（计算数学专业论文）数值差商公式及其应用.pdf

摘要 本文阐述7 数值差两公式的一些基础知识，对数值差商公式在数值计算中的 应用进行了初步探索。第一部分给出了文中用到的一些关于差商及计算组合的基 本知识。第二部分是数值差商公式的基本概念，以及差商展开的思想；用初 等的方法讨论t f l o a t e r “1 中差商展开式的余项估计， 悱菇国f o - o , ，) 扩展了j o s 6a a d e l l 和c s a n g u e s a “1 的结论，证明过程也更易于接受。第三 部分描述了数值差商公式在数值微分余项估计中的应用；证明了用差商逼近导数 的一类超收敛公式的余项估计 p ( x ) 一n ! f a o ，确也s 旦2 4 2 l l “肚 = m a x 一口i 胚f 川) 最后一部分将数值差商公式应用于h a d a m a r d 有限部分积分的计算，得到积分的近 似计算公式， 4 ( 胀净。毒五月屯，掣协+ 嘉砉g 7 k 壹= p + l 彳( 孚厂i ；1 t 蒿一 ，r r ，川月 + 善掣j p - k ( 寿一赤b 意： 七! i ( 口一孝) 9 一f 一孝1 9 4j 解决了由于积分节点和奇点距离过近导致的计算不稳定问题。 关键词：数值差商差商展开 数值微分l t a d a m a r d 有限部分积分 a b s t r a c t t h i st h e s i sg i v e sa no v e r v i e wo ft h en u m e r i c a ld i v i d e dd i f f e r e n c e f o r m u l a ，a n df u r t h e rs t u d i e si t sa p p li c a t i o n si nn u m e r i c a la n a l y s i s f i r s to fa l l ，t h ef i r s tp a r tp r o v i d e ss o m eo ft h eb a s i ck n o w l e d g eo n d i v i d e dd i f f e r e n c ea n de n u m e r a t i v ec o m b i n a t o r yu s e di nt h i sp a p e r t h e n ， t h es e c o n dp a r ti st h eb a s i cf a c t sa b o u tt h en u m e r i c a ld i v i d e dd i f f e r e n c e 。”a n dd i v i d e dd if f e r e n c ee x p a n s i o n s ，t h e nd is c u s s e dt h ee r r o rb o u n d sf o r t h er e m a i n d e rt e r mi nf l o a t e r sd i v i d e dd i f f e r e n c ee x p a n s i o n s ”a n do f f e r sa np u r e l ye l e m e n t a r yp r o o ff o rt h ee s t i m a t i o n k l 而石k ：p t - k ：巧6 一一l 国( ，i 删， ) t a k ea d v a n t a g eo ft h en u m e r i c a ld i v i d e dd i f f e r e n c ef o r m u l a ( p r o b a b i l i s t i ca p p r o a c hw a su s e db yj o s 6a m e l l a n dc s a n g u e s a ”t og i v e ab e t t e rb o u n df o rt h es p e c i a lc a s ei nw h i c ht h ed a t ap o i n t s ，qa r e u n i f o r m l ys p a c e d ) n e x t ，t h et h i r dp a r td e s c r i b e st h ea p p l i c a t i o no f n u m e r i c a ld i v i d e dd i f f e r e n c ef o r m u l ai nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n f u r t h e r m o r et h er e m i n d e rf o rt h eh u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o nf o r m u l at h a t t h en t hd e r i v a t i v ei sa p p r o x i m a t e db ya nn t hd i v i d e dd i f f e r e n c ew i t hs u p e r c o n v e r g e n c ei ss t u d i e d ，a n dt h ef o l l o w i n ge s t i m a t i o nw a se s t a b l i s h e d ： ( x ) 刊k ，q 卜云 2 l “l = m 戤 j q + l q 邮胁一1 ) f i n a l l y ，i nt h el a s tp a r tt h en u m e r i c a ld i v i d e dd i f f e r e n c ef o r m u l ai s a p p l i e dt oh a d a m r df i n i t e - p a r ti n t e g r a l ，a n dt h ef o l l o w i n ga p p r o x i m t e i n t e g r a lf o r m u l ai sd e r i v e d ， a b 譬兀l a c t 啪剖兰砉，讹，掣协+ 斋v 托- ，+ l 烈孚厂h m ； ” ：再l 月 + 砉掣k 击p ( 寿一寿b 盘 ! 一女i ( 口一毒1 一( 一f 1 。j w h i c hp r o v i d eas o l u t i o nt ot h ec a l c u l a t i o no fi n s t a b i l i t yi nh a d a m a r d f i n i t e - p a r ti n t e g r a lw h e ns o m eo ft h ei n t e g r a ln o d e sa r et o oc l o s et o t h es i n g u l a rp o i n t k e y w o r d ：n u m e r i c a ld i v i d e dd i f f e r e n c ef o r m u l ad i v i d e dd i f f e r e n c e e x p a n s i o n s n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n h a d a m a r df i n i t e - p a r t i n t e g r a l 引言 差商在数值分析中有着广泛的应用，差商的计算在实际问题的数值计算中显 得尤为重要。一般情况下，利用计算机根据差商的递推关系计算差商并不难，但 是如果节点之间的间距很小时，计算机计算过程就会引起很大误差，甚至导致计 算不能顺利进行为解决这个问题，王兴华“1 提出数值差商公式的概念， ，- ，j ：= ，：0 0 “，：。，：，_ k j + 疗。_ t ! b 知 其中 。，( j ) ：= p - a i ) = 0 1 一川+ 1 ， 以，的h e r m i t e 插值多项式的差商来近似代替，的差商，将插值多项式中的节点 间距取得足够大，使计算能够顺利进行，并分别针对低度光滑函数和充分光滑函 数给出余项估计，得到了超收敛的数值差商公式及其l a g r a n g e 表示。 插值余项及其各阶导数( 或数值微分公式的余项) 一直是数值分析的一个重 要研究课题，从t d o k k e n ，t l y c h e 关于h e r m i t e 插值多项式余项的差商表示， 到f l o a t e r ，d e b o o r 的差商展开，再到王兴华的数值差商公式，逐步得到了一个 一般的统一表达式。 本文阐述了数值差商公式的一些基础知识，对数值差商公式在数值计算中的 应用进行了初步探索。第一部分给出了文中用到的一些关于差商及计算组合的基 本知识。第二部分数值差商公式的概念，以及差商展开的思想。j o s 6a a d e l l 和c s a n g u e s a “1 用概率的方法给出了均匀节点时咖中差商展开式的余项估计， t h e o r e m 设，- c 1 ( n v x j ，我们有 坝川= 薹高即( 玲工y 4 吲z ) 磐) 卜两- l - k ( p - i ) ；h ) 其中 2 数值差商公式及其应用 i = x o ，五】，i l = + 一而= x f - x o ，z ( x ) = + ( u + + 以) ， 席 。 、。 吖 ( u l 为【o ，l 止相互独立的服从均匀分布的一列随机变量 卒文用初等的方法讨论了一般节点情形，得到了更一般的结论： i 嘭卜石石k 二p t - k = 而6 一一b ( 厂) ， ) = m p l 。一一| ) 当而，耳为均匀节点，即 = 兰 量时- 我们有 卜t b l 禹 。i - l m ( ，( ，- 1 ) ， ) 证明过程也更易于接受。为有效估计数值微分公式的误差，前人在将余项表示成 l a g r a n g e 形式方面作了不懈的努力和深入地研究，给出了不同的余项表达形式和 误差估计；第三部分描述了数值差商公式在数值微分余项估计中的应用。证明了 用差商逼近导数的类超收敛公式的余项估计 旷( x ) 刊，【，吒私云 2 1 1 ：加”l j i l = m a q l 一, + - q 邮渤一l h a d a m a r d 有限部分积分的计算中，当求积节点和奇点充分接近时，计算会不稳 定，最后一部分将数值差商公式应用于h a d a m a r d 有限部分积分的计算得到 h a d a m a r d 有限部分积分的近似计算公式， 以( 肪_ - - 。量五瓜，皂尘协+ 嘉喜g ”毫( 孚丁叫p + l 1 2 1 t * ”一 ”1 r - i li = ；“ 厅 + 砉掣击pk 寿一寿b 盘七!一l ( 口一善) 4 ( 一孝1 9 4j 使计算能够顺利进行 第一章基本知识 本章给出文中用到的一些基础知识和基本公式 1 差商的递推关系 九五，】= 九，x n _ l 】+ ( - 工o ) x o ，】 2 变量代换 记，：j 呻珊+ b ； f 1 ( x o ) ，( 毛) 】= 口”( 厂。，) 【，q 】 3 ( f i x o9 - a - 9 黾，明) 【口o ，】= i x o ，黾，口o ，】 1 ，2 ，3 参见d e b o o r1 4 4 嘲设而 毛，j r 足够光滑，则 n f x o9 - 9 毛】= ( z 矿) 【品，。】 喜( ，而+ ) 胛! 厂【而，矗】= d ( 帕，皓)善【，】 5 l e i b n i z 公式 ( 圳= 周圭- - - o 阱 ( w ) 伪) = ( ：) “ 脚 、。， 推广的l e i b n i z 公式( 多个函数乘积的导数) e l , ，z 为开区间上的实值( 或复值) 函数，如果石，z 均n 次可微，则 刍冉z ( x ) - ，+ 善。( ：一。) 冉鲁z ( 工) 其中( 写，v r ) = 百衰譬可为多项式系数 由推广的l e i b n i z 公式很容易得到 4 数值差商公式及其应用 洲( 工) # f n ( 州) 1 ( i ) 、l i o = ( o 。) 兀( x 一口f ) i + 斗 i - - 0 = 七! f i ( 善一气) 6 ”l e i b n i z 公式( 差商) ( f g ) x o ，】= 【而，k 【，毛】 推广的l e i b n i z 公式( 差商) 设j r ：r ”寸r ，则 ( ，( ，) ) 【，毛】= ，( 。：= 。 z ，_ ) 呐 ，i - n i 7 1 5 九而，x - f a o ，】= ( x j , - - , 7 ，) 九而，口，q 】 幽+ l 【黝，z 知】= ( z o o n ) u n z 0 ，z 】+ u n 陋l ，】? 知 ( z ，一+ 。一，) + 。一，p ，z i 】= _ o n + l 陋。，z k 】( o m 七) 9 如果f ( x ) 为1 1 次多项式，则 月v - 1 s i x ，a o ，吼】= s i l o ，q 】兀o q ) 事实上 i , - k + lt - k + l 厂iv - - i、 ，【j ，q ，q 】= is ( x ) - s i l o ，q 】兀( x 一口) 1 1 二一 、 瑚 兀( x 一口i ) = f a o ，q 】兀( x q ) _ 0 ，t + il - k + l 1 0 指数型b e l l 多项式 基本知识 完全b e l l 多项式 k ( q 部分b e l l 多项式 其中 1 墨k 仃) ：= ( 砌) z ：毋 d f 6 1 曼k n ) ：= ( 哪) 回管z 一一4 z 、 7， a h 啊 “：= 凸：= ( a l ，也，卸) n dl a l + 2 a z + + 玎嘞= 订l ， 册：= a 1 l + a 2 + + a n = m ( 硝) 7 ：= m ( 1 1 户一d l ! ( 21 卜n z ! - - ( “! ) “n 。i n o 表示非负整数集。 完全和部分b e l l 多项式之间的关系 月 艺( 而，矗) = 只，( 而，矗) _ _ l 1 1 对称群循环指标多项式 刀次对称群$ 。的循环指标多项式为 递推关系 z n ( x kil 蔓1 兰n ) ：= z ( 6 ；z l ，石2 ，) = 刍( n ；矿研- z 字堙 n ! 一 口i “ 嵋。( 。- i 这里z o = 1 ( 枷 = 面面瓦 1 三k 茎n 一曲n 1 珥一乙 z 。“ i | n 0 ，有 c o ( f , 2 8 ) ( 五+ 1 ) 缈( 厂，占) 占 o 第二章数值差商公式 2 1 数值差商公式 定义2 1 设x = ( 而，) ，口= ( ，) 为r 或c 中的数列，k = m - n ，有 卅 p h 。棚= h ，d 睁- b ，刚 ，翎 n + ( f - j j 印) ( i ，i 。目m j 十，) k s t + p 亿知1 王兴华进一步推广了f l o a t e r 和d e b o o r 的结论，并在【1 】中提出数值差 商公式的概念，对其做了系统地研究，分别针对低度光滑函数和充分光滑函数， 给出如下数值差商公式余项的估计和超收敛的数值差商公式及其余项的 l a g r a n g e 表示。 2 3 数值差商公式的余项估计 数值差商公式及其应用 低度光滑函数 定理”2 1设n o ，n n 如r k i n b 1 0 至曼n 对任意适合七扫：h 的整 数码如果，r ”l n 圳，则 m ，圳兰掣嵩+ 1 ) _ j = m + 1 ( 2 7 ) 式中 h ：麓6 一，1 j 0 ：n l i n 叫一啦：0 三f i 十j 墨n 。 而”。至是。o ，的重排，国( ，) 是，。的连续模。 充分光滑函数 定理2 2设 o “”_ i j _ t 。p 一雕o k n 对任意适合o m k 的整数m ，如果厂c ” 口，6 】，则有 其中h = b - a 。 研而，】2 善厂，一，。，a 1 , r o + - 【硌，_ 】 ( 2 8 ) + d ( 肿“+ 1 4 ) ( 出) 这个定理表明，在一般情形下， ；j ；! ：；：磊； 等1 n n + m + ，一- e 1 +j ! f i f o 0 0 ，n 。j f j “k + l 【j u 。， ：( 1 存在常数c o ，使得 尺m ，! 一c h 叶1 一。 一般说来这已是饱和阶，但如果对某个m o ， 则对充分光滑的，有 o = k t p ， +n o n p ， ， 脚 数值差商公式 这种情形称之为超收敛。 ，饥一o 1 r ：= o ( h n + 们+ 1 一 1 定理2 3 设而9o - 9 屯和口o 9o 9 口 是关于一个共同的对称中心c 对称分布的两组 节点，并且n - k 是一个非负偶数，则 _ r p o 一，k j = 1 1 。【j - 一j ：+ w j 0 ，一，j 是一个超收敛的数值差商公式 r j o ，t k ：= o ( h ”+ 2 一j 这里总是厂以，a n 为节点的n 次h e r m i t e 插值多项式，h ：b a 又设 m i n l a i e l ：1 i c ，0 i 儿 i l l 2 l x l j 。i c l ：x i c ，0 i i ) k f a c “a ，6 】，口o ，a n 【口，b 】，则对k = l ，2 ，3 ，4 分别存在e a ，b ，使 得 帆一肌：= 篇岍啦- ，址吐 ( 2 9 ) 这里i ，x k - l 是而，吒中的任意k 个点。 【1 】中证明了( 2 9 ) 式对k = l ，2 ，3 ，4 成立，许，王，许“0 1 完成了【1 】中 的猜想，证明了( 2 9 ) 对所有的正整数k 成立得到了比较广泛的一类超收敛的数 值差商公式余项的l a g r a n g e 表示。 第三章数值微分公式的余项 3 1 数值微分公式余项的几种形式 设只阢) 是函数，( z ) 在节点，a n ( o l a n ) 的n 次插值多项式， 曩o ) 常用来逼近厂( j ) 的k 阶导数( 1 k n ) ，由插值公式 m 心州工) 坼) = 帮州工) ( 3 1 ) 其中 口k 。( z ) = 兀o q ) f ，j = 嘞，q ) 表示包含x ，a n 的最小闭区间。 f - o 导出数值微分公式 ( x ) = 己( x ) + r ( 工) ( o k n ) ( 3 2 ) 我们希望余项r ( j ) 有一个简单的表达形式，很多学者在将余项表示成 一”1 ( 善) 矿( x ) 形式做了深入的探索和研究。 最早s t e f f e n s e n “提出并证明了当x 岳( 口o ，q ) 时 砒垆帮啪) c 。， 然而对大多数情形，j ，吒) ，此时，h i l d e b r a n d “”给出包含，的直到n + l + k 阶导数的表达式 p = 锹蜊x ) 川( 3 t ) r a l s t o n l j ”用去扣气# ) 2 南重新证明了h i l d e b r a n d 的表达 ( 3 4 ) 数值微分公式的余项 b r o d s k i t 1 证明了s t e f f e n s e n 的结果( 3 3 ) 对任意的x 和，并不成立；余项 不存在 焉( z ) = 一“( 善) 伊( x )矿( z ) 为由口o ，吼确定的函数 的表达形式。 当区间i 在奇异点附近时，( 3 1 ) ( 3 3 ) 给出的误差界将失去实际意义， ( 3 4 ) 比较粗笨且要求厂的直到n + k + l 阶导数：( 3 3 ) 要求工仨，a n ) ；为克 服这些缺点，p c c h a k r a v a r t i “”借助辅助函数，提出如下余项估计 定理3 1 如果f e c l ，】妒e c “【，】且一“( j ) 在区间i 上处处存在， v ( ”j - * ( 工) 在区间i 上处处不为0 ，则对 有 啪) = 睁训 v 4 x , ，善 s ， 可”o ) = i 兀( x q ) 1 ，口。】考瑞( 3 5 ) j 卸 吵 5j 其中属于区间i ( j = x ，a o ，q ) ) 的内部，q q 口+ 。i = 0 ，n - k 虽然精确求出，几乎是不可能的，对给定的x 却可得到多项式 扣t 兀( x q ) 的合理的上界，文中作者以中心差商为例给出了确定上界的方法。 此外，通过适当选取辅助函数可给出合理的误差估计，还可以改善奇点附近的 误差界。【1 1 】还给出了两个在数值微分及奇异点附近的计算中很有用的例子： i r ( x ) = j “一，( 3 5 ) 式成为 出垆( 觚1 - 0 吩) 若离八”，； k r a n z e r “”讨论了此例( 或许他在写这篇文章的时候没看到【1 5 】) 。 妒( d = 二，此时有 朴h 、一( 卜a s ) 朋f ) 柏z ) 2 嚣忑i 帮 j 竺一一 鍪墨茎堕坌壅墨墨堡里 i 王式垒d 嗡 最后提到一个在数值微分误差估计中非常有用的余项表达j - f 1 西蕊 和t l y c h e “订关于h e r m i t e 插值多项式的余项表示 设只为f 在，a n ( 可以重复) 的h e r m i t e 插值多项式，r = ，一只；则 矾x ) 圳，至( m ) 矿州( x ) 高蒜 6 ) 其中仍( x ) = 兀卜一q ) ，d , = f a o ，4 一，苎o 】 i = 0 ；一， f l o a t e r “1 曾利用( 3 6 ) 用初等方法简单地证明了k a l l i o n i e m i 1 8 1 的猜想( k = n 的情形，g w h o w e l l “”曾用核函数和b 一样条的性质证明。) s h a d r i n ”1 完全 证明了这一猜想：若厂c ( “ 1 1 ，厶为厂在a o ( q o ，满足 ( 3 1 1 ) ，从而得到高阶精度的数值微分公式。例如k = l 时，取嘞= x - h ，q = 工+ 觑 得到具有二阶精度的一阶中心差商公式 i d f ：f ( x + h 了) - r f ( x - h ) + d ( ：) 疵2 、7 k = 2 时，取嘞，q ，吒满足工：鱼拿兰，得到 罢= 2 厂【，q ，吒】+ 。( 2 ) a o ，q ，啦为均匀节点时即常用的二阶中心差商公式 万d2f：下f(x+h)-2f(x)+f(x-h)+d(纠h出2 2 、， 在3 3 节将给出一类i ：l f , 较实用的节点的取法。 王，崔，王惜1 将( 3 9 ) 应用到l a g r a n g i a n 数值微分公式 广( x ) = 厂( 乃) c ( x ) + r ( 工) ( 七= 1 ，2 ，功 数值微分公式的余项 其中 似) 2 端删2 1 ：；( m ) 。q 得到局部l a g r a n g e 数值微分的误差估计 厂c ( ”( 工) 肿一爿可+ 1 k 气小一1 ) 扩( x ) = o ，c ( ”2 ( 工) 门艰) ( - c ) 百： 墨，( n + 2 ) f z ) 。佧一”( z ) + 。( h n + 2 - ) 3 3 一类超收敛的数值微分公式 ( h 一0 ( h 一0 ) 定理2 3 中而= 而一= 毛= x 时，由【1 】和【1 0 1 中的结论，我们得到 一类超收敛的数值微分公式及其余项的l a g r a n g e 表示 设厂c “2 【口，b l ，五，巳【口，b 】，且口o ，关于工对称分布，n k 为非负偶数，则 广( x ) = 钟( 工) + 胄( 工) 其中尼是f 以口o9 , , - 9 q 为节点的n 次h e r m i t e 插值多项式 特别地， k m 错删( 力叫) f 【口，6 】，h = b - a k 2 2 ，嘞s q s s 为均匀节点时有工= ，得到微分方程有限差分法中 州沪门严攥矿气电棚：半 教值差商公式及其应用 当k 2 n 时，由珥”( x ) = ”! 【，】得超收敛的数值微分公式 一“( x ) = ”! ，k ，】+ 刖( x ) 州垆一名等蚋砷铆：【口 6 】 1 2 用差商逼近导数是微分方程数值解中有限差分方法的一个理论基础，在高 阶逼近中也很常见。 定理3 2 假定口o s q q ，我们得到( 3 1 2 ) 的误差估计 p l s 云南2 旷2 也一= 一一q 邮胁一) 且对此类超收敛公式系数n 2 4 是虽佳的。 证明：由推广的l e i b n i z 公式知 破o ( z ) = ( ”一1 ) ! ( z q ) ( x 一巳) o 一( j 目 记 j = ( x q ) ( x q ) ，_ 因a o ，q 关于j 对称分布，所以 又有 故 ( x q ) = o 2 1 = f 宝( 川) 1 2 - e “( 州) 2 ：一窆( 州) zi ( x q ) iz q ) 2 = 一( 工一q ) 2 i = oi oi 卸 ( a j - a ，) 2 = ( x - q ) 一( 工一q ) ) 2 o s i ，no g ，如 = ”窆( z q ) 2 2 x - q ) ( z q ) = 2 ，玎一2 ， 数值微分公式的余项2 l 怍骊1 。毛( q q ) 2 熹( - , - 0 2 2 ( 一+ 1 ) o 缸 ：生丛! 巩z 2 4 桫( 柏川) z i - i 尘 2 p 蚪篆哿鼎x ，k n 妒2 l 特别地，当口o ，q 为均匀节点时，有q 2 嘞+ 曲，z 2 + - 2 h 由卜三娄( 工一q ) 2 得 ，：一h 2 窆( n f 2 ：一! ! ! ! ! ! ! ! ! ： 2 面2j 2 4 砂b 一：，篆等= 音2 第四章数值差商公式在奇异积分数值解中的应用 许多科学和工程计算问题归化为积分方程，这些积分方程往往是奇异的，特 别是自然边界归化无一例外都导致奇异积分方程。奇异积分的数值计算方法己成 为当前积分方程及边界元研究领域中的一个极为重要的课题，h a d a m a r d 有限部分 积分，是经典r i e m a n n 积分及c a u c h y 主值积分的推广，在研究双曲偏微分方程 的c a u c h y f 司题和高阶奇异积分方程方面起了重要作用 4 1 h a d a m a r d 有限部分积分 l ，使得对任意“局 8 ，明，有 i ( 而) 一，一( 屯) 卜k 一屯广 其中崩非负整数。 定灿l ：奇异积分f 石墨争啡( 删d 锄晡限部分积分定义为 蹦能、i h 删1 嚣净 = r ( 几，一薹掣卜；叼南出- ， + 砉掣啪e 南 由 巾) 一套掣卜叫五掣船卅川 ( 4 1 ) 可写成下面的形式 眦垆胁聒f + i 胁薹掣蛳”r 高丽z ， 数值差商公式在奇异积分数值解中的应用 跏- r 南2 再i 面d 伽l c 寿 = 石叫_ ：d p k d 善p - k ( e 冬p t ) !l ”“上工一手j 其中p v f 喜为c a u c h y 主值。所以 印r 南2 南i 筹( h 蓦 告 晶万一寿 ( 4 2 ) 式中右端第二项容易得出 砉掣去k ( 寿一寿 。， 考： 七! p i ( 口一手) 9 吐( 6 一者) 9 j 。 r k d 协， ( 4 4 ) ，+ l 现有的数值积分方法主要还是插值型求积公式，插值节点选取的好坏直接影 响到求积公式的精度和稳定性。插值型求积公式中g a u s s 求积公式具有最高阶代 数精度，个节点的g a u s s 求积公式有2 m - 1 , f f 代数精度，对( 4 4 式) 使用经典的 高斯求积公式”1 ，我们有 r 【x ，主d 】出= 砉五k ，主= 童 出+ 墨( 厂) ( 4 5 ) 其中魁为g a u s s 求积节点， k 为g a u s s 系数。 利用4 3 和4 5 式得到h a d a 啮r d 有限部分积分日，( ，掌) 的近似表达式 眦班却屯，簪脚砉掣击( 寿一寿 ( 4 6 ， 经典的g a u s s 求积公式虽具有最高代数精度，但当奇点和某个求积节点充分 接近时，直接用函数在奇点和求积节点的函数值来计算差商将引起较大的误差， 导致数值计算不稳定当某个求积节点x 。充分接近奇点f 时，计算f ( x ) 在x l - f ，“jf 的差商f x 。，f ，“二f 是利用g a u s s 求积公式求h a d a m a r d 有限部分积分 数值差商公式及其应用 数值解的主要困难，4 2 节将利用数值差商公式解决这个难题。 4 2 1 理论分析 4 2 积分的数值计算 当某个求积节点x 。充分接近奇点f 时，不妨设x 。是距离f 最近的节点，本节 利用数值差商公式将f ( x ) 在x 。，f ，jf 的差商通过其在另一组间距足够大的节 点的差商来计算，从而使数值计算能够顺利进行。 为计算f i x 。，f ，。二f 取一组拟均匀的节点，q 以即 一际一_ j 一卜既 这里i ( i i x , - ：1 由数值差商公式( 2 1 ) ，( 2 8 ) 知 几曼：塑2 至k ，口i ，q m z ，虽童】+ 兄【x ，色。目 p h ”，“ 矗l函 其中 其中 引工，乏= 1 = f i x , ，q k - i x , 圭：箩+ 。( 一) ，+ ip + l v l q ( x ) = 兀x - a ，) - 目0 下面的任务就是计算 丌z ，包】：至，1 州，蚂h k 包塑 ( 4 7 ) 叶l p + 1 f h y 唯a o , a m , ，q 不歼肝骶要求p 小” 网b - a 数值差商公式在奇异积分数值解中的应用 讣，譬，= ( 晰砉学k ) 南= 耄型半卜盯t 引理4 1 q ( 工) 可以用 次对称群的循环指标多项式表示为 学制z 。h “薹 证明：由f a ad ib r u n o 公式以及 、 l s ，七l i 尘掣= 舻叫嘻掣诽- n 讣) ) 堆) = 掣障毕铲吣 刊互瞎器畦 其中互( 再i l s ，七) 为k 次循环指标多项式，证明完毕 如果x 与某个a 比如a 0 很接近，则 掣= 可x - - a o _ j dk 旷v - t 引+ 志( 玎妒口j ) ：q ( ，) z 。h ) “一芝 l i l 特别地，当x = a o 时， 此时 - 批j + ( 彝c x q ， z 。 c 一，“1 薯 掣= ( 妒坼小旷1 芝i = l 、 l a , a 2 。= f + 砌 2 e 当y s 2 口 当y 2 e 其中( ) 取，j 、数部分，硼2 南札，f ，】 q 卜簪卜以障 数值差商公式在奇异积分教值解中的应用 所以 其中 z # 丝塑 ” k ! 鹏包p 凹+ l 兰古喜吼k 掣1 “s ， g 2 当y 2 0 当y 2 0 讣，掣，= 喜尘掣产一。叫 h 。， = 矿川( 删。m 一科妣 尸4 学竽螋乙。降v - 丁( _ 1 ) i - 1 + 料妣川 一，9 堕专掣瓦哮学+ ，黑而- i + 卜 其中 取整数部分。 而 综上，由式( 4 8 ) ，( 4 9 ) 我们有 胍叫忙六挈。妻，钟( 孚厂 p + l 。 、7 砟( 正f ) 兰。互。五九_ ，主= 五】凼+ 五i t ，点= 重】 i ，l 却 i ii l 一 4 2 2 数值例子 本节以 + 姜掣击f ( a 一喜) ”( b - 古) 一 y s 2 口 y 2 口 臼 o岛 ，j_-【 数值差商公式及其应用 鹕加何护v f 寿纠旷 为例，讨论数值差商公式在b a d a m a r d 有限部分积分中的应用。 利用m 个节点的g a u s s - - l e g e n d r e 求积公式计算 肌色笋1 西2 善五巾- ，包掌协 p + i一i 其中积分节点x - ( k = l ，m ) 为m 阶勒让德多项式p m ( x ) 的零点， 。为积分系数。 ) = 丽i 万d ( ，2 一l 厂， 仁雨扛k 朋 取m 为奇数，此时积分节点x = 0 与奇点充分接近，应用本章的处理方法，计算 p = o p = l nr 7r 1 5r 7r 1 5 41 7 e - 0 0 48 5 e 0 0 5 2 9 e 0 0 51 4 e 0 0 5 81 7 e 0 0 98 3 e - 0 1 01 7 e 一0 1 08 4 e - 0 1 1 1 1 1 9 e - 0 1 37 o e 0 1 31 5 e 一0 1 34 3 e 0 1 3 1 22 2 e 一0 1 5 7 9 e - 0 1 34 o e - 0 1 35 5 e - 0 1 3 2 4o 7 9 e - 0 1 32 1 e - 0 1 32 5 e - 0 1 3 3 12 2 e - 0 1 57 9 e 0 1 3 2 1 e - 0 1 34 6 e - 0 1 3 4 41 8 e - 0 1 57 9 e 一0 1 3 2 o e - 0 1 34 4 e - 0 1 3 计算过程中，n 1 1 时，程序运行都在1 秒之内，后面运行速度开始慢下来，而且开 始时误差减小很快，n 一 1 2 时，误差没有明显的改善。事实上，节点个数没有必要取很大， 因为随着节点的增多，逼近函数的效果可能好一些，但由于节点距离的减小，计算机计算 数值差商公式在奇异积分数值解中的应用 会引起较大的舍入误差，而且插值多项式次数较高时会产生振荡现象。表中数据表明：将 数值差商公式应用于节点过于接近时差商的计算是有效的，得到了较满意的结果，解决了 奇异积分过程中因节点和奇点过近引起的计算不稳定问题，使积分得以顺利进行 参考文献 【1 】王兴华，王何宇，m i n g j u nl a i 数值差商公式研究中国科学，a 辑，2 0 0 5 3 5 ( 6 ) ：7 1 2 - 7 2 0 1 2 1 乩f l o a t e r e r r o rf o r m u l a sf o rd i v i d e dd i f f e r e n c ee x p a n s i o n sa n d n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n a p p r o x t h e o r y 。1 2 2 ( 2 0 0 3 ) ：1 9 【3 】j o s da a d e l l ，c s a n g u e s a e r r o rb o u n d si nd i v i d e dd i f f e r e n c e e x p a n s i o n s ，ap r o b a b i l i s t i cp e r s p e c t i v e j m a t h a n a l a p p l 3 1 8 ( 2 0 0 6 ) ：3 5 2 3 6 4 4 1c a r ld eb o o r d i v i d e dd i f f e r e n c e s s u r v e y si na p p r o x i m a t i o nt h e o r y 1 ，2 0 0 5 ：4 6 _ 6 9 ： 1 5 1h o p fe o b e rd i ez u s m e n b a n gz w i s c h e n6 e w i s s e nf l s h e r e n d i f f e r e n z e n q u o t i e n t e nr e e l e rf u n k t i o n e ne i n e rr e e l l e nv a r i a b l e n u n dd e r e nd i f f e r e n z i e r b a rk e i t s e i g e n s c h a f t e n b e r l i n ： d i s s e r t a t i o nu n i v e r s i t a t ：b e r l i n ，1 9 2 6 1 - 3 0 6 1x i n g h u aw a n g ，m i n g - j u nl a i ，a n ds h i j u ny a n g o nt h ed i v i d e d d i f f e r e n c e so ft h er e m a i n d e ri np o l y n o m i a li n t e r p o l a t i o n j o u r n a lo fa p p r o x i m a t i o nt h e o r y ，1 2 7 ( 2 0 0 4 ) ：1 9 3 1 9 7 7 1c d eb o o r ，ad i v i d e dd i f f e r e n c ee x p a n s i o no fad i v i d e dd i f f e r e n c e j a p p r o x t h e o r y 1 2 2 ( 2 0 0 3 ) ：1 0 1 2 1 8 1a z y g m u n d 。s m o o t hf u n c t i o n s ”d u k em a t h j ，1 2 ，( 1 9 4 5 ) ：4 7 7 6 9 1a v e f i m o v e s t i m a t eo ft h em o d u l e so fc o n t i n u i t yo faf u n c t i o n i nt h ec l a s s h l r i z v a k a d n a u ks s s rs e rm a t 2 1 ( 1 9 5 7 ) ： 2 8 3 2 8 8 ( i nr u s s i a n ) 【1 0 许艳，王仁宏，许志强一类超收敛数值羞商公式研究计算数学，2 0 0 7 ， 参考文献 v 0 1 2 9 。n o 1 ：8 1 8 8 【1 1 】s t e f f e n s e n ，j f ：i n t e r p o l a t i o n 2 n de d ，c h e l s e a ，n e wy o r k ：1 9 5 0 【1 2 1h i l d e b r a n d f b ：i n t r o d u c t i o nt on u m e r i c a la n a l y s i s n e wy o r k ： m c g r a w - h i1 1 1 9 5 6 【1 3 r a l s t o n ，a ：o nd i f f e r e n t i a t i n ge r r o