（计算数学专业论文）对流扩散方程的特征有限元方法.pdf

摘要 本文在各向异性网格下讨论了两个低阶非协调元在对流占优扩散方程中的应用首 先讨论了对流扩散方程在全离散格式下的各向异性非协调特征有限元逼近，在解适当光 滑的条件下，与特征扩展混合元格式相比在空间上将通常的l 2 误差估计从o ( h ) 提高到 o ( h 2 ) ，从而提高收敛速度，改善了以前的结果其次对该方程提出了非协调各向异性特 征扩展混合有限元逼近该方法是对流部分沿特征线的后退差分格式求解与扩散部分扩展 混合有限元方法的结合，并且利用单元的一个特殊性质；插值算子和椭圆投影的一致性， 在解的光滑性要求降低的条件下，得到了与正则网格下的协调扩展混合元逼近格式相同 的误差估计 兀 关键词：对流扩散方程，特征扩展混合有限元方法，非协调元，各向异性网格，混合 a b s t r a c t t w ol o wo r d e rn o n c o n f o r m i n gr e c t a n g u l a rf i n i t ee l e m e n t sa r ea p p l i e dt ot h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o no na n i s o t r o p i cm e s h e si nt h i sp a p e r f i r s t l y , an o n c o n f o r m i n gr e c t a n g u - l a rf i n i t ee l e m e n t si sa p p l i e dt ot h ec o n v e c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hac h a r a c t e r i s t i cf i n i t e e l e m e n ts c h e m e u n d e ra n i s o t r o p i cm e s h e s ，w h e nt h es o l u t i o ni sa p p r o p r i a t e l ys m o o t h ，t h e o ( h 2 ) o r d e re r r o re s t i m a t ew i t hr e s p e c tt ot h es p a c e i so b t a i n e dw h i c hi so n eo r d e rh i g h e r t h a nt h ee x p a n d e dc h a r a c t e r i s t i c - m i x e df i n i t ee l e m e n ts c h e m e s e c o n d l y , w ea p p l yan o n - c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tt ot h es a n l ee q u a t i o nw i t ht h ee x p a n d e dc h a r a c t e r i s t i c - m i x e d f i n i t ee l e m e n ts c h e m eo na n i s o t r o p i cm e s h e sw i t hr e s p e c tt ot h es p a c e t h em e t h o di sa c o m b i n a t i o no fc h a r a c t e r i s t i ca p p r o x i m a t i o nt oh a n d l et h ec o n v e c t i o np a r ti nt i m ea n da n e x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n ts p a t i a la p p r o x i m a t i o nt od e a lw i t ht h ed i f f u s i o np a r t i n t h ep r o c e s s ，t h ea n i s o t r o p i ci n t e r p o l a t i o no p e r a t o ri su s e di n s t e a do ft h ee l l i p t i cp r o j e c t i o n a si nt h ep r e v i o u sl i t e r a t u r e w h e nt h er e q u i r e m e n to ft h ee x a c ts o l u t i o n sr e g u l a r i t yi s l o w e r ，t h eo p t i m a le s t i m a t e sa r eo b t a i n e da st h es a 3 ：n ea st h ep r e v i o u sl i t e r a t u r ef o rt h e c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n tu n d e rr e g u l a rm e s h e s k e yw o r d s ：c o n v e c t i o nd i f f u s i o ne q u a t i o n ；e x p a n d e dc h a r a c t e r i s t i cm i x e d f i n i t ee l e m e n tm e t h o d ；n o n c o n f o r m i n gf i n i t ee l e m e n t ；a n i s o t r o p i cm e s h e s ；m i x e df i n i t e e l e m e n t s 2 引言 有限元方法是当前求解偏微分方程数值解的一个重要方法，广泛应用于解决物理现 象，工程问题及科学计算等领域中在我国冯康先生独立于西方科学家发明了这种方法 自5 0 - 6 0 年代以来，有限元方法得到了极大的发展，并在结构力学等众多领域中取得了很 大的成功现如今有限元已经成为一门理论完善、应用广泛的数值计算方法 经典的有限元理论【1 ，2 】是建立在单元剖分的正则性条件或拟一致假设的基础上的， 即要求剖分满足t 虹p ksc 或瓦= h c ，其中h k 是单元的最大直径，p k 是k 的最大内 切圆直径，h2 k m a 7 xh k ，n = 。r a i h nh k ，五是区域q 的一个剖分族随着有限元方法 研究的日益深入和应用范围的不断扩大，正则性条件已经成为有限元应用的制约因素一 方面，许多实际问题的解可能会在边界层或区域的拐角处呈现各向异性特征，即真解仅仅 沿某一方向变化剧烈此时，标准的有限元方法会失去原有的精度另一方面，在实际应 用中，如复合材料和转子间隙问题等若采用正则性网格。计算量很大，无法承受解决此 问题的有效方法之一就是采用各向异性单元，即元 可以很大，甚至趋于无穷因此， 各向异性元【3 - 1 0 1 的研究成为当前有限元方法研究的热点、亮点之一，深受国内外学者的 关注 扩展混合元方法f 1 1 ，1 2 】是传统混合元方法的一种推广，该方法通过引入两个中间变 量，将原问题化为未知函数，梯度函数和流量函数的方程组在标准有限元方法，对解空 间的光滑度相对要求较高并且在进行误差估计时，只能直接得到关于未知函数的误差估 计传统的混合有限元方法，降低了对解空间光滑度的要求。而且还可以同时高精度的对 未知函数及流量进行估计扩展混合元方法则可以同时逼近未知函数、未知函数的梯度、 流体流量该方法的优点在于：1 允许三个有限元空间具有不同的多项式次数；2 可以 用于解决复杂边界和小粘性参数问题 近年来，随着科学技术的不断发展。对流扩散方程的求解问题的研究具有重要的理 论和现实意义可应用于环境科学、能源开发、流体力学等很多领域，在对流占优的扩散 问题中，由于溶质分子的扩散是相对缓慢的，对流占主导地位，因此它具有双曲方程的特 点近年来人们关于这类数值方法的研究有很多例如：【1 3 】中提出的了一种新型数值模 1 拟方法一特征扩展混合有限元法，流线扩散法【1 4 】，最小二乘混合有限元法【1 5 】，改进的 特征g a l e r k i n 有限元法( m m o c - g a l e r k i n ) 【1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 3 】等等沿特征线做时间变量 的离散化并与有限元法结合，这是求解线性或非线性对流项方程的有效、值得推荐的数值 计算方法但是到目前为止，但有关对流扩散问题的非协调各向异性元的研究还很少并 且在他们的研究中r i e s z 投影或修正格式是必不可少的本文针对对流扩散方程提出了 各向异性非协调特征有限元逼近，在各向异性网格下将未知函数在空间上的l 2 收敛阶从 【1 3 】中的o ( h ) 提高到o ( h 2 ) ，改善了以前的结果其次对该方程提出了非协调各向异性 特征扩展混合有限元逼近该方法是对对流部分采用沿特征线的后退差分格式求解，扩散 部分采用扩展混合有限元法相结合，并且利用单元的一个特殊性质：插值算子和椭圆投影 的一致性，在解适当光滑的条件下，得到了与传统方法相同的误差估计 本文的写作安排如下z 第一章；预备知识列举本文中运用的记号及定理 第二章：对流扩散方程的各向异性非协调有限元逼近 第三章：对流扩散方程的各向异性非协调特征扩展混合有限元逼近 2 第一章预备知识 1 1s o b o l e v 空间及嵌人定理 设舻为佗维欧氏空间，n 为舻中的区域用妒( q ) 表示切定义在q 上的p 次 可积函数组成的集合俨( n ) 表示切q 在上本性有界的可测函数组成的集合则按范 数 i p ( o ) = ( 如i u c x ) l v d x ) ；，1 p o o 0 训l l * ( n ) = e 8 8 8 u p z n i “( z ) i ，p = o o 内积定义为( 让，t ，) = ，0 u v d x 用眇( q ) 表示区域q 上m 次连续可微的函数组成的集合，c o o ( n ) 表示区域q 上 无穷次连续可微函数组成的集合，简记伊( q ) 为g ( q ) 记区域q 上的偏微分算子伊= d f l 骅，其中皿= 去，q 1 ，为非负整 数o = ( 0 1 ，) 称为n 重指标，记i q i = o l + n 2 + + 定义1 1 1 设玩( q ) 为区域q 上的l e b e s g u e 局部可积函数空间，u l l ( q ) 如 果存在t 工( q ) ，使得 上u 伊妒如= ( 一1 ) 1 - 1 上t ，妒如，咖肾( q ) ， ( 1 1 1 ) 则称移是t 的l o i 阶广义导数，并记为口= j 严 设m 为非负函数，1 p o o ，考虑函数空问 w m p ( q ) = ：d n t 酽( q ) ，i o i s 竹1 ) ， 这个空间依范数 i l u l i m 护= ( 厶i d 。u 1 9 出) ；，1 p o o i n l m l l u l l 。，。= 珥x | i d 。让i i o ，。，p = o o l a l m 构成一个b a n a c h 空间，我们称之为s o b o l e v 空间，并定义半范数 i u f 。，p = ( f 、i d 4 u l 出) ；，1 p o o i a i = m 。4 i u l 。，。= 牌a xi l d 4 u 。o ，p = o o 又令w p ( q ) 为卵( q ) 按范数l i “i i 。 p 在空间w ”，9 ( q ) 内的完备空间，则嘲m ( q ) 也是一个b a n a c h 空间 简记 日”( q ) = 彬”，2 ( q ) ，上留( q ) = w ；，i 2 ( q ) ， i l 。= i i r a , 2 ，i i m = i i 。，2 于是h m ( n ) ，上留( q ) 是h i l b e r t 空间，其内积为 ( 牡，钉) 。= ( d 。u ，d 。口) ，u ，移h ”( q ) m = 0 时，”0 即为范数 1 a l _ m 定义1 1 2 设x 和y 是两个线性赋范空间，如果x c y ，并且把z x 映为i x y 的 恒等算子，是连续的，即存在常数m 使得 i i * * l l y m i l * l l x ，协x 则称x 嵌入y ，记为x y ，又称，为嵌入算子，m 为嵌入常数 s o b o l e v 嵌人定理设qc 印为有界区域，其边界a q 是局部l i p s c h i t z 连续的， m ，k 为非负整数，1 p ，则 w ，”+ p ( n ) t _ + w k , 9 ( q ) ，m - p 注意”，一( q ) 一c ( f i ) 的含义是任一u w ”, p ( f z ) 必等价于c ( a ) 中的一个函数( 仍记 为札) ，同时存在常数m 使得 “l i g ( n ) m l l u l l 。p ，v u w ”，( q ) ( i i 2 ) 下面不等式是s o b o l e v 空间中常用的不等式 h 6 l d e r 不等式设1 p ，q o o 为一对共轭指数，即；1 + i 1 = 1 ，且，护( q ) ， g 口( q ) ，则 i nf ( z ) g ( z ) 如l ( 上i ，( z ) i 如) ；( 上i g ( 茁) 1 9 出) m i n k o w s k i 不等式设1sp 0 ，则存在常数c ， 使得 l ，p s g ( p + 幔乱d s i ) ，u e w l 护( q ) ，1 l 是有限元插值算子，满足 疵( i 6 ) = 疵( o ) ，i = 1 ，2 ，m 啪户 q = ( q l ，n 2 ，( i n ) 是一个多重指标，则d 。户也是詹上的多项式空间，设d i m b p = r ， 幺，i = l ，2 ，r ) 是d a 户的一组基则b 。( j o ) 伊户可表示为 伊( 知) = 疵( 番) 伊扈= f l j ( + ) o j i = 1 j = l 显然，白是 d 。扇 r 的线性组合，而f l y , ) 是 危( o ) ) r 的线性组合设 岛( 台) = 啦疵( 台) i = l 则由上面两式我们有 m”l 岛( 毋) = 啦虎( 台) = 啦疵( 知) = f l j ( 1 0 ) =l=l 各向异性基本定理1 3 , 6 1t 在上述表达下，如果f l j ( + ) 能表成 f l a + ) = 乃( d 。番) ，1 j m ， 其中f j ( ( 霞) ) ，1 l ，j m ，同时b ( 霞) cd 。户，z s 一1 ，则存在常数g ( 疗) 满足： i i b n ( a i a ) l l t 詹e ( 霞) j d a 砬i l + 1 ，霞，0 t z + 1 ，v 位h 1 。+ + 1 ， 6 第二章对流扩散方程的各向异性非协调有限元逼近 2 1 引言 本文主要研究对流占优的扩散问题的各向异性非协调有限元逼近关于近年来关于 对流占优扩散方程的研究方法很多，例如：流线扩散法【1 4 】，最小二乘混合有限元法【1 5 】， 改进的特征g a l e r k i n 有限元法( m m o c - g a l e r k i n ) 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 3 】等等这类问题用标准 的g a l e r k i n 有限元求解往往在急剧变化地带增生震荡现象，分辨率低等缺点，因此关于 这类数值方法的研究大都倾向于各种非标准的有限元法，如有限体积法 2 0 】、广义差分法 【2 l ，2 2 】、特征有限元法【1 3 ，2 3 】等然而要求区域剖分满足正则性条件或拟一致假设【1 ，2 】 是传统的有限元方法分析的基础性条件，并且在以前的研究中投影或修正格式是必不可少 的在实际应用中，如复合材料和转子间隙问题等若采用正则性网格，计算量很大，无法 承受解决此问题的有效方法之一就是采用各向异性单元，即瓦 可以很大，甚至趋于 无穷本文针对对流扩散方程提出了非协调各向异性有限元逼近方法，证明了r i t z 投影 与有限元插值是一致的，继而通过引入不同于以上文献的分析方法和估计技巧，在各向异 性网格下将未知函数在空问上的l 2 收敛阶从【1 3 】中的o ( h ) 提高到o ( h 2 ) ，改进了以前的 结果 2 2 单元的构造 为简单起见，设q 是舻中的一个有界凸多边形区域其边界0 s 2 平行于z 轴或y 轴，磊是q 的一个矩形剖分族，即q = uk ，不要求满足上述的正则性假设和拟一 致假设 v k 磊，设其中心点为( x k ，v k ) ，两边分别平行于z 轴和y 轴，两边长分别 为2 k 和2 设詹= 【一1 ，1 】【- 1 ，1 】是荨一叩| 平面上的参考单元，其四个顶点分别 为a 1 = ( 一1 ，一1 ) ，a 2 = ( 1 ，一1 ) ，a 3 = ( 1 ，1 ) 和a 4 = ( 一1 ，1 ) ，四条边为矗= f i l a 2 ，如= 否；石，毛= 否孬：和j ：l = a 4 a 1 则存在可逆仿射变换f j ( ：霞一： r z = 茁+ k ( 2 2 1 ) i y2 觚+ 九卯 在詹上构造有限元( 霞，p ，宝) 如下： 竞= 锄，o l ，赴，锄，m ) ，户= s p a n 1 ，f ，叼，妒 ) ，妒( 町) 【4 】， 7 其中瓴= 高石西d ，t = ，。，3 4 ，砘= 高厶。武却，妒( t ) = ；( 3 t 2 - - i ) 容易验证晰h 1 ( 霞) ，其插值函数n o 可分别表示为： n 。= + ：( 如一砒) + ；( 钨一番。) 叩+ ；( 赴+ 讥一2 讥) 妒( f ) + ；( 如+ 魂一2 讥) 妒( ，7 ) ( 2 2 2 ) 引理2 2 1 插值算子矗具有各向异性插值特征，即对任意雷日2 ( 露) 及多重指数 口= ( 0 1 ，0 2 ) ，当i n i = 1 时，有 l | j 弘p n o ) 0o 膏c l b 。0 1 1 玄 证当o = ( 1 ，0 ) 时， 伊( n = j 1 ( 如一锄) + 互3 ( 锄+ 国一2 锄) f ( 2 2 3 ) 显然， 1 ， ) 是伊户的一组基令而= 褰，则 ：黥i1 撼竺：缝。褰蝴= i 【上。( 。( 1 ，叩) 一番( 一1 ，训咖= ；( ( 妻) 咖 = 百ij 霞d 吠q 。d 叩= 高厶由武咖= f 1 ) ( 2 2 4 ) ；( 如+ 讧一2 ) = 五1 【上1 。( 。( 1 ，叩) 咖+ ( 。( 一1 ，町) 却一厶。武却) = 去厶f 赛必咖= 南厶掀咖咧蚍 由h s l d e r 不等式，易证乃( 西) ，0 = 1 ，2 ) 是h 1 ( 霞) 上的有界线性泛函a = ( 0 ，1 ) 故由 3 】中的基本定理可知，该单元具有各向异性插值特征 定义一般单元k 上的函数t i ( z ，y ) 如下t ( z ，可) = ( $ ( ，叩) ，剪( 叩) ) = o ( ，7 ) i e t ，= o o 贬1 那么形函数空间心= 妇；p = 多。眩1 ，声户) ，相应的有限元空间为： l c r h = v h ；i k 忍，v k 五，v a d s = 0 ，f c o k ， 其中】代表v h 跨过单元边界的跳度，当f c a q 时，】= o h 显然z h l ( q ) 定义插值算子i i ：砩) n 日2 ( q ) 一如下： 8 厶lk(。v口-一iiv口)，ddszd=苕o：,。七=1，23，4 ( n ) 白+ 钍( j x 一) v c v ( 口( x 。) v c ) = f ( x , t ) ， 伽q 【o ，卅， ( 2 3 1 ) l ( b ) c ( x ，0 ) = c 0 ( x ) ， i n q ， 其中f 2cr 2 是有界区域，其边界r 是光滑的，方程中的参数满足如下的假设 1 ) c ( x ，t ) 代表溶质浓度； 2 ) u ( x ，t ) 代表流速，满足 u ( x ，t ) i4 - l v u ( x ，t ) lsc ，v x q ，( 2 3 2 ) 其中c 是一个常数； 3 ) a ( x ，t ) 充分光滑，并且存在常数a 1 和口2 ，使得 0 a l a ( x ，t ) 2 + o o ，v x f l ； ( 2 3 3 ) 4 ) f 代表源项； 5 ) v 和v 表示向量函数的梯度和散度 设陋，6 】cf o ，卵，y 为索伯列夫空间，l ( x ，t ) 是q k6 】i - $ j 连续函数，我们定 义驴( 口，6 ；y ) 和| | fi i p “6 ；y ) 如下s 2 ( a , 6 ；y ) = ，：j ( 。i i f ( ，t ) 1 1 d t 0 ，在时间扩= n a t ，n = 0 ，1 n 时的特征方向导数可 以用如下方式进行逼近； 设 叉= x t i ( x ，t ) a t ， ， 我们用【2 3 中的技巧可以得到 妒( x ，矿) 等b 妒( x ，矿) 雩琶菩嚣2 丛兰! 掣， 则有限元格式为；求c ： 垆，t 1 ，) _ + ，使得 ( 堡 笋，咖) + ( x ，矿) v c ；：，v ) n = ( 尸l ，) ， ， ( 2 3 8 ) l罐= i i c o ， 以q ， 其中壤：c ( 护) ，叉：x 一醒一1 ( x ，扩) a t ，皖一1 = 霞一1 ( 叉，矿一1 ) = c ；：一1 ( x 一“2 1 ( x ，俨一1 ) ，俨 ( u ， ) = 莓厶伽如匆，印为c 在t = o 时的有限元插值 下面我们将证明离散问题( 2 3 8 ) 的解是存在唯一的 定理2 3 1 若a ( x ，t ) 是一致有正的下界，方程( 2 3 8 ) 存在唯一解 1 0 证，由于离散形式( 2 3 8 ) 为线性系统，只需证明与( 2 3 8 ) 相对应的齐次问题只有零解即 可设曜- 1 和，为零，则瑶- 1 也为零，我们得到 ( 轰，) 十( 。( x ，p ) v c ；：，v ) = o ， v v h 坛( 2 3 9 ) 在( 2 3 9 ) 中取v h = 瑶，容易得到 壶i i 谨1 1 2 + ( 。( x ，矿) v 簖，v 罐) h = 0 ， 由假设( 2 3 3 ) ，我们得到c ；：= 0 ，定理得证 2 4 有限元的误差估计 首先来证明下述引理 弓i 理2 4 1 f 1 ，3 1v 口h 2 ( q ) ，有 1 1 钉一口h 0 我们有 蜓m 。a s x i i ( o h 一。) ( 俨) i i m o o + 。m 1 其中 伽= c i i 万0 2 万c i i 弘( 。，t l ：) ， m l = c ( i 岛i 驴( 0 ，t ；h 2 ) + l c l l - ( o ，t ；h 2 ) ) + i c i l - - ( 0 ，t ；h 3 ) ) 证。由( 2 , 3 7 ) 和( 2 3 8 ) 可得误差方程为 ( 笪 笋，) + ( ( x , t n ) v e ：，v ) + ( 。( x ，严) v ( 矿一矿) ，v ) h + 磊。z k 。( 砧”) 筹蜥幽= 筹一生一( 生， 在( 2 4 6 ) 中令7 ) h = 榷，可以得到 (警n = f t - - 1 ，e 譬) + ( n ( x , t n ) r e 嚣，v e 嚣) + ( 。( x ，矿) v ( 矿一矿) ，v 酲) + 善加刎筹谢s 吡筹一簪磁) - ( 譬麓) 下面逐项估计( 2 4 7 ) 式右端各项 利用【2 3 】中的技巧 桫筹一与笋，e ；：) i 蚓i 肇l i b ( 竹舻) t + i i 引1 2 因为 矿一矿- 1 = ( 矿一矿- 1 ) + ( 矿一矿- 1 ) 我们有 i ( 百p n _ p n - 1 ，e ：) i 三慨慨2n 叫。) + c i i 懿1 1 2 利用引理2 4 4 ，可得 i(pn-矿1j 5 n - - 1 ，e ：) | c 懈i i 百p n - - 卢 n - - 1 i i t cl ie ：幢+ cl l 矿1j 2 砷 v 回 力 t t 屯 t t 幺 帆 幺 2 幺 幺 4 c 仇0 0 0 0 但 下面我们估计( 2 4 7 ) 式的左端各项 利用引理2 4 2 ，我们可以得到 l ( 8 ( x ，护) v ( n e 一扩) ，v e z ) i = i ( o ( x ，t ”) 一a ) v ( n e 矿) ，v e 2 ) i + i ( a v ( n e 一矿) ，v e ；：) h c h0i i c 矿ie 2 队 c 舻0e z i 矿1 1 2 ( 2 4 1 1 ) 其中a l 。高厶口( x ，p ) d x d y ，和l a ( x ，俨) 一面i c h 一 ( 2 4 7 ) 左端前两项可估计为 ( 簪矧+ ( 口( x , t n 黼m h 赤 ( e z ，醯) 一( 瑶，懿q ) 】+ ( o ( x ，矿) v e z ，v e z ) ( 2 4 1 2 ) 志醒) 一( 1 + c t ) ( n - - 1 ，c n 一1 ) 】+ 口1 懒峨 其中在最后一步估计中使用了l f 瑶1 1 2 ( 1 + c a t ) i ie 2i | 2 ( 【2 4 】) 不等式 i 二加硼筹e z 邮饼川 由( 2 4 8 ) 式至( 2 4 1 3 ) 式，我们有 志懈e 2 ) 一( 1 + c a o ( e n 蛲一) 】+ 口懈幢 兰c h 2 i c n b 0e 刘h 十刚蒹悒。( t n - 1 l 。) a t + c oe 21 1 2 + 羞op ti 注：，俨) + 詈oe n 瞻 + c0 矿_ 1 2 + c0e 2 以0 2 + c h 2 妙1 3l i 嚷h 将( 2 4 1 4 ) 式两端分别乘2 a t ，然后对于竹从0 到n 求和，可以得到 ( 2 4 1 3 ) ( 2 4 1 4 ) 0e 圳2 gi i 雾1 1 2 。( o t ) t 2 + ci i 见。各( 。疋胪) 十cop j i 玉( 。，t ；口) + c h 4 a t i c l 2 。( 。，t ；日。) + c h 4 t c 咿+ c 噻懈n ( 2 4 1 5 ) 利用g r o n w a l l 不等式 “引怪僦p i = 掰p 胂t 篙i l 。( o 三+ c a t 协i l 似m 爷眨a 邶， + g 0 i l l o 。( o ，t ；l 2 ) + gi i i 丑l 。)l | ：亳暑fz ( o ，r ；舻) 因为嚷一护= e z + p - ，由( 2 4 1 ) ，( 2 4 1 6 ) 和三角不等式得( 2 4 5 ) 式定理得证 第三章对流扩散方程的特征扩展混合元限元格式逼近 3 1 引言 对流扩散方程产生于许多应用领域，它可以描述质量、热量的输运过程以及反映扩 散过程等众多物理现象，构造稳定、快速实用的数值算法，有着重要的理论和实际意义 如今对该方程的研究方法有很多，例如：流线扩散法【1 4 】，最小二乘混合有限元法【1 5 】，改 进的特征g a l e r k i n 有限元法( m m o c - g a l e r k i n ) 1 6 ，1 7 ，1 8 ，1 9 ，2 3 】等等【1 3 】中提出的了一 种新型数值模拟方法一特征扩展混合有限元法该方法对对流部分采用沿特征线的后退 差分格式求解，以保证较小的截断误差扩散部分采用扩展混合有限元法，以保证格式同 时可以高精度的逼近未知函数，未知函数的梯度和流量然而该方法剖分需满足正则性条 件下或拟一致假设【1 ，2 】，即k p k c 或瓦笔c ，其中h k 是单元的最大直径，p k 是k 的最大内切圆直径，h = m a xh k ，j l m t 。= 理啦h k ，t h 是区域q 的一个剖分族在实际 h 应用中，对某些定义在窄边上的问题，若采用正则性网格，计算量很大，无法承受，解决 该难点的有效方法之一就是采用各向异性单元陆1 0 】本文在【1 3 】的基础上针对对流扩散 方程提出了非协调各向异性特征扩展混合有限元逼近这里，我们仍采用上一章的相应记 号利用单元的一个特殊性质；插值算子和椭圆投影的一致性，在解适当光滑的条件下， 得到了与【1 3 】中方法相同的误差估计 3 2 特征扩展混合有限元格式 这一节我们采用特征扩展混合有限元方法逼近对流扩散方程问题 设 妒( x ，t ) = ( 1 + 2 ) ( 3 2 1 ) 同上一章与特征方向相关的算子臼+ t v c 用7 - = r ( x ) 来表示，其中 旦=厕1瓦00r+ 南甩 ( 3 2 2 ) 一2 硒丽瓦十而丽v 名 方程( 2 3 1 a ) 可以被改写为 妒( x 筹一v ( n ( x ，t ) v c ) = ，( x ，现 ( x ，t ) q ( o ，t ) ( 3 2 3 ) 1 5 萋 c s 拟， ( 口) i 妒万o c ，伽) + ( 威秽盯，加) = ( ，伽) ， 彬 ( 6 ) ( a ，口) 一( c , d i v v ) = o ，讹k ( 3 删 ( c ) ( n ( 置f ) a ，p ) 一( 盯，肛) = 0 ，v “a ， ( d ) c ( x ，0 ) = c o ( x ) ， v x q 其中 v = 扣h ( d i v ，q ) ：t ，= 0 帆r ) ， a = ( l 2 ( q ) ) 2 ，w = l 2 ( q ) ， h ( d i v ，q ) = 钉( l 2 ( q ) ) 2 ：v t ，l 2 ( q ) 在膏上构造有限元( 露，户，竞) 如下： 户= 唧札 l ，叼，高五j 。d s = ； ( 也) + 。( 文+ ，) ) ( 删) = 1 ，2 ，3 ，4 ) ，其中铲= o ( 文) ( k = 1 ，2 ，3 ，4 ) 容易验证怕h 1 ( 詹) ，其插值函数南可分别表示为； 知= ；( 番1 + 铲+ 护+ 0 4 ) + ( 台2 + 沪一番1 一伊k + ( 移3 + 铲一0 1 一心2 ) 叩 引理3 2 1 插值算子j 具有各向异性插值特征，即对任意台h 2 ( 霞) 及多重指数 n = 1 ，锄) ，当i oj = 1 时，有 l i b 。 一2 0 ) 1 1 0 膏g l 伊0 1 1 霞 证当c 1 e = ( 1 ，0 ) 时， 伊知= 警= 扣卅卅) 1 6 显然， 1 是d a 户的一组基 扣树卅卅) = ：( 石掣必+ 石掣 任意的西h 1 ( k ) ， f ( 曲) = ；( 石西必+ 正面必) 由h s l d e r 不等式，易证f ) 是日1 ( 霞) 上的有界线性泛函q = ( 0 ，1 ) 时可类似地验 证故由【3 1 中的基本定理可知，该单元具有各向异性插值特征 我们定义有限元空间如下。 v h = 口= ( n ，他) ，奶i 膏= l 。f e 户，v k t h ，f f v j d s = o ，f co k ，j = 1 ，2 ， a h = y h ， w h = 钮l 2 ( q ) ，伽l 耳q o ，o ( k ) ，v k t h ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ( 3 2 8 ) 设i i 方= ( j 碗，如) o = 1 ，2 ) ，则i i k g = i i 寺。眩1 ，i k = i l k ，i = 1 ，2 定义插值算子如下：v ( v ，钉，c ) v axw ，1 1 1 ：v - ，1 1 2 ：a _ 如，和 1 1 3 ：w - ，满足 南五弛= ；( 矾畋) + 烈以+ z ) ) ( m d d 4 ) ( 七= 1 ，2 ，3 ，4 ) ，i = 1 ，2 ， 南拙+ 高五盯础= 丙1 五铡s + 面1 上i i 勰，t = ，2 ， ( 3 2 9 ) 上( 叫一3 w ) d x d y = 0 令e = c h 一1 7 3 c ，p = 1 1 3 c c ，“= a 一2 a ，靠= 一1 1 1 盯 叉= x u ( x ，t n ) z x t ， 我们利用【2 3 】中的技巧可以得到 妒( x ，护) 筹i z 妒( x ，矿，号吾手器2 丛茎竺 笋 1 7 变分形式( 3 2 5 ) 的全离散形式为；求( o h ，h ，c h ) ： 垆，t 1 ，) 一kx “w h 满足 ( n ) ( 簪，岫悄峨训州一毗一w h ， ( 6 )( a 2 ，) 一( 嚷，d 曲v n ) h5o ，v t 堆坛， f 3 2 1 0 ) ( c )( a ( x ，俨) a 2 ，p ) 一( 唠，p ) = o ，v p a ， ( d ) c o = 1 1 3 c o ， v x q ， 其中c ； = ( 俨) ，叉= x 一“2 - 1 ( x ，俨一1 ) t ，瑶= 罐- 1 ( x ) = 壤_ 1 ( x u z - 1 ( x ，t n - 1 ) t ，t ”1 ) ( “，t ，) = t ，“口d x d y ，1 1 3 c o 是c 在t = 0 时的有限元插值 3 3 离散问题的解的存在唯一性及几个重要引理 在这一节我们主要讨论对流扩散方程全离散格式的解的存在唯一性 定理3 3 1 若口( x ，t ”) 一致有正的下界，则问题( 3 2 1 0 ) 存在唯一解( o h ，h ，c h ) y hxa hxw h 证：由于离散形式( 3 2 1 0 ) 为线性系统，只需证明与问题( 3 2 1 0 ) 相对应的齐次问题只有 零解即可令四- 1 和，为零，则瑶- 1 也为零，( 3 2 1 0 ) 式可以改写为 m 。) ( 惫，w h ) + ( d i 口簖，) 2 o ， b ) ( 椎，) 一( c ；：，d i v v h ) h = 0 ， c ) ( ( x ，t n ) a z ，肌) 一( 硝，p h ) = 0 ， 在( 3 3 1 ) 式中令w h = 嚷，v h = 簖，肌= 椎，三式相加可得 击l i 壤1 1 2 + 。( x ，p ) 椎，榷) = o ， 由( 2 3 3 ) 可知，c ；：= 椎= 0 ，所以在( 3 3 1 c ) 中( 靠，) = 0 ，令脚= 簖可得簖= 0 ，这 就得到了解的存在唯一性 下面我们来证明几个引理 引理3 3 1 b , 3 lv 口h 1 ( q ) ， 怕一i i i v l l c h l , 1 1 ， = 1 ，2 ，3 ( 3 3 2 ) 由( 3 3 2 ) 我们可以得到 i l 矿一1 矿i l s c h l a “1 1 ， 】8 3 3 a 睨 札 i 一1 1 2 舻0 c h l ) ”i l 0 扩一3 矿i l s c h l ：1 1 引理3 3 2v c l 2 ( q ) 和v a v ( c 1 1 3 c ，d i v v h ) h = 0 ， v 魄v h ( d i v ( a 1 1 1 盯) ，w h ) h = 0 ，v w h w h 证：由格林公式和1 1 1 和3 的定义 ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( c - 3 c ，出口) = f ：( c - i i ) 出口v h d x d y = o ， k e t h ( d i v ( a - i p a ) ，) 一2 善。f k d i ( a - - i i l a ) 叫一如匆2 磊。厶( a - i p a ) 。n d s = 。 引理3 3 3v c 俨( q ) ， 磊。厶c n v h d s _ 洲。，v v h e v h ( 3 3 5 ) 证：v k t h ，c h 1 ( ) 和v = ( 口1 ，y 2 ) v “，设 我们可得 i = 1 3 i = 2 4 善。厶c n 。珊d s 2 k f e t h a k 砌- i - 伽l r t l ) d s =【z一池一pol忱)(c一岛-c)如+厶(钉2一砚)(c一c)如ke t a 。1 。3 + 上( t ，一岛z 口，) ( c 一岛。c ) 句+ 厶一( 口- 一t ，t ) ( c 一c ) 咖】 = 【1 1 + 厶+ 1 2 + 五】， k t h 如 妃 c c z 土土 = l | 跏 断 2 ，池一r ，也) ( c r t c ) 妇， 厶= 上( 钉，一如”，) ( c p 0 2 c ) d y ， 厶2 丘( 地一地) ( c p 0 3 c ) d x ， 厶= 上一似一忍m ) ( c 一氏c ) 咖 因为 五+ 厶一e 始，y k 圳一瓦1 眨4 c ( x , y k - h ，川 恻z ，y k 也卜面1 ，蜥，y k 一) 批 + “m ，y k 一麦厶= 。c ( x , y k + h y l 2 _ i ：y k + h y ) i f x r + h y k ) 捌 + 一磊，厶。c ( ) 捌 恻。，y k + ) 一去层嘶，y k + ) 蛐 和 啦y k ) 一去z = 。现y k 一) 如 = 2 k l 厶f 。z k 一+ k k 2 k ( z ，y k b ) 一忱( t , y k - - a f ) i d t = 豪巴之l l 麓k h u ) d z d t = 厩1 尸k - i t i r t 龇l z g x + 啦戳 吲z ，y k “) 一壶z 竺嘶，y k 十h ，) d x 由于智s p 0 竹 1 ) 和磐s p 0 竹 1 ) 我们利用f 4 】中的技巧可以得到 叶耶翱裔( t x o 。铷 o”，z 。 同理 阱耶翱鑫铷耳 另一方面由逆不等式| | 等怯e k ll j 地怯， 哿怯5c 圬- l | 巩脑我们有 磊厶啡v h d s 0 证： 其