（计算数学专业论文）小波域中的非局部平均去噪算法研究.pdf

摘要 图像去噪问题一直是图像预处理的热点问题。寻求一种既能有效地减小噪 声，又能很好地保留图像边缘信息的方法，是人们一直追求的目标。去噪算法 的基本思想是平均，关键点在于如何使图像得到平滑的同时，细节或是高频部 分予以保留。a b u a d e s 等人提出了非局部平均去噪算法，转换了人们对去噪问 题的视角。 本文对小波域图像去噪方法进行了深入的研究，介绍了基于小波变换的去 噪方法的原理和算法。根据图像小波系数的统计分布具有非高斯特性，可以用 广义高斯模型进行描述。使用广义高斯分布( g g d ) 对图像子带小波系数进行建模 以及g g d 模型的参数估计问题，根据参数确定了非局部平均权值的广义表达式， 在此基础上设计了一种基于广义高斯分布的小波域广义非局部平均去噪算法。 仿真结果表明该算法在有效去除噪声的同时很好的保留了边缘等细节特征。 关键词：小波系数广义高斯分布非局部平均( n o n l o c a lm e a n s ) 算法图像 去噪 a b s t r a c t i m a g ed e n o i s i n gh a sa l w a y sb e e nah o ti s s u ei ni m a g ep r o c e s s i n g t h e r e f o r e ， h u n t i n gf o ram e t h o do fd e n o i s i n ge f f i c i e n t l ya n dk e e p i n gt h ee d g ei n f o r m a t i o n s i m u l t a n e o u s l ya r eg o a l sp e o p l eh a v eb e e np u r s u i n ga l lt h et i m e t h eb a s i ci d e ao f d e n o i s i n gi sw h a ti sc a l l e da v e r a g e ，s ot h em a i np o i n ti sh o w t od e a lw i t hs m o o t h i n g w h i l ep r e s e r v i n gd e t a i l so rh i 【g hf r e q u e n c yp a r t s a b u a d e s ，e ta lp r o p o s e dt h e n o n l o e a lm e a n sa l g o r i t h m ，w h i c hh a sc h a n g e dt h ev i e w p o i n to ft h ep r o b l e m t h i st h e s i ss t u d i e si m a g ed e n o i s i n go nw a v e l e td o m a i na n di n t r o d u c e st h e p r i n c i p l e sa n da l g o r i t h mo fs o m ed e n o i s i n gm e t h o d sb a s e do nw a v e l e tt r a n s f o r m t h es t a t i s t i c so fi m a g ew a v e l e tc o e f f i c i e n t si sn o n - g a u s s i a na n dc a l lb ed e s c r i b e db y g e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n ( g g d ) t h et h e s i sa l s oi n v e s t i g a t e st h ei s s u e so f g g ds t a t i s t i c a lm o d e lf o rw a v e l e tc o e f f i c i e n t si nas u b b a n da n dt h ec o r r e s p o n d i n g p a r a m e t e re s t i m a t i o n t h ee s t i m a t e dp a r a m e t e r sa r eu s e dt od e f i n eag e n e r a l i z e d n o r d o c a lm e a s sw h i c ha l l o w su st or e s t o r et h eo r i g i n a li m a g e an o n l o c a lm e a n s d e n o i s i n ga l g o r i t h mo nw a v e l e td o m a i nb a s e do ng g d s t a t i s t i c a lm o d e lf o rw a v e l e t c o e f f i c i e n t si na l ls u b b a n d si sp r o p o s e d t h es i m u l a t i o nr e s u l t si n d i c a t et h a to u r p r o p o s e dm e t h o dk e e p sa b e t t e rv i s u a lr e s u l ti ne d g e si n f o r m a t i o nr e s e r v a t i o na n d n o s i er e m o v i n g k e y w o r d ：w a v e l e tc o e f f i c i e n t sg e n e r a l i z e dg a u s s i a nd i s t r i b u t i o n n o n l o c a l i m a g ed e n o i s i n g 西安电子科技大学 学位论文创新性声明 秉承学校严谨的学风和优良的科学道德，本人声明所呈交的论文是我个人在 导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标 注和致谢中所罗列的内容以外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果；也不包含为获得西安电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的 材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中做了明确的说 明并表示了谢意。 申请学位论文与资料若有不实之处，本人承担一切相关责任。 本人签名： 西安电子科技大学 关于论文使用授权的说明 本人完全了解西安电子科技大学有关保留和使用学位论文的规定，即：研究 生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属西安电子科技大学。本人保证毕 业离校后，发表论文或使用论文工作成果时署名单位仍然为西安电子科技大学。 学校有权保留送交论文的复印件，允许查阅和借阅论文；学校可以公布论文的全 部或部分内容，可以允许采用影印、缩印或其它复制手段保存论文。 本人签名： 导师签名：狲 第一章绪论 第一章绪论 1 1 研究背景及意义 数字图像处理也被称为计算机图像处理，它是一个将图像信号转化为数字信 号借助于计算机对其进行处理的过程。随着科学技术的进步，人类对大自然的不 断深入的探索，数字图像处理的应用邻域越来越广。从最初的通信、航空航天、 军事、生物医学，到造福于人民的工业生产，公安刑侦以及机器人视觉，视频和 多媒体系统等。 由于自然世界中各种因素的影响，所以很难得到一幅真正“清晰 的图像。 在图像的采集、取样、编码和传输过程中，图像均或多或少的被一些可见或是不 可见的噪声所污染，图像的质量受到损坏，成为影响视觉质量的含噪图像。图像 噪声的主要来源有三个方面n 2 1 ：一是敏感元器件内部产生的高斯噪声。这是由于 器件中的电子随机热运动而造成的电子噪声，这类噪声很早就被人们成功的建模 并研究。一般用零均值高斯白噪声来表征。二是光电转换过程中的泊松噪声。这 类噪声是由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起的，在弱光情况下， 影响更为严重。通常用泊松密度分布的随机变量作为这类噪声的模型。三是感光 过程中产生的颗粒噪声。在显微镜下检查可发现，照片上光滑细致的影调，在微 观上呈现的是随机的颗粒性质。对于多数应用，颗粒噪声可用高斯过程( 白噪声) 作为有效模型。由于噪声的存在，不仅图像视觉质量有所下降，噪声的污染使得 图像偏离了真实景况，或是掩盖了重要的图像细节，极大影响了图像信息的提取， 而且增加了图像的熵，妨碍了图像的数据压缩，增加了图像的传输成本。所以非 常有必要在对图像操作之前进行消除噪声的预处理。 图像去噪指的是利用各种滤波模型，通过各种滤波方法从已知的含有噪声的 图像中去掉噪声部分并保留图像细节部分。在对含噪声图像和模糊图像恢复时， 除了消除噪声外，一个更为重要的目标是在去除噪声的同时保护图像的重要细节 ( 包括几何形状细节如纹理、线条、边缘和对比度变化细节) 。但是噪声的去除和 细节的保留是一对矛盾关系，这是因为噪声和细节都属于图像信号中的高频部分， 很难将它们区分出来，所以在滤除图像噪声的同时，也会对图像的特征造成破坏， 并使图像变得模糊。所以如何兼顾降低噪声和保留细节是图像处理邻域中十分重 要的研究课题。长期以来，人们根据图像的特点，噪声的统计特征和频谱分布的 规律，提出了很多的图像去噪算法。主要是在时间域和变换域中对含噪声图像的 去噪处理。 2 小波域中的非局部平均去噪算法研究 为了更有效的抑制图像中的噪声，更好的降低噪声对于复原图像真实细节的 影响，有必要从新的研究方向上寻找更佳的图像去噪新算法，达到在最大程度上 去除噪声的同时保留更多的图像边缘，纹理等细节成分。近年来，研究者们为解 决这一问题进行了各种探索，建立了更接近于图像本质特征的去噪模型，提出了 一些更高效的算法。 1 2 图像去噪的研究现状 在进行采集时，由于受到采集环境的影响，采集设备的限制以及采集人员主 观因素的制约，人们获得图像与实际肉眼观察到的图像并不能很好的贴合，往往 会受到各种噪声的“污染”。噪声来源很多，噪声的特性也很复杂，但是从本质上 来讲可以分为可加性噪声和非可加性噪声。对于非可加性噪声，我们可以通过特 定变换( 比如对数变换) 将其转化为加性噪声。因此人们对于加性噪声研究更为 成熟。研究者们通过对噪声产生原因和统计研究，发现自然世界中所产生的大多 数噪声皆可用均值为零，方差不同的高斯模型来描述。因而，我们可以假定噪声 符合零均值的高斯分布。 目前，图像去噪算法有三个最常用的数学工具，分别为概率统计、偏微分方 程和小波分析方法。去噪主要在空间域和频域进行处理。空间域方法是直接对图 像所在的二维空间中对每个像素点的灰度值进行处理，方法包括：均值滤波，中 值滤波，均值和中值相结合滤波，集合滤波，非局部平均滤波等。频域滤波是通 过将自然空间中的像素值图像通过某种变换( 比如傅里叶变换，小波变换) 将原 来空间图像转换到频域中进行处理，处理后再通过反变换转换回空间域，恢复出 图像，从而达到去除噪声的目的。频域去噪的算法主要包括：低通滤波，高通滤 波等。通过对图像的频谱分析，我们知道图像边缘( 细节成分) 和噪声具有相同 的频谱分量即为高频成分。而传统的低通滤波方法是将图像的高频部分滤除，所 以在滤除噪声的同时也破坏了图像的细节成分，从而使得图像变得模糊。 现在图像去噪领域较为活跃的是基于p d e ( p a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n ， 偏微分方程) 的图像去噪方法研究，已经取得了一些理论以及相应的去噪算法口4 副。其原理就是通过建立一个以含噪图像作为初始条件的p d e 方程，将方程的解作 为去噪后的“清晰图像。最为著名的为p e r o n a 和m a l i k 的各向异性扩散模型， 它是通过可以表示图像边缘的图像梯度来度量扩散平滑程度的，对于图像的非边 缘部分通过较大的扩散平滑去除噪声，而在边缘部分采用较小的扩散平滑以保护 边缘信息。此外其他的p d e 去噪方法还有全变分方法慨7 1 和平均曲率流方法等。 近年来，小波分析由于具备很好的时频特性和多分辨特性，已经成为图像去 噪领域研究的一个热门课题。许多学者利用小波的低熵性、多分辨率、去相关性、 第一章绪论3 选基灵活性等特点对图像进行去噪处理，获得了良好的效果。利用小波对含噪信 号进行处理，可有效地滤除噪声，保留信号高频信息，得到对原信号的最佳恢复。 从信号学的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，小波去噪具有特征提取和 低通滤波的综合功能。 m a l l a t 是最早将小波分析应用在信号处理应用的研究者之一，他建立了小波 变换快速算法，用于对信号和图像的分解和重构。此外他还提出了小波去噪的经 典算法：模极大值去噪方法阳1 们，即根据图像和噪声在小波变换各尺度上的不同 传播特性，滤除由噪声产生的模极大值点，保留图像细节所对应的模极大值点， 进而重构小波系数，恢复为清晰图像。1 9 9 2 年，d o n o h o 和j o h n s t o n e 在高斯噪声 模型基础上提出了小波阈值去噪方法 i l lo 并于1 9 9 5 年提出了信号去噪的软阈值方 法和硬阈值方法，推导出v i s u s h r i n k 阈值公式和s u r e s h r i n k 阈值公式，并从理 论上证明了在均方意义下是渐进最优的。然而，d o n o h o 和j o h n s t o n e 提出的阈值 方法，对小波系数有严重的“过扼杀 ，使得某些原本表示细节的小波系数被阈 值掉，去噪效果并不十分理想。因此研究者们纷纷对阈值选择进行研究n 2 3 一钔， 提出了一些阈值确定方法。后来人们发现简单阈值选择仍然存在缺陷，转而研究 阈值函数的选取，并给出了一些阈值函数n 钆璩“li s 。1 9 9 8 年，d o w i n e 和s i l v e r m a n 提出了多小波的通用阈值公式，同年b u i 和c h e n 把平移不变小波去噪推广到多小 波的情形。1 9 9 9 年，h s u n g 等人提出了一种基于奇异性检测的去噪算法，通过计算 一个锥形影响域内小波系数模的和来估计信号的正则性，从而对小波系数进行滤 波。该方法避免了复杂的重构，且几乎不需要噪声的先验信息。 然而以上提出的这些去噪方法，对于非高斯噪声以及有色噪声，去噪效果不 甚理想。后来，研究者们开始研究图像和噪声的统计信息，研究方向已经转为如 何最大限度的获得信号的先验信息n 钆她2 l 】，并利用这些统计信息来确定更合适的 阈值或是阈值函数，以达到更高的去噪效果。2 0 0 0 年，在基于无噪声图像小波系 数服从广义高斯分布的假设前提下，c h a n g 等人提出一种针对图像的b a y e s s h r i n k 阈值去噪方法，取得了很好的去噪效果。按照小波域统计图像处理的观点，我们 可以将小波系数看作是具有联合概率密度函数的随机场的一个实现。但在实际处 理过程中仍无法利用联合概率密度函数来表示小波系数之间的相关性，因为原有 的统计去噪算法是在将小波系数看作统计独立的前提下的。后来，研究者们建立 了舢( h i d d e nm a r k o vm o d e l ) 来描述体现小波系数之间的相关性。小波域隐马 尔科夫树模型瞳2 1 采用混合高斯模型来刻画各个子带系数的概率分布，并通过小波 系数的隐状态在尺度之间的相关性来刻画图像各个尺度小波系数之间的相关性， 所以在进行图像去噪时具有很好的保留图像细节和边缘的能力。 小波理论还在不断发展，通过选择不同的小波基函数或利用框架进行变换或 通过选择最优基来进行变换( 小波包，多小波) 。另外，目前脊波变换，曲线波变 4 小波域中的非局部平均去噪算法研究 换等新理论在图像去噪中的应用也引起了广泛的研究兴趣。 然而目前已有的许多图像去噪方法大多是基于“局部平滑 。其基本思想是局 部平均滤波，即在每个像素的一定的邻域内，进行所有像素或部分像素的平均或 加权平均。最近，b u a d e s 等学者提出了非局部平均滤波算法( n o n l o c a lm e a n s a l g o r i t h m ) 嘲。该算法是对传统局部去噪模型的一个革新。充分利用自然图像中 冗余信息为去噪服务，这是非局部平均滤波模型( 以下简称n l m ) 的主要思想。n l m 模型的主要特点是：该方法不是用图像中单个像素的灰度值进行比较，而是对该 像素周围的整个灰度的分布状况进行比较，根据灰度分布的相似性来贡献权值。 在图像处理中对图像进行准确的建模，往往是一件十分关键而又棘手的工作。一 个图像的统计先验模型，即使只部分地描述了图像内部各像素点之间的某种相关 性或规律，也能够在很大程度上改善实际的图像处理效果。在图像去噪邻域，基 于小波的阈值去噪算法是典型的基于非参数模型的噪声抑制方法，具有稳健性好、 计算简单和需要信号先验信息少的优点，因而被广泛采用。通过研究图像小波系 数的统计模型而得到优秀的去噪算法，是近年来异常活跃的一个研究方向。大量 的研究已证实了图像小波系数的统计特性不服从高斯分布。在去噪邻域中，广义 高斯分布( g g d ) 是一种被经常使用的先验模型。m a l l a t 最早将g g d 模型用于描述 图像细节子带小波系数的直方图分布3 之后，出现了许多新的基于g g d 模型的小 波域图像去噪算法啪瑚删。 在基于非局部平均去噪算法和图像小波系数的概率统计信息基础上，本文提 出了一种小波域中基于g g d 的广义非局部平均去噪算法。仿真实验表明，该算法 在高效滤除噪声的同时保留了更多的图像细节，处理后图像的峰值信噪比得到了 明显提高。 1 3 本文的主要工作 本文对基于小波分析的图像去噪方法进行了研究，在空间域非局部平均算法 的基础上，结合小波域中小波系数服从广义高斯分布，研究了用广义高斯分布 ( g g d ) 对图像子带小波系数进行建模以及g g d 模型的参数估计问题，其参数可以 用来确定非局部平均权值的广义表达式，在此基础上提出了一种基于广义高斯分 布的小波域广义非局部平均去噪算法，通过仿真实验对该算法的去噪性能进行了 讨论。 全文共分为五章，各章内容如下： 第一章分析了图像去噪的研究背景及意义，简述国内外的图像去噪的研究现 状，给出本文的主要工作和论文安排。 第二章介绍了去噪理论基础，图像噪声分类，噪声模型，小波去噪理论以及 第一章绪论 5 图像去噪算法效果的评价标准。 第三章讨论了小波域去噪的基本原理和基于小波变换的常见的小波域图像去 噪模型，讨论了小波系数的分布模型，并对去噪效果进行评价。 第四章介绍改进的非局部平均去噪算法，并提出小波系数的广义高斯模型， 对算法进行描述。针对提出的广义非局部平均去噪算法，分别对标准图像进行了 仿真实验，证明了所提出算法的有效性。 第五章对全文进行总结和对今后的研究工作进行展望。 第二章图像去噪的理论基础和去噪效果评价标准 7 第二章图像去噪的理论基础和去噪效果评价标准 “噪声”可以理解为妨碍人的视觉器官或系统传感器对所接收信源信息进行 理解或分析的各种因素一般噪声是不可预测的随机信号，必须通过概率统计的 方法进行评估噪声是影响图象质量的主要因素，当我们利用计算机等设备进行 处理时，这些图像并非原始图像，而是受噪声污染造成质量下降的降质图像噪 声的污染使图像偏离了真实景况，极大影响了人们从图像中提取信息因此，十 分有必要在利用图像之前消除噪声，最大限度的降低噪声对原始图像的影响 2 1 图像的噪声来源 这一节给出图像中噪声的来源以及分类，在这里只作简单的介绍。 1 按照噪声产生的来源，图像噪声还可分为外部噪声和内部噪声。 外部噪声是指系统外部因素产生的噪声，例如天线干扰或电磁波从电源线窜 入系统的噪声。内部噪声是在图像采集、输入过程中系统内部产生的噪声，有四 种最常见形式： ( 1 ) 由光和电的基本性质所引起的噪声：如电流可看作电子或空穴运动，这 些粒子运动产生随机散粒噪声，导体中电子流动的热噪声，光量子运动的光量子 噪声等。 ( 2 ) 电器的机械运动产生的噪声：接头振动时电流不稳，磁头或磁带、磁盘 抖动等。 ( 3 ) 元器件本身引起的噪声：如正片和负片的表面颗粒性和磁带磁盘表面缺 陷所产生的噪声。 ( 4 ) 系统内部电路噪声：如c r t 的偏转电路二次发射电子的噪声。 2 按照噪声统计理论观点，图像噪声还可分为平稳和非平稳噪声。 液晶屏图像的主要噪声来源包括被测液晶屏本身的噪声、c c d 摄像机固有的 电子噪声和数字化图像的量化噪声。图像噪声从统计理论观点可以分为平稳和非 平稳噪声两种。平稳包含广义和狭义两种概念，通常用的是后者。即数学期望是 常数，自相关只和时间间隔有关。平稳过程一般具有各态历经性，即时间平均等 于统计平均。 在实际应用中，不去追究严格的数学定义，这两种噪声可以理解为：其统计 特性不随时间变化的噪声称其为平稳噪声，其统计特性随时间变化而变化的称其 为非平稳噪声。 8 小波域中的非局部平均去噪算法研究 3 按噪声幅度分布形状来定义。 如其幅度分布是按高斯分布的就称其为高斯噪声，而按瑞利分布的就称其为 瑞利噪声。 4 按噪声频谱形状来命名的。 如频谱均匀分布的噪声称为白噪声；频谱与频率成反比的称为，噪声；而 与频率平方成正比的称为三角噪声等等。 5 按噪声和信号之间关系可分为加性噪声和乘性噪声。 假定j ( x ，y ) 为真信号，噪声为n ( x ，y ) ，观察到的信号为g ( x ，y ) 。如果混合迭 加波形是g ( x ，y ) = 厂( x ，y ) + n ( x ，y ) 形式，则称此类噪声为加性噪声；如果迭加波 形为g ( x ，y ) = 厂( x ，y ) x 1 + n ( x ，y ) l = 厂( x ，y ) + 厂( x ，y ) x n ( x ，y ) 形式，则称其为乘 性噪声。前者如放大器噪声等。每一个像素的噪声不管输入信号大小，噪声总是 分别加到信号上。后者如光量子噪声、胶片颗粒噪声等。由于载送每一个像素信 息的载体的变化而产生的噪声受信息本身调制。在某些情况下，如信号变化很小， 噪声也不大。为了分析处理方便，常常将乘性噪声近似认为是加性噪声，而且总 是假定信号和噪声是互相统计独立。 6 根据经常影响图像质量的噪声源又可分成三类。 首先，是记录在感光片上的图像会受到感光颗粒噪声的影响；其次，图像从 光学到电子形式的转换是一个统计过程( 因为每个图像元素接收到的光子数目是 有限的) 。最后，处理信号的电子放大器会引入热噪声。人们为建立这三类噪声 的模型进行过大量研究。 ( 1 ) 电子噪声 在阻性器件中由于电子随机热运动造成的电子噪声是三种模型中最简单的。 这类噪声很早就被电路设计人员成功地建模并研究了。一般常用的零均值高斯白 噪声作为其模型。它具有一个高斯函数形状的直方图分布以及平坦的功率谱。它 可用其r m s 值( 标准差) 来完全表征。有时，电子器件也会产生一种所谓的j r 噪 声。这是一种强度与频率成反比的随机噪声。然而，图像处理问题很少需要对这 种噪声进行建模。 ( 2 ) 光电子噪声 光电子噪声是由光的统计本质和图像传感器中光电转换过程引起的。在弱光 照的情况下，其影响更为严重，此时常用具有泊松密度分布的随机变量作为光电 噪声的模型。这种分布的标准差等于其均值的平方根。在光照较强时，泊松分布 趋向更易描述的高斯分布；而标准差( r s m 幅值) 仍等于均值的平方根。这意味 着噪声的幅度是与信号有关的。 第二章图像去噪的理论基础和去噪效果评价标准9 2 2 图像处理中常见噪声模型 图像处理中常见的噪声模型大部分是从统计观点来分析的，凡是统计特征不 随时间变化的称为平稳噪声，统计特征随时间发生变化的称为非平稳噪声。而根 据噪声幅度分布的规律，则噪声可以分为： 1 高斯( g a u s s i a n ) 噪声分布 这是图像处理中最常见的噪声模型，因为图像中大多数噪声皆满足高斯 分布，而在数学上又可以方便的对高斯噪声进行分析。设随机变量z 服从 g a u s s i a n 分布，则其概率分布函数可以表示为： p ( z ) = 下i _ e x p 卜q 一材) 2 1 2 0 2 】 ( 2 2 1 ) v z 万仃 其中z 表示图像的灰度值，材表示期望值，仃表示z 的方差。 2 瑞利噪声分布 设随机变量z 服从瑞利分布，则其概率分布函数为： p ( z ) ：j 吾( z 一口) e x p - ( z - a ) 2 b 】，s 口 ( 2 2 2 ) l0 ， 墨 a z 的均值和方差为： 卜口+ 厥2 _ 3 ) p 2 = 6 ( 4 一，1 r ) 4 3 脉冲噪声分布 脉冲噪声分布的概率密度函数为： 降，弘口 p ( z ) = 见， z = b( 2 2 4 ) 1 0 ， o t h e r s 若见和磊都不为零，则称为双极脉冲噪声( 椒盐噪声) ；若见和岛有一个为 零，则称为单极脉冲噪声。 4 泊松( p o s s i o n ) 噪声分布 若z 是一个取值为0 、l 、2 、的离散随机变量，则p o i s s o n 分布的概率 为： p ( z - 七) 2 告e x p ( 一九) ，七= 0 1 2 ， ( 2 2 - 5 ) 1 0小波域中的非局部平均去噪算法研究 z 的均值和方差为： 材= 仃2 = 允 2 3 图像的方法噪声 ( 2 - 2 - 6 ) 比较一个去噪算法或是一个去噪滤波器的性能好坏，关键是看其去噪性能。 目前衡量图像质量的指标，用的最多的就是信噪比。用信噪比衡量算法去噪能力 有一个很重要的步骤，就是估算图像噪声的方差。由于图像受噪声污染的情况很 复杂，所以对于一般的自然图像( 非计算机模拟) 而言，这个方差是很难准确的 估算出来的。 为了更好地衡量去噪算子的性能优劣，a b u a d e s ，b c o l l 等人提出了“方法 噪声( m e t h o dn o i s e ) 的概念随捌。这是一种新的评价去噪模型去噪效果的方法。 在很多的去噪模型中一般都有一滤波参数h ，该参数衡量了应用于图像之上的滤 波程度。对于大多数去噪模型而言，h 依赖于对噪声方差仃2 的估计。我们定义去 噪算子为见，那么原噪声图像，可以做如下分解： 1 ，= 岛1 ，+ 玎( 绣，) ( 2 3 1 ) 在这里记取，是去噪模型的处理结果，显然 ( 1 ) 见1 ，比，更为平滑； ( 2 ) 疗( 绣，) 是该去噪算法应该去除的噪声。 然而，对1 ，进行平滑并不能保证”( d h ，) 就是白噪声了。近来，去噪算法不再仅仅 是单纯地对图像进行平滑，而是试图恢复出，z ( 岛，v ) 中丢失的信息啪3 。所以说， 关注的焦点变成了刀( 岛，1 ，) 。 定义2 1 方法噪声( m e t h o dn o i s e ) ： 假设u 为图像( 不一定是噪声图像) ，现是依赖于h 的去噪算子，则u 的方法噪声 定义为图像差： 刀( 吼，v ) = 1 ，一b ， ( 2 3 2 ) 由上式可以看出，对于一个好的去噪模型，我们认为方法噪声应该是一个随机噪 声，必须尽可能地接近白噪声，应该尽量少地包含图像的结构信息。由于我们希 望图像并不会因为去噪而被改变，因而我们期望方法噪声必须尽可能地小。 方法噪声可以很直观的告诉实验者，在去噪过程中，哪些细节或是几何结构 被保留，哪些被舍弃。所以，为了保留原图像中尽可能多地图像细节，方法噪声 必须尽可能地接近白噪声。 第二章图像去噪的理论基础和去噪效果评价标准 1 1 2 4 图像的小波分解与重构 本文采用的图像是灰度图像，m a t l a b 中灰度图像存储为单一的数据矩阵，所 以图像属于二维信号，图像的小波变换必然要用n - 维小波离散变换，就要考虑 e ( r 2 ) 中的二维多分辨分析b 2 3 副。考虑n d , 波函数的可分离性，二维离散小波变 换往往可以由一维信号的离散小波变换推导得出，也即口( 灭2 ) 中的二维多分辨分 析可由r ( r ) 中的多分辨分析推广而成。 假设( x ) 是一个一维的尺度函数，i f ，( _ ) c ) 是相应的小波函数，则可以得n - - 维 小波变换的基础函数： l f ，1 ( x ，y ) = 妒( x ) v ，( y )y 2 ( x ，y ) = y ( x ) 妒( y ) y 3 ( x ，y ) = y ( x 渺( y )妒( x ，y ) = 妒( x ) 9 ( 力 在二维情况下，尺度函数妒( x ，y ) 、小波函数v ( x ) 通过伸缩和平移可得 九j 。，( x ，y ) = 哆，七( x ) 竹，肼( y ) ， l f ，； j 一( x ，y ) = 仍，i ( x ) v 。艉( y ) l f ，九，。( x ，y ) = v ，j ( x ) 竹，。( y )1 f ，；j j | l ( x ，少) = y j j ( x ) l ：f ，研( y ) 贝u 咖乒，。( x ，j ，) ik , m z ) 、 y ；，七朋( x ，少) ，y i i ，m ( x ，y ) ，y 王t 。脚( x ，y ) i 七，脚z ) 分另i j 构 成哆和吁的规范正交基，从而缈_ 棚( x ，y ) ，y 五，艉( x ，y ) ，y 丸，册( x ，y ) lj , k ，脚z ) 构成 多分辨分析r ( r 2 ) 的规范正交基。 设乃+ 。嘻。，由吆，- v ：o 孵，可得存在乃哆，巳孵有 i n = l e i 利用级数展开可得 乃+ 。( x ，y ) = 勺“j ，。咖+ 。j k 册 = 巳j ，册咖j 一十刃j ，。y ；j ，。+ 颤加y ，2 j ，研+ 刃j ，册l f ，五刀 七，m 七，mk , r ai 。脚 n - 维m a l l a t 分解与重构算法为： 1 2 小波域中的非局部平均去噪算法研究 勺 肘= 历一：。瓦一：。勺+ 。加 刃如= 历m 磊勘巳w 鼻 哌，卅= 蚕m 瓦勘c j 刖鼻 嚷一= 萄m 磊勘c j 仙 c _ ，+ 。j 加= 瑰划一：。勺舢+ 玩划g m 一：。巧肋+ 划一：。乃。+ 划g 。一：。霸月 ，。ni , n，。n，n 其中， 魄，础， 繇 k ， 瓦 胁， 羲 妇是小波导出的滤波器。 利用二维m a l l a t 分解算法对二维信号f ( x ，y ) 进行分解，分解后的四个系数 c j , k , m 刃，肼，哌味，肘分别代表二维信号的低频、水平、垂直、对角线的频带信息。 下图为二维多分辨率的一级分解示意图，图中l l 为低频分量，l h l ，h l l ，h h l 分别为图像垂直分量、水平分量、对角分量。 l l l m 札1 腿1 图2 1 小波分解图 把一幅图像分解为一个低频子图，水平、垂直与对角线三个方向的高频子图， 也可以把低频子图继续分解。二维小波分解与重构算法是一维的推广，既有行变 换又有列变换，分解算法信号是先滤波后抽取，重建算法是先插值后滤波。利用 小波对图像进行分解，根据需要对小波系数进行插值，由重构算法重新获取处理 后的图像。 2 5 图像的去噪质量评价 在图像通信过程中，将图像传输到接收端，要经过采集、传输、处理、记录 等过程，所有这些技术的优劣都会影响到图象质量。图像质量的含义主要包括两 个方面：图像的逼真度和图像的可懂度。图像质量评价的研究已成为图像信息学 科的基础研究之一。多少年来，人们找到了一些图像逼真度和可懂度的定量测量 第二章图像去噪的理论基础和去噪效果评价标准1 3 方法，作为评价图像和设计图像系统的依据。然而目前人们对人类视觉特性还没 有充分理解，无法对人类视觉心理特性找出准确的定量描述方法，只能从主观上 对图像处理的质量进行评价。图像去噪的目的就是改变图像的主观视觉显示图像 质量，使得恢复后的图像尽可能地接近原始图像质量。所以，要对图像质量进行 一个合理的评价，需要从主观方面和客观方面综合起来进行评价。 2 5 1 主观评价 主观评价方法有两种刚：一种是作为观察者的主观评价，就是让观察者根据 一些事先规定的评价尺度或是自己的经验，对测试图像按视觉效果进行质量判断， 并给出质量分数，对所有观察者的分数进行加权平均，所得的结果即为图像的主 观质量评价。这只是一种定性的评价方法，没有定量的标准，由于受到观察者主 观心理因素以及客观观察环境的影响，评价结果具有一定的不确定性。另外一种 是使用模糊综合评价方法来实现对图像质量的“近似 定量的评价，以求尽可能 地减少主观因素的影响。不过它仍然具有主观的不确定性，只是定量计算公式中 的参数是根据专家经验来确定的。 主观评价主要有两种尺度1 3 5 1 ，即绝对尺度和相对尺度，如表2 1 所示。这种 测量方法虽然较好的反映了图像的直观质量，但无法使用数学模型对其进行精确 的描述；从工程应用角度上，过于费时费力。所以在实际应用中，图像的主观质 量评价标准受到严重的限制。 表2 1 主观质量测量评分 4 7，m “，；，j f ”一i 、n ，? “。t 、 级别绝对测量r 度 一， 相对黧尺，。 j ： ! j ，?x口? 一 i、j：，o 。j “：| j ? 霸 1 很好一组中最好的 2 较好好于该组中平均水平的 3 一般该组中平均水平 4较差 差于该组中平均水平的 5很差 该组中最差的 2 5 2 客观评价 客观评价是用于恢复图像“偏离 原始图像的误差来衡量恢复图像的质量， 源于数据传输过程中均方信噪比的思想。主要是一些定量的方法【3 6 1 ，主要有均方 差( m s e ) ，归一化均方误差( n m s e ) ，均方超阈值量化误差( m s t e ) ，信噪比( s n r ) 和峰值信噪比o s n r ) 等。其中最常用的客观评价标准是：信噪比和峰值信噪比。 1 4 小波域中的非局部平均去噪算法研究 1 均方差( m s e ) m s e 经常用来评价两幅图像之间差异的重要参数。在这里我们用原始图像 ( 无噪声) 和去噪结果图像之间的均方差来衡量一个去噪模型的去噪效果，定义 如下： 脚= 上 厂( 聊，胛) 一f 7 ( 聊，力) 2 (25mn 一1 ) 怠鲁、叫 、7 川 其中f ( m ，) 是原始图像，f m ，拧) 表示去噪后恢复的图像，由公式可以看出，它 反映的是处理后图像与原真实图像的逼近程度。在已知真实图像的基础上，可以 使用m s e 作为评价标准。需要提醒的是，由于人的视觉对于图像的不同部分的 灰度偏差有不同的敏感度，所以m s e 的大小，并不直接决定图像的去噪质量， 但在一般意义上起到了很好的评价作用。 2 归一化均方误差s ( n m s e ) 厂( 朋，”) 一厂7m ，刀) s = j l 厂2 ( 聊，刀) 其中，f ( m ，1 ) 是原始图像，f m ，刀) 表示去噪后恢复的图像。 3 修正的均方误差 设g ( m ，n ) = ql g k 2 + l q f ( m ，疗) ，则 e g ( m ，n ) - g m ，船、1 1 _ 1厶 ， 弘专痢 ( 2 - 5 - 2 ) ( 2 - 5 - 3 ) 该公式考虑了人们视觉系统的非线性作用，较n m s e 有了进一步的改进。 4 均方超阈值量化误差( m s t e ) 舰= 善n 曼i + 2 ( ) 2 一严( 讣加i 一丁( 讣p ( 习出( 2 - 5 - 4 ) 其中，x 只代表以代替咒【而，薯+ 。】的误差，p ( x ) ；o x 出现的概率，r ( x ) 为视觉 阈值，u ( x ) = 0 二三吕。 5 峰值信噪比( p s n r ) 峰值信噪比( p s n r ) 和均方误差( m s e ) 相类似，其表达式为： 第二章图像去噪的理论基础和去噪效果评价标准 1 5 1 0 垮嚣五丽l - r ( 2 - 5 - 5 ) 去- - m = 1 n = l ( 碍功一厂( 现刀) 2 其中，q 表示图像量化的级数，( m ，刀) 是原始图像，厂m ，”) 表示去噪后恢复的 图像，m 。为图像矩阵的行列总数。 峰值信噪比同样反映原始图像和恢复图像的差别，并不是人眼的主观视觉特 性。p s n r 是在图像处理中最频繁使用的图像质量客观评价标准，峰值信噪比越大， 表明去噪效果越好。 2 5 3 去噪模型评价标准和评价方法 在具体的图像去噪邻域，目测法是直接评价去噪效果好坏的方法。要想一个 去噪模型得到肯定，首先要通过视觉检测这一关的许可。除了目测法检验之外， 更重要的是通过客观标准评价去噪模型的效果，通过上面所列的客观评价标准， 使我们对去噪模型的评价变得更有依据。在具体评价去噪模型时，我们需要从以 下几个因素考虑： ( 1 ) 去噪后图像应该尽可能平滑，不存在或存在较少的噪声痕迹。 ( 2 ) 去噪后的图像不能使图像平滑的失去细节结构而变模糊。 ( 3 ) 不能引入由具体去噪算法产生的人工噪声。 ( 4 ) 方法噪声尽可能地接近随机噪声。 ( 5 ) 均方差( m s e ) 尽可能地小，也即峰值信噪比( p s n r ) 应尽可能地的大。 常见的图像去噪模型评价方法是在一幅清晰的图像上加上高斯白噪声，然后 对加噪声后的图像使用去噪模型进行去噪实验处理，然后进行去噪效果的主观和 客观评价。还有就是可以对一幅清晰图像直接进行去噪，这是因为自然图像在采 集过程中会引入噪声，本质上也是一幅含噪图像。 第三章基于小波变换的图像去噪原理和方法1 7 第三章基于小波变换的图像去噪原理和方法 由于我们得到的图像总是或多或少的含有噪声，而噪声在图像分析、处理和 压缩等领域有很大的干扰作用，会对图像产生干扰，所以有必要对图像进行去噪 处理。近年来，小波理论得到了非常迅速的发展，而且由于其具备良好的时频局 部化能力和多分辨率分析能力，因而在图像处理各领域的实际应用非常广泛在 去噪领域申，小波理论同样深受许多学者的重视，他们应用小波变换进行去噪， 获得了非常好的效果。 3 1 小波去噪的基本原理 小波分析理论运用到图像去噪邻域，其原理是将图像通过小波基进行多尺度 分解，将图像原有的灰度值表示转化为用小波系数表示形式。因此，基于小波变 换的图像去噪算法主要包括三个基本步骤： ( 1 ) 计算图像的小波变换； ( 2 ) 对小波系数进行处理，估计真实的小波系数； ( 3 ) 对处理后的小波系数进行小波逆变换。各种基于小波变换的去噪算法的不 同之处主要集中在第二步。 根据信号和噪声的小波系数在不同尺度上具有不同特性的机理，构造相应的 处理规则，在小波域中采用相关的数学方法对小波系数进行处理。处理的原则是 在滤除噪声系数的同时最大限度的保留原有信号的小波系数，然后通过小波重构 算法，用处理后的小波系数重构信号，从而获得原信号的最优估计。在数学上， 小波去噪问题的本质是一个函数逼近问题，即如何在有小波母函数伸缩和平移版 本所展成的函数空间中，根据提出的衡量准则，寻找对原图像的最佳逼近，以完 成原图像和噪声的区分。这个问题可以表述为： = a r g m i n ( 1 l 卢( f ) - f , i i ) 厶= ( 厂) 1 = 1s 弋) ， i = fi 厂为实际图像 肚s p a n ，e 。，t pj t = pi 卢为，一形的函数空间映射 1 8 小波域中的非局部平均去噪算法研究 其中，o p t 代表最优解，疋表示原图像，：表示噪声图像。由此可见，小波去噪 方法也就是寻找实际图像空间到小波函数空间的最佳映射，以便得到原图像的最 佳恢复。从信号的角度看，小波去噪是一个信号滤波的问题，而且尽管在很大程 度上小波去噪可以看成是低通滤波，但是由于在去噪后，还能成功地保留图像特 征，所以在这一点上优于传统的低通滤波器。由此可见，小波实际上是特征提取 和低通滤波功能的综合，其等效框图如图3 1 所示。 特征信息 图3 1 小波域去噪等效框图 对图像进行小波变换去噪的基本步骤： ( 1 ) 对含噪图像进行多尺度小波变换，将图像从空间域变换n d , 波域。 ( 2 ) 在各尺度上对小波系数进行处理，保留图像的小波系数，除去噪声的小 波系数。 ( 3 ) 进行小波逆变换，用处理过的各尺度上小波系数重构图像，得到去噪后 图像。 小波去噪的流程图如图3 2 所示： 图3 2 小波域去噪流程图 近年来，随着小波理论的快速发展，小波分析在信号处理领域应用十分广泛， 同时也取得了卓越的成果。许多的图像处理研究学者根据小波在信号处理中取得 的成功经验应用在图像处理邻域，促进了图像处理邻域一个全新的研究方向的发 展。目前，小波去噪的方法主要分为以下三类： 1 1 9 9 2 年由s m a l l a t 和z h o n g 提出的小波模极大值方法i l o j 。 具体来说，就是利用有用信号与噪声小波变换的模极大值在多尺度分析中呈 现不同的奇异性，剔除出由噪声产生的模极大值点，保留图像所对应的模极大值 点，然后利用属于有用信号的模极大值重构小波，模极大值方法可使信噪比提高 4 7 d b 。由于受到各种因素的干扰，这种跟踪是很困难的，在实际工作中需要一 些经验性的判据。奇异点重建信号分为过零点重建小波变换和模极大值重建小波 第三章基于小波变换的图像去噪原理和方法 1 9 变换，其缺点：用过零点或极大值来重建信号只是一种逼近，结果不太精确。 2 1 9 9 5 年，s t a n f o r d 大学学者d l d o n o h o 和m j o h n s t o n e 提出通过对小波 系数进行非线性阈值处理恢复噪声中的信号【3 7 , 3 8 3 9 4 0 】，也成为“小波收缩。 在此基础上，又提出了硬阈值和软阈值去噪方法。该方法认为图像对应的小 波系数包含图像的重要信息，其幅值较大，但数目较少；而