（计算数学专业论文）无界区域问题的球面调和广义laguerre混合谱方法.pdf

无界区域问题的球面调和一广义l a g u e r r e 混合谱方法 摘要 谱方法是微分方程数值求解的重要方法之一f o u r i e r 谱方法的思想源于1 9 世纪但各 类谱方法真正成为一门理论体系完整的计算数学分支则是近三十多年的事谱方法的最大优点 在于它的高精度，即只要方程的真解越光滑，其数值解也就越精确正因为如此，谱方法已经 成功地应用到科学，技术，经济中的许多问题的数值计算例如热传导，流体动力学，量子力 学，金融数学等领域的数值模拟 本文主要研究无界区域问题的一类新的广义l a g u e r r e 谱方法和三维空间中的球面调和一 广义l a g u e r r e 多项式( 函数) 混合谱方法及其应用 在第二章中，我们提出了一类新的广义l a g u e r r e 多项式正交逼近，其特点是适用于更多 问题并能更好地拟合微分方程真解在无穷远处的性态，从而提高了计算精度然后，我们发展 了球面调和一广义l a g u e r r e 多项式混合谱方法，并成功地应用于全空间问题，球外问题以及 非线性问题数值计算证明了新算法的优越性 第三章中，我们提出了一类新的广义l a g u e r r e 函数正交逼近，其特点是数值解保持原问 题的权函数，从而更好地模拟原问题的解的整体性质，同时也简化了实际计算与理论分析 我们进行了大量的计算实验包括并行计算计算结果表明了本文提出的多种新方法具有谱 精度，并且计算相当稳定 关健词：新广义l a g u e r r e 多项式，新广义l a g u e r r e 函数，球面调和一广义l a g u e r r e 混合谱方法，三维问题，外部问题，谱精度，守恒性，计算稳定性，收敛性，数值结果 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 a b s t r a c t s p e c t r a lm e t h o di s o n eo fi m p o r t a n tn u m e r i c a lm e t h o df o rs o l v i n gd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h eb a s i ci d e ao ff o u r i e rs p e c t r a lm e t h o d ss t e m sf r o m1 9 t h b u t o n l yi n t h ep a s tt h r e ed e c a d e s ，v a r e o u ss p e c t r a lm e t h o d sf o r m e dab r a n c ho fc o r n p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c sw i t hs t r i c tt h e o r t i c a la n a n l y s i s t h ef a s c i n a t i n gm e r i to f s p e c t r a lm e t h o di s i t sh i g ha c c u r a c y b e c a u s eo ft h i s ，s p e c t r a lm e t h o dh a sb e e n a p p l i e ds u c c e s s f u l l yt oc o m p u t a t i o no fm a n yp r o b l e m sa r i s i n gi ns c i e n c e ，t e c h n o l o g y a n de c o n o m gs u c ha sn u m e r i c a ls i m u l a t i o n so fm a n yp r o b l e m si nh e a tc o n d u c t i o n ， f l u i dd y n a m i c s ，q u a n t u mm e c h a n i c sa n df i n a n c i a lm a t h e m a t i c sa n ds oo n i nt h i sp a p e r ，w ei n v e s t i g a t e m a i n l yan e wg e n e r a l i z e dl a g u e r r es p e c t r a lm e t h o d a n d s p h e r i c a lh a r m o n i c g e n e r a l i z e dl a g u e r r em i x e ds p e c t r a lm e t h o df o rt h r e ed i m e n s i o n a lu n b o u n d e dd o m a i n sa n dt h e i ra p p l i c a t i o n s f i r s t w ep r o p o s ean e wg e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a lo r t h o g o n a la p p r o x i m a t i o nw h i c hc a nb eu s e df o rm o r ep r a c t i c a lp r o b l e m s m o r e o v e r t h en u m e r i e a l s o l u t i o n sf i tt h ee x a c ts o l u t i o n sb e t t e rs ot h a ti tr a i s e st h en u m e r i c a la c c u r a c y w e a l s od e v e l o p et h ec o r r e s p o n d i n gs p h e r i c a l h a r m o n i c g e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a lm i x e ds p e c t r a lm e t h o da n da p p l yt h e ms u c c e s s f u l l yt oc o m p u t a t i o no ft h r e e d i m e n s i o n a lp r o b l e m s ，e x t e r i o rp r o b l e m sa n dn o n l i n e a rp r o b l e m s n e x t ，w ef o c u so nn e wg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o no r t h o g o a la p p r o x i m a t i o n i nt h i sc a s e 】t h en u m e r i c a ls o l u t i o np o s s e s st h es a m e w e i g h tf l m c t i o na st h o s eo fo r i g i a n lp r o b l e m t h e r e f o r et h e ys i m u l a t et h eg l o b a lp r o p e r t i e so fs o l u t i o n so fo r i g i n a l p r o b l e m sv e r yw e l l t h i st e c h n i q u ea l s os i m p l i f i e sa c t u a lc a l c u t i o na n dn m n e r i c a l a n a l y s i s w e c a r r yo u tm a n yc a l c u l a t i o ni n c l u d i n gp a r a l l e lc o m p u t a t i o n t h en u m e r i c a l r e s u l t sd e m o n s t r a t et h es p e c t r a la c c u r a c yo f p r o p o s e dm e t h o d sa n dt h es t a b l i t yo f l o n g t i m ec a l c u l a t i o n k e y w o r d s ：n e wg e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a l ，n e wg e n e r a l i z e dl a g u e r r ef u n c t i o n ，s p e c t r a lm e t h o d s ，t h r e ed i m e n s i o np r o b l e m s ，u n b o u n d e dd o m i n s ，k l e i n g o r d o n e q u a t i o n ，e x t e r i o rp r o b l e m s ，s p e c t r a la c c u r a c y ，s t a b i l i t yo fc a l c u l a t i o n ，c o n s e r v a t i o i l ， 无界区域问题的球面调和一广义l a g u e r r e 混台谱方法 m i x e d s p h e r i c a lh a r m o n i c g e n e r a l i z e dl a g u e r r ep o l y n o m i a la p p r o x i m a t i o n ，c o n v e r g e n c e n u m e r i a lr e s u l t s 1 l l 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作。除了文 中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包括其他人己发表或撰写过的研 究成果。参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作 了明确的说明并表示了谢意。 签名：日期 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布沦文的 全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：导师签名：日期： 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 致谢 三年的研究生生活就要结束了，在此我向在这几年中指导和帮助我的老师和同事们表示无 尽的感激之情! 首先，我要感谢我的老师郭本瑜教授是他把我引入到谱方法这一门新兴数学分支的研 究老师的每一次精心指点都使我豁然开朗老师的每一个有益的建议都让我在学术上达到一 个新的高度正是因为郭老师的指导，我才战胜重重困难，终于完成了学业老师不但在学术 水平上让人赞叹，在思想方法上也给我留下深刻印象三年的相处，老师严谨的治学作风，渊 博的知识和孜孜不倦的学习精神都使我终生难忘 衷心感谢上海大学数学系马和平教授，王翼飞教授，王远弟副教授和同济大学数学系徐承 龙副教授，也十分感谢师兄王立联博士，黄伟博士和王中庆博士，他们都给了我许多有益的建 议和帮助 最后还要感谢熊勇博士，宁同科博士在论文打印过程中给予的帮助 无界区域河题的球爵调和一广义l a g u e r r e 混合谱方法 第一章引言 微分方程的数值求解一直是计算数学的一个主要研究方向之一也是大规模科学计算的重 要组成部分而谱方法则是微分方程数值求解的重要方法之一 f o u r i e r 谱方法的思想源予1 8 2 0 年n a v i e r 运用双重三角级数数值求解弹性薄板问题 但是因为该方法计算量大而受当时计算条件的限制，没有受到人们的重视上个世纪7 0 年代以 来，由于计算机的快速进步，机器已能够代替人进行繁重的计算工作，从而为谱方法的进步提供了 强大的物质条件经过近三十多年的发展，人们已经建立了比较完整的谱方法理论，提出了各种有 效的计算方法，并且成功地应用于各种线性与非线性问题例如，周期问题的f o u r i e r 谱立法，对 于有界区域上的微分方程的c h e b y s h e r 谱方法或l e g e n d e r 谱方法对于全直线或半直线等无 界区域，建立了h e r m i t e 谱方法和l a g u e r r e 谱方法等谱方法的最大优点在于它的高精度，即 只要方程的真解越光滑，其数值解也就越精确正因为如此，谱方法被广泛应用到计算流体力学， 计算量子力学和数值天气报等众多域可见b e r n a r d i ，m a d a y 3 ，c a n u t o ，h u s s a i n i ，q u a r t e r o n i z a g e 6 ，g o t t l i e b ，o r s z a g 1 6 ，c u o 2 0 ，和f u n a r o 1 4 】 本文主要研究无界区域问题的新的广义l a g u e r r e 谱方法及其应用 我们知道，科学和工程中的许多问题都归结为无赛区域上的偏微分方程例如在海洋工 程，大气科学，矿山开采等域中的某些问题近几年来，随着科学技术的发展，无界区域问题 的数值求解越来越受到人们的关注目前解决此类问题的方法有； 一：通过设爱人工边界条件把无界区域变为有界区域参见c l a y t o n ，e n g q u i s t ，m a j d a 1 0 ， e n g q u i s t ，m a j d a 1 2 ， 1 a 】不过通常这种方法会带来额外的误差为此，一些作者研究了各 种精确的人工边界条件，例如：h a g s t r o m 和k e l l e r 研究了圆柱体区域的偏微分方程的精确 人工边界条件；而h a n 和w u 则探索了l a p l a c e 方程某些定解条件的精确人工边界条件并 成功地应用于某些无界区域上的线弹性方程 二t 通过某些变蟹变换把无界区域问题变为有界区域上的奇异问题，然后用j a c o b i 谱方 法进行数值逼近参见g u o 2 3 ， 2 4 ，【2 5 】 ( 2 6 ) 2 7 ，以及g u o 和w a n g 3 0 三：有理谱逼近的方法通过某种有理变换把有界区域变为无界区域，相应地把有界区域上 的基函数变为无界区域上的基函数，然后用这些无界区域上的基函数去逼近偏微分方和的解 见b o r y 4 ，【5 m a s t r o i a n n i ，m o n e g a t o 4 1 ，g u o ，s h e n 1 7 ，g u o ，s h e n ，w a n g 2 9 ，w a n g g u o l 4 7 l ，w e i d e m a n l 4 8 1 四：以某些无界区域上的正交多项式或正交函数系作基函数直接计算无界区域上的微分方 程有关工作可见g u o ，s h e n ，w a n g 1 8 ，f u n a r o ，k a c i a 1 5 ，c u o 2 4 ，c u o ，s h e n 2 8 ，g u o ， x u a ，c h r i s t o v 7 ，m a d a y ，p e r n a u d t h o m a s ，v a n d e v e n 3 9 ，x u ，0 u o l 4 9 ，s h e n 4 4 】 我们的工作改进和推广了上述第四种方法在已有的文献中，人们都以l a g u e r r c 多项式 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 为基函数逼近半直线上的偏微分方程的解而本文中以一类新的广义l a g u e r r e 多项式为基函 数，它不仅推广了谱方法的应用范围，而能更好地拟合微分方程真解在无穷远处的性态，从而 提高了计算精度我们也建立了球面调和一广义l a g u e r r e 多项式混合逼近并应用于全空间问 题，球外问题以及非线性问题数值计算证明了新算法的优越性 我们的另一部分工作是提出了一类新的广义l a g u e r r e 函数为基函数的谱方法，并建立了 球面调合- 广义l a g u e r r e 函数混合逼近理论其特点是数值解保持原问题的权函数，从而更 好地模拟原问题的解的整体性质，同时也简化了实际计算与理论分析我们应用广义l a g u e r r e 函数逼近b l a c k - s c h o l e s 方程和非线性k l e i n g o r d o n 方程，分析了谱格式的收敛性数值 结果也表明了有关算法的优胜性 最后我们要指出，三维空间中基于球面调和一广义l a g u e r r e 多项式( 函数) 混合逼近 的谱方法开始于本文的工作，它为计算三维全空间问题和三维外部问题等提供了新的方便的工 具丰富了谱方法的理论，扩大了谱方法的应用范围 - 2 无葬区蛾问题静球面调和一广义l a g u e r r e 混合谱方法 第二章 球面调和一广义l a g u e r r e 多项式混合 逼近及其应用 在这一章里我们研究一类新的广义l a g u e r r e 多项式正交逼近以及相应的球面调和一广 义l a g u e r r e 混合谱方法在2 1 节里我们建立了一类新的广义l a g u e r r e 多项式正交逼近的 理论在2 ，2 节里我们提出了球面调和一广义l a g u e r r e 多项式混合逼近从2 3 2 5 中我们 分别把上述方法应用到全空间问题，外部问题和非线性问题，建立了有关的理论结果，提出了 相应的谱格式并证明了它们的收敛性数值实验证实了这些方法的优越性 2 1 广义l a g u e r r e 多项式正交逼近 在这一节里，我们研究一类新的广义l a g u e r r e 多项式正交逼近我们首先；f 入一些记 号令a = p | 0 p 。) x ( p ) 是在通常意义下的一个权函数我们定义 l ；( a ) = 口fu 在a 上可测，并且忆a 。) 具有下列内积和范数， ( 刚) 神= 上u ( 咖( 呶( 圳p ， 俐小= ( 邺) i ， 对于任何非负整数m ，我“1 定义空闻 日? ( a ) = i 谚”l ：( a ) ，0 仇) 其内积，半范数和范数为 ( u ，u ) 愀，n = ( 咖，谚”) 小 0 - 1 ，声 0 对应的1 次广义l a g u e r r e 多顼式为 c ( p ) = 扣。沙诺( p e 嘶) ，f = o 1 ，2 ， 3 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 它们是下列s t u r m l i o u v i l l e 问题的特征函数 讳( + 1 ，口( p ) 如 ( p ) ) + a f 4 u 。，口( 户) u ( 户) = 0 ，0 o ，并且定义空间 戳f 地，d ( a ) = 如i 口在ai - _ g n ，并且1 1 u 1 1 1 ，口地m a 1 ，m 塾之堡型 如果 e 跣函。( a ) ，则 “ 1 i v l l w , 。 c l i o v i i 。 证明记a 1 = ( p o ，。) ，a 2 = ( 0 ，p o ) 和 哪冉。吲p ) ”2 ( 妒) 如) 2 ，j q 2 对任何p a 1 ， 屿，5 ( p ) f 2 ( 尹) = 唼( 吻，5 2 ) = 2 _ 厂9 ，d ( f ) ( ) 口( f ) 鹰+ 7 f ，- 1 , 8 0 - r ( ) 口z ( ) 必一j 厂9 5 ( 。( ) 峦= 2 ，d ( f ) ( ) 口( f ) 鹰+ 7( ) 口2 ( ) 必一j 5 ( ) 2 ( f ) 武 o p 0 一 jo n ( 2 1 1 5 ) 由于口h im 5 ( a ) ，当p 叶o o ，我们有“0 ，d ( 国f 2 ( 力_ 0 在( 2 1 】5 ) 串令矿_ 。 并且应用c a u c h y s c h w a r z 不等式，我们可证明，对任何6 0 。 删氓n ，s ；i i v l l ：州a + 割驯屯， 】+ r f f 毗。卅 7 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 因此 ： 山茎翱驯：州山+ 釉毗 如果7 0 ，则( 2 1 1 6 ) 意味着 ：，。，s 翱驯j 山 对，y 血和卢d ，我们有 对as7 和卢 d ，员有 岛”忆，。n ，p ；”i f 讳”f 巳。n 驯：“m 谴器( e 协矿1 ) 山 ( 211 6 ) ( 2 11 7 ) 记 c 。，一，a = ( s 户u 3 一p 。o _ ，。一，p ，一。，；：季：茎；：；i ；： 则( 2 1 1 7 ) 为 俐：州山s 掣i j 讳”m ( 2 1 1 1 8 ) 接着，由分部积分得到 。山= 鲁- l e 嘶咖黝驾i i 训：。( 2 1 1 9 ) 进一步地，由c a u c h y s c h w a r z 不等式得到 箬：。矿- l e - v ( p ) 岛”( 力d p 箬l | 讳训：。n 。+ 割训：。n 把上面的结果代入( 2 1 1 9 ) ，则当0 7 冬1 ，时， 釉毗。小。s 渤驯。” 利用上面的不等式与( 2 1 1 6 ) ，对于0 1 u 峨柚。s 罕，则对于7 ， 口吼。冬 一1 从而 ( 7 + 1 ) f o p 。p l v 2 ( p ) d p 冬斋z 加( 洲) 2 d 一+ 丁7 + 1z p o m 2 咖 p op y v 2 哪南f ( 洲枷2 坯丽4 e a p o l 因此，对于o s ，y + 2 和，y - 1 ”ii。2，。，。兰簿i|吼”ii：。，。 最后利用( 21 1 8 ) 和( 2 12 0 ) 一( 2 1 2 2 ) 推导出所希望的结果 引理2 1 3 我们有 ( i ) 对任何ue o 觋。( a ) 和q 1 ， ：。，a c 邓j j 易 慨小 1 2 l 。，+ 2j ，a 2 ( 3 1 2 2 ) 9 - 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 这儿对于s0 ，气，口5 参；对于0 0 ， 删：卵，。剖4 驯。+ 渤圳：”( 2 d 2 3 ) 显然，从( 2 1 2 3 ) 立即得到取o 0 时的结果( i ) 下面我们证明0 a 1 时的结果( i ) 类似于( 2 1 1 9 ) 的推导过程，由分部积分得到 2 。州屯m 2 4 d 上矿飞卅9 u ( p ) 即( p ) d p + 2 a ( n 一1 ) 乙( 2 1 2 4 ) 又由c a u c h y s c h w a r t z 不等式， 4 。上矿。e 邓( p ) a p “( p ) 却羔【a p 钏：邮a 十2 ( 1 一q 川圳：。小 ( 2 1 2 4 ) 式隐含了 2 q 1 l ”l l k 一。，。，n s 万i 禹1 1 a 一”1 l ：。，n 把上式代入( 21 2 3 ) 式，我们得到 | | ”1 | ：。，。，n s 万；：乌| | 讳”| | ：。n 我们现在证明结果( m 由分部积分得到 2 | | 川瓦小= 昙ze 嘶出) 洲协吾( 以叫陀。一；( 扼制忡幢”一 结合上式与( 2 1 2 3 ) 式，我们得到结果( i i ) 摄后，我们证明结果( m ) 在这种情况下，( 2 12 4 ) 式也是成立的进一步，由c a u c h y s c h w a r t z 不等式得到 4 。，t 邱叱) 驯彬p 茎三慨毗。、+ 2 如_ 1 ) j 一。、 无界区域问题的球面调和一广义l a g u e r r e 混合谱方法 然而从( 2 1 2 4 ) 式， 2 n 肌忆。，n 兰i m 峨小+ 4 口陋一1 ) 1 1 ”i l l 一西 把上式代入( 2 t 2 3 ) 式，我们获得结果( i i i ) 现在我们推导一些逼近结果 定理2 1 4 让一1 一1 ，- 1 os7 + 2 ，卢 5 如果口h 5 。m 。，5 ( a ) 并且o , v a 。r - ，口1 ( a ) 其中r 1 ，则 | | 礤。p 。5 u u i i ，u 。u ，。 sc t 1 - rl 讳u i ：1 1 小 证明由定义( 2 1 1 3 ) 和投影定理， lj 礤，。，芦，d u u | | 1 ，u 。，m a | | 西一钉i l ，。p ，u ，。，a ，v 咖p _ v ( a ) 令 r p ( p ) = 尸一l ，。，p o p v ( p ) d p + a ，o 我们选取a 使得( p o ) = ( ，) o ) ，其中p o 与在引理2 1 2 中一样根据引理21 2 和带有 s = 0 的定理2 1 3 ，我们导出：对任何整数r 1 ， j j 曲一u | j l 。口，加a cj j 喀( 移一u ) jj m 茎c | | 毋r 一1 a $ 嘭口一易uj j 8 ， 冬c 字i l 睇 i i 。， = c 孚i 讳u i k - 。1 证明完成 定理2 1 5 如果口e 磁，口( a ) ，易 a 豁( a ) 并且口( o ) = 0 ，则 l l 易( 。礤，。，口。一”) 1 1 “。ns c 字j 岛”i 一：j ，n 若又l o l 1 ，则 礤。口u 一”i i t 一。“c t 1 - r | 易叱掰，a 证明由定义( 2 1 1 4 ) ，对任何咖e o 乃v ( a ) ， 1 1 0 p ( o 璐。口”一”) | | 。 sc l l o a 一u ) | | w a , 2 , 取 f p ( p ) = 尸1 ，。，口唾”( ) d op ，( a ) - 1 1 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 姘由取5 = o 时的定理2 1 3 + l l 如( 碟，a ，口”一”) i l o 庙ns c l j p 一- ，a w 一讳”i i ，n c n 孚l o p ”i a 霜 进一步地，我们使用上面的结果和引理2 1 3 的结果( i ) 导出：对于j 血i 1 ， 礤“口”一”l , o 西n c i i o 一( 。礤，。，口”一”) l l 岷。，ns c 字l 讳叱才，n 这就完成了证明 为了应用到全空间问题，我们首先建立联系到广义l a g u e r r e 多项式逼近的一个辅助投 影为简单起见，记“啊( p ) = “j o ，口( p ) = e 一却，并且邪( p ) = u 2 ，口( p ) = p 2 e 一印我们还分 别地用a ；( a ) ，i l ”i l “；，和i v l a 表示a ；，口( a ) 1i l v l b 8 和i v l a s 。 正交投影1 1 知，口：日乇( a ) - p ( a ) 由 ( 岛( n 知，口口一口) ，讳毋) 珊，a + ( b ，卢钉一口，) ，a + ( 知，口钉一咎，) q ，a = 0 ，v p ( a ) 来定义 引理2 1 4 对任何u 砚。口，( a ) i - ia ；( a ) 其中整数r 2 ， f f h 知，口口一钞f f l ，砧， + f i 知口甘一钉f f 。口 c ：一；f u f j 证明由投影定理， i i r i k ，卢 一 1 1 1 ，w ，a + i l n k 卢口一u i i 。即， i i 一 1 1 1 , t z , + i i 一u | | 。，a ，v p ( a ) 用璐，。，口m d 表示由( 2 1 1 3 ) 定义的正交投影我们取 r p 妒( p ) = 礤吐邵n 口嚷u ( f ) 武+ ( o ) j0 显然西e 巧v ( a ) 因此，我们仅仅需要估计f f 岛( 妒一v ) l l a ，f i 毋一圳。a 和f i 一 忆。， 由取血= 2 ，y = 0 和卢= 6 时的定理2 1 4 ， l i 岛( 一”) 屺，n 2 l i 礤吐z a 叩讳”一易”i l 乙，n c f y 2 - r i 锑w i 鼍1 2 ，sc 2 7 i ”b 加 ( 2 1 2 5 ) 由于( o ) = ( 0 ) ，我们应用( 2 12 5 ) 和取n = 0 时的引理21 3 得到 1 1 一v i l j ， c | i 讳( 庐一v ) l l g 。，asc n 2 卜i j ：， ( 2 1 2 6 ) 由取q = 2 时的引理2 1 3 的结果( i i i ) 和取= 2 ，7 = 0 时的定理21 4 ，我们得到 l l a p ( 咖一”) 1 t 毛，“sc ( 1 1 0 2 ( 咖一”) i l ：西n + t l o o ( 曲一”) | j 乙 ) = c i | 如( 一”) j | 2 。，。，。 2 。| | 碥 ： 叩易 一啡”幢啦口，邶，a c n 2 - , - f 露t 1 晤；1 2 ，a c 2 一i ”眩；一 ( 2 1 2 7 ) 19 。 无界区域问题的球面调和一广义l a g u e r r e 混合谱方法 由取= 2 时的引理2 1 3 的结果( i i i ) ，( 2 1 2 6 ) 和( 2 1 2 7 ) ，我们获得 1 1 曲一u i i 毛，n c ( l 讳( 曲一”) i i 耜，n + l | 曲一u l | ：，n ) c n 2 7 i ”i 盖；，。 ( 2 1 2 s ) 最后，综合( 2 1 2 6 ) 一( 2 1 2 8 ) 导出我们所需要的结果 关于外部问题，我们建立一个类似的联系到广义l a g u e r r e 多项式逼近的投影令1 1 ，口( p ) = ( p + 1 ) 2 e 一却我们也分别她a ；( a ) ，i f a ；和i v l a ；，表示a g ，口( a ) ，f 川 a ；属。和i v l a 5 a 正交投影o k ，口：o 嘲。( a ) - - + 0p ( a ) 由下式定义 ( b ( 0 n 知，卢u 一移) ，讳西) 仉口，a + ( 0 知芦 一钉，) 弘口，a = 0 ， v 西e op ( a ) 引理2 1 5 对任何 e o 觋：幽。口( a ) n 以；( a ) 其中整数r 2 ， i l o l l s , ，目 一v i i l ，q 1 口， c n l 一；l l a ；， 证明由投影定理， t l o h j , ，口u 一。f 1 , r l t , a , sf f 一 f f l md ，a ，v e o7 ) j ( a ) 记碟，。，口m 6 为由( 2 1 1 3 ) 定义的正交投影我们取 厂p 咖( p ) = 碟吐2 挑口唾 ( ) 显然庐op ( a ) 因此我们只需估计下面一项的上界即可 l i e 一训；m n 。么帏( 一 ( 纠) 2 钆口o ) d p + 工( ( 力一”) 2 礼口( ，) d p ( 2 1 2 9 ) 由取。= 2 ，7 = 0 ，步= 6 时的定理2 1 4 和4 ；( a ) 的定义，我们得到 i i o a 一u ) i l 乙， 2i i & 一- a p n 口讳口一讳训as c 2 锑”b ；j 。，a s c n 2 - ”i b ；加 ( 2 1 3 0 ) 接下来，利用( 21 3 0 ) 和取q = 0 的引理2 1 3 给出 l l 曲一u 1 | j 口， c l i 讳( 1 j 5 一u ) i l j 。，a c n 2 7 i u i 身；， ( 2 1 3 1 ) 进一步地，由取o = 2 的引理2 1 3 的结果( i i i ) 和取。= 2 和7 = 0 的定理2 1 4 ，我们得 到 j j 昂( 一”) 峨。nsc ( j 睇( 砂一”) jj ：。，n + j j 岛( ”) j ：。，n ) = c 岛( 一”) 雌。，。 = c | | 碟 2 肛叩讳 讳”旧仉口帅，a 墨c 2 _ r i 啡w 嘎；j ：， c n 2 i v l ；，a ( 2 1 3 2 ) 更进一步地，我们应用取q = 2 的引理2 1 3 的结果( i i i ) ，( 2 1 3 1 ) 和( 2 1 3 2 ) 获得 l | 一”l j ；。，n 曼c l l 易( ”) i l ：。，n + 1 1 一u i i 毛，) c n 2 一1 w i j s ，。 ( 2 1 3 3 ) 最后我们根据( 21 2 9 ) ，( 21 3 2 ) 和( 2 1 3 3 ) 得到希望的结果 - 1 3 - 2 0 0 4 年上海大学博士学位论文 2 2 球面调和一广义l a g u e r r e 多项式混合逼近 现在我们研究三维空间中的球面调和一广义l a g u e r r e 多项式混合逼近 首先我们回顾一下球面调和逼近的一些结果令a 和0 分别是经度和纬度用s 表示单 位球面， s = ( a ，口) io s a 2 7 r , - ；sa 0 ，空间7 ( s ) 和曰：( 5 ) 分别地用h 1 7 1 ( s ) 和h 1 7 】十1 ( s ) 以及秽1 ( s ) 和 日“( s ) 之间的空间插值来定义 关于h ( s ) ，存在以下嵌入定理( 见 2 0 ) 定理2 2 1 对任何0 肛r ，日( s ) l h u ( s ) 对任何r 0 ，h 1 + ( s ) 。_ g ( s ) 特别地， f 2 等价于( 2 + f l f 2 ) ；，这里球面上的算子 a s v ( a ，目) 2 孟函( c 。s 目岛口( a ，目) ) + 鬲扔霹u ( a ，9 ) ， 厶( o ) 表示次数为1 的l e g e n d r e 多项式关联l e g e n d r e 函数为 f 厶。( z ) ： 1 【厶，。( z ) = 1 4 1 1 翌里群( 1 一。2 ) 5 毯l m ( z ) ，对于f 。，m i f 对于f l l l 其中 锄，。= ( a ，o ) 蜀，。( a ，o ) d s 令m 是一个正整数，定义有限维空间i 衍( s ) 为 l 么( s ) = s p a n m ，。( a ，0 ) ji fjsm ，1 2 is m sm ) 用v m ( s ) 表示( s ) 中所有实值函数所组成的子集l 2 ( s ) 一正交投影p 帆s ：驴( s ) 一 i k ( s ) 由下式定义 ( 尸，s 一v ) s = 0 ，k h ( s ) ， 在【2 0 】中证明了：对任何