（计算数学专业论文）数值积分的daubechies小波方法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) 是近年来国际上一个非常热门的前沿研究领域，是继 f o u r i e r 分析之后的一个突破性进展，它给许多相关领域带来了崭新的思想，提供了强 有力的工具，在科技界引起了广泛的关注和高度的重视。作为8 0 年代末期出现的时频 分析工具，小波变换在信号与图像处理等领域里己经得到了成功的应用，并凭借其自身 的诸多优点成为了j p e g 2 0 0 0 的标准。基于多尺度分析的尺度函数和小波函数很好的分 析特性和计算特性，充分利用这些特性以小波作为插值基函数进行插值，并由此得出插 值型求积公式，这种数值积分小波方法最近得到人们的很大的关注。 本文首先介绍了小波分析的发展及其理论中的经典问题多尺度分析和m a l l a t 算法。 其中包括了小波的定义，几类小波变换以及正交小波理论。还介绍了紧支撑小波， d a u b e c h i e s 小波，以及d a u b e c h i e s 小波的自相关函数。 其次，本文对小波插值理论进行了介绍。主要介绍了插值基函数的构造，借助于小 波多尺度分析理论，构造了以二分点上的插值多项式为基础的插值小波基函数，在插值 小波基上，函数在二分点上的值与小波系数建立了一一对应。 最后，在第三章小波插值理论的基础上，本文提出了一种新的基于d a u b e c h i e s 小 波进行数值积分的算法，给出了小波插值格式，数值积分格式以及求积系数的计算方法。 由d a u b e c h i e s 小波的自相关函数所具有的插值特性，可以很方便地构造小波插值格式， 其良好的逼近性使得这种数值积分方法具有较高的精度。 关键词：多尺度分析；d a u b e c h i e s 小波；自相关函数；小波插值 数值积分的d a u b e c h i e s 小波方法 t h em e t h o do f n u m e r i c a li n t e g r a t i o nw i t hd a u b e c h i e sw a v e l e t a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si so n eo ft h em o s tp o p u l a rf i e l d si ns c i e n c er e s e a r c hr e c e n t l yi nt h e w o r l dw h i c hh a so f f e r e dap o w e r f u lt o o la n db r o u g h tt h eo r i g i n a li d e a st os o m eo ft h e c o r r e l a t i v es u b j e c t s w a v e l e ta n a l y s i si sab r e a k t h r o u g hp r o g r e s sa f t e rf o u r i e ra n a l y s i sa n d h a sc a u s e dt h ee x t e n s i v ec o n c e r ni ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g y w a v e l e ta n a l y s i st h e o r yi sa a r i s e ns c i e n c ew h i c hw a sa p p l i e de x t e n s i v e l yt oe v e r yd o m a i n b e i n gat i m e f r e q u e n c y a n a l y s i st o o l i n1 9 8 0 s ，w a v e l e tt r a n s f o r mh a ss u c c e e d e dt ob ea p p l i e dt ot h es i g n a la n d i m a g e p r o c e s s i n gd o m a i na n db e e nt h ec r i t e r i o no fj p e g2 0 0 0b yi t sa d v a n t a g e s b a s e d0 1 l m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，s c a l ef u n c t i o n sa n dw a v e l e tf u n c t i o n sh a v eg o o da n a l y s i sa n d c o m p u t a t i o nc h a r a c t e r i s t i cw h i c ha r eb e e nm a d et h eb e s to ft oi n t e r p o l a t ew i t l lw a v e l e t t h e n i n t e r p o l a t i n gi n t e g r a lf o r m u l ai sg a i n e d t l 他m e t h o di sn a m e do fn u m e r i c a li n t e g r a t i o n m e t h o dw i t hw a v e l e th a sa t t r a c t e dm a n ys c h o l a r s i n t e r e s t s t i l i sp a p e rf i r s tp r e s e n t st h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e ta n a l y s i sa n ds o m ec l a s s i c s u b j e c t ss u c ha sm u l f i r e s o l u f i o na n a l y s i sa n dm a l l a ta r i t h m e t i c t h e ni t a l s oi n _ f r o d u c e s s u p p o r t e dw a v e l e t , d a u b e c h i e sw a v e l e t ，a n dd a u b e c h i e sa u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n s e c o n d l y ，t h i sp a p e rp r e s e n t sw a v e l e ti n t e r p o l a t i o n i tm a i n l yp r e s e n t st h ec o n f o r m a t i o n o fi n t e r p o l a t i n gb a s i sf u n c t i o n f o l l o w i n gt h ep a r t so fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，t h e i n t e r p o l a t i n gw a v e l e tf u n c t i o nw h i c hb a s e so ni n t e r p o l a t i n gp o l y n o m i a li nt h ee q u i n o x e si s c o n f o r m e d t h ev a l u eo ff u n c t i o ni nt h ee q u i n o x e si so n e f o r - o n ew i t hw a v e l e tc o e f f i c i e n t si n i n t e r p o l a t i n gw a v e l e tb a s i s a tl a s t , f o l l o w i n gt h ep a r t so fw a v e l e ti n t e r p o l a t i o n ，t h i sp a p e rp r e s e n t san e wa r i t h m e t i c o fc o m p u t i n gn u m e r i c a li n t e g r a t i o n i tg i v e sw a v e l e ti n t e r p o l a t i n gf o r m a t , i n t e g r a lf o r m a t ，a n d t h ec o m p u t a t i o no fq u a d r a t u r ec o e f f i c i e n t w ec a ne x p e d i e n t l yc o n s t r u c tw a v e l e ti n t e r p o l a t i n g f o r m a tf r o mt h ei n t e r p o l a t i n gp r o p e r t yo fd a u b e c h i e sa u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n , w h o s eg o o d c o n v e r g e n c em a k e st h i sa r i t h m e t i ch a v i n gh i g h e rp r e c i s i o n k e ，rw o r d s ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；d a u b e c h i e sw a v e l e t ；a u t o c o r r e l a t i o nf u n c t i o n ； i n t e r p o l a t i o nw i t hw a v e l e t s 独创性说明 作者郑重声明：本硕士学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工 作及取得研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得大连理 工大学或者其他单位的学位或证书所使用过的材料。与我一同工作的同志 对本研究所做的贡献均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 作者签名：盟塾 日期：垒! 旦i ：! ：! ! 大连理工大学硕士研究生学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解“大连理工大学硕士、博士学位论文版权使用 规定”，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文。 作者签名：醚： 导师签名：纽 2 堡年l 月坦日 大连理工大学硕士学位论文 引言 小波分析的思想来源于伸缩与平移的方法。小波分析是自1 9 8 6 年以来由于y m e y e r 1 1 嘲，s m a l l a t 3 i s 及l d a u b e c h i e s 6 i s 等的奠基性工作而迅速发展起来的 一门新兴学科，它是f o u r i e r 分析划时代的发展结果。然而，它的发展历史可以追溯到 1 9 1 0 年b a r r 提出的小波标准正交基及1 9 3 8 年l i t t l e - p a l e y 对f o u r i e r 级数建立的l - p 理论。从现代小波分析的观点来看，在1 9 3 0 年前后有许多与小波有关的新方向出现， 其中有l e v y 9 ，f r a n k l i n 及l u s i n 的工作，此后，由于第二次世界大战的影响，没有出 现进展性的工作。与现在的小波分析有关的主要工作是1 9 6 0 年c a l d e r o n 1o 】 1 1 1 及2 0 年 后1 9 8 0 年g r o s s m a m ，与m o r l e t 1 2 】 1 3 1 的研究，后人称为“原子分解”。特别是1 9 8 6 年 以后的工作，由于应用的广泛使这个学科的发展非常迅速。 8 0 年代中期由一批数学家领导的“f r e n c hs c h o o l ”环绕基本小波概念为这一课题 奠定了坚实的数学基础。小波( w a v e l e t ) 的变换是由法国数学家m o r l e t 于1 9 8 0 年提出 的，他与法国理论物理学家g r o s s m a n n 共同提出连续小波变换的几何体系，其基础是平 移和伸缩下( 即仿射群) 的不变性【1 3 1 。这使得能将一个信号分解成空间和尺度( 即时间) 的独立贡献，同时又不丢失原有信号的信息，因此小波作为函数，它的平移和伸缩系用 于在可测平方可积空间叠( r 1 展开的概念是由g r o s s m a n n 和m o r l e t 首先引入的。1 9 8 5 年法国数学家m e y e r 在连续小波理论的容许性及重构公式之后承认了c a l d e r o n 恒等式， 之后又与比利时数学家d a u b e c h i e s 以及g r e s s m a n n 通过构成rf 1 的一个准正交完全 集的方式选取连续小波空间的一个离散子集，称之为框架，并证明了一维小波函数的 存在性【1 4 】。 于1 9 8 6 年，m e y e r 创造性地构造出了具有一定衰减性的光滑函数缈，其二进制伸缩 与平移缈，。= 2 j “p 2 ，x 一) ：，_ j = ) 构成口( r ) 的标准正交基。继m e y e r 提出小波变换 之后，l e m a r i e 和b a t t l e 又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数。1 9 8 7 年，m a l l a t 将计算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分析中小波函数的构造及信号按 小波变换的分解及重构，从而成功地统一了在此之前的s t r o m b e r g ，m e y e r ，l e m a r i e 和 b a t t l e 提出的具体小波函数的构造，研究了小波变换的离散化情形，并将相应的算法， 即m a l l a t 算法有效她应用于图像分解与重构。m a l l a t 将小波理论和信号处理联系起来， 开创了小波理论在信号处理中的应用。与此同时，d a u b e c h i e s l 7 】构造了具有有限支集的 正交小波基。这样，小波分析的系统理论初步得到了建立。1 9 8 8 年，a r n e o d o 及g r a s s e a u 等人将小波交换运用于混沌动力学及分形理论以研究湍流及分形生长现象。1 9 9 0 年c h u i 数值积分的d a u b e c h i e s 小波方法 k 【1 5 l 和王建忠构造了基于样条函数的所谓单正交小波函数，并讨论了具有最好局部化性 质的多尺度分析的生成函数及相应的小波函数。1 9 9 0 年b e y l k i n 和c o i f m a n 等将小波变 换应用于算子理论。1 9 9 2 年，j a f f a r d 1 6 1 及l a u r e n c o t 将小波变换应用于偏微分方程数 值解。 小波分析优于f o u r i e r 分析的地方就在于它在时间域和频率域同时具有良好的局 部化性质。由于对高频成分采用逐渐精细的时域或空域取样步长，从而可以聚焦到对象 的任意细节。从这个意义上讲，它被誉为数学显微镜，可以预料在以后将成为科技工作 者经常使用的重要的数学工具。 利用小波分析及其思想来进行数值积分是目前正在兴起的一个领域。借助于小波 多尺度分析理论，构造以二分点上的插值多项式为基础的插值小波基函数，在插值小波 基上，函数在二分点上的值与小波系数建立了一一对应，从而完成了插值基函数的构造 【1 7 1 1 8 1 。在小波插值理论的基础上，将正常定积分中的被积函数用小波插值，从而得出相 应的积分公式。 本文第一章介绍了小波分析的发展：第二章对小波分析的基础理论进行了介绍；第 三章在插值逼近的基础上得出了小波插值理论；第四章提出了一种新的基于d a u b e c h i e s 小波进行数值积分的算法，给出了小波插值格式，数值积分格式以及求积系数的计算方 法。由d a u b e c h i e s 小波的自相关函数所具有的插值特性，可以很方便地构造小波插值 格式，其良好的逼近性使得这种数值积分方法具有较高的精度。 2 大连理工大学硕士学位论文 1 小波分析的发展 1 1f o u r i e r 分析及其不足 小波分析来源于信号分析。函数，( 工) 属于内积空间p ( r ) ( 上2 ( 矗) 表示定义域为r 上的一切平方可积函数) ，其中允许厂( 工) 取复值，则空间r ( r ) 上的内积定义如下： ( ，g ) = e 厂( z ) ；( x ) 出，f ，g r ( r ) ，其中；( x ) 为g ( 工) 的复共轭a 内积满足一般的s c h w a r z 不等式。 j ( 厂，g ) j - l l s l l i l g l j ( 1 1 ) 在内积空间r ( r ) 上定义，的f o u r i e r 变换如下： ( 可) ( 国) = 7 ( 国) = e ，( 工) e - ”d x ( 1 2 ) 其逆变换为 ( f 。1 7 ) ( j ) = ，( x ) = 五1 f ( 印) 矿协 ( 1 3 ) 且具有能量等价性： 2 万e i s ( x ) 陆= ej 于( ) 陋 4 ) 即 ( 加) 2 去( z ；) ( 1 5 ) f o u r i e r 变换用于信号的分析反映了整个频率域的性质，分解信号，( 曲用组合三角 基e ”其频率域信息由7 ( 国) 给出，变换函数7 ( 珊) 依赖于厂( 工) 的值，一 1 ，6 0 0 固定的，则连续小波离散化为 ，( x ) ：酊, n ：2 9 f 掣1 ：面“：妒( 西m 工一n ) ( 2 ，8 ) la o 当基小波：蜥，雄z 构成一个框架，即存在o a 嚣 + ，使得 a i i ：i i ：j ( ，) 卜口l l s l l ： ( 2 ，9 ) 对所有的厂r ( r ) 均成立，才能由( ，y 。) 得到厂的一个数值稳定的重构算法： 厂( x ) = ( ，￥o ，) 孑。( z ) ，其中孑，。( x ) 是，( x ) 的对偶。 ( 2 1 0 ) 2 1 4 二进小波变换 定义2 6 如果存在两个正常数a 与b ，而有0 a b o 是一个固定常数，称为抽样速率，则 ( x ) = 2 j ：2 妒( 2 。x 一舫0 ) ( 2 1 1 ) 被称为离散化小波变换，而函数序列 以。被称为f 的二进小波变换，其中 w u f ( 6 ) = ，+ r ( x ) = 古，( x ) 妒( 专卜。任给一厂r ( 月) ，其积分小波变换用 ( 门( 6 似，q ) = ( ，。) ( 2 1 2 ) 给出，则 ，( x ) = ( 厂岷以妒 ( 工) ( 2 1 3 ) 其中妒协( x ) = 一卅，m 。( x ) ，一，。= ( y 枷，m ) 数值积分的d a f f n e e 描e s 小波方法 二进小波变换由于只是对尺度参数进行了离散化，而对时间域上的平移参量保持连 续变化，所以不破坏信号在时域的平移不变量。因此，若信号，( x ) 具有某种性质，对 应的比。厂( x ) 也具有这种性质。 2 2 小波的多尺度分析及l i a i | a t 算法 2 2 1 小波的多尺度分析 定义2 7r ( 宸) 的一个多尺度分析是指满足下列条件的f ( r ) 空间的一列子空间 k 。； ( 1 ) 一致单调性：k 是一个嵌套序列，即c 疋。c c kc - - ； ( 2 ) 渐近完全性：所有砭的并在三2 ( r ) 中是稠密的，即 t j ，。：_ = 寥( r ) ，n ，：巧= ( o ； ( 3 ) 伸缩规则性：f ( x ) k 营f ( 2 x ) ek 。； ( 4 ) 存在r ( r ) 的函数族 晚。( 工) ：k z ) 是碥的一个r i e s z 基，称妒b ) 为尺度函数， 即存在常数一和口，0 a s b q - m ，对于每个序列c = 也) k ：e ，2 ，满足 彳o c 嶂i i 咚妒( 一七) 0 - 8 1 1 c i i ； 妊： l i 妇1 我们就称尺度函数妒生成r ( r ) 的一个小波的多尺度分析如果 庐( 卜 ) ) 。还构成v o 的一组标准正交基，则称 。是r ( 旦) 的个正交多尺度分析定义函数 哆。b ) = 2 妒妒( 2 工一七) ， k z ，是标准正交的，则 v = 删鸪，t ( x ) = 2 j “乒( 2 j 工一七) b 且由多尺度分析的定义知，它构成一的标准正交基， 由于妒o ) c k ，所以妒b ) 可以用k 的基底奴，”z 表示。由于丸。，阼z 是k 的 r i e s z 基，所以存在唯一，2 序列 ) ，使 ( x ) = 扼( 2 工一，1 ) ( 2 1 4 ) 记= 2 吃，则有 妒( x ) = c # ( 2 x - n ) ( 2 1 5 ) 一查壅至三查堂堡主兰垡笙壅 这就是函数妒的两尺度关系，序列称为传递系数，且有( x - n ) = 1 现令 ( 工) = ( 一1 ) “k ( 2 了一疗) ( 2 1 6 ) 2s p a n e 。( z ) = 2 j l z5 u ( 2 j x 一片1 ) ，聆z ( 2 1 7 ) 则 ( 1 ) j - 巧，从而r = o 口，髟上睨，歹歹： ( 2 ) p ，j 。是中的标准正交基，从而 y 。h 。：l a 中的标准正交基。 其中y g ) 称为小波。在( 工) 和妒( z ) 有紧支集的情形，( 2 1 8 ) 的右端是有限项之和 妒( 工) = 7 f c f k ( 2 x 一九) ( 2 1 8 ) 2 2 2 正爻小渡理论 设妒o ) 是正交多尺度分析的尺度函数，则 戎，。b ) ：七z 构成的标准正交基。由 于( 妒( x ) ，( 苫一 ) ) = 磊。，所以有 磊。= c ( 工) o 一刀) 矗= 寺e ；( 国) e ”蕊 = 去薹胁州槲e 砌 2 去；肿( m 秘疗) p ”如 这个积分给出了周期函数莓睁 + 2 k 万) 1 2 的f 。谢e r 系数，由上式得；眵o + 2 k 石) 1 2 等 于它的f o u r i e r 系数，即 降( d + 2 切) = 1 ( 2 ，1 9 ) 由此我们得出如下定理： 定理2 8 ( 妒o k ) ：后： 构成的标准正交基的充分必要条件是 l ；( 国+ 2 七万) f 2 ；1 。 数值积分的d 日u b e e h i e s 小波方法 由于( z ) 生成一个正交多尺度分析，显然 动( h 一一) ) 。构成k 的标准正交基且 矿ev ock ，所以有 妒( x ) = 凰妒( 2 z 一一) ， k ) ，2 ，x e r ( 2 2 0 ) 由此我们寻找 使得满足标准正交的条件，则 e ( x ) ( x 一聆) 出= 魄胸( 2 x - i ) t 国( 2 x - - 2 甩一，k 女 = z h a 一：。= 磊。，行2 ( 2 2 1 ) l 同理由( o ) = l ，a ( 2 - ) = 0 可得 则 令 击乩忑h k ( 一) = 。 ( 2z z ) 如果需要小波的光滑性，我们可以添加它的消失矩条件： 卜矿厶炳= 0 ，k = 0 , i ，m - 1 h k k ( - 1 ) 0 ，k = o ，i j 1 一，m 一1 ( 2 2 3 ) x c # ( x ) = z o 2 h , o ( 2 x h ) ，( 瓦) ，2 ，x 曰两边作f o u r i e r 嬲t ；( 出) = 军隽醒户”i 、，z二 标准正交条件( 2 1 9 ) 就变成 ：妻 扣o 冬。一m ，： 2 砂州州= 如( 专钏；( 半) 1 2 或 = = k 1 2 一 ( 2 2 4 ) c 2 ，+ ) 万) | 2 p ( 罢+ ( 2 歹+ - ) 万) 1 2 胁+ ：肋) 1 2 2 阵_ + 国一2科k ：n _ 攻赫 硝 协秒啦耕 大连理工大学硕士学位论文 f ，( 詈) 1 2 + i ( 詈+ 万) i 2 = ( 2 2 5 ) 注意的是这只是标准正交的必要条件： 定理2 9 b k ) ：k z ) 构成k 的标准正交基的必要不充分条件是 i ( 詈 1 2 + l m o ( 詈+ 万 1 2 = ，。 一旦有了尺度函数( z ) ，我们就可以用它来构造“母小波”( z ) 。要选取适当的 f ，( x ) 使得 y o m ) 构成空间的标准正交基，其中是在k 中的正交补，即 k = k0 w o 如果这样的y ( x ) 能找到，则2 , 2 y ( 2 ”x n ) = ( x ) 就构成眈的标准正交基a 而 且是在。中的正交补。因此有 i = 圪。既一一k o o 彤o 0 既 e 于u v 在r ( r ) 中稠密，让坍_ m 可得 0 10l 既= r ( r ) ( 2 2 6 ) 或 = o 矿1 = 0 肚i o o 形1 ( 2 2 7 ) 由于n 匕： o 让i 斗。得圪t 呻 o 及曼2 r ( r ) ，因此 。构成r ( 胄) 的 标准正交基。 有两种方法来寻找缈b ) ： 其一，正交方法。这里要求p o ) 必须正交于妒( x h ) ，因此下面两个条件必须满足： ( 口) 乒( 国+ j 厅) ；( 国+ 2 肋) = 0 o ( 2 2 8 ) ( b ) ( 州七石) 一 由于e ) k ，则有类似于( 2 2 0 ) 的展开 妒( 工) = 以动( h 一i ) ( 2 2 9 ) t 以及 数值积分的n 妇= c l d 小波方法 痧( 小聊。( 詈) ；( 詈) ( 2 3 0 ) 然后将啊( 詈 代回( 2 3 。) 从而求得孑( 国) 。 码( 詈) ( 詈) + 玛( 詈+ 万) 拼o ( 詈+ 石) = 。 玛( 判2 + + 石) p 由这两个方程可求得一个平方根 强( 詈) = e 1 “( 詈+ ，r ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) 其二，直接求法。定义b ) 如f ( x ) = 压q 一。( 一1 ) ( 2 x k ) ( 2 3 3 ) 对( 2 3 3 ) 式两端作f o u r i e r 变换得 ( 国) = 1 ，扼c 1 - k e - l ( 。 1 2 + x j r ；( 留，2 ) = l l x l 2 e 2 “2 州，；( m 2 ) = 2 万j 撕2 ) ( 2 3 4 ) 与( 2 3 1 ) 一致。 综上所述，从数值分析的角度也可如下定义小波：给定正整数m ，考虑有以下性质 的常数列k ) ： c = o ，意仨 o ，1 ，2 ，2 m 一1 ) & = 2 c k c - 2 ，= 2 嚷。，1 一m m s m - 1 k ( 一1 ) + = 0 , 0 s 卅m - 1 1 4 、 缈一2 ，。l 出解 并 得 ) ) 兽3 嬲 入 入 代 代 ) ) 2 2 ( ( 将 将 一一一 垄望三塑主巡奎 这里q = 2 吃。 由这些传递系数k 与双尺度方程( 2 1 5 ) 决定的尺度函数具有紧支集： s u p p f o = 0 ，】，n = 2 m 一1 楣应的小波函数e ( t ) - - ( 一1 ) “c 1 一。妒( 2 f n ) 也具有紧支集： s u p p g t = 1 一m ，m 2 2 3 小波的i | a t 算法 由前面的分析知，对于任意，寥( 五) ，厂( 工) 有如下展开 f ( x ) = d k ，。，( x ) ( 2 - 3 5 ) 其中反。= ( 厂，) 七，拧z 。 下面阐述求以，的m a l l a t 算法。 当七+ m 时k * r ( 月) 所以任给厂( x ) e r ( 胄) ，有工“厂分别以e 和见表示从 r ( 胄) 到k 和形的正交投影算子，则有e ，= 工“f ，d f = “f 。即对任意 f ( x ) r ( r ) 定义 e 厂( x ) = i ，2 _ 妒( 2 “x 一研) 1 2 _ 庐( 2 ”x m ) t i i $ = z 2 ：庐( 2 x - m ) i z s ( z ) 2 - 矿( 2 ”x m ：k & = “，2 5 驴( 2 ”x m ) ( 2 3 6 ) 、。 见厂( x ) = ，2 5 9 t ( 2 x m ) 1 2 ；妒( 2 “工一m ) m e z = z 2 气, ( 2 - , - m ) e ，( f ) 2 - 矿( 2 ”x 一聊净 = 吃，2 _ y ( 2 “x - r a ) ( 2 3 7 ) 分解算法：由于o ：= k o 所以k 。，( f ) = 巴，( 工) + 见厂( x ) 即 ( 2 3 8 ) 、lj m x n 2 ，il 妒 一2 2 m以 m + 、lj m x矽 ，i、 石r n 一2 2 巳 m = 、lj m x 时 2 ，l 矿 盟： 2 + l 墼堕堡坌塑望型竺尘鎏查鲨 f a - - r 度关系，可得 铲弦2 x - m 2 - i # ( 2 x - m ) 1 岛，= l ，) ：f 加丢z 孚2 * 】x - 2 m - k ) le ： = 冱( 一1 ) c 。驯 ( 2 3 9 ) 恻理司得 厂。、 以，。= f ，2 7 t u ( 2 ”x 一所) i = 压( 一1 ) 。磁扎： ( 2 4 0 上述分解算法是从，( z ) 在k ，中的展开系数 。，j 得，( x ) 在k 和吼中的展开系数 c 。) 、 以， ，分解过程如下图所示： 枷弋z 弋芝、以。、i 以_ 1 ， l _ 一 囤2 1 任意厂( x ) 工2 ( 矗) 均可分解成低频部分和高频部分；反之，由它们可重构，( x ) ，在 ( 2 。3 8 ) 式两端与2 _ 9 ( 2 n + l x - - 搠) 做内积得 ：降( 2 孓拼2 5 - ( 2 + 1 x - k ) 1 + 至，f 茹y ( 2 形) ，芦( z 一露) 】 e ： 。 ：压一凡2 了n + l ( 2 叱一2 m s ) ，2 孚( 2 叱一七) 1 + , t z 。f ( 一1 ) s i 2 字一k ( 2 + x - 2 m + s - 1 ) ，2 - “7 妒( 2 + 1 x - k ) ) = , s e c 。，忽。+ 压( 一1 ) 2 ”1 。以，瓦= ( 2 4 1 雷构讨穰如下图所示： 大连理工大学硕士学位论文 - - 广 b c n d - l , m 一- - - 7 - 1 1 , ? ” 站。 2 3 紧支撑小波的构造 紧支正交小波基的重要性在于它在信号的小波分解过程中可以提供有限的从而更 实际的数字滤波器。 所谓紧支集，即在有限的区间外函数为零，例如，紧支集规范正交小波基h a a r 函 数： f 1 ，一l 2 x 0 矿( x ) 2 1 i 1 ：o 羹蜚“2 d a u b e c h i e s 利用离散滤波器的迭代构造了具有紧支集的正交小波基【6 】 对于每个整数，d a u b e e h i e s 构造了r ( r ) 的形如2 j 2 ( 2 7 x 一女) ，j ，k z ，的 正交基构造一个紧支撑小波y 要选择具有紧支撑的尺度函数，则关键要找到一个数列 嚏，只有有限个噍0 d a u b e c h i e s 构造的正交基具有优良的性质：2 2 9 mf 2 。x - k ) ，j ，k z ( 1 ) 的支撑是区间【o ，2 m 一1 ； ( 2 ) e x k f m ( 工) 出= o ，k = o 1 2 ，m - 1 ； ( 3 ) ￥o ( z ) 具有y m 次连续导数。 其中正常数y 大约是l 5 。当肘= 0 时，简化为h a a s 组。 但这组基一般没有对称性，除去h a a r 小波生成的基外，全体紧支撑正交小波基的 生成元不具备对称性，且生成元的光滑性较差。但是d a u b e c h i e s 小波正则性较好，达到 2 4 ”“2 m 。b 样条小波介绍也是非常实用的一种。 2 4d a u b e o h i e s 小波函数嘲 法国学者d a u b e c h i e s 对尺度取二进值( 取2 的整数幂a = 2 j ，_ ，ez + ) 条件下的小 波变换进行了深入的研究，提出一类具有以下特点的小波称为d a u b e e h i e s 小波： 数值积分的d a u b b i e s 小波方法 ( 1 ) d a u b e c h i e s 小波函数y ( x 1 是紧支撵的，支撑区间长度为2 m 一1 ，其尺度函数也 具有相同的支撑区间长度。其中m 是d a u b e c h i e s 小波函数的消失矩的最高阶 数，即 亡x k _ f z m ( x ) 出= o ，k = o 12 m 一1 a ( 2 4 2 ) ( 2 ) 小波函数y ( x ) 的f o u r i e r 变换扣) 在国= 0 处有m 阶零点： ( 3 ) 随着的肘增长，尺度函数与小波函数缈的正则性也增强，实际上，c “ ( 口吖阶可微的连续函数集合，其中0 口 1 ) 。 ( 4 ) 小波函数的消失矩条件意味着的f o u r i e r 变换直到m 阶导数在原点为零， 即 万d k 咖a ) l 铷囊- 0 ，1 ，2 ，。 ( 2 4 3 ) 这个性质就是f o u r i e r 变换y ( 国) 局部性能的度量。 ( 5 ) _ i c ，b ) 和它的整数位移是标准正交的，即 e y ( x ) 妒( x j ) 出= ( 2 4 4 ) 这里把有关d a u b e e h i e s 小波函数b ) 的若干结果列举如下： ( 1 ) 小波函数妒o ) 可以由尺度函数( x ) 求出来，0 ) 长度有限，支撑域在 工= 0 一( 2 m 一1 ) 范围内( 如m = 2 时声( z ) 在x = 0 3 范围内) 。 ( 2 ) 尺度函数声( x ) 波形和小波函数( x ) 满足而双尺度方程 妒( x ) ：窆4 i h , # ( 2 x j ) ( 2 4 5 ) ( x ) = 2 9 。妒( 2 工一后) ( 2 。4 6 ) = ( 一1 ) - k - ik = o ，1 ，2 ，2 m 一1 其中：和为滤波器系数只有2 m 个非零项。m 值不同滤波器系数和魂的值也 不同，d a u b e c h i e s 在”1 中给出了求传递系数奴 的方法，并列出了2 m 1 0 情形下的 仇 值，具体的数值如表2 1 所示。 大连理工大学硕士学位论文 由于庐( z ) 是有限支撑的，所以由式( 2 4 6 ) 求得的0 ) 也是有限支撑的，它的长 度和妒( x ) 一样，也是2 m l 。 ( 3 ) 尺度函数妒0 ) 和小波函数( x ) 还满足正交归一的条件 e y ( x ) ( x 一七) 出= ( 2 4 7 ) ( 工) ( 工) 出= o ( 2 4 8 ) e 庐( 工) d x = l ( 2 4 9 ) ( 4 ) 另外，d a u b e c h i e s 小波函数认为其尺度函数交换能用来精确地表征初步大于m 阶的幂级数，即： a t x = & ( x - k ) ( 2 5 0 ) 数值积分的d a u b e e h i e s 小波方法 表2 1 当m = 2 1 0 时 嚏) 的值 n土 a 。 o 0 4 s 2 2 9 j 3j “5 3 4j 2 1 o 。磁蜘5 1 63 1 1 3 7 3 7 跚7 20 2 2 4 1 t 3 砸8 d 4 2 0 1 3 4 30 1 2 9 4 。9 5 恐5 5 12 6 03 00 3 3 2 6 7 0 抬2 0 0 配5 1 0 盘0 6 墨9 1 5 0 93 1 l0 9 2 4 20 珊譬r 7 ，口2 1 1 窖4 叭4 3 3- 氇1 3 5 0 1 1 晓0 n 1 0 2 髯6 4- 0 0 1 t 5 4 们2 7 3 矗也0 2 67 50 d 3 5 2 2 6 2 9 i 髓57 0u 2 3 0 3 丁7s 1 3 粥s 明6 4 i0 j 1 48 4 65 7 0 弱2 9 1 5 4 2o 后3 0 艇盼7 b 7 9 3 98 5 87 3o 7 朔3 7 国4 1 6b 碧9 4 4也t 8 ” 0 3 4 8 1 17 1 9 0 好l 5 0 j 。3 0 8 钉3 8 1 昭55 7 6呦2 髓3 0 1 j 鼬1 1 8 5 2 7- q d l o 弱了4 0 17 晒o 国o u u 。l 鲫! i , 1 2 嚣1 w 4 1 w ， i0 柏3 鲶92 6 9 再7 盼5 20 7 2 4 9 2 6 ，7 9 7l 毋5 30 1 3 8 4 81 4 5 ，3 3 4 m 2 4 2 静4 9 叮o 的3 驼3 5 50 i 22 4 4 s 鳓5 8 4 6 站1 6 0 j b 了7 ，7 14 0 38 4 0 0 4 59 7 。62 4 14 9 0 2 1 2 7 朔3 b0 0 1 2 瑚7 5 1 螂0 眨0 90 瑚33 3 5 7 2 5 篮5 4 7 3s uu l l l 谰7 4 53 3 l i 附) lo - 姆4 晓3 鞠i 。3 9 毫4 酤3 2o j 5 11 3 39 0 8 a 色l 饿持9 30 3 1 5 2 5 d 3 5 1x 挎l 譬8 2 4吼2 2 6 嘲6 鹁9 6 5 4 o 5- 0 1 2 9 氍68 舒嬲7 2 配5 6 60 j 0 9 7 16 0 55 9 7 3 篮5 70 j d 2 7 翌2 嬲5 舄0 弛5 3 s 一旺a b l 翼2 0 嚣3 1 7 4 墨2 90 。5 5 39 4 2 i1 6 l4 坩0 d 0 4 7 7 7 2 s 7 5 1 0 9 硒5 1 10 1 7 粥o b 5 鬟毙5 d0 由了7 晒2 a 5 4 0 s 5 0 7 1 0 3 9 6 岛9 3 1 9 柏1 盼l2 2o 翩1 3 2 0 9 08 4 6 1 9 57 30 栅7 | 泣2 盯4 0 5l 疆9 4 也1 犯9 0 6 0 略9 嚣观l2 5m 2 2 4 岖l 每4 9 9 38 4 12 60 由7 1 聃 1 1 9 2 6 68 7 2 7 70 田6 1 2 91 5 l0 7 7 4 窖 一m 8 眨9 9 弱9 3 5 0 1 0 4 9 - 0 0 1 65 45 4 16 3 06 6 55 1 00 d 1 2 5 5 0 9 9 85 ，6 啦堵6 no 目4 2 95 7 卵2 9 2 14 1 2 - 0 la o l6 4 07 d 4 0 4 3 3 1 30 d 3 5 3 7 1 3 7 9 9 9 7 45 n士 矗。 0瓯0 5 4 4 5b 4 22 4 31 0 72 1d 3 i 28 7 】勇1 0 9 1 4 3 1 66 ； 0 6 7 5 6 3 07 3 6 2 9 7 3 1 95 0 5 8 53 5 4 6 9 36 5 4 2 1 59 4 旬0 1 5s 嚣埘5 2 弱3 8 2 3 50 2 8 4 0 1 55 4 29 6 i5 8 24 60 o a 0 4 7 2 鸫4 5 7 3 9 1 2 4 b ； o 。1 2 s 7 4 7 越6 6 4 田3 9 0 0 1 7 3 6 9 3 0 l l 踟睁0 - 0 0 4 41 1 8 目12 5 39 3 1 17 9 71 1 00 0 1 3 l 7 9 1 7 4 l i ； o 薯7 4 6 1 1 9 4 0 4 7 4 0 65 1 3 - 吼48 7 d 3 鸵9 妈4