（计算数学专业论文）大小不同的图像变形方法的研究与实现.pdf

摘要 图像变形是一种能有效地表现一些趣味视觉效果的数字图像处理技术，在影视、娱 乐、广告，医学等方面有着非常广泛的应用。也给人们的现实生活增添了不少的乐趣而 不同的图像变形方法的应用直接影响着变形效果的好坏，影响着人们的视觉感应效果 但是目前我们所研究的处理图像变形的各种方法中，只是单纯地注重变形图像的光 滑性在各种方法的不断改进中，虽然变形图像的光滑性e l 趋完善，但却只是在大小相同 的图像之间进行的，而没有考虑到不同大小图像的变形，这就使图像变形的应用范围受到 限制在以前的方法中我们要把不同大小的图像进行放大、缩小或裁剪以得到大小相同的 图像而后才能进行扭曲和变形 本文作者在研究以前各种图像变形方法的基础上，用以大量和反复的实验来实现各 种变形方法i 并在此基础上，在不影响变形图像良好光滑性的同时，考虑到大小不同的图 像之闻的变形，使任意大小的图像变形得以实现，并将变形图像的序列表示出来，使图像 变形表现出良好的视觉效果，并进一步增强了图像变形的实用性和应用性 关键词：数字图像处理；图像变形；交叉分解；径向基函数 a b s t r a c t i m a g ew a r p i n gi so n eo ft h ed i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gt e c h n o l o g i e s ，w h i c hc a nr e p r e s e n t s o m ei n t e r e s t i n gv i s i o ne f f e c t i v e l y , a n dh a v eal a r g ea p p l i c a t i o no nt h em o v i e ，t h ee n t e r - t a i n m e n t ，t h ea d v e r t i s e m e n ta n dt h em e d i c i n e ，a n da s l oa d dm u c hi n t e r e s tt ot h ep e o p l e s l i f e b u tt h ea p p l i c a t i o no fd i f f e r e n ti m a g ew a r p i n gm e t h o d sh a sad i r e c ti m p a c to nt h e w a r p i n ge f f e c t ，a n da l s oh a sa ni m p a c to nt h ep e o p l e sv i s i o ne f f e c t b u tn o w a d a y sw eo n l yp a ya t t e n t i o nt ot h es m o o t h n e s so fi m a g e si nt h er e s e a r c h f o rt h em e t h o d so fp r o c e s s i n gi m a g ew a r p i n g i nt h ec o n t i n u o u si m p r o v e m e n to fk i n d so f m e t h o d s ，a l t h o u g ht h es m o o t h n e s so ft h ew a r p e di m a g e sb e c o m e sb e t t e ra n db e t t e r ，t h e w a r p i n gi sp r o c e e d e do n l yb e t w e e ni m a g e so ft h es a m es i z e t h e r e f o r e ，t h ea p p l i c a t i o nr a n g e o fi m a g ew a r p i n gi sl i m i t e df o rn o tc o n s i d e r i n gt h ew a r p i n gb e t w e e nd i f f e r e n ts i z ei m a g e s i n t h ep r e v i o u sm e t h o d s ，i m a g e sa l em a g n i f i e d ，s h r i n k e do rc l i p p e di no r d e rt og e tt h es a m e s i z ei m a g e st op r o c e e di m a g em o r p h i n ga n dw a r p i n g i n t h i sp a p e r ，w em a k ev a r i o u sw a r p i n gm e t h o d sr e a l i z e db yd o i n gp l e n t yo fe x p e r i - m e n t s ，t h a ta r eb a s e do nr e s e a r c h i n gt h ep r e c e d i n gk i n d so fi m a g ew a r p i n gm e t h o d s b a s i n g o nt h e s e ，w er e m a i nc o n s i d e r i n gt h ew a r p i n gb e t w e e ni m a g e so fd i f f e r e n ts i z ew i t h o u ti n f l u e n t i n gt h eg o o ds m o o t h n e s s f u r t h e r ，i tm a k e st h ew a r p i n ga c h i e v eb e t w e e ni m a g e so f d i f f e r e n ts i z ea n da s l os h o w st h ew a r p e di m a g es e q u e n c e t h u s ，w ep r o v i d eb e t t e rv i s i o na n d e n h a n c et h ea v a i l a b i l i t ya n da p p l i c a t i o no ft h ei m a g ew a r p i n g k e yw o r d s ：d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n g ；i m a g ew a r p i n g ；c r o s s - d i s s o l v e ；r a d i a lb a s i sf u n c - t i o n 第一章绪论 1 1图像变形原理及图像变形算法的分类 图像变形是图像处理中的一种常见方法，它是指按一定的规则或方法将一幅图像变 成另一幅图像其基本思想是在给定的两幅图像( 源图像和目标图像) 之间建立一种连续 并且可逆的形变过程理想的图像变形算法要求连续的形变过程所产生的中间序列图像 具有本身的可视性，同时能将源图像的特征稳定地渐变为目标图像的特征 一般情况下，图像变形可以分为以下三步； ( 1 ) 计算源图像和目标图像中每一个像素点的偏移量； ( 2 ) 对源图像和目标图像的每个像素点的灰度值分别进行重采样以构成扭曲图像； ( 3 ) 将扭曲图像合成为变形图像 针对第( 2 ) 步，人们已经研究出许多算法，其中，在纵向和横向上分别采样的方法最 为有效。第( 3 ) 步主要是对像素点的灰度值进行线性叠加而对于第( 1 ) 步像素点的偏移 量的计算，则是图像变形算法中最为重要的一个环节，也是人们研究和改进最多的一个环 节像素点偏移量计算方法的优劣直接影响着图像变形效果的好坏目前，像素点偏移计 算方法一般可分为三类； ( 1 ) 基于网格的变形，其基本方法是在图像上嵌入一张网格，根据图像的特征点来改 变网格的形状，以实现像素的偏移【1 】这种方法虽然简单，但往往需要非常多的特征点， 而且不容易产生指定的变形效果所以本文对此算法不作详细叙述和解释 ( 2 ) 基于特征线的变形，它由b e i z e r 等人于1 9 9 2 年提出【2 】，其方法是在图像的变 形区域内画一系列特征线对，每个像素的偏移量由像素点相对于特征线段的距离决定与 网格变形方法相比，这种方法在变形过程中显示了较强的灵活性和控制性 ( 3 ) 基于散乱点插值的变形 3 1 1 4 1 1 1 5 】，即在图像上指定一系列特征点，利用径向基函 数对每个像素的偏移量进行插值，像素偏移函数由径向基函数的线性组合表示许多径向 基函数都可用于像素偏移函数的构造【5 】5 ，其中最常用的是对称高斯函数 1 2图像变形的发展及应用 对图像变形方法的研究最早可以追溯到2 0 世纪6 0 年代，最初只是交叉分解变形方 法，这种方法的视觉效果是一幅图像慢慢变为另外一幅图像，这是图像变形方法家族中最 为简单的一种方法，其过程看起来就像简单的交叉重叠，视觉效果乏味，不能令人满意 从严格意义上来说，交叉分解方法还不能算是一种图像变形方法，通常只是把它看成一种 图像转变而且，那时候人们并没有对图像变形方法的研究引起足够的重视，直到1 9 0 0 年s m y t h e 提出网格扭曲的变形方法【6 】，并成功地应用于电影。w i l l o wi n1 9 9 8 ”，这 种情况才有所改变在过去的十几年中，图像变形技术的研究取得了突破性的进展 本文对图像变形方法的研究主要从以下四个方面展开；交叉分解方法，网格扭曲方 法，线对变形方法，径向基函数方法其中线对变形方法和径向基函数方法都是比较典型 的方法，它们都是基于特征的变形方法，也就是在变形之前先要在图像上选择特征，根据 这些特征建立它们的对应关系，然后根据对应关系建立映射函数，最后图像上每个像素点 都根据这个映射函数进行变换，这两种方法我们将会在以后的章节详细介绍 图像变形方法可以广泛地应用于电影制作，三维重建【7 8 1 1 9 i o ，医学图像处理以 及卫星图像处理等 图像变形一开始与娱乐业的视觉效果相联系，例如，迈克尔杰克逊的音乐录音带 “黑与白”中1 3 个不同性别和种族的人的相互渐变；e x x o n 公司的影视广告中一辆银色 的轿车渐渐变成一只猛虎等这些效果给人们留下了十分深刻的印象，也给现实生活增添 了不少乐趣在医学图像处理和三维重建申，变形用于定位、匹配等技术中例如，在生 物医学图像的重建过程中，经常要用图像变形技术来重新构造可变形的三维图形的形体 同时在人脸检测【1 1 1 2 】应用中，为了恢复人脸的面部表情来做检测，常常要用到变形方 法，而且还可以从不同图像上选取局部特征，把它们显示在最终的合成图像上，例如，根 据父亲，母亲的人脸图像，从它们上选取一定的特征，由此产生合成图像，然后由合成图 像就可以预测出他们孩子的大概人脸图像在卫星图像、超声图像的处理中，变形用于校 正由于工具或方法的内在限制而产生的图像扭曲 图像变形也是当今许多新技术的基础，如图像调配技术【1 3 】和基于图像的绘制技术 【1 4 】等总之，随着图像变形技术的发展，它必将会应用于更多的领域 2 1 3本文的主要工作 本文在第一章介绍了图像变形技术的发展状况，然后在随后的章节中详细叙述了两 种典型的图像变形方法，并在此基础上表示出一系列的变形中间图像而且实现了大小不 同的图像之间的变形以及实现了各种图像变形算法 3 第二章交叉分解方法和网格扭曲方法 对于交叉分解方法和网格扭曲方法我们只作简单的介绍 2 1交叉分解方法 交叉分解方法就是用一个简单的线性插值函数对两幅不同图像的同一个位置上像素 的灰度值进行插值计算，其计算结果就是当前图像的对应位置像素的灰度值插值公式如 下， 4 t ) = ( 1 一k ) i m a g e l ( t ) + k - i m a g e 2 ( t ) ( 2 1 ) 其中s ( ) 表示当前位置的变形图像的像素的灰度值。k 是介于0 和1 之间的值，t 表示当前的位置交叉分解方法仅仅涉及到灰度值的差值，并没有用到位置信息以及几何 变换，其结果如图( 2 1 ) 所示； 4 图( 2 1 ) 交叉分解方法产生的变形图像序列 对于不同大小的图像，我们还要考虑到图像整体的宽度和高度，利用插值公式( 2 2 ) ， ( 2 3 ) 插值出当前位置的变形图像的宽度和高度，而后利用( 2 1 ) 式进行变形 w i d t h = ( 1 一k ) w i d t h l + k w i d t h 2 h e i g h t = ( 1 一k ) h e i g h t l + k h e i g h t 2 5 ( 2 2 ) ( 2 3 ) 2 2网格扭曲方法 网格扭曲方法是在源图像和目标图像上分别人为地嵌入一张网格，根据图像的特征 点来改变网格的形状，然后再通过网格对源图像和目标图像上的像素点的灰度值分另b 进行 重新采样以构成扭曲图像我们用厶和五分别表示源图像和目标图像，在源图像厶上 定义的网格记为m ；，在目标图像五上定义的网格记为 以，通过网格扭曲方法进行的图像 变形可由下面四个步骤产生； ( 1 ) 在网格 毛和舰之间进行线性插值产生中间网格m ； ( 2 ) 通过网格坛和中间网格m 将厶变形到 ； ( 3 ) 通过网格尬和中间网格m 将五变形到1 2 ； ( 4 ) 在两幅图像 和如之间进行线性插值产生图像b 那么这个图像如就是我们用网格扭曲方法变形最终所得到的图像 网格扭曲方法虽然简单，但往往需要非常多的特征点，并且不容易产生指定的变形 效果，因此在这里我们不过多赘述 6 第三章线对变形方法 3 1引言 线对变形方法是最早被提出的基于特征的图像变形方法在这种变形方法中，特征 是直线段这种方法给了用户很大自由选择的权力，在变形之前，用户首先在源图像和目 标图像上分别选择线段作为特征对，然后根据所选择的线段对建立特征一一对应关系，根 据这个特征对应关系建立映射函数这样建立的映射函数满足一组线对的两条直线段所 在的直线是一一对应的而直线以外的点则根据它们到直线的距离以及它们在直线上的 投影点的位置来确定其应处的位置映射函数建立好以后，图像上每个像素点都可以根据 这个映射函数映射到对应的位置，也就完成了图像的变形 3 2原理 基于特征的图像变形方法( 本章所介绍的线对变形方法以及下章要介绍的径向基函 数方法均属基于特征的图像变形方法) 实质上就是让目标图像上的某个事物的特征具有 在源图像上与其对应的事物的特征，它是一种运算而具体实现这种运算时，一般可以采 取两种方法 如果一个输入像素映射到四个输出像素之间的位置上，那么这个输入像素的灰度值 就按插值算法在四个输出像素之间进行分配；若一个输入像素恰好映射到一个输出像素 上，则就把这个输入像素的灰度值取为输出像素的灰度值，这种方法称为向前映射法 但是由于许多输入像素可能映射到输出图像的边界之外，所以向前映射法增加了许 多不必要的计算量，而且一个输出像素的灰度值可能由多个输入像素的灰度值来决定，因 而涉及到多次计算如果图像变形包括缩小处理，就会有多于四个的输入像素来决定一个 输出像素的灰度值如果图像变形包括放大处理，并且没有输入像素被映射到输出像素附 近，那么这个输出像素就可能被遗漏 7 除此之外，还有一种更加有效的映射方法称为向后映射法它弥补了向前映射法的 诸多缺点，在这种方法中输出像素一次一个地映射回到输入图像中，以便确定其灰度值 若一个输出像素被映射到四个输入像素之间，那么它的灰度值就由这四个输入像素的灰 度值决定向后映射法是向前映射法的逆 向后映射法是逐像素地生成输出图像，每个像素的灰度值最多由四个输入像素的灰 度值直接唯一确定因此，向后映射法与向前映射法相比有很多优势，本文所用均是向后 映射法 在很多情况下，输出像素被映射到输入图像中的非整数位置，即位于四个输入像素 之间，为了决定与该位置对应的输出像素的灰度值，就必须进行插值运算其中最常用的 插值算法是最近邻插值方法，即输出像素的灰度值取离它所映射到的位置最近的输入像 素的灰度值这种方法计算非常简单，在许多情况下可以达到很好的效果，但是当图像中 像素的灰度值结构变化非常细微时，这种算法便会在图像中产生人为的痕迹但出于简化 考虑。本文实验中还是应用了此种算法 3 3线对变形方法在图像变形中的应用 3 3 1 单线对变形方法 讨论线对变形方法先从单线对变形方法说起单线对变形方法是线对变形方法的特 例首先分别在源图像和目标图像上选择一条表示特征的直线段，并用p 7 q 7 和p ”q ”来 表示，这两条直线各自代表了它们的特征，如下页图( 3 1 ) 所示 其中p e r p e n d i c u l a r ( q 一p i ) 表示源图像中垂直于线段p q 7 的向量，同时它的长度 与p ，q ，的长度相同同样，p e r p e n d i c u t a r ( q ”一p ”) 表示目标图像中垂直于线段p ”q ” 的向量，同时它的长度与q ”的长度相同乱表示了目标图像中任意一点x ”在p ”q ” 上的投影到p “的距离与p ”q ”的比值，这个比值分三种情况t ( 1 ) 若投影点在线段q ，上，则0 乜1 ； ( 2 ) 若投影点在线段p ”的延长线上，则u 1 ； ( 3 ) 若投影点在线段q ，p ，的延长线上，则 0 t ，表示这个点到p ”驴的垂直距离由式子( 3 3 ) 在源图像中找到与目标图像中x ” 8 岱h p f l 、0 q | 一p 、 缸2 阿：两r 一 ( 3 1 ) 口：( x - p ) p 而e 汀r p e n d 而i c 酉u l a r ( q - 一p ) ( 3 2 ) 。 1 1q ，一p ”1 1 2 x=p+错+vperpeln虿d_ic=u17a邗r(一q-p) ( 3 3 ) 对应的x 7 ，那么这个x 与线段p 7 q 7 的关系和x ”与线段p ，7 q ”的关系相同，也就是 说，x 7 在p q 上的投影到p 7 的距离与p ，q 的比值也是u ，同时x 到p q 的垂直 距离也是t ，由于对称性我们在源图像中可以找到两个这样的，但是在实验中我们只 取正方向的x ( 规定向右为正方向，向左为负方向) 对目标图像中的每个像素点都进行这样的操作，便可求得每个像素点的灰度值，即 可完成变形 单线对图像变形实质上是通过使整个图像平移、旋转、放大或缩小来实现的，而这些 变化仅仅是在特征线段方向进行的，若两条特征线段长度相同，方向不同，变形的结果仅 9 仅是图像进行了旋转；而如果两条特征线段长度不同，方向相同，变形的结果就仅仅是图 像的放大或缩小 3 3 2 多线对变形方法 若在两幅图像上选择多于一对的特征线对，就会产生更加逼真的图像变形效果，与 单线对变形方法对应着，我们称此为多线对变形方法 在源图像和目标图像上分别选择竹条特征线段，它们是一一对应的，对于目标图像 上的每一个像素点x ”，根据每一组线对的对应关系，找到其在源图像中的对应像素点 墨，霸( 这里的计算方法和单线对图像变形方法中的一样) 然后根据上述结果计算出x ”和弼0 = i ，n ) 的差值皿，再根据下式 w e i g h t i = ( 、l 。e n + g t h 6 ( i = 1 ，n ) ( 3 4 ) 求出每个x ”的各自权值 其中l e n g t h i 表示线段彤饼的长度i 钆l 表示x ”到掣q ? 的距离峨b , p 是三个用 来调整各条线段对最终像素点x 影响的可变动参数经过大量的实验证明，对于本文， 取a 5 , b2 , p0 可得到良好的变形效果 那么我们共得到几个这样的权值w e i g h t t 和n 个这样的差值现把这n 个权值相 加得到权值和w e i g h t s u m ，而利用( 3 5 ) 式可得到带权偏差和d s u m d s u m = d i w e i g h t t ( 3 5 ) 最后利用带权偏差和除以权值和再加上起始像素点坐标就可以得到最终的x 的坐 标即t x 7 = x t t 瓦d 蕊s u m ( 3 6 ) 注：上述步骤要分为横坐标和纵坐标两个方向进行 由于线对变形方法实质上是通过使图像整体或局部的平移，旋转，放大或缩小来实 现的，因此在图像变形过程中会出现边界不稳定的现象故为了避免这种情况，我们把源 图像和目标图像中的四条边框线段作为特殊的特征线段对加在了实验中，这样就保证了 边界相对稳定如图( 3 2 ) ，我们在源图像g i r l 和目标图像t i g e r 上分别选择两眼睛之 间的连线、嘴角之间的连线以及鼻梁所在的线段作为三条特征线段进行变形，变形结果如 图( 3 3 ) ，( 3 4 ) 其中图( 3 3 ) 是不加边框线为特征线段的变形图像，图( 3 4 ) 是 加边框线为特征线段的变形图像 对比容易看出，加边框线段为特征线段的变形图像相对稳定 这样变形的结果就使目标图像t i g e r 具有源图像g i r l 中的特征，即：使t i g e r 两眼睛 之间的距离、两嘴角之间的距离以及鼻梁的长度与g i r l 两眼睛之间的距离、两嘴角之间 的距离以及鼻梁的长度分别相等，以及使目标图像上的这些特征的方向分别与源图像上 这些特征的方向分别相同 图( 3 2 ) 在源图像g i r l 和目标图像t i g e r 上所选择的特征线段 图( 3 3 ) 线对变形方法产生的变形图像( 不加边框线为特征线) 1 1 图( 3 4 ) 线对变形方法产生的变形图像( 加边框线为特征线) 3 3 3 本文对线对变形方法的应用 通过上面的介绍我们知道，线对变形方法实质上就是让目标图像具有源图像的特征， 而本文要在利用此种方法的基础上，使源图像逐渐变形成目标图像，同时使源图像的特征 对应地渐变为目标图像的特征 在此，我们把源图像和目标图像均作为输入图像，将由源图像和目标图像线性插值 生成的中问图像作为输出图像那么源图像和目标图像上的n 条特征线段便可插值出中 间图像上的n 条特征线段然后对于中间图像上的每一个像素点x ，便可按上一小节中 介绍的方法分别找到其在源图像和目标图像上对应的像素点x 7 和x ”，然后分别取其灰 度值进行线性插值便可得到中间图像中像素点x 的灰度值依此算法逐点逐行地把中间 图像中所有像素点的灰度值全部求出便得到了表示从源图像到目标图像变形过程的中间 图像 把插值系数t 取0 到1 之间的不同数值便得到了一系列的变形中间图像结果如图 ( 3 5 ) 所示t 图( 3 5 ) 线对变形方法产生的变形图像序列( 加边框线为特征线) 而对于不同大小的图像，首先要由输入图像( 即源图像和目标图像) 的宽度和高度插 值出中间图像的宽度和高度，插值公式如( 3 7 ) ，( 3 8 ) 式 m i d w = ( 1 一t ) i m a g e l w + t i m a g e 2 w( 3 7 ) m i d h = ( 1 一t ) i m a g e l h + t i m a g e 2 h ( 3 8 ) 1 3 在此基础上我们还要附加一些条件我们不仅要考虑图像整体的宽度和高度，还要考虑到 局部因素，也就是局部特征线对变形效果的影响而线段的两个端点确定了，那么这条线 段也就确定了，因此在这里我们只需考虑特征线段的两个端点我们不能仅仅把输入图像 的特征线段的端点简单地线性插值出输出图像中的对应特征线段的端点，还要附加一个 比例变换，这样才能插值出输出图像中对应位置的特征线其变换过程如下s p t c k z = ( 1 一t ) p i c k l z + t p i c k 2 z( 3 9 ) p i c k y = ( 1 一t ) p i c k l y4 - t p i c k 2 y r z = i m a g e l w m i d w r y = i m a g e l h m i d h p x = p i c k g r x ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) p y = p i c k y r y ( 3 1 4 ) 其中，p i c k 为输出图像中特征线段的端点，p i c k l ，p i c k 2 为输入图像中的特征线 段的端点( z ，分别为点的横坐标和纵坐标) m i d 为输出图像，i m a g e l ，i m a g e 2 为 输入图像( ，日分别为图像的宽度和高度) 注；对于( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 式，在输出图像和目标图像之间的变形为r z = i m a g e 2 w m i d w ， r y = i m a g e 2 h m i d h 用( 3 7 ) 和( 3 8 ) 式插值出输出图像( 中间图像) 的宽度和高度，然后由( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 式分别求出比例因子r z ，r y ，输入图像不同，比例因子也不同最后再用由( 3 9 ) 式插 值出的点的横坐标p i c k z 乘以比例因子r z 以及( 3 1 0 ) 式插值出的点的纵坐标p i c k y 乘 以比例因子r y ，即得出我们算法中所需要的输出图像中的点的坐标然后即可按上节介 绍的线对变形方法来进行图像变形 1 4 3 4小结 线对图像变形方法比交叉分解图像变形方法和网格扭曲图像变形方法有很大的改 进比起交叉分解和网格扭曲方法，它比较明显的优势就是在进行变形之前可以人为地 选择比较明显的特征如前图( 3 2 ) 所示因而这种方法是有针对性的，它不像交叉分 解和网格扭曲方法那样无目的和随意但是线对图像变形方法也有一些不足之处如：若 特征线对选择少了，就难以控制特征对应关系；特征线对选择多了，运算的复杂度就会非 常高，运算时间也会急剧上升；而若特征线对过多，特征对就难以匹配，最终会导致实验 结果极不理想 1 5 第四章径向基函数方法 4 1引言 上一章我们介绍了一种在实现上比较简单的基于特征的线对图像变形方法，这种方 法是以线段为特征的，它较之以前的交叉分解和网格扭曲都有很大改进，但也有不足之 处本章将介绍另外一种基于特征的图像变形方法。径向基函数方法 b o o k s t e i n 是第一位把径向基函数理论用于图像变形的研究者径向基函数图像变 形方法就是在源图像和目标图像上分别选一些点作为特征点，根据这些点的对应关系，用 径向基函数来建立映射函数，然后目标图像中的每个像素点都会根据这个映射函数找到 它在源图像中对应的像素点径向基函数方法在一定程度上弥补了线对方法的一些不足 之处在描述这种变形方法之前，我们先对径向基函数作简单的介绍 4 2径向基函数 所谓的径向基函数定义如下；用从任意点到插值点的欧氏距离作为变量，用某个特 定的函数作为插值方程径向基函数实质上是一种插值函数它的一般形式如下： s ( z ) = a i g ( 1 x 一甄| | ) ( 4 1 ) t = 1 其中z 是任意点的坐标向量，甄是指定的插值点的坐标向量，g ( ) 是基函数，点x 到点戤的欧氏距离i x - - x i i i 则是基函数g ( ) 的变量，a i 是权系数，它也是一个二维向量 4 3径向基函数在图像变形中的应用 4 3 1 径向基函数方法 对于径向基函数在图像变形中的应用最主要也是最关键的一步就是求插值权系数 吼求出了吼，那么映射函数也就确定了，然后目标图像中的每个像素点都可以根据 1 6 这个映射函数找到它在源图像中对应的像素点下面我们就详细介绍插值权系数a i 的求 法 已知源图像和目标图像中的个特征点我们对( 4 1 ) 式稍作改进： s ( z ) = a i g ( 1 l x 一鼢0 ) + z ( 4 2 ) = 1 再把源图像和目标图像的各个特征点的坐标代入( 4 2 ) 式就形成个由2 n 个方程 组成的方程组( 有关横坐标和纵坐标的各个方程) 解出式( 4 2 ) 中的啦这2 n 个参数是径向基函数图像变形算法中最为关键的一步 当这些参数都求出后，线性系统也就确定了，然后目标图像中所有像素点的坐标在源图像 中的对应坐标都可以根据这个线性系统求出，进而也就完成了变形式( 4 2 ) 的具体求 解方法如下t 假设源图像和目标图像中的个特征点分别为只( x i ，y i ) 和q i ( u i ，地)( i = 1 ，n ) ( 4 2 ) 式按横向和纵向可以写成； n 地= a i g ( r j ) + 矾 ( 4 3 ) 她= b i 夕( 吩e ) + y i t = 1 下面对式子( 4 3 ) 、( 4 4 ) 通过矩阵求解法来解各参数 0 9 ( r 2 1 ) g ( r a l ) ： g ( r n l ) 9 ( r t 2 ) 0 夕( r 3 2 ) i 9 ( r 2 ) g ( r l a ) g ( r 2 a ) 0 ： g ( r n 3 ) g ( r l n ) 9 ( r 2 n ) g ( r s l v ) 0 g ( r l n ) g ( r 2 u ) 9 ( r z n ) 0 1 7 a l a 2 a 3 a n 6 1 6 2 6 3 u l u 2 t 正3 钍 t ，1 v 2 v 3 ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) 、，、j 、 唧。哪 o ； 椰加加。；加 、j、， ，o 2 2 仨 n o 他； ，l n ?。? o 忱 m ： 咖。咖卅：妣 其中r i j ( i j = l ，n ) 表示目标图像中第i 个控制点到第j 个控制点的距离，故系数 矩阵为对称矩阵 由矩阵方程( 4 5 ) 和( 4 6 ) 便可解得( 4 3 ) 、( 4 4 ) 中各参数本文实验中是利用g a u s s 消元法来求解方程组 当m 求出后，对于目标图像中的每一个像素点，我们便可把其横坐标和纵坐标分别 代入( 4 3 ) 、( 4 4 ) ，便可求出其在源图像中对应像素点的坐标 本文利用高斯函数9 ( r ) = e x p ( 孑- - r 2 一) 作为基函数在本实验中即为g ( r i j ) = e x p ( 鲁) 其中n j 为目标图像第i 个控制点到第j 个控制点的距离，吼是影响半径，这里设置 以= c i j i p , 一q , i i ，i i f , 一q , i l 表示源图像中第i 个控制点到目标图像中的第i 个控制 点的距离，臼是控制因子，是一常数，用来调整影响区域半径的大小一般情况下，影响 区域的大小取决于影响半径影响半径越小，影响区域也越小，变形的局部性就越好；反 之，影响半径越大，影响区域就越大，变形的局部性也就越弱但是影响半径吼不能取 任意小，否则，当l i f , 一q i i 比较大时，可能导致变形函数不再是一对一变换经反复试 验，当控制因子c i 取2 时，可得到良好的变形效果 例如，我们分别取源图像g i r l 和目标图像t i g e r 中的两眼睛、两嘴角，以及鼻尖为 五个特征点，用径向基函数方法进行变形，实验结果如图( 4 1 ) 所示； 图( 4 1 ) 径向基函数方法产生的变形图像 由图( 4 1 ) 可以看出，此方法产生的变形图像( 即图( 4 1 ) 中的第三幅图像) 在 上边界和右边界出现边界不稳定的现象，在此图像中表现为边界内部小范围内为黑色这 是因为目标图像中的一些像素点映射到了源图像的范围之外，而使这些像素点找不到对 应的颜色取值，因此会在变形图像内部出现小范围的黑色。为了避免这种现象，我们可以 1 8 人为地使这些像素点取一定的颜色值在本文的实验中，我们把这些点取为与它的横坐标 相同的边界上的点的颜色值( 亦可用其它的方法来取颜色值) 实验结果如下图； 图( 4 2 ) 径向基函数方法产生的变形图像 对比很容易看出，图( 4 2 ) 中的变形图像边界相对稳定 4 3 2 本文对径向基函数方法的应用 径向基函数方法实质上就是在源图像和目标图像上分别人为地指定图像的特征，然 后使目标图像具有源图像的特征而本文要利用径向基函数方法使源图像逐渐变为目标 图像，同时使源图像的特征对应地逐渐变为目标图像的特征，这个变化过程我们就用一系 列的中间图像来表示我们的关键工作就是表示这一系列的中间图像 与上节介绍的线对变形方法一样，我们把源图像和目标图像线性插值出的中间图像 作为输出图像那么源图像和目标图像上的n 个特征点便可插值出中间图像上的n 个特 征点然后对于中间图像上的每一个像素点，便可按上节介绍的径向基函数方法分别找到 其在源图像和目标图像上对应的像素点然后再分别取其灰度值进行线性插值便可得到 中间图像中这个像素点的灰度值依此算法逐点逐行地把中间图像的所有像素点的灰度 值全部求出便得到了表示从源图像到目标图像变形过程的中间图像 把插值系数t 取0 到1 之间的不同数值便得到一系列的变形中间图像结果如图 ( 4 3 ) 所示； 1 9 图( 4 3 ) 径向基函数方法产生的变形图像序列 而对于不同大小的图像，与上一章介绍的线对变形方法一样，我们不仅要考虑图像整 体的宽度和高度，还要考虑到局部因素，在这里也就是局部特征点对变形效果的影响同 样，我们不能仅仅把输入图像的特征点简单地线性插值出输出图像中的对应特征点，还要 附加一个比例变换，这样才能插值出输出图像中对应位置的特征点其变换过程如下t 印c k z = ( 1 一t ) 棚c k l x + t 卿c k 2 z 2 0 ( 4 7 ) p i c k y = ( 1 t ) p i c k l y + t p i c k 2 y m i d w = ( 1 一t ) i m a g e l w + t i m a g e 2 w m i d h = ( 1 一t ) i m a g e l h + t i m a g e 2 h r z = i m a g e l w m i d w r y = i m a g e l h m i d h p z = p i c k z r $ p y = 嘶c k y r y ( 4 1 4 ) 其中，埘c 七为输出图像中的特征点，p i c k l ，p i c k 2 为输入图像中的特征点( z ，y 分别为点的横坐标和纵坐标) m i d 为输出图像，i m a g e l ，i m a g e 2 为输入图像( ， 日分别为图像的宽度和高度) 注：对于( 4 1 1 ) 和( 4 1 2 ) 式，在输出图像和目标图像之间的变形为n 。= i m a g e 2 w m i d w ， r y = i m a g e 2 h m i d h 用( 4 9 ) 和( 4 1 0 ) 式插值出输出图像( 中间图像) 的宽度和高度，然后由( 4 1 1 ) ， ( 4 1 2 ) 式分别求出比例因子r x ，r y ，输入图像不同，比例因子也不同最后再用由( 4 7 ) 式插值出的点的横坐标加c k z 乘以比例因子r 茁以及( 4 8 ) 式插值出的点的纵坐标撕c k y 乘以比例因子n ，即得出我们算法中所需要的输出图像中的点的坐标然后即可按第四 章介绍的径向基函数方法来进行图像变形 4 4小结 本章通过径向基函数这个数学模型来建立点对之间的对应关系，映射函数，实验结 果表明，径向基函数方法比线对变形方法有很大的改进主要表现在以下几点：首先，线 对变形方法以线段为特征，而每条线段都是两个点的连线，也就是说要建立映射关系，其 控制点的个数必须是偶数其次，用点作为特征来建立映射函数比用线段作为特征更为自 然另外，线对变形方法中的线段是不能交叉的，而以点作为特征却没有这样的限制 2 l 、；、i 8 9 o 1 2 3 毛 重 j j j 4 4 4 4 ，；，l 参考文献 【1 】w o l b e r gg d i g i t a li m a g ew 却i n g 【m 】l o sa l a m i t o s ：i e e ec o m p u t e rs o c i e t yp r e s s ，1 9 9 0 【2 】b e i e rt ，n e e l ys f e a t u r e - b a s e di m a g em e t a m o r p h o s i sd 】c o m p u t e rg r a p h i c s ，1 9 9 2 【3 】r e i s f e l dd ，a r a dn ，d y nn ，e t ，a 1 i m a g ew a r p i n gb yr a d i a lb a s i sf u n c t i o n s ：a p p l i c a t i o nt of a c i a l e x p r e s s i o n s 【j 】c v g i p ：g r a p h i c a lm o d e l sa n di m a g ep r o c e s s i n g ，1 9 9 4 【4 】a r a dn ，r e i s f e l dd i m a g ew a r p i n gu s i n gf e wa n c h o rp o i n t sa n dr a d i a lf u n c t i o n s j c o m p u t e r g r a p h i c sf o r u m ，1 9 9 5 【5 】d y nn i n t e r p o l a t i o na n da p p r o x i m a t i o nb yr a d i a la n dr e l a t e df u n c t i o n s 【m 】i n ：c h i uc k ，s e h u m a k e rll ，w a t t sjd ，e d s a p p r o x i m a t i o nt h e o r yv i n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s ，1 9 8 9 【6 】s m y t h ed b ，at w o - p a s sm e s hw a r p i n ga l g o r i t h mf o ro b j e c tg r a n s f o r m a t i o na n di m a g ei n t e r p o - l a t i o n ，t e c h n i c a lr e p o r t1 0 3 0 ，i l mc o m p u t e rg r a p h i c sd e p a r t m e n t ，l u e a s f i l m ，s a nr a f a e l ，c a l i f 【7 tv o l k e rb l a n z ，t h o m a sv e t t e r ，am o r p h a b l em o d e lf o rt h es y n t h e s i so f3 df a c e s 【8 】v o l k e rb l a n z ，t h o m a sv e t t e r ，f a c er e c o g n i t i o nb a s e d o nf i t t i n ga3 dm o r p h a b l em e d e l 1 9 】j r b e r g e na n dr h i n g o r a n i ，h i e r a r c h i c a lm o t i o n - b a s e df r a m er a t ec o n v e r s i o n t e c h n i c a lr e _ p o r t ，d a v i ds a r n o f fr e s e a r c hc e n t e rp r i n c e t o nn j0 8 5 4 0 ，1 9 9 0 【l o 】d b e y m e ra n dt p o g g i o ，i m a g er e p r e s e n t a t i o nf o r v i s u a ll e a r n i n g ，s c i e n c e 2 7 2 ：1 9 0 5 - 1 9 0 9 ，1 9 9 6 1 1 】d b e y m e r ，a ，s h a s h u a ，a n dt p o g g i o ，e x a m p l e - b a s e di m a g ea n a l y s i sa n ds y n t h e s i s a i m e m o n 0 1 4 3 1 a r t i f i c i a li n t e l l i g e n c el a b o r a t o r y , m a s s a c h n s e t t si n s t i t u t eo ft e c h n o l o g y , 1 9 9 3 【1 2 】c s c h o