（计算数学专业论文）周期时变种群系统研究及应用.pdf

摘要 脉冲动力系统是微分方程，动力系统，控制理论等几个主要的数学分支中最年轻但 可能又是目前最有吸引力的几个研究领域之一脉冲微分方程比相应的微分方程理论丰 富，而且它更加精确和实际的刻画了许多自然现象在理论上，我们结合了离散动力系 统，连续动力系统和脉冲动力系统的的相关理论系统的研究所提出模型的各种动力学行 为同时，脉冲动力系统为我们提供许多研究课题在种群动力学中有许多自然现象( 种 群的出生，死亡是季节性的离散性) 和人为因素( 人类对可更新资源周期性的开发) 的作 用可以用脉冲来描述，而脉冲微分方程恰好是离散干涉的模型的一个自然的一个描述 本文以脉冲微分方程的理论为基础，建立带有脉冲效应的种群动力系统模型，系统地分 析了所给出的时变模型的各种动力学行为，并利用数值模拟的方法研究系统的各种复杂 现象： 第二章我们分析了一类状态依赖脉冲微分方程裳= f ( x ，可) ，害= g ( x ，g ) ， a x = 一p x ，a y = b 我们得到了关于这类脉冲微分方程周期解和稳定性方面的一些有用的结 论作为应用我们可以分析一维周期脉冲脉冲微分方程可以转化为这类方程来处理我 们应用这一结果分析了单种群周期脉冲收获的最大承受生产进一步，我们分析了一个 单种群阶段结构的收获模型的周期解的唯一性和稳定性， 第三章我们提出了自治和周期非自治的价值规律控制下的单种群收获模型应用d u - l a c 函数我们证明自治系统的正平衡态的全局稳定性对于周期非自治系统应用度理论和 连续性定理，我们证明了周期系统的正周期解的存在性，最后应用l y a p u n o v 泛函，我们 得到保证周期解唯一性和稳定性的充分条件 第四章我们根据癌细胞和正常细胞的竞争关系结合药物的扩散模型提出了药物注射 治疗模型。我们证明了一种情形时系统有稳定的边界周期解，而在另外的情形系统有稳 定的边界周期解，我们可以计算周期解的t - 周期平均的值可以证明这样的系统保持了 竞争系统的所有性质基于这些研究，我们提出了脉冲注射的有效线和中毒线并给出了 优化注射策略 第五章我们研究了食物链系统的顶端投放模型，利用f l o q u e t 定理和小参数扰动技 巧，我们得到了中级捕食者灭亡边界周期解脉冲周期的临界值利用脉冲微分方程的比 较定理研究了系统的一致持久生存的条件，数值模拟了这样简单的脉冲系统的复杂性。 我们利用脉 巾微分方程的比较定理和f l o q u e t 理论及分析方法研究了脉冲效应对捕食系 统的动力系统的性质数值模拟表明脉冲带来许多复杂的现象，如：周期震荡，混沌，周 期分支，半周期分支等 第六章我们研究了一个周期脉冲输入的m o n o d 型c h a m o s t a t 系统，这个系统包含 了脉冲输入的营养基，食饵和捕食者我们首先讨论了营养基食饵子系统的周期解的全 局稳定性。我们应用了标准的分支理论，证明了在分支参数不大时系统有稳定的正周期 解。并且数值模拟了这个系统的分支和复杂性 关键词：脉冲微分方程，时变种群动力系统，全局稳定性，灭绝，持续生存，复杂性 1 1 a b s t r a c t i m p u l s i v ed y n a m i c a ls y s t e mi sp o s s i b l eo n e o ft h em o s ty o u n g l ya n dm o s ta t t r a c t i n g f i e l d si nm a i nm a t h e m a t i c a lb r a n c h e ss u c h 嬲d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，d y n a m i c a ls y s t e m s ， c o n t r o lt h e o r i e se t c t h et h e o r yo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n si sn o to n l yr i c h e rt h a n c o r r e s p o n d i n gt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sb u ta l s or e p r e s e n t sam o r en a t u r a lf r a m e - w o r kf o rm a t h e m a t i c a lm o d e l l i n go fm a n yr e a lw o r l dp h e n o m e n a t h e o r e t i c a l l yw eu s ea c o m b i n e da p p r o a c ho fd i s c r e t ed y n a m i c s ，c o n t i n u o u sd y n a m i c sa n di m p u l s i v ed y n a m i c s t og l o b a l l yi n v e s t i g a t ed y n a m i c sb e h a v i o r a ts a m et i m e ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n p r o v i d e su sw i t hm a n yv a l u a b l er e s e a r c hs u b j e c t s m a n yr e a lw o r l dp h e n o m e n a ( b i r t h sa n d d e a t h so fp o p u l a t i o na r es e a s o n a lo rd i s c r e t e ) a n dh u m a na c t i o n ( p e r i o d i ce x p l o i t a t i o no f h u m a nf o rr e n e w a b l er e s o u r c e s ) d oe x h i b i ti m p u l s i v ee f f e c t s ，i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a - t i o n sp r o v i d ean a t u r a ld e s c r i p t i o nd e s c r i p t i o no fm o d e lo fd i s c r e t ep e r t u r b a t i o n s i nt h i s p a p e r ，b a s e do na l li m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h e o r y , w ei n t r o d u c en o n a n t o n o m o u s p o p u l a t i o nd y n a m i c a lm o d e l s t h ev a r i o u sd y n a m i c a lb e h a v i o ro ft h ep o p u l a t i o nm o d e l s a r eg l o b a l l ys t u d i e da n dw ec a r e f u l l ya n a l y z et h ec o r n p l e x i t yo ft h eg i v e ns y s t e m s i nt h i s p r o c e s s w eu s es o m em a t h e m a t i c a ls o f t w a r e s 。m a p l ea n dm a t l a b e l 1 i nc h a p t e r2 ，w ea n a l y z eak i n do fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( i d e ) ，w h i c ha r e 害= f ( x ，g ) ，象= g ，y ) w i t ht h ei m p u l s i v ee f f e c t z = - p z ，f = b s o m e v e r yu s e f u lt h e o r e m sa b o u tt h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n ds t a b i l i t i e sh a v eb e e ng i v e n w ec a nf i n dt h a tak i n do fp e r i o d i c a l l yt i m e d e p e n d e n ti d ec a nb ec h a n g e di n t o t h i sk i n ds t a t e d e p e n d e n ti d e ，a sa p p l i c a t i o n s ，w ew a n tt os t u d yt h em a x i m u m s u s t a i n a b l ey i e l d so fs i n g i ep o p u l a t i o nm o d e l sw i t hp e r i o d i c a l l yi m p u l s i v ec o n s t a n t h a r v e s t i n g f u r t h e r m o r e ，w ew a n tt ou s et h e s er e s u l t st os t u d yt h eo r d e r - 1p e r i o d i c s o l u t i o n sa n ds t a b i l i t i e so fa s i n g l ep o p u l a t i o nm o d e lm o d e lw i t hs t a g es t r u c t u r ea n d w i t ht h em a t u r eb e i n gi m p u l s i v e l yp r o p o r t i o n a l l yh a r v e s t e da n dt h ei m m a t u r eb e i n g i m p u l s i v e l ya d d e dw i t hc o n s t a n t 2 i nc h a p t e r3 ，w ei n t r o d u c ea na u t o n o m o u sa n dan o n a u t o n o m o u sh a r v e s t i n gs y s t e m s u n d e rp r i c el a w sc o n t r o l ，m o d e l i n gt h ed y n a m i c so fh a r v e s t i n ga n dr e n e w a b l er e s o u r c ed e v e l o p i n gb e h a v i o r s u s i n gt h ed u l a cf u n c t i o nc a np r o v et h ea u t o n o m o u s s y s t e m sp o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b l e t h e n ，s u f f i c i e n tc r i t e r i a a r ee s t a b l i s h e df o rt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h en o n a u t o n o m o u s 1 1 l s y s t e m t h em e t h o dt ot h ee x i s t e n c ep r o b l e mi sb a s e do nt h ec o i n c i d e n c ed e g r e ea n d t h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e m u s i n gl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，as e to fs u f f i c i e n tc o n d i t i o n s a r eo b t a i n e dt og u a r a n t e et h eu n i q u e n e s sa n dg l o b a ls t a b i l i t yo ft h en o n a u t o n o m o u s s y s t e m 3 i nc h a p t e r4 ，w ec o n s t r u c tam o d e lo fi m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n st od e s c r i b et h e e v o l u t i o no fap o p u l a t i o nw i t hn o r m a la n dt u m o rc e l l sw h i c hi sa c t e db ym e d i c i n e c o m p e t i t i o na m o n gt h et w ok i n d so fc e l l si sc o n s i d e r e d w ep r o v ei no n ec a s e ，t h e s y s t e mh a ss t a b l eb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o na n di no t h e rc a s e ，i th a sg l o b a l l ya s y m p t o t i c a lp o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o na n dw ec a nc a l c u l a t ei t st p e r i o d i ca v e r a g e b a s e d o nt h i ss t u d y i n g ，w ep r o p o s eas e to fp l a n st od e t e r m i n et h e r a p e u t i ct h r e s h o l da n d h a r m f u lt h r e s h o l da n dc o m b i n i n gt w oc l a s s i c a lm e d i c i n ed i s t r i b u t i o nm o d e l s ，w eg i v e o u tt h eo p t i m a li n j e c t i n gs t r a t e g y 4 i nc h a p t e r5 w ei n v e s t i g a t eat h r e es p e c i e sf o o dc h a i nw i t hp e r i o d i ci m p u l s i v ee f f e c t o nt h et o pp r e d a t o r u s i n gt h ef l o q u e tt h e o r ya n ds m a l la m p l i t u d ep e r t u r b a t i o n s k i l l s ，w es h o wt h a tt h e r ee x i s t sag l o b a l l ya s y m p t o t i c a l l ys t a b l em i d l e v e lp r e d a t o r e r a d i c a t i o np e r i o d i cs o l u t i o nw h e nt h ei m p u l s i v ep e r i o di sl e s st h a ns o m ec r i t i c a l v a l u e f u r t h e r ，w ep r o v et h a tt h es y s t e mi sp e r m a n e n ti ft h ei m p u l s i v ep e r i o di sl a r g e r t h a ns o m ec r i t i c a lv a l u e f i n a l l y , n u m e r i c a ls i m u l a t i o ns h o w st h a tw i t hi n c r e a s i n g o ft h ei m p u l s i v ev a l u e ，t h es y s t e me x p e r i e n c e sac o m p l e xp r o c e s so f ( 1 ) c y c l e s ，( 2 ) p e r i o d i cd o u b l i n g ，( 3 ) p e r i o d i ch a l t i n ga n d ( 4 ) c h a o t i cb a n d sw i t hp e r i o d i cw i n d o w s 5 i nc h a p t e r6 ，w ei n t r o d u c ea n ds t u d yam o d e lo fap r e d a t o r p r e ys y s t e mw i t hm o n o d t y p ef u n c t i o n a lr e s p o n s eu n d e rp e r i o d i cp u l s e dc h e m o s t a tc o n d i t i o n s ，w h i c hc o n t a i n s w i t hp r e d a t o r ，p r e y ，a n dp e r i o d i c a l l yp u l s e ds u b s t r a t e w ei n v e s t i g a t et h es u b s y s t e m w i t hs u b s t r a t ea n dp r e ya n ds t u d yt h es t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n s ，w h i c ha r e t h eb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o n so ft h es y s t e m t h es t a b i l i t ya n a l y s i so ft h eb o u n d a r yp e r i o d i cs o l u t i o ny i e l d sa ni n v a s i o nt h r e s h o l d b yu s eo fs t a n d a r dt e c h n i q u e so f b i f u r c a t i o nt h e o r y , w ep r o v et h a ta b o v et h i st h r e s h o l dt h e r ea r ep e r i o d i co s c i l l a t i o n s i ns u b s t r a t e ，p r e ya n dp r e d a t o r f u r t h e r m o r e ，b yc o m p a r i n gb i f u r c a t i o nd i a g r a m s w i t hd i f f e r e n tb i f u r c a t i o np a r a m e t e m ，w ec a ns e et h a tt h ei m p u l s i v es y s t e ms h o w s t w ok i n d so fb i f u r c a t i o n s ，w h o s ea r ep e r i o d d o u b l i n ga n dp e r i o d h a l t i n g k e yw o r d s ：i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， s y s t e m ，e x t i c t i o n ，g l o b a ls t a b i l i t y , p e r m a n e n c e ： n o n a u t o n o m o u sp o p u l a t i o nd y n a m i c a l c o m p l e x i t y 记号 本文采用如下通用记号： n ，r ，分别表示正整数集合，实数集 i p 表示n 维的实欧氏空间 r + 表示非负实数集 ，一一d d t ( n ，卢) 表示任意( 开，闭，半开半闭) 区间 第一章绪论 在自然界中有许多现象具有周期性，比如：季节的变更，食物的供给，侯鸟的迁徙 等等这些周期性变化的现象一般的可以分成两种情况来描述。一种是用连续的周期变 化系统来描述。还有一种周期变化的情况用连续周期系统来描述就不够准确了，例如对 于一个在短暂时间内受到干扰的实际演变的过程；对于这种情况，我们从数学上来描述 它时，往往忽略这个短暂的时间而将干扰处理为瞬时的。这种变化过程广泛存在于各种 应用领域中，如理论物理，生物技术，经济控制，药物动力学，种群生态学等等分析这 样的解不连续的演变过程，很自然的就涉及到研究不连续的动力系统，或称之为脉冲微 分方程系统 近年来，由于应用上的需要，脉冲微分方程系统研究不断深入，形成了一套基本理 论文献 1 ，2 ，3 给出了”鞭打”现象存在和不存在的条件，文 4 研究解的存在性， 唯性和连续性，文 5 ，6 ，7 】研究了解对初值和参数的连续依赖性和可微性，文献【8 ，9 ， 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，1 4 】研究解的振动性，文献 1 5 给出了极限环的存在性，文 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ， 2 0 ，2 1 ，2 2 研究了周期解的存在性和稳定性，除此之外还有许多作者对脉冲微分方程系 统的理论进行总结【2 3 ，2 4 ，2 5 ，2 6 但是，这些研究往往平移一些连续动力系统的一些结 果，在实际中很难应用所以，尽管许多学者为脉冲微分方程系统在各领域应用做了许 多工作，但脉冲微分方程在种群动力系统的应用的研究结果较少，主要代表性的研究工 作有：疾病的免疫接种【2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 ，3 2 ，种群生态学【3 3 ，3 4 ，3 5 】，癌细胞的化学治 疗 3 6 ，3 7 ，3 8 】，生育脉冲【3 9 ，脉冲控制 4 0 】，脉冲收获【4 1 】和资源的脉冲输入1 4 2 种群动力学中有很多自然现象或人为因素都是脉冲的，如，某些鱼类，鸟类和动物 的产卵或生育是季节性的【3 7 ，一些物种的迁移等在可更新资源的开发和利用中，在农 业和林业的病虫害的防治中，用定期喷洒杀虫剂或定期投放天敌的方法防治害虫，把连 续的变成离散的脉冲行为所以，本文根据种群动力学中一些脉冲现象和脉冲在种群动 力学中实际意义，建立带脉冲效应的种群动力系统，系统地研究脉冲效应对两种群捕食 系统和三种群捕食系统的种群的持续生存，灭绝性以及动力系统的复杂性 下面给出本文所用到的基础知识。 1 1 脉冲微分方程 考虑下列微分方程系统描述的一个变化过程： ( 1 ) 一系列微分方程 。俅) = ，( t ，石( t ) ) 1 大连理工大学博士学位论文 其中，：r + n 毋，n c 咒“是开集 ( 2 ) 集合m ( t ) ，n ( t ) cn ，t r + 以及 ( 3 ) 算子a ( t ) ：m ( t ) 卜n ( t ) ，t r + 令x ( t ) = x ( t ，t o ，x o ) 表示系统( 1 1 1 ) 过初值( t o ，z o ) 的解则演变过程如下；点 p t = ( t ，。( t ) ) 从它的起点p r o = ( t o ，x o ) 沿着曲线 ( t ，z ( t ) ) it t o 运动到时刻h ( t 1 t o ) ， 点p t 碰到集合m ( t ) 此时，算子a ( t ) 将点b 。= ( t ，x ( t 1 ) ) 作用到p t + = ( t 1 ，z ) n ( t 1 ) ， 其中。 = a ( t 1 ) x ( t 1 ) 接下来，点只沿着系统( 1 1 1 ) 过初值r = ( t ，z ) 的解曲线继 续运动，直到下一时刻t 2 t l 又遇到了集合m ( t ) 于是点b 。= ( t 2 ，z ( 屯) ) 又被作用到 点只 = ( t 2 ，石手) n ( t 2 ) ，其中对= a ( t 2 ) x ( t 2 ) 点b 又同样沿着系统( 1 1 1 ) 过初值 ( t 2 ，z 丰) 的解x ( t ) = x ( t ，t 2 ，。 ) 继续运动只要系统( 1 1 1 ) 的解存在，这一演变过程就 能继续下去 利用( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 所描述的一个演变过程被称为脉冲微分方程系统，点p t 的运动所描 述的曲线和由此所定义的曲线函数分别称为这个脉冲微分方程系统的积分曲线和解 脉冲微分方程系统与连续微分方程系统有很大的不同，它的解可以是： ( 1 ) 连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 不交或算子a ( t ) 的不动点； ( 2 ) 有有限个第一类间断点的分段连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 交有限个 a ( t 】的非不动点； ( 3 ) 有可数个第一类间断点的分段连续可微函数，如果积分曲线与m ( t ) 交可数个 a ( t ) 的非不动点 点b 碰到集合m ( t ) 的时刻称为脉冲时刻，并且规定脉冲微分方程系统的解在脉冲 时刻是左连续的，即： z ( ) = 。1 1 璎z ( “一h ) = 茹) 自由选取描写脉冲微分方程系统的三大关系( 1 ) ，( 2 ) ，( 3 ) 可得到较为常用的三种脉冲 微分方程系统： i 固定时刻脉冲的脉冲微分方程 集合m ( t ) 表示一系列平面t = t ，且t 是满足“- - + o o ，k - o 。的时间序列算子 a ( t ) 只有在t = t k 有定义，算子序列a ( k ) 满足： a ( k ) ：n _ n ，。 a ( k ) x = z + 厶( z ) ， 其中厶：q + q 相应地，集合n ( t ) 在时刻t = t k 有定义，因此n ( k ) = a ( ) m ( ) 在 这种情况下，固定时刻发生脉冲的脉冲微分方程系统的数学模型表示为： 蓉熟舷( t ) ) ，, 川t 4 t k 妊m ( 1 1 2 ) 其中a x ( t k ) = 。( t j ) 一z ( t k ) ，z ( t 毒) = ；i m x ( t k + ) i i 脉冲时刻变化的脉冲微分方程 2 第一章绪论 曲面序列是由鼠：t = 住( z ) ，女= 1 ，2 ，组成的，其中n ( z ) 满足“( z ) n + 1 ( ) ，l i m 亿( o ) = o o 则有下列的脉冲微分方程系统： 羞熟蹴锚譬缈刨 ( 1 ) 脉冲时刻变化的脉冲微分方程系统( 1 1 3 ) 相对于固定时刻脉冲的系统( 1 1 2 ) 要复杂一 些，其脉冲时刻要依赖方程“= 亿( z ( “) ) ，k n 的解因此，不同初始位置出发的解可 能具有不同的不连续性；一个解可能碰到同一曲面& ，称之为”鞭打现象”；不同的解还 有可能从某一时刻重合在一起，这称为”合流现象” i i i 自治脉冲系统 假设集合m ( t ) = m ，n ( t ) = n ，及算子a ( t ) = a 都与时间t 无关a ：m 卜定 义为a x = o + j ( 嚣) ，其中i ：n 卜q 则脉冲系统为： 丢龆芦蹈黜莲铬 ( 1 ，4 ) 当任何解x ( t ) = z ( t ，0 ，x o ) 在某一时刻t 碰到集合m 时，算子a 将m 上的点x ( t ) 作用到上的点。( 亡+ ) = 。( t ) + ( z ( t ) ) 由于系统( 1 1 4 ) 是自治系统，点z ( t ) 的运动可 沿着系统( 1 1 4 ) 的轨线在集合q 中来考虑 本文描述时变生态种群系统解的渐近性态，所涉及到脉冲系统均为固定时刻的脉冲 微分方程系统 1 2 脉冲微分方程解的存在性，唯一性，延拓性 本节，我们给出脉冲微分方程解的存在性，唯一性，延拓性的一些结果，这些结果 主要引自文献 2 3 ，2 4 】 对于具有初始条件的脉冲微分方程系统： ，魏芦鼢量凇胜 ( 1 。，) lz ( t j - ) = x 0 ， 其中，：r q 卜舻，厶：q 卜r “，h ：q 卜r ，仉( z ) 0 使8 巧( 咖( s ) ) ，t s 0 ，使得当0 ( ) 时有有限极限f ( s ，) 注释1 2 5 ：如果初值问题( 1 2 1 ) 所对应的连续系统 z 0 ) = ，o ，g ( t ) ) ，x ( t o ) = 盘。 的解是唯一的，贝f j 初值问题( 1 2 1 ) 的解也是唯一的例如：当，在( t o ，z o ) 的某个邻域 关于z ( 局部) l i p s c h i t z 连续，结果成立 如果初值问题( 1 2 ，1 ) 有唯一解，我们就将其记为z ( t ，o ，z o ) ，下面更为详细考虑固定 时刻脉冲的微分系统： 蓉黥芦黜毫冲刨 ( 1 r 埘) 定理1 2 6 ：假设函数，在集合，如+ 1 q ( n ) 上是连续的，并且对于所有 k n 和x n ，当( t ，y ) - ( t k ，z ) ，t t k 时，( t ，y ) 存在有限极限则对于每一个点 ( t o ，x 0 ) 日n ，存在卢 t o 使初值问题( 1 2 1 ) 有解。：( t o ，卢) 卜兄“如果，在 r + n 的关于z ( 局部) l i p s c h i t z 连续，则解是唯一的 给定脉冲微分系统( 1 1 2 ) 的解( t ) ，下面给出其延拓性 定理1 2 7 ：假设下列条件成立 1 假设函数，在集合( “，t k + 1 n ( n ) 上是连续的，并且对于所有k n 和 耋n ，当( t ，g ) - ( 如，霉) ，t “时f ( t ，# ) 存在有限极限； 2 函数西：( q ，卢) 卜+ f p 是系统( 1 1 2 ) 的解； 3 ( a ) 对每一个k n ，有如，( b ) 对某些k ，目+ 厶( 珐有= t e 条件 4 第一章 绪论 ( a ) ，( b ) 有一个成立 则西( t ) 解可以延拓到卢的右边当且仅当存在极限 。骧2 目 定理1 2 8 ：假设下列条件成立z 1 定理1 2 7 中条件1 成立； 2 函数，关于x 在r + n 上局部l i p s c h i t z 连续； 3 对所有k n 和q n ，有卵+ 厶( 叩) n 则对任何点( t o ，z o ) ，初值问题( 1 2 1 ) 在某区间( t o ，) 上存在唯一解且不能延拓到u 的 右边 如果定理1 2 8 的条件成立，给定( t o ，x 0 ) r + q ，则解x ( t ，t o ，x 0 ) 有定义的形如 ( t o ，u ) 的最大区间，记为j + = j + ( t o ，x o ) 定理1 2 9 ：假设下列条件成立： 1 定理12 8 的条件成立； 2 ( t ) 是初值问题( 1 2 1 ) 的解； 3 存在紧集qcn 使得t j + ( t o ，z o ) ，有西( t ) n ， 则p ，x 0 ) = ( t o ，o 。) 在种群动力学中，解的最大区间是( t o ，0 0 ) 1 3 脉冲微分方程解的仅性判别和稳定性的概念 设j r ，记p c ( j , r ) 是满足以下条件的函数集合：函数妒：j _ r 在t z t 处连续，点t k j 是函数的第一类不连续点且该点处的左极限存在记p c i ( zr ) 是满 足妒：j _ r 且导数等p c ( j , r ) 的函数集合t - 周期函数构成b a n a c h 空间如下： p c = 妒p c ( 0 ，t 】，r ) l 币( o ) = 妒( t ) ) ( 1 i 币l l p g = s u p f 妒( t ) l ：t 【0 ，卅) ) p 四= 妒p c i ( o ，邪，r ) i 妒( o ) = 妒( t ) ) ( | | 妒i i p 磷= m a z 删砂j i p 曲，i i 妒l i ，璐 ) 我们用c 譬表示连续的丁周期函数的空间下面我们给出集合的仅性的判定 定义1 3 1 9 ，1 0 集合a 在【0 ，丁 上是拟等度连续的，如果对任意e 0 ，存在6 o 使得当。ea ，ken ，t l ，t 2 h 一1 ，t k n 0 ，邪，且| t l t 2i 0 ，i = 1 ，2 ，n ) 系统( 1 1 2 ) 在r + q 上满 足解的存在唯一性条件且解的最大存在区间为 t o ，o o ) 设z ( t ) = x ( t ，t o ，x 0 ) ，z + ( t ) = z ( ，如，z s ) p c ( r + ，辅分别为系统( 1 1 2 ) 的任意释和一个固定解，满足z ( t 毒) = x 0 ，z + ( t 手) = z ； 定义1 3 3 若对任意初值z o 存在正常数m2m o ( 与x o 无关) ，使得当时间t 充 分大时有 m z ，( t ) m ， 则系统( 1 1 2 ) 称为是一致持续生存的 定义1 3 4 若对任意初值2 ；0 和某1 i 仉 l i m 。墨( f ) = 0 则( t ) 称为是灭绝的 定义1 3 。5 若对任意初值卫o ，均有 “l i m 。i 以0 ) 一z ：0 ) f = o ，i = 1 ，2 ，。，n ， 则矿( t ) 称为是全局吸引的 注释1 3 6 ：关于种群系统持久性的定义还有更多可见【4 8 ，4 9 ，5 0 】，脉冲微分方程的 稳定性的定义可见 5 1 ，5 2 ，5 3 ，5 a 脉冲微分方程在讨论系统的稳定性时的一个有效的方法是l i a p u n o v 函数由于脉冲 微分方程的解是分段连续的，所以脉冲微分方程要求其l i a p u n o v 函数是分段连续的即 可为此，我们定义k 函数集 y o2 y ：r + x 2 r + ，y 在( “，“十1 l x d 上是连续的并且y ( 。 ，z ) 2 ( 卜* 墨批 “v ( 。，) 存在， 定义1 3 7 设v y o ，则对( t ，x ) ( “，t k + l 】q 关于系统( 1 1 2 ) 的右上导数定义 为： 1 d + y ( t ，卫) = j _ i m 。+ s u p i v ( t4 ，z + ，( t ，。) ) 一y ( t ，z ) 6 第一章绪论 1 4 拓扑度理论与脉冲微分方程解的比较定理 1 拓扑度理论 m a w h i n 拓扑度理论中的连续定理在证明系统周期解的存在性中起到了非常重要的 作用，并且得到很好的应用在对脉冲系统的研究中，我们也将试图利用这一重要结论 来研究脉冲系统周期解的存在性为此，先叙述该结论，该结论的更详细的论述见文献 4 3 卜 定义1 4 1 设x ，z 是赋范向量空间l ：d o t a lcx - - + z 为线性映射，n ：x _ z 为连续映射，如果d i m k e r l = c o d i m l m l k e r l 定理1 4 2 4 3 】设n 是一个有界开集，n ：x _ z 是一个连续算子，并设在豆上 是三紧的l ：d o t a lcx - z 是一个指标为零的f r e d h o l m 算子，并且满足下列条 件： ( a ) 对任意的a ( 0 ，1 ) ，方程l x = i n x 的解满足z 邵n ； ( b ) 对任意的x k e r l n a q ，q n x 0 ； ( c ) b r o u w e rd e g j q n ，q n k e r l ，o ) 0 ，则方程l x = n x 在d o m l n 豆内至少存 在一个解 2 脉冲微分方程解的比较定理 定理1 4 3 2 3 ，2 4 】假设函数u ( ) p c i ( 0 ，) ，r ) 满足不等式 fu ( t ) f ( t ) w ( t ) + 9 ( t ) ，t t k ，t 0 ， u ( t 毒) a w ( t k ) + 肌，t = t k 0 ， ( 1 4 1 ) lu ( 0 + ) 岫 其中，( t ) ，g ( t ) p c ( j 0 ，) ，固， 0 ，g k 和u o 是常数( k = 1 ，2 ，) ，则对t 0 有 u ( t ) s 叫( 0 1 1 - i e 印( ，( t ) d s ) 0 礼 t + f tn k e z p i f ( r ) d r ) g ( s ) d s s t + 卫，乃e 印( f ( s ) d s ) g k o r i t n q 0 我们有 w ( t ) 叫( o ) 兀a e 印( j ：f ( t ) d s ) + 后兀 e 印( r ，( r ) 出) g ( s ) d s + 兀矗e 印( f ( s ) d s ) g k 0 7 k ( t7 k s q ( 考虑系统( 1 1 2 ) ，并且假设它满足下列条件： 0 t l t k t k 时，f ( t ，y ) 存在有限极限； ：r “卜舻 设9 ：r + 舻卜r + 满足， ( h ) ：9 在( 如，。 + 1 伊上是连续的并且对每一个z 酽，。，极限( 岫岩急一9 ( 。，口) 2 g ( q ，z ) 存在 定理1 4 4 1 0 】假设v k ，假设下列不等式成立 锣秘8 爿) 乏镞i 髟经岛 t ：# t ，k 。, k tt k n ( - a z ) 1y 0 ，z ( t + ) ) 吵。( y ( t ，击) ) = ，女， 、。 其中9 ：r + 皿一r 满足( 日) 且饥：日，卜墨是非减的，令r ( t ) 是下面标量脉冲微 分方程在 0 ，+ 。) 的最大解 i 筵爱，。 ( 1 t 3 ) 【札( o + ) = 札o ， 则v ( o + ，z o ) 冬“o ，进而 v ( t ，z ( t ) ) r ( t ) ，t 0 ， 其中x ( t ) = x ( t ，t o ，z o ) 系统( 1 1 2 ) 的任意解 定理1 4 3 中的k g 均是标量函数，若它们是向量函数，当g