，我们仍需要知道近似解嘞和原问题的精确解“v 之间的差别到底有多大，这就需要进行误差估计下述的c 缸引理和s t r a n g 引理分别针 对协调元和非协调元给出了相应的误差估计 c 西a 引理设y 是i - i i l b e r t 空间，是y 的有限维子空间如果口( ，) 和，( ) 满足 l a x - m i l g r a m 定理的条件，“和u h 分别是连续问题( 2 2 1 ) 和离散问题( 2 2 2 ) 的解，则 l l u u h l i ci n f ，i l u 一砚l i ， 珊 其中常数c 与h 的选取无关 对于非协调元空间，即仁u 不可再用( 2 2 2 ) 作为逼近问题考虑问题：求u h h 使得 a h ( u h ，巩) = f ( v h ) ， v v h h ， ( 2 2 3 ) 其中，a h ( u h ，? g h ) = ea ( u h l k ，v h k ) 对于协调元空间hcv 口( ，) 的n 椭圆性可直接继承口( ，) 的y 椭圆性但在非协 调元空间上，这种继承性已不复存在，需给出如下假定。设”是n 上的范数，且锄( ，) 满足 a h ( w h ，v h ) i l v l l l w h l l hi l 砚，v w h ，v h + v 1 0 i 口h ( 口h ，v h ) l a l l v h l l i ，v v a v h 如果厂也是n 上的有界线性泛函，则由l a x - m i l g r 锄定理知，问题( 2 2 3 ) 也存在唯一 解 s t r a n g 引理设y 为h i l b e r t 空间，是有限维空间，口( ，) 和厂( ) 满足l a x m i l g r a m 定理的条件，锄( ，) 和厂( ) 也满足上述假定条件，u 和蝴分别为( 2 2 1 ) 和( 2 2 3 ) 的解， 则有 1 u - - u h 0 使得 日蒜) 忡+ q 徊c ( q ) 1 徊，v 口胪1 矿( q ) ， 其中r 为k 次多项式空间 b r a i n b l e h i l b e r t 引理设q 具有h p s c h i t z 连续边界，线性泛函f ( w 2 + 1 矿( q ) ) ， k 0 ，p 【1 ，+ ) ，具有性质 f ( p ) = 0 ，v p p k ( n ) ， 则有 l 厂( 口) i c ( q ) 岍i ( w “1 ，( q ) ) ，+ 1 棚， y v w k + 1 矿( q ) ， 其中i | ( 咖t 嘞，= 饨w 。：甚川。，币锭暑 仿射等价有限元之间的s o b ，o l e v 半范数的关系s 引理2 2 3 设q 和q 是仿射等价的，即存在可逆的仿射变换f ：_ q 使得 f ( 2 ) = b 2 + b = x q ， v 2 q 定义 v ( x ) = 秒0 f ( 殳) 当移( 2 ) 如果z ，w 卅矿( q ) ，则有移w 御( q ) 且 i 移l 州，柏c 1 bi i 州i d e t b i 一抽l m 矿，q 类似有， l 移i m 神c 2 b 一1 卅 d e t b ；l o i 蜥础 其中的正常数c 1 ，c 2r - 与班，托有关，b 的模定义为i ib 忙蛊p o 挚 引理2 2 4 对b 和b - 1 的模有如下估计， i l b 万h ，l i b - 1 吕 插值逼近定理设m ，k 为非负整数，1 p ，q 在区域上成立 w k + 1 矿( ) qw 小，9 ( ) ， 算子n z ( w h l 护( q ) ；w m 田( q ) ) 满足 n p = p ，即r ( q ) 又设q 与q 仿射等价，令o - tz ，) = n 以则 i v - i - i v 皿 0 使得 i a ( v ，z ，) i m xi i z ，i f h1 1 w l l n ，v v ，w h b ( ，) 是h m 上的连续双线性型，且存在常数m 2 0 使得 渺以日) ism 2i i v lj ni i q lj m ，v v h ，v q m ( 2 ) 口( ，) 在z z 上是强椭圆的，即存在常数口 0 ，使 a ( v ，z ，) a l l v l l 刍， v v z ( 3 ) 扫( ，) 在hxm 上满足b b 条件，即存在常数卢 0 ，使 s u p v a - 韶u i i h 划吲i m ，v 吁m i i 则问题( 2 3 1 ) 存在唯一解( “，p ) h m ，且满足 ui i n + vi i v 0 ，使 a ( v h ，v h ) a l i v h l l 刍， y v h h h ( 5 ) 扫( ，) 在xm h 上满足离散b b 条件，即存在常数卢 0 ，使 溜等矧川q a m , v q hem h 则有如下误差估计 i i u u h l l h + l i p p i l a 冬c ( 聪陋一仇i l h + 渤。l i p q v h t h a t , a - - m h h l i m ) ， 其中常数c 只依赖于舀，声和m 1 ，m 2 注意到z h 和z 之间没有必然的包含关系以及连续问题满足b b 条件时离散问题是 否满足离散的b b 条件仍然未知，故而在用混合元方法解决问题时，上述各条需逐一验 证 ( 2 ) 和( 3 ) 称为原问题的稳定性条件，( 4 ) 和( 5 ) 称为离散问胚的稳定性条件 1 5 3 协调的混合元新格式 3 1 记号说明 本文中用到一些特殊的函数空间和算子，本节将对其定义和记号做出说明 设丁cr 2 是( z 1 ，z 2 ) 平面中的区域移：t _ r 2 是向量值函数，z ，= ( z ，1 ，v 2 ) t ，定义口 的梯度算子 定义对称的张量矩阵 g r a d v = e ( 刀) = 三【胛如+ 删t 】- 如1 a x l 0 3 0 2 如1 a v l 诎2 a 现 面1 d x l 1 2 ( 菱+ 骞， 、缸2 孤1 7 兰2c 差+ 骞) 、a x 2 l a x l 。 面2 跳 若z ，表示位移向量，那么e ( v ) 就表示应变张量 设s 是全体2x2 对称张量矩阵组成的线性空间，其中内积定义为 2 “) = 删= 妒玎 i , j = l 定义f ：t _ s 的散度算子是 d i v c = 等+ 等d x ld x 2 下0 3 t 2 1 + 孥 巩1o k 2 用n k ( t , 均表示定义在t 上，值域包含在有限维空间x 中且直到k 阶导数都在 l 2 ( t ) 中的全体函数所组成的空间，x 一般取成s 或r 2 若x 取成r ，则略去不写 起( t ) ( 七1 ，k 2 取非负整数) 表示多项式函数空间，其中的每个多项式关于自变量x 1 的次 数不超过七1 次，关于自变量x 2 的次数不超过也次，且约定p 一1 ，一1 = ： 0 1 定义空间h 似f 巩l s ) 为 h ( d i v , t , s ) = t ：t sif l 2 ( t , s ) ，d i v c l 2 ( t ，r 2 ) 1 1 6 赋以范数 i it | | h 似t 砩。= j 、1 i ；_ 1 琵i _ _ = ：_ i 丽，v t h ( d i v ，ls ) ， 可以证明h ( d i v ，l s ) 构成h i l b e r t 空间，当内积取为 c 训l - l ( d i v ) = j = 伽出+ f d i v r d 加以 v lv 3 2 平面线弹性问题 给定平面有界区域q ，考虑线弹性方程 加q ， 加q ， o n 砌 其中“咄洲z 凡位移悯和口= 匕芝) c 应力张量确同为初始未知量， = 圻，五) t 是已知外力，弹性矩阵a = a ) ：s _ s 对于任意的x q 是对称一致正定 的 线弹性问题基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的混合变分形式为t 求 甜) h ( d i v ，q ，s ) l 2 ( q ，r 2 ) 使得 i 口( 西t ) + 扫( 0 “) = 0 ，v t h ( d i v ，q ，s ) ， ( 3 2 1 ) i 扫( 田z ，) = g ( z ，) ，v v l 2 ( q ，r 2 ) 其中口t ) = 厶a 口：f 咄扫n 口) = 厶d f z ，t v d x ，g ( z ，) = j 】厂v d x 由【1 3 】知，问题 ( 3 2 1 ) 存在唯一解 设z , hch ( d i v ，q ，s ) 和ncl 2 ( c a ，r 2 ) 分别是用来逼近h ( d i v , q ，s ) 和l 2 ( q ，r 2 ) 的有 限元空间则对应的离散问题为。求( 锄，蝴) e x 使得 v “ c h ， ( 3 2 2 ) v v a h 下面将引入刻画平面线弹性问题结构特征的线弹性复形，在对本文所构造的混合元格 式进行分析时，它起到至关重要的作用为此，先介绍一个非常有用的算子，一一 1 7 m ， 邓 忙加 肌批 肛 o 以 = p d g “ = 砌 l v ， + 锄 d 酞 f 嘞 “ ，-i_ji-i a i r y 应力算子 j = ： 萨 掀 上 a 2 a x l a x 2 萨 a x l a x 2 沪 苏； 注意到在a q 上，当竹= ( 托1 ，n 2 ) 和t = ( t l ，t 2 ) 分别表示孤】的单位外法向量和单位切向量 且构成右手坐标系即( “，t 2 ) = ( - - n 2 ，r 1 1 ) 时，有 ( 肋y l n = 耄，( 胁f _ 一患， ( 3 2 3 ) 其中q c z ( f a ) 是标量事实上，因为 于是 和 ) 挖= ( 1 q ) n t ( t 1t 2 ) q q ) n 托= ( 靠，z 2 ) 沪目 巩； 沪q o x l a x 2 沪日 掀 z 萨吁 8 x 1 s x 2 8 2 q 8 x 1 8 x 2 沪日 嵋 萨吁 8 x 1 8 x 2 萨吁 缸； l 理1 y 1 2 f 2 - t l 瓦ak 夏8 q ) 如+ 瓦a l ( 似8 q 2 , f 1 一瓦8 。石8 q ) f 2 一夏a 。( 似a q l , f l a ，a q 、 历【嚣， a t8 q 一历【瓦 a ，8 q 、 鬲【瓦j af8 q 一鬲【瓦 = ( 一竹2打。) = ( t 2 一t - ) 1 8 a ，却、 磊【磊) a a q 。8 x l ( 衰 a f a q 、 瓦【磊j a f a q 一两【丽 沪碍 = 一丽磊， 0 3 2 q = 孬 为窿 ，i 、 i未2 西 0 _ p 1 ( q ) 三c * ( q ) 上c * ( q ，s ) 乌c 一( c 2 ，r 2 ) 一0 ( 3 2 4 ) 它是一个正合序列 另一个与之相似但对空间光滑性要求较低的正合序列是 0 _ p x ( n ) 三h 2 ( q ) 上h ( d i v ，q ，s ) 乌l 2 ( f 2 ，r 2 ) 一0 ( 3 2 5 ) 对于任意的整数j c ( k - 1 ) ，采用多项式空间所得到的正合序列是 。 - - * p l ( n ) j 凡珊s c 鳓( p k + 3 , k + lp k + 2 , k + 2 ) s 当( p k + 撕l , k + 2 1 ) 一。，c 3 2 6 ， 其中的( r p k 3 1 扇, h 惫皇) s 空间由满足民, k 2 t t 1 2 = t 2 1e , m p t 2 2e ，k 的全部对称 张量t = t l l ：兰 组成 3 3 最低阶格式的单元构造 令死为q 的一个正则的矩形剖分族，h 表示剖分的参数，即割分中所有单元直径的 最大值任取单元k 死，设k 以a i ( i = 1 ，2 ，3 ，4 ) 为顶点，( 砰，蠼) 为中心，且水平和竖直 边长分别为幼1 和2 h 2 , k 白( f = 1 ，2 ，3 ，4 ) 表示k 的介于顶点a i 与a i + l 之间的边 5 = a 1 ) 边e 上的单位外法向量和单位切向量分别用r l = 研1 ，n 2 ) 和t = ( - - r 1 2 ，r 1 1 ) 表示 在单元k 上定义 = ( 乏笔) s ，昧= ( 乏) ， 如 f e 浙 驯，昧- ( 黔 魄的维数是4 ，自由度选取为k 中两个内部节点处的函数值e k 的维数是1 7 事实 上。映射d i v ：z 之一屹是满射而魄在此映射下的原像集d i v - 1 ( 慷) = x ，所以x 的维数 是t d i m e r = d i m r 女一d i m 唯+ d i m n = 2 5 1 2 + 4 = 1 7 1 9 注k 的显式表达式是 一k ：= 榭，p 1 = 砖瑚) s 。 例题妻篙 ，( 耄毫) ，( 毒渤( 繁嘉) ) ， 这也就表明本文中所采用的应力有限元空间是【2 1 ，3 4 】中所采用的有限元空间的扩充 引理3 3 1 k 中的任一元t 都由下列1 7 个自由度唯一确定： ( a ) f e c f n vd s ，v 秒p 1 ( e ) ，( 8 个自由度) ， ( b ) f e r y t d s ，( 4 个自由度) ， ( c ) 下1 2 q i ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 ，( 4 个自由度) ， ( d ) f k 1 = _ 1 2 d x j ( 1 个自由度) f i g u r e1 ：应力张量和位移向量在单个矩形单元所取的自由度 证明由于e k 的维数与自由度的个数相同，故只须证明当 时，只有 f e c f 7 7 ) a s = 0 ，v 秒p ， 卜t a s o ， t 1 2 0 f ) = 0 ，f = 1 ，2 ，3 ，4 ， 小出一o f = 0 ，在k _ i z 2 0 ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 注意到在任一边ec8 k 上，t 托竹p l ( e ) 和t 托f p 2 ( e ) ( 3 3 1 ) 表明在e 上有t ，z 托= 0 ( 3 3 2 ) 和( 3 3 3 ) 则说明在e 上有t ，z t = 0 从而有 f 托i 积= 0 【3 3 5 j 当z ，k 时，由格林公式可得 上d i v z v 出一上州批+ 上伽吣v t e k 从( 坛) = 口( 2 舌) i 口r ) 和( 3 3 4 ) 、( 3 3 5 ) 可看出上述等式右端的两项积分都为 零由e x 的定义知，当t k 时，d i w v k 所以有 d i w = 0 存k 卜 根据序列( 3 2 6 ) 的正合性可知，存在q p 3 ，3 ( 购使得f = l q ，而且在相差一个线性函数的 意义下吁是唯一的于是，不妨设q 在顶点a l ，a 2 ，a 4 处为零由( 3 3 5 ) 和( 3 2 3 ) 中的等式 伽n = r 1 y l - 耄，豫t = 拈一蛊， 可得在k 的边界上，q 是线性函数，赛是常数 边e l 和e 4 相交于顶点a l 且q ( a 1 ) = ( q 2 ) = ( q 4 ) = 0 ，于是有q l ，= 0 和礼= 0 从而有 v q ( a 1 ) = 0 若用l f ( i = 1 ，2 ，3 , 4 ) ，表示边e i 所在的直线方程，则有l 2 1 q 和l 2 1 q ，故而存在 妒p 1 ，1 ( 的使得q = q 2 l 4 2 妒至此，显然在顶点a 2 上也有q ( a 2 ) = 0 和v q ( a 2 ) = 0 ，这就表明 l 2 2 1 q 同理，有l 2 l q 所以，磙是q 的一个因式，其中b k = l 1 l 2 l 3 l 4 然而，q p 3 3 ( 均，则 必有q = 0 引理3 3 1 得证 对应于剖分死定义位移有限元空间： 玩= fz ，l 2 ( q ，r 2 ) iz ，j x v k ，v k 7 l 定义应力有限元空间为t e = t f = 1 1 1 ：兰) r c q ，s ，i tl k e k ，v k 7 l ， 引理3 3 2 2 5 】 7 h ( d i v ，q ，s ) 的充分必要条件是在任意两个相邻单元的交界线上t 扎 连续，即在任意两个相邻的单元k 1 和憨的交界线8 k 1na 憨上成立 z l o k l m 憋打1 = t l 诋旧杨n 2 ， 2 1 此处。托1 和玎2 分别是单元硒和砭的单位外法向量 由引理3 3 2 和( 3 3 5 ) 知f - , hch ( d i v ，q ，s ) 是协调元空间 3 4 误差分析 引理3