（计算数学专业论文）数值微分算法研究及应用.pdf

中文摘要 中文摘要 数值微分是个在h a d a m a r d 意义下的典型的不适定问题在测量过程中的微 小误差有可能造成数值结果的很大误差，很多方法已经被用来解决这个问题 在本文中，我们用四种方式构造求近似已知函数导数的数值算法分别是：将 数值微分问题转化为第类算子方程，然后基于谱分析理论构造正则化算法；利用 投影方法中的g a l e r k i n 方法和配置点方法来构造数值算法；利用d e l t a 函数性质， 基于离散奇异卷积算法去构造解数值微分问题的算法；基于动力系统方法去构造解 数值微分的算法 文中对每一种方法都做了相应的理论分析和数值实验，从中我们可以看到每种 方法的优缺点 关键词：数值微分；第一类算子方程；g a l e r k i n 方法；配置点方法；离散奇异卷积 黑龙江大学硕士学位论文 a b s t r a c t n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni sc l a s s i c a li l l - p o s e dp r o b l e mi nt h es e n s eo fh a d a m a r d t h es m a l le r r o r si nt h em e a s u r e m e n tm a yc a u s es i g n i f i c a n te r r o r si nt h en u m e r i c a l r e s u l t s ，t h i sp r o b l e mh a sb e e nt r e a t e db ys o m em e t h o d s i nt h i sp a p e r ，w es t r u c t u r et h es t a b l en u m e r i c a la l g o r i t h mo fk n o w nf u n c t i o n d e r i v a t i v eb yu s i n gf o u rm e t h o d sr e s p e c t i v e l y f i r s t l y , w et r a n s f o r mt h en u m e r i c a l d i f f e r e n t i a t i o np r o b l e mt ot h eo p e r a t o re q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d ，a n dt h e ns t r u c t u r e t h er e g u l a r i z a t i o na l g o r i t h mb a s e do nt h et h e o r yo fs p e c t r a la n a l y s i s ；h o wt os t r u c - t u r en u m e r i c a la l g o r i t h mb yu s i n gg a l e r k i na n dc o l l o c a t i o nm e t h o do fp r o j e c t i o n m e t h o d ；h o wt os t r u c t u r en u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na l g o r i t h mb a s e do nd i s c r e t es i n - g u l a rc o n v o l u t i o na l g o r i t h mb yu s i n gt h en a t u r eo fd e l t af u n c t i o n ；h o wt os t r u c t u r e n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na l g o r i t h mb a s e do nt h em e t h o do fd y n a m i cs y s t e m f i n a l l y , w eg i v et h e o r e t i c a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t sf o re v e r ym e t h o d i nt h i sp a p e r s ow ec a ns e et h e i ra d v a n t a g e sa n dd i s a d v a n t a g e s k e y w o r d s ：n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ；o p e r a t o re q u a t i o no ft h ef i r s tk i n d ；g a l e r k i n m e t h o d ；c o l l o c a t i o nm e t h o d ；d i s c r e t es i n g u l a rc o n v o l u t i o n 一一 独创性声明 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得黑龙江大学或其他教育机构的学位 或证书而使用过的材料 学位论文作者签名：嚼签字日期：加9 年r 月7 日 学位论文版权使用授权书 本人完全了解黑龙江大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅本人 授权黑龙江大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可 以采用影印、缩印或其他复制手段保存、汇编本学位论文 签字日期：锄萨r 月7 日签字日期：2 。7 年岁月矿日 学位论文作者毕业后去向：烟铃 工作单位；溯嚣诵山谨电话；f 工7 鹞s ；d 土吕夕 通讯地址。l 编伽朱姻协郴两邮编：z 岬l 弓 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 课题研究的目的和意义 数值微分问题，就是通过测量函数在些离散点上的值来求得函数导数的近似 值在许多实际问题中会遇到求近似函数的导数的问题，比如：热传导方程中扩散 系数的识别问题；图像处理中的边界识别问题 s l 解a b e l 积分方程问题 6 】；化学中 的波谱的波峰识别问题1 7 】；力学中力与力距的关系【8 l ；在腐蚀探测中【9 l 【1 0 1 【1 1 】以及数 学物理学方程中的一些反问题【1 2 1 数值微分中碰到的最主要的困难就是问题的不适定性，用y ( x ) 表示原函数， 求其导数等价于解下面的算子方程 ， k 西= 咖( ) d t = y ( x ) - ，0 k 是紧算子，这是一个典型的不适定问题1 1 2 1 ，即输入数据y ( x ) 的一个微小扰动 会使输出的数据有巨大变化实际问题中y ( x ) 为测量数据，因而不可避免地带 有一定的误差，直接进行数值求解是相当不稳定1 3 1 1 4 1 所以，找到个稳定的求解 数值微分问题的方法，无论对科学研究还是实际应用，都是非常重要的 1 2 国内外同类课题的研究现状 数值微分问题相对其他反问题而言是一个古老的问题，从上个世纪中期至今 国内外有众多的学者进行这一课题的研究，得到的科研结果也很丰富如果理论研 究中不考虑数据的误差，用一般的有限差分法就能求得近似的导数，并且已经有很 多人对有限差分法的收敛性进行了研究，但如果数据带有误差，用有限差分法就有 可能造成数值解的误差很大通常都用划分的间距不能太小的办法来解决。即测量 点不能太多，在此条件下计算结果还可以接受，否则有可能测量点取的越多结果越 差然而这一要求不符合人们的思维习惯，人们习惯性认为，数据越多越能帮助得 到更精确的结果因此许多学者从其他角度来考虑数值微分问题另外一种求解数 值微分的方法就是用t i k h o n o v 正则化方法【割，此方法对求解不适定问题以及反问 题是理论上最完备而实践上行之有效的h a n k e 和s c h e r z e r 在他们的文章【1 2 】中 提出了一个极漂亮的，用t i k h o n o v 正则化方法求解一阶数值微分的方法，利用函 数值，以及函数的二阶导数来构造的t i k h o n o v 正则化泛函，并且给出了相应的误 黑龙江大学硕士学位论文 差估计这种方法的好处是正则化解是一个分片三次样条函数，求解系数的计算方 法简单，并且对正则化解求导也非常方便在文章【1 3 】中将这种方法推广到了高阶 数值微分问题，并讨论了二维的情况求数值微分的问题本质上是不适定的，因此 必须用正则化方法，其中正则化参数的选取是该方法的个核心问题严格来讲稳 定的近似求导方法都是基于正则化思想，所不同的是正则化解算子的构造和正则化 参数的选取对于这类问题需要用特殊的方法，比较常用的数值微分方法有：差分 法f 1 5 】f 16 j 【1 7 i ，积分算子方法1 1 8 l ，样条插值方法1 1 8 l ，磨光法c 2 2 l 【冽等， 差分法：直接用普通的有限差分法去近似已知函数的导数可能造成的误差非常 大，在1 1 5 j 中引入广义的差分法研究了算法的收敛性，收敛率以及收敛率的最优性稳 定解的收敛率分析一直是不适定问题解法中一个十分重要的问题【1 4 1 g r o e t s c h 曾 得到了求导运算中近似稳定解的最优收敛率为0 0 2 3 ) ，6 为近似数据的误差界，而有 些广义的差分法1 1 5 1 可提高收敛率在一定条件下可达到o ( 6 4 5 ) 甚至o ( 铲叶2 2 舛3 ) ( 其中n 为非负整数) ，并且这个收敛率是最优的 积分算子方法。此方法就是构造积分算子来近似导数，其基本思想是；设，6 ( z ) 是“x ) 在i = 【a ，b 】上的个扰动数据，则 醐咖= 嘉矿( 州m x i 是，( z ) 的近似【1 8 | 但这种正则化方法能近似求出导数的点并非i 上的任意点， 离i 的端点很近的点是无法求的解决此问题的个办法就是把i 上的函数适当向 外延拓 样条插值法；此方法本质上是用已测得的数据，6 ( 筑) ，l = 1 ，n ，构造光滑 的样条函数s ( x ) ，则s ( z ) 可以作为，( z ) 的近似此方法的优点是给出了近似解收 敛速度的估计 1 s 1 磨光法：此方法是对扰动数据进行磨光处理以得到对于求解问题有较好性质的 逼近函数m a n s e l l i ，m i l l e r 2 5 】以及m u r i o 2 6 】应用w e i e r s t r a s s 核来构造磨光算子， 求解不适定问题，在文献【2 7 】中m o u r i o 给出了个磨光方法的般框架并探讨了 它在一些问题中的应用h a o d n 在 2 8 】中进步讨论了这些磨光方法并将其拓 展到b a n a c h 空间近来，e l d e n 2 9 】提出了一种基于小波及f o u r i e r 变换的磨光方 法这些提到的方法共同的缺陷是磨光参数的选取般是基于先验准则的，在实际 应用中受到很大限制文献f 3 0 】中给出了个新的磨光方法的框架，考虑由扰动数 据重构原函数的导数问题，其中正则化策略选择了典则t s v d 方法 一2 一 第1 章绪论 1 3 本文研究的内容 在本文中我们给出四种构造近似已知函数导数的稳定数值的算法其是直接 从算子方程出发，基于普分析理论构造正则化算法；其二是基于离散的数值方法中 的投影方法来构造正则化算法，其三是利用d e l t a 函数性质，基于离散奇异卷积算 法去构造数值微分算法，其四是基于动力系统的方法，这些问题无论在理论分析方 面还是在实际应用都是重要的 在第2 章中，将一阶数值微分和二阶数值微分问题转化为等价的求解第一类 算子方程问题，求它的奇异值系统然后基于谱分析原理构造正则化算法，并且讨论 了算法的收敛性误差估计在第3 章中给出了g a l e r k i n 方法和配置方法的理论分 析，用这两种方法求解第一类积分算子方程，并且分别讨论了算法的收敛性和误差 估计这两种算法都是源于先离散化再正则化的思想，所不同的是g a l e r k i n 方法 采用的是正交投影算子，而配置方法采用的是插值投影算子第4 章中给出了利用 d e l t a 函数的性质基于离散奇异卷积去构造数值微分的算法这种算法最主要的问 题是正则化d e l t a 函数的选取以及离散奇异卷积核函数的构造，这个过程实际是一 种磨光化的过程在第5 章中，给出动力系统( d s m ) 方法 一3 一 黑龙江大学硕士学位论文 1 1_1 第2 章基于谱分析的正则化方法 2 1 简述正则化理论 假定k ：x _ y 是紧线性算子，x ，y 为h i l b e r t 空间。方程 = y ( 2 1 ) 的解是不适定的用正则化方法求解不适定问题的是核心是构造正则化算子心，令 y e k ( x ) 是方程( 2 1 ) 右端的精确数据，而y 6 e y 是满足l 一训占的误差数据， 定义 1 9 b o , 6 ：= 心矿， 则护，6 是由扰动数据y 6 构造的k b = y 的精确解的近似值对l i e a ，5 一训进行误 差估计 0 口，5 一0 6 | i 如0 + i i p b k 庐一0 因此求解不适定方程的正则化方法的基本问题是，决定一种策略口1 - - - - q ( 6 ) 使得 硎吼0 + 0 r 一删 极小化，且6 _ 0 时有刚r 0 + lj r o k 妒一训_ 0 构造正则化算子有多种方式， 其理论基础都可以用紧算子的奇异值分解来解释详见【1 8 】 2 2 一阶数值微分 2 2 1 一阶微分问题 在本节中，我们讨论一维数值微分问题，并将它转化为等价的第一类积分算子 方程，进而求出它的奇异系统 设y = y ( x ) 是定义在 o ，1 】上的个函数，n 是个自然数，a = o1 1x 0 x l z n = 1 ) 是【o ：1 】上的个分划记 乜2 戤一毛一l ，= l ，2 ，佗 i l 2 寒：慧乜 我们考虑以下数值微分问题，给定函数在点墨处的值玩，满足 i 甄一耖( ) i 6 ，i = 0 ，1 ，2 ，7 l 一4 一 第2 章基于谱分析的正则化方法 这里6 是个给定的常数，用来表示数据的误差水平 我们希望找到函数( z ) ，使得( z ) 是函数v ( x ) 的个近似这里指的是函 数关于变量x 的一阶导数 不失般性，假定x = o ：1 的数据是准确的，即磊= 可( o ) ：蟊= 秒( 1 ) 否则可用 r ( x ) = v ( x ) + 霸一v ( o ) + ( 磊一y ( 1 ) 一面+ ! ，( o ) z 来代替y ( x ) ，y ( o ) = 蟊，y ( 1 ) = 磊 根据n e w t o n - l e i b n i z 公式 一 可( t ) 一箩( o ) = 矿( t ) a t ( 2 2 ) j 0 我们可以通过求解( 2 2 ) 式来得到y ( x ) 的个近似由假设，边值y ( o ) 和y ( 1 ) 是 精确的，所以我们不妨假设y ( o ) = y ( 1 ) - - - - o ，有 ，t y l ( t ) d t = v ( t ) ( 23 ) ，0 下面给出积分算子k 的定义k ：l 2 【o ，1 】一l 2 【o ，1 】 ，1 k ：= k ( z ：t ) ( t ) 以， w l 2 【o ，1 】( 2 4 ) o 。飘，数值微分问题转化为求函数( z ) l 2 【o ，l 】i 使 z 0 和0 p 肚l l 成立， i g ( q ，p ) l 1 ； ( 2 ) 存在函数c ( q ) ，使得对切的0 0 肋= 霎掣蝴 是个正则化算子，构造正则化算子玩的方法本质上就是找到一种方法把算子k 的小奇异值过滤掉 对于方程k = y ，设有误差的右端数据y 6 满足 l i 掣6 一秒i l 定义护，6 = 心矿是由扰动数据y 6 构造的此方程的精确解的近似值事实上 i i 护，6 一0 l l 凡y 占一r 口可0 + 0 凡y 一0 i i 兄q l 川y 6 一可0 + i i k k 一0 ( 2 5 ) 6 i | 如0 + i l 玩k 砂一爹| | 第2 章基于谱分析的正则化方法 下面分别估计i | 兄0 和i i r 口k 一圳直接计算有 1 l i 心训2 = ，p n ) 1 2 去y n ) 1 2 f l = 1 7 ， o o c ( q ) 2 p n 2 石i 鲰) 1 2 c ( q ) 2 1 2 即i i r , 。i i c ( 乜) = 丽1 所以 6 i i r o l l 、 o ) ，则有 一训互1 【v 三1 + 饲俪 ( 2 8 ) 当万一0 时0 妒声一训一0 定理2 2 1 设砂x 是方程k = y 的精确解，矿为方程右端的扰动数据且 矿l 2 【0 1 】，设管：= ，叁亟鼍等( 矿，鲰) 九，q = 。( n 则有当6 _ 。，m 一+ 时，咖管一曲 一7 一 黑龙江大学硕士学位论文 o o 证明：由y 6 = ( y 6 ，) 鲰知l 0 = i ( y 6 ) 1 2 0 存 n = ln = l 0 0 在正整数m ，s t l ( 矿，鲰) 1 2 所以 n = ，+ 1 0 一0 乏l f 岔一妒，6 0 + i l 咖q ，6 一0 - i i n 量0 0 ，掣( y 6y n 川i + 三( 嘉+ 酮 引。耋，( y 6y n ) 2 】+ 三( 嘉+ e 侗 n = f + 1 一 v 一 e + 三( 嘉+ e 伺 取q = 。( n 则有嘉+ e 正一。( 6 _ 0 ) 所以结论得证4 2 3 二阶数值微分 2 3 1 = 阶微分问题 在前部分我们讨论了一阶导数的数值微分但在很多实际应用中高阶数值微 分也是十分重要的例如微分方程中系数函数的确定，腐蚀探测问题等等在下面 的讨论中，我们可以用前面的正则化方法处理二阶微分【1 9 1 设g ( x ) 是区间【o ，1 】上的函数，对于任意给定的自然数n ， a = 0 = x 0 x l x n = l 是【o ，1 】上的个划分，称盈为采样点，函数在点墨处带有误差的值孬是已知的， 满足 i 磊一夕( 戤) l 五 = 1 ，2 ，n 这里的6 是已知很小的常数，称为误差水平 我们希望通过磊来求得g ( x ) 的二阶导数旷的近似值，这里指的是函数关 于变量的二阶导数不失般性，我们假设面= 夕( o ) ，蟊= g ( 1 ) 是精确的，而且 g ( 1 ) = g ( 0 ) = 0 我们将利用下面的命题把上述问题转化为等价的第一类积分算子 方程 命题2 3 1 设函数 一8 一 若妒( z ) l 2 【o ，1 】，则 的二阶导数为，即 七c z ，可，：= y ( x - 1 ) , ：兰： 出) ：= z 1 ；蜘( 可) 曲 让( z ) = ( z ) ：z ( 0 ，1 ) 证明：u ( z ) 也可以写成 仳( z ) = ( z 一1 ) z 0 2 矽( y ) 却+ zj ( 1 ( y 一1 ) 庐( y ) 咖 仳( z ) = ( z 一1 ) 矽( y ) 却+ z ( y 一1 ) 庐( y ) d 秒 _ ，z ，由此可知道u ( o ) = 让( 1 ) = 0 下面根据广义导数的定义来计算( z ) 对v 山 曙【o ，1 】， 小洲拙 我们得到 进而 =1 c t p ( z ) 1 七( z ，y ) ( y ) d y d x = z 1 多( y ) z 1 七( z ，可) u ( z ) d z d _ y = z 1 ( 秒) ( ( 秒一1 ) z 0 yx w t ( z ) 出+ 可z 1 ( z 一1 ) u 他) d z ) 妇 = 小训f 吣m 可小z ) d x l d y = 一z 1u ( z ) 1y ( y ) 咖如+ 1w ( z ) z 1 ( ! ，) 由如 = 一z 1u ( z ) z 1y ( 可) 匆一z 1 ( 秒) 妇】d z 让7 ( z ) = z 11 ，( y ) d y z 1 ( 秒) 匆： z 1 ( z ) u 7 ( z ) d z = z 1u ( z ) ( z 1 可( 可) d y z 1 咖( 可) d y ) d x = z 1 可砂( 们z 1 u ( z ) 如咖一1 w t ( z ) z 1 妒( ! ，) 妇如 = 一z 1 ( y ) z ”u 7 ( z ) d x d y = 一1 w ( 可) ( 可) 句 = 一f ow ( 。) ( z ) d z 黑龙江大学硕士学位论文 即司得到矿( z ) = ( z ) 结论得证# 引入算子k ：l 2 【o ，i 】一l 2 【o ，1 】，对l 2 f o ，1 】， ( t ) ：= f o k ( t ：s ) ( s ) 出：v l 2 。，1 】 ( 2 9 ) 上述求二阶导数问题可以转化为解第一类积分方程 ( t ) = g ( 0 ( 2 1 0 ) 由伴随算子定义( ；妒) = ( ：k 妒) ，直接计算可得k = k 设k 的特征系 统为( a n ，九) ，即k = 入。，由k 的定义( 2 9 ) 知满足 ip n ( z ) 一九( z ) = 0 ，0 z 1 ， i 如( o ) = 加( 1 ) = 0 该问题的特征值和特征函数是 脚= 一丽1 ，如( z ) = 讵s i n 佗7 r z ，n = 1 ，2 进而k 的奇异值系统为( 地，如，) 述 = 一嘉【_ ， 以= 鲰= 讵s i i l 礼丌z ( 2 1 1 ) 所以计算二阶数值微分的正则化方法可以仿照一阶数值微分给出，在此将不赘 2 4 数值实验 科：2 ；最( 圳加 本节我们给出数值例子来说明一阶数值微分，二阶数值微分的谱分析算法是可 行的数值实验中的扰动采用方程右端的精确值添加随机误差生成，误差的大小均 不超过误差水平6 所有的数值计算是使用数学软件m a t l a b 实现的设同题的真 解是u o ，利用谱分析方法求得的数值解是t ，定义a e ：= 绝对误差= i 锄一u l ， r e ：相对误差：竺 1 u o i 第2 章基于谱分析的正则化方法 2 4 1 一阶数值微分 本小节我们给出个简单的数值例子来说明一阶数值微分的谱分析算法是可行 的取函数夕( z ) = z 2 一z ，它相应的一阶导数是y l ( x ) = 2 x - 1 我们将用谱分析方法 计算它的一阶导数下面考虑m ，q 和石变化时，在点0 3 ，0 6 ，0 9 处的结果，参 见表( 2 1 2 4 ) 表2 1m - - - - 1 0 0 q = 0 0 0 0 0 16 = 0 表2 2m - - - - 1 0 0 n = o 0 0 0 0 16 = o 0 5 表2 3m = 2 0 0 口= o 0 0 0 0 16 = o 0 5 黑龙江大学硕士学位论文 表2 4m = 1 0 0 q = 0 0 0 0 1 6 = o 0 5 由表2 1 ，2 2 可知m 和q 的取值不变时，6 越小，数值结果越接近精确解；由 表2 2 ，2 3 可知q 和6 不变时，m 越大，数值解越接近精确解；由表2 2 ，2 4 可知 m 和6 不变时，q 越大，数值解越接近精确解 下面给出j = 0 和6 = 0 0 5 时数值解和精确解的对比图像以及绝对误差图像 图2 3 2 4 2 二阶数值微分 在本小节中，我们仍取函数秒( z ) = 一一z ，它相应的二阶导数是旷( z ) = 2 我 们将用谱分析方法计算它的二阶导数下面考虑m ，q 和6 变化时，在点0 3 ，0 6 ， 0 9 处的结果，参见表( 2 5 2 8 ) 第2 章基于谱分析的正则化方法 表2 5m = 1 0 0 口= 0 0 0 0 0 1占= 0 表2 6m = 1 0 0口= 0 0 0 0 0 1 6 = 0 0 5 表2 7m = 2 0 0 a = 0 0 0 0 0 16 = 0 0 5 表2 8m = 1 0 0 d = o 0 0 0 15 = 0 0 5 求值节点精确值 数值解 r e 0 3 0 6 0 9 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 1 3 1 6 4 5 6 6 4 2 0 9 8 2 7 2 0 3 5 3 1 5 2 0 1 7 7 1 6 8 0 0 4 9 1 3 6 1 1 7 6 5 7 6 黑龙江大学硕士学位论文 由表2 5 ，2 6 可看出m 和q 不变时，占越小，数值解越接近精确解；由表2 6 ，2 7 可看出q 和6 不变时，m 越大，数值解越接近精确解；由表2 6 ，2 8 可看出m 和 6 不变时，q 越大，数值解越接近精确解 下面给出6 = 0 和6 = 0 0 5 的对比图像 圈2 6 图2 。8 第3 章正则化的投影方法 第3 章正则化的投影方法 投影方法是构成正则化方法的离散的数值方法，下面给出用投影方法解算子方 程的一般过程 1 s l 3 5 1 定义设x ，y 是b a n a c h 空间，k ：x _ y 是有界的一一对应算子x c x ，kcy 是有限维的子空间，r ：y k 是投影算子，对给定的y y ，解方 程k 咖= 可的投影方法就是解方程组 r = r ，九矗 ( 3 1 ) 设 五，磊) 和 玩：豌) 分别是矗，碥的一组基，则r y ，r k 匆k 可表 示为 nn r 掣= 屈参，r k 而= a 舒反， 歹= 1 ：，佗( 3 2 ) 从而“= a 晚是方程组( 3 1 ) 的解的充分必要条件是， i = l 有限维线性方程组 n 如叼= 屈f = 1 ：，馆 j = l q = ( o t l ，q n ) 满足 ( 3 3 ) 如果取该方法中的投影算子r ：y _ k 是正交投影或插值投影就得到两个 重要的方法：g a l e r k i n 方法和配置点方法本章的目的是用g a l e r k i n 方法和配置 点方法解决数值微分问题 3 1 g a l e r k i n 方法 3 1 1 g a l e r k i n 方法的理论分析 设x = y = l 2 【o ：1 】，k ：x 叶y 是有界的对应算子，墨cx ，kcy ， 取r ：y _ k 是前述的正交投影投影方程r k 加= r 可可写为r ( k 如一! ，) = 0 ( 零向量) 对正交投影r ，该式等价于k 如一可上k ，即( k 如一秒，z ) = 0 对一切的 z e y 成立，所以有 ( k 九，z ) = ( 可：z ) ，比k( 3 4 ) 记r ，l ：= ( r k i ) - 1 r 令n = 如并取z = 奶把式( 3 4 ) 写成( 3 3 ) 的形式，从而 j = l 如= ( k 咖，蟊) ，屈= ( y ：反) ，i ：歹= 1 ，n( 3 5 ) 黑龙江大学硕士学位论文 相应的误差估计有如下结果，证明见【1 8 】 定理3 1 1 设k = y 且g a l e r k i n 方程( k 妒n ，z ) = ( 掣，z ) 对任意右端是可解 的 ( 1 ) 设y 6 是满足l i 矿一圳石的误差数据，醒是 ( k 旌：磊) = ( y 5 ，z r i ) ，k( 3 6 ) 的解，则有误差估计 l i 织一矽0 j | j 心0 + i l 忍k 一0( 3 7 ) ( 2 ) 设a i j ，屈由式( 3 2 ) 给出，是满足i 矿一p i 6 的误差数据，l i 表示 e u d i d e a n 模记是a a 6 = 的解，定义 其中 k i 多6 一驴i l 6 n l i r i i j + i i p h k 一0 k = m a x 3 1 2 求一阶数值微分的g a l e r k i n 方法 n ：0 乃刚= 1 ) ， j = l ( 3 8 ) 由g a l e r k i n 方法的一般结果知，该方法的收敛性依赖于算子k 在有限维空间 五。上的条件数的估计。此估计也称为稳定性性质 定理3 1 2 设多l 2 【o ，1 】是算子方程k ：= 七( z ，t ) 妒( t ) 出= y ( x ) 的解记 ，0 y 5 l 2 【o ，1 】满足| j 矿一圳二。6 ，如果醒是方程的g a l e r k i n 近似解，即鹕满足 ( k 织，z n ) = ( 城，z n ) 娥) ， v 磊碥 ( 3 9 ) 其中核函数七( z ： l t 毛则对一切佗成立 10 ，z t 喊一e l l l 。丽2 + ( 1 + c ) i n f 。i z m e 1 1 证明：由定理3 ，1 1 知 0 5 一0 k i i 心1 1 6 十l i r k 一0 一九 馆芦 | i 镀 第3 章正则化的投影方法 6 n = m a x n ：o 岛刚= 1 ) j = l 首先对k 进行估计记吻= 三，j = o ：1 ，n ，设k 的基函数为无( t ) = 蝴，= r 啊主口竹 因为l l= 1 ，所以 nn p j 坊1 1 2 = ( 办易，乃坊) j = lj = l = 孺 j = l 乃坊) 2 d t 壹妻胁乃01玩彩出j 胁乃 玩彩出 = li = l 壹妻蚴z 1k 鑫k 驰i = 1 i = l u nn 厂厂 t - o t - l i = 1i = l肼乃f 0 1 f 0 1k ( z ，t ) 七( 瓤，) 出z 1 七( z ，t ) 七( 巧捌出 当i 歹时，上式= 。当i = j 时，上式= 耋房去，即l 厶n = m a x 1 2 ：壹虏三：1 ，所1 22 i = 1 房云2 1 ，所 ：i | p j 易l l = 1 ) 何 i = 1 再对r 进行估计，定义o n ：= m o x l l z i i ：磊：i i k 0 = 1 ) 一1 7 一 缈乃 n 一协办 n m = n 弘脯 以 进 黑龙江大学硕士学位论文 i i g z 1 1 2 - i izh 为善州引) d t l l 2 2 上【上以叫) 善酬划 2 z 【善z 以列( 吻，t ) d t a j 2 如 ( 3 - 1 0 ) = z 1 壹j = 。产i = 1 , i o 叫引肌0 1 “皿h 如 nn ，l，i，l = 啦 【七( z ，t ) k ( x j ，t ) 出七( z ：t ) 七( 翰，t ) d t l d x j = li = 1 j o j oj o 当i j 时，i i 磊0 _ 0 当i = 歹时， n 竹tl广双 ，1 ( 3 1 0 ) 2 善上 嘲蝴+ 【小州啪出 = q 。2 ( 矿+ z i ) 如 i - - 1i - - - - 1 。” 1 1 磊1 1 ：( 半) 。 从而有i i z i i - i 2 万 元2 ，即 ：= m 凹 i i l i ：磊，l l g l l = 1 ) 寺 记加= r 可，由l i g 妒n | 1 2 = ( k 。，k 以) = ( y ，k 九) i l y l i i i k 砂i i 得i i k 如0 m 1 再由6 r n 的定义有 0 r 圳= 0 0 = l i g z , , i 川妒n 0 = i i z , , i l | i g n 0 怕i i 所以 i i r i i 寺 ( 3 1 1 ) 最后估计0 r k 一1 1 ，由前面的内容可知 0 风咖一曲0 = 0 r y 一妒0 = 0 九一西0 ( 3 1 2 ) zd n 1 z + 尸 1 3 2一n 砰 n试。谢 n嘲n汹 第3 章正则化的投影方法 由心：= ( r k i ) - 1 r ，对于磊有 r k 磊= ( r i ) 一1 r k = 因此r k 为x _ 的投影算子由( 心k j ) 磊= 0 ，从而对于一切的磊 有 咖一九= ( r k j ) 一( r k j ) = ( 心k 一职一磊) 所以 0 k 妒一l f = i i “一0 ( 1 + c ) 1 里i | z ，i 一l i ( 3 1 3 ) ：n t n 综上所述 6 一| i k 0 r 0 6 + i l r k 妒一0 ，) 云痂+ ( 1 + c ) z , n i 遁e x n 恢一l礼 = 砺26 + ( 1 + c ) 彬i n f 。1 1 巯一饥 结论得证h 最后我们给出方法( 3 9 ) 对应的矩阵表达式记q = ( q i ，q 2 ，q ：) t 3 2 配置点方法 3 2 1 配置点方法的理论分析 设x = l 2 【o ：1 】，cx 是维数为1 1 的有限维子空间，0 g l t n 1 是配置点，假定配置方程 k n ( 屯) = ( 如) t = 1 ，n( 3 1 4 ) 对任一右端项在k 上是唯一可解的，取 磊：j = 1 n ) 为k 的基函数，记 加：妻磊，把上述方程写为矩阵形式a a ：p ，系数矩阵a 和右端项p 的元素 j = l 为 a q = k 九( 岛) ：屈= y ( t i ) j i = l n 定义矩阵a 的谱范数： 黑龙江大学硕士学位论文 其中a ( a t a ) 表示矩阵a 的最大特征值，由此定义，对可逆阵a 显然有 11 其中入n 表示a 的最小奇异值【1 8 1 定理3 2 1 设【t ，) ，舒) c 【0 ，1 】，n t n 是配置点序列，u 在x 中稠 n ( ) 密，记驴n 5 ：妻6 秀e 墨，其中哟5 满足a 5 ：，矿满足妙一p i 6 ，则有下 列误差估计 i i 嫉一l i - 5 + c m i n l l c b 一磊l l l ：磊矗) ( 3 1 5 ) ，、n 其中 a n = m o x l l 乃秀| j ：i 乃1 2 = 1 ) j = 1j = l 入n 是a 的最小奇异值 1 8 1 定义3 2 2 设x = l 2 【o ，1 1 ，如cx 是 k 九( 如) = y ( 乩i = 1 ：，竹( 3 1 6 ) 关于配置点0 t l k 1 的矩解，如果满足式( 3 1 6 ) 且 0 “i l l 2 = 仇饥删磊i i 工z ：z n x ) ( 磊满足式( 3 1 6 ) ) 定理3 2 3 设矗= z 。c l 2 ( o ，1 ) ，磊h “) = 1 ，j = i ，n ) ，三2 i o ，1 】是 ，工 算子方程k ：= 后( z ，t ) e p ( t ) d t = y ( z ) 的唯一解，则配置点方法是收敛的如果 ，0 织2 暑岛，其中满足a a 6 = ，i 一卢l 6 ，则有下列估计 峨刊邮4 n 厣+ 新l ， 其中 c z ，t ，= 三：二鼍： 第3 章正则化的投影方法 imi_i 证明：算子k 的核函数为 m ： 1 10 ，z t 取等距节点 ( ) 出= y c z j ) ， 歹= 0 ，n ，0 则矩方法就是在约束条件 ，即 ( t ) 出= y c t j ) ， 歹= 1 ，n ，0 下极小化i l 乏：取k 上的基函数为荔( t ) ：尼( ，t ) ，从而以：妻哟后( 吻：t ) 就 是矩解o t = ( q ，a l ：) t 满足a q = p ，其中 其中 a 巧= f 0 1k ( 戤：亡) 七( 巧，t ) d s = 丢m 饥【i ，歹) ， 由定理3 2 1 知 展= y ( h ) 织一1 1 导6 + c m i n l l 妒一磊l l l ：k ) ， n = m 凹 l l 乃奶i l ：蚓2 = 1 】， j = lj = l 下面我们要对a n ，h 以及r a i n ( 1 i e 一0 l ：磊k ) 分别进行估计 设p 册满足 n 丹2 = 1 ， j = l 势c 酬2 如：1 姜蝴心s = 喜巧= 半 1 1 ,n = m 口x l l p j 磊l l ：i p j l 2 = 1 ) j = l j = l 因为a 莳= 去m 饥 i ，歹) ，易证 a 一1 ：n 2一l0 0 00 121 0 00 ol2 000 oo0 一1 21 o00 0 - 11 2 1 黑龙江大学硕士学位论文 a _ 1 的最大特征值地n 可以用a 1 的每一行的元素的绝对值的各的最大值来估 计，即加m 4 n 我们可以用迹公式给出脚m 的下界，该估计几乎是最优的，即 n t r a c e ( a 一1 ) = ( a 一1 ) j j = ( 2 n - - 1 ) n j = l 因为a t = a ，由定义 入n = 厕= 厕= 厕= 研1= 忑1 从丽k 的估计为 11 一k2n-14n 。 最后估计m i n l l 一z n 0 l z ：磊x 。) 当t 限一l ，t d 时，其中1 ，2 【t i - x ，吼 一础) l = i 刊啪】( 高) 州叫址1 ) 】( 兰) 愀i i 与訾掣i 州( 驯i 号警i l 坠芒当型m 刨+ ) i 兰l l , p l j 又因为l i e ( t ) 一磊( 圳。t m 【0 i l a x j i i ( 。) 一九( 。) 1 1 所以有 删扎 1 1 妒- z , , l l k ) 副珊 从而 慨一1 1 砖4 n 停+ 产- n 1 1 咖 1 1 结论得证| 3 3 数值实验 在一节中我们给出数值例子来说明一阶数值微分，二阶数值微分的配置方法是 可行的数值实验中的扰动采用方程右端的精确值添加随机误差生成，误差的大小 第3 章正则化的投影方法 均不超过误差水平6 所有的数值计算是使用数学软件m a t l a b 实现的设问题的 真解是t o ，利用配置方法求得的数值解是让，定义a e ：= 绝对误差= i u o 一让i ， r e ：= 相对误差= ； 1 u o l 3 3 1用配置点方法解一阶数值微分问题 本小节我们给出个简单的数值例子来说明一阶数值微分的配置点方法是可行 的影响此方法求解数值微分结果的因素主要有：矩阵a 的大小，正则化参数q 的 选取，以及方程函数值的误差水平选取光滑函数可( z ) = z 2 一o ，它相应的一阶导 数是y ( x ) = 2 x - t 我们将用配置点方法计算它的一阶导数下面考虑a ，口不变， 6 变化时，在点0 3 ，0 6 ，0 9 处的结果，参见表( 3 1 3 2 ) 表3 1a = 1 0 06 = 0 q = 0 0 0 0 0 1 表3 2a = 1 0 0 6 = 0 0 0 5口= 0 0 0 0 0 1 解 由表3 1 3 2 可看出：当a 和口的取值不变时，6 越小，数值结果越接近精确 黑龙江大学硕士学位论文 上面图像是6 = 0 和占= 0 0 0 5 时数值解与精确解的对比以及绝对误差的变化 情况 3 3 2 用配置点方法解二阶数值微分问题 在本小节中，我们仍取函数( z ) = z 2 一z ，它相应的二阶导数是矿( z ) = 2 我 们将用配置方法数值计算它的二阶导数下面考虑a ，q 不变而6 变化时，在点o 3 ， 0 6 ，0 9 处的结果，参见表( 3 3 - 3 4 ) 表3 3a - - - - - 1 0 0 5 = 0q = o 0 0 0 0 1 表3 4a = 1 0 06 = o 0 0 5q = 0 0 0 0 0 1 由图表3 3 - 3 4 可看出：当a 和a 的取值不变时，6 越小，数值结果越接近精 确解 下面图像给出6 = 0 和石= 0 0 0 5 时数值解与精确解的对比以及绝对误差的变 化情况 第3 章正则化的投影方法 图3 5 图3 7 2 5 一 图3 6